Mecánica clásica [usach]

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Mecánica clásica [usach]

  1. 1. MECANICA CLASICA Luis Rodríguez Valencia1 Departamento de Física Universidad de Santiago de Chile 13 de marzo de 20081 email: lhrodrig@lauca.usach.cl
  2. 2. II
  3. 3. Contenidos1. Sistema de Partículas 1 1.1. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Sistema Inercial de referencia . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3. Torque en punto arbitrario . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4. Teorema Energía Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.5. Sistema de dos partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2. Campo Central de Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1. Ecuación diferencial para la órbita . . . . . . . . . . . 16 1.2.2. Relación entre energía y excentricidad . . . . . . . . . 18 1.2.3. Expresión integral para la trayectoria . . . . . . . . . . 20 1.3. Estabilidad de una órbita circular . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.1. Otro punto de vista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.2. Un caso inestable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.3. Otro caso estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4. Problema de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5. Sistemas de masa variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.6.1. Sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.6.2. Sistemas de masa variable . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.6.3. Movimiento en un campo central de Fuerza . . . . . . . 492. Sistema de referencia no inercial 81 2.1. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.2. Movimiento relativo a la tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.2.1. Vertical y aceleración de gravedad del lugar . . . . . . 83 2.2.2. Ecuación de movimiento aproximada . . . . . . . . . . 87
  4. 4. IV CONTENIDOS 2.2.3. Péndulo de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.2.4. Péndulo esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.3. Teorema de Larmor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923. Rotaciones. 105 3.1. Rotaciones de un sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.1.1. Rotaciones de un sistema de coordenadas. . . . . . . . 105 3.1.2. Ángulos de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.1.3. Parámetros de Cayley Klein. . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.1.4. Transformaciones de similaridad. . . . . . . . . . . . . 115 3.1.5. Relaciones entre matrices de Pauli. . . . . . . . . . . . 116 3.1.6. Parámetros de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.2. Velocidad angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.2.1. Descomposición del movimiento. . . . . . . . . . . . . . 118 3.2.2. Teorema de adición de velocidades angulares. . . . . . 119 3.3. Ejercicios resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204. Sistema rígido de partículas 127 4.1. Cantidades cinemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.1.1. Energía cinética y momentum angular . . . . . . . . . 129 4.1.2. Algunas propiedades de la matriz de inercia . . . . . . 129 4.1.3. Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.1.4. El elipsoide de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.2. Ecuaciones dinámicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.2.1. Movimiento Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.2.2. Un ejemplo en más dimensiones, la bola de billar . . . 141 4.3. Movimiento en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.3.1. Ecuaciones de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.3.2. Torque nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.3.3. Cuerpo simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4.3.4. Trompo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.4. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.5. Movimiento con loops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 4.5.1. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 4.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
  5. 5. CONTENIDOS V5. Ecuaciones de Lagrange 189 5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.2. Restricciones o vínculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.2.1. Vínculos holonómicos y coordenadas generalizadas . . . 190 5.2.2. Fuerzas de vínculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5.2.3. Desplazamientos virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5.3. Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 5.3.1. Vínculos no holonómicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 5.3.2. Condición de integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . 195 5.4. Sistemas Conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 5.4.1. Momentos canónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 5.4.2. El hamiltoniano del sistema . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.4.3. Teoremas de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5.4.4. Hamiltoniano y energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 5.4.5. Fuerzas dependientes de la velocidad . . . . . . . . . . 200 5.4.6. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 5.5. Ejemplos y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 5.5.1. Trompo simétrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 5.5.2. Bola que rueda sobre un plano, sometida en su centro a una fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 5.6. Las ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 5.6.1. Sistemas autónomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 5.6.2. Puntos críticos o de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . 214 5.6.3. Estabilidad de un punto de equilibrio . . . . . . . . . . 222 5.6.4. La bifurcación de Saddle point . . . . . . . . . . . . . . 222 5.6.5. Análisis de estabilidad más en general . . . . . . . . . 224 5.6.6. La bifurcación de pitchfork . . . . . . . . . . . . . . . . 224 5.6.7. La bifurcación de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 5.6.8. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 5.6.9. Otro punto de vista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 5.6.10. Un caso inestable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 5.6.11. Otro caso estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 5.7. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2346. Ecuaciones de Hamilton 253 6.1. La Acción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 6.1.1. Principio variacional de Hamilton . . . . . . . . . . . . 254 6.2. Transformaciones canónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
  6. 6. VI CONTENIDOS 6.2.1. Formas de la transformación . . . . . . . . . . . . . . . 256 6.3. Paréntesis de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 6.3.1. Propiedades de los Paréntesis de Poisson . . . . . . . . 258 6.4. Ecuaciones de Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 6.5. Problemas y Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 6.6. Método de Hamilton Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 6.6.1. Función principal de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . 263 6.6.2. Relación con la acción S . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 6.6.3. Función característica de Hamilton . . . . . . . . . . . 266 6.6.4. El oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 6.7. Variables de Acción Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 6.7.1. Sistemas periódicos con un grado de libertad . . . . . . 2707. Oscilaciones pequeñas 273 7.1. La energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 7.2. La energía potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 7.2.1. Posición de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 7.2.2. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 7.3. Linealización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 7.4. El lagrangiano aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 7.5. Solución de las ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . 276 7.5.1. Diagonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 7.5.2. Solución del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 7.6. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2818. Sistemas continuos 291 8.1. Oscilaciones transversales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 8.2. Límite continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 8.2.1. Lagrangiano para la cuerda continua . . . . . . . . . . 293 8.2.2. Densidad Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 8.2.3. Principio de Hamilton para sistemas continuos . . . . . 294 8.3. Soluciones de la ecuación de onda . . . . . . . . . . . . . . . . 295 8.3.1. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 8.3.2. Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 8.4. Método de las series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 8.5. Solución de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 8.5.1. Condiciones iniciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 8.5.2. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
  7. 7. CONTENIDOS VII 8.5.3. Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 8.5.4. Extensión de F (x) o V (x) . . . . . . . . . . . . . . . . 303 8.6. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 8.6.1. Si la cuerda parte recta con un perfil de velocidades iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 8.7. Consideraciones energéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 8.7.1. Potencia en ondas armónicas . . . . . . . . . . . . . . . 307 8.7.2. Membranas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 8.7.3. Solución para geometrías específicas . . . . . . . . . . . 310 8.8. Elementos de mecánica de Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . 313 8.8.1. Cambio del volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 8.8.2. Líneas de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 8.9. Ecuación de movimiento de un fluido ideal . . . . . . . . . . . 319 8.9.1. Onda sonoras en un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . 320 8.9.2. Ondas de canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 8.9.3. Ondas de superficie en líquidos . . . . . . . . . . . . . 325 8.9.4. Más sobre ondas de superficie . . . . . . . . . . . . . . 334 8.9.5. Ecuación no lineal efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . 337 8.9.6. Una solución aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 8.9.7. Algunas soluciones de la ecuación de onda. . . . . . . . 339 8.9.8. A) Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 8.9.9. B) Ondas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 8.9.10. Las ondas electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . 341 8.9.11. Ondas electromagnéticas planas . . . . . . . . . . . . . 343 8.9.12. Velocidad de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 8.9.13. Efecto Doppler clásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 8.9.14. Efecto Doppler relativista . . . . . . . . . . . . . . . . 349 8.9.15. Efecto Doppler para ondas luminosas . . . . . . . . . . 349 8.10. Ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3509. Problemas complementarios 35710.Problemas resueltos 365
  8. 8. VIII CONTENIDOS11.Apéndice 393 11.1. Una ecuación diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 11.2. Las funciones elíptica Jacobianas. . . . . . . . . . . . . . . . . 395 11.3. El péndulo esférico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 11.4. Operador ∇. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 11.4.1. Gradiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 11.4.2. Divergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 11.4.3. Rotor de un campo vectorial. . . . . . . . . . . . . . . 403 11.4.4. Algunas propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 11.4.5. El Laplaciano ∇2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
  9. 9. Índice de figuras 1.1. Transformación de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. sección cónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4. Tipos de cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1. Sistema no inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.2. Sistema fijo a la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.3. Gravedad local, tierra esférica (a) y real (b) . . . . . . . . . . 86 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.2. Rotación en torno a un eje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.3. Rotación activa de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.4. Adición de velocidades angulares . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.1. velocidades de un cuerpo rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.2. Elipsoide de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.3. Bola de billar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.4. Cuerpo simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.5. Conos del espacio y del cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.6. Conos del espacio y del cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 4.7. Choque cuerpos rígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.1. Transformación de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.2. Trompo simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 5.3. Esfera atraida hacia el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 5.4. Autovalores reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 5.5. Autovalores complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 5.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 5.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
  10. 10. X ÍNDICE DE FIGURAS 5.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 5.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 5.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 5.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 5.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 5.13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 5.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 7.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 7.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 7.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 8.1. Potencia en una onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 8.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 8.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 8.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 8.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 9.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 9.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 9.3. Mínimo de una acción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 10.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 10.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 10.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 10.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 10.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 10.6. coordenadas elípticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 11.1. Tipo de solución de una ecuación diferencial . . . . . . . . . . 394 11.2. Péndulo esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
  11. 11. Capítulo 1 Sistema de Partículas1.1. Ecuaciones de movimiento Esta parte de la Mecánica, se presenta en forma bastante resumida. Sepresentan las principales definiciones y relaciones cinemáticas así como lasecuaciones clásicas de movimiento para un sistema de partículas puntualessuponiendo interacciones que cumplan el principio de acción y reacción. Lasdefiniciones de cantidades Físicas cinemáticas, que involucran las masas, lasposiciones, las velocidades, tales como la energía cinética, momentum lineal,momentum angular, son naturalmente relativas al sistema de referencia quese escoja. Entre esos diversos sistemas de referencia, las relaciones que exis-tan entre esas cantidades físicas, se desprenderán de las transformaciones deGalileo para sistemas, vea figura (??), que se trasladan unos respecto de otroscon velocidad constante v r 0 = r − vt.Más en general para sistemas de referencia arbitrarios, admitiendo acele-raciones y rotaciones de ellos respecto a uno supuesto fijo, las relacionesentre velocidades y aceleraciones de partículas son más complicadas. Podemosadelantar que las relaciones entre velocidades y aceleraciones son (2.2,2.3) v = vA + ω × r 0 + v rel , a = aA + α × r 0 + 2ω × v rel + ω × (ω × r 0 ) + a rel ,
  12. 12. 2 Sistema de Partículas Z Z r r Y O O Y X X Figura 1.1: Transformación de Galileosiendo α = dω/dt. Debe notarse que la velocidad y aceleración relativas sonlas derivadas de los vectores posición y velocidad relativos manteniendo fijaslas direcciones de los ejes móviles, lo cual en algunos textos se indica por rel ∂r 0 rel ∂v rel v = , a = . ∂t ∂t1.1.1. Sistema Inercial de referencia En la formulación de la dinámica clásica, se supone la existencia de al me-nos un sistema privilegiado de referencia, un Sistema inercial de referencia.Por definición, un sistema inercial de referencia es aquel (hipotético) sistemarelativo al cual una partícula libre tiene velocidad constante o en particularnula (vea página 5 de referencia [11]) . Como consecuencia de la transforma-ción de Galileo, todo sistema que se traslade con velocidad constante respectoa uno inercial de referencia, es también sistema inercial de referencia. La e-xistencia de uno por lo menos, sería materia de validación experimental, conlas obvias dificultades que ello presenta. Se acepta que al menos aproxima-damente, el marco de las estrellas fijas, lo es. Esta es una materia hoy en díade acuerdo internacional. En efecto en Agosto de 1997, la Unión Astronómi-
  13. 13. 1.1 Ecuaciones de movimiento 3ca Internacional (IAU) decidió que a partir del primero de Enero de 1998,el IAU sistema de referencia celestial sea el sistema (ICRS), en reemplazodel sistema FK5. Hay abundantes referencias en la WEB, por ejemplo enhttp://hpiers.obspm.fr/webiers/general/syframes/icrsf/ICRS.html. Definiciones y notación Respecto a un determinado sistema de referencia, ver fig.(1.2) (no necesariamente inercial), sean i índice i = 1, 2, 3 · · · N N entero número de partículas del sistema. mi .. ............. masa partícula i. ri .. ............. vector posición partícula i. vi = dri /dt velocidad partícula i. ai = dvi /dt aceleración partícula i. Fi .. ............. fuerza externa actuando sobre partícula i. fij .. ............. X fuerza que partícula j ejerce sobre partícula i. P = mi vi Momentum lineal del sistema. X i 1 2 K = 2 mi vi Energía cinética del sistema. X i L0 = mi ri × vi Momentum angular del sistema respecto a O. Xi F ext = Fi Fuerza externa resultante. Xi Γext = O ri × Fi Torque resultante externo respecto a O. Xi M = mi masa total sistema. Xi rG = mi ri /M posición del centro de masa. iEn este resumen no se pretende discutir los fundamentos de la formulación Newtoniana, cuya mayor dificultad radica en las definiciones(independientes) de Fuerza, masa y aceleración, así como en los conceptos de espacio y tiempo, que supondremos materias conocidas.
  14. 14. 4 Sistema de Partículas Z sistema fij Fi mi mj ri ri O Y X Figura 1.2: Sistema de partículas1.1.2. Ecuaciones de movimiento Con respecto a un sistema inercial de referencia, cada una de las N par-tículas cumple con la llamada segunda ley de Newton X mi ai = Fi + fij . (1.1) j6=iFiext representa la fuerza externa actuando sobre la partícula i. Si las fuerzasde interacción fij satisfacen la llamada ley de acción y reacción, es decir fij + fji = 0, y fij × (ri − rj ) = 0,puede demostrarse a partir de las N ecuaciones de movimiento, los siguientesimportantes teoremasI Teorema 1.1 dP = F ext , (1.2) dt
  15. 15. 1.1 Ecuaciones de movimiento 5Demostracion 1Si sumamos todas las ecuaciones (1.1) obtendremos X X XX mi ai = Fi + fij , i i i j6=ipero debido a la ley de acción y reacción, la suma doble se anula, entonces d X X mi vi = Fi = F ext , dt i i dP = F ext . dtI Teorema 1.2 MaG = F ext .Demostracion 2Este teorema sigue del anterior al considerar que X d X P = mi vi = mi ri i dt i d X mi ri = M = MvG . dt i M dLO = Γext . O (1.3) dtDemostracion 3Basta considerar que XX XX 1 XX ri × fij = rj × fji = (ri − rj ) × fij = 0, j6=i j6=i 2 j6=iluego tendremos X X XX mi ri × ai = ri × Fi + ri × fij , i i i j6=i d X X mi ri × vi = ri × Fi , dt i ique prueba el teorema.
  16. 16. 6 Sistema de Partículas Las ecuaciones (1.2) y (1.3) son, en general, insuficientes para determinarlas posiciones de las partículas siendo la excepción más notable un sistemarígido de partículas, que tiene justamente 6 grados de libertad, o en otraspalabras, que su posición puede especificarse con solo 6 coordenadas o pa-rámetros. La segunda de las ecuaciones anteriores, toma la misma forma enun sistema especial, no necesariamente inercial, con origen en el centro demasas G y tal que sus ejes no roten. Es decir, puede probarse que dLG = Γext . G (1.4) dtEntre el sistema inercial y ese otro mencionado con origen en G, puedendemostrarse las siguientes relaciones (relaciones de Koenig), consecuenciassimples de la transformación de GalileoI Teorema 1.3De Koenig LO = MrG × vG + LG 1 2 K = MvG + KG 2siendo KG y LG la energía cinética y momentum angular relativos al sistemacon origen en G.Demostracion 4En efecto, si usamos la transformación de Galileo, podemos escribir (si losejes móviles no rotan) ri 0 = ri − rG , v 0i = vi − vG ,de modo que resultará X LO = mi (ri 0 + rG ) × (vi 0 + vG ) X = mi ( ri 0 × vi 0 + rG × vi 0 + ri 0 × vG + rG × vG ),pero X X mi ri 0 = 0, mi vi 0 = 0,
  17. 17. 1.1 Ecuaciones de movimiento 7de donde sigue el primer resultado. Similarmente 1X K = mi (vi 0 + vG ) · (vi 0 + vG ) 2 1X = mi (vi 0 · vi 0 + vG · vi 0 + vG · vi 0 + vG · vG ), 2de donde sigue el segundo resultado.1.1.3. Torque en punto arbitrario En general, si se considera otro sistema con origen en un punto A, cuyosejes no roten, definimos X d LA = mi (ri − rA ) × (ri − rA ) dtentonces considere el siguiente desarrollo dLA X d2 = mi (ri − rA ) × 2 (ri − rA ) dt X dt = mi (ri − rA ) × (ai − aA ) X X = mi ri × (ai − aA ) − mi rA × (ai − aA ) dL0 X = − MrG × aA − rA × Fiext + MrA × aA Xdt = (ri − rA ) × Fiext + M(rA − rG ) × aA .es decir dLA −→ = Γext − M AG × aA , A (1.5) dtde modo que, la relación entre derivada del momentum angular y torque, esválida para puntos (A) que cumplan una de las siguientes condiciones: −→ A = G, aA = 0, aA paralela a AG.Usted puede demostrar que además se tiene en general. −→ LO = MrA × vG + M AG × vA + LA .Aplicaciones de la ecuación (1.5) pueden verse en ([10]).
  18. 18. 8 Sistema de PartículasEjercicio 1.1.1 Discuta la posible aplicación del tercer caso (a paralela a−→AG), cuando se trata de un cuerpo rígido que rueda sin deslizar, conside-rando el punto A como el punto de contacto. Es un error común considerarcomo argumento para el uso de lo anterior que dicho punto tiene velocidadinstantánea cero, pues en general tiene aceleración no nula.1.1.4. Teorema Energía Trabajo De las ecuaciones de movimiento es posible escribir una primera integralde ellas en la forma que sigue, donde, sin perder generalidad, se separan lasfuerzas externas en sus posibles partes conservativa y no conservativa. Ade-más se supone que las fuerzas de interacción son derivables de un potencial deinteracción dependiente de la distancia entre las dos partículas y posiblemen-te de parámetros propios de ellas dos (masas, cargas, etc.). En el caso de unsistema rígido de partículas, la última suposición no es necesaria, por cuan-to el trabajo que realizan las fuerzas de interacción es nulo, al mantenerseconstantes las distancias entre partículas. Este teorema es ∆(K + V + V int ) = W1→2 , nc (1.6)donde el trabajo no conservativo (nc) externo (ext) es la integral de línea Z2 nc W1→2 = F ext,nc · dr, (1.7) 1 V es la energía potencial asociada a la posible parte conservativa de lafuerza externa y V int la energía potencial de interacción. Si el lado derecho,el trabajo realizado por la posible parte no conservativa de la fuerza exteriores cero, entonces se conserva la energía mecánica total del sistema. En el casoimportante de un sistema rígido de partículas, al no variar las distancias entrelas partículas, puede tomarse V int = 0.Demostración Para demostrar lo anterior consideremos que la fuerza externa Fi es enparte conservativa derivable de un potencial V (r1 , r2 , · · · , rN ) y las fuerzasde interacción fij conservativas derivables de un potencial de interacción
  19. 19. 1.1 Ecuaciones de movimiento 9 intVij (ri , rj ). Entonces las ecuaciones de movimiento puede escribirse X X mi ai = Fi + fij = −∇i V + Finc + int (−∇i Vij (ri , rj )). j6=i j6=iMultiplicando · dri y sumando todas las ecuaciones se obtieneX dvi X X XX mi · dri = − ∇i V · dri + Finc · dri − int ∇i Vij (ri , rj ) · dri , i dt i i j6=ipero X dV = ∇i V · dri , i dvi 1 d 2 mi · dri = mi vi , dt 2 dty à ! 1 X X int 1 XX int 1 XX intd Vij (ri , rj ) = ∇i Vij (ri , rj ) · dri + ∇j Vij (ri , rj ) · drj 2 j6=i 2 j6=i 2 j6=i XX int = ∇i Vij (ri , rj ) · dri , j6=i int intdado que Vij (ri , rj ) = Vji (rj , ri ). Luego tenemos X1 X 2 d mi vi = −dV + Finc · dri − dV int , i 2 idonde 1 X X int V int = Vij (ri , rj ), 2 j6=iy esto prueba el teorema en su forma diferencial X dK + dV + dV int = Finc · dri = dW nc . i
  20. 20. 10 Sistema de Partículas1.1.5. Sistema de dos partículas El problema definido por el conjunto de ecuaciones (1.1), es en generalno solucionable analíticamente, si N ≥ 3. La principal dificultad consiste enla imposibilidad de separar variables. El sistema de dos partículas interac-tuando a través de una fuerza conservativa es un caso soluble de sistemas departículas. Tomando en cuenta la validez del principio de acción y reacción,las dos ecuaciones para ese caso son m1 a1 = f (r1 − r2 ) m2 a2 = −f (r1 − r2 ).Esas ecuaciones son fácilmente desacoplables utilizando como nuevas varia-bles las posición del centro de masa rG y la posición relativa r = r1 − r2resultando MaG = 0, μa = f (r), (1.8)siendo μ la masa reducida del sistema de dos partículas, es decir m1 m2 μ= . (1.9) m1 + m2Entonces, el problema se ha reducido a resolver el problema de una partículade masa reducida μ en presencia de una fuerza central, con centro de fuerzaen una de las partículas. Este resultado es sorprendentemente simple consi-derando que el origen (la posición de una de las partículas) está acelerado.Ejemplo 1.1.1 Considere dos partículas de masas m1 y m2 que están unidaspor una cuerda inextensible liviana de longitud L y no hay otra fuerza másque la tensión de la cuerda. Las partículas se colocan en movimiento convelocidades en el mismo sentidos y perpendiculares a la cuerda de magnitudesv1 y v2 . Determine la tensión de la cuerda. Solución. De acuerdo a lo explicado (r1 − r2 ) m1 a1 = −T , |(r1 − r2 )| (r1 − r2 ) m2 a2 = T , |(r1 − r2 )|
  21. 21. 1.1 Ecuaciones de movimiento 11de donde para r = r1 − r2 , se obtiene μa = −T r, ˆo sea la aceleración relativa es radial dada por T a=− . μLa trayectoria relativa es obviamente una circunferencia de radio L de maneraque T v2 = , μ Lla rapidez relativa es tangencial de magnitud v = |v1 − v2 | por lo tanto μ |v1 − v2 |2 T = . L NEnergía cinética Las posiciones individuales de las dos partículas pueden escribirse m2 r1 = rG + r, M m1 r2 = rG − r, My si derivamos respecto al tiempo, obtenemos las velocidades de las partículas m2 v1 = vG + v, M m1 v2 = vG − v, M
  22. 22. 12 Sistema de Partículaspor lo cual la energía cinética será 1 2 1 2 K = m1 v1 + m2 v2 2 µ 2 1 m2 ³ m ´2 ¶ 2 2 = m1 vG + 2 vG · v + v + 2 M M µ ³ m ´2 ¶ 1 2 m1 1 m2 vG − 2 vG · v + v 2 M M µ ³ ³ m ´2 ¶ 1 2 1 m2 ´2 1 = MvG + m1 v + m2 v 2 2 M M 1 2 1 m1 m2 ³ m2 2 m1 2 ´ = MvG + v + v , 2 2 M M Mque prueba el importante resultado. 1 1 K = MvG + μv 2 . 2 (1.10) 2 2Ejemplo 1.1.2 Suponga un asteroide esférico de 10 km de diámetro que tie-ne una rapidez de 60 km s−1 , con una densidad (como el agua) de 1000 kg m−3 .Determine la energía que debería liberar una explosión interna para dividiral asteroide en dos trozos iguales, cada uno formando un ángulo de cincogrados respecto a la dirección de la velocidad original. Solución. La cantidad de movimiento en la dirección inicial se conserva,luego m mv0 = 2 × v 0 cos θ, 2de donde v0 v0 = . cos θLa energía necesaria será E = K0 − K = 1 1 2 = m(v0 )2 − mv0 2 2 1 2 = mv tan2 θ. 2 0
  23. 23. 1.1 Ecuaciones de movimiento 13Cálculos dan 1000 v0 = 60 = 60. 2 8 m s−1 , 3600 4 3 m = πR ρ = 5. 24 × 1014 kg, 3 E = 7. 287 × 1015 J, = 1,7 megatones. NEjemplo 1.1.3 En otra suposición considere un asteroide esférico de 2000 kmde radio que tiene una rapidez de 70000 km h−1 , con una densidad de 5000 kg m−3 .Determine la energía que debería liberar una explosión interna para dividiral asteroide en dos trozos iguales, cada uno formando un ángulo de cincogrados respecto a la dirección de la velocidad original. Solución. La cantidad de movimiento en la dirección inicial se conserva,luego m mv0 = 2 × v0 cos θ, 2de donde v0 v0 = . cos θLa energía necesaria será E = K0 − K = 1 1 2 = m(v0 )2 − mv0 2 2 1 2 2 = mv tan θ. 2 0Cálculos dan 1000 v0 = 70000 km h−1 = 70000 = 70000. 3 m s−1 , 3600 4 3 m = πR ρ = 1. 7 × 1023 kg, 3 E = 3. 2 × 1030 J, = 7. 6 × 1014 megatones.
  24. 24. 14 Sistema de Partículas NNota 1.1 Hace aproximadamente 65 millones de años atrás un asteroidede alrededor de R = 20 km de radio y una velocidad del orden v = 20 km s−1impactó la Tierra y causó el fin de la mayor parte de la vida en la Tierra. Sisuponemos una densidad del orden de ρ = 5000 kg m−3 (5 veces la del agua)su energía cinética sería 1 4 K = ( πR3 ρ)v2 = 33. 52 × 1024 J, 2 3y como 1 megaton = 4,2 × 1015 J esa energía equivale aproximadamente a K = 8 × 109 megatones,quizás la explosión de todo el arsenal nuclear actual. La bomba atómica de Hi- 1roshima fue del orden de 60 megaton. Vea más detalles sobre las consecuenciasdel impacto en http://www.eas.purdue.edu/eas109/ Day %20the %20 Dino-saurs %20Died.htm.1.2. Campo Central de Fuerza Consideraremos una partícula de masa μ sobre la cual actúa una fuer-za central conservativa cuya dirección es paralela al vector posición r. Másadelante, al estudiar scattering entre dos partículas consideraremos más endetalle la presencia de los dos cuerpos y la transformación entre coordena-das relativas y coordenadas del laboratorio Por ahora, el vector posición rrepresentará el vector posición relativo entre las dos partículas. Si escribimosla fuerza central como dV (r) f (r) = − r, ˆ dry se deducen de aquíI Teorema 1.4Se conserva el momentum angular lO = μr × v.Demostracion 5Tenemos dV (r) μa = f (r) = − r, ˆ dr
  25. 25. 1.2 Campo Central de Fuerza 15de donde dv r × μa = μr × = 0, dto bien d μr × v = 0 ⇒ lO = μr × v = constante. dtI Teorema 1.5La trayectoria está sobre un plano fijo, perpendicular al vector constante lO .Demostracion 6Del teorema anterior sigue que lO · r = μr × v · r = 0,de modo que r permanece sobre un plano fijo perpendicular a l0 .Por lo tanto, es suficiente utilizar coordenadas polares (r, θ) en el plano delmovimiento. En esas coordenadas, las ecuaciones de movimiento serán µ 2 ¶ dr ˙ 2 = − dV (r) μ − rθ (1.11) dt2 dry ˙ lO = μr2 θ = constante. (1.12) ˙Eliminando θ es posible escribir una ecuación radial para r(t) y su primeraintegral que corresponde a la conservación de la energía E. Es decir µ 2 2 ¶ dr lO dV (r) μ 2 − 2 3 =− dt μr dry una primera integral de esta corresponde a la conservación de la energía 1 2 1 l2 μv + V (r) = μr2 + O 2 + V (r) = E = constante. ˙ 2 2 2μrSi llamamos potencial efectivo para la coordenada radial a 2 lO U ef = + V (r), 2μr2este es diferente de cero incluso para una partícula libre. El efecto del primertérmino es siempre repulsivo lo cual se puede entender, para el caso de una
  26. 26. 16 Sistema de Partículaspartícula libre que se mueve en línea recta, simplemente porque la distanciar al origen pasa siempre por un mínimo. Para potenciales V (r) atractivos(negativos), en general pueden haber máximos y mínimos de la distancia r,los llamados puntos de retorno r1 y r2 . La figura que sigue Uef E>0 r1 r2 O r E<0 Emin Potencial efectivoilustra porqué cuando la energía es negativa, hay dos puntos de retorno r1y r2 . Cuando la energía total iguala a Uef entonces r = 0. Para energías ˙positivas habrá sólo un mínimo de r. También se entiende porqué la mínimaenergía posible corresponde al caso de la circunferencia con r1 = r2 .1.2.1. Ecuación diferencial para la órbita La dependencia de las variables polares en el tiempo es compleja. Esmás simple encontrar la dependencia de la distancia con el ángulo, es decirencontrar la órbita. En efecto, haciendo uso de la conservación del momentumangular, es posible eliminar el tiempo de la ecuación radial (1.11) mediante d dθ d l2 d = = O2 , dt dt dθ μr dθresultando para s = 1/r la siguiente ecuación diferencial (ecuación de Binet): d2 s μ dV (1/s) 2 +s = − 2 . dθ lO dsPara un campo de fuerza inverso al cuadrado de la distancia, la integraciónde la última ecuación es simple. Es decir si K V (r) = − , r
  27. 27. 1.2 Campo Central de Fuerza 17siendo K > 0 para el caso atractivo y repulsivo en caso contrario, entoncesla ecuación se reduce a d2 s μ 2 + s = 2 K, dθ lOcuya solución general, en términos de dos constantes e y α es μK s= 2 (1 − e cos(θ − α)), lOo bien 2 lO 1 r= , μK 1 − e cos(θ − α)con e la excentricidad de la órbita y α la orientación del semieje mayorde la cónica resultante, que son constantes por determinar en términos decondiciones físicas conocidas, inicialmente o en un punto de la trayectoria. Si se considera la definición de una cónica en términos de un foco y su directriz p+r cos(θ) P r O θ eje polar p foco Figura 1.3: sección cónicadistancia a la directriz p, como el lugar geométrico de los puntos del planotales que la razón de las distancias al foco y a la directriz es una constantee, la excentricidad de la cónica, se obtiene una ecuación de la misma forma.En efecto, con respecto a la figura (1.3), puede obtenerse r pe = e =⇒ r = . p + r cos θ 1 − e cos θEn el caso atractivo, K > 0, la trayectoria es entonces una elipse si 0 ≤ e < 1,
  28. 28. 18 Sistema de Partículas α α α O O O eje polar eje polar eje polar elipse parábola hiperbola Figura 1.4: Tipos de cónicasuna parábola si e = 1 y una hipérbola si e > 1. Valores de e negativos noson necesarios de considerar, pues ellos correspondería simplemente a rotarla órbita en 180 grados, lo cual es preferible hacer con un valor adecuado deα, ver fig.(1.4).En el caso repulsivo, K < 0, la solución debería escribirse 2 lO 1 r= , μ |K| e cos(θ − α) − 1y en este caso las trayectorias son sólamente hipérbolas.1.2.2. Relación entre energía y excentricidad Para relacionar la energía con la excentricidad, usemos 2 1 2 lO K E = μr + ˙ 2 − , (1.13) 2 2μr ry 2 lO 1 r= . μK 1 − e cos(θ − α)Evaluemos la energía que es constante en el punto más próximo al centro defuerza, el cual existe en todos los casos y corresponde a θ − α = π siendoademás ahí r = 0. Así resulta ˙ 2 lO K 2 − = E, 2μr1 r1
  29. 29. 1.2 Campo Central de Fuerza 19y 2 lO 1 r1 = . μK 1 + eSi se reemplaza r1 en la primera resulta 2 µ ¶2 lO μK(1 + e) μK(1 + e) E = 2 −K 2 2μ lO lO 1 2 e2 − 1 = K μ 2 , 2 lOde donde sigue el resultado. 2 2ElO e2 = 1 + . (1.14) μK 2La energía puede ser negativa pero a pesar de eso, la expresión anterior espositiva. En efecto la expresión de la energía, aun cuando sea negativa debecumplir 1 l2 K l2 K E = μr2 + O 2 − ˙ ≥ O2 − , 2 2μr r 2μr rpero la última expresión tiene un mínimo el que ocurre cuando 2 d lO K l2 K ( − ) = − O3 + 2 = 0, dr 2μr2 r μr res decir 2 lO r= , μKluego µ ¶2 l2 K l2 μK μK μK 2 E ≥ O2 − ≥ O 2 −K 2 =− 2 , 2μr r 2μ lO lO 2lOo sea 2 2ElO ≥ −1, μK 2que prueba lo afirmado.Ejercicio 1.2.1 Para el caso de órbita elíptica, demuestre que los semiejesmayor y menor de la elipse están dados respectivamente por 2 2 lO 1 lO 1 a= , b= √ . μK 1 − e2 μK 1 − e2
  30. 30. 20 Sistema de PartículasEjercicio 1.2.2 Demuestre la ley de Kepler de los periodos, es decir de-muestre que el periodo en el caso de movimiento elíptico T está dado por r μ 3 T = 2π a2 . KEjercicio 1.2.3 Una partícula está en órbita circular de radio a en tornoa la tierra, supuesta esférica, en reposo, de masa total M, de radio R, ysin considerar roce con el aire. Demuestre que si la velocidad de la partículaes repentinamente cambiada por un factor f , la excentricidad de la órbitaresultante es ¯ ¯ e = ¯f 2 − 1¯ .Ejercicio 1.2.4 Respecto a la situación del problema anterior, determineel factor f para que la partícula pase tangente a la superficie terrestre.1.2.3. Expresión integral para la trayectoria Una forma alternativa para obtener la ecuación de la órbita o trayectoria,consiste en considerar r s 2 l2 r= ˙ E − V (r) − O 2 , μ 2μry ˙ lO θ = 2, μrde donde, eliminando el tiempo, se puede obtener Z r(θ) lO 1 θ = θ0 + √ p dr. (1.15) 2μ r2 2 E − V (r) − lO /(2μr2 ) r0expresión integral para la trayectoria r(θ).1.3. Estabilidad de una órbita circular Considere una partícula moviéndose en un potencial central atractivoV (r) de modo que d2 r ˙2 V 0 (r) − rθ = − (1.16) dt2 m
  31. 31. 1.3 Estabilidad de una órbita circular 21y ˙ r2 θ = constante=h. (1.17) La solución circular se obtiene con las condición iniciales r(0) = R, ˙ v(0) = Rθ(0), r RV 0 (R) v(0) = , r m RV 0 (R) h = R . mLa ecuación radial puede escribirse d2 r h2 V 0 (r) − 3 = − dt2 r m d r R3 V 0 (R) 2 V 0 (r) − = − . dt2 mr3 mSupongamos una pequeña perturbación u (sin cambiar la rapidez) de modoque r = R + u,luego d2 u R3 V 0 (R) V 0 (R + u) − =− , dt2 m(R + u)3 mexpandiendo hasta primer orden en u µ ¶ d2 u V 0 (R) 3 V 0 (R) u − 1− u =− − V 00 (R), dt2 m R m mque se simplifica a µ ¶ d2 u 3V 0 (R) 1 00 + + V (R) u = 0. dt2 Rm mLa órbita circular será estable en el sentido de u realice oscilaciones armónicasde pequeña amplitud y ello ocurre si 3V 0 (R) ω2 = + V 00 (R) > 0 R
  32. 32. 22 Sistema de Partículaslo que impone una restricción a la forma del potencial cerca de la órbita . 3 V 00 (R) > − V 0 (R). RSi el potencial es del tipo c V (R) = − , con c > 0 Rnresulta nc V 0 (R) = , Rn+1 n(n + 1)c V 00 (R) = − , Rn+2luego n(n + 1)c 3 nc − n+2 >− , R R Rn+1de aquí una condición que debe cumplir n (n + 1) < 3 ⇒ n < 2,cuestión que es satisfecha por el potencial inverso a la distancia. En efecto si GMm V (r) = − , r 3V 0 (R) 1 3 GMm 1 2GMm GM ω2 = + V 00 (R) = 2 + (− 3 )= 3 Rm m Rm R m R Ry entonces el periodo de oscilación será 2π 2π 2πR T = =q = , ω GM v(0) R3el mismo periodo de revolución en la órbita. En este caso, la solución pertur-bada puede ser encontrada exactamente y se trata de una elipse.
  33. 33. 1.3 Estabilidad de una órbita circular 231.3.1. Otro punto de vista La órbita circular será estable en r = R si el potencial efectivo 2 lO U ef = + V (r), 2μr2tiene un mínimo local en r = R. Entonces debe ser 2 lO V 0 (R) − = 0, μR3 3l2 V 00 (R) + O4 > 0 μR 2o bien, eliminando l0 3 0 V 00 (R) + V (R) > 0 Rque es la misma condición obtenida anteriormente.1.3.2. Un caso inestable La inestabilidad de la órbita circular para el caso k V (r) = − , r2 2k F (r) = − 3 res fácil de comprender. Para este caso el radio de la órbita circular está dadosegún la rapidez v(0) de acuerdo a v 2 (0) 2k 2k μ = 3 ⇒ v2 (0) = . R R μR2La energía en general es 1 2 l2 k E = μr + O 2 − 2 , ˙ 2 2μr r 2 1 2 l 1 = μr + ( O − k) 2 , ˙ 2 2μ r
  34. 34. 24 Sistema de Partículasy la ecuación radial es 2 lO 1 μ¨ = ( r − 2k) 3 . μ r 2 lOPara la órbita circular E = 0 y μ − 2k = 0. Si la rapidez se aumenta 2 lOlevemente (μ − 2k) > 0 resulta r > 0, r crece sin límite. Si la rapidez se ¨ l2disminuye levemente ( μ − 2k) < 0 resulta r < 0, r disminuye a cero, es decir O ¨partículas chocarán.1.3.3. Otro caso estable Para la fuerza elástica con V (r) = kr2 ,hay órbitas circulares estables. El potencial efectivo es 2 lO U ef = 2 + kr2 , 2μrluego la condicón de extremo en r = R da s 2 2 lO 4 lO − + 2kR = 0 ⇒ R = , μR3 2kμy la segunda derivada es 2 3lO (U ef )00 = + 2k = 8k > 0. μR41.4. Problema de Kepler Lo anterior puede aplicarse directamente al caso de dos partículas queinteractúan gravitacionalmente. Recordemos que r = r1 − r2 por lo que lasórbitas encontradas son las del movimiento relativo de la partícula (1) res-pecto a la partícula (2). El centro de masa del sistema está entre ambas adistancias r1 = m2 r de la partícula (1) y r2 = m1 r de la partícula (2). El M Mcentro de masa puede considerarse con velocidad absoluta cero (o moviéndo-se con velocidad constante) de modo que respecto al centro de masa ambas
  35. 35. 1.4 Problema de Kepler 25partículas describen el mismo tipo de curva siendo sus ecuaciones polares conorigen en G y el mismo ángulo polar θ las siguientes y m1 r1 G θ r2 x m2 movimiento relativo 2 m2 lO 1 r1 = , M μK 1 − e cos(θ − α) 2 m1 lO 1 r2 = , M μK 1 − e cos(θ − α + π)con m1 m2 K = Gm1 m2 , M = m1 + m2 , μ = MPodemos hacer algunas simplificaciones definiendo h = |r × v| obteniendo m2 h2 1 r1 = , GM 2 1 − e cos(θ − α) m1 h2 1 r2 = 2 1 + e cos(θ − α) . GMLa excentricidad e será dada por 2 2Eμ2 h2 e = 1+ , μG2 m2 m2 1 2 (v2 − 2GM )h2 r = 1+ , G2 M 2Aquí v = v1 − v2 es la velocidad relativa cuando la posición relativa esr = r1 − r2 . Cuando una de las masas es muchísimo mayor que la otra como en el casode la Tierra y un satélite artificial podemos tomar m2 = M >> m1 = m
  36. 36. 26 Sistema de Partículasentonces será h2 1 r1 = , GM 1 − e cos(θ − α) r2 0.La excentricidad e estará dada por 2 (v 2 − 2GM )h2 r e =1+ , G2 M 21.5. Sistemas de masa variable Con algunas consideraciones pueden tratarse sistemas que ganan o pier-den masa en forma autónomo. Para ello considere un análisis diferencial delo que ocurre cuando un sistema de masa inicial m(t) con una velocidad v(t)es actuado por una fuerza externa F (t) e incorpora una cantidad infinitesi-mal de masa dm(t) la cual tiene, justo antes de incorporarse, una velocidadu(t). Transcurrido un tiempo dt, las masa del sistema es m(t) + dm(t). Lacuestión es ¿cuánto ha variado la velocidad del sistema en este proceso? Paraeste efecto considere que el sistema total es de masa constante, por lo tantopodemos usar el hecho que el cambio de la cantidad de movimiento total esproducido por la fuerza F (t) solamente, es decir F (t)dt = (m(t) + dm)(v(t) + dv(t)) − (dmu(t) + m(t)v(t)),de aquí, despreciando infinitésimos de segundo orden, se establece el resultado dv(t) dm(t) F (t) = m(t) − (u(t) − v(t)) . (1.18) dt dtAun cuando el análisis ha sido hecho para sistemas que ganan masa, el mismoresultado se obtiene para sistemas que pierden masa, pero en este últimocaso u(t) representará la velocidad de los elementos de masa justo despuésde abandonar el sistema.Ejemplo 1.5.1 Una cadena flexible de longitud total L y de masa total Mse suspende de modo que su extremo inferior está justo al nivel del suelo yse suelta. Determine la reacción que ejerce el suelo sobre el montón que seacumula mientras la cadena cae. (Se supone que los eslabones son infinitesi-males y que no rebotan en el suelo).
  37. 37. 1.5 Sistemas de masa variable 27 Solución. Sea el sistema de masa variable el montón acumulado, de modoque aquí, en la dirección vertical M1 2 v(t) = 0, u(t) = −gt, F (t) = R(t) − mg, m= gt . L2Por lo tanto, la ecuación (1.18) nos da dm R(t) − mg = −u , dty finalmente 3M 2 2 R(t) = g t. 2L NEjemplo 1.5.2 Una cadena flexible de longitud total L y de masa total Mviene deslizando sobre una superficie horizontal lisa con rapidez vo , en la di-rección positiva del eje OX. Al llegar al origen se encuentra con un bloquede masa M inicialmente en reposo. Determine la posición del bloque en fun-ción del tiempo mientras la cadena se acumula contra el. (Se supone que loseslabones son infinitesimales y que no rebotan en el bloque). Solución. Sea x la coordenada del bloque. La masa total del sistema,bloque más trozo acumulado será M m(t) = M + (v0 t − x), Lademás u(t) = v0 , v(t) = x, F (t) = 0, de modo que la ecuación (1.18) conduce ˙a la siguiente ecuación diferencial µ ¶ M M 0 = M + (v0 t − x) x − (v0 − x)2 , ¨ ˙ L Lo bien, en términos de una variable auxiliar z = L + v0 t − x 0 = zz + z2, ¨ ˙con condiciones iniciales z(0) = L, z(0) = v0 . Integrando dos veces se obtiene ˙ Lv0 1 2 1 2 z= ˙ , z = L + Lv0 t, z 2 2
  38. 38. 28 Sistema de Partículasy finalmente p x = L + v0 t − L2 + 2Lv0 t, si t < L/v0 .Más tarde, el sistema continúa moviéndose con la rapidez constante alcanzadaal agotarse la cadena. (Ello ocurre cuando (v0 t−x)M/L = M, o bien z = 2L) NEjemplo 1.5.3 Una cadena flexible de masa distribuida uniformemente λ[Kg/m] está amontonada en el suelo y se aplica a uno de sus extremos, unafuerza constante hacia arriba F . Determine la altura de la cadena levantadaen función del tiempo. Solución. Sea y la altura. Aquí u = 0, v = y, m = λy, de modo que la ˙ecuación de movimiento será µ ¶ 2 1 dy 2 ˙ 2 F − λyg = λy y + λy = λ y ¨ ˙ + 2y ˙ 2 dyla cual puede ser integrada mediante un factor integrante y. Así resulta d 2 2 2F y − 2λy 2 g = λ (y y ), ˙ dyentonces F − 2 λyg = λy 2 de donde se obtiene 3 ˙ r Z y F 2 dy y= ˙ − yg, t= q , λ 3 0 F − 2 yg λ 3y finalmente r F 1 y=t − gt2 . λ 6Aunque parezca paradojal, la rapidez inicial del extremo de la cadena después pde aplicada la fuerza no es cero, es F/λ cuestión que se explica pues se haaplicado una fuerza finita, a un elemento infinitésimo de masa. Además puedeobservarse que la cadena se detiene cuando F = 2 λyg, y para ese instante 3el largo levantado tiene un peso λyg = 3 F , mayor que la fuerza aplicada. 2Naturalmente después bajará hasta que finalmente sea λyg = F .
  39. 39. 1.5 Sistemas de masa variable 29 NEjemplo 1.5.4 Un depósito cilíndrico con base circular de área A tiene lí-quido (agua por ejemplo) inicialmente hasta una altura h0 . Al nivel del sueloliso, se hace un pequeño agujero circular de área a por el cual sale agua ho-rizontalmente. Determine la aceleración del depósito producto de la pérdidade masa. Solución. Sea h(t) la altura del agua en el depósito, ρ su densidad. Sisuponemos que la aceleración no afecta demasiado la superficie del agua,podemos primero estimar la forma en que decrece la masa del líquido en elrecipiente si a ¿ A, para el depósito estacionario. La rapidez de salida por el √orificio (relativa al recipiente) será de magnitud 2gh, de modo que el caudal √másico de salida será ρ 2gh a. Entonces la masa del líquido disminuye de laforma dm p = −ρ 2gh a, dty m = ρAhAhora planteamos la ecuación de movimiento suponiendo que la velocidadrelativa del agua que sale es p u − v = − 2gh dv(t) dm(t) 0 = m(t) − (u − v) , dt dt dv(t) ³ p ´ p 0 = ρAh − − 2gh (−ρ 2gh a), dt dv(t) 0 = A − 2g a dty finalmente dv a = 2g , dt Amientras quede líquido en el recipiente. N
  40. 40. 30 Sistema de Partículas1.6. Ejercicios resueltos1.6.1. Sistema de partículasEjercicio 1.6.1 Si cada partícula de un sistema es atraída hacia un puntofijo 0 con una fuerza proporcional a su masa y a su distancia al punto 0,demuestre que el centro de masa se mueve como si fuera una partícula delsistema. Solución. Para cada partícula mi ai = −Kmi ries decir que cada partícula se mueve de acuerdo a ai = −Kri .Pero P mi ri rCM = M P mi ai aCM = Mde modo que si sumamos todas las ecuaciones, obtenemos MaCM = −KMrCMo sea aCM = −KrCMmisma ecuación de movimiento que la de cada partícula. NEjercicio 1.6.2 Un conjunto de partículas de masas m, puede deslizar li-bremente sobre alambres paralelos, atrayéndose unas a otras con fuerzas pro-porcionales al producto de sus masas y distancias. Demuestre que las partí-culas efectúan oscilaciones armónicas del mismo período relativas a un planoperpendicular a los alambres y que pasa por el centro de masa supuesto enreposo.
  41. 41. 1.6 Ejercicios resueltos 31 Solución. Supongamos que las correderas están en dirección OX y con-sidere dos de ellas de índices i, j. La ecuación de movimiento de la mi en ladirección OX será X mi xi = ¨ Kmi mj dij cos θij j6=idonde dij indica la distancia entre las de índice i, j, y θij es el ángulo queforma la línea de la fuerza con el eje OX. y m xj G x m dij θij xi Como las masas son iguales podemos escribir X xi = Km ¨ (xj − xi ). j6=iPor otro lado la posición X del centro de masas es P P mi xi xi xCM = = , M Nentonces incluyendo i = j se tiene X xi = Km ¨ (xj − xi ) j = KmNxCM − KmNxi ,es decir xi + KmN(xi − xCM ) = 0, ¨prueba lo pedido, porque ω 2 = KmNes independiente de i.
  42. 42. 32 Sistema de Partículas NEjercicio 1.6.3 Dos partículas iguales se atraen con una fuerza inversa-mente proporcional al cuadrado de su distancia. Si las partículas deslizansobre correderas lisas en ángulo recto, demuestre que el centro de masa des-cribe una cónica con su foco en la intersección de las correderas. Solución. Considere la figura. Sea x = d cos θ, y = d sin θ entonces tene-mos por aplicación de la segunda Ley de Newton que y d O m θ x k k m¨ = −F cos θ = − x 2 cos θ = − 3 x d d k k m¨ = −F sin θ = − 2 sin θ = − 3 y y d dpor otro lado xCM = x 2 y yCM = y , rCM = 2 d 2 entonces podemos escribir k xCM = − ¨ 3 xCM , 8mrCM k yCM ¨ = − 3 yCM , 8mrCMque equivale a k aCM = − 3 rCM . 8mrCMO sea el centro de masas es atraído hacia el origen con una fuerza inversa-mente proporcional al cuadrado de su distancia al origen. Problema que seestudia en campo central de fuerzas y se demuestra allí que la trayectoria esnecesariamente una sección cónica.
  43. 43. 1.6 Ejercicios resueltos 33 NEjercicio 1.6.4 Dos partículas de igual masa deslizan sobre correderas lisasperpendiculares que se interceptan en 0. Demuestre que si las partículas seatraen y ellas parten desde el reposo desde posiciones cualquiera sobre lascorrederas, ellas llegarán simultáneamente a la intersección. Solución. Con una figura análoga a la del problema anterior, tenemosque x m1 x = −F cos θ = −F ¨ d y m2 y = −F sin θ = −F ¨ dde donde m1 xy − m2 y x = 0. ¨ ¨Como las masas son iguales entonces xy − y x = 0, ¨ ¨ d (xy − yx) = 0. ˙ ˙ dtEntonces xy − yx es constante e igual a cero porque las partículas partieron ˙ ˙del reposo, o sea xy − yx = 0, ˙ ˙o bien x ˙ y ˙ = x yque puede integrarse dando ln y = ln c + ln x, y = cxo sea si x = 0 entonces simultáneamente y = 0. N
  44. 44. 34 Sistema de PartículasEjercicio 1.6.5 Dos partículas de masa m cada una se mueven sobre lascorrederas lisas perpendiculares OX y OY y se atraen con una fuerza propor-cional a su distancia, siendo K la constante de proporcionalidad. Si inicial-mente: x(0) = a, y(0) = a, x(0) = −V0 , y(0) = 0, ˙ ˙a) Determine x(t) , y(t) y b) Determine la ecuación cartesiana de la trayec-toria del centro de masa del sistema. Solución. Similarmente tendremos m¨ = −F cos θ = −Kd cos θ = −Kx x m¨ = −F sin θ = −F d sin θ = −Ky yde modo que x(t) = A cos ωt + B sin ωt, y(t) = C cos ωt + D sin ωt, x(t) ˙ = ω(−A sin ωt + B cos ωt), ˙ y(t) = ω(−C sin ωt + D cos ωt)y colocando las condiciones iniciales dadas a = A, a = C, −V0 = ωB, 0 = ωDentonces a) V0 x(t) = a cos ωt − sin ωt, ω y(t) = a cos ωt. b) Las coordenadas del centro de masas son x 1 V0 xCM = = a cos ωt − sin ωt, 2 2 2ω y 1 yCM = = a cos ωt, 2 2
  45. 45. 1.6 Ejercicios resueltos 35de donde debemos eliminar t, obteniendo s µ ¶2 V0 2yCM xCM = yCM − 1− , 2ω aque se puede escribir así V0 2 V0 y 2 (1 + ( ) ) − 2yx + x2 = ( )2 . aω 2ωEsto es se trata de una elipse. NEjercicio 1.6.6 Dos partículas de igual masa están unidas por un resortede constante k y largo natural a. Además actúa entre ambas partículas unafuerza amortiguadora proporcional a la rapidez de la variación de la distan-cia entre ellas. El sistema se coloca en movimiento dándole a una de laspartículas una velocidad V0 perpendicular a la línea que une las partículas.Determine V0 si después de un tiempo muy largo, el largo del resorte es 2a. Solución. Mirado desde el centro de masas, que por viajar a velocidadconstante vG = 1 V0 es un sistema inercial, tenemos que las partículas al 2comienzo y al final (una vez que las oscilaciones terminan) giran en circun-ferencias alrededor de el. Así al comienzo 1 a 1 a LG = m V0 + m V0 2 2 2 2 1 = mV0 a. 2Al final, si V son las rapideces respecto a G, entonces LG = mV a + mV a = 2mV a.Como el momentum angular es constante 1 V = V0 . 4Además, para el movimiento circular de cada partícula V2 m = K(2a − a), a

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