Congruencias de figuras

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  • Ceprepuc Geometría
  • Congruencias de figuras

    1. 1. Congruencias y semejanzasde figuras planas Srta. Yanira Castro Lizana
    2. 2. ¿Cómo son las figuras mostradas? Son idénticas 2
    3. 3. Ej emplos de Congruencia . ES TA S S I S ON F I GU R A S CON GR U EN TES ES TA S S I S ON F I GU R A S CON GR U EN TES ES TA S N O S ON F I GU R A S CON GR U N TES
    4. 4. Congruencia  .  D o figu so co e s cu s ras n ngru nte ando tie n la m a ne ism fo a y tam o e de si al co carlas u so rm añ , s cir, lo na bre o so co tra n incide s e to su e te nte n da x nsión.
    5. 5. Criterios de congruencia
    6. 6. Triángulos congruentes  Dos triángulos son congruentes si y sólo si sus partes correspondientes son congruentes. A D B C E F ABC ≅ DEF
    7. 7. Definición: Dos triángulos ABC y DEF son correspondientes si: Sus lados correspondientes son iguales Sus ángulos correspondiente son iguales. En la figura AB = ED;BC = DF ; AC = EF C F D γ γ β α β α A B E
    8. 8. POSTULADOS DE CONGRUENCIA Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro, entonces los triángulos son congruentes. Criterio LAL: Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado entre ellos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Criterio LLA: Si el lado más largo del triangulo, junto con otro lado de éste, y el ángulo superior del lado más largo del triángulo son congruentes con los del otro triangulo, entonces los triángulos son congruentes.
    9. 9. Postulado LLL  Si los lados de un triángulo son congruentes con los lados de un segundo triángulo, entonces los triángulos son congruentes. A D B C E F ABC ≅ DEF
    10. 10. Postulado ALA  Si dos ángulos y el lado incluido de un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado incluido de otro triángulo, los triángulos son congruentes. B A C E D ABC ≅ CDE
    11. 11. Postulado AAL  Si dos ángulos y el lado no incluido de un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado no incluido de otro triángulo, los triángulos son congruentes. A D F B C E ABC ≅ EFD
    12. 12. Postulado LAL  Si dos lados y el ángulo incluido de un triángulo son congruentes a dos lados y el ángulo incluido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. B E A C D F ABC ≅ DEF
    13. 13.  Ejemplos: 1) En la figura, se tiene un triángulo ABC isósceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales. ¿Cuáles triángulos son congruentes?
    14. 14.  2) Dado el triángulo rectángulo de lados a,b y c, se han construido las figuras que están a sus lados copiándolo varias veces y colocándolo en diferentes posiciones. Analiza los ángulos que son congruentes en las distintas posiciones. ¿Podrías deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras?
    15. 15. PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
    16. 16. TEOREMA DE THALES
    17. 17. TEOREMA DE THALES
    18. 18. PROPIEDAD BASE MEDIA B AC MN = M N 2A C MN // AC 22
    19. 19. FIGURAS SEMEJANTES
    20. 20. ¿Cómo son las figuras mostradas?Son proporcionalesSon semejantes 24
    21. 21. S emej anza • Dos figuras que tienen la misma forma, aun con diferentes dimensiones, se llaman semejantes. • Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales. • Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman homólogos.
    22. 22.  Dos figuras del plano son semejantes si loscocientes de de los segmentos determinados porpares cualesquiera de puntos correspondientes son iguales. ML es la razón de semejanza M L
    23. 23. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales ylos ángulos iguales. a b c El cociente = = =k a b c se llama razón de semejanza.
    24. 24. SEMEJANZADE TRIÁNGULOS 29
    25. 25. Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m. A 6m 5m C 4m B Multiplica cada uno de los lados por 3. P x3 18m 15m RLos lados del triángulo se han triplicado. 12m Q 32
    26. 26. Identificamos algunos elementos : RAZÓN DE SEMEJANZA : 3 LADOS HOMÓLOGOS : AB PQ BC QR AC PRAdemás:Si la altura relativa al lado AC mide a, podemosafirmar que la altura relativa a su lado homólogo PR mide3a.Cualquier longitud (lados y líneas notables) en el triángulo ABC se triplica en el triángulo PQR. 33
    27. 27. ∼ ¿Cuál es el símbolo que se utiliza pararepresentar la semejanza de dos triángulos?
    28. 28. Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo quedenalineados el extremo superior del árbol y el de la vara de longitud conocida.
    29. 29. Distancias o alturas aplicando semejanza Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras, utilizadas habitualmente por las guías y scouts, para estimar alturas y distancias, recurriendo a la semejanza de triángulos. En este caso, es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del árbol reflejado en el espejo.
    30. 30. CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 37
    31. 31. Criterios de semejanza de triángulos  existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triángulos
    32. 32. Existen tres criterios desemejanza de triángulos 1. AA ( ángulo-ángulo) 2. LLL (lado-lado-lado) 3. LAL (lado-ángulo-lado)
    33. 33. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza. Teorema: “ Si dos triángulos tienen sus dos ángulos correspondientescongruentes, entonces el tercero también será congruente y lostriángulos son semejantes”.Criterio LAL de semejanza. Teorema: “ Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulocongruente comprendido entre lados proporcionales”.Criterio LLL de semejanza. Teorema: "Si los lados correspondientes de dos triángulos sonproporcionales, entonces los triángulos son semejantes".
    34. 34. I. Primer criterio AA  Dos triángulos que tienen los dos ángulos congruentes son semejantes entre sí. A A´ α´ α β γ C B β´ γ´ C’ B´ Es decir: Si α = α´ , β = β´ de lo anterior se deduce que γ = γ´ Entonces, ∆ ABC semejante con ∆A´B´C´
    35. 35. Ejemplo¿Son los siguientes triángulos semejantes? 65 65 25 25 ¡SI! Por que al tener dos de sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA
    36. 36. II. Segundo criterio LLL  Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí. A A´ a b b´ a´ C B cEs decir: C’ B´ c´ a b c a´ = b´ = c´ =K El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí Entonces, ∆ ABC semejante con ∆A´B´C´ recibe el nombre de razón de semejanza.
    37. 37. Ejemplo Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes Verifiquemos si las medidas de los P lados son proporcionales B 1,5 C 3,51,5 3,5 5 7 3 = 7 = 10 5 Efectivamente , así es, ya que A 10 los productos “cruzados” son iguales 1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5 3,5 • 10 = 7 • 5 = 35 Q Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL 3 R
    38. 38. III. Tercer criterio LAL Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí. A A´ a α a´ C B c α´ C’ c´ B´Es decir: a c a´ = c´ y α = α´ Entonces ∆ ABC semejante a ∆ A´B´C´
    39. 39. Ejemplo ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes? Veamos si dos de sus lados son proporcionales A D 9 E 3 = 4 3 9 12 C B 4 Efectivamente así es, ya que los productos 12 “cruzados” son iguales 3 • 12 = 4 • 9 Efectivamente, porque,¿Los ángulos formados por tal como se señala en elestos dos lados son dibujo, ambos son rectoscongruentes? F Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES
    40. 40. Algunas aplicaciones deestos conceptos
    41. 41. Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y halla la razón de semejanza. a) 8 cm, 10 cm, 12 cm b) 52 cm, 65 cm, 78 cm Representemos el ejercicio Efectivamente, al calcular los productos “cruzados”, 65 podemos ver la 12 proporcionalidad entre las 8 78 medidas de los lados respectivos 10 52 •10 = 8 • 65 = 520 52 65 • 12 = 10 •78 = 780Comprobemos que las medidas de loslados homólogos son proporcionales Para calcular la razón de semejanza se calcula una 52 = 65 = 78 = 6,5 de las razones 8 10 12 65 : 10 = 6,5 Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL
    42. 42. Ejercicio  Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1. ¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?. x=9 Representamos la situación 5 3 12 = y 4 z =15 Luego, debe ocurrir: X Y Z 3 X=3 3 = 4 = 5 = 1 =3 Entonces: X= 3· 3 = 9 3 Y Escala de 4 =3 Y = 4 · 3 =12 ampliación La razón de semejanza es 3 Z =3 Z = 5 · 3 = 15 5
    43. 43. Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los ladosde un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son semejantes?. En casoafirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?. Para comprobar la proporcionalidad podemos 20 12 efectuar los productos 50 “cruzados” 30x16=480 y 40x12=480 30 además 16 40x20=800 y 16x50=800 40 Comprobemos que las medidas de los Para calcular la razón de lados homólogos son proporcionales semejanza se calcula una de las razones 50 : 20 = 2,5 30 = 40 = 50 12 16 20
    44. 44. Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros?(Haz un dibujo del problema). Son semejantes por que cumplen el p criterio AA, tienen iguales el ángulo o recto y el ángulo s 3m de elevación que t x forman los rayos solares con el e suelo 2m sombra 4,5m Los triángulos definidos por el poste y su sombra y el árbol y su sombra son semejantes, por lo tanto X= 3 • 4,5 = 6,75m 3 2 De dondeFormamos la proporción x = 4,5 2
    45. 45. Para terminar una pequeñademostración
    46. 46. Demuestre: Si L1// L2 , , entonces ΔABC ~ΔDEC B A C D EDemostración Afirmaciones Razones ∠ABC ≅ ∠CDE Por ser ángulos alternos internos entre // ∠BAC ≅ ∠CDE Por ser Ángulos alternos internos entre // Por lo tanto al tener dos ángulos congruentes, se cumple al criterio AA, luego, los triángulos ABC y DEC son semejantes

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