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CÁLCULO

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1056 Cálculo

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Figura 15.5.2

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Cálculo

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Figura 15.5.4

DOMÍNIO DA TECNOLOGIA

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computacionals possui uma capaci-
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1060 Cálculo

 

Figura l5.5.5

Figura 15.5.6

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Capítulo 15 I lntegrais Múlliplas lül

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1062 cálculo

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Figura 15.5.8

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9-12 Calcule a integral tripla. 

9. [ff xy sen yz dV onde G é a caixa rctangular definida pelas
delsigualdades 0 S x S 71....
1064 Cálculo

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do G é definido como

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Cálculo

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Apostila - Integral duplas

Apostila - Integral

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Apostila - Integral duplas

  1. 1. CÁLCULO Volume l| P’, 8‘? Edicáo
  2. 2. INTEGRAIS IVIÚLTIPLAS l‘: ‘L k - y I‘ I I l 7xx “a el _ v ‘ vi- fl‘ . f Pai; a; (‘oisas dem» mundo este capítulo ampliaremos o conoeito de integral definida para funoóes de dues o trás naa podem ser ¡‘avaladas variávels. Enquanto as funqóes de urna variával año, geralmente, integradas em inter- sem um conheeinremo tratos, as funqóes de dues varáveis sáo usualmente integradas em regióes do espaqo de zllaremárica. bidímensional e as tungóes de trás variáveis em regióes do esposo tridimensional. 0 cálculo de _ Roger Bacon tale lntegrals requer algumas técnicas novas que serio o foco central deste capitulo. Uma vez que tenhamos desenvolvido os métodos básicos para integrar funoóes de duos e trés variáveis, mostraremos como essas integrais podem ser usadas para calcular áreas de superficies e volu- mes de sólidos; e mostraremos, também, como alas podem ser usadas para determinar massas e centros de gravldade de chapas planas e sólidos tridimenaionaís. Alem do nosao estado de integraqáo. generalizaremos o conoeito de curva paramétrica no espaoo tridimensional para o de superficie paramétrica no especo tridimensional. Isso nos permitirá trabalhar oorn uma varieda- de maior de superficies do que era possivel anteriormente e proporcionará uma ferramenta po- derosa para gerar superficies usando computadores e outros recursos oomputacionais gráficos. Matemática e Cientista Foto: Os métodos de integracáo estudados neste capítulo sfio necessários para encontrar a área de superficies comple- xas como as utilizadas no projeto do Aeropono Internacional de Denver, nos EUA. 1 5.1 INTEGRAIS DUPLAS A Mogán de integral definida pode ser estendida para flzngñes de duas ou mais VIIÏÍÚVBÏS. Nesm seqüo, discuriremos a integral dupla, que e’ a exrenstïo para funcóes de duos variátteís. " VOLUME Lcmbrc-sc que a integral definida de uma fungáo de uma variávcl h Il Il f'(x) dx = lim f(x'_‘)Ax4 = lim f(. tÏ)Ax. (l) a maxAn-«Okg k A n-—>+xg k k originou-sc do problema da determinagao de áreas sob curvas. [Na exprcssáo t‘: dircita cm (l), usamos o “limite quando n —> +06” para sintetizar o processo pelo qual aumentamos o número de subíntervalos de [a, b] de tal modo que os compnmentos dos subintcrvalos lendam a zero] As integrais das fungües de duas variáveis originam-se do problema da delemtinacño de volumcs sob superficies:
  3. 3. Figura l5.l. l Capítulo 15 I lntegrais Múltiplas 1019 l5.l. l 0 PROBLEMA no VOLUME Dada uma funcáo f de duas variáveis, contínua e nao- negativa numa regiáo R do plano xy, encontrar o volume do sólido compreendido entre a superficie z = f(x, y) e a regiño R (Figura l5.l. l). Adiame, adicionarcmos mais restricücs á rcgiáo R, mas por enquanto vamos supor (ao-so- mente que a regiáo inteira possa ser envolvida por um relángulo apropriadamente grande cujos lados sejam paralelos aos ei xos coordenadas. lsto asscgura que R nao se estende inde- finidamente em qualquer direqáo. O procedimento para calcular o volume V do sólido da Figura IS. l . l é similar ao pro- cesso limitante usado para detenninar áreas, exceto que, agora, os elementos de aproximaeïto sao paralelepípedos rectangulares em vez de retángulos. Procedemos como segue: o Usando tetas paralelas aos eixos coordenadas, divida o retángulo que envolve a re- giáo R em sub-retángulos e cxclua das considcraqócs todos os sub-retángulos que contenham quaisquer pontos fora de R. Sobram soInente relángulos que sao subcon- juntos de R (Figura IS. l .2). Suponha que haja n clesscs sub-retángulos e denota a área do k-ésiIno relángulo por AA , ,. o Escolha um ponlo arbitrario cm cada sub-retángulo e denote o ponlo do k-ésimo sub- retángulo por (xz, yz). Como mostrado na Figura l5.l.3. o produto f (xz. yDAAk é o volume de um paralclcpípcdo retangular com área da base AA, c altura f (xg. yz‘), de modo que o somatório Il Z f(x; . yzmAt A'= l pode ser considerado como uma aproximaqáo do volume V do sólido inteiro. o Há duas fontes de erro na aproximacáo: em primeiro lugar, os paralelepípedos tém topo plano, enquanto que a superficie z = f(x, y) pode ser curva; em segundo lugar, os retángulos que formam as bases dos paralelepípedos nao cobrem completamente a regiáo R. Entrctanto, se repetimos o proccsso acima com cada vez mais subdivi- sóes, de modo que tanto os comprimentos quanto as larguras dos retángulos da base tendam para zero, cnláo ó plausível que os crros de ambos tipos tendam para zero e o volume exato do sólido seja n—>+z Il V = lim zfoqyypa/ a, L= l Área AAk m V (l; Área AA, Figura 15.1.2 Figura 15.1.3 Essa fórmula sugcre a dofiniqáo scguinte.
  4. 4. 1020 Cálculo Apesar da Definigáo 15.1.2 ser sa- tíslatóría para nossos propósitos atuais, há vários problemas que preeisam ser resolvidos antes que possa ser considerada como uma definiqáo matemáticamente rigurosa. Por example, tertamos de provar que o limite existe realmente e que seu valor independede como os pontos (af. yf). (x5, yg). . . . . (x, *,. yg) sao esoolhidos. Prova-se que isso á ver- dadelro se a luneao f lor contínua na ragiáo F? e se esse regiáo nao lor muito ‘complicada’. Os detalhes es- capam ao escapo deste llvro. 15.1.2 DEI-‘¡NICÁO (Volume sab uma Superficie) Se f é uma funeáo de duas vaiiáveis, contínua e nao-negativa numa regiáo R do plano xy, entáo o volume do sólido compreendido entre a superficie z = _f(. r, y) e a regiáo R é definido por n-v-Q-oo Fl V = lim zfoq, y, f)AAk (2) K= I Aqui, n —> +9: indica o proccsso de aumentar o número de sub-retángulos do retángulo que envolve R de tal modo que tanto os eomprimentos quanto as larguras dos sub-relan- gulos tendam a zero. Supóe-se na Delinieáo IS. l .2 que f seja nao-negativa na regido R. Se f lor contínua em R e possuir tanto valores positivos como negativos, entzïo o limite n-w +2 lim z f(. r;‘. yDAAk (3) L= I nïto representa mais o volume entre R e a superficie z = f(. r, y); representa, sim, uma diferen- ea de volumes — o volume entre R e a parte da superficie acima do plano n‘ menos o volume entre R e a parte da superficie abaixo do plano xy, Chamamos essa diferenea de volume líqui- da com sinal entre a regiáo R e a superficie z = fu". y). I DEFINIGÁO DE UMA INTEGRAL DUPLA A notaeáo n —> +m em (3), da mesma forma que na Detinieát) 15. l .2, eontem todo o proces- so pelo qual o retángulo que envolve a regiíio R é. repetidamente, subdividido de tal modo que tanto os eomprimentos quanto as larguras dos sub-retángtilos tendam a zero. Note que, subdividindo de tal modo que os comprimentos dos sub-retangulos tendam a zero, forgamos a norma da partiqáo do comprimento do retángulo que envolve R tender a zero. Analogamen- te, subdividindo de tal modo que as larguras dos sub-retángultss tendam a zero, forqamos a norma da partiqño da largura do rctángulo que envolve R tender a zero. Assim, estendemos o COIICCÍIO transmitido pela Fónnula (l), em que a integral definida de uma funqát) de uma vari- ável é expressa como um limite de somas de Riemann. Por cxtensïto, as somas em (3) também sáo denominadas sumas de Rienzaim e o limite das somas de Riemann e denotado por [f m, y)dA = "mares, ytmAl <4) R = que é denominada integral dupla de fu, y) em R. Se f for contínua e nao-negativa na regiño R, entáo a Fórmula (2) do volume pode ser CXPÏÜSSÉ] COÍÜÓ v = f] m, ym (s) R Se f possui tanto valores positivos como negativos em R. entño um valor positivo para a integral dupla de f em R significa que ha mais volume acima do que abaixo de R; um valor negativo para a integral dupla significa que há mais volume ahaixo do que acima de R; e o valor zero significa que o volume acima é igual ao volume abaixo de R. I CÁLCULO DE INTEGRAIS DUPLAS Com exeeeáo dos casos mais simples, é impratieável obter o valor de uma integral dupla pelo limite (4). Entretanto. vamos mostrar. agora, como calcular intcgrais duplas através do cálcu-
  5. 5. capítulo 15 / Integrate Múltiples 1021 lo de duas integrais simples sueessivas. No restante desta seeao, vamos limitar nossa discus- sao ao caso em que R é um retángulo; na próxima secáo, eonsideraremos integrais duplas em regióes mais complicadas. As derivadas pareiais de uma fungáoflx, y) sao calculadas mantendo-se uma das varia- veis fixa e difereneiando em relacüo a outra variável. Consideremos o inverso deste processo, integragña parcial. Os simbolos b (I fflxuüdx e fftxaüd)‘ denotam íntegrais definidas parciaís; a primeim integral, chamada integral definida parcial em relagáa a x, e calculada mantendo y fixo e integrando em relaeáo a x e a segunda integral, ehamada integral definida parcial em relagño a y, é calculada mantendo x fixo e integrando em relagáo a y. Como mostra o exemplo a seguir, a integral definida parcial em relagáo a x é uma funcao de y e a integral definida parcial em relaqño a y e uma funcáo dc x. t» Exemplo 1 l l .2 2 l .2 f = y: j = u] = >_ o o 2 x=0 2 flxïzdr -xj>¡ YZÍIÏ ‘ xïïll ’ x o ' o ' 3 _'=0 3 Uma integral definida parcial em relaqíio a x tí uma fungño de y e, portanto, pode ser in- tegrada em relacfio a y; de modo similar, uma integral definida parcial em relacao a y pode ser integrada em relagáo a x. Esse processo de integraqáo em dois estágios e ehamado integragáa iterada (ou repetida). Introduzimos a seguinte notacáo: 11 b d I) [ff(x. y)dxdy= f[ ftxoüdx] d)’ (6) b d b (I f f(X-)-')d)-‘dX= f [ foayidy] dx <7) Essas integrais sao chamadas integrais ileradas. t> Exemplo 2 Calcule 3 4 4 3 (a) ‘Á/ LMO-Zxyfllywlx (b) jg/ ‘MO-Zxyflixdy‘ Solugrïo (a) 3 4 3 4 f Í (40—2xy)dy‘dx = j (40—Zxy)dy': | dx l 2 l 2 3 1 4 = j <40y—x. v->], :, dx ¡ . 3 = f [(l60— 16x) — (80—4x)]d. r l .1 = f (80- llr)dx I = (80x — 6x61‘: = ll2
  6. 6. 1022 Cálculo n N lI I I») H .4 zltx) = 80 - IZ Í; Aty) = 80- 8y Figura l5.l.5 Multas-vezes. para simplificar. deno- tarnos o refingulo _l(x. y)Z-_= ,a sx sbmsysdl parla. b] x [cad]. 4 3 4 3 Á _/ ;(40—2xy)dxdy= j: (4o—2xy)d. r]dy» 4 7 3 = Á (40x-x‘yv')]x= ¡ dy -4 = l(l20-9y)-(40->°)Jd>' 4 = (80- andy = (80y 433)]: = ll2 < Nao e por acaso que ambas partes do Exemplo 2 tenham produzido a mesma resposta. Considere o sólido S limitado acima pela superficie z = 40 - 2xy e abaixo pelo retángulo R definido por l 5 x 5 3 e 2 5 y 5 4. Pelo método de fatiamento discutido na Seqao 7.2 do Volume l. o volume de S e’ dado por 3 V= / A(x)dx l onde A(x) é a area da secáo transversal vertical de S tomada perpendieularmente ao eixo x (Figura lS. I .4). Para um valor fixado de x, com l 5 x 5 3. z = 40 — 2xy é uma funeáo de y, portanto a integral 4 A(x) = f (40 — 2ry)dy 2 representa a área sob o gráfico dessa funcïto de y. Assim, 3 4 .1 4 V= /l (40-—2xy)dy] dx= jg f2(4O—2xy)dydx é o volume de S. Analogamente, pelo método de latiamento com secóes transversais verticais de S tomadas pcrpendicularmcnte ao eixo y, o volume de S e dado por 4 4 3 4 3 V = f A(_v)dy = Í (¿lO-Zxyvwx] dy :1. Í (40-2xy-')d. rdy' 2 2 l 2 I (Figura l5. l .5). Assim, ambas integrais iteradas em (a) e (b) do Exemplo 2 medem o volume de S que, pela Fórmula (S), é a integral dupla de z = 40 — 2xy em R, ou soja, 3 4 4 3 f j; (40—2xy)dydx= ‘/‘/ (40—2x_v)dA= /; _/ (40—2x_‘)dxdy' l l R O argumento geométrico que acabamos de apresentar pode ser aplicado a qualquer fun- qáo contínua f (x, y) que seja nao-negativa num retángulo R = [a, b] x Ic, d], como foi o caso de f (x. y): 40 — Zxy em [l. 3] x [2, 4]. A conelusáo de que a integral dupla de f (x, y) em R tenha o mesmo valor em qualquer uma das duas possíveis integrais iteradas é verdadeira mes- mo se f for negativa em alguns pontos de R. Enunciamos esse resultado no teorema a seguir, sem apresentar uma prova formal. 15.1.3 TEOREMA Seja R o retángulo definido pelas desigualdades asxsb, csysd Se f (x, y) for contínua nesse retangulti, entáo d b Ir d f f(x. >—‘)dA= [ f f(X-)')€¡Xd)‘= f ftxwdydx R
  7. 7. ¡- 1—> u z: 4-x-_‘ Figura 15.1.6 DOMÍNIO DATECNOLOGIA Se o teitor dispuser de um recurso computacional capaz de efetuar in- tegrais duplas iteradas. use-o para conterir o Exemplo 3. 0 Teorema 15.1.3 garante que a in- tegral dupla no Exemplo 4 também pode ser calculada integrando primei- ro em relacáo a y e depols em relacáo a x. Contira isso. ¿item (-3.2|x [O. l] Figura 15.1.7 Capítulo 15 / integrais Múltiplas 1023 O Teorema l5.l.3 permite calcular uma integral dupla num retángulo convertendo-a para uma integral iterada. Isso pode ser feito de duas maneiras, ambas produzindo o mesmo valor para a integral dupla. b Exemplo 3 Use urna integral dupla para encontrar o volume do sólido delimitado acima pelo plano z = 4 - x - y e abaixo pelo retangulo R = [O. l] x [O, 2] (Figura 15.1.6). Solucáo O volume e a integral dupla de z = 4 — x — y em R. Usando o Teorema IS. l .3, isso pode ser obtido de qualquer uma das integrais iteradas 2 l l 2 f f (4 — x — y) dx dy ou f j (4 - x - y)dy dx (8) o o o o Usando a primeira dessas, obtemos 2 t V= fI(4-. '-_')(ÍA= Í / ‘(4—. '—y)dxdy 0 o R 2 x2 2 7 a. cua» Esse resultado pode ser conferido calculando a segunda integral em (8). «Z to Exemplo4 Calcule a integral dupla ff (v2): dA R no retfmgulo R = {(x. y) 2 —3 5 x 5 2,0 5 y 5 l}. .90Itt; rüo Em virtude do Teorema 15. l .3, o valor da integral dupla pode ser obtido calcu- lando uma de duas possiveis integrais iteradas. Escolhemos integrar primciro em relaqtïo a x e depois em relacïto a y. l 2 l l f] yzx (IA = f f ylx dx ¡ly = f [avzxl] (¡y o —3 o 2 _Ï: —3 R ' 5 5 ' 5 = __ .2 d. = __ .3] ______ ‘¿z I) ( 2) ) ) 6" o 6 A integral no Exemplo 4 pode ser interpretada como o volume líquido com sinal entre o retángulo [-—3, 2] x [O. l] c a superficie z = fx. Ou seja, é o volume abaixo de z = yzx e acima de [O. 2] x [O. l] menos o volume acima de : , = fix e abaixo de [——3. 0] x [O, l] (Figura l5.l.7). PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DUPLAS Para distinguir entre integrais duplas de funcües de duas variáveis e integrais definidas de funcñcs de uma variável, vamos referir-nos a estas como integrais simples. Visto que as in- tegrais duplas, da mesma maneira que as integrais simples, sao definidas como limites, elas
  8. 8. 1024 Cálculo herdam multas das propriedades dos limites. Os resultados a seguir, que cnunciamos sem provas, sño análogos aos do Teorema 6.5.4 do Volume I. f] cf(x, y)dA = of! f(x. y) dA (c uma constante) (9) R R Z z= [(. r._-) [flf(x. y)+g(x. >')ldA = [f ¡(xq-unn f] 8(x»)“)dA (lo) l R R R [firm y) — go, y>1 «¡A = ff for. ndA — ff gcx. y>dA a 1) R R R É intuitivamenle evidente que se f (x, y) for nao-negativa na regiáo R, entáo subdividin- do R em duas regiñes R, e R2 traz como efeito a subdivisño do sólido entre R e z = f(x. y) em dois sólidos e a soma dos volumes dcsscs dois sólidos e igual ao volume do sólido inleim (Fi- gura IS. l .8). lsso sugcre o seguinte resultado. que é verdadeira mesmo que f possua valores 0 volume do sólido inteiro é a soma dos volumes dos solidos negativos: acima de R, e R3. Figura 15.1.8 f f(x, y)dA = f(x. y)dA +j: / f(x, y) dA (l2) R R. R; A demonstraeáo desse resultado será emitida. 41/ EXERCÍCIOS DE COMPREENSÁO 15.1 (Ver página 1026 para respostas. ) l. A integral dupla é definida como um limite de somas de Rie- 3. Preencha as lacunas com o integrando e os extremos de integra- mann por qüo que fallan). f f(x. y) dA = . 5 4 D f f (3.3 - Zxy + y’) dx ay = f í dy R l 2 u 2' A ¡"legal ¡[crada 4. O volume do sólido englobado pela superficie z = .r/ v e o re- s 4 f f f(_»_ y) dx d). ¡ángulo 0 5 x 5 4, l 5 y 5 c2 do plano ¿y ó l 2 integra f no retángulo definido por El’ <T-—TS VS EXERCÍCIOS 15.1 [E] CAS l n . 2 1-12 Calcule as integrais iteradas. 9_ Í f 4 dvd; 10. f” f x cosxydv d, o o (XF + l)! ' x12 l ’ ‘ l 2 l. f Í (x + 3) in“ 2' (b. _ 4)‘) dydx l]. [m2 f] xve-"üv dydx 12. f. ‘ f2 l dvdx ° " o o ' 3 n (X+. -‘)2 " o u 4 l 2 3. Í f xzydx d)‘ 4. (x2 + y2)a‘. r d; - 2 o —v —n í 13-16 Calcule as integrais duplas na rcgiáo retangular R. l! m3 m2 fill S. f j e“"'-"dydx 6. f f ysemrdydx o o o o l f. o 5 7 13. [fmgv-‘dm R= {(. r,. v): ——l S. 'Sl. “2S_’_<_2} 7. f f dxdy 8. —I 2 dydx R
  9. 9. 14. [f :1” dA: R x3 + yz + l R= {(. r,_'):05.r 5 l.0_<_y_<_ l} 15. ¡[xy/ l —. t‘2lÍÁ2 R= {(1, y):0_<_. r _<_ ¡.2 5 y 5 3} R 16. [far sen y — y sen . t)dA; R R = {(. r._v):05.r 5 21/205 y 5 7r/3l ‘gclífizi-y-tsífiazé ¿kálrlïiáüïilé l7. (a) Scjaflx. y) = x2 + y e. como mostrado na figura abaixo. seja o retíingulo R = [O. 2] x [O. 2] subdividido em l6 sub-retángulos. Escolha (x3, ) como o centre do k- ésimo tetángule e aproxíme a integral dupla de f em R pela soma de Riemann resultante. (h) Compare e resultado da pam: (a) com o valer exate da integral. Figura Ex-l7 18. (a) Seja f (x. y) = x - 2y e considere uma subdivisao do retüngulo R = [O. 2] x [O. 2] em lóretángulos meno- res. como no Exercície l7. Tome (xf. ) como Sendo o centro do k-ésimo retángttlo e aprexime a integral du- pla de f em R pela soma de Riemann resultante. (b) Compare o resultado de (a) com o valor exato da in- tegral. 19-20 Cada integral itcrada representa e volume de um sólido. Faca um esboer) do sólido. (Nrïo e precise calcular e volume. ) 5 2 19. (a) f f 4dx ¿ly o t 3 4 (b) Í f #25 — x2 — yz dydx o o l I 20. (a) f ¡(Z-x-‘vflívdx o o 2 2 a (b) Í (. r' + _—'2)dx ely —2 —2 21-24 Use uma integral dupla para calcular o volume. Capítulo 15 I integrais Múltiples 1025 21. 0 volume sob o plano z = 2o: + y e acima do retángulo R= {(x. y): 3 SRS 5. l sys2}. 22. O volume sob a superficie z = 3x’ + 3x3 y e acima do retángulo R = {(x. y): l SxSÏLOSySZ]. 1 23. 0 volume de sólido cemprecndido pela superficie z = .1 e es pIanes. r=0.x= 2,)‘: 3.y= Oc z :0. 24. O volume no prítneiro octante limitado pelos planes coordena- des. e plane y = 4 e e plane (413) + (z/ S) = I 25. Calcule a integral escolhendo uma ordem de integraqáo conve- niente: [fx cosLtgv) c032 11x (IA: R = [O. x [O. 7T] R 5’ (a) Facu um esboqe do sólido no primeim octante comprcendido pelos planosx=0. z =0.x= 5. z -_'=0e z = -2y+6. (b) Calcule e volume sólido dividinde-o em duas partes. 27-30 O valor médío de uma funeao contínua fu. y) num retan- n gulo R = la. b] x lc. d] é definido como fm = f) ff ¡creada R ende MR) = (b — a)(d — c) é a área de retángulo R (comparar com a Definiqïto 7.6.l do Volume l). Use essa definicáo nestes exercícies. 27. Calcule o valor médio dc f(. r, y) = y sen ay no rctángulo [O. l] x [O. 21/2]. 28. Calcule o valer medio de f(. '. y) = x(xz + y)” no intervalo [O. l] x [O. 3). 29. Suponha que a temperatura. etn graus Celsius. num ponte (x. y) de uma chapa metálica plana seja T(x, y): lO — tir: — 2y2. ende . r e y sao em metros. Calcule a temperatura medía da porcino retangular da chapa dada por 0 s x S 1 e 0 s y s 2. 30. Mestre que se _f(. ', y) é constante no retángule R = la, b] x [cx d], digamos. {(x. y) = k. cntño fm = k cm R. 31-32 A malaria dos CAS possui comandos para a apreximacae de integrais duplas numericamcntc. Leia a decumentacño corres- pondente e use utn CAS para encontrar uma aproximaqáo numéri- ca da integral dupla nesscs cxercícios. 2 l EIJLÁ Á sem/ AJ + y3 dx d_v l t q _ E32] f e""“+-‘"’ rLr dy —l —l 33. Neste exercíeíe. suponha que f (x. y) = g(. r)h(_v) e R = {(x. y): a 5x s b. csys d]. Mestre que f] fu. _v)dA = [hgúflir] [d It(, )‘)dy] R
  10. 10. 1026 Cálculo 34. Use o resultado de Exercício 33 para calcular a integral ln 2 l f f xle-"+ltg. vd. rdy e —l por ínspecáe. Explique seu raciocínio. E] 35. Use um CAS para calcular as integrais iteradas l I _. _x l l y__‘, ' d d‘ ’ ' d'd. ' ¿lo (x+_v)3 x “ L (x+. v)-‘ 3 ‘ Há violacáe de Teorema l5. l .3‘? Explique. E]36.Use um CAS para mostrar que o volume V sob a superficie z = .; v“ sen xy e acima do retangulo mostrado na figura ao lado é V: 3/21. V FIESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE COMPREENSÁO 15.1 S t. lim zfe-¡yvpaak 2. 2_<_. '_<_4; l5y55 3. f (S6-l2y+2_v2)d_v 4. ¡o n—v+'»<‘ ¡ n k= l 15.2 INTEGRAIS DUPLAS EM REGlÓES NÁO-RETANGULAFIES Nesla sectïo. ¡nosrrareonos como calcular imegrais duplas em regióes que mío sáo mtartgttlams. I INTEGRAIS ITERADAS COM LIMITES DE INTEGRAQÁO NÁO-CONSTANTES Mais adíante nesta seqáo, veremos que as integrais duplas em regiñes nao-retangulares podem ser calculadas como integrais iteradas dos seguintcs tipos: b 82(1) o f ¡<x. y>dydx= f [f a gntx) u 8 a Inge) a f f f(x. y)dxdy= f c hay) c h 820’) R20’) y Figura Ex-Jó ftx. wdy] dx ¡(xt mix] dy Comecamos com um exemplo que ilustra como calcular tais integrais. b Exomplo1 Calcule l .1‘: n/ J cos y (a) f j yzx dy dx (b) f f x sen y dx dy 0 —x 0 0 Solucño (a) I x7 7 l A’: 2 f] y'xdydx= / fyxdy 0 -. ' 0 -. ‘ ¡X7 _ z ---+-- _/ (;[3 3 : |dx= ]o la= (‘ .3. (l) (2)
  11. 11. 1056 Cálculo (h) Use ttm CAS para aproximar a área da superficie para a=2.b=3.c=4. 56. (a) Obtenha equagñes paramétricas para a superficie de revo- lucao gerada pela revelucao da curva z = f(. r) do plano x2 em tomo do eixo z. ¡í 57-59 As equacñes paramótríctis ttcstcs excrcicíos representam uma superficie quadrática para valores positivos de a. b e c. Identi- fique o tipo de superficie eliminando os parámetros u e u. Verifique g sua conclusïto escolhendo valores específicos para as constantes e gerando a superficie com um recurso gráfico. (b) Use o resultado obtido na parte (a) para determinar equa- cocs parametriczts para a superficie de revolucño gcrada Ñ 57h‘. = a cos u Cos L, ‘ y: b Sen u ¿.05 u. ¿ = c San L, pcla rcvolueat) da curva z = l/ x’ do plano x: em torno do eixo z. {j 58.3" = u ces u cosh v. y = b sen u cosh u. z = c‘ senh u (c) Use um recurso computacional gráfico para verificar seu E. 59. x: a scnh u, y = 1, su"), u cosh ¿. _ 5 : (‘ cosh "cash y trabalho tragando o gráfico da superficie paramétrica. ‘Ï/ RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE COMPREENSÁO 15.4 l. (a) As curvas de u constante sao círculos de raio l — u centrados em (l - u. 0. 0) e paralelos ao plano xy. Z) (b) As curvas de u constante sao segmentos dc reta li gando os pontos (l. cos v. sen v) e (O. 0. 0). 2. _)—r = -' — (cos v)j — (sen v)k; 8r l Or ar —-= —l— ' ' l—- . k 3.——2' 3’ k 4. — — . ' av [( u)sm v]_| +[( u)cosv] ‘Q4 i+s/ _J+ ) a” x av a 1 5.5 INTEGRAIS TRIPLAS Volume = Av) / 1 (af. si? ) . / Figura 15.5.1 Nas secócs attreriores, (Iefiniirtos e discutimos as propriedarles’ dos integrais (luplax para fungóes‘ de duas‘ ttarídtreis‘. Neyra secüo, definiremos as integrais trip/ as para fitnctïes de trás‘ variáveis. DEFINIQÁO DE UMA INTEGRAL TRIPLA Uma integral simples de uma funcüo fu") e definida num intervalo fechado finito de eixo x e uma integral dupla de uma funcüo f(x, y) é definida numa regido fechada finita R do plano xy‘. Nosso primeiro objetivo, ttcsta sccao, e definir qual o significado da integral triple: de f(x, y, z) numa regido sólida fechada G de um sistema de coordenadas xyz. Para assegurar que G náo se cstenda indefinidamente cm alguma direqáo, vamos super que ela possa ser abarcada por uma caixa apropriadamente grande, cujos lados sejam paralelos aos planos coordenados (Figura I5.5. l ). Nesse caso, dizemos que G é um sólido finito. Para definir a integral tripla de for, y, z) em G, primeiro dividimos a caixa cm n “subcai- xas" por meio de planos paralelos aos planos coerdenados. Depois, descartamos as subcaixas que contenham quaisquer pontos fora de G e escolhetnos um ponto arbitrario em cada uma das subcaixas restantes. Como ntostrado na Figura 15.5. l , denotamos o volume da k-ésima subcaixa restante por AV¿ e o ponto selecionado na k-ésittta subcaixa por (x12 yz. :; _"). Ein seguida, tomamos o produto fuí. yf. zDAVt para cada subcaixa, depois somamos os produtos para todas as subcaixas para obter a soma de Riemann Il Z tez. CDAVR k= l
  12. 12. Figura 15.5.2 Há duas ordens de integracáo pos- slveís para as integrals iteradas no Teorema 15.1.3: dx d)‘. dy dx Para as integrais iteradas do Teorema 15.5.1 axistem seis ordens de integra- Qáo possíveis: drdydz. tlydz tir. (l: dt‘ dy. dx dz d)‘. dz d)‘ tir. d. " ‘lr dz capítulo 15 l integrais Múltiplas 1057 Finalmente, repetimos esse processo com cada vez mais subdivisñes, de tal maneira que o comptimento, a largura e a altura de cada subcaixa tcndam para zero c n tenda para +00. O limite n—>+: c U f(x. )'. z)dV= lim zflxtïyfiïzïflwt (l) G I. ..l é denominado integral tripla de f (x, y, z) na regido G. As condicñes sob as quais existe a integral tripla szïo esludadas em Cálculo avaneado. Entretanto, para os nossos propósitos, é suficiente dizcr que a existencia ó asscgurada quando f lor contínua em G e a regiño G n50 lor muito “complicadzfï PROPRIEDADES DAS INTEGRAISTRIPLAS As integrais triplas gozam de multas das propriedades das integrais simples e duplas: cf(x. y. z) ¿IV = off f(x. y, z)dV (c uma constante) (2 c; ff [f(. t‘. yz) +g(x. y. :)]dV = f(x. y. z)dV + g(x. _‘. z)dV o a c; ff [f(x. y. z) “SLK. ,'. :)]dV = f(x. y. z)dV — g(. '. y. :)dV o a a Alem disse, se a regiáo G for subdividida cm duas sub-regióes G, e G2 (Figura lS.5.2), cntáo f] f(x. y. z)dV = f(x. y. :)dV + fu. y. Z)dV o (¡l c; Omitimos as provas. í CÁLCULO DE INTEGRAIS TRIPLAS EM CAIXAS RETANGULARES Assim como as integrais duplas podem ser calculadas por duas integraqócs simples suces- sivas, as integrais triplas podem ser calculadas por trés integracóes sucessivzis. O seguinte teorema, que enunciamos sem demonstrar, é o análogo do Teorema 15.1.3. 15.5.! 'I‘I-:0RtittA Seja G a caixa retangular definida pelas desigualdades a S x S l), Se f for contínua na regido G, enráo cSySd, kSzSl la d l [f f(x. ,'-Z)(IV z] f fk f(. x‘. _r. z)dzd_vd. r (2) G (l C Além disso, a integral iterada do membro direito pode ser substitufda por qualquer uma das otttrrts cinco integrais iteradas resultantes da alteracáa da arden: de íntegragáa. e Exemplo1 Calcule a integral tripla lltylrldv c; na caixa retangular G definida pelas desigualdades —l S x s 2, 0 S y S 3, O S z s 2.
  13. 13. 1058 Cálculo Solucño Dentte as seis possíveis integrais iteradas que podemos usar, escolhemos a que aparece cm (2). Assim, primeiro integramos em rclagáo a z, mantcndo x e y lixados, depois em relaqáo a y, mantendo x fixado e, finalmente, em relaqáo a x. 2 3 2 ¡Zïylïldyz/ fjlzxyzrldzdydxc —l o o G 2 3 Z 3 = f j [3x, '2z‘]í0d_-dx= f f 48xy2dydx -l o “' -¡ o 2 3 3 2 = _ [lóxy 1M, dx: _ 432xdx l l 2 = 2l6x2] , = 648 -: CÁLCULO DE INTEGRAISTRIPLAS EM REGIÓES MAIS GERAIS Consideramos a seguir como calcular integrais triplas em sólidos que nao sao caixas re- tangulares. Por enquanto, vamos limitar nossa discussáo aos sólidos do tipo mostrado na Figura |5.5.3. Específicamente, supomos que o sólido G scja limitado acima por uma su- perficie z = g¿(x, y) e abaixo por uma superficie z = g, (x, y) e que a prqieczïo do sólido no plano xy seja uma regiüo R do tipo I ou do tipo ll (ver Definicao 15.2.1). Adicionalmente, vamos supor que g, (x. y) c g, (x. y) sejam continuas cm R e quc g, (x, y) S g¡(. x, y) em R. Geometricamente, isso significa que as superficies podem se tocar mas nao podem se in- tersectar. Chamamos um sólido desse tipo de sólido simples em xy. z = gm‘. y) z = .k‘¡(. r. y) l . ' Figura 15.5.3 O seguinte teorema, que apresentamos sem prova, permite-nos calcular integrais triplas em sólidos simples em xy. 15.5.2 ‘fl-LORPZIUA Seja G mn sólido simples em xy com superficie superior z = g¡(x, y) e srlperfície inferior z = g¡(x, y) e soja R a project? !) de G no plano xy. Se f(. r, y, z) for contínua em G, enfría 2:(. r,_') [f f(x. y. z)dV = ) f(. r,y. z)dz: l dA G R XHJZ)‘
  14. 14. Figura 15.5.4 DOMÍNIO DA TECNOLOGIA A maioria dos sistemas algébrieos computacionals possui uma capaci- dade lntograda para calcular integrais triples iteradas. Se o Ieltordispuser de um CAS. lala a documsnlaqáo peni- nante e use o CAS para oonlerir os Exemplos 1 e 2. Capítulo 15 I lntegrais Múltiples 1059 Em (3). a primeira integraeáo é em relacño a z, restando. assim. uma funcáo de x e y. Essa funeïto de x e y é, entño, integrada na rcgiáo R do plano xy. Para aplicar (3), é útil come- car com um esboet) tridimensional do sólido G. Os limites de integracao podem ser obtidos a panir do eshoeo como segue: Detennínagño dos Límites de integrarán: Sólido Simples em xy Passo l Encontre uma equagao z = g, (x, y) para a superficie superior e uma equaeáo z = g, (x, y) para a superficie inferior de G. As funqoes g, (x, y) e 320:, y) determi- nam os limites de integracño inferior e superior de z. Passo 2 Paca um esboeo bidimensional da projecáo R do sólido no plano xy. Neste esbo- go determine os limites de integracáo para a integral dupla em R de (3). b Exemplo 2 Scja G a cunha no primciro octante scccionada do sólido cilíndrico yz + Z2 S l pelos planos y: x e x = 0. Calcule ff z dV c; Solugño O sólido G e sua prqieeáo R no plano xy sao tnostrados na Figura 15.5.4. A super- lïcie superior do sólido é i timtada pelo cilindro e a superficie inferior pelo plano xy. Como a poreüo do cilindro yz + zz = l que fica acima do plano xy tem por equacáo z = ,/ l — y? e a equacáo do plano xy é z = O, segue de (3) que f! m- pa. (4) Para a integral dupla em R, as integraeóes ein x e y podem ser leilas em qualquer ordcm, visto que R e uma rcgiáo tanto do tipo l como do tipo ll. lntcgremos, primciro, cm relacáo a x. Com essa escolha, segue de (4) que: l y ¡{l-y? l y l ' l-y: f] zdV = f f f z(lzdxd_y= / f -zz: l (Ixdy o o o o o 2 <_ G u. l y] l ° d 1 1 l 1 ° y 1 —ÁÁ5( —. )ar. —¡f0( —>). v]‘| =0«> l ' _, in, 1,‘ 1 -íj; ()-. )d. —ï[5) -Z. 0-54 I VOLUME CALCULADO COMO UMA INTEGRAL TRIPLA As integrais triplas tém muitas interpretaqóes físicas, algumas das quais consideraremos na próxima secar). Entrctanto, no caso especial cm que f(. r, y, z) = l, a Fórmula (l) dá n dV= "|_¡¡nlzzAl/ k G k= l
  15. 15. 1060 Cálculo Figura l5.5.5 Figura 15.5.6 que a Figura I5.5.! sugere ser o volume de G; islo é, volumede G (S) a D Exemplo 3 Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido comido no cilindro ‘I x‘+y2=9eenlre os planosz: l ex+z= S. Salufño O sólido G e sua projegáo R no plano xy sáo mostrados na Figura l5.5.5. A super- ficie inferior do sólido é o plano z = 1 e a superficie superior é o plano x + z = 5 ou, de modo equivalente, z = 5 —x. Assim, de (3) c (S) volume de G dV = [ff-x dz] dA (6) Para a integral dupla em R, integrarcmos, primeira, em relaqáo a y. Assim, segue de (6) que 3 WT 5-x 3 5"‘ volume deG = f f f dzdydx = f f z dydx —3 «AE l —3 «ATi-E :2] 3 3 = ff (4—x)dydx= (8—2x)/9—x2dx —3 —/ ïïï —3 3 3 _ / _ 2 _ / _ 2 Para .1 primeira integral, ver "‘ 8 f4 9 x d" f4 2x 9 x dx Fórmula (Shia sacan 8.4 do Volume l. __ 8 E” __ 3 2x {9 __ x2 dx Asegundninlegralé nula 2 _3 porque é anna ftincaïo ímpeu‘. 9 = — - :3 8(27r) ¡r1 b Exerrplo 4 Calcule o volume do sólido compreendido entre os parabolóides z =5x1+5yz e z=6—7x2—y2 Salugño O sólido G e sua projeqáo R no plano xy s50 mostrados na Figura 15.5.6. A pro- jegáo R é ohtida resolvendo as equaqóes dadas simullaneamenle para determinar onde os parabolóides se interseclam. Obtemos 5x2 + S); = 6 - 7x2 — y: ou 2x2 + f = l (7) que nos diz que os parabolóides se intersectam numa curva no cilindro elíptico dado por (7).
  16. 16. Capítulo 15 I lntegrais Múlliplas lül A projceïno dessa inlerscqfio no plano xy é uma elipse com a mesma equagáo. Portamo, (S-Irz-y’ volumedeG= ífjndv= fff dz dA Sxl-l-Sy: G R j-I/ s/Ï ‘¡Jl-lr 6—7.r’—_r’ dzdydx iA/ ï JI-zrï sx= +sp4 I/ Jí JT-Ïrï = f f (6 — m2 — ey? ) d)‘ dx ¿mi 4m: ¡N5 ‘ l-lr‘ = f [su — M); — Zy] dx —Nv5 , =_4q: ï: ¿if/ fin zxïimd 8 m ‘ada 3” 4 = - x = — cos = — -i/ .fi fi —n/2 s/ _ 2 Tmm x = L se" ¡L Usealúnnuln do eosseno de Wallis Ji da ultima conlm-capa. I ¡NTEGRACÁO EM OUTRAS ORDENS Na Fórmula (3) para inlcgragño no sólido simples em xy, foi efcluada, primciro, a intcgracño em z. Entretanlo, há si luacóes em que é preferívcl integrar numa ordem diferente. Por exem- plo, a Figura 15.5.71: mostra um sólida simples em xz, e a Figura l5.5.7b mostra um sólido simples em yz. Para um sólido simples em x2 geralmentc é melhor integrar cm relagüo a y pri- meiro e para um sólido simples em yz geralmente é melhor integrar em relacáo a x primeiro: .231) / ff¡(x. y.z)av= //U“ reconoce-l «IA (s) a R intra? ) sólido simples cm x2 . :(. '.2) ff f(x. y.z)dV = [fe l) f(x, y.z)dx] dA (9) G R mou: sólido simples em y: Um sólido simples em x2 Um sólido simples em y: (a) (b) Figura 15.5.7 Ás vezes, um sólido G pode ser interpretado como um sólido simples cm xy, xz e yz e, nesse caso, podemos escolher a ordem de inlegraeáo de modo a simplificar os cálculos.
  17. 17. 1062 cálculo 5 .2 Figura 15.5.8 l» Exemplo 5 No Exemplo 2, calculamos [o] : dV na cunha da Figura l5.5.4 integrando, primeire, em relacïto a z. Calcule essa integral inte- grando. primciro, cm relaeáo a x. Soluqáo 0 sólido é limitado atrás pelo plano x = 0 e na frente pelo plano x = y, portanto ¡Spam ifLlïzdx] a onde R é a projeeáo de G no plano yz (Figura |5.5.8). A integracáo em R pode ser fcita. pri- meiro, em relacüo a z e depois em relaqáo a y ou vice-versa. Efetuando, primeiro, a integracáo em z dá y ¿[INV= ÁlÁJEÏÁyzdxdZdy= ÁI Áx/ ïsatïllzodzdy I s/ I-yz I l 7 | l = f f zydzdy= f -z’y O O 0 2 _'¡.2 ' l d. = _| _.2.d. =_ .3 Á 2( _ )) ) 8 o que está de acorde com o resultado do Exemplo 2. <3 2:0 Ï/ EXERCÍCIOS DE COMPREENSÁO 15.5 (Verpágína 1064 para respostas. ) l. A integral iterada s 4 o f j f f(. '. _v. z)dxdzdy' l 2 3 integra f na caixa retangular definida por Svs . D E’ Ü T ' T (c) f(. ‘. y, z)dA = f j j f(. v, y. z)d_vdzdx G o o u 5x5 Szs o o 4 (a) Íf/ fcv. y, z)dA = f f f(x, y. z)dzdx dy G Ü El _'+. t3 o o 4 (b) f(x. y. z)dA = f f f f(x. y. z) dzcflvdx G U U _'+. 'Ï 2. Scja G o sólido no pfimeiro octante limitado abaixo pela super- ficie z = y + x2 e acima pelo plano z = 4. Preencha as lacunas 3. O volume do sólido G do Exercicio 2 é com os extremos de integracño que faltam. EXERCÍCIOS 15.4 [g CAS 1-8 Calcule a integral iterada. 3 . l l 5. / xy'd_)*dxdz o o o y l 2 l 1. j j j-(. v2+, v2+z3)dxd_vdz 3 .6 ln: -| 0 0 6. f . 'e-"dy'dzd. r l x 0 I/2 n’ l 2. f f f zx sen xy dz dy dx If} o 0 2 y’ : 3. Í Í f yz dx d: dy o -I —t 2 /4-—. - 3—. r3—, v5 7. Í f Í x dz dy dx 0 0 —S+x3+_r3 rr/ J l x’ 2 2 v 4. Í f f . ' cos y dz dx dy 8. f f j , ' , dx dy dz o o o l z o A" + . "
  18. 18. 9-12 Calcule a integral tripla. 9. [ff xy sen yz dV onde G é a caixa rctangular definida pelas delsigualdades 0 S x S 71. 0 S y S l. 0 S z S JIÍÓ. 10. [f] y dV onde G é o sólido comprcendido pelo plano z = y. oglano xy e o cilindro parabólico y = l —xz. ll. [f] xyz dV onde G .5 o sólido do primeiro octante limitado G pelo cilindro parabólico z = 2 - x3 e os planos z = 0. y = x e y = 0. l2. [f] cos(: / y) dV onde G é o sólido definido pelas desigual- a dades 21/6 S y S 7r/2. y sx s 77/2, 0 s z s xy. El 13. Use a opemcño de intcgracáo tripla numérica de um CAS para aproximar -2 I ‘l’ A. dv v G . onde G é a caixa rctangular definida pelas desigualdades 05x51! sysZ-Zszs l. [É 14. Use a operacáo de integracïto tripla numérica de um CAS para aproximar ‘Üïeflsflsfi: dv G onde G e a regiïio esférica x’ + y’ + zz s l. 15-18 Use uma integral tripla para encontrar o volume do sólido. 15. 0 sólido do pri meiro octante limitado pelos planos coordena- dos e o plano 3x + 6y + 42 = l2. 16. O sólido limitado pela superficie 2'. = x = 0 e z = 0. y eos planosx+y= l. l7. O sólido limitado pela superficie y :4": e os planos y + z = 4 c z = 0. 18. A cunha do primeiro octante seccionada do cilindro y! + z! s l pelos planos y = .r e . r = 0. >‘: ‘t‘l"'n‘l€=1:lt‘li: c.wxslflelílilülï‘ l9. Scja G o sólido delimitado pelas superficies da figura a se- guir. Preencha as lacunas com os extremos de intcgracáo que faltam. (a) f(x. y,z)dV G o o o = f f f f(. r.y'. :)dzd_-'d. t D D D (b) / ¡¡, (., .,. sdv G D D D = j f j f(. r._v, z)dzd. rdy' o o o 20. capítulo 15 / lntegrais Múltiples 1063 Scja G o sólido delimitado pelas superficies da figura a se- guir. Precncha as lacunas com os extremos de integracïio que faltam. (a) f(Jt'. _v. z)dV G D D [3 = f j f f(x. y. z)dzdyd. r r: o o (b) ffffctuyuüdV c; n o o = f f f f(x. _v. z)dzd. tdy' o o c1 Figura Ex-ZO 21-24 Monte (mas nao calcule) uma integral tripla iterada 21. 22. 23. 24. para o volume do sólido compreendido pelas superficies dadas. A superficie do Exercício l9. A superficie do Exercício 20. O cilindro elíptico x’ + 9y2 = 9 e os planos z = 0 c z = x + 3. Os cilindros x1 +y2 = l ex: + zz = l. 25-26 Paga um esboeo do sólido cujo volume é dado pela in- 25. 26. tegral. l y+l (a) f dzdyvdx —l —Jfiï o 9 m (b) f dzdxdy o o o l Jl-x- 2 (c) [dydzdx 0 o o 3 9 2 (a) f Í f d z dy dx 0 x: 0 2 2 — y 2—. t — y (b) f f f dz dx dy 0 0 0 2 «l-y’ 2 (of! fdxdzdy -2 o o
  19. 19. 1064 Cálculo 27-30 O valor médía de uma funeño contínua f (x. y. z) num sóli- do G é definido como l fm= 75 jj r<x. _v, z>dv G onde V(G) é o volume do sólido (compare com a definieáe un- lerior ao Exercício 6| da Seeáo l5.2). Use essa definicüo nesles exercícios. 27. Encontre o valor medio de f (x. y. z) = x + y + z no tetraedro mostrado na figura abaixo. Figura Ex-27 28. Calcule o valor medio de f(x. y. z) = xyz na regiáo esférica x3+_v2+z’s l. E] 29. Use a operaqüo de inlegraeáo tripla numérica de um CAS para aproximar a distancia médía da origem a um ponto do sólido no Exemplo 4. E30. Scja d(. r. y. z) a disláncia do ponto (z. z. z) ao ponlo (x. y. 0). Use a nperaqáo de inlegragño tripla numérica de um CAS para aproximar 0 valor medio de d para 0 5 x 5 I. 0 5 y 5 l e 0 5 z 5 I. Redija um texto cuno explicando por que esse va- lor pode ser considerado a disláncia media entre um ponto da diagonal de (0.0, 0) a (l. l. l) e um ponlo da face no plano n» docubounitário05x 51,0 5 y 5 ¡e05 z 5 l. 31. Scja G o lelracdro do primeiro ocrame limitado pelos planos coordenadas e o plano X V Z —+—'—+—= I (a>0,b>O. c>0) a b c (a) Relacíone seis integrais iteradas diferentes que represen- lem o volume de G. (b) Calcule qualquer uma das seis para mostrar que o volume de G e ¿abc 32. Use uma integral tripla para deduzir a fórmula do volume do elipsóide x2 .2 Z2 ENFOCANDO CONCEITOS 33-34 Expresse cada integral como uma inlegral equivalente em que a intcgmqáo em z é a primeira a ser fcíla. a em _= é a segunda e a em x é a última. s 2 JI? 33. (a) f f f f(. '. _v. z)d. tdy'dz o o o 9 Ïl-JÏ : (b) [f(. t.y, z)dydzd. r o o o 4 8-3" (c) L] Á f(x. _v. z)d. rdzd_v 3 W? ??’ ‘N-yÏ-z’ 34. (a) f f f f(. r._v. :)dxd_vdz o o o 4 2 x/ l (b) f f f f(, r,y. z)d_vdzd. t o o o 4 4-3‘ Jï (c) f f(x. _v. z)dxdzd_v o o o E 35. (a) Determine a regiáo G na qual a integral tripla ff (l-xz-f-zzfllv c tem seu valor máximo. (b) Use a operaqño integral tripla numérica de um CAS para aproximaro valor máximo. (c) Encontre o valor máximo cxato. 36. Scja G a caixa relangular definida pelas desigualdades asxsbmsvszhksz sl. Moslreque f}! f(x)g(. v)h(z) dV G = [ hflxldx] Ud g(. v)d. v] [fídzklz] u e k 37. Use o resultado do Exercício 36 para calcular (a) ¡[[1133 sen zd V onde G é o conjunto de pontos que saclïisfaz-l Sxs LOSyS l.0Sz. <.7r/2. (b) [f] e1‘*-"‘¡ d V onde G é o conjunto de pontos que sa- G IÍSfaZOSxS LOSySIn 3.0SzSln 2. y RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE COMPREENSÁO 15.5 4 JJTy 4 2 4-34 4 l. 3 _<_ x 5 6, 15 y 5 5. 2 5 z 54 2. (a)! j f f(x, _'. z)dzd. rdy (¡of Í f(. r., v.z)dzdyd. r 0 0 y+x 3 0 0 y +3" 2 -l : -.3 '28 (c)! f j f(. '. )-'. zfllydzdx 3. — 0 ‘¡z 0 15
  20. 20. t’ f: la? ?? Cálculo plano tangente: 3x — 41 = —25; reta normal: x= -3 +(3tl4), y=0. z =4 —r (a) todos os pontos no eixo x ou no eixo y (h) (0. —2. —4) 4 4 (54-3) 13. (a) (—2,1,s). (o,3.9) (b ÏÜ-ï. (a) x+y+2z=6 (b) x=2+r, y=2+r, z=l+2t (c) 35.26° i: ‘—'—19k 21. t,2/3,2/3 , —l. —2/3.—2/3 , —36s(l . I ) ( )( ) x= l+8r. y=—l+5r. z=2+6t x=3+4t. y=—3—4r. z=4—3r > Eneroicios 14.8 (página 1004) l. 13. l7. 21. 41. 47. 51. 53. (a) minimo em (2, -l). nenhum máximo (b) máximo em (0, 0), nenhum mínimo (c) nenhum máximo nem minimo minimo em (3, -2), nenhum máximo S. mínimo relativo em (0, 0) mínimo relativo em (0, 0); pontos de sela em (fl, l) ponto de sola em (l, -2) ll. minimo relativo em (2. -l) minimos relativos em (—l, -l) e (l, l) 15. ponto de sela em (0, 0) nenhum ponto crítico l9. máximo relativo em (—l, 0) ponto de sola em (0, 0); B. (b) mínimo relativo em (0, 0) mínimos relativos em (l, l) 27. máximo absoluto 0, e (—-l. —l) minimo absoluto -l2 . 29. máximo absoluto 3, mínimo absoluto -l 31. máximo absoluto a! . tnínimo absoluto -} 33. 16, l6, 16 35. máximo em (l, 2. 2) 37. ZtI/ s/Ï. za/ Jï. za/ «lï 39. comprimento e largura 2 pés. altura 4 pés -2-l0l2 (a) x = 0; mínimo -3, máximo 0; x= l; mínimo 3, máximo 13/3; y = 0; mínimo 0, máximo 4; y = l; mínimo —3. máximo 3 (b) y = x: mínimo 0. máximo 3; y= l —x: máximo4. mínimo—3 (c) mínimo -3, máximo 13/3 comprimento e largura V3 2V altura 4/3 2V/2 y _—. %x + ¡‘.3 49. y=0.5x+0.8 (a) y = 63,73 + 0,2565» (b) (c) em tomo de 84 anos s0 0 75 70 65 l9l0 1930 1950 1970 2798 l7l (a)P_í+ÉT 190 (c) Tsz -272.7096°C 0 ¡Z0 130 > Exoreíclos 14.0 (páglna 1014) l. 9. 13. .3?? ? > Clpflulo menor-ciclos de nevuo (página 1015) l 5. 9. (a) 4 3. (a) |5 (c) máximo LÉ, mínimo —S 31,5 -27 máximos/ Ïemhsfin-Deb/ Ï, l), mínimo -/ Ïem(—«/ Ï. nerfi, —1) máximo Jï em (lA/ í, o). minimo —fi em (—r/ «/ï, o) máximoóemü. á, -í)mInimo—6em(-; , m}? . máximos‘. t/ (sfinmtt/ JS, INS. 1/4/5), (t/ f.—¡/ J5.—r/ ./5). (—1/«/3.r/ «/‘. -¡/ «/3)e (—1/«/ ‘. —1/J5. t/ Jíxmmrmoe-t/ (sfinam (lA/ S. ¡Ni —r/ ./í). UNS. 4/4/21 i/ Jí), t-IA/ í 1/«/ í. 1/4/3) ct-I/ a/í. —1/«/ í, —1/«/3) (. %--%) 15- (á. á- á) (3,6)¿omaispenoe(—3,—6)éomaisa. fastado l9. 5(i+_i+lt)/ s/Ï 9.9, 9 n. (¿Ji o, o) 25. oomprímentoelargumlpés, alturatlpés (a) ar = fl = y =7r/3. máximo 118 (a) xy (b) e’ ' ‘ln (rs) (a) nio definida na reta y = x (b) nño contínua (n) l2 Palmin (b) 240 Pa/ min A diferencial df de f é uma aproxímaqáo da variacáo A f defi dV = 4.06667 m’; AV: —0,07267 m’ r9. 2 gg 2+Ïm2 21 ¿”fi f; 2 5 (0,0. 2). (1. r, 1), (—l, -l, l) 31. (—¿', , —¿.2) mínimo relativo em (15, —8) ponto de sela em (0, 0), mínimo relativo em (3, 9) máximo absoluto de 4 em (i l , i2), mínimo absoluto de 0 em (is/ í, 0) e (o. ¿24/5) l l l I1ZI12I3=EZR22E (a) aP/ ar. = ccrL°'"K5. 8P/3K = cflL°’K”"' > ¡motero-15.1 (página 1024) 1. I7. 7 3.2 5.2 7. 3 9. l—ln2 ll. l-gnz 13.0 15.3} (a) 37/4 (b) valor exato=28l3;diferencade l/ l2
  21. 21. 21. 19 23.8 25.-l- 2 27. —- 37: l Jl’ 35. primeira integra] igual a segunda igual a — i; nio > Exorclclos 15.2 (página 1033) ¡‘ü 3.9 5.5 7.1 mi l. 2 l2 u. (a) Ázfr/ onndydx (b) [fií/ (Lyflxdy 13. (a) ‘¿z/ Las f(x. y)dydx+/24jll3f(x, y)dydx+ Á’ [:4 m, ndyax a») f]: _/ (°m/2¡<x. y>dxdy 54V: 15. (a) 16/3 (b) 38 l7. 576 l9. 0 21. 27. 29. s/ Ï-l 31. 32 33.12 35. 277! 37.170 39. 43. 71/2 ¡mx f(x. y)dydx Sl. o 0 55. 65. «¡fi-r 2 (a) rr 2 l—cos8 3 0,676089 23.? 25.-sl, (c) -O,4044 (d) 4.4044 2771 2 Ji z é 2 — 45.}, ff(x, y)dxdy 47.! f(x. y)dydx 0 x1 lnx l-e“° e8-l s 53' 3 57.(a)0 (w131 59.0 «Lg-luz 63. b Exorcíoioo 15.3 (página 1041) Lg lga’ 5.o 1. 13. l7. 29. 37. 43. > Enrcícloo 15.4(páglna 1053) T 371 JI’ 2 "E Ió 29. ‘{- °c 3|. 1381737122 (b) (-l,84l4;0,l586), (l, l462; 3,1462) 41. % ïc Sir/ ó 45m0 ll. f f f(r. 9)rdrd9 x 2 x12 3 x/2 me sf f r/9—r¡drd0 15. 2] f (l-r2)rdrd6 0 l 0 0 0). /í 57: 27;: _, 7r n’ T7! ¡’.5 21.-í; 23.(l-e M! 25.5105 27.5 ¡o {E __ 1 {f _ 2 ¡- 31. 2 (r Jïï) 33. ¿(JS l) 35. 1ra h _4 2 ¿”L-E 39. Ïns/ í-z 41. (b) Ï 9 3 4 (a) l, l73l08605 (b) l, l73l08605 45. 1. (a) z (b) z l y X " y 5. 9. l l. Sl. 57. 59. Respostas dos Exercícios Írnpares R21 (c) z (a) x= u.y= v.z= ;+ gil-21.! (b) x= u.y= v.z= u’ (a) x= s/5c0su, y=s/ gsenu, z=u;0sus2n,0susl (b) x=2oosu, y=u, z=2senu;0s_u52n, l 5v53 x= u. y= senuoosv, z= senusenv l+r2 x= rcosü, y= rscn0, z=2Ícos0sett6 x = rcos0.y = rsen0,z= x = reos0.y = rsen0,z = J9-r7;r 5 4G l l 3 x = ïpcosfiy: ïpsenaz = Jï—p l7. z= x—2y; um plano (x/3)’+(y/2)’= r; 25 z s4; parte de um cilindro elíptico (xI3)'+(_y/4)'= z’;05z5 lgpartedeumoone elíptico (a) x= rcos0,y= rsen0.z= r,05r s2 x= u,y= v.z= s/uÏ+5Ï;05u2+u254 (a) 051453, 05v57r (b) 051454, —1r/25v51r/2 (a) 054S52rl2.05952:r (b) 054a5mO5051r Zx+4y-z= S 3l. z=0 33. x-y+? z=? 6“ 31 fi a (NS-nn ¿L (l7Jfi—5‘/ E)7I' 6 6 6 45. 87! 47. 47m2 472m: s3. 9.099 s5. (a) um elipsóide (h) 111.55 (m)? + (y/ b)’ + (2,/ c)? = r; elipsóide (Jr/ dz + (y/ b)’ - (z/ c)’ = —l: hiperbolóide de duas folhas > Exoncicioo 15.5 (página 1062) l. 15. 19. 2]. Z3. 25. s 3.31 5.5} 1%, " 9.: r(7r-3)I2 u. ¿ ¡a 9.425 4 17. á? Jr-xl 4-3} l (a) j; [M7 “¡Hifcïduzfllzdydx l r- 4-3,? r 4/1-«1 4-333 4 Í f Í dz dy dx o o 4 12m3 3 ¿Ja-x? ¡+3 2 j j f dzdydx —3 o 0 (a) z (b) 1 ((19.9) X (19.0) y

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