Este documento presenta un resumen de la mecánica clásica. Incluye secciones sobre sistemas de partículas, campos centrales de fuerza, sistemas de referencia no inerciales, rotaciones, sistemas rígidos de partículas, ecuaciones de Lagrange y Hamilton. El autor es Luis Rodríguez Valencia del Departamento de Física de la Universidad de Santiago de Chile.

1. MECANICA CLASICA
Luis Rodríguez Valencia1
Departamento de Física
Universidad de Santiago de Chile
13 de marzo de 2008
1 email: lhrodrig@lauca.usach.cl

2. II

3. Contenidos
1. Sistema de Partículas 1
1.1. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Sistema Inercial de referencia . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3. Torque en punto arbitrario . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4. Teorema Energía Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5. Sistema de dos partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. Campo Central de Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1. Ecuación diferencial para la órbita . . . . . . . . . . . 16
1.2.2. Relación entre energía y excentricidad . . . . . . . . . 18
1.2.3. Expresión integral para la trayectoria . . . . . . . . . . 20
1.3. Estabilidad de una órbita circular . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1. Otro punto de vista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2. Un caso inestable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.3. Otro caso estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4. Problema de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5. Sistemas de masa variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.1. Sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.2. Sistemas de masa variable . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.6.3. Movimiento en un campo central de Fuerza . . . . . . . 49
2. Sistema de referencia no inercial 81
2.1. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.2. Movimiento relativo a la tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.2.1. Vertical y aceleración de gravedad del lugar . . . . . . 83
2.2.2. Ecuación de movimiento aproximada . . . . . . . . . . 87

4. IV CONTENIDOS
2.2.3. Péndulo de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.2.4. Péndulo esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.3. Teorema de Larmor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3. Rotaciones. 105
3.1. Rotaciones de un sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.1.1. Rotaciones de un sistema de coordenadas. . . . . . . . 105
3.1.2. Ángulos de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.1.3. Parámetros de Cayley Klein. . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.1.4. Transformaciones de similaridad. . . . . . . . . . . . . 115
3.1.5. Relaciones entre matrices de Pauli. . . . . . . . . . . . 116
3.1.6. Parámetros de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.2. Velocidad angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.2.1. Descomposición del movimiento. . . . . . . . . . . . . . 118
3.2.2. Teorema de adición de velocidades angulares. . . . . . 119
3.3. Ejercicios resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4. Sistema rígido de partículas 127
4.1. Cantidades cinemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.1.1. Energía cinética y momentum angular . . . . . . . . . 129
4.1.2. Algunas propiedades de la matriz de inercia . . . . . . 129
4.1.3. Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.1.4. El elipsoide de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.2. Ecuaciones dinámicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.2.1. Movimiento Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.2.2. Un ejemplo en más dimensiones, la bola de billar . . . 141
4.3. Movimiento en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.3.1. Ecuaciones de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.3.2. Torque nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.3.3. Cuerpo simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.3.4. Trompo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.4. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.5. Movimiento con loops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.5.1. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5. CONTENIDOS V
5. Ecuaciones de Lagrange 189
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.2. Restricciones o vínculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.2.1. Vínculos holonómicos y coordenadas generalizadas . . . 190
5.2.2. Fuerzas de vínculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.2.3. Desplazamientos virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.3. Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.3.1. Vínculos no holonómicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.3.2. Condición de integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.4. Sistemas Conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.4.1. Momentos canónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.4.2. El hamiltoniano del sistema . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.4.3. Teoremas de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.4.4. Hamiltoniano y energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.4.5. Fuerzas dependientes de la velocidad . . . . . . . . . . 200
5.4.6. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.5. Ejemplos y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.5.1. Trompo simétrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.5.2. Bola que rueda sobre un plano, sometida en su centro
a una fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.6. Las ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.6.1. Sistemas autónomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.6.2. Puntos críticos o de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . 214
5.6.3. Estabilidad de un punto de equilibrio . . . . . . . . . . 222
5.6.4. La bifurcación de Saddle point . . . . . . . . . . . . . . 222
5.6.5. Análisis de estabilidad más en general . . . . . . . . . 224
5.6.6. La bifurcación de pitchfork . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.6.7. La bifurcación de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
5.6.8. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.6.9. Otro punto de vista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.6.10. Un caso inestable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.6.11. Otro caso estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
5.7. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6. Ecuaciones de Hamilton 253
6.1. La Acción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
6.1.1. Principio variacional de Hamilton . . . . . . . . . . . . 254
6.2. Transformaciones canónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

6. VI CONTENIDOS
6.2.1. Formas de la transformación . . . . . . . . . . . . . . . 256
6.3. Paréntesis de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6.3.1. Propiedades de los Paréntesis de Poisson . . . . . . . . 258
6.4. Ecuaciones de Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
6.5. Problemas y Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
6.6. Método de Hamilton Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
6.6.1. Función principal de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . 263
6.6.2. Relación con la acción S . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.6.3. Función característica de Hamilton . . . . . . . . . . . 266
6.6.4. El oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
6.7. Variables de Acción Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
6.7.1. Sistemas periódicos con un grado de libertad . . . . . . 270
7. Oscilaciones pequeñas 273
7.1. La energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
7.2. La energía potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
7.2.1. Posición de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
7.2.2. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
7.3. Linealización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
7.4. El lagrangiano aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
7.5. Solución de las ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . 276
7.5.1. Diagonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
7.5.2. Solución del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
7.6. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
8. Sistemas continuos 291
8.1. Oscilaciones transversales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
8.2. Límite continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
8.2.1. Lagrangiano para la cuerda continua . . . . . . . . . . 293
8.2.2. Densidad Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
8.2.3. Principio de Hamilton para sistemas continuos . . . . . 294
8.3. Soluciones de la ecuación de onda . . . . . . . . . . . . . . . . 295
8.3.1. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
8.3.2. Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
8.4. Método de las series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
8.5. Solución de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
8.5.1. Condiciones iniciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
8.5.2. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

7. CONTENIDOS VII
8.5.3. Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
8.5.4. Extensión de F (x) o V (x) . . . . . . . . . . . . . . . . 303
8.6. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
8.6.1. Si la cuerda parte recta con un perfil de velocidades
iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
8.7. Consideraciones energéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
8.7.1. Potencia en ondas armónicas . . . . . . . . . . . . . . . 307
8.7.2. Membranas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
8.7.3. Solución para geometrías específicas . . . . . . . . . . . 310
8.8. Elementos de mecánica de Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . 313
8.8.1. Cambio del volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
8.8.2. Líneas de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
8.9. Ecuación de movimiento de un fluido ideal . . . . . . . . . . . 319
8.9.1. Onda sonoras en un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . 320
8.9.2. Ondas de canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
8.9.3. Ondas de superficie en líquidos . . . . . . . . . . . . . 325
8.9.4. Más sobre ondas de superficie . . . . . . . . . . . . . . 334
8.9.5. Ecuación no lineal efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . 337
8.9.6. Una solución aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
8.9.7. Algunas soluciones de la ecuación de onda. . . . . . . . 339
8.9.8. A) Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
8.9.9. B) Ondas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
8.9.10. Las ondas electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . 341
8.9.11. Ondas electromagnéticas planas . . . . . . . . . . . . . 343
8.9.12. Velocidad de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
8.9.13. Efecto Doppler clásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
8.9.14. Efecto Doppler relativista . . . . . . . . . . . . . . . . 349
8.9.15. Efecto Doppler para ondas luminosas . . . . . . . . . . 349
8.10. Ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
9. Problemas complementarios 357
10.Problemas resueltos 365

8. VIII CONTENIDOS
11.Apéndice 393
11.1. Una ecuación diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
11.2. Las funciones elíptica Jacobianas. . . . . . . . . . . . . . . . . 395
11.3. El péndulo esférico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
11.4. Operador ∇. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
11.4.1. Gradiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
11.4.2. Divergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
11.4.3. Rotor de un campo vectorial. . . . . . . . . . . . . . . 403
11.4.4. Algunas propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
11.4.5. El Laplaciano ∇2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

9. Índice de figuras
1.1. Transformación de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. sección cónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4. Tipos de cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1. Sistema no inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.2. Sistema fijo a la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.3. Gravedad local, tierra esférica (a) y real (b) . . . . . . . . . . 86
3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.2. Rotación en torno a un eje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.3. Rotación activa de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.4. Adición de velocidades angulares . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.1. velocidades de un cuerpo rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.2. Elipsoide de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.3. Bola de billar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.4. Cuerpo simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.5. Conos del espacio y del cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.6. Conos del espacio y del cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.7. Choque cuerpos rígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.1. Transformación de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.2. Trompo simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.3. Esfera atraida hacia el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.4. Autovalores reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.5. Autovalores complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

10. X ÍNDICE DE FIGURAS
5.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
5.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
5.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
5.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
7.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
7.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
8.1. Potencia en una onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
8.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
8.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
8.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
8.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
9.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
9.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
9.3. Mínimo de una acción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
10.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
10.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
10.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
10.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
10.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
10.6. coordenadas elípticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
11.1. Tipo de solución de una ecuación diferencial . . . . . . . . . . 394
11.2. Péndulo esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

11. Capítulo 1
Sistema de Partículas
1.1. Ecuaciones de movimiento
Esta parte de la Mecánica, se presenta en forma bastante resumida. Se
presentan las principales definiciones y relaciones cinemáticas así como las
ecuaciones clásicas de movimiento para un sistema de partículas puntuales
suponiendo interacciones que cumplan el principio de acción y reacción. Las
definiciones de cantidades Físicas cinemáticas, que involucran las masas, las
posiciones, las velocidades, tales como la energía cinética, momentum lineal,
momentum angular, son naturalmente relativas al sistema de referencia que
se escoja. Entre esos diversos sistemas de referencia, las relaciones que exis-
tan entre esas cantidades físicas, se desprenderán de las transformaciones de
Galileo para sistemas, vea figura (??), que se trasladan unos respecto de otros
con velocidad constante v
r 0 = r − vt.
Más en general para sistemas de referencia arbitrarios, admitiendo acele-
raciones y rotaciones de ellos respecto a uno supuesto fijo, las relaciones
entre velocidades y aceleraciones de partículas son más complicadas. Podemos
adelantar que las relaciones entre velocidades y aceleraciones son (2.2,2.3)
v = vA + ω × r 0 + v rel
,
a = aA + α × r 0 + 2ω × v rel
+ ω × (ω × r 0 ) + a rel
,

12. 2 Sistema de Partículas
Z'
Z
r'
r
Y'
O'
O Y
X'
X
Figura 1.1: Transformación de Galileo
siendo α = dω/dt. Debe notarse que la velocidad y aceleración relativas son
las derivadas de los vectores posición y velocidad relativos manteniendo fijas
las direcciones de los ejes móviles, lo cual en algunos textos se indica por
rel ∂r 0 rel ∂v rel
v = , a = .
∂t ∂t
1.1.1. Sistema Inercial de referencia
En la formulación de la dinámica clásica, se supone la existencia de al me-
nos un sistema privilegiado de referencia, un Sistema inercial de referencia.
Por definición, un sistema inercial de referencia es aquel (hipotético) sistema
relativo al cual una partícula libre tiene velocidad constante o en particular
nula (vea página 5 de referencia [11]) . Como consecuencia de la transforma-
ción de Galileo, todo sistema que se traslade con velocidad constante respecto
a uno inercial de referencia, es también sistema inercial de referencia. La e-
xistencia de uno por lo menos, sería materia de validación experimental, con
las obvias dificultades que ello presenta. Se acepta que al menos aproxima-
damente, el marco de las estrellas fijas, lo es. Esta es una materia hoy en día
de acuerdo internacional. En efecto en Agosto de 1997, la Unión Astronómi-

13. 1.1 Ecuaciones de movimiento 3
ca Internacional (IAU) decidió que a partir del primero de Enero de 1998,
el IAU sistema de referencia celestial sea el sistema (ICRS), en reemplazo
del sistema FK5. Hay abundantes referencias en la WEB, por ejemplo en
http://hpiers.obspm.fr/webiers/general/syframes/icrsf/ICRS.html.
Definiciones y notación
Respecto a un determinado sistema de referencia, ver fig.(1.2) (no
necesariamente inercial), sean
i índice i = 1, 2, 3 · · · N
N entero número de partículas del sistema.
mi .. ............. masa partícula i.
ri .. ............. vector posición partícula i.
vi = dri /dt velocidad partícula i.
ai = dvi /dt aceleración partícula i.
Fi .. ............. fuerza externa actuando sobre partícula i.
fij .. .............
X fuerza que partícula j ejerce sobre partícula i.
P = mi vi Momentum lineal del sistema.
X i
1 2
K = 2
mi vi Energía cinética del sistema.
X i
L0 = mi ri × vi Momentum angular del sistema respecto a O.
Xi
F ext = Fi Fuerza externa resultante.
Xi
Γext =
O ri × Fi Torque resultante externo respecto a O.
Xi
M = mi masa total sistema.
Xi
rG = mi ri /M posición del centro de masa.
i
En este resumen no se pretende discutir los fundamentos de la formulación
Newtoniana, cuya mayor dificultad radica en las definiciones
(independientes) de Fuerza, masa y aceleración, así como en los conceptos
de espacio y tiempo, que supondremos materias conocidas.

14. 4 Sistema de Partículas
Z sistema
fij
Fi
mi
mj
ri
ri
O Y
X
Figura 1.2: Sistema de partículas
1.1.2. Ecuaciones de movimiento
Con respecto a un sistema inercial de referencia, cada una de las N par-
tículas cumple con la llamada segunda ley de Newton
X
mi ai = Fi + fij . (1.1)
j6=i
Fiext representa la fuerza externa actuando sobre la partícula i. Si las fuerzas
de interacción fij satisfacen la llamada ley de acción y reacción, es decir
fij + fji = 0, y fij × (ri − rj ) = 0,
puede demostrarse a partir de las N ecuaciones de movimiento, los siguientes
importantes teoremas
I Teorema 1.1
dP
= F ext , (1.2)
dt

15. 1.1 Ecuaciones de movimiento 5
Demostracion 1
Si sumamos todas las ecuaciones (1.1) obtendremos
X X XX
mi ai = Fi + fij ,
i i i j6=i
pero debido a la ley de acción y reacción, la suma doble se anula, entonces
d X X
mi vi = Fi = F ext ,
dt i i
dP
= F ext .
dt
I Teorema 1.2
MaG = F ext .
Demostracion 2
Este teorema sigue del anterior al considerar que
X d X
P = mi vi = mi ri
i
dt i
d X mi ri
= M = MvG .
dt i M
dLO
= Γext .
O (1.3)
dt
Demostracion 3
Basta considerar que
XX XX 1 XX
ri × fij = rj × fji = (ri − rj ) × fij = 0,
j6=i j6=i
2 j6=i
luego tendremos
X X XX
mi ri × ai = ri × Fi + ri × fij ,
i i i j6=i
d X X
mi ri × vi = ri × Fi ,
dt i i
que prueba el teorema.

16. 6 Sistema de Partículas
Las ecuaciones (1.2) y (1.3) son, en general, insuficientes para determinar
las posiciones de las partículas siendo la excepción más notable un sistema
rígido de partículas, que tiene justamente 6 grados de libertad, o en otras
palabras, que su posición puede especificarse con solo 6 coordenadas o pa-
rámetros. La segunda de las ecuaciones anteriores, toma la misma forma en
un sistema especial, no necesariamente inercial, con origen en el centro de
masas G y tal que sus ejes no roten. Es decir, puede probarse que
dLG
= Γext .
G (1.4)
dt
Entre el sistema inercial y ese otro mencionado con origen en G, pueden
demostrarse las siguientes relaciones (relaciones de Koenig), consecuencias
simples de la transformación de Galileo
I Teorema 1.3
De Koenig
LO = MrG × vG + LG
1 2
K = MvG + KG
2
siendo KG y LG la energía cinética y momentum angular relativos al sistema
con origen en G.
Demostracion 4
En efecto, si usamos la transformación de Galileo, podemos escribir (si los
ejes móviles no rotan)
ri 0 = ri − rG ,
v 0i = vi − vG ,
de modo que resultará
X
LO = mi (ri 0 + rG ) × (vi 0 + vG )
X
= mi ( ri 0 × vi 0 + rG × vi 0 + ri 0 × vG + rG × vG ),
pero X X
mi ri 0 = 0, mi vi 0 = 0,

17. 1.1 Ecuaciones de movimiento 7
de donde sigue el primer resultado. Similarmente
1X
K = mi (vi 0 + vG ) · (vi 0 + vG )
2
1X
= mi (vi 0 · vi 0 + vG · vi 0 + vG · vi 0 + vG · vG ),
2
de donde sigue el segundo resultado.
1.1.3. Torque en punto arbitrario
En general, si se considera otro sistema con origen en un punto A, cuyos
ejes no roten, definimos
X d
LA = mi (ri − rA ) × (ri − rA )
dt
entonces considere el siguiente desarrollo
dLA X d2
= mi (ri − rA ) × 2 (ri − rA )
dt X dt
= mi (ri − rA ) × (ai − aA )
X X
= mi ri × (ai − aA ) − mi rA × (ai − aA )
dL0 X
= − MrG × aA − rA × Fiext + MrA × aA
Xdt
= (ri − rA ) × Fiext + M(rA − rG ) × aA .
es decir
dLA −→
= Γext − M AG × aA ,
A (1.5)
dt
de modo que, la relación entre derivada del momentum angular y torque, es
válida para puntos (A) que cumplan una de las siguientes condiciones:
−→
A = G, aA = 0, aA paralela a AG.
Usted puede demostrar que además se tiene en general.
−→
LO = MrA × vG + M AG × vA + LA .
Aplicaciones de la ecuación (1.5) pueden verse en ([10]).

18. 8 Sistema de Partículas
Ejercicio 1.1.1 Discuta la posible aplicación del tercer caso (a paralela a
−→
AG), cuando se trata de un cuerpo rígido que rueda sin deslizar, conside-
rando el punto A como el punto de contacto. Es un error común considerar
como argumento para el uso de lo anterior que dicho punto tiene velocidad
instantánea cero, pues en general tiene aceleración no nula.
1.1.4. Teorema Energía Trabajo
De las ecuaciones de movimiento es posible escribir una primera integral
de ellas en la forma que sigue, donde, sin perder generalidad, se separan las
fuerzas externas en sus posibles partes conservativa y no conservativa. Ade-
más se supone que las fuerzas de interacción son derivables de un potencial de
interacción dependiente de la distancia entre las dos partículas y posiblemen-
te de parámetros propios de ellas dos (masas, cargas, etc.). En el caso de un
sistema rígido de partículas, la última suposición no es necesaria, por cuan-
to el trabajo que realizan las fuerzas de interacción es nulo, al mantenerse
constantes las distancias entre partículas. Este teorema es
∆(K + V + V int ) = W1→2 ,
nc
(1.6)
donde el trabajo no conservativo (nc) externo (ext) es la integral de línea
Z2
nc
W1→2 = F ext,nc · dr, (1.7)
1
V es la energía potencial asociada a la posible parte conservativa de la
fuerza externa y V int la energía potencial de interacción. Si el lado derecho,
el trabajo realizado por la posible parte no conservativa de la fuerza exterior
es cero, entonces se conserva la energía mecánica total del sistema. En el caso
importante de un sistema rígido de partículas, al no variar las distancias entre
las partículas, puede tomarse V int = 0.
Demostración
Para demostrar lo anterior consideremos que la fuerza externa Fi es en
parte conservativa derivable de un potencial V (r1 , r2 , · · · , rN ) y las fuerzas
de interacción fij conservativas derivables de un potencial de interacción

19. 1.1 Ecuaciones de movimiento 9
int
Vij (ri , rj ). Entonces las ecuaciones de movimiento puede escribirse
X X
mi ai = Fi + fij = −∇i V + Finc + int
(−∇i Vij (ri , rj )).
j6=i j6=i
Multiplicando · dri y sumando todas las ecuaciones se obtiene
X dvi X X XX
mi · dri = − ∇i V · dri + Finc · dri − int
∇i Vij (ri , rj ) · dri ,
i
dt i i j6=i
pero
X
dV = ∇i V · dri ,
i
dvi 1 d 2
mi · dri = mi vi ,
dt 2 dt
y
à !
1 X X int 1 XX int 1 XX int
d Vij (ri , rj ) = ∇i Vij (ri , rj ) · dri + ∇j Vij (ri , rj ) · drj
2 j6=i 2 j6=i 2 j6=i
XX
int
= ∇i Vij (ri , rj ) · dri ,
j6=i
int int
dado que Vij (ri , rj ) = Vji (rj , ri ). Luego tenemos
X1 X
2
d mi vi = −dV + Finc · dri − dV int ,
i
2 i
donde
1 X X int
V int = Vij (ri , rj ),
2 j6=i
y esto prueba el teorema en su forma diferencial
X
dK + dV + dV int = Finc · dri = dW nc .
i

20. 10 Sistema de Partículas
1.1.5. Sistema de dos partículas
El problema definido por el conjunto de ecuaciones (1.1), es en general
no solucionable analíticamente, si N ≥ 3. La principal dificultad consiste en
la imposibilidad de separar variables. El sistema de dos partículas interac-
tuando a través de una fuerza conservativa es un caso soluble de sistemas de
partículas. Tomando en cuenta la validez del principio de acción y reacción,
las dos ecuaciones para ese caso son
m1 a1 = f (r1 − r2 )
m2 a2 = −f (r1 − r2 ).
Esas ecuaciones son fácilmente desacoplables utilizando como nuevas varia-
bles las posición del centro de masa rG y la posición relativa r = r1 − r2
resultando
MaG = 0,
μa = f (r), (1.8)
siendo μ la masa reducida del sistema de dos partículas, es decir
m1 m2
μ= . (1.9)
m1 + m2
Entonces, el problema se ha reducido a resolver el problema de una partícula
de masa reducida μ en presencia de una fuerza central, con centro de fuerza
en una de las partículas. Este resultado es sorprendentemente simple consi-
derando que el origen (la posición de una de las partículas) está acelerado.
Ejemplo 1.1.1 Considere dos partículas de masas m1 y m2 que están unidas
por una cuerda inextensible liviana de longitud L y no hay otra fuerza más
que la tensión de la cuerda. Las partículas se colocan en movimiento con
velocidades en el mismo sentidos y perpendiculares a la cuerda de magnitudes
v1 y v2 . Determine la tensión de la cuerda.
Solución. De acuerdo a lo explicado
(r1 − r2 )
m1 a1 = −T ,
|(r1 − r2 )|
(r1 − r2 )
m2 a2 = T ,
|(r1 − r2 )|

21. 1.1 Ecuaciones de movimiento 11
de donde para r = r1 − r2 , se obtiene
μa = −T r,
ˆ
o sea la aceleración relativa es radial dada por
T
a=− .
μ
La trayectoria relativa es obviamente una circunferencia de radio L de manera
que
T v2
= ,
μ L
la rapidez relativa es tangencial de magnitud v = |v1 − v2 | por lo tanto
μ |v1 − v2 |2
T = .
L
N
Energía cinética
Las posiciones individuales de las dos partículas pueden escribirse
m2
r1 = rG + r,
M
m1
r2 = rG − r,
M
y si derivamos respecto al tiempo, obtenemos las velocidades de las partículas
m2
v1 = vG + v,
M
m1
v2 = vG − v,
M

22. 12 Sistema de Partículas
por lo cual la energía cinética será
1 2 1 2
K = m1 v1 + m2 v2
2 µ 2
1 m2 ³ m ´2 ¶
2 2
= m1 vG + 2 vG · v + v +
2 M M
µ ³ m ´2 ¶
1 2 m1 1
m2 vG − 2 vG · v + v
2 M M
µ ³ ³ m ´2 ¶
1 2 1 m2 ´2 1
= MvG + m1 v + m2 v
2 2 M M
1 2 1 m1 m2 ³ m2 2 m1 2 ´
= MvG + v + v ,
2 2 M M M
que prueba el importante resultado.
1 1
K = MvG + μv 2 .
2
(1.10)
2 2
Ejemplo 1.1.2 Suponga un asteroide esférico de 10 km de diámetro que tie-
ne una rapidez de 60 km s−1 , con una densidad (como el agua) de 1000 kg m−3 .
Determine la energía que debería liberar una explosión interna para dividir
al asteroide en dos trozos iguales, cada uno formando un ángulo de cinco
grados respecto a la dirección de la velocidad original.
Solución. La cantidad de movimiento en la dirección inicial se conserva,
luego
m
mv0 = 2 × v 0 cos θ,
2
de donde
v0
v0 = .
cos θ
La energía necesaria será
E = K0 − K =
1 1 2
= m(v0 )2 − mv0
2 2
1 2
= mv tan2 θ.
2 0

23. 1.1 Ecuaciones de movimiento 13
Cálculos dan
1000
v0 = 60 = 60. 2 8 m s−1 ,
3600
4 3
m = πR ρ = 5. 24 × 1014 kg,
3
E = 7. 287 × 1015 J,
= 1,7 megatones.
N
Ejemplo 1.1.3 En otra suposición considere un asteroide esférico de 2000 km
de radio que tiene una rapidez de 70000 km h−1 , con una densidad de 5000 kg m−3 .
Determine la energía que debería liberar una explosión interna para dividir
al asteroide en dos trozos iguales, cada uno formando un ángulo de cinco
grados respecto a la dirección de la velocidad original.
Solución. La cantidad de movimiento en la dirección inicial se conserva,
luego
m
mv0 = 2 × v0 cos θ,
2
de donde
v0
v0 = .
cos θ
La energía necesaria será
E = K0 − K =
1 1 2
= m(v0 )2 − mv0
2 2
1 2 2
= mv tan θ.
2 0
Cálculos dan
1000
v0 = 70000 km h−1 = 70000 = 70000. 3 m s−1 ,
3600
4 3
m = πR ρ = 1. 7 × 1023 kg,
3
E = 3. 2 × 1030 J,
= 7. 6 × 1014 megatones.

24. 14 Sistema de Partículas
N
Nota 1.1 Hace aproximadamente 65 millones de años atrás un asteroide
de alrededor de R = 20 km de radio y una velocidad del orden v = 20 km s−1
impactó la Tierra y causó el fin de la mayor parte de la vida en la Tierra. Si
suponemos una densidad del orden de ρ = 5000 kg m−3 (5 veces la del agua)
su energía cinética sería
1 4
K = ( πR3 ρ)v2 = 33. 52 × 1024 J,
2 3
y como 1 megaton = 4,2 × 1015 J esa energía equivale aproximadamente a
K = 8 × 109 megatones,
quizás la explosión de todo el arsenal nuclear actual. La bomba atómica de Hi-
1
roshima fue del orden de 60 megaton. Vea más detalles sobre las consecuencias
del impacto en http://www.eas.purdue.edu/eas109/ Day %20the %20 Dino-
saurs %20Died.htm.
1.2. Campo Central de Fuerza
Consideraremos una partícula de masa μ sobre la cual actúa una fuer-
za central conservativa cuya dirección es paralela al vector posición r. Más
adelante, al estudiar scattering entre dos partículas consideraremos más en
detalle la presencia de los dos cuerpos y la transformación entre coordena-
das relativas y coordenadas del laboratorio Por ahora, el vector posición r
representará el vector posición relativo entre las dos partículas. Si escribimos
la fuerza central como
dV (r)
f (r) = − r,
ˆ
dr
y se deducen de aquí
I Teorema 1.4
Se conserva el momentum angular lO = μr × v.
Demostracion 5
Tenemos
dV (r)
μa = f (r) = − r,
ˆ
dr

25. 1.2 Campo Central de Fuerza 15
de donde
dv
r × μa = μr × = 0,
dt
o bien
d
μr × v = 0 ⇒ lO = μr × v = constante.
dt
I Teorema 1.5
La trayectoria está sobre un plano fijo, perpendicular al vector constante lO .
Demostracion 6
Del teorema anterior sigue que
lO · r = μr × v · r = 0,
de modo que r permanece sobre un plano fijo perpendicular a l0 .
Por lo tanto, es suficiente utilizar coordenadas polares (r, θ) en el plano del
movimiento. En esas coordenadas, las ecuaciones de movimiento serán
µ 2 ¶
dr ˙ 2 = − dV (r)
μ − rθ (1.11)
dt2 dr
y
˙
lO = μr2 θ = constante. (1.12)
˙
Eliminando θ es posible escribir una ecuación radial para r(t) y su primera
integral que corresponde a la conservación de la energía E. Es decir
µ 2 2
¶
dr lO dV (r)
μ 2
− 2 3 =−
dt μr dr
y una primera integral de esta corresponde a la conservación de la energía
1 2 1 l2
μv + V (r) = μr2 + O 2 + V (r) = E = constante.
˙
2 2 2μr
Si llamamos potencial efectivo para la coordenada radial a
2
lO
U ef = + V (r),
2μr2
este es diferente de cero incluso para una partícula libre. El efecto del primer
término es siempre repulsivo lo cual se puede entender, para el caso de una

26. 16 Sistema de Partículas
partícula libre que se mueve en línea recta, simplemente porque la distancia
r al origen pasa siempre por un mínimo. Para potenciales V (r) atractivos
(negativos), en general pueden haber máximos y mínimos de la distancia r,
los llamados puntos de retorno r1 y r2 . La figura que sigue
Uef
E>0
r1 r2
O r
E<0
Emin
Potencial efectivo
ilustra porqué cuando la energía es negativa, hay dos puntos de retorno r1
y r2 . Cuando la energía total iguala a Uef entonces r = 0. Para energías
˙
positivas habrá sólo un mínimo de r. También se entiende porqué la mínima
energía posible corresponde al caso de la circunferencia con r1 = r2 .
1.2.1. Ecuación diferencial para la órbita
La dependencia de las variables polares en el tiempo es compleja. Es
más simple encontrar la dependencia de la distancia con el ángulo, es decir
encontrar la órbita. En efecto, haciendo uso de la conservación del momentum
angular, es posible eliminar el tiempo de la ecuación radial (1.11) mediante
d dθ d l2 d
= = O2 ,
dt dt dθ μr dθ
resultando para s = 1/r la siguiente ecuación diferencial (ecuación de Binet):
d2 s μ dV (1/s)
2 +s = − 2 .
dθ lO ds
Para un campo de fuerza inverso al cuadrado de la distancia, la integración
de la última ecuación es simple. Es decir si
K
V (r) = − ,
r

27. 1.2 Campo Central de Fuerza 17
siendo K > 0 para el caso atractivo y repulsivo en caso contrario, entonces
la ecuación se reduce a
d2 s μ
2 + s = 2 K,
dθ lO
cuya solución general, en términos de dos constantes e y α es
μK
s= 2
(1 − e cos(θ − α)),
lO
o bien
2
lO 1
r= ,
μK 1 − e cos(θ − α)
con e la excentricidad de la órbita y α la orientación del semieje mayor
de la cónica resultante, que son constantes por determinar en términos de
condiciones físicas conocidas, inicialmente o en un punto de la trayectoria.
Si se considera la definición de una cónica en términos de un foco y su
directriz
p+r cos(θ)
P
r
O θ
eje polar
p foco
Figura 1.3: sección cónica
distancia a la directriz p, como el lugar geométrico de los puntos del plano
tales que la razón de las distancias al foco y a la directriz es una constante
e, la excentricidad de la cónica, se obtiene una ecuación de la misma forma.
En efecto, con respecto a la figura (1.3), puede obtenerse
r pe
= e =⇒ r = .
p + r cos θ 1 − e cos θ
En el caso atractivo, K > 0, la trayectoria es entonces una elipse si 0 ≤ e < 1,

28. 18 Sistema de Partículas
α α α
O O O
eje polar eje polar eje polar
elipse parábola hiperbola
Figura 1.4: Tipos de cónicas
una parábola si e = 1 y una hipérbola si e > 1. Valores de e negativos no
son necesarios de considerar, pues ellos correspondería simplemente a rotar
la órbita en 180 grados, lo cual es preferible hacer con un valor adecuado de
α, ver fig.(1.4).
En el caso repulsivo, K < 0, la solución debería escribirse
2
lO 1
r= ,
μ |K| e cos(θ − α) − 1
y en este caso las trayectorias son sólamente hipérbolas.
1.2.2. Relación entre energía y excentricidad
Para relacionar la energía con la excentricidad, usemos
2
1 2 lO K
E = μr +
˙ 2
− , (1.13)
2 2μr r
y
2
lO 1
r= .
μK 1 − e cos(θ − α)
Evaluemos la energía que es constante en el punto más próximo al centro de
fuerza, el cual existe en todos los casos y corresponde a θ − α = π siendo
además ahí r = 0. Así resulta
˙
2
lO K
2
− = E,
2μr1 r1

29. 1.2 Campo Central de Fuerza 19
y
2
lO 1
r1 = .
μK 1 + e
Si se reemplaza r1 en la primera resulta
2
µ ¶2
lO μK(1 + e) μK(1 + e)
E = 2
−K 2
2μ lO lO
1 2 e2 − 1
= K μ 2 ,
2 lO
de donde sigue el resultado.
2
2ElO
e2 = 1 + . (1.14)
μK 2
La energía puede ser negativa pero a pesar de eso, la expresión anterior es
positiva. En efecto la expresión de la energía, aun cuando sea negativa debe
cumplir
1 l2 K l2 K
E = μr2 + O 2 −
˙ ≥ O2 − ,
2 2μr r 2μr r
pero la última expresión tiene un mínimo el que ocurre cuando
2
d lO K l2 K
( − ) = − O3 + 2 = 0,
dr 2μr2 r μr r
es decir
2
lO
r= ,
μK
luego µ ¶2
l2 K l2 μK μK μK 2
E ≥ O2 − ≥ O 2
−K 2
=− 2 ,
2μr r 2μ lO lO 2lO
o sea
2
2ElO
≥ −1,
μK 2
que prueba lo afirmado.
Ejercicio 1.2.1 Para el caso de órbita elíptica, demuestre que los semiejes
mayor y menor de la elipse están dados respectivamente por
2 2
lO 1 lO 1
a= , b= √ .
μK 1 − e2 μK 1 − e2

30. 20 Sistema de Partículas
Ejercicio 1.2.2 Demuestre la ley de Kepler de los periodos, es decir de-
muestre que el periodo en el caso de movimiento elíptico T está dado por
r
μ 3
T = 2π a2 .
K
Ejercicio 1.2.3 Una partícula está en órbita circular de radio a en torno
a la tierra, supuesta esférica, en reposo, de masa total M, de radio R, y
sin considerar roce con el aire. Demuestre que si la velocidad de la partícula
es repentinamente cambiada por un factor f , la excentricidad de la órbita
resultante es ¯ ¯
e = ¯f 2 − 1¯ .
Ejercicio 1.2.4 Respecto a la situación del problema anterior, determine
el factor f para que la partícula pase tangente a la superficie terrestre.
1.2.3. Expresión integral para la trayectoria
Una forma alternativa para obtener la ecuación de la órbita o trayectoria,
consiste en considerar
r s
2 l2
r=
˙ E − V (r) − O 2 ,
μ 2μr
y
˙ lO
θ = 2,
μr
de donde, eliminando el tiempo, se puede obtener
Z
r(θ)
lO 1
θ = θ0 + √ p dr. (1.15)
2μ r2 2
E − V (r) − lO /(2μr2 )
r0
expresión integral para la trayectoria r(θ).
1.3. Estabilidad de una órbita circular
Considere una partícula moviéndose en un potencial central atractivo
V (r) de modo que
d2 r ˙2 V 0 (r)
− rθ = − (1.16)
dt2 m

31. 1.3 Estabilidad de una órbita circular 21
y
˙
r2 θ = constante=h. (1.17)
La solución circular se obtiene con las condición iniciales
r(0) = R,
˙
v(0) = Rθ(0),
r
RV 0 (R)
v(0) = ,
r m
RV 0 (R)
h = R .
m
La ecuación radial puede escribirse
d2 r h2 V 0 (r)
− 3 = −
dt2 r m
d r R3 V 0 (R)
2
V 0 (r)
− = − .
dt2 mr3 m
Supongamos una pequeña perturbación u (sin cambiar la rapidez) de modo
que
r = R + u,
luego
d2 u R3 V 0 (R) V 0 (R + u)
− =− ,
dt2 m(R + u)3 m
expandiendo hasta primer orden en u
µ ¶
d2 u V 0 (R) 3 V 0 (R) u
− 1− u =− − V 00 (R),
dt2 m R m m
que se simplifica a
µ ¶
d2 u 3V 0 (R) 1 00
+ + V (R) u = 0.
dt2 Rm m
La órbita circular será estable en el sentido de u realice oscilaciones armónicas
de pequeña amplitud y ello ocurre si
3V 0 (R)
ω2 = + V 00 (R) > 0
R

32. 22 Sistema de Partículas
lo que impone una restricción a la forma del potencial cerca de la órbita .
3
V 00 (R) > − V 0 (R).
R
Si el potencial es del tipo
c
V (R) = − , con c > 0
Rn
resulta
nc
V 0 (R) = ,
Rn+1
n(n + 1)c
V 00 (R) = − ,
Rn+2
luego
n(n + 1)c 3 nc
− n+2
>− ,
R R Rn+1
de aquí una condición que debe cumplir n
(n + 1) < 3 ⇒ n < 2,
cuestión que es satisfecha por el potencial inverso a la distancia. En efecto si
GMm
V (r) = − ,
r
3V 0 (R) 1 3 GMm 1 2GMm GM
ω2 = + V 00 (R) = 2
+ (− 3
)= 3
Rm m Rm R m R R
y entonces el periodo de oscilación será
2π 2π 2πR
T = =q = ,
ω GM v(0)
R3
el mismo periodo de revolución en la órbita. En este caso, la solución pertur-
bada puede ser encontrada exactamente y se trata de una elipse.

33. 1.3 Estabilidad de una órbita circular 23
1.3.1. Otro punto de vista
La órbita circular será estable en r = R si el potencial efectivo
2
lO
U ef = + V (r),
2μr2
tiene un mínimo local en r = R. Entonces debe ser
2
lO
V 0 (R) − = 0,
μR3
3l2
V 00 (R) + O4 > 0
μR
2
o bien, eliminando l0
3 0
V 00 (R) +
V (R) > 0
R
que es la misma condición obtenida anteriormente.
1.3.2. Un caso inestable
La inestabilidad de la órbita circular para el caso
k
V (r) = − ,
r2
2k
F (r) = − 3
r
es fácil de comprender. Para este caso el radio de la órbita circular está dado
según la rapidez v(0) de acuerdo a
v 2 (0) 2k 2k
μ = 3 ⇒ v2 (0) = .
R R μR2
La energía en general es
1 2 l2 k
E = μr + O 2 − 2 ,
˙
2 2μr r
2
1 2 l 1
= μr + ( O − k) 2 ,
˙
2 2μ r

34. 24 Sistema de Partículas
y la ecuación radial es
2
lO 1
μ¨ = (
r − 2k) 3 .
μ r
2
lO
Para la órbita circular E = 0 y μ
− 2k = 0. Si la rapidez se aumenta
2
lO
levemente (μ − 2k) > 0 resulta r > 0, r crece sin límite. Si la rapidez se
¨
l2
disminuye levemente ( μ − 2k) < 0 resulta r < 0, r disminuye a cero, es decir
O
¨
partículas chocarán.
1.3.3. Otro caso estable
Para la fuerza elástica con
V (r) = kr2 ,
hay órbitas circulares estables. El potencial efectivo es
2
lO
U ef = 2
+ kr2 ,
2μr
luego la condicón de extremo en r = R da
s
2 2
lO 4 lO
− + 2kR = 0 ⇒ R = ,
μR3 2kμ
y la segunda derivada es
2
3lO
(U ef )00 = + 2k = 8k > 0.
μR4
1.4. Problema de Kepler
Lo anterior puede aplicarse directamente al caso de dos partículas que
interactúan gravitacionalmente. Recordemos que r = r1 − r2 por lo que las
órbitas encontradas son las del movimiento relativo de la partícula (1) res-
pecto a la partícula (2). El centro de masa del sistema está entre ambas a
distancias r1 = m2 r de la partícula (1) y r2 = m1 r de la partícula (2). El
M M
centro de masa puede considerarse con velocidad absoluta cero (o moviéndo-
se con velocidad constante) de modo que respecto al centro de masa ambas

35. 1.4 Problema de Kepler 25
partículas describen el mismo tipo de curva siendo sus ecuaciones polares con
origen en G y el mismo ángulo polar θ las siguientes
y
m1
r1
G θ
r2 x
m2
movimiento relativo
2
m2 lO 1
r1 = ,
M μK 1 − e cos(θ − α)
2
m1 lO 1
r2 = ,
M μK 1 − e cos(θ − α + π)
con
m1 m2
K = Gm1 m2 , M = m1 + m2 , μ =
M
Podemos hacer algunas simplificaciones definiendo h = |r × v| obteniendo
m2 h2 1
r1 = ,
GM 2 1 − e cos(θ − α)
m1 h2 1
r2 = 2 1 + e cos(θ − α)
.
GM
La excentricidad e será dada por
2 2Eμ2 h2
e = 1+ ,
μG2 m2 m2
1 2
(v2 − 2GM )h2
r
= 1+ ,
G2 M 2
Aquí v = v1 − v2 es la velocidad relativa cuando la posición relativa es
r = r1 − r2 .
Cuando una de las masas es muchísimo mayor que la otra como en el caso
de la Tierra y un satélite artificial podemos tomar m2 = M >> m1 = m

36. 26 Sistema de Partículas
entonces será
h2 1
r1 = ,
GM 1 − e cos(θ − α)
r2 ' 0.
La excentricidad e estará dada por
2 (v 2 − 2GM )h2
r
e =1+ ,
G2 M 2
1.5. Sistemas de masa variable
Con algunas consideraciones pueden tratarse sistemas que ganan o pier-
den masa en forma autónomo. Para ello considere un análisis diferencial de
lo que ocurre cuando un sistema de masa inicial m(t) con una velocidad v(t)
es actuado por una fuerza externa F (t) e incorpora una cantidad infinitesi-
mal de masa dm(t) la cual tiene, justo antes de incorporarse, una velocidad
u(t). Transcurrido un tiempo dt, las masa del sistema es m(t) + dm(t). La
cuestión es ¿cuánto ha variado la velocidad del sistema en este proceso? Para
este efecto considere que el sistema total es de masa constante, por lo tanto
podemos usar el hecho que el cambio de la cantidad de movimiento total es
producido por la fuerza F (t) solamente, es decir
F (t)dt = (m(t) + dm)(v(t) + dv(t)) − (dmu(t) + m(t)v(t)),
de aquí, despreciando infinitésimos de segundo orden, se establece el resultado
dv(t) dm(t)
F (t) = m(t) − (u(t) − v(t)) . (1.18)
dt dt
Aun cuando el análisis ha sido hecho para sistemas que ganan masa, el mismo
resultado se obtiene para sistemas que pierden masa, pero en este último
caso u(t) representará la velocidad de los elementos de masa justo después
de abandonar el sistema.
Ejemplo 1.5.1 Una cadena flexible de longitud total L y de masa total M
se suspende de modo que su extremo inferior está justo al nivel del suelo y
se suelta. Determine la reacción que ejerce el suelo sobre el montón que se
acumula mientras la cadena cae. (Se supone que los eslabones son infinitesi-
males y que no rebotan en el suelo).

37. 1.5 Sistemas de masa variable 27
Solución. Sea el sistema de masa variable el montón acumulado, de modo
que aquí, en la dirección vertical
M1 2
v(t) = 0, u(t) = −gt, F (t) = R(t) − mg, m= gt .
L2
Por lo tanto, la ecuación (1.18) nos da
dm
R(t) − mg = −u ,
dt
y finalmente
3M 2 2
R(t) = g t.
2L
N
Ejemplo 1.5.2 Una cadena flexible de longitud total L y de masa total M
viene deslizando sobre una superficie horizontal lisa con rapidez vo , en la di-
rección positiva del eje OX. Al llegar al origen se encuentra con un bloque
de masa M inicialmente en reposo. Determine la posición del bloque en fun-
ción del tiempo mientras la cadena se acumula contra el. (Se supone que los
eslabones son infinitesimales y que no rebotan en el bloque).
Solución. Sea x la coordenada del bloque. La masa total del sistema,
bloque más trozo acumulado será
M
m(t) = M + (v0 t − x),
L
además u(t) = v0 , v(t) = x, F (t) = 0, de modo que la ecuación (1.18) conduce
˙
a la siguiente ecuación diferencial
µ ¶
M M
0 = M + (v0 t − x) x − (v0 − x)2 ,
¨ ˙
L L
o bien, en términos de una variable auxiliar z = L + v0 t − x
0 = zz + z2,
¨ ˙
con condiciones iniciales z(0) = L, z(0) = v0 . Integrando dos veces se obtiene
˙
Lv0 1 2 1 2
z=
˙ , z = L + Lv0 t,
z 2 2

38. 28 Sistema de Partículas
y finalmente
p
x = L + v0 t − L2 + 2Lv0 t, si t < L/v0 .
Más tarde, el sistema continúa moviéndose con la rapidez constante alcanzada
al agotarse la cadena. (Ello ocurre cuando (v0 t−x)M/L = M, o bien z = 2L)
N
Ejemplo 1.5.3 Una cadena flexible de masa distribuida uniformemente λ
[Kg/m] está amontonada en el suelo y se aplica a uno de sus extremos, una
fuerza constante hacia arriba F . Determine la altura de la cadena levantada
en función del tiempo.
Solución. Sea y la altura. Aquí u = 0, v = y, m = λy, de modo que la
˙
ecuación de movimiento será
µ ¶
2 1 dy 2
˙ 2
F − λyg = λy y + λy = λ y
¨ ˙ + 2y
˙
2 dy
la cual puede ser integrada mediante un factor integrante y. Así resulta
d 2 2
2F y − 2λy 2 g = λ (y y ),
˙
dy
entonces F − 2 λyg = λy 2 de donde se obtiene
3
˙
r Z y
F 2 dy
y=
˙ − yg, t= q ,
λ 3 0 F
− 2 yg
λ 3
y finalmente r
F 1
y=t − gt2 .
λ 6
Aunque parezca paradojal, la rapidez inicial del extremo de la cadena después
p
de aplicada la fuerza no es cero, es F/λ cuestión que se explica pues se ha
aplicado una fuerza finita, a un elemento infinitésimo de masa. Además puede
observarse que la cadena se detiene cuando F = 2 λyg, y para ese instante
3
el largo levantado tiene un peso λyg = 3 F , mayor que la fuerza aplicada.
2
Naturalmente después bajará hasta que finalmente sea λyg = F .

39. 1.5 Sistemas de masa variable 29
N
Ejemplo 1.5.4 Un depósito cilíndrico con base circular de área A tiene lí-
quido (agua por ejemplo) inicialmente hasta una altura h0 . Al nivel del suelo
liso, se hace un pequeño agujero circular de área a por el cual sale agua ho-
rizontalmente. Determine la aceleración del depósito producto de la pérdida
de masa.
Solución. Sea h(t) la altura del agua en el depósito, ρ su densidad. Si
suponemos que la aceleración no afecta demasiado la superficie del agua,
podemos primero estimar la forma en que decrece la masa del líquido en el
recipiente si a ¿ A, para el depósito estacionario. La rapidez de salida por el
√
orificio (relativa al recipiente) será de magnitud 2gh, de modo que el caudal
√
másico de salida será ρ 2gh a. Entonces la masa del líquido disminuye de la
forma
dm p
= −ρ 2gh a,
dt
y
m = ρAh
Ahora planteamos la ecuación de movimiento suponiendo que la velocidad
relativa del agua que sale es
p
u − v = − 2gh
dv(t) dm(t)
0 = m(t) − (u − v) ,
dt dt
dv(t) ³ p ´ p
0 = ρAh − − 2gh (−ρ 2gh a),
dt
dv(t)
0 = A − 2g a
dt
y finalmente
dv a
= 2g ,
dt A
mientras quede líquido en el recipiente.
N

40. 30 Sistema de Partículas
1.6. Ejercicios resueltos
1.6.1. Sistema de partículas
Ejercicio 1.6.1 Si cada partícula de un sistema es atraída hacia un punto
fijo 0 con una fuerza proporcional a su masa y a su distancia al punto 0,
demuestre que el centro de masa se mueve como si fuera una partícula del
sistema.
Solución. Para cada partícula
mi ai = −Kmi ri
es decir que cada partícula se mueve de acuerdo a
ai = −Kri .
Pero P
mi ri
rCM =
M
P
mi ai
aCM =
M
de modo que si sumamos todas las ecuaciones, obtenemos
MaCM = −KMrCM
o sea
aCM = −KrCM
misma ecuación de movimiento que la de cada partícula.
N
Ejercicio 1.6.2 Un conjunto de partículas de masas m, puede deslizar li-
bremente sobre alambres paralelos, atrayéndose unas a otras con fuerzas pro-
porcionales al producto de sus masas y distancias. Demuestre que las partí-
culas efectúan oscilaciones armónicas del mismo período relativas a un plano
perpendicular a los alambres y que pasa por el centro de masa supuesto en
reposo.

41. 1.6 Ejercicios resueltos 31
Solución. Supongamos que las correderas están en dirección OX y con-
sidere dos de ellas de índices i, j. La ecuación de movimiento de la mi en la
dirección OX será X
mi xi =
¨ Kmi mj dij cos θij
j6=i
donde dij indica la distancia entre las de índice i, j, y θij es el ángulo que
forma la línea de la fuerza con el eje OX.
y
m
xj
G x
m dij
θij
xi
Como las masas son iguales podemos escribir
X
xi = Km
¨ (xj − xi ).
j6=i
Por otro lado la posición X del centro de masas es
P P
mi xi xi
xCM = = ,
M N
entonces incluyendo i = j se tiene
X
xi = Km
¨ (xj − xi )
j
= KmNxCM − KmNxi ,
es decir
xi + KmN(xi − xCM ) = 0,
¨
prueba lo pedido, porque
ω 2 = KmN
es independiente de i.

42. 32 Sistema de Partículas
N
Ejercicio 1.6.3 Dos partículas iguales se atraen con una fuerza inversa-
mente proporcional al cuadrado de su distancia. Si las partículas deslizan
sobre correderas lisas en ángulo recto, demuestre que el centro de masa des-
cribe una cónica con su foco en la intersección de las correderas.
Solución. Considere la figura. Sea x = d cos θ, y = d sin θ entonces tene-
mos por aplicación de la segunda Ley de Newton que
y
d
O
m θ
x
k k
m¨ = −F cos θ = −
x 2
cos θ = − 3 x
d d
k k
m¨ = −F sin θ = − 2 sin θ = − 3 y
y
d d
por otro lado xCM = x
2
y yCM = y , rCM =
2
d
2
entonces podemos escribir
k
xCM = −
¨ 3
xCM ,
8mrCM
k
yCM
¨ = − 3
yCM ,
8mrCM
que equivale a
k
aCM = − 3
rCM .
8mrCM
O sea el centro de masas es atraído hacia el origen con una fuerza inversa-
mente proporcional al cuadrado de su distancia al origen. Problema que se
estudia en campo central de fuerzas y se demuestra allí que la trayectoria es
necesariamente una sección cónica.

43. 1.6 Ejercicios resueltos 33
N
Ejercicio 1.6.4 Dos partículas de igual masa deslizan sobre correderas lisas
perpendiculares que se interceptan en 0. Demuestre que si las partículas se
atraen y ellas parten desde el reposo desde posiciones cualquiera sobre las
correderas, ellas llegarán simultáneamente a la intersección.
Solución. Con una figura análoga a la del problema anterior, tenemos
que
x
m1 x = −F cos θ = −F
¨
d
y
m2 y = −F sin θ = −F
¨
d
de donde
m1 xy − m2 y x = 0.
¨ ¨
Como las masas son iguales entonces
xy − y x = 0,
¨ ¨
d
(xy − yx) = 0.
˙ ˙
dt
Entonces xy − yx es constante e igual a cero porque las partículas partieron
˙ ˙
del reposo, o sea
xy − yx = 0,
˙ ˙
o bien
x
˙ y
˙
=
x y
que puede integrarse dando
ln y = ln c + ln x,
y = cx
o sea si x = 0 entonces simultáneamente y = 0.
N

44. 34 Sistema de Partículas
Ejercicio 1.6.5 Dos partículas de masa m cada una se mueven sobre las
correderas lisas perpendiculares OX y OY y se atraen con una fuerza propor-
cional a su distancia, siendo K la constante de proporcionalidad. Si inicial-
mente:
x(0) = a, y(0) = a,
x(0) = −V0 , y(0) = 0,
˙ ˙
a) Determine x(t) , y(t) y b) Determine la ecuación cartesiana de la trayec-
toria del centro de masa del sistema.
Solución. Similarmente tendremos
m¨ = −F cos θ = −Kd cos θ = −Kx
x
m¨ = −F sin θ = −F d sin θ = −Ky
y
de modo que
x(t) = A cos ωt + B sin ωt,
y(t) = C cos ωt + D sin ωt,
x(t)
˙ = ω(−A sin ωt + B cos ωt),
˙
y(t) = ω(−C sin ωt + D cos ωt)
y colocando las condiciones iniciales dadas
a = A,
a = C,
−V0 = ωB,
0 = ωD
entonces
a)
V0
x(t) = a cos ωt − sin ωt,
ω
y(t) = a cos ωt.
b) Las coordenadas del centro de masas son
x 1 V0
xCM = = a cos ωt − sin ωt,
2 2 2ω
y 1
yCM = = a cos ωt,
2 2

45. 1.6 Ejercicios resueltos 35
de donde debemos eliminar t, obteniendo
s µ ¶2
V0 2yCM
xCM = yCM − 1− ,
2ω a
que se puede escribir así
V0 2 V0
y 2 (1 + ( ) ) − 2yx + x2 = ( )2 .
aω 2ω
Esto es se trata de una elipse.
N
Ejercicio 1.6.6 Dos partículas de igual masa están unidas por un resorte
de constante k y largo natural a. Además actúa entre ambas partículas una
fuerza amortiguadora proporcional a la rapidez de la variación de la distan-
cia entre ellas. El sistema se coloca en movimiento dándole a una de las
partículas una velocidad V0 perpendicular a la línea que une las partículas.
Determine V0 si después de un tiempo muy largo, el largo del resorte es 2a.
Solución. Mirado desde el centro de masas, que por viajar a velocidad
constante vG = 1 V0 es un sistema inercial, tenemos que las partículas al
2
comienzo y al final (una vez que las oscilaciones terminan) giran en circun-
ferencias alrededor de el. Así al comienzo
1 a 1 a
LG = m V0 + m V0
2 2 2 2
1
= mV0 a.
2
Al final, si V son las rapideces respecto a G, entonces
LG = mV a + mV a = 2mV a.
Como el momentum angular es constante
1
V = V0 .
4
Además, para el movimiento circular de cada partícula
V2
m = K(2a − a),
a

46. 36 Sistema de Partículas
luego r
Ka2
V =
m
y finalmente r
K
V0 = 4V = 4a .
m
N
Ejercicio 1.6.7 Dos partículas A y B de idéntica masa m, están unidas
entre sí por una cuerda inextensible de largo a. La partícula A se mueve por
una corredera horizontal lisa OX, mientras que la partícula B se mueve por
una corredera vertical lisa OY, ambas en un plano vertical. Inicialmente B
está en O y OA = a, con el sistema en reposo. Si θ es el ángulo en B:
y
A
O x
m
θ
B
m
a) Calcular en función de θ las reacciones que ejercen las correderas sobre
las partículas. b) Calcular la tensión en la cuerda en función de θ.
Solución. Llamemos NA , NB , las reacciones normales de las correderas
sobre las partículas y T la tensión de la cuerda. Tenemos
xA = a sin θ, yB = −a cos θ,
de allí calculamos
˙ ˙
xA = aθ cos θ, ˙
yB = aθ sin θ,
˙
y conservación de energía da
1 ˙2 1 ˙2
E = ma2 θ cos2 θ + ma2 θ sin2 θ − mga cos θ = 0,
2 2