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2次元可解量子系のエンタングルメント特性

Shu Tanaka
Shu Tanaka
Shu TanakaScientist at 早稲田大学 | Waseda University

2015年2月20日、京都大学大学院 人間・環境学研究科 相関環境学専攻にてセミナー発表いたしました。 本発表は以下の論文に基づいています。 http://iopscience.iop.org/1751-8121/43/25/255303 http://prb.aps.org/abstract/PRB/v84/i24/e245128 http://pra.aps.org/abstract/PRA/v86/i3/e032326 https://www.jstage.jst.go.jp/article/iis/19/1/19_IIS190115/_article プレプリントバージョンは、以下のサイトから閲覧できます。 http://arxiv.org/abs/1003.2007 http://arxiv.org/abs/1107.3888 http://arxiv.org/abs/1207.6752 http://arxiv.org/abs/1307.1939

2次元可解量子系のエンタングルメント特性

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2次元可解量量⼦子系の  
エンタングルメント特性
⽥田中  宗  (京⼤大基研)  
Valence-‐‑‒Bond-‐‑‒Solid  (VBS)  状態や、  
Quantum  hard-‐‑‒square  モデルの基底状態について、  
エンタングルメント特性を検討した。  
その結果、2次元系のエンタングルメント特性と  
1次元量量⼦子系の間に対応関係があることを⾒見見出した。
VBS on symmetric graphs, J. Phys. A, 43, 255303 (2010)
“VBS/CFT correspondence”, Phys. Rev. B, 84, 245128 (2011)
Quantum hard-square model, Phys. Rev. A, 86, 032326 (2012)
Nested entanglement entropy, Interdisciplinary Information Sciences, 19, 101 (2013)
共同研究者の⽅方々
桂  法称  (東⼤大院理理)  
Anatol  N.  Kirillov  (RIMS,  京⼤大)  
Vladimir  E.  Korepin  (YITP,  Stony  Brook,  USA)  
川島  直輝  (東⼤大物性研)  
Lou  Jie  (Fudan  Univ.,  中国)  
⽥田村  亮亮  (NIMS)
ダイジェスト
正⽅方格⼦子VBS状態 ラダー上  量量⼦子格⼦子気体模型
排除体積効果
注⽬目する物理理系  
VBS状態
エンタングルメント特性
正⽅方格⼦子 1D AF Heisenberg
蜂の巣格⼦子 1D F Heisenberg
注⽬目する物理理系  
量量⼦子格⼦子気体模型
エンタングルメント特性
正⽅方形ラダー 2D Ising
三⾓角形ラダー 2D 3-state Potts
1次元量量⼦子系  
物理理特性  (臨臨界現象)
2次元量量⼦子系  
エンタングルメント特性
蜂の巣格⼦子VBS状態
JPA, 43, 255303 (2010), PRB 84, 245128 (2011), PRA 86, 032326 (2012), Interdisciplinary Information Sciences, 19, 101 (2013)
導⼊入
エンタングルメント  
⽬目的    
数学的準備
FIG. 5. (Color online) Tensor network structure with a single
ER level and a top tensor for six coarse-grained sites. Big
solid circles denote positions of sites on the coarse-grained
lattice. The top tensor is put on the parallelogram frame.
All parallelogram frames are the same by a skew periodic
arrangement.
FIG. 6. (color o
ttes. The value
fined by neares
is shown by th
respondence be
sults of the PB
Kenji Harada
Multiscale entanglement
renormalization ansatz (MERA)
University of Stuttgart
Quantum spin systems
Yazdani lab
Topological insulator
Joel E. Moore
D-Wave Systems
Quantum information processing
Karlsruhe Institute of Technology
Single molecule magnet
Computation physicsCondensed matter physics &
statistical physics
H. Bombin et al.
Toric code
EQUINOX
GRAPHICS
Cluster state
Quantum Hall systems
Strongly correlated fermionic/bosonic systems
Li-Haldane conjecture
CFT correspondence
Density matrix renormalization group (DMRG)
Tensor network
Projected entangled pair states (PEPS)
NV center in diamond
S. Benjamin and
J. Smith
Entanglement
2スピン系、ハイゼンベルク模型 H = J ˆ1 · ˆ2, (J > 0)
J
1 2
部分系 B部分系 A
Energy
縮約密度度⾏行行列列  (⽚片⽅方の部分系の⾃自由度度に関する部分和を実⾏行行)
A = TrB = 2 |s s| 2 + 2 |s s| 2 =
1
2
1 0
0 1
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2次元可解量子系のエンタングルメント特性

  • 1. 2次元可解量量⼦子系の   エンタングルメント特性 ⽥田中  宗  (京⼤大基研)   Valence-‐‑‒Bond-‐‑‒Solid  (VBS)  状態や、   Quantum  hard-‐‑‒square  モデルの基底状態について、   エンタングルメント特性を検討した。   その結果、2次元系のエンタングルメント特性と   1次元量量⼦子系の間に対応関係があることを⾒見見出した。 VBS on symmetric graphs, J. Phys. A, 43, 255303 (2010) “VBS/CFT correspondence”, Phys. Rev. B, 84, 245128 (2011) Quantum hard-square model, Phys. Rev. A, 86, 032326 (2012) Nested entanglement entropy, Interdisciplinary Information Sciences, 19, 101 (2013)
  • 2. 共同研究者の⽅方々 桂  法称  (東⼤大院理理)   Anatol  N.  Kirillov  (RIMS,  京⼤大)   Vladimir  E.  Korepin  (YITP,  Stony  Brook,  USA)   川島  直輝  (東⼤大物性研)   Lou  Jie  (Fudan  Univ.,  中国)   ⽥田村  亮亮  (NIMS)
  • 3. ダイジェスト 正⽅方格⼦子VBS状態 ラダー上  量量⼦子格⼦子気体模型 排除体積効果 注⽬目する物理理系   VBS状態 エンタングルメント特性 正⽅方格⼦子 1D AF Heisenberg 蜂の巣格⼦子 1D F Heisenberg 注⽬目する物理理系   量量⼦子格⼦子気体模型 エンタングルメント特性 正⽅方形ラダー 2D Ising 三⾓角形ラダー 2D 3-state Potts 1次元量量⼦子系   物理理特性  (臨臨界現象) 2次元量量⼦子系   エンタングルメント特性 蜂の巣格⼦子VBS状態 JPA, 43, 255303 (2010), PRB 84, 245128 (2011), PRA 86, 032326 (2012), Interdisciplinary Information Sciences, 19, 101 (2013)
  • 5. FIG. 5. (Color online) Tensor network structure with a single ER level and a top tensor for six coarse-grained sites. Big solid circles denote positions of sites on the coarse-grained lattice. The top tensor is put on the parallelogram frame. All parallelogram frames are the same by a skew periodic arrangement. FIG. 6. (color o ttes. The value fined by neares is shown by th respondence be sults of the PB Kenji Harada Multiscale entanglement renormalization ansatz (MERA) University of Stuttgart Quantum spin systems Yazdani lab Topological insulator Joel E. Moore D-Wave Systems Quantum information processing Karlsruhe Institute of Technology Single molecule magnet Computation physicsCondensed matter physics & statistical physics H. Bombin et al. Toric code EQUINOX GRAPHICS Cluster state Quantum Hall systems Strongly correlated fermionic/bosonic systems Li-Haldane conjecture CFT correspondence Density matrix renormalization group (DMRG) Tensor network Projected entangled pair states (PEPS) NV center in diamond S. Benjamin and J. Smith
  • 6. Entanglement 2スピン系、ハイゼンベルク模型 H = J ˆ1 · ˆ2, (J > 0) J 1 2 部分系 B部分系 A Energy 縮約密度度⾏行行列列  (⽚片⽅方の部分系の⾃自由度度に関する部分和を実⾏行行) A = TrB = 2 |s s| 2 + 2 |s s| 2 = 1 2 1 0 0 1 Entanglement entropy (e-entropy)
  • 7. Entanglemententropy 全系 Schmidt  分解 規格化された   状態ベクトル von Neumann entanglement entropy | 部分系に分割 部分系   A 部分系   B 各々の部分系における   正規直交基底 | = =1 | [A] | [B] 縮約密度度⾏行行列列 A = TrB | | = =1 2 | [A] [A] | ⾮非負実数 最⼤大エンタングル状態 S = ln 1 2 (| | + | | )例例: S = Tr A ln A = =1 2 ln 2 2 = 1
  • 8. Symmetriccase 部分系   A 部分系   B | = | [A] | [B] Pre-‐‑‒Schmidt  分解 規格化された   状態ベクトル 各々の部分系における   線形独⽴立立な基底   (⼀一般に⾮非直交) 部分系Aと部分系Bとを(鏡映)対称軸で 分割した場合を考える。 重なり⾏行行列列  (overlap matrix) (M[A] ) := [A] | [A] (M[B] ) := [B] | [B] 部分系Aと部分系Bとが対称 M[A] = M[B] =: M p = d2 d2 S = p ln p , e-entropy in symmetric cases 重なり⾏行行列列  M  の固有値: {d }
  • 9. e-entropyin1Dsystems e-entropy の熱⼒力力学的極限での振る舞いと物理理特性の関係 state energy characterizing a phase transition already occurs for a finite chain. Correspondingly, already for a chain of N 20 spins it is possible to observe a distinct, characteristic behavior of SL depending on whether the values ; in Eq. (2) belong or not to a critical regime. hcmcni mn i mn any other expectatio Wick’s theorem, in t 2 6 6 6 6 6 6 4 0 1 .. . 1 N l 0 g l with real coefficien (N ! 1), by gl 1 2 Z 2 0 d e From Eqs. (6) and of Eq. (4) as follows the rows and column chain that do not belo 10 20 30 40 NUMBER OF SITES − L − 1 1.5 2 2.5 ENTROPY−S− FIG. 1. Noncritical entanglement is characterized by a satu- ration of SL as a function of the block size L: noncritical Ising chain (empty squares), HXY a 1:1; 1 ; noncritical XXZ chain (filled squares), HXXZ 2:5; 0 . Instead, the en- G. Vidal et al. PRL 90, 227902 (2003) XXZ( = 2.5, = 0) XY(a = 1.1, = 1) L A B XY(a = 1, = 1) XY(a = , = 0) XXZ( = 1, = 0) HXXZ = i x i x i+1 + y i y i+1 + z i z i+1 z i HXY = i a 2 (1 + ) x i x i+1 + (1 ) y i y i+1 + z i S(L) = c 3 ln L + S0 中心電荷 臨界系の場合 ギャップ系の場合 S(L) const.
  • 10. Entanglementspectrum 全系 Schmidt  分解 規格化された   状態ベクトル | 部分系に分割 部分系   A 部分系   B 各々の部分系における   正規直交基底 | = =1 | [A] | [B] 縮約密度度⾏行行列列 A = TrB | | = =1 2 | [A] [A] | ⾮非負実数 = =1 e | [A] [A] | A = e HE 熱平衡状態の密度度⾏行行列列とみなす Entanglement Hamiltonian (e-Hamiltonian) Entanglement spectrum (e-spectrum) e-Hamiltonianの固有値 = ln 2 H. Li and M. Haldane, PRL 101, 010504 (2008)
  • 11. e-spectrumintopologicalsystems gure 2 shows the spectra of the system of the same size Fig. 1, i.e., Ne 16 and Norb 30, but for the ground of the Coulomb interaction projected into the second au level, obtained by direct diagonalization. estingly, the low-lying levels have the same counting ure as the corresponding Moore-Read case. We iden- hese low-lying levels as the ‘‘CFT’’ part of the spec- 分数量量⼦子ホール効果 H. Li and M. Haldane, PRL 101, 010504 (2008) F. Pollmann et al., PRB 81, 064439 (2010) T. Ohta, S. Tanaka, I. Danshita, and K. Totsuka, in preparation. ␹=80 for the simulations. The double degeneracy of the en- tanglement spectrum is used to identify the Haldane phase. Example 1. We begin with the original Hamiltonian H0 in Eq. ͑3͒. This model is translation invariant, invariant under spatial inversion, under e−i␲Sx and under e−i␲Sy ϫTR. Using the above argument, we know that inversion symmetry alone −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 2 4 6 8 10 12 Uzz /J −2log() Z 2 z Haldane TRI FIG. 2. ͑Color online͒ Entanglement spectrum of Hamiltonian H0 in Eq. ͑3͒ for Bx=0 ͑only the lower part of the spectrum is shown͒. The dots show the multiplicity of the Schmidt values, which is even in the entire Haldane phase. OPOLOGICAL PHASE… PHYSICAL REVIEW B 81, 064439 ͑2010͒ J. Phys. Soc. Jpn. 0 3 6 9 0 0.5 1 1.5 2 ξi JYY /JXZX JYZY /JXZX 0 2 4 6 0.5 1 1.5 ξi (b) (a) (c) Subsystem A Subsystem BSubsystem B Lsub dependent Hamiltonian H(t) = −JXZX N i=1 σx i σz i+1σx i+2 + J(t) where the interaction parameter chang speed as J(t)/JXZX = 2t/τ, 0 ≤ We call τ as the sweep time. The system ical point at t = 0.5τ. Near the critical of the relaxation time prevents the syste cally, which implies the final state after number of defects. We study how the de dependence of the string correlation fu 量量⼦子スピン系 トポロジカル相            ⾮非Landau型相         局所秩序変数による           検出不不可         ⾮非局所秩序変数による記述           ストリング秩序変数等         e-spectrum  の基底状態の         縮退数 e-spectrum の準位構造と   端に⽣生じる低エネルギー   励起構造の類似性
  • 12. ⽬目的 2次元量量⼦子系における新しいエンタングルメント特性の発⾒見見 基底状態が厳密に構成できる統計⼒力力学模型に着⽬目 2次元  Valence-Bond-Solid (VBS)  状態 量量⼦子  hard-‐‑‒square  modelの基底状態 e-spectrum  に続く新しい概念念の検討 e-Hamiltonian  の基底状態に注⽬目し、エンタングルメントを⾒見見る
  • 13. ダイジェスト 正⽅方格⼦子VBS状態 ラダー上  量量⼦子格⼦子気体模型 排除体積効果 注⽬目する物理理系   VBS状態 エンタングルメント特性 正⽅方格⼦子 1D AF Heisenberg 蜂の巣格⼦子 1D F Heisenberg 注⽬目する物理理系   量量⼦子格⼦子気体模型 エンタングルメント特性 正⽅方形ラダー 2D Ising 三⾓角形ラダー 2D 3-state Potts 1次元量量⼦子系   物理理特性  (臨臨界現象) 2次元量量⼦子系   エンタングルメント特性 蜂の巣格⼦子VBS状態 JPA, 43, 255303 (2010), PRB 84, 245128 (2011), PRA 86, 032326 (2012), Interdisciplinary Information Sciences, 19, 101 (2013)
  • 14. VBS状態 VBS状態の性質   エンタングルメントの性質   (e-entropy, e-spectrum, nested e-entropy)     1次元量量⼦子系との対応 VBS on symmetric graphs, J. Phys. A, 43, 255303 (2010) “VBS/CFT correspondence”, Phys. Rev. B, 84, 245128 (2011) Nested entanglement entropy, Interdisciplinary Information Sciences, 19, 101 (2013)
  • 15. ダイジェスト 正⽅方格⼦子VBS状態 ラダー上  量量⼦子格⼦子気体模型 排除体積効果 注⽬目する物理理系   VBS状態 エンタングルメント特性 正⽅方格⼦子 1D AF Heisenberg 蜂の巣格⼦子 1D F Heisenberg 注⽬目する物理理系   量量⼦子格⼦子気体模型 エンタングルメント特性 正⽅方形ラダー 2D Ising 三⾓角形ラダー 2D 3-state Potts 1次元量量⼦子系   物理理特性  (臨臨界現象) 2次元量量⼦子系   エンタングルメント特性 蜂の巣格⼦子VBS状態 JPA, 43, 255303 (2010), PRB 84, 245128 (2011), PRA 86, 032326 (2012), Interdisciplinary Information Sciences, 19, 101 (2013)
  • 16. Valence-Bond-Solid (VBS) 状態 Valence bond = singlet pair 1 2 (| | ) VBS 状態 Valence bond で   敷き詰められた状態 Valence bond S = 1 への射影 1次元VBS状態 H = i Si · Si+1 + 1 3 Si · Si+1 2 (S = 1) 1次元VBS状態を基底状態とするHamiltonian  (AKLT  model) I. Affleck, T. Kennedy, E. Lieb, and H. Tasaki, PRL 59, 799 (1987).
  • 17. Valence-Bond-Solid (VBS) 状態 H = i Si · Si+1 + 1 3 Si · Si+1 2 (S = 1) 1次元VBS状態を基底状態とするHamiltonian  (AKLT  model) I. Affleck, T. Kennedy, E. Lieb, and H. Tasaki, PRL 59, 799 (1987). M. Yamashita et al., Coordination Chemistry Reviews 198, 347 (2000). S=1  VBS状態が厳密な基底状態である。   S=1  VBS状態が唯⼀一の基底状態である。   Haldane  gapの厳密な証明を与える。   反強磁性相関関数が指数関数的に減衰する。 MnCl3bpy NINO
  • 18. Valence-Bond-Solid (VBS) 状態 F. Verstraete and J. I. Cirac, PRA 70, 060302 (2004) D. Gross and J. Eisert, PRL 98, 220503 (2007) T-C. Wei et al., PRL 106, 070501 (2011) A. Miyake, Ann. Phys. 326, 1656 (2011) 正⽅方格⼦子 蜂の巣格⼦子 VBS状態を⽤用いた測定型量量⼦子計算(MBQC) VBS state = singlet-covering state
  • 19. Valence-Bond-Solid (VBS) 状態 Schwinger boson representation (スピンと2種類のボゾンの関係) | = a† |vac , | = b† |vac VBS state = singlet-covering state n (b) k = b† kbk n (a) k = a† kak 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 S=0 1/2 1 3/2 2 a† kak + b† kbk = 2Sk a ボゾンの個数 b ボゾンの個数 a,b ボゾンの個数の和に関する 拘束条件 |VBS = k,l a† kb† l b† ka† l |vac VBS state a† kak + b† kbk = 2Sk
  • 20. 部分系 B部分系 A Valence-Bond-Solid (VBS) 状態 部分系   A 部分系   B 鏡映対称軸で分割 正⽅方格⼦子 蜂の巣格⼦子 部分系 B部分系 A
  • 21. Valence-Bond-Solid (VBS) 状態 |VBS = k,l a† kb† l b† ka† l |vac = { } | [A] | [B] 局所ゲージ変換 鏡映対称性 部分系 B部分系 A { } = { 1, · · · , | A|} 補助空間のスピン: i = ±1/2 端ボンドの本数 重なり⾏行行列列                            :                                      ⾏行行列列M{ },{ } 2| A| 2| A| 重なり⾏行行列列の各要素:モンテカルロ法で求める。   SU(N)の場合にも容易易に適⽤用可能な⽅方法を構築 J. Lou, S. Tanaka, H. Katsura, and N. Kawashima, PRB, 84, 245128 (2011) H. Katsura, J. Stat. Mech. P01006 (2015)
  • 22. エンタングルメント e-entropy   e-spectrum     nested  e-entropy VBS on symmetric graphs, J. Phys. A, 43, 255303 (2010) “VBS/CFT correspondence”, Phys. Rev. B, 84, 245128 (2011) Nested entanglement entropy, Interdisciplinary Information Sciences, 19, 101 (2013)
  • 23. 2次元 VBS 状態 部分系 B部分系 A 正⽅方格⼦子 蜂の巣格⼦子 部分系 B部分系 A VBS state = singlet-covering state Lx Ly 開放端 周期境界条件
  • 24. S=1 S=3 S=4 S=6 S=8 S=2 1次元 VBS 状態の e-entropy H. Katsura, T. Hirano, and Y. Hatsugai, PRB 76, 012401 (2007). 部分系 B部分系 A |VBS = N i=0 a† i b† i+1 b† i a† i+1 S |vac S = ln (# edge states) 熱⼒力力学的極限 e-entropy S = Tr A ln A = =1 2 ln 2
  • 25. 2次元 VBS 状態の e-entropy S | A| = ln 2 端ボンドの本数 0, 1D = 0, square > hexagonal square > hexagonal H. Katsura, T. Hirano, and Y. Hatsugai, PRB 76, 012401 (2007). 部分系 B部分系 A 正⽅方格⼦子 蜂の巣格⼦子 部分系 B部分系 A Lx Ly 開放端 周期境界条件 H. Katsura, N. Kawashima, A.N.Kirillov, V. E.Korepin, S. Tanaka, JPA, 43, 255303 (2010) J. Lou, S. Tanaka, H. Katsura, and N. Kawashima, PRB, 84, 245128 (2011)
  • 26. 2次元 VBS 状態の e-entropy ENTANGLEMENT SPECTRA OF THE TWO-DIMENSIONAL . . . 0.58 0.6 0.62 0.64 0.66 S/Ly (a) (b)Lx=1 Lx=2 Lx=3 Lx=4 Lx=5 0.684 0.685 0.686 0.687 2 4 6 8 10 12 14 16 S/Ly (c) 2 4 6 8 10 12 14 16 (d)Lx=1 Lx=2 Lx=3 2 4 6 8 10 12 14 16 2 4 6 8 10 12 14 16 #Bonds #Bonds S/#Bonds S Ly = + C1 Ly + C2 Ly ln Ly S Ly exp( Ly/ ) . PHYSICAL REVIEW B 84, 245128 (2011) TABLE I. Obtained fitting parameters for entanglement entropy by the method of least squares. Square OBC PBC σ C1 C2 σ ξ Lx = 1 0.61277(3) 0.0865(3) 0.0009(2) 0.6129(1) 1.54(5) Lx = 2 0.59601(4) 0.1127(4) 0.0034(3) 0.5966(2) 2.4(1) Lx = 3 0.59322(5) 0.1196(5) 0.0049(3) 0.5942(3) 2.9(2) Lx = 4 0.59259(5) 0.1223(5) 0.006(3) 0.5936(4) 3.1(2) Lx = 5 0.59246(4) 0.1227(5) 0.006(3) 0.5934(4) 3.1(2) (ln 2 = 0.693147 · · · ) EE is less than ln 2. S = Tr A ln A 正⽅方格⼦子 (PBC)正⽅方格⼦子 (OBC)
  • 27. 2次元 VBS 状態の e-entropy #Bonds #Bonds S/#Bonds 0.58 0.6 0.684 0.685 0.686 0.687 2 4 6 8 10 12 14 16 S/Ly Ly (c) 2 4 6 8 10 12 14 16 Ly (d)Lx=1 Lx=2 Lx=3 FIG. 2. (Color online) Entanglement entropy S per valence bond across the boundary as a function of Ly for (a) square lattices with rectangular geometry (OBC), (b) square lattices with cylindrical geometry (PBC), (c) hexagonal lattices with OBC, and (d) hexagonal lattices with PBC. A further increase of Lx does not affect the results . . PHYSICAL REVIEW B 84, 245128 (2011) 6 d h l l s n TABLE I. Obtained fitting parameters for entanglement entropy by the method of least squares. Square OBC PBC σ C1 C2 σ ξ Lx = 1 0.61277(3) 0.0865(3) 0.0009(2) 0.6129(1) 1.54(5) Lx = 2 0.59601(4) 0.1127(4) 0.0034(3) 0.5966(2) 2.4(1) Lx = 3 0.59322(5) 0.1196(5) 0.0049(3) 0.5942(3) 2.9(2) Lx = 4 0.59259(5) 0.1223(5) 0.006(3) 0.5936(4) 3.1(2) Lx = 5 0.59246(4) 0.1227(5) 0.006(3) 0.5934(4) 3.1(2) Hexagonal OBC PBC σ C1 C2 σ ξ Lx = 1 0.68502(2) 0.0092(6) 0.0011(7) 0.68508(6) 0.4(1) Lx = 2 0.68469(3) 0.0098(6) 0.0012(8) 0.684757(4) 0.6(1) Lx = 3 0.68468(3) 0.0098(6) 0.0013(7) 0.684754(5) 0.7(1) S Ly = + C1 Ly + C2 Ly ln Ly S Ly exp( Ly/ ) (ln 2 = 0.693147 · · · ) S = Tr A ln A EE is less than ln 2. 蜂の巣格⼦子 (PBC)蜂の巣格⼦子 (OBC)
  • 28. 2次元 VBS 状態の e-spectrum e-spectrum e-Hamiltonian の固有値 = ln 2 LOU, TANAKA, KATSURA, AND KAWASHIMA the FM spe left panel c spectrum in the excitatio spin-wave s to the trans theorem app are exact eig In order the hologra Heisenberg nested enta properties. O 0 (Lx=5, Ly=16) (Lx=5, Ly=32) H. Li and M. Haldane, PRL 101, 010504 (2008) J. I. Cirac, et al., PRB 83, 245134 (2011) J. Lou, S. Tanaka, H. Katsura, and N. Kawashima, PRB, 84, 245128 (2011)
  • 29. 2次元 VBS 状態の e-spectrum e-spectrum e-Hamiltonian の固有値 = ln 2 LOU, TANAKA, KATSURA, AND KAWASHIMA the FM spe left panel c spectrum in the excitatio spin-wave s to the trans theorem app are exact eig In order the hologra Heisenberg nested enta properties. O 0 (Lx=5, Ly=16) (Lx=5, Ly=32) H. Li and M. Haldane, PRL 101, 010504 (2008) J. I. Cirac, et al., PRB 83, 245134 (2011) J. Lou, S. Tanaka, H. Katsura, and N. Kawashima, PRB, 84, 245128 (2011) des Cloizeaux-Pearson mode 1D AF Heisenberg model
  • 30. 2次元 VBS 状態の e-spectrum e-spectrum e-Hamiltonian の固有値 = ln 2 LOU, TANAKA, KATSURA, AND KAWASHIMA the FM spe left panel c spectrum in the excitatio spin-wave s to the trans theorem app are exact eig In order the hologra Heisenberg nested enta properties. O 0 (Lx=5, Ly=16) (Lx=5, Ly=32) H. Li and M. Haldane, PRL 101, 010504 (2008) J. I. Cirac, et al., PRB 83, 245134 (2011) J. Lou, S. Tanaka, H. Katsura, and N. Kawashima, PRB, 84, 245128 (2011) des Cloizeaux-Pearson mode 1D AF Heisenberg model Spin wave 1D F Heisenberg model
  • 31. Nestede-entropy Entanglement ground state = e-Hamiltonianの基底状態 HE| 0 = Egs| 0 (e-ground state) 縮約密度度⾏行行列列 A = TrB | | = =1 2 | [A] [A] | = =1 e | [A] [A] | A = e HE 熱平衡状態の密度度⾏行行列列とみなす Entanglement Hamiltonian (e-Hamiltonian) ( ) := Tr +1,··· ,L [| 0 0|] Nested reduced density matrix Nested e-entropy S( , L) = Tr1,··· , [ ( ) ln ( )] 1次元量量⼦子臨臨界系(周期境界条件) P. Calabrese and J. Cardy, J. Stat. Mech. (2004) P06002.
  • 32. Nestede-entropyENTANGLEMENT SPECTRA OF THE TWO-DIMENS 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 2 4 6 8 10 12 14 16 S(l,16) l (a) s1=0.77(4) c=1.01(7) Lx=5, Ly=16 fitting 0.5 0.6 0.7 0.8 0 2 4 6 8 1 S(l,16) l (b) a=0.393(1) c1/v=0.093(3) Lx=5, Ly fit FIG. 4. (Color online) Nested entanglement entro as a function of the subchain length ℓ for Lx = 5 an (a) and (b) show results obtained for square VBS states wi 正⽅方格⼦子 (PBC) Square ladd (OBC) A B 中⼼心電荷  c=1 1D AF Heisenberg model VBS/CFT  correspondence
  • 33. ダイジェスト 正⽅方格⼦子VBS状態 ラダー上  量量⼦子格⼦子気体模型 排除体積効果 注⽬目する物理理系   VBS状態 エンタングルメント特性 正⽅方格⼦子 1D AF Heisenberg 蜂の巣格⼦子 1D F Heisenberg 注⽬目する物理理系   量量⼦子格⼦子気体模型 エンタングルメント特性 正⽅方形ラダー 2D Ising 三⾓角形ラダー 2D 3-state Potts 1次元量量⼦子系   物理理特性  (臨臨界現象) 2次元量量⼦子系   エンタングルメント特性 蜂の巣格⼦子VBS状態 JPA, 43, 255303 (2010), PRB 84, 245128 (2011), PRA 86, 032326 (2012), Interdisciplinary Information Sciences, 19, 101 (2013)
  • 34. 量量⼦子格⼦子気体模型 基底状態   エンタングルメントの性質   (e-entropy, e-spectrum, nested e-entropy)     2次元古典系との対応 Quantum hard-square model, Phys. Rev. A, 86, 032326 (2012) Nested entanglement entropy, Interdisciplinary Information Sciences, 19, 101 (2013)
  • 35. ダイジェスト 正⽅方格⼦子VBS状態 ラダー上  量量⼦子格⼦子気体模型 排除体積効果 注⽬目する物理理系   VBS状態 エンタングルメント特性 正⽅方格⼦子 1D AF Heisenberg 蜂の巣格⼦子 1D F Heisenberg 注⽬目する物理理系   量量⼦子格⼦子気体模型 エンタングルメント特性 正⽅方形ラダー 2D Ising 三⾓角形ラダー 2D 3-state Potts 1次元量量⼦子系   物理理特性  (臨臨界現象) 2次元量量⼦子系   エンタングルメント特性 蜂の巣格⼦子VBS状態 JPA, 43, 255303 (2010), PRB 84, 245128 (2011), PRA 86, 032326 (2012), Interdisciplinary Information Sciences, 19, 101 (2013)
  • 36. Rydberg Atom Max Planck Institute Ground state Rydberg atom (excited state) Interaction H = i x i + i ni + V i,j ninj |ri rj|
  • 37. ハードコア格⼦子気体模型 ハードコア:1つのサイトに1粒粒⼦子まで⼊入ることが可能 排除体積効果 排除体積効果のあるハードコア格⼦子気体模型 コントロールパラメータ 化学ポテンシャル 排除体積効果の距離離 D. S. Gaunt and M. E. Fisher, J. Chem. Phys. 43, 2840 (1965) R. J. Baxter et al., J. Stat. Phys. 22, 465 (1980) S. Todo and M. Suzuki, Int. J. Mod. Phys. C7, 811 (1996) R. J. Baxter, J. Phys. A, 13, L61 (1980) R. J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics (1982)
  • 38. ハードコア格⼦子気体模型 ハードコア:1つのサイトに1粒粒⼦子まで⼊入ることが可能 排除体積効果 排除体積効果のあるハードコア格⼦子気体模型 コントロールパラメータ 化学ポテンシャル 排除体積効果の距離離 D. S. Gaunt and M. E. Fisher, J. Chem. Phys. 43, 2840 (1965) R. J. Baxter et al., J. Stat. Phys. 22, 465 (1980) S. Todo and M. Suzuki, Int. J. Mod. Phys. C7, 811 (1996) R. J. Baxter, J. Phys. A, 13, L61 (1980) R. J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics (1982)
  • 39. ハードコア格⼦子気体模型 ハードコア:1つのサイトに1粒粒⼦子まで⼊入ることが可能 排除体積効果 排除体積効果のあるハードコア格⼦子気体模型 コントロールパラメータ 化学ポテンシャル 排除体積効果の距離離 D. S. Gaunt and M. E. Fisher, J. Chem. Phys. 43, 2840 (1965) R. J. Baxter et al., J. Stat. Phys. 22, 465 (1980) S. Todo and M. Suzuki, Int. J. Mod. Phys. C7, 811 (1996) R. J. Baxter, J. Phys. A, 13, L61 (1980) R. J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics (1982) 正⽅方形の敷き詰め問題   Hard-square model
  • 40. 量量⼦子ハードコア格⼦子気体模型 基底状態が厳密に得られる模型を構築   排除体積効果が強い場合に妥当な理理論論模型 Max Planck Institute P i := j Gi (1 nj) 冷冷却原⼦子系 ground  state 0 ↓ excited  state   (Rydberg  atom) 1 ↑ ni i S. Ji et al. PRL 107, 060406 (2011) I. Lesanovsky, PRL 108, 105301 (2012) Hsol = z i ( + i + i )P i + i [(1 z)ni + z]P i Hsol = i h† i (z)hi(z), hi(z) := [ i z(1 ni)]P i Rydberg原⼦子の⽣生成・消滅 Rydberg原⼦子間相互作⽤用(排除体積効果)   化学ポテンシャル
  • 41. 量量⼦子ハードコア格⼦子気体模型 Max Planck Institute H = L i=1 P z x i + (1 3z)ni + zni 1ni+1 + z P1次元鎖の場合 拘束条件のある横磁場イジング模型 ゼロ・エネルギー状態 Positive semi-definite Hamiltonian: 固有値は⾮非負 真空状態 Perron-Frobeniusの定理より非縮退 |z = 1 (z) i exp z + i P i | · · · 基底状態が厳密に得られる模型を構築   排除体積効果が強い場合に妥当な理理論論模型 Hsol = z i ( + i + i )P i + i [(1 z)ni + z]P i Hsol = i h† i (z)hi(z), hi(z) := [ i z(1 ni)]P i Rydberg原⼦子の⽣生成・消滅 Rydberg原⼦子間相互作⽤用(排除体積効果)   化学ポテンシャル
  • 42. 基底状態 |z = 1 (z) i exp z + i P i | · · · 規格化された基底状態 | (z) := (z) |z = C S znC/2 |C 拘束条件(排除体積効果)のもとでの   許される古典的配置の集合 古典的配置Cにおける粒粒⼦子数 古典的配置 C|C = C,C
  • 43. 基底状態 |z = 1 (z) i exp z + i P i | · · · 規格化された基底状態 | (z) := (z) |z = C S znC/2 |C 拘束条件(排除体積効果)のもとでの   許される古典的配置の集合 古典的配置Cにおける粒粒⼦子数 古典的配置 C|C = C,C 規格化因⼦子=古典ハードコア格⼦子気体模型の分配関数 (z) = (z)| (z) = C S znC 化学ポテンシャル
  • 44. 基底状態 1 2 L 1 2 L 1 2 L 1 2 L 部分系  A 部分系  B 部分系  A 部分系  B 正⽅方形はしご格⼦子 三角形はしご格⼦子 | (z) = [T(z)] , | | [T(z)] , := L i=1 w ( i, i+1, i+1, i) a b cd = w(a, b, c, d) 局所 Boltzmann 重み 1 z1/4 z1/2 z1/4 z1/4 z1/4 z1/2 1 z1/4 z1/2 z1/4 z1/4 z1/4 重なり⾏行行列列 M = 1 (z) [T(z)] T T(z) S. Tanaka, R. Tamura, and H. Katsura, PRA, 86, 032326 (2012)
  • 45. 基底状態の e-entropy e-entropy 5 0 1 2 3 4 5 0 10 20 30 S z (a) 1 2 3 4 5 S α=0.2272(3) S0=-0.036(6) (c) 0 2 4 6 8 10 0 50 100 150 S z (b) 2 4 6 8 10 S α=0.4001(3) S0=0.020(5) (d) e-entropyは極⼤大値をもつ。   z=0でゼロになる(基底状態は真空)   z が⼤大きい極限で⼀一定値に収束(基底状態の縮退数) S = Tr A ln A = =1 2 ln 2
  • 46. 臨臨界点  zc  の決定 (z) := 1 ln[p(1)(z)/p(2)(z)] p(1) (z) p(2) (z) :重なり⾏行行列列    の最⼤大固有値M 0 1 2 3 4 5 0 5 10 15 20 25 S L α=0.2272(3) S0=-0.036(6) (c) 0 1 2 0 2 4 6 ξ(z)/L z (e) 0 2 4 6 8 10 0 5 10 15 20 25 S L α=0.4001(3) S0=0.020(5) (d) 0 1 2 0 5 10 15 ξ(z)/L z (f) :重なり⾏行行列列    の第⼆二固有値M 正⽅方形はしご格⼦子 三角形はしご格⼦子 相関⻑⾧長 転移点 転移点 zc ' 3.796 zc ' 11.090
  • 47. 有限サイズスケーリング 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -10 0 10 ξ(z)/L (z-zc)L1/ν (a) L= 6 L= 8 L=10 L=12 L=14 L=16 L=18 L=20 L=22 0 0.5 1 1.5 2 -50 0 50 ξ(z)/L (z-zc)L1/ν (b) L= 6 L= 9 L=12 L=15 L=18 L=21 2D Ising = 1 = 5/6 2D 3-state Potts 正⽅方形はしご格⼦子 三角形はしご格⼦子
  • 48. e-spectrum@zc e-spectrum e-Hamiltonian の固有値 = ln 2 H. Li and M. Haldane, PRL 101, 010504 (2008) 0 2 4 6 0 0.25 0.5 0.75 1 λ-λ0 k/2π 0 1 2 0 0.25 0.5 0.75 1 λ-λ0 k/2π 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.5 1 1.5 2 s(l,L) ln[g(l)] (a) c=1/2 0. 0. 1. 1. s(l,L) FIG. 7: (color online) NEE for the s for the triangular ladder (b). Dotte eye and indicate the slope of c/3, w are used for the square and triang The solid circle indicates NEE for L are the same as in Fig. 5. 0 2 4 6 0 0.25 0.5 0.75 1 λ-λ0 k/2π 0 1 2 0 0.25 0.5 0.75 1 λ-λ0 k/2π 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.5 1 1.5 2 s(l,L) ln[g(l)] (a) c=1/2 0. 0. 1. 1. s(l,L) FIG. 7: (color online) NEE for the s for the triangular ladder (b). Dotte eye and indicate the slope of c/3, w are used for the square and triang The solid circle indicates NEE for L are the same as in Fig. 5. 00 M. Henkel “Conformal invariance and critical phenomena” (Springer) 正⽅方形はしご格⼦子 三角形はしご格⼦子 Primary field Descendant field 0 = 2 v L (hL, + hR, ) v hL, hR, : Velocity : Holomorphic conformal weight : Antiholomorphic conformal weight hL, + hR, Scaling dimension 2D Ising, c=1/2 2D 3-state Potts, c=4/5
  • 49. Nestede-entropy@zc Entanglement ground state = e-Hamiltonianの基底状態 HE| 0 = Egs| 0 (e-ground state) ( ) := Tr +1,··· ,L [| 0 0|] Nested reduced density matrix Nested e-entropy S( , L) = Tr1,··· , [ ( ) ln ( )] 1次元量量⼦子臨臨界系(周期境界条件) P. Calabrese and J. Cardy, J. Stat. Mech. (2004) P06002. PHYSICAL REVIEW A 86, 032326 (2012) e - , ) d α e d l - g r h r r e e 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.5 1 1.5 2 s(l,L) ln[g(l)] (a) c=1/2 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.5 1 1.5 2 s(l,L) ln[g(l)] (b) c=4/5 FIG. 7. (Color online) NEE for the square ladder (a) and that for the triangular ladder (b). Dotted lines are a guide to the eye and indicate the slope of c/3, where c = 1/2 and c = 4/5 are used for the square and triangular ladders, respectively. The solid circles indicate NEE for L = 24. The other symbols are the same as in Fig. 5. Let us now give the definition of the NEE. We divide the system on which the holographic model lives into two subsystems: a block of ℓ consecutive sites and the rest of the chain. The nested reduced density matrix is then defined as SICAL REVIEW A 86, 032326 (2012) 2 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.5 1 1.5 2 s(l,L) ln[g(l)] (b) c=4/5 正⽅方形はしご格⼦子   L=6-‐‑‒24 三⾓角形はしご格⼦子   L=6-‐‑‒24 2D Ising 2D 3-state Potts
  • 50. ダイジェスト 正⽅方格⼦子VBS状態 ラダー上  量量⼦子格⼦子気体模型 排除体積効果 注⽬目する物理理系   VBS状態 エンタングルメント特性 正⽅方格⼦子 1D AF Heisenberg 蜂の巣格⼦子 1D F Heisenberg 注⽬目する物理理系   量量⼦子格⼦子気体模型 エンタングルメント特性 正⽅方形ラダー 2D Ising 三⾓角形ラダー 2D 3-state Potts 1次元量量⼦子系   物理理特性  (臨臨界現象) 2次元量量⼦子系   エンタングルメント特性 蜂の巣格⼦子VBS状態 JPA, 43, 255303 (2010), PRB 84, 245128 (2011), PRA 86, 032326 (2012), Interdisciplinary Information Sciences, 19, 101 (2013)
  • 51. 結論論 正⽅方格⼦子VBS状態 ラダー上  量量⼦子格⼦子気体模型 排除体積効果 注⽬目する物理理系   VBS状態 エンタングルメント特性 正⽅方格⼦子 1D AF Heisenberg 蜂の巣格⼦子 1D F Heisenberg 注⽬目する物理理系   量量⼦子格⼦子気体模型 エンタングルメント特性 正⽅方形ラダー 2D Ising 三⾓角形ラダー 2D 3-state Potts 1次元量量⼦子系   物理理特性  (臨臨界現象) 2次元量量⼦子系   エンタングルメント特性 蜂の巣格⼦子VBS状態 JPA, 43, 255303 (2010), PRB 84, 245128 (2011), PRA 86, 032326 (2012), Interdisciplinary Information Sciences, 19, 101 (2013)