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Cálculo ii [usach]

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Cálculo ii [usach]

  1. 1. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA Departamento de Matem´tica y Ciencia de la Computaci´n a o ´ CALCULO Segunda Versi´n o Integraci´n y Series o Tomo II Gladys Bobadilla A. y Rafael Labarca B. Santiago de Chile 2004
  2. 2. Prefacio El cero es el silencio antes del n´mero u El n´mero es el verbo matem´tico u a Lo matem´tico es el c´lculo de la realidad a a La realidad es lo unico incre´ ´ ıble Lo incre´ es lo que no podemos ıble Y lo que no podemos es lo que queremos. Patricio Manns. Este texto es producto - en elaboraci´n a´n - del proyecto de desarrollo de la docencia o uTexto de c´lculo anual para ingenier´ civil, financiado por la Vicerrector´ de Do- a ıa ıacencia y Extensi´n de la Universidad de Santiago de Chile. o Gran parte de los contenidos de los cap´ıtulos 1 y 2 est´n sacados del antiguo texto de aC´lculo I escrito por Gladys Bobadilla y Jorge Billeke (Q.E.P.D.). a La idea motriz de los autores para emprender esta tarea es el profundo convencimientoque ´sta es una forma de contribuir a una cultura nacional independiente. e Aunque los temas tratados - generados en Europa entre los siglos 17 y 19 - formanparte del patrimonio universal y existe una amplia y variada literatura, no es una raz´nosuficiente para que la universidad renuncie a crear su propio material docente. Esta labores tan importante como la creaci´n de nuevos conocimientos y necesita, como esta ultima, o ´de una tradici´n para la cual se debe recorrer un largo camino de errores y rectificaciones. o Adem´s, queremos compartir con los j´venes estudiantes que usar´n este libro, la a o areflexi´n del fil´sofo Gast´n Bachelard (1884 - 1962) sobre lo que significa enfrentarse o o oal conocimiento cient´ıfico: ”Frente al misterio de lo real el alma no puede, por decreto,tornarse ingenua. Es entonces imposible hacer, de golpe, tabla rasa de los conocimientosusuales. Frente a lo real, lo que cree saberse claramente ofusca lo que debiera saberse.Cuando se presenta ante la cultura cient´ ıfica, el esp´ ıritu jam´s es joven. Hasta es muy a i
  3. 3. viejo, pues tiene la edad de sus prejuicios. Tener acceso a la ciencia es rejuvenecerse espir-itualmente, es aceptar una mutaci´n brusca que ha de contradecir a un pasado.”1 o Agradecemos los valiosos comentarios de la Dra. Cecilia Yarur, la profesora GracielaEscalona y el se˜or Luis Riquelme que nos ayudaron a mejorar la presentaci´n de este n otexto. Agradecemos adem´s, el apoyo t´cnico en la escritura digital, de la se˜orita Evelyn a e nAguilar y el se˜or Leonelo Iturriaga. n Finalmente, siendo ´sta una versi´n preliminar, agradeceremos a quienes detecten e- e orrores nos lo hagan saber. Gladys Bobadilla A y Rafael Labarca B. Santiago, marzo de 2002. 1 Gast´n Bachelard: La formaci´n del esp´ o o ıritu cient´ ıfico. Ed. Siglo XXI, 1997.
  4. 4. ´Indice general1. L´ımites y continuidad 1 1.1. Los n´meros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u . . . 1 1.1.1. La aritm´tica de los n´meros reales: axiomas de cuerpo . . . . e u . . . 1 1.1.2. Comparaci´n de los n´meros reales: axiomas de orden . . . . . o u . . . 11 1.1.3. Resoluci´n de desigualdades o inecuaciones . . . . . . . . . . . o . . . 16 1.1.4. Una distancia en R: el valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.1.5. La continuidad de R: el axioma del supremo . . . . . . . . . . . . . . 39 1.2. L´ ımites de funciones num´ricas de variable discreta. . . . . . . . . . . e . . . 56 1.2.1. Las variables discretas y el conjunto N . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.2.2. Convergencia de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.2.3. Divergencia de sucesiones hacia ±∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 1.2.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 1.2.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 1.3. Las funciones num´ricas de variable continua . . . . . . . . . . . . . . e . . . 99 1.3.1. Definiciones b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . 99 1.3.2. Representaci´n gr´fica de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . o a . . . 105 1.3.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 1.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 1.4. L´ ımites de funciones num´ricas de variable continua . . . . . . . . . . e . . . 127 1.4.1. L´ımites finitos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 1.4.2. L´ımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 1.4.3. L´ımites finitos cuando la variable independiente crece o decrece in- definidamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 1.4.4. Las funciones circulares o trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . e . . . 142 1.4.5. Definici´n de las funciones circulares o trigonom´tricas . . . . . o e . . . 144 1.4.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 1.4.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 1.5. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 1.5.1. Definiciones b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . 192 iii
  5. 5. 1.5.2. Continuidad de funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 1.5.3. Discontinuidades removibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 1.5.4. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 1.5.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 1.5.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2152. La derivada y sus aplicaciones 219 2.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 219 2.2. Definici´n y f´rmulas b´sicas de la derivada . . . . . . . . . . . . o o a . . . . . . 222 2.2.1. Definiciones b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . 222 2.2.2. F´rmulas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 228 2.2.3. Las derivadas de las funciones trigonom´tricas . . . . . . e . . . . . . 233 2.2.4. Las derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 2.2.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 2.2.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 2.3. Propiedades de las funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 2.3.1. Teoremas principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 2.3.2. Derivadas de las inversas de las funciones trigonom´tricas e . . . . . . 257 2.3.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 2.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 2.4. Aplicaciones I: La regla de L’Hˆpital . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 269 2.5. Aplicaciones II: Gr´ficos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . 276 2.6. Aplicaciones III: An´lisis de curvas en el plano . . . . . . . . . . a . . . . . . 294 2.6.1. Elementos de Geometr´ Anal´ ıa ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 2.6.2. An´lisis de curvas en coordenadas rectangulares . . . . . a . . . . . . 342 2.6.3. An´lisis de curvas dadas por ecuaciones param´tricas . . a e . . . . . . 352 2.6.4. Curvas expresadas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . 364 2.7. Aplicaciones IV: problemas de m´ximo y m´ a ınimo . . . . . . . . . . . . . . . 382 2.8. Aplicaciones V: Raz´n de cambio y diferenciales . . . . . . . . . o . . . . . . 400 2.8.1. Razones de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 2.8.2. Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 2.9. Aplicaciones VI: F´ ısica del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 2.10. Bibliograf´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . 4163. La integral de Riemann 417 3.1. Sumas de Riemann y el concepto de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 3.1.1. C´lculo de integrales mediante sumas de a Riemann particulares . . . 427 3.2. Propiedades de la Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 3.3. Teorema Fundamental de C´lculo . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . 468 3.4. Las funciones logaritmo natural y exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
  6. 6. 3.4.1. Definici´n y propiedades de la funci´n logaritmo natural . . . . . o o . 477 3.4.2. La funci´n exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 484 3.4.3. Aplicaciones de la funci´n exponencial: . . . . . . . . . . . . . . . o . 493 3.4.4. Las funciones hiperb´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 496 3.4.5. La regla de L’Hˆpital y c´lculo de l´ o a ımites de formas indeterminadas de tipo exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 3.4.6. Derivaci´n logar´ o ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5084. La integral indefinida: c´lculo de primitivas a 525 4.1. La integral indefinida y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 4.1.1. La integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 4.1.2. F´rmulas b´sicas de integraci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o a o . 528 4.1.3. Propiedades elementales de la integral indefinida . . . . . . . . . . . 530 4.1.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 4.2. F´rmulas de reducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o . 538 4.2.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543 4.3. Integraci´n de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 544 4.3.1. Descomposici´n de un polinomio en factores . . . . . . . . . . . . . o . 544 4.3.2. Descomposici´n de una funci´n racional en fracciones simples o par- o o ciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 4.3.3. Integraci´n de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 548 4.4. Integraci´n de algunas funciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . o . 555 4.4.1. Integraci´n de funciones irracionales simples . . . . . . . . . . . . . o . 555 4.4.2. Integraci´n de f (x) = xp (axn + b)q p, q, n ∈ Q. . . . . . . . . . . . o . 557 4.4.3. Integraci´n de funciones racionales que involucran polinomios en x o y ra´ıces cuadradas de ax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559 4.4.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563 4.5. Integraci´n de ciertas funciones trascendentes. . . . . . . . . . . . . . . . . o . 564 4.5.1. Integraci´n de funciones trigonom´tricas. . . . . . . . . . . . . . . o e . 564 4.5.2. Integraci´n de funciones trigonom´tricas inversas. . . . . . . . . . . o e . 574 4.5.3. Integraci´n de funciones hiperb´licas, exponenciales y logar´ o o ıtmicas. . 575 4.5.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5805. Aplicaciones de la integral 585 5.1. C´lculo de ´reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a . . . . 585 5.1.1. C´lculo de ´reas en coordenadas rectangulares . . . . . . . . a a . . . . 585 5.1.2. C´lculo de ´reas usando ecuaciones param´tricas . . . . . . . a a e . . . . 588 5.1.3. C´lculo de ´reas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . a a . . . . 590 5.2. C´lculo de longitudes de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . 611 5.2.1. C´lculo de longitudes de curvas en coordenadas rectangulares a . . . . 611
  7. 7. 5.2.2. C´lculo de longitudes de curvas dadas por ecuaciones param´tricas a e . 613 5.2.3. C´lculo de longitudes de curvas en coordenadas polares . . . . . . a . 615 5.3. Vol´menes y ´reas de superficies de s´lidos de revoluci´n . . . . . . . . . . u a o o . 623 5.3.1. M´todo de los discos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . 623 5.3.2. M´todo de las cortezas o cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . 624 ´ 5.3.3. Areas de superficies de revoluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 628 5.4. Integrales el´ ıpticas e integraci´n num´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e . 638 5.4.1. Integrales el´ıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638 5.4.2. Dos m´todos num´ricos de integraci´n . . . . . . . . . . . . . . . . e e o . 6416. Integrales impropias y series 651 6.1. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651 6.1.1. Integrales impropias sobre intervalos no acotados o de primera clase 651 6.1.2. Propiedades de las integrales impropias de primera clase . . . . . . . 654 6.1.3. Integrales impropias cuando la funci´n no es acotada en el intervalo o de integraci´n o de segunda clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658 o 6.1.4. Otros criterios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664 6.1.5. La funci´n Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666 o 6.1.6. La funci´n Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667 o 6.2. Series Num´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691 e 6.2.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691 6.2.2. Criterios b´sicos de convergencia de series . . . . . . . . . . . . . . 693 a 6.2.3. Series de t´rminos alternados: criterio de Leibniz . . . . . . . . . . . 699 e 6.2.4. Convergencia absoluta y condicional de series . . . . . . . . . . . . . 701 6.2.5. Multiplicaci´n de series de t´rminos no-negativos . . . . . . . . . . . 704 o e 6.2.6. Multiplicaci´n de series en general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 o 6.2.7. Criterios m´s espec´ a ıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709 6.2.8. Series de N´meros Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711 u 6.3. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726 6.3.1. Series de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726 6.3.2. Propiedades de las series uniformemente convergentes . . . . . . . . 730 6.3.3. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732 6.4. Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751 6.4.1. C´lculo de polinomios y series de Taylor para funciones elementales 754 a
  8. 8. Cap´ ıtulo 3La integral de Riemann3.1. Sumas de Riemann y el concepto de integralDefinici´n 3.1.1 Partici´n del intervalo Sea [a, b] un intervalo cerrado y acotado de o oR, a < b. Una partici´n de [a, b] es una familia finita P = {t 0 , t1 , . . . , tn } de puntos tales oque a = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = b Para cada partici´n P = {t0 , t1 . . . , tn } tenemos que los intervalos [t0 , t1 ], [t1 , t2 ], . . . , [tn−1 , tn ] osatisfacen: n [a, b] = [ti−1 , ti ] i=1Denotaremos por ∆ti la longitud del subintervalo [ti−1 , ti ], es decir: ∆ti = ti − ti−1 = longitud del subintervalo i.En particular, tenemos: n ∆ti = (t1 − t0 ) + (t2 − t1 ) + . . . + . . . = b − a = longitud del intervalo [a, b]. i=1Se llama norma de la partici´n al n´ mero ||P|| = m´x{∆t i : i = 1, . . . n}. o u a a t1 t2 ... tn−1 b Figura 3.1: Partici´n del intervalo o Sea f : [a, b] → R una funci´n acotada. Sea P = {t 0 , t1 , . . . , tn } una partici´n de [a, b]. o o 417
  9. 9. 418 CAP´ ITULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANNPara cada i ∈ N, 1 ≤ i ≤ n se definen los n´ meros: u Mi = sup{f (x) ; x ∈ [ti−1 , ti ]} mi = inf{f (x) ; x ∈ [ti−1 , ti ]} Es inmediato que mi ≤ f (x) ≤ Mi , para todo x ∈ [ti−1 , ti ] ; i = 1, 2, . . . , n.Definici´n 3.1.2 1. Se llama una suma de Riemann de f correspondiente a la par- o tici´n P a cualquier n´ mero de la forma: o u n s(f, P) = f (ξi )(ti − ti−1 ), ξi ∈ [ti−1 , ti ]. i=1 2. Se llama suma inferior de f correspondiente a la partici´n P al n´ mero o u n I(f, P) = mi (ti − ti−1 ). i=1 3. Se llama suma superior de f correspondiente a la partici´n P al n´ mero o u n S(f, P) = Mi (ti − ti−1 ). i=1Observaci´n 3.1.3 Como f es acotada en [a, b] entonces es acotada en cada [t i−1 , ti ] y oluego tiene supremo e ´ ınfimo en dicho intervalo. Si adem´s, f es continua, el Teorema de aWeierstrass 1.5.18, asegura que f alcanza su valor m´ximo y m´ a ınimo en cada intervalo[ti−1 , ti ].En particular si f es continua y creciente m i = f (ti−1 ) y Mi = f (ti ).I(f, P) =f (a)(t1 − a) + f (t1 )(t2 − t1 ) + f (t2 )(t3 − t2 ) + f (t3 )(b − t3 ) =suma de las areas ´ de las partes achuradas de la figura 3.2.,donde se toma f continua, creciente y positiva. a t1 t2 t3 b Figura 3.2: Sumas inferiores
  10. 10. 3.1. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 419S(f, P) =f (t1 )(t1 − a) + f (t2 )(t2 − t1 ) + f (t3 )(t3 − t2 ) + f (b)(b − t3 ) = suma de las areas ´ de las partes achuradas de la figura 3.3. a t1 t2 t3 b Figura 3.3: Sumas superioresObservaci´n 3.1.4 Es f´cil verificar que I(f, P) ≤ S(f, P) para toda partici´n P de o a o[a, b](Ejercicio ).Definici´n 3.1.5 Una partici´n P de [a, b] se dice m´s fina o un refinamiento de la o o apartici´n P de [a, b]) si se cumple que todo punto de P es punto de P. En tal caso oescribimos P ⊂ P.Ejemplo 3.1.6 P = {1, 1,2, 1,4, 1,6, 1,8, 2} es una partici´n de [1, 2] m´s fina que {1, 1,4, 2}. o aLema 3.1.7 Sean P, P particiones de [a, b] tales que P ⊂ P y f : [a, b] → R acotadatenemos: I(f, P ) ≤ I(f, P) ≤ S(f, P) ≤ S(f, P ). Demostraci´n: Suponemos que P = {t0 , t1 , . . . , tn−1 , tn } y que P = {t0 , t0 , t1 , t2 , . . . , tn−1 , tn }, oes decir que P tiene un punto m´s que P . a t0 t0 t1 Figura 3.4: En este caso I(f, P ) =m0 (t1 − t0 ) + m1 (t2 − t1 ) + . . . + mn−1 (tn − tn−1 ) I(f, P) =m0 (t0 − t0 ) + m1 (t1 − t0 ) + m1 (t2 − t1 ) + . . . + mn−1 (tn − tn−1 ) I(f, P) − I(f, P ) =m0 (t0 − t0 ) + m1 (t1 − t0 ) − m0 (t1 − t0 ) = =(m0 − m0 )(t0 − t0 ) + (m1 − m0 )(t1 − t0 )
  11. 11. 420 CAP´ ITULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN Ya que m0 ≤ m0 y m0 ≤ m1 tenemos I(f, P ) ≤ I(f, P). t0 t0 t1 Figura 3.5. An´logamente se prueban los otros resultados. aLema 3.1.8 Si P y P son dos particiones cualesquiera de [a, b] entonces se cumple queI(f, P) ≤ S(f, P ).Demostraci´n: Sea P = P ∪ P , de acuerdo al lema anterior tenemos o I(f, P) ≤ I(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ S(f, P) I(f, P ) ≤ I(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ S(f, P )Por lo tanto, I(f, P) ≤ S(f, P ) ≤ S(f, P ) como quer´ ıamos probar. Sea ahora rf = {I(f, P) ; P es partici´n de [a, b]} el conjunto de todas las sumas inferi- oores asociadas a todas las posibles particiones de [a , b]. La proposici´n anterior garantiza oque rf es acotado superiormente y , por lo tanto, tiene supremo. Esto da sentido a lasiguiente definici´n. oDefinici´n 3.1.9 La integral inferior de f en [a, b] es el n´ mero o u b f (x)dx = sup{I(f, P) ; P es partici´n de [a, b]} o a Sea Rf = {S(f, P) ; P es partici´n de [a, b]}. De acuerdo a la proposici´n anterior R f o oes acotado inferiormente y , por lo tanto, tiene ´ ınfimo. Esto da sentido a la siguientedefinici´n. oDefinici´n 3.1.10 La integral superior de f en [a, b] es el n´ mero o u b f (x)dx = inf{S(f, P) ; P es partici´n de [a, b]} o a
  12. 12. 3.1. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 421Definici´n 3.1.11 Diremos que f es integrable en [a, b] si se cumple que o b b f (x)dx = f (x)dx a a bEn este caso el valor com´ n se denota por u f (x)dx y se llama integral de Riemann ade f sobre el intervalo [a, b]. b bObservaci´n 3.1.12 Es inmediato que o f (x)dx ≤ f (x)dx. a aEjemplo 3.1.13 1. Sea f la funci´n constante sobre [a, b]. Es decir, f : [a, b] → R tal o que f (x) = c, para todo x ∈ [a , b]. Sea P = {t0 , t1 , . . . , tn } una partici´n cualquiera de [a, b]. entonces tenemos que: o n I(f, P) = mi (ti − ti−1 ), i=1 n S(f, P) = Mi (ti − ti−1 ). i=1 Como mi = inf{f (x) ; x ∈ [ti−1 , ti ]} = c y Mi = sup{f (x) ; x ∈ [ti−1 , ti ]} = c. Tenemos n I(f, P) = c(ti − ti−1 ) = c(t1 − t0 + t2 − t1 + . . . + tn − tn−1 ) = c(tn − t0 ) = c(b − a). i=1 An´logamente tenemos que: a n S(f, P) = c(ti − ti−1 ) = c(b − a). i=1 De esta forma podemos concluir que: b b f (x)dx = c(b − a) = f (x)dx. a a Por lo tanto, en virtud de la definici´n 3.1.11 tenemos que f es una funci´n integrable o o y b f (x)dx = c(b − a). a
  13. 13. 422 CAP´ ITULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN 2. Sea f : [a, b] → R la funci´n definida por o 0 si x es racional f (x) = 1 si x es irracional Sea P = {t0 , t1 , . . . , tn } una partici´n cualquiera de [a , b]. Entonces, debido a la o densidad de los n´ meros racionales e irracionales en R tenemos que: u mi = inf{f (x) ; x ∈ [ti−1 , ti ] } = 0 Mi = sup{f (x) ; x ∈ [ti−1 , ti ] } = 1. Luego, n n I(f, P) = mi (ti − ti−1 ) = 0 · (ti − ti−1 ) = 0. i=1 i=1 n n S(f, P) = Mi (ti − ti−1 ) = (ti − ti−1 ) = tn − t0 = b − a. i=1 i=1 Por lo tanto, b f (x)dx = sup rf = 0, a b f (x)dx = inf Rf = b − a. a As´ f no es integrable puesto que ı, b b f (x)dx = 0 = f (x)dx = b − a. a a 3. Sea f : [0, 1] → R definida por f (x) = x. 1 1
  14. 14. 3.1. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 423 1 1 Demostraremos que f (x)dx = . 0 2 En efecto, sea P = {t0 , t1 , . . . , tn } una partici´n de [0, 1] que divide el intervalo o 1 en n subintervalos de longitud igual a . Por lo cual la partici´n es el conjunto o n 1 2 i i 0, , , . . . , . . . , . . . , 1 . Es decir, ti = , con 1 ≤ i ≤ n, y las sumas inferiores n n n n son: n i−1 i I(f, P) = mi (ti − ti−1 ), donde mi = inf f (x) ; x ∈ , . n n i=1 n n n i−1 i i−1 i−1 1 1 I(f, P) = − = · = 2˙ (i − 1) n n n n n n i=1 i=1 i=1 1 n · (n − 1) n−1 = 2 = . n 2 2n Las sumas superiores tienen la forma: n n n i 1 i S(f, P) = Mi (ti − ti−1 ) = · = n n n2 i=1 i=1 i=1 n n 1 1 n(n + 1) n+1 = (i) = i= = . n2 n2 2n 2 2n i=1 i=1 Como b b I(f, P) ≤ f (x)dx ≤ f (x)dx ≤ S(f, P), a a entonces para todo n ∈ N se tiene: b b n−1 n+1 ≤ f (x)dx ≤ f (x)dx ≤ . 2n a a 2n Tenemos que b b n−1 n+1 l´ ım ≤ f (x)dx ≤ f (x)dx ≤ l´ ım . n→∞ 2n a a n→∞ 2n Es decir, b b 1 f (x)dx = f (x)dx = a a 2 como hab´ ıamos enunciado.
  15. 15. 424 CAP´ ITULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN Criterio de Integrabilidad Teorema 3.1.14 Sea f : [a, b] → R una funci´n acotada. f es integrable en [a, b] si y s´lo o o si para todo ε > 0 existe una partici´n P ε de [a, b] tal que S(f, Pε ) − I(f, Pε ) < ε. o Demostraci´n: o (⇐=) Supongamos que la condici´n es cierta. Entonces, dado ε > 0 existe una partici´n o o Pε de [a, b] tal que S(f, Pε ) − I(f, Pε ) < ε. Por lo cual, inf{S(f, P) ; P es partici´n de [a, b]} < I(f, P ε ) + ε. o Usando la definici´n de integral superior podemos escribir: o b f (x)dx < I(f, Pε ) + ε < sup{I(f, P) ; P es partici´n de [a, b]} + ε. o a En virtud de la definici´n de la integral inferior, tenemos: o b b f (x)dx < f (x)dx + ε. a a Lo que implica que, b b 0≤ f (x)dx − f (x)dx < ε. a a Como esta desigualdad se cumple para todo n´ mero positivo ε, podemos concluir u que b b f (x)dx = f (x)dx, a a lo que nos dice que f es integrable.( =⇒ ) Reciprocamente, si f es integrable, entonces b b f (x)dx = f (x)dx = I. a a Sea ε > 0 dado. Usando la definici´n de integral superior, definici´n 3.1.10 o -lo que o o ınfimo, tenemos que existe P ε tal que: es equivalente- la caractizaci´n de ´ o b ε S(f, Pε ) < f (x)dx + . a 2
  16. 16. 3.1. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 425 En virtud del lema 3.1.7, podemos escribir: b ε S(f, P) < f (x)dx + , para toda partici´n P m´s fina que P ε . o a a 2 An´logamente, usando la definici´n de integral inferior, definici´n 3.1.9, o lo que es a o o equivalente la definici´n de supremo, tenemos que existe o Pε tal que: b ε I(f, Pε ) > f (x)dx − . a 2 Nuevamente, usando el lema 3.1.7, podemos escribir: b ε I(f, P) > f (x)dx − , para toda partici´n P m´s fima que P ε . o a a 2 Si definimos Pε = P ε ∪ Pε , tenemos que: ε S(f, Pε ) < I + 2 ε −I(f, Pε ) < −I + 2 sumando las dos desigualdades obtenemos, S(f, Pε ) − I(f, Pε ) < ε.Ejemplo 3.1.15 La funci´n f (x) = [x], la parte entera de x, satisface el criterio de ointegrabilidad en [0, 1] y por lo tanto es integrable en dicho intervalo.En efecto 0 si 0 ≤ x < 1 f (x) = 1 si x = 1.Esta funci´n tiene una discontinuidad en [0, 1]. Sea P una partici´n cualquiera de [0, 1]. o oP = {x0 , x1 , . . . xn } ; x0 = 0 , xn = 1. Como la funci´n es constante en [0, 1[ e igual a ocero, tenemos que: mi = inf{f (x) ; x ∈ [xi−1 , xi ]} = 0, i = 1, . . . n. Mi = sup{f (x) ; x ∈ [xi−1 , xi ]} = 0, i = 1, . . . n − 1. Mn = 1
  17. 17. 426 CAP´ ITULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANNPor lo tanto, I(f, P) = 0 S(f, P) = 1 · (xn − xn−1 ) = ∆xn .As´ tenemos, ı 0 ≤ S(f, P) − I(f, P) = ∆xn .Entonces, dado ε positivo, en virtud del Principio de Arqu´ımedes existe N ∈ N tal que1 1 < ε. Por otro parte, podemos construir una partici´n P ε de modo que ||Pε || < . oN NAs´ dado ε positivo hemos encontrado una partici´n de [0, 1], tal que ı, o 1 0 ≤ S(f, P) − I(f, P) = ∆xn < < ε. N 1 ¿Cu´nto vale a [x]dx ? 0Como ya sabemos que la integral existe, podemos obtener su valor por el camino m´s f´cil. a aEn este caso usando la integral inferior cuyo valor es cero. 1 [x] dx = 0. 0Ejemplo 3.1.16 La funci´n f (x) = [x], la parte entera de x, satisface el criterio de ointegrabilidad en [1, 2] y por lo tanto es integrable en dicho intervalo.En efecto 1 si 1 ≤ x < 2 f (x) = 2 si x = 2.Esta funci´n tiene una discontinuidad en [1, 2]. Sea P una partici´n cualquiera de [1, 2]. o oP = {x0 , x1 , . . . xn } ; x0 = 1 , xn = 2. Como la funci´n es constante en [1, 2[ e igual a ouno, tenemos que: mi = inf{f (x) ; x ∈ [xi−1 , xi ]} = 1, i = 1, . . . n. Mi = sup{f (x) ; x ∈ [xi−1 , xi ]} = 1, i = 1, . . . n − 1. Mn = 2
  18. 18. 3.1. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 427Por lo tanto, n n n I(f, P) = mi · ∆xi = 1 · ∆xi = ∆xi = 1 i=1 i=1 i=1 n n−1 n−1 S(f, P) = Mi · ∆xi = Mi · ∆xi + Mn ∆xn = ∆xi + Mn ∆xn i=1 i=1 i=1 = (xn−1 − 1) + Mn ∆xn = xn−1 − 1 + 2(xn − xn−1 ) = (xn − xn−1 ) − 1 + 2 = ∆xn + 1.As´ tenemos, ı 0 ≤ S(f, P) − I(f, P) = ∆xn + 1 − 1 = ∆xn .Entonces, dado ε positivo, en virtud del Principio de Arqu´ımedes existe N ∈ N tal que1 1 < ε. Por otro parte, podemos construir una partici´n P ε de modo que ||Pε || < . oN NAs´ dado ε positivo hemos encontrado una partici´n de [0, 1], tal que ı, o 1 0 ≤ S(f, P) − I(f, P) = ∆xn < < ε. N 2 ¿Cu´nto vale a [x]dx ? 1como en el ejemplo anterior, dado que ya sabemos que la integral existe, podemos obtenersu valor por el camino m´s f´cil. En este caso usando la integral inferior cuyo valor es uno. a a 2 [x] dx = 1. 13.1.1. C´lculo de integrales mediante sumas de Riemann particulares a b−aTeorema 3.1.17 Si f : [a, b] → R es integrable y P n = {ti , ti = a + i, i = 0, · · · , n} nentonces, b ım s(f, Pn ) = l´ f (x)dx. n→+∞ aDemostraci´n: o S f : [a, b] → R es una funci´n integrable, existen sus integrales superior e inferior: o b f (x)dx = sup{I(f, P); P partici´n de [a, b]} o a b f (x)dx = inf{S(f, P); P partici´n de [a, b]}. o a
  19. 19. 428 CAP´ ITULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN b b Adem´s, se tiene la igualdad, a f (x)dx = f (x)dx. a a b−a Consideremos la partici´n Pn = {ti : ti = a + o i; i = 0, 1, 2. · · · n }. n n n Es inmediato que Pn divide el intervalo [a, b] en n subintervalos I 1 , · · · , In de iguallongitud y se tiene que: Iin = [ti−1 , ti ], i = 1, · · · , n. Sean mn = inf{f (x), x ∈ Iin }, i Min = sup{f (x); x ∈ Iin }. En este caso: n n (b − a) I(f, Pn ) = mn (ti i − ti−1 ) = mn · i n i=1 i=1 n n (b − a) S(f, Pn ) = Min (ti − ti−1 ) = Min . n i=1 i=1 Esto es, n n b−a 1 I(f, Pn ) = mn = (b − a) · i mn i n n i=1 i=1 n n b−a 1 S(f, Pn ) = Min = (b − a) · Min . n n i=1 i=1 1. Es inmediato que I(f, Pn ) ≤ I(f, Pn+1 ). n+1 En efecto, si Ij ⊂ Ij ∪ Ii+1 entonces, mn+1 ≥ max{mn , mn }, en consecuencia n n j i i+1 n+1 1 (b − a) mn+1 i n+1 i=1 = (b − a) promedio de {mn+1 , · · · , mn+1 } ≥ (b − a) promedio de {mn , · · · , mn }. 1 i n 2. Usando el criterio de integrabilidad, sabemos que dado ε > 0, existe una partici´n o b Pε de [a, b], tal que 0 ≤ f (x)dx − I(f, Pε ) < ε. Por el Principio de Arqu´ ımedes, u dado el n´ mero ||Pε || existe N ∈ N tal que, u 1 ≤ ||Pε ||. N
  20. 20. 3.1. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 429 Ahora, podemos construir una partici´n P N que sea un refinamiento de tal Pε y de o 1 modo que todos los subintervalos sean de longitud menor o igual que . N Entonces, tenemos que para todo n ≥ N , se cumple, b I(f, Pε ) ≤ I(f, PN ) ≤ S(f, PN ) ≤ S(f, Pε ) ≤ f (x)dx. a b b As´ 0 < ı, f (x) − S(f, Pn ) ≤ f (x)dx − S(f, Pε ) ≤ ε. a a Por lo tanto, b b l´ s(f, Pn ) = ım f (x)dx = f (x)dx. n→∞ a aEjemplo 3.1.18 Consideramos f (x) = x 3 , x ∈ [0, 1]. i−1 i−1 3 En este caso, como f es creciente, mi = f n = . n n n n−1 1 1 (i − 1) 3 1I(f, P) = · mi = = · i3 n n n n4 i=1 i=1 i=1 2 2 2 1 (n − 1) · n 1 n−1 1 1 = = = 1− . n4 2 4 n 4 nAs´ tenemos que: ı ım I(f, P) = 1/4. l´ n→+∞Ejemplo 3.1.19 La funci´n f (x) = x definida en [a, b] es integrable y su integral o b b2 − a 2 x dx = . a 2En efecto, demostraremos que f (x) = x satisface el criterio de integrabilidad en cualquierintervalo [a, b].Dado un n´ mero positivo ε positivo, debemos encontrar una partici´n del intervalo [a, b] u otal que S(f, Pε ) − I(f, Pε ) < ε. Sea Pn una partici´n cualquiera de [a, b]. oP = {x0 , x1 , . . . xn } ; x0 = a , xn = b. Como la funci´n identica es creciente en [a, b[ , o
  21. 21. 430 CAP´ ITULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANNtenemos que: mi = inf{f (x) ; x ∈ [xi−1 , xi ]} = xi−1 , i = 1, . . . n. Mi = sup{f (x) ; x ∈ [xi−1 , xi ]} = xi , i = 1, . . . n.Por lo tanto, n n I(f, Pn ) = mi · ∆xi = xi−1 · ∆xi i=1 i=1 n n S(f, Pn ) = Mi · ∆xi = xi · ∆xi . i=1 i=1Con estos c´lculos podemos escribir: a 0 ≤ S(f, Pn ) − I(f, Pn ) = x1 (x1 − a) + x2 (x2 − x1 ) + . . . . . . + b(b − xn−1 ) −[a(x1 − a) + x1 (x2 − x1 ) + . . . . . . + xn−1 (b − xn−1 )] = (x1 − a)(x1 − a) + (x2 − x1 )(x2 − x1 ) + . . . . . . + (b − xn−1 )(b − xn−1 )Acotando uno de los factores en cada sumando por ||P n )||, obtenemos:0 ≤ S(f, Pn ) − I(f, Pn ) ≤ (x1 − a)||Pn )|| + (x2 − x1 )||Pn )|| + . . . . . . + (b − xn−1 )||Pn )|| = [(x1 − a) + (x2 − x1 ) + . . . . . . + (b − xn−1 )]||Pn )|| = (b − a)||Pn )||.Con el mismo razonamiento usado en los ejemplos anteriores, tenemos que: dado ε positivo, 1 ımedes existe N ∈ N tal queen virtud del Principio de Arqu´ < ε. Por otro parte, N (b − a) 1podemos construir una partici´n P ε de modo que ||Pε || < o . N (b − a)As´ dado ε positivo hemos encontrado una partici´n de [0, 1], tal que ı, o 1 0 ≤ S(f, P) − I(f, P) = (b − a)||Pε )| < (b − a) < ε. N (b − a) b El criterio de integrabilidad nos dice que el n´ mero u x dx existe, pero no dice cu´nto a avale. Como sabemos que existe calcularemos la integral usando sumas de Riemann en quela funci´n se evalua en el punto medio de cada subintervalo. o
  22. 22. 3.1. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 431Sea Pn una partici´n cualquiera de [a, b]. o xi + xi−1P = {x0 , x1 , . . . xn } ; x0 = a , xn = b, ξi = . 2entonces: n a + x1 x1 + x 2 b + xn−1 f (ξi )∆xi = (x1 − a) + (x2 − x1 ) . . . . . . + (b − xn−1 ) 2 2 2 i=1 (a − x1 )(a + x1 ) (x2 − x1 )(x2 + x1 ) (b + xn−1 )(b − xn−1 ) = + +...... 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 = (x − a + x2 − x1 + . . . . . . + b − xn−1 ) 2 1 b2 − a 2 = . 2Observemos que el ultimo c´lculo vale para cualquier partici´n. Como la funci´n es con- ´ a o otinua y si n → +∞, entonces Mi y mi tienden a confundirse con el punto medio de cadasubintervalo, por lo cual podemos concluir que: b b2 − a 2 x dx = . a 2El siguiente teorema es una de las consecuencias m´s importantes del criterio de integra- abilidad.Teorema 3.1.20 Si f : [a, b] → R es una funci´n continua o continua a tramos entonces, of es integrable en el intervalo [a, b].Ejercicios resueltos 1. Recuerde que si la velocidad de una part´ ıcula es constante en un intervalo de tiempo, d entonces se usa la f´rmula v = , donde d es la distancia recorrida y t el tiempo o t transcurrido. Esta f´rmula no es v´lida cuando la velocidad var´ en cada instante, pero si puede o a ıa usarse para c´lculos aproximados. a Suponga que una part´ ıcula se mueve con velocidad v(t) = t 2 + 1; t ∈ [0, 1]; t medido en horas. a) D´ un valor aproximado del camino recorrido durante una hora, suponiendo e que cada 12 minutos la velocidad se mantiene constante e igual a v(ξ i ) donde ξi es la mitad del tiempo transcurrido en cada intervalo de 12 minutos.
  23. 23. 432 CAP´ ITULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN b) Observando el gr´fico de la situaci´n dada en a) ¿C´mo podr´ obtener un valor a o o ıa m´s exacto del camino recorrido?. a c) ¿C´mo podr´ obtener una f´rmula para obtener el valor exacto?. o ıa o Soluci´n: o a) v(t) = t2 + 1, t ∈ [0, 1]. 1 2 3 4 0 12m = 5 24m = 5 36m = 5 48m = 5 1 hora Los puntos medios de cada subintervalo de 12 minutos son: 1 3 5 7 9 ξ1 = , ξ 2 = , ξ 3 = , ξ 4 = , ξ 5 = . 10 10 10 10 10 d Como v = , entonces d = v · t. t 2 1 Si 0 ≤ t ≤ 1/5, v = v1 = v(ξ1 ) = +1 10 2 3 Si 1/5 < t ≤ 2/5, v = v2 = v(ξ2 ) = +1 10 2 5 Si 2/5 < t ≤ 3/5, v = v3 = v(ξ3 ) = +1 10 2 7 Si 3/5 < t ≤ 4/5, v = v4 = v(ξ4 ) = +1 10 2 9 Si 4/5 < t ≤ 5/5, v = v5 = v(ξ5 ) = +1 10 Por lo tanto, en cada subintervalo i supondremos que la velocidad permanece constante e igual a vi . Por lo tanto la distancia total d recorrida es:
  24. 24. 3.1. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 433 1 d = d1 + d2 + d3 + d4 + d5 = (v1 + v2 + v3 + v4 + v5 ) = 5 2 2 1 1 3 5 2 7 2 9 2 = ( +1+ +1+ +1+ +1+ +1 5 10 10 10 10 10 1 12 32 52 72 92 1 1 + 9 + 25 + 49 + 81 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +5 = +5 5 10 10 10 10 10 5 100 33 = + 1 = 1, 33. 100 b) Un valor m´s exacto se obtiene haciendo una subdivisi´n m´s fina del intervalo a o a [0, 1]. c) Una forma de obtener el valor exacto es haciendo divisiones tan finas de modo que la longitud de los subintervalos tiendan a cero. en ese caso la cantidad de sumando se hace infinitamente grande, su suma se realiza con el concepto de integral de Riemann. 2. Si una fuerza constante F act´ a sobre un cuerpo que se mueve en l´ u ınea recta, entonces el trabajo T , realizado por la fuerza al desplazar el cuerpo una distancia x es T = F x. Si la fuerza es variable, ´sta f´rmula ya no es v´lida, pero tal como en el ejercicio e o a anterior, puede ser usada para encontrar valores aproximados del trabajo. Por ejem- plo, para estirar un resorte en la direcci´n del eje X en x unidades de longitud, se o necesita una fuerza F (x) = 50x ; x medido en metros. D´ un valor aproximado del trabajo total efectuado por la fuerza, para estirar el e resorte 10 cm, usando una partici´n del intervalo en que var´ x con n subdivisiones o ıa de igual longitud y suponiendo F constante en cada subintervalo. El valor de F en cada subintervalo puede ser elegido como usted quiera. Soluci´n: o T = F · x = T (x) Si F = F (x); T (x) = F (x) · x Aplicando esta f´rmula a nivel microsc´pico, se obtiene: o o
  25. 25. 434 CAP´ ITULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN i xi = x0 + 10 , x0 = 0, i = 0, 1, · · · , n n 0 10 1 Entre xi y xi+1 la distancia es . n 1 En x = xi+1 , T (xi+1 ) = F (xi+1 ) · . n El trabajo total es, 1 T (x1 ) + T (x2 ) + · · · + T (xn ) = (F (x1 ) + F (x2 ) + · · · + F (xn )) n 1 = 50(x1 + x2 + · · · + xn ) n 1 2 n−1 1 = 510 · 1 + + + ··· + · n n n n 50 = (1 + 2 + · · · + n) n2 50 n(n + 1) = · n2 2 n+1 = 25 · n n+1 As` el valor 25 · ı, da un valor aproximado del trabajo total cuando el intervalo n se divide en n subintervalos. Si la divisi´n de subintervalos es infinitamente grande, o el valor del trabajo es: l´ ım (T (x1 ) + T (x2 ) + · · · + T (xn )) = 25. n→+∞ 3. F´rmula para calcular la longitud de una curva o Considere y = f (x), f funci´n con derivada continua en [a, b]. o Particione el intervalo [a, b] en n subintervalos [a, x 1 ], [x1 , x2 ], · · · , [xn−1 , b]. Sea Pi = (xi , f (xi )) , i = 1, · · · , n − 1, P0 = (a, f (a)) y Pn = (b, f (b)). a) Calcule la longitud de la poligonal determinada por los trazos P 0 P1 , P1 , P2 , · · · , Pn−1 Pn . b) Use el Teorema del Valor Medio para derivadas para reemplazar en la f´rmula o encontrada en (a) los t´rminos (yi − yi−1 ). e
  26. 26. 3.1. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 435 c) Demuestre que la longitud L de la curva es aproximadamente n 1 + [f (ci )]2 (∆xi ) ; ci ∈ [xi−1 , xi ]. i=1 d) ¿A cu´l suma de Riemann corresponde la expresi´n obtenida en (c). a o e) Use el concepto de integral para escribir la expresi´n exacta de L. o f) Calcule un valor aproximado de la longitud de la curva y = x3/2 cuando x ∈ [1, 2] usando una partici´n de 10 subintervalos de igual longitud. o Soluci´n: o a) Pi = (xi , yi ) = (xi , f (xi )) Pi−1 Pi = (xi − xi−1 )2 + (yi − yi−1 )2 . entonces, la longitud L de la poligonal es: n n L= Pi−1 Pi = (xi − xi−1 )2 + (yi − yi−1 )2 . i=1 i=1 b) Como f es una funci´n con derivada continua, podemos aplicar el Teorema o del Valor Medio para derivadas, 2.3.5, en cada subintervalo [x i−1 , xi ]. As´ ı, tenemos la existencia de un punto ci ∈]xi−1 , xi [ tal que f (xi ) − f (xi−1 ) = f (ci )(xi − xi−1 ). Por esta raz´n podemos escribir lo siguiente: o Pi−1 Pi = (xi − xi−1 )2 + (f (xi ) − f (xi−1 ))2 = = (xi − xi−1 )2 + (f (ci ))2 (xi − xi−1 )2 = 1 + (f (ci ))2 |xi − xi−1 |, xi−1 ≤ ci ≤ xi . c) Por lo tanto, la longitud de la poligonal L puede escribirse como: n n L= Pi−1 Pi = 1 + (f (ci ))2 (xi − xi−1 ). i=1 i=1 d) Si consideramos a la poligonal L como una aproximaci´n de la longitud de la o curva y = f (x), entonces: n n Longitud de la curva ≈ 1 + (f (ci ))2 (xi −xi−1 ) = 1 + [f (ci )]2 (∆xi ); i=1 i=1
  27. 27. 436 CAP´ ITULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN donde ci ∈ [xi−1 , xi ]. La expresi´n obtenida en (c) corresponde a a una suma o de Riemann de la funci´n g(x) = 1 + (f (x))2 . o e) El valor exacto de la longitud de la curva se obtiene haciendo la partici´n del o dominio de la funci´n cada vez m´s fino, por lo cual usando la definici´n de o a o integral podemos escribir: b L= 1 + (f (x))2 dx. a 3 i f) f (x) = x3/2 , f (x) = x1/2 , xi = 1 + ; 0 ≤ i ≤ 10. 2 10 As´ tenemos: ı, x0 = 1, x1 = 1 + 1/10, x2 = 1 + 2/10, · · · , x10 = 2. 3 (f (xi ))2 = (xi )1/2 , i = 1, 2, · · · , 10. 2 Para encontrar un valor aproximado de la longitud de la curva tomaremos como valor de g en cada subintervalo g evaluada en el extremo derecho del subintervalo. 3 1 3 1 3 1 3 1/2 1 lc ≈ (x1 )1/2 · + (x2 )1/2 · + · · · + (x9 )1/2 + (x10 ) · 2 10 2 10 2 10 2 10 3 1 ≈ · (x1 ) + (x2 ) + (x3 ) + (x4 ) + (x5 ) + (x6 ) + (x7 )1/2 + 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 2 10 (x8 )1/2 + (x9 )1/2 + (x10 )1/2 3 ≈ 1, 1 + 1, 2 + 1, 3 + 1, 4 + 1, 5 + 1, 6 + 1, 7+ 20 √ 1, 8 + 1, 9 + 2 3 ≈ [1, 048 + 1, 095 + 1, 140 + 1, 183 + 1, 224 + 1, 264 + 1, 303 + 1, 341+ 20 1, 378 + 1, 414] ≈ 1, 8585. 4. Dada la par´bola y = x2 sobre [0, 2] a a) D´ un valor aproximado del area A de la regi´n del plano comprendida entre e ´ o el eje X, la curva y(x) y las rectas x = 0 y x = 2, usando la suma de Riemann correspondiente a una partici´n de 5 subintervalos de igual longitud y usando o como ξi el punto medio de cada subintervalo.
  28. 28. 3.1. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 437 b) Aproxime el area A mediante la suma de los trapecios que resultan usando la ´ misma partici´n del item anterior. o c) La suma resultante en el item anterior , ¿ es una suma de Riemann ? Justifique. d) Calcule la suma superior correspondiente a una partici´n de n subintervalos o iguales. e) Calcule la integral superior de la funci´n y sobre [0, 2] y diga por qu´ este valor o e corresponde al valor de la integral. Soluci´n: y = x2 , x ∈ [0, 2] o y = x2 A 0 2 a) Si dividimos el intervalo de longitud 2 en 5 partes iguales cada subintervalo 2 debe tener una longitud de = 0, 4 unidades de longitud. Por lo tanto,x 0 = 5 2 2 2 4 4 2 6 6 2 8 0, x1 = , x2 = + = , x3 = + = , x4 = + = , x5 = 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 8 2 10 + = = 2. 5 5 5 1 3 7 9 ξ1 = , ξ2 = , ξ3 = 1, ξ4 = , ξ5 = . 5 5 5 5 Ahora, calculamos los valores de f en cada ξ i : 1 9 49 91 f (ξ1 ) = , f (ξ2 ) = , f (ξ3 ) = 1, f (ξ4 ) = , f (ξ5 ) = . 25 25 25 25 Entonces, la suma de Riemann S correspondiente a la partici´n P = {x 0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 } o
  29. 29. 438 CAP´ ITULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN y los puntos ξi es un valor aproximado del area A. ´ 5 1 2 9 2 2 49 2 81 2 A ≈ S= y(ξ1 )∆xi = · + · +1· + · + · 25 5 25 5 5 25 5 25 5 i=1 2 1 + 9 + 25 + 49 + 81 2 165 2 33 66 = · = · = 5 25 5 25 5 5 25 2, 64. b) ´ Area de un trapecio: c b a a·c 2a · b + ac a · b + (b + c) · a a · [b + (b + c)] AT = a · b + = = = . 2 2 2 2 2 4 2 · 1 er trapecio: a = 2 , b = 0, b + c = 2 4 = ; A T1 = 5 25 = 4 5 5 25 2 125 2 4 16 2 2 · + 2 2 4 5 25 25 2do trapecio: a= ,b = ,b + c = ; A T2 = 5 5 5 2 2 16 16 2 2 + 2 4 6 5 25 25 3er trapecio: a= ,b = ,b + c = ; A T3 = 5 5 5 2 2 36 64 2 2 + 2 6 8 5 25 25 4to trapecio: a = ,b = ,b + c = ; A T4 = 5 5 5 2 2 64 2 +4 2 8 5 25 5to trapecio: a= ,b = , b + c = 22 ; A T5 = 5 5 2
  30. 30. 3.1. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 439 4 20 52 100 164 340 68 Area ≈ + + + + = = = 2, 72. 125 125 125 125 125 125 25 c) Cada sumando de la suma del item anterior es de la forma: bi + (bi + ci ) A Ti = a i · . 2 La base de cada trapecio es ai = ∆xi . Para que dicha suma sea una suma bi + (bi + ci ) de Riemann, el n´ merou debe corresponder a la imagen de alg´ n u 2 bi + (bi + ci ) xi ∈ [xi−1 , xi ]. Es decir, f (xi ) = . 2 Como f es continua en cada intervalo [x i−1 , xi ] y f ([xi−1 , xi ]) = [bi , bi + ci ], podemos aplicar el Teorema del Valor Intermedio, teorema 1.5.16 para obtener bi + (bi + ci ) la existencia de xi ∈ [xi−1 , xi ] tal que f (xi ) = . Por lo tanto, la 2 suma de las areas de los trapecios cuyas alturas son puntos sobre el gr´fico de ´ a una curva continua es una suma de Riemann. 2 d) Sea ∆xi = . As´ obtenemos los puntos de la partici´n P n : ı, o n 2 xi = · i ; con i = 0, 1, · · · n. n 2 4 6 2(n − 1) x0 = 0, x1 = , x2 = , x3 = , · · · , xn−1 = , xn = 2. n n n n Si i = 0, 1, . . . , n − 1 entonces, considerando que la funci´n f es creciente o 4 2 Mi = f (xi = 2 · (i) . n Por lo tanto, 4 2 8 f (xi ) · (xi − xi−1 ) = f (xi ) · ∆xi = 2 · (i)2 · = 3 (i)2 . n n n n n 8 2 S(f, Pn ) = f (xi )(xi − xi−1 ) = (i) n3 i=1 i=1 n 8 = (i)2 n3 i=1 8 n(n + 1)(2n + 1) 8 2n2 + 3n + 1 = · = 2· n3 6 n 6 4 2n2 + 3n + 1 4 3 1 = · = 2+ + 2 . 3 n2 3 n n

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