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Prof. Guillermo Corbacho C.gcorbach@uc.clNotas del AutorEl presente trabajo, junto con compilar y deducir parte de los con...
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  1. 1. Prof. Guillermo Corbacho C.gcorbach@uc.clNotas del AutorEl presente trabajo, junto con compilar y deducir parte de los contenidos -ya existentes porlo demás, desde la antigua Grecia- presenta en su amplia mayoría ejercicios elaboradospersonalmente. Algunos de los cuales se pueden hallar -con alguna variación numérica,dentro de los textos indicados en la bibliografía.Como el estudiante puede sospechar, la dificultad para todo profesor no está en laelaboración mental de los mismos, sino más bien en el tiempo invertido para llegar a laelaboración de un trabajo digital al cual podremos consultar. Y sumando en tal dirección,espero sea un aporte para alumnos, profesores y en cierta medida, para quienes se preparanen alguna prueba de admisión universitaria.Es así como hoy me toca poder invitarlos a los temas o contenidos de Circunferencias yCírculos. Figuras y formas que desde de la antigüedad han inspirado interpretaciones osignificados cercanos a la belleza o a la perfección más allá de la geometría. El tenerlaspresente me han reportado y reportan mucho disfrute personal, cada vez que me hallo conellas. Espero que a uds. también, desde la perspectiva de sus contenidos y variadosejercicios.Guillermo Corbacho Castro.Profesor de Matemáticas y Física y Licenciado en Educación.Titulado y graduado de la Pontificia Universidad Católica de Chile.Parinacota, Quilicura, 2k09 1
  2. 2. Prof. Guillermo Corbacho C.gcorbach@uc.cl ÍNDICEAÁngulos en la circunferencia......................... 3 Listado Nº 3 Ejercicios (Resueltos)Ángulo del centro ............................................ 3 Segmentos proporcionales.............................. 43Ángulo inscrito .............................................. 3 Listado Nº 4 Ejercicios (Propuestos)Ángulo semi inscrito ........................................ 5 Segmentos proporcionales.............................. 46Ángulo exterior a una circunferencia Listado Nº 5 Ejercicios de Recapitulación:formado por dos secantes............................... 10 Ángulos en la circunferencia y Segmentoscon uno de sus lados como tangente .............. 10 proporcionales ................................................ 47Ángulo interior a una circunferencia ............. 10 Listado Nº 6 Ejercicios de Recapitulación Nº 2:Áreas y perímetros....................................... 59 Ángulos en la circunferencia y segmentosAlgo podremos inducir. ................................. 61 proporcionales ................................................ 49Áreas y Perímetros combinados con: Listado Nº 1 de Ejercicios (Resueltos)propiedades de ángulos en la circunferencia.. 82 Segmentos Circulares ..................................... 73triángulos ....................................................... 97 Listado Nº 2 de Ejercicios (Resueltos)Área de un triángulo rectángulo..................... 98 Flor de Ejercicios en Segmentos Circulares ... 76Área de un triángulo en función de la altura .. 98 Listado Nº 3 de Ejercicios (Resueltos)Área de un ∆ circunscrito.............................. 99 Áreas y Perímetros sobre un fondo cuadrado. 78Área de un ∆ inscrito .................................... 99 Listado Nº 4 de Ejercicios (Resueltos) Áreas y Perímetros ......................................... 84C Listado Nº 5 de Ejercicios (Propuestos)Cuadrilátero inscrito en una circunferencia ... 10 Áreas y Perímetros ......................................... 94Cuerda que pasa por el centro dimidiando ⊥ . 24 Lúnula .......................................................... 100Cuerdas congruentes ...................................... 32 Listado Nº 6 de Ejercicios (Resueltos)Cuadrilátero Circunscrito.Suma de lados....... 33 Áreas y Perímetros: CircunferenciasControl de Ángulos en la circunferencia y combinadas con triángulos ........................... 103Segmentos proporcionales Fila Atenea..... 51 Listado Nº 7 de Ejercicios (Propuestos)Control de Ángulos en la circunferencia y Áreas y Perímetros combinados con teorema deSegmentos proporcionales Fila Apolo ...... 54 Pitágoras ....................................................... 108Control de Ángulos en la circunferencia y Listado Nº 8 de Ejercicios (Propuestos).Segmentos proporcionales Fila Afrodita... 57 Áreas y Perímetros ....................................... 117Control de Ángulos en la circunferencia y PSegmentos proporcionales Fila Ares......... 58Corona Circular.............................................. 63 Potencia de un punto P ................................... 23Considere la utilidad de simplificar ............... 67 Perímetro de la circunferencia........................ 59Circunferencias y Círculos en fondo cuadrado Perímetros de bases AB en triángulos AOB....................................................................... 78 Segmentos Circulares ..................................... 72Cuadratura del área 101 Puntos notables en el triángulo....................... 98E RElementos de la circunferencia ........................ 3 Relaciones de Áreas en ∆s OAB de ángulos delEjercicios de Aplicación del teorema particular centro, suplementarios entre sí ....................... 71de Pitágoras en Métrica en la circunferencia . 34 SEjercicios Resueltos y Propuestos. Nivel básico.Áreas y Perímetros....................................... 110 Segmentos Proporcionales ........................... 23 Sector Circular................................................ 65G Segmento circular........................................... 68Guía de Autoaprendizaje. Áreas y Perímetros T..................................................................... 110 Trapecio Isósceles inscrito ............................. 10L Teorema de las Cuerdas ................................. 23Listado Nº 1 Ejercicios (Resueltos) Teorema de las Secantes................................. 30Ángulos inscritos, del centro y semi inscritos.. 6 Teorema de la secante con la tangente ........... 32Listado Nº 2 Ejercicios (Propuestos) Teorema de la tangente con la tangente ......... 32Cuadriláteros Inscritos, ángulos interiores y Teorema de Ptolomeo..................................... 33exteriores a la circunferencia ......................... 11 Teorema Particular de Pitágoras..................... 33Listado Nº 3 Ejercicios (Propuestos) Trapecio Circular............................................ 64Ángulos en la circunferencia ......................... 18 Tabla de áreas de ∆s OABListado Nº 4 Ejercicios (Propuestos) (segmentos circulares).................................... 70Ángulos en la circunferencia ......................... 21 Tabla de perímetros de bases de ∆s OABListado Nº 1 Ejercicios (Propuestos) (segmentos circulares).................................... 72Segmentos proporcionales ............................. 26 Teorema de Pitágoras (Repaso)Listado Nº 2 Ejercicios (Propuestos) Números Pitagóricos ...................................... 97Segmentos proporcionales ............................. 35Listado Nº 2 (Alternativo) BIBLIOGRAFIA.......................................... 118Segmentos proporcionales ............................. 39Parinacota, Quilicura, 2k09 2
  3. 3. Prof. Guillermo Corbacho C.gcorbach@uc.clÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIAI. Elementos de la circunferencia: O es centro de la ⊗; OT , OQ y OB son radios de la ⊗; AB cuerda de la ⊗; QT diámetro de la ⊗; L1 y L 2 son rectas secantes a la ⊗; L3 es tangente a la ⊗; α es ángulo interior de la ⊗; δ es ángulo exterior a la ⊗;II. Propiedades 1. El ángulo del centro mide el doble que el ángulo inscrito. O bien; el ángulo inscrito mide la mitad que el ángulo del centro. Ejemplos: Para hallar el valor incógnito, usar la primera representación de la propiedad indicada será suficiente: “el ángulo del centro mide el doble que su ángulo inscrito”. Solución: Solución: Solución: 126º = 2α /• 1 α = 2 • 52º 60º = 2α /• 1 2 2 = 104º 63º = α 30º = α 2. El ángulo del centro mide lo mismo que el arco de circunferencia que subtiende. Tal como se ilustra en la figura. AB = α = AOB Ejemplos: α = AB = 122º α = 115º AB = 80ºParinacota, Quilicura, 2k09 3
  4. 4. Prof. Guillermo Corbacho C. 3. Los ángulos inscritos que subtienden el O bien, el ángulo del centro mide el mismo ángulo del centro -o arco de doble que todos los ángulos inscritos circunferencia, son iguales entre sí y que subtienden el mismo arco que el, miden la mitad que el ángulo del cuya medida de este último, es centro –así como del arco que también el doble que ellos. subtiende. Ejemplos: Recordatorios: En ejercicios de esta unidad, aparecen en ocasiones triángulos inscritos (adentro) de una circunferencia. Por lo tanto es pertinente recordar de los triángulos que: La suma de los ángulos interiores de un triángulo suman 180º. Un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a el. α + β + γ = 180º α +γ =δ Dos ángulos adyacentes suplementarios suman 180º. En la figura anterior: β + δ = 180º En una circunferencia debemos tener que: Toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia, es diámetro de ella –la dimidia en dos partes iguales-. Todo triángulo dentro de una circunferencia que tengas dos lados coincidentes con un radio, es isósceles. Y los ángulos interiores -del mismo triángulo-, opuestos a dichos lados, son de igual medida entre sí. En la circunferencia de la izquierda, r designa su radio. AB es una cuerda que pasa por su centro, por lo tanto es también un diámetro. El triángulo AOC es isósceles, pues AO = OC = r . Y sus ángulos interiores, -opuestos a dichos lados- y de igual medida entre sí, están indicados por α.Parinacota, Quilicura, 2k09 4
  5. 5. Prof. Guillermo Corbacho C. Ejemplos: Observe que en las primeras figuras hemos indicado también el ángulo del centro. El cuál tiene siempre la misma orientación que su respectivo ángulo inscrito. Así, en la primera figura un ángulo inscrito de 35º se abre hacia la derecha, por lo tanto su respectivo ángulo del centro –que mide el doble, 70º-, también se abre hacia la derecha. Hacia donde se halla el arco respectivo. En la segunda figura, un ángulo inscrito se abre hacia la izquierda y su respectivo ángulo del centro también. Pero no siempre hemos indicado el ángulo del centro y su arco. Las dos últimas figuras se concentran únicamente en lo que estamos indicando al inicial este punto: que si dos lados del triángulo coinciden con los radios, entonces es un triángulo isósceles. Esto significa que por tener dos lados de igual medida, los ángulos opuestos a dichos lados -llamados ángulos basales-, también tienen igual medida al interior del mismo triángulo. Otro punto que destacar relativo a ángulos al interior de una circunferencia es que, un ángulo completo es aquel que subtiende un arco que coincide con la propia circunferencia y que por lo tanto, mide 360º. 4. Debido a lo anterior, un ángulo del centro que subtiende un arco de media circunferencia, mide 180º. Y si dicho ángulo del centro tiene un ángulo inscrito, este mide, por lo visto anteriormente, su mitad, es decir, 90º. 5. Un ángulo semi inscrito -en la figura de la derecha marcado con rojo, tiene como uno de sus lados una cuerda de la circunferencia y por otro, un segmento externo y tangente, comparte la misma propiedad que un ángulo inscrito. Es decir, mide la mitad que el ángulo del centro y lo mismo que el ángulo inscrito con los cuales subtienda el mismo arco. Tal como lo ilustra la figura. Ejemplos: Lo usual es que no nos encontremos con los arcos y ángulos resaltados o diferenciados como arriba (es el caso de la última de las siguientes figuras.)Parinacota, Quilicura, 2k09 5
  6. 6. Prof. Guillermo Corbacho C. Ángulos en la Circunferencia Listado Nº1: Ejercicios (Resueltos) Ángulos inscritos, del centro y semi inscritos.Ejercicios: En cada circunferencia, O es centro y AB es cuerda.1. AB es diámetro de la ⊗ . γ = ? 2. α = ? 3. α = ?Solución: Solución:γ es un inscrito y mide la mitad Solución: Los ángulos inscritos y del centroque el del centro con el cual α es un del centro y por lo subtienden el mismo arco BC .subtiende el mismo arco AB de ⊗. tanto, mide el doble que el En tales casos, el ángulo del 180º inscrito que subtiende el mismoEs decir, γ = = 90º arco de ⊗ que el. inscrito mide SIEMPRE la mitad 2 que el del centro. α = 2•50º = 100º 120º α= = 60º 24. AB = α = ? 5. α = ? 6. AB = α = ?Solución: Solución: Solución:Todo arco de ⊗ SIEMPRE mide lo α es un ángulo inscrito, por lo Ahora α es un arco y al igual quemismo que el del centro que lo tanto, mide la mitad que el arco un ángulo del centro, mide elsubtiende. Por lo tanto: que subtiende: doble que el ángulo inscrito: AB = 160º O bien: α = 152º 110º α = 2•40º = 80º . α= = 55º 27. α = ?, β = ?, δ =? 8. El triángulo ABC es 9. Se tiene un nonágono regular equilátero. α = ?, β = ? (polígono de nueve lados congruentes) inscrito en la ⊗. δ = ?, α = ?, ϕ = ?Solución: Solución: Solución:α es un ángulo del centro y por lo Cada vértice del triángulo Cada vértice del polígonotanto, mide el doble que el ánguloinscrito que subtiende el mismo arco equilátero divide los 360º de la equilátero divide los 360º de la ⊗ ⊗ en tres arcos y ángulos del en 9 arcos y ángulos del centrode ⊗, es decir: centro congruentes (de igual congruentes (de igual medida). δ = 2•42º =84º. medida). Es decir, el ángulo del centroα y β son s inscritos que 360º mide: δ = 360º /9 = 40º.subtienden el mismo arco que el Es decir, β = = 120º.de 48º. Por lo tanto, miden lo mismo 3 Cada ángulo inscrito mide: β 120º α = δ /2 = 40º /2 = 20º.que este. Mientras, α = = = 60º. y ϕ mide cuatro veces α:Es decir: α = β = 48º. 2 2 ϕ = 4α = 4•20º = 80º .Parinacota, Quilicura, 2k09 6
  7. 7. Prof. Guillermo Corbacho C.10. AB es diámetro . AB = α = ? 11. δ = ? 12. α = ? Solución:Solución: Solución: La figura se puede completar a:La figura se puede completar a: Por ser δ un ángulo del centro que subtiende el mismo arco BC que el ángulo inscrito CAB , tenemos: si CAB = 35º ⇒ δ = 2 CAB = 2 • 35º = 70º. Esto debido a que se tiene AD + DB = 180º (forman media ángulos adyacentescircunferencia) suplementarios (que sumados dan 180º).De donde: AD = 180º −62º = 118º .Y como α es un ángulo inscrito, del Y sabemos que α = BC mide el doble que el inscrito quearco AD que subtiende. lo subtiende: AD 118º α = 2•54º = 108º . α= = = 59º. 2 213. AC = δ = ? 14. ϕ = ?, γ = ?, δ = ? 15. BT ⊥ ⊗ . α = ? Solución:Solución: Solución: Un semi inscrito α mide loComo OA = OC = r , los s que se OB y OC son radios ⇒ sus mismo que un inscrito con eloponen a tales lados son iguales ( s s opuestos son iguales. cual subtienda el mismo arco debasales) y miden 37º. En este caso: ∴ϕ = 25º [ s basales en un ⊗. En este caso, el arco en ACB = AOC = 37º . ∆ isósceles).Y el arco α es igual al ángulo del común es AB . Un del centro mide el doblecentro del ∆AOC. Este último se Es decir, α = ACB = 43º. que el inscr. con el cualpuede deducir mediante la suma de subtiende el mimo arco. Así,los s interiores en todo ∆ (iguales a δ = 50º.180º). Y dado que en todo ∆: Σ int.=180º. En el ∆DOC: γ = 180º − (90+50)º = 40º AOC = 180º −74º = 106º = δ .Parinacota, Quilicura, 2k09 7
  8. 8. Prof. Guillermo Corbacho C.16. BT ⊥ ⊗ . α = ? 17. BT ⊥ ⊗ . δ = ?, α = ? 18. BT ⊥ ⊗ . δ = ?, α = ?Solución: Solución: Solución: Análogo al anterior.Un semi−inscrito (al igual que un El triángulo AOB es isósceles, Resp.: α = 35º inscrito) siempre mide la mitadque el arco que subtiende. ⇒ α = OBA por ser s 19. BT ⊥ ⊗ . δ = ?, α = ?En este caso, α es semi-inscrito basales, ( s opuestos a lados de ¿Y qué se puede concluir de losen la ⊗ y subtiende al arco AB. igual medida, el radio r, del ∆). ejercicios 17, 18 y 19?Por lo tanto: Y el ángulo del centro mide siempre el doble que el AB 126º α= = = 63º . semi−inscrito con el cual 2 2 subtiende el mismo arco. Así, la figura se puede completar a: Solución: Ídem a los anteriores. Resp.: α = 42º Conclusión(es): • El ángulo basal y el semi Hallaremos α por la suma de los inscrito son complementarios ángulos interiores. suman 90º. Así, lo que falta son 60º, (que se • La tangente a la reparten en los dos ángulos α). circunferencia es Esto es, perpendicular a su radio en el 2α = 60º ⇒ α = 30º . punto de tangencia.20. AC diámetro. γ = ?, α = ? 21. BA = 212º. α = ? 22. α = ? Solución:Solución: Solución: El CBA = 124º es inscrito, porAB y BC forman una media Por ser α un ángulocircunferencia. semiinscrito, mide la mitad que lo tanto el arco AC que su ángulo del centro, con el cuál subtiende hacia la derecha –estáAB + BC = 180º de más decirlo-, mide SU subtiende la cuerda AB DOBLE.AB + 84º = 180º AOB AB AC = 2•124º = 248º⇒ AB = 180º −84º = 96º α= = 2 2 Luego,Y como un ángulo del centro mide Todo se reduce a hallar el AB y AC + CA = 360ºsiempre lo mismo que el arco que dividirlo por dos. 248º + CA = 360ºsubtiende: δ = 96º. AB + BA = 360º ⇒ CA = α =112º. AB + 212º = 360º Pues α es ángulo del centro y ⇒ AB = 148º ⇒ α = 74º. subtiende al arco CA .Parinacota, Quilicura, 2k09 8
  9. 9. Prof. Guillermo Corbacho C.23. α = ? 24. β = ? 25. γ = ? ¿Qué se puede concluir de este ejercicio y del 23 y 24? ¿Y cuál es la diferencia con el ejercicio 22?Solución: Resp.:Como 105º y α son ángulos inscritos, β = 91ºsus arcos -además de completar unacircunferencia- miden el doble que 26. α = ? Resp.:ellos. γ = 100º.BD + DB = 360º Conclusiones:2α + 210º = 360º Se puede concluir que: • Los ángulos opuestos en un⇒ 2α = 150º cuadrilátero inscrito en una α = 75º circunferencia suman 180º Solución: (son suplementarios). • La diferencia es que el cuadrilátero del ejerc. 22 tiene uno de sus vértices en el centro de la circunferencia. Por ello no satisface la conclusión α es ángulo inscrito, por tanto anterior. BOC 27. α = ? α= 2 BOC = ( s op. vértice) 2 = ( BA + AC ) 2 = (2•34º +2•40º ) ¿Qué se puede concluir de este 2 ejercicio y del anterior (ejercicio 2 (34º +40º ) 26)? = 2 Resp.: = 74º α = 63º Conclusión: Para cuadriláteros con tres vértices en la ⊗ y el otro en el centro de ella, uno de sus ángulos inscritos es igual a la suma de los otros dos ángulos inscritos.Parinacota, Quilicura, 2k09 9
  10. 10. Prof. Guillermo Corbacho C.Volviendo con puntos de contenidos,… 6. Cuadrilátero inscriptible o inscrito en 7. Trapecio Isósceles inscrito en una una circunferencia. circunferencia. Un cuadrilátero está inscrito en una Un trapecio es una figura de cuatro lados circunferencia cuando todos sus vértices (cuadrilátero) con un par de lados están en ella. opuestos paralelos y el otro par de lados Hay que notar la opuestos no paralelos. diferencia entre Y al igual que en un triángulo, a ángulos circunferencia y contiguos de igual medida entre sí se círculo. oponen también lados de igual medida Una Circunferencia entre sí (congruentes). es el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes o que tienen una misma Un ejemplo de ello es el siguiente distancia respecto de otro, llamado este trapecio. último, centro. Sin embargo, lo más común es que la Mientras que un círculo es el espacio al mayoría de los trapecios que se dibujan interior de la circunferencia. en la práctica, no tengan dos ángulos y lados opuestos que sean de igual medida El cuadrilátero ABCD de arriba está o congruentes. inscrito en la circunferencia de centro O. Pero esto SIEMPRE ocurre si el trapecio Y los ejercicios 23, 24 y 25 hacen dibujado está referencia a que en un cuadrilátero inscrito en una inscrito a una , los ángulos opuestos circunferencia. son suplementarios -suman 180º. Un ejemplo es la Así, en la figura del recuadro: figura de la α + γ = 180º derecha. y β + δ = 180º 8. Ángulo interior a una circunferencia. 9. Ángulo exterior a un triángulo. Un ángulo interior a una circunferencia Podemos hallar un ángulo interior a una es aquel ángulo formado por dos cuerdas circunferencia y a la vez, exterior a un que se cortan, como se muestra en la triángulo inscrito. figura. Su medida es igual Y su medida se obtiene mediante la a la suma de los fórmula: ángulos interiores AB + CD del ∆, no contiguos x= a el. 2 En la figura: O bien, x = β +δ α +β x= 2 10. Ángulo exterior a una circunferencia 11. Ángulo exterior a la circunferencia formado por dos secantes. con al menos uno de sus lados como La medida de un ángulo exterior x, tangente. formado por dos secantes PA y PD , se La obtención del obtiene mediante la fórmula: ángulo exterior no difiere del caso AB − CD α −β x= O bien: x = anterior: 2 2 α −β x= 2 Nota aparte: La tangente es siempre perpendicular al radio y al diámetro de la ⊗.Parinacota, Quilicura, 2k09 10
  11. 11. Prof. Guillermo Corbacho C.gcorbach@uc.cl Ángulos en la Circunferencia Listado Nº 2 de Ejercicios (Propuestos) Cuadriláteros inscritos. Ángulos interiores y exteriores.Nombre: ___________________________________ Curso: ______ Puntaje: ____EjerciciosEn cada circunferencia, O es centro y AB es cuerda y si pasa por el centro, es diámetro.Mientras que AB es arco. Calcular las medidas que se piden y/o se indican tras un signoigual.1. α = ?; β =? 2. x = 3. x = ;β =4. α, β, γ están en la razón de 5. α = 2x+3; β = 2x; γ = 3x - 3 6. DC ≡ CB; DCB = 5 : 4 : 7, respectivamente. Hallar δ. Hallar δ.7. α = 21º , γ = 63º . x = 8. x = 9. x =10. APC = 11. α = 12. α =Parinacota, Quilicura 2K09. 11
  12. 12. Prof. Guillermo Corbacho C.gcorbach@uc.cl13. AB diámetro; α = ; 14. AB diámetro; DA ≡ BC . 15. γ = ;x= ;δ = β= Si DA = 50º ; CD = ;α =16. α :β = 5 :8. Hallar α y β. 17. α y βcumplen con: 18. Si α = 138º y β = 50º. α = 2 x − 3 y β = 3x + 1 . δ= ? Hallar α y β.19. α : β = 36 : 13. δ = 46. 20. PD ≡ DA. CA = 21. PA ≡ PC. BD = 53º α= ;β = δ= ; CA =22. α = ;β = ;δ = 23. α = ;β = 24. TP tangente. α =25. TA diámetro, TP 26. α = 27. PT ≡ PQ. Si QT = 242º , tangente. Calcule el QPT. Hallar γ, α y δ.Parinacota, Quilicura 2K09. 12
  13. 13. Prof. Guillermo Corbacho C.gcorbach@uc.cl Ángulos en la Circunferencia Solucionario Listado Nº 2: Ejercicios Propuestos Cuadriláteros inscritos. Ángulos interiores y exteriores.Ejercicios:En cada circunferencia, O es centro y AB es cuerda y si pasa por el centro, es diámetro.Mientras que AB es arco. Calcular las medidas que se piden y/o se indican tras un signo igual.1. α = ?; β =? 2. Halle los ángulos del 3. x = ?; β =? cuadrilátero.Solución: Solución:En todo cuadrilátero inscrito en Solución: Los ángulos opuestos sumanuna ⊗, los ángulos opuestos son Como en cada pareja de ángulos 180º.suplementarios (suman 180º). opuestos hay una sola incógnita, Así, en la figura de arriba, solo basta tomar cualquier pareja. nos sirve en un principio losAsí, en la figura de arriba: 10 x + 8 x = 180º ángulos opuestos que presentan 18 x = 180º ⇒ x = 10º en la suma un solo valorα + 95º = 180º ⇒ α = 85º Ahora reemplazamos este valor en desconocido, x.β + 80º = 180º ⇒ β = 100º cada expresión algebraica de cada 25 x + 80º = 180º vértice y los ángulos pedidos son: 25 x = 100º ⇒ x = 4º 100º, 120º, 80º y 60º. Ahora reemplazamos el valor hallado de x en la otra pareja de ángulos opuestos. 21x + β = 180º 21•4 + β = 180º 84 + β = 180º ⇒ β = 96º .4. α, β y γ están en la razón de 5. α = 2x+3; β = 2x; γ = 3x - 3 6. DC ≡ CB; DCB = ? 5 : 4 : 7. Hallar δ. Hallar δ. Solución:Solución: Solución: La figura se puede completar aα y γ son ángulos opuestos, por lo De la figura, nos sirve:tanto suman 180º. Además, están α + γ = 180ºentre sí en la razón 5 : 7. (2x+3) + (3x – 3) = 180º α + γ = 180º 5x = 180º ⇒ x = 36º 5p + 7p = 180º (donde p es cada parte) Ahora que conocemos el valor de x, 180º12p = 180º ⇒ p = = 15º. nos dirigimos a la pareja en donde 12 se halla el ángulo pedido.Ahora vamos a ver la pareja de δ + β = 180º Pues a lados congruentes seángulos opuestos a δ. oponen ángulos de igual medida. δ + 4x = 180ºδ + β = 180º Por lo tanto, el ángulo pedido es δ + 4 • 36º = 180º suplementario con 64º. Así,δ + 4p = 180º δ + 144º = 180º DCB + 64º = 180ºδ + 4 • 15º = 180º ⇒ δ = 120º δ = 180º − 144 = 36º ⇒ DCB = 116ºParinacota, Quilicura 2K09. 13
  14. 14. Prof. Guillermo Corbacho C.gcorbach@uc.cl7. α = 21º , γ = 63º . x = ? 8. x = ? 9. x = ?Solución: Solución: Solución: Solo tenemos que x es ángulox es ángulo exterior del triángulo, Análogo al anterior: interior entre las dos cuerdas, peropor lo tanto, equivale a la suma de 81º +134º 225º es suficiente. Su cálculo viene dado x = = = 112, 5ºlos dos ángulos interiores no 2 2 por el promedio de los arcos queadyacentes a el. “subtiende” el y su opuesto por elx = α + γ = 21º + 63º = 84º vértice. 161º +85º 246º x= = = 123º 2 210. APC = ? 11. α = ? 12. α = ? Solución: Solución:Solución: Esta vez conocemos el ánguloEl ángulo pedido tiene vértice en P interior. Su relación con las–el punto medio de la notación medidas de los arcos es quedel ángulo- y está entre A y C. equivale a su promedio. Es decir, α +130º 85º = 2 Ahora despejaremos α. Con los arcos dados, en principio 85º•2 = α +130º solo podemos calcular al ángulo x y su opuesto por el vértice, que se 170º −130º = α ha indicado en la figura. 40º = αSu cálculo viene dado por elpromedio de los arcos que x = 60º +70º = 130º = 65º“subtiende” el y su opuesto por el 2 2vértice. Pero x y α son ángulos adyacentes 103º +85º 188º suplementarios, por lo que:x= = = 94º x + α = 180º 2 2 65º +α = 180º ⇒ α = 180º −65º = 115ºParinacota, Quilicura 2K09. 14
  15. 15. Prof. Guillermo Corbacho C.gcorbach@uc.cl13. AB diámetro; α = ? ; β = ? 14. AB diámetro; DA ≡ BC . 15. γ = ? ; x =? ;δ = ? Si DA = 50º ; CD = ? ; α = ? Solución:Solución: Solución: γ = 90º por ser inscrito queEl diámetro AB divide a la ⊗ Teniendo presente que el subtiende un arco de mediaen dos arcos congruentes de diámetro define dos arcos de circunferencia.180º. circunferencia de 180º y que x es exterior del ∆BCP por loAquí tenemos algunas medidas DA ≡ BC con DA = 50º tanto, es igual a la suma de los dosde arcos, por lo que podemos s interiores no adyacentes a el. ⇒ BC = 50º Esto es, x = 40º + 90º = 130º.completar las semi ⊗ a 180º La figura puede completarse a:cada uno: Nos falta δ, el cual es suplementario con el ABC (por ser opuestos dentro de un cuadrilátero inscrito en una ⊗) Tenemos:Y por ser α ángulo interior: Y que α es ángulo interior –igual 40º +100º al promedio del arco queα= = 70º . “subtiende” el y su opuesto por el 2 vértice-, entonces: 180º+80º Completando s interiores en el α= = 130º . ∆ABC (para que su suma sea igual 2 a 180º) hallamos que: ABC = 60º ⇒ δ = 180º − 60º = 120º. También se podría lograr completando los ángulos interiores a 180º en el ∆ABP con lo que: ABP = 20º. y δ = 120º −(40+20)º = 180º − 60º = 120º.Parinacota, Quilicura 2K09. 15
  16. 16. Prof. Guillermo Corbacho C.gcorbach@uc.cl16. α :β = 5 :8. Hallar α y β. 17. α y βcumplen con: 18. Si α = 138º y β = 50º. α = 2 x − 3 y β = 3x + 1 . δ= ? Hallar α y β.Solución: Solución: Solución:α se compone de 5 partes (5p) y β α +β δ es ángulo exterior a lade 8 partes (8p). Además, 52º es el 49º = 2 circunferencia, por lo que seángulo interior de α y β. relaciona con α y β por la 2 x − 3+ 3 x +1 igualdad:Por lo tanto, 49º = 5 p + 8 p 13 p 2 α −β 138º −50º52º = = / •2 98º = 5 x − 2 δ= = 2 2 2 2 13 p 100º = 5 x 88º =104º = 13 p /:13 20º = x 2 8= p = 44º Reemplazando el valor de x en αFinalmente, y β obtenemos:α = 5p = 40º y β = 8p = 64º. α = 2 x − 3 = 37º β = 3x +1 = 61º19. α : β = 36 : 13. δ = 46. 20. PD ≡ DA. CA = ? 21. PA ≡ PC. BD = 53º α = ?; β =? δ =? ; CA = ? Solución: El ∆APD es isósceles, con: DAP = APD = 25ºSolución: Solución: α −β ⇒ ADP = 130º El ∆APC es isósceles, con:δ= 2 ⇒ CDA = 180º −130º = 50º CAP = ACP = 71º 36 p − 13 p 23 p ⇒ CA = 100 º ⇒ δ = 180º −142º = 38º46º = = •2 2 2 Además:92º = 23 p Usamos: - s basales CA − β92 δ= =p -Suma de s interiores en 223 ∆ADP. CA − 53º α = 36 p = 144º - s adyacentes suplementarios. 38º =p=4⇒ 2  β = 13 p = 52º También podíamos usar exterior a un ∆: 76º = CA − 53º ⇒ CA = 76º +53º DAP = APD = 25º = 129º y CA = 2 CDA (No es el único camino, también = 2 ( DAP + DPA ) se puede lograr completando ángulos y arcos en la figura). = 2 ( 25º +25º ) = 2•50º = 100ºParinacota, Quilicura 2K09. 16
  17. 17. Prof. Guillermo Corbacho C.gcorbach@uc.cl22. α = ?; β = ?; δ =? 23. α = ?; β =? 24. TP tangente. α = ?Solución: Solución: Solución: 100º −50º 50º 130º −64ºδ= = = 25º α +β  α= 2 2 2 = 98º  2  α + β = 196º  100º +50º 150º ⇒   74ºα= = = 75º α −β  α − β = 72º  = 2 2 = 36º 2 2  β = 105º s ady. suplentarios 2α = 268º ⇒ α = 134º = 37º ⇒ β = 62º25. TA diámetro, TP tangente. 26. α = ? 27. PT ≡ PQ. Si QT = 242º , Hallar γ, α y δ. Calcule el QPT. Solución: Solución: La figura se puede completar a:Solución: El ángulo exterior al triángulo esLa figura se puede completar a: igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a el. 48º +55º = 103º (ver sgte. figura) Y el arco subtendido siempre mide el doble que el ángulo inscrito que lo subtiende. Por lo tanto: α = 206º De donde: 242º −118º 124ºDonde: QPT = = 2 2α = 42º pues α + 48º = 90º = 62ºen ∆ABT. No solo en relación a este ejercicioγ = 2α = 84º por ser arco que en particular sino que en general,subtiende tal las tangentes trazadas desde unángulo inscrito. mismo punto a una misma circunferencia son SIEMPREδ = 48º pues δ + 42º = 90º congruentes.en ∆BPT.Parinacota, Quilicura 2K09. 17
  18. 18. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl Ángulos en la Circunferencia Listado Nº 3: Ejercicios (Propuestos)Nombre: ___________________________________ Curso: ______ Puntaje: ____En cada circunferencia, O es centro y AB es cuerda y si pasa por el centro, es a su vez diámetro.Mientras que AB es arco. Calcular en cada caso, las medidas que se indican. i) Dibujar sobre la ⊗: ii) α = ? iii) α = ? Una cuerda AB que coincida con un diámetro de la ⊗; Una cuerda CD que toque otros dos puntos de la ⊗; Una recta tangente PT , formando un ángulo de 90º con un radio OT ; Una recta secante L que corte a iv) AB = α = ? v) AB = 130º ⇒ γ = ?; δ = ? la ⊗ en dos puntos. vi) AB = α = ? vii) AB = α = ? viii) α = ? ix) α = ?, β = ? x) El decágono regular (polígono xi) La estrella tiene todos sus lados de 10 lados de igual medida) y ángulos inscritos de igual esta inscrito en la ⊗. medida. δ = ?; EHF = ?; α = ? γ = ?, δ = ?, α = ? xii) α = ?; x = ?; xiii) x = ? xiv) x = ? ABC = ?; CDA = ? Parinacota, Quilicura 2K09. 18
  19. 19. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl Ángulos en la Circunferencia Solucionario Listado Nº 3: Ejercicios PropuestosNombre: ___________________________________ Curso: ______ Puntaje: ____En cada circunferencia, O es centro y AB es cuerda y si pasa por el centro, es a su vez diámetro.Mientras que AB es arco. Calcular en cada caso, las medidas que se indican. i) Dibuja sobre la ⊗: ii) α = ? iii) α = ? Una cuerda AB que coincida con un diámetro de la ⊗; Una cuerda CD que toque otros dos puntos de la ⊗; Una semirecta tangente PT , formando un ángulo de 90º con un radio OT ; Solución: Solución: Una recta secante L que corte a α es un ángulo inscrito, por lo α es un ángulo del centro, por lo la ⊗ en dos puntos. tanto, mide la mitad que el ángulo tanto mide el doble que el ángulo del centro que subtiende el mismo inscrito que subtiende el mismo Solución: arco que el: arco que el: 144º α = 2 • 60 = 120º α= = 72º 2 iv) AB = α = ? v) AB = 130º ⇒ γ = ?; δ = ? En la figura, la recta L corta a la ⊗ en los puntos E y F. Además, toda recta tangente a una ⊗, forma un ángulo recto (90º) con el radio. En la figura: Solución: OT ⊥ PT . Todo arco de ⊗ SIEMPRE mide lo mismo que el del centro que lo Solución: subtiende. Por lo tanto: δ es un ángulo del centro que subtiende al AB , por lo tanto, AB = 160º O bien: α = 160º mide lo mismo que el. Es decir: δ = 130º. Mientras que todo ángulo inscrito mide la mitad que el arco que subtiende, es decir: 130º γ= = 65º 2 vi) AB = α = ? vii) AB = α = ? viii) α = ? Solución: Solución: Completamos los Solución: AD y DB forman El arco α mide lo mismo que el s adyacentes suplementarios (que media circunferencia, es decir 180º. del centro que lo subtiende y este a sumados dan 180º) hallando la Así, AD = 180º −68º = 112º su vez, el doble que el inscrito medida del inscrito de 65º. y α que subtiende al = 112º que subtiende al arco α. Es decir, El respectivo del centro y α es inscrito. Por lo tanto mide su α= del centro = 2•34º = 68º . miden su doble: α = 2•65º = 130º . mitad: α = 112º /2 = 56º . Parinacota, Quilicura 2K09. 19
  20. 20. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.clix) α = ?, β = ? x) El decágono regular (polígono xi) La estrella tiene todos sus lados de 10 lados iguales) esta y ángulos inscritos de igual inscrito en la ⊗. medida. δ = ?; EHF = ?; α = ? γ = ?, δ = ?, α = ?Solución: Solución: Solución:Todos los s inscritos que Cada vértice del decágono regular Cada vértice de la estrella dividesubtienden el mismo arco de ⊗ son divide los 360º de la circunferenciaiguales. Es decir, β = 21º. los 360º de la ⊗ en 5 arcos y en diez arcos y ángulos del centroY todo del centro que subtienda ángulos del centro congruentes. congruentes.el mismo arco de ⊗ que un 360º 360º Es decir, γ = = 72º .inscrito, medirá el doble que este. Es decir, δ = = 36º. 5 10Es decir, α = 2 • 21º = 42º. Entonces, el ángulo inscrito: Todo ángulo del centro tiene igual medida que el arco que subtiende, δ 36º por lo tanto: EHG = = = 18º. 2 2 δ = γ = 72º Y se puede observar que α equivale δ 72º a seis medidas de 18º. Es decir: Mientras, α = = = 36º . α = 6•18º = 108º . 2 2xii) α = ?; x = ?; xiii) x = ? xiv) x = ? ABC = ?; CDA = ?Solución: Solución: x es interior y su Solución: x es exterior a la ⊗ y su s opuestos en una ⊗ son medida queda determinada por: medida queda determinada por:suplementarios (sumados dan 180º) AB + CD 82º+ 66º 148º AB − CD 105º − 27º 78ºAsí pues, α + 100º = 180º ⇒ α= 80º x= = = x= = = 2 2 2 2 2 2A su vez, 6 x + 4 x = 180º = 39º = 74º 10 x = 180º ⇒ x = 18º⇒ ABC = 6 • 18º = 108º.⇒ CDA = 4 • 18º = 72º. Parinacota, Quilicura 2K09. 20
  21. 21. Prof. Guillermo Corbacho C.gcorbach@uc.cl Ángulos en la Circunferencia Listado Nº 4: Ejercicios PropuestosNombre: ___________________________________ Curso: ______ Puntaje: ____Ejercicios:Calcular las medidas de α y β según corresponda.1. α = ?; β =? 2. φ = ?; δ =? 3. β = ?; γ =?4. α = ?; β =? 5. α = ?; β =? 6. α = ?; β =?7. α = ? 8. α = ? 9. AT = 54°; con OT radio. y PT ⊥ OT. Entonces, α = ?10. α = ?; β =? 11. α = ? 12. α = ?; β =?Parinacota, Quilicura 2K09. 21
  22. 22. Prof. Guillermo Corbacho C.gcorbach@uc.cl13. AC es tangente a la ⊗ 14. α = ?; β =? 15. α = ?; β =? α = ?; β= ?16. α = ?; β =? 17. Si α = 130º , entonces β = ? 18. α = ?; β =?19. α = ?; β =? 20. α = ?; β =? 21. α = ?; β =?22. α = ? 23. α = ?; β =? 24. α = ?; β =?25. α = ? 26. PB es tangente. α =? 27. ABCDE es polígono regular. α =?Parinacota, Quilicura 2K09. 22
  23. 23. Prof. Guillermo Corbacho C.gcorbach@uc.cl Segmentos Proporcionales en la CircunferenciaDefinición:1. Se define llama “Potencia de un punto P ” respecto a la circunferencia, al número Pot(P), que se define como: Pot ( P) = PA • PB .Ejemplos: (las siguientes figuras no están a escala)i) Si PA = 3 y AB = 12. ii) Si PA = 4 y PB = 25 iii) P coincide con A. Pot (P ) = PA•PB AB = 17 Pot(P) = PA•PB = 3•( PA + AB ) = 4•25 Si P coincide con A: PA = 0 y PB = AB = = 3•( 3+12 ) = 100 17. = 3 • 15 Entonces: = 45 Pot ( P) = PA • PB = 0•17 =0iv) Sea P un punto exterior a v) Si P es punto interior a una ⊗ vi) Aún cuando los puntos una ⊗ de radio r. de radio r y a una distancia d de la cuerda no Y d la distancia que hay del centro de ella : coincidan con el diámetro, pero se de P al centro de la ⊗. mantiene el radio r de la ⊗ y la distancia d del punto P al centro, la potencia no varía. La potencia de P es: Pot ( P) = PA • PB Pot ( P) = PA • PB = ( r − d )( d + r ) = ( d − r )( d + r ) = − ( d − r )( d + r ) = d 2 − r2 = r2 − d 2 El teorema a continuación garantiza que: PC•PD = PA•PB2. Teorema de las CuerdasDada la siguiente figura de la derecha, se tiene que: ϕ = φ por ser s opuestos por el vértice. α = β por ser s inscr. que subtienden un mismo arco.Por criterio de semejanza ángulo- ángulo (A.A.) Se concluye que el ∆APC ∼ ∆BDP.Esto implica que podemos escribir la proporción: PA PC = PD PBEsto significa o nos dice que “Los segmentos de dos cuerdas que se intersectan al interiorde un circulo, son inversamente proporcionales”.Haciendo el producto cruzado, se obtiene: PA • PB = PC • PD .Lo que significa que “la potencia de un punto a través de una cuerda, es igual a lapotencia del mismo punto, a través de la otra cuerda”. Tal propiedad se denomina“Teorema relativo a la potencia de un punto interior a la circunferencia”.Parinacota, Quilicura 2K09. 23
  24. 24. Prof. Guillermo Corbacho C.gcorbach@uc.clMás conocido como “Teorema de las cuerdas”: “Si dos cuerdas de una ⊗ se intersectanen un punto P, el producto de las medidas de los segmentos definidos en una cuerda, esigual al producto de las medidas de los segmentos definidos en la otra cuerda”.Ejemplos: (las siguientes figuras no están a escala)i) PA = 16; PB = 2; ii) Hallar PD si: iii) Hallar x = PC si: PC = 8; PD = 4. PA = 5; PB = 12; PC = 3. AP = 3; PB = 8; PD = 4.El teo. de las cuerdas nosmuestra que: Por teo. de las cuerdas: Por teo. de las cuerdas:PA•PB = PC•PD PA•PB = PC•PD PA•PB = PC•PD 16 •2 = 8•4 5•12 = 3•PD 3•8 = PC•4 60 24 32 = 32 = PD ⇒ PD = 20 = PC ⇒ PC = 6 3 43. Es importante tener presente también, que “toda cuerda que pase por el centro de la circunferencia divide en dos partes iguales a todo segmento rectilíneo perpendicular a ella. Además, la intercepción con tal trazo rectilíneo biseca al ángulo del centro”. Lo que se quiere indicar es, que dada una figura como la siguiente: Tenemos: AD = DB ; µ =ϕ ; AE = EB ; Además de lo más obvio, ∆OAB es isósceles, pues: OA y OB son congruentes (radios de la ⊗) . ⇒ OAB = OBA ( s basales del ∆).Ejemplos: (las siguientes figuras no están a escala)i) Hallar x si: PA = 3; ii) Hallar x y CD si: iii) Hallar x y AB si:PB = PO + OB = (12 +15 ) = 27 OC = 10; PD = 4; PA = PB = xy PC = PD = x Primero identifiquemos los segmentos: Por teo. de las cuerdas:El diámetro AB es El radio mide 13. PA•PB = PC•PDperpendicular a la cuerda CD , PA = r + OP x • x = ( PO + OC )•4por lo tanto, dimidia a esta = 13+ ( r − 8 ) ; r radioultima. Es decir, CP = PD y x 2 = (10 − 4 ) +10 •4por el teo. de las cuerdas: ( ) = 13+ 13 − 8 = 26 − 8 = 18  PA•PB = PC•PD PB = 8, PC = PD = x . x 2 = [16 ]•4 3•27 = x• x Y por teo. de las cuerdas: = 64 PA•PB = PC•PD 81 = x2 / ⇒ x=8 18•8 = x• x 9= x ⇒ AB = 2 x = 16 144 = x2 / 12 = x ⇒ CD = 2x = 24Parinacota, Quilicura 2K09. 24
  25. 25. Prof. Guillermo Corbacho C.gcorbach@uc.clLos ejercicios anteriores se pueden resolver también, combinando el teorema de las cuerdascon la potencia de un punto P interior a una ⊗. Veamos:La expresión hallada para la Pot(P) en el interior de una ⊗ fue: Pot ( P) = r 2 − d 2Veámoslo:(Las siguientes figuras no están a escala)i) Hallar x si: PA = 3; ii) Hallar x y CD si: iii) Hallar x y AB si: PB = PO + OB = (12 +15 ) = 27 OC = 10; PD = 4; PA = PB = xy PC = PD = x Primero identificamos: − El radio: r =13. Primero identificamos:− El radio es r = 15. − De B a P tenemos 8, por lo − El radio: r =10.− La distancia de P al centro tanto faltan 5 para alcanzar − De D a P tenemos 4, por lo es d = 12. la medida del radio igual a tanto faltan 6 para alcanzar− Luego, por potencia de un 13. la medida del radio igual a pto. interior a una ⊗: ⇒ La distancia del punto P 10.Pot ( P) = r 2 − d 2 al centro de la ⊗ es: ⇒ La distancia del punto P d = PO = 5. al centro de la ⊗ es: = (15 ) − (12 ) 2 2 − Luego, por potencia de un d = PO = 6. = 225 − 144 pto. interior a una ⊗: − Luego, por potencia de un = 81 Pot ( P) = r 2 − d 2 pto. interior a una ⊗:Y por teo. de las cuerdas: Pot ( P) = r 2 − d 2 = (13) − ( 5 ) 2 2PC•PD =81 = (10 ) − ( 6 ) = 169 − 25 2 2x 2 = 81 ⇒ x = 9 = 144 = 100 − 36 − Y por teo. de las cuerdas: = 64 PC•PD =144 − Y por teo. de las cuerdas: x• x = 144 PA•PB =64 x 2 = 144 ⇒ x = 12 x• x = 64 ⇒ CD = 2 x = 24 x 2 = 64 ⇒ x = 8 ⇒ AB = 2 x = 16Parinacota, Quilicura 2K09. 25
  26. 26. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl Relaciones métricas en la Circunferencia Listado nº1: Ejercicios PropuestosRelativo a teoremas de: Potencia de un punto; las cuerdas; diámetro y radio dimidiando perpendicularmente una cuerda;Nombre: __________________________________ Curso: ______ Puntaje: ____EjerciciosHalle en cada ejercicio el valor faltante indicado por su respectivo enunciado.1. Si PA = 3 y PB = 11 2. P punto medio de AB . 3. PA = 6 y AB = 24 ; Halle la Pot(P) = PA • PB Si PA = PB = 7. La Pot(P) = ? La Pot(P) = PA • PB = ?4. u = ? 5. v = ? 6. x = ?7. x = ? 8. y = ? 9. z = ?10. x = ?; CD = ? 11. y = ?; AB = ? 12. z = ?, CD = ? Parinacota, Quilicura 2K09. 26
  27. 27. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl13. x = ? 14. y = ? 15. z = ?16. x = ? 17. x = ? 18. z = ?19. x = ? 20. y = ? 21. z = ?22. AB diámetro. Si PA = 9; 23. AB diámetro. 24. AB diámetro. PB = 4 y PD = 6. s = ? PA = 3 y PB = 27. u = ? PA = 2 y PB = 8. v = ?25. OA radio de la ⊗ . 26. OA radio de la ⊗ . 27. OB radio de la ⊗ . OP = 5 y PA = 8. s = ? OP = 6; PA = 4. CD = ? PB = 9; OP = 8. CD = ? Parinacota, Quilicura 2K09. 27
  28. 28. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl Relaciones Métricas en la Circunferencia Solucionario Listado Nº 1: Ejercicios PropuestosRelativos a teoremas o propiedades de: Potencia de un punto; las cuerdas; el diámetro y radio dimidiando perpendicularmente una cuerda;Ejercicios: Halle en cada ejercicio el valor faltante indicado por su respectivo enunciado.1. Si PA = 3 y PB = 11 2. P punto medio de AB . 3. PA = 6 y AB = 24 ; Halle la Pot(P) = PA • PB Si PA = PB = 7. La Pot(P) = ? La Pot(P) = PA • PB = ? Solución:Solución: Pot(P) = PA • PB = 7 • 7 = 49 Solución: Pot(P) = PA • PB = 3 • 11 = 33 Pot(P) = PA • PB = 6 • (6+24)= 6 •30 = 1804. u = ? 5. v = ? 6. x = ?Solución: Solución: PA•PB = PC•PD PA•PB = PC•PD PA•PB = PC•PD 4• x = 8•6  48 8•4 = 2•u  32 6•7 = 4•v  42 ⇒ x= = 12 ⇒u = = 16 ⇒u = = 10, 5 4 x = 48  4 32 = 2u  2 42 = 4v  47. x = ? 8. y = ? 9. z = ? x•10 = 5•11 55 8 y = 6•9  54 27 3 z = 5•4  20 ⇒ x= = 5, 5 ⇒ x= = ⇒ z = 10 x = 55  10 8 y = 54  8 4 3 z = 20  310. x = ?; CD = ? 11. y = ?; AB = ? 12. z = ?, CD = ? 2 3 6•14 9 • 2 = 3y ⇒ y = 9 •2 =6 5 z = 3•15 ⇒ z = 9 6•14 = 7 x ⇒ x = = 12 17 13 Parinacota, Quilicura 2K09. 28
  29. 29. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl13. x = ? 14. y = ? 15. z = ?x•3 x = 25•12 3 y2 = 12•16 4 z2 = 27•12 4 4 12 •16 3 25•12 2 27•12⇒ x2 = = 100 / y2 = = 64 / z = = 81 / 13 13 14 x = 10 y =8 z =916. x = ? 17. x = ? 18. z = ?x ( x + 4 ) = ( x + 2 )( x +1) ( y + 2 )( y + 2 ) = ( y + 5) y ( z + 3)( z + 4 ) = ( z + 9 ) zx 2 + x 4 x = x 2 + ( 2 +1) x +2 y 2 +0x 4 y + 4 = y 2 + 5y z 2 +0x 7 y +12 = z 2 + 9 z 2z 1y 3x 0x 4= y 12 = 2 z x=2 6= z19. x = ? 20. y = ? 21. z = ?(2 x + 3)( x + 4 ) = ( x + 6 )(2 x +1) (2 y +1)( y + 6 ) = ( y + 5)(2 y + 2 ) ( 3z − 2 )( z +1) = ( z − 1)( 3z + 5)2 x 2 +11x +12 = 2 x 2 +13 x + 6 2 y 2 +13 y + 6 = 2 y 2 +12 y +10 3z 2 + z − 2 = 3z 2 + 2 z − 5 6 = 2x y=4 3= z 3= x22. AB diámetro. Si PC = 7; 23. AB diámetro. 24. AB diámetro. s=? PA = 3 y PB = 27. u = ? PA = 6 y OB = r = 15. CD = ? La perpendicular que viene PA•PB = PC•PD En esta ocasión usaremos: desde el centro siempre divide una cuerda por la mitad. 3•27 = u2 PC•PD = r 2 − d 2 Por lo tanto, s = 7. 81 = u 2 s2 = (15 ) − ( 9 ) = 225 − 81 = 144 2 2 9=u ⇒ s = 12 ⇒ CD = 2 s = 24 Parinacota, Quilicura 2K09. 29
  30. 30. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl25. AB diámetro. PO = 5; 26. AB diámetro. 27. AB diámetro. PA = 8 s = ?; CD = ? PO = 10; PA = 6. CD = ? PB = 9; OP = 8; CD = ?Primero identificamos: Primero identificamos:− El radio: r = AO = 8 + 5 = 13. − El radio: r = AO = 2 + 8 = 10. Primero identificamos:− La distancia d de P al centro − La distancia d de P al centro − El radio: r = AO = 8 + 9 = 17. de la ⊗ es 5 ⇒ PO = d = 5. de la ⊗ es 6 ⇒ PO = d = 8. − La distancia d de P al centro de− Luego, por potencia de un pto. − Luego, por potencia de un la ⊗ es 8 ⇒ PO = d = 8. interior a una ⊗: pto. interior a una ⊗: − Y por potencia de un pto. Pot ( P) = r 2 − d 2 interior a una ⊗:Pot ( P) = r 2 − d 2 Pot ( P) = r 2 − d 2 = (10 ) − ( 8 ) 2 2 = (13) − ( 5 ) 2 2 = (17) − ( 8 ) 2 2 = 169 − 25 = 100 − 64 = 36 = 289 − 64 = 144− Y por teo. de las cuerdas: − Y por teo. de las cuerdas: = 225PC•PD =144 PC•PD =36 − Finalmente, por teo. de las s•s = 144 u •u = 36; u = PC = PD cuerdas: u 2 = 36 ⇒ u = 6 Sea x la medida de CP = PD s 2 = 144 ⇒ s = 12 ⇒ PC•PD = 125 ⇒ CD = 2 s = 24 ⇒ CD = 2u = 12 x• x = 125 x 2 = 125 ⇒ x = 15 ⇒ CD = 2 x = 30 Volviendo con puntos de contenidos,… 4. Teorema de las Secantes Dada la siguiente figura de la derecha, se puede probar que: PA • PB = PC • PD . Que es la misma expresión que teníamos para la igualdad de potencias de un punto en dos cuerdas, pero esta vez, como muestra la figura, será en dos secantes. Veamos: En la figura, tenemos el ∆PAD y el ∆PCB. En ellos: β = δ por ser s inscritos que subtienden el mismo arco de ⊗. Además comparten el φ , por estar este ángulo en ambos ∆s. Luego, por criterio de semejanza: ángulo – ángulo (A.A) se concluye que: El ∆APC ∼ ∆BDP. Esto implica que podemos formar la proporción: el lado exterior a la ⊗ del ∆PAD el lado exterior a la ⊗ del ∆PCB = el lado secante del ∆PAD el lado secante del ∆PCB PA PC = PD PB Parinacota, Quilicura 2K09. 30
  31. 31. Prof.: Guillermo Corbacho C. Y efectuando el producto cruzado, obtenemos: PA • PB = PC • PD Así como esta expresión en dos cuerdas se conoce como teorema de las cuerdas, nos resulta obvio entonces, la denominación de esta expresión en dos secantes. “Teorema de las secantes” y que se puede enunciar así: “Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de la medida de una secante por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su respectivo segmento exterior” De aquí surgen una serie de ejercicios, de los cuales ilustraremos en principio, algunos a modo de ejemplos: Ejemplos: (las siguientes figuras no están a escala)i) Si PA = 4; AB = 5; ii) PC = 3; CD = 27; PB = 15 iii) PA = 6; PC = 8; CD = 10 y PD = 12; PC = x = ? PA = x = ? AB = y = ? Por teo. de las SECANTES: Por teo. de las SECANTES:Por teo. de las SECANTES: PA•PB = PC•PD PA•PB = PC•PD PA•PB = PC•PD x •15 = 3•( 3+ 27) / :12 6 ( y + 6 ) = 8 ( 8 +10 ) / :124 •( 4 + 5 ) = x•12 / :12 30 •18 4•9 =x 15 x = 90 / :15 6 y + 36 = 144 12 36 90 6 x = 144 − 36 = 108 / : 6 =x x= 12 15 108 x= = 18 3= x x=6 6 Parinacota, Quilicura 2k09
  32. 32. Prof.: Guillermo Corbacho C. 5. Teorema de la secante con la tangente. Si los dos puntos con que una secante corta a la circunferencia tuviesen libertad de moverse, uno hacia al otro y en la misma circunferencia, tendríamos una situación como la siguiente: Las situaciones inicial e intermedia se conocen, como hemos visto, por teorema de las secantes. La situación final nos queda con una sola secante y un segmento tangente debido a que C y D ocupan el mismo espacio. Es decir, son el mismo punto geométrico. Debido a esto, es que podemos reemplazar en el teorema de las secantes, a D por C (o viceversa) quedándonos la expresión matemática: PA • PB = PC 2 Conocida como “Teorema de la secante con la tangente”. Es frecuente que este teorema se presente gráfica y algebraicamente como: PA • PB = PT 2 6. Teorema de la tangente con la 7. Dos cuerdas congruentes tienen igual tangente distancia al centro de la circunferencia. “Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos tangentes a ellas, entonces los segmentos de las tangentes son congruentes” AB ≅ CD ⇒ MO = ON PT1 ≅ PT2 Además, OP biseca los s del centro y del vértice.Parinacota, Quilicura 2k09
  33. 33. Prof.: Guillermo Corbacho C. 8. Cuadrilátero Circunscrito 9. Teorema de Ptolomeo Un cuadrilátero cuyos lados son Recordemos que, un cuadrilátero se dice que todos tangentes a una circunferencia está inscrito a una circunferencia si todos sus se dice que está circunscrito o es vértices se hallan sobre la misma. circunscriptible a ella. Siendo así, Ptolomeo de Alejandría presentó en su libro “Almagesto” 150 D.C. que: Ahora bien, en todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la “En todo cuadrilátero inscrito en la suma de dos lados opuestos es igual circunferencia, el a la suma de los otros dos lados producto de las opuestos. diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuesto” En la figura: a, b, c y d son segmentos de los lados del cuadrilátero, d1 y d2 sus diagonales. d1•d 2 = ac + bd Ejemplo: AB + CD = BC + DA En el trapecio ( a + b ) + ( c + d ) = ( b + c ) + ( d + a ) isósceles ABCD las En la figura: a, b, c y d son diagonales d1 y d2 segmentos de los lados del son iguales ¿Cuánto cuadrilátero. mide cada una? Ejemplo: Solución: d1•d 2 = ac + bd con d1 = d 2 5 ( d1 )2 = 2•2 + 3• = 4 + 5 = 9  d1 = d 2 = 3 → 3 Cada diagonal mide 3. El teorema de Ptolomeo se reduce a lo más, a una curiosidad en la actualidad. AB + CD = BC + DA 30 + 24 = 22 + 32 54 = 54 10. Teorema Particular de Pitágoras “En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.” La figura ilustra además, como el teorema de Pitágoras se presenta y visualiza en torno a una circunferencia.Parinacota, Quilicura 2k09
  34. 34. Prof.: Guillermo Corbacho C. Ejercicios de Aplicación del teorema particular de Pitágoras(Las siguientes figuras no están a escala)i) r = ? ii) r = ? iii) r = ?Hint. : Usar teo. de Pitágoras y secante con tagente.Solución: Solución: Solución:Aplicando Pitágoras en ∆PTB, Por Pitágoras en ∆PTB: Por Pitágoras en ∆PTB:rectángulo en T. Tenemos: PB2 = PT2 + TB2 PB2 = PT2 + TB2 2 2 2PB = PT + TB Y por teo. secante con tangente:: Y por teo. secante con tangente::Y aplicando teo. secante con PB2 = PA•PB + TB2 PB2 = PA•PB + TB2tangente en esta igualdad,obtenemos: Reemplazando los valores: Reemplazando los valores:PB2 = PA•PB + TB2 2 2         10 + 8  = 10  10 + 8  + BT2  75 + 25  = 75  75 + 25  + BT2Reemplazando valores:          18   18   100   100  2    324 = 180 + BT 212 + 4  = 12 12 + 4  + BT2 10.000 = 7.500 + BT 2    16   16  ⇒ BT 2 = 324 − 180 ⇒ BT 2 = 10.000 − 7.500 256 = 192 + BT 2 = 144 / = 2.500 / ⇒ BT 2 = 256 − 192 ⇒ BT = 12 ⇒ BT = 50 = 64 BT 12 BT 50 ⇒r= = =6 ⇒r= = = 25 ⇒ BT = 8 2 2 2 2 BT 8 ⇒r= = =4 2 2 Parinacota, Quilicura 2k09
  35. 35. Prof.: Guillermo Corbacho C. Relaciones Métricas en la Circunferencia Listado nº 2: Ejercicios PropuestosNombre: __________________________________ Curso: ______ Puntaje: ____Ejercicios: (Las siguientes figuras no están a escala)1. Si PA = 4; AB = 5; PD = 20 2. PA = 6; AB = 8; PD = 12 3. PA = 10; CD = 38; PC = 12 PC = x = ? PC = y = ? CD = z = ?4. PA = 5; AB = 19; PC = 6 5. PA = 4; AB = 21; PT = x = ? 6. PA = 4; AB = 5; PT = y = ? CD = u = ?; PC = ?7. PD = ? y QT = ? 8. PA = ? y QT = ? 9. x = ?; PA = ?; PB = ?; PC = ?10. x = ?; Pot(P) = ? 11. ¿Cuánto mide la tangente PT ? 12. PT1 y PT2 son tangentes. PT2 = x = ?13. AB = 29; BC = 23; CD = 20 14. x = ? 15. PA = 6; AB = 2; r = ? AD = ? Hint.: Usar teo. de Pitágoras y secante con tangente. Parinacota, Quilicura 2k09
  36. 36. Prof.: Guillermo Corbacho C. Relaciones Métricas en la Circunferencia Solucionario Listado nº 2: Ejercicios PropuestosNombre: __________________________________ Curso: ______ Puntaje: ____Ejercicios: (Las siguientes figuras no están a escala)i) Si PA = 4; AB = 5; PD = 20 ii) PA = 6; AB = 8; PD = 12 iii) PA = 10; CD = 38; PC = 12 PC = x = ? PC = y = ? CD = z = ?Solución: Solución: Solución: PA • PB = PC • PD PA • PB = PC • PD PA • PB = PC • PD4 ( 4 + 21) = 20 x 6 ( 6 + 8 ) = 12 y 10 (10 + 38 ) = 12 ( z +12 ) / :12 25 14 48 100 = 20 x ⇒ x = 100/20 = 5 84 = 12 y ⇒ y = 84/12 = 7 4 10• 48 = z +12 ⇒ z = 40 − 12 = 28 1 12 40iv) PA = 5; AB = 19; PC = 6 v) PA = 4; AB = 21; PT = x = ? vi) PA = 4; AB = 5; PT = y = ? CD = u = ?; PC = ? Solución: Solución: PA • PB = PT PA • PB = PTSolución:PA • PB = PC • PD 4 ( 4 + 21) = x 2 4 ( 4 + 5) = y 25 ( 5 +19 ) = 6 ( 6 + u ) / :6 25 9 24 100 = x 2 / 36 = x 2 / 4 10 = x 6=x5• 24 = 6 + u ⇒ u = 20 − 6 = 14 16 20 Parinacota, Quilicura 2k09

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