Conjuntos e Intervalos

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Resumos com exercícios

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Conjuntos e Intervalos

  1. 1. Conjuntos e Intervalos Teoria de Conjuntos A teoria de Conjuntos associa-se a idéia de uma coleção de objetos quepossuem ao menos uma característica ou propriedade em comum. Épossível caracterizar um conjunto de três maneiras: Enumeração: V= {a,e,i,o,u} Propriedade: V= {x/x é uma vogal} Diagrama de Venn: Símbolos Matemáticos : pertence : existe : não pertence : não existe : está contido : para todo : não está contido : conjunto vazio : contém N: conjunto dos números naturais : não contém Z: conjunto dos números inteiros / : tal que Q: conjunto dos números racionais Q= I: conjunto dos números : implica que irracionais : se, e somente se R: conjunto dos números reais Obs.: Os símbolos , , e são usados apenas em comparaçõesde conjuntos para conjuntos. Subconjuntos Dados dois conjuntos quaisquer A e B, dizemos que A é um subconjunto deB se, e somente se, todo x pertencente ao conjunto A também pertencer aoconjunto B. Indicamos por A c B e lê-se A é subconjunto de B, ou A está contido em B.Também podemos dizer que A é uma parte de B. AcB {x/x ∈ A x ∈ B} ou B A (B contém A) 1
  2. 2. Partes de um Conjunto São todos os subconjuntos que se pode formar a partir de um conjunto.P(A) -> Partes de AA= {1,2,5}P(A)= { , {1},{2},{5},{1,2},{1,5},{2,5},{1,2,5}} O conjunto vazio e o próprio conjunto são subconjuntos do conjunto A. A relação dos subconjuntos com a parte é de pertinência, por exemplo, {1} ∈ P(A). Determina-se o número de subconjuntos da parte com a Fórmula: Na qual n é o número de elementos do conjunto. Operações União: Sejam dois conjuntos A e B. União é a soma dos elementos de Acom os elementos de B. A U B -> A união B A U B = {x/x ∈ A ou x ∈ B} A= {1,2,3} B= {2,3,5} A U B = {1,2,3,5} Interseção: Sejam dois conjuntos A e B. Interseção é composta peloselementos que pertence a esses dois conjuntos. A ∩ B -> A interseção B A ∩ B = {x/x ∈ A e B} A= {1,2,3} B= {2,3,5} A ∩ B = {2,3} Diferença: Sejam dois conjuntos A e B, diferença é quando os elementospertencem apenas a um dos conjuntos. A – B -> diferença entre A e B. A – B = {x/x ∈ A e x ∉ B} A = {1,2,3} B = {1,2,5} A – B = {1} Complemento: Sejam dois conjuntos A e B. A diferença entre essesconjuntos (A – B), quando B é um subconjunto de A (B c A), é o conjuntocomplementar de B em relação a A. B’ -> complemento de B2
  3. 3. B’ = {x/x ∉ B} A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,} B = {1,3,5,7} B’ ou CAB= {0,2,4,6,8} Intervalos O conjunto dos números reais (R) possui subconjuntos, denominadosintervalos, os quais são classificados em: Intervalos abertos: quando os números indicados não pertencem aointervalo. Representamos na reta real com bolinhas abertas (sem cor). {x ∈ R/ -2 < x < 3}, ]-2;3[ ou (-2;3) Intervalos fechados: quando os números indicados pertencem aointervalo. Representamos na reta real com bolinhas fechadas (com cor). {x ∈ R/ -3 ≤ x ≤ 2}, [-3;2] Intervalos tendendo ao infinito: quando os intervalos são infinitos emuma direção da reta numérica. Os intervalos tendendo ao infinito possuem amesma representação dos intervalos abertos. {x ∈ R/ x > -3}, ]-3;+∞[ ou (-3;+∞) {x ∈ R/ x ≤ 2}, ]-∞;2] ou (-∞;2] Exemplo: Calcule a interseção de [2;4] com ]1;3[ Portanto, [2;4] ∩ ]1;3[ = [2;3[ 3
  4. 4. Exercícios01. Sendo x e y números naturais quaisquer, assinale V ou F conforme asafirmações sejam verdadeiras ou falsas, respectivamente:a) ( ) x + y é um número natural.b) ( ) x . y é um número natural.c) ( ) √x é um número natural.d) ( ) x – y é um número natural.e) ( ) x : y é um número natural.f) ( ) 2 . x é um número natural.g) ( ) x/2 é um número natural.02. O que é um número natural primo? Escreva os 20 menores númerosnaturais que são primos.03. Escreva os 10 menores múltiplos naturais dos números: 12 e 30. E emseguida encontre todos os divisores naturais desses mesmos números.04. Sendo x um número natural, qual a condição para que:a) √x seja um número natural?b) x/2 seja um número natural?c) x/5 seja um número natural?05. Sendo x e y números inteiros quaisquer, assinale V ou F conforme asafirmações sejam verdadeiras ou falsas, respectivamente:a) ( ) x + y é um número inteiro.b) ( ) x . y é um número inteiro.c) ( ) √x é um número inteiro.d) ( ) x – y é um número inteiro.e) ( ) x : y é um número inteiro.f) ( ) 2 . x é um número inteiro.g) ( ) x/2 é um número inteiro.06. Responda as seguintes questões:a) Todo número natural possui sucessor?b) Todo número inteiro possui sucessor?c) Todo número natural possui antecessor natural?d) Todo número inteiro possui antecessor inteiro?4
  5. 5. 07. Sendo x e y números racionais quaisquer, assinale V ou F conforme asafirmações sejam verdadeiras ou falsas, respectivamente:a) ( ) x + y é um número racional.b) ( ) x . y é um número racional.c) ( ) √x é um número racional.d) ( ) x – y é um número racional.e) ( ) x : y é um número racional.f) ( ) 2 . x é um número racional.g) ( ) x/2 é um número racional.08. Determine as frações que geram as dízimas abaixo:a) 6,22222...b) 0,33333...c) 6,010101...d) 7,2414141...e) 1,712712712...09. Assinale V ou F, conforme as afirmações a seguir sejam verdadeiras oufalsas, respectivamente:a) ( ) A soma de dois números irracionais é um número racional.b) ( ) O produto de dois números irracionais pode dar um número racional.c) ( ) O produto de dois números reais é um número real.d) ( ) A soma de dois números reais é um número real.10. (FATEC-SP) Se A= 0,666..., B= 1,333... e C= 0,141414..., então AB-¹ +C é igual a:a) -74/99 b) 127/198 c) 80/99 d) 187/30 d) 67/3011. (FATEC-SP) Sejam a e b números irracionais quaisquer.Das afirmações:I) ab é um número irracional;II) a + b é um número irracional;III) a – b pode ser um número racional;Pode-se concluir que:a) as três são falsas.b) as três são verdadeiras.c) somente I e II são verdadeiras.d) somente I é verdadeira.e) somente I e II são falsas. 5
  6. 6. 12. (FUVEST-SP) Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por:a) 1/125 b) 1/8 c) 8 d) 12,5 e) 8013. Represente, discriminando entre chaves, os elementos dos conjuntos:a) A= {x ∈ N/ 5 ≤ x ≤ 11}b) B= {x ∈ Q/ x² - 16= 0}c) C= {x ∈ I/ x² - 25= 0}d) D= {x/x é um número natural primo menor que vinte}e) E= {x/x é um número natural quadrado perfeito menor que 100}f) F= {x/x = 2n, sendo n ∈ N}g) G= {x/x = 2n + 1, sendo x ∈ N}14. Classifique como V ou F as afirmações:a) ( ) {0} c { } d) ( ) Q c Rb) ( ) {3} c {1;2;3} e) ( ) I c Rc) ( ) Z c R f) ( ) { } c { }15. Obtenha todos os subconjuntos dos conjuntos:a) A= {1}b) B= {0;3}c) C= {1;2;4}16. Complete, sendo A um conjunto e n(A) a quantidade de elementos de A:a) Se n(A)= 0, então o conjunto A admite ___ subconjuntos.b) Se n(A)= 1, então o conjunto A admite ___ subconjuntos.c) Se n(A)= 2, então o conjunto A admite ___ subconjuntos.d) Se n(A)= 3, então o conjunto A admite ___ subconjuntos.e) Se n(A)= 4, então o conjunto A admite ___ subconjuntos.17. Sendo A e B dois conjuntos não vazios quaisquer, assinale V ou Fconforme as afirmações sejam verdadeiras ou falsas:a) ( ) A U A= A d) ( ) A U { }= { }b) ( ) A ∩ A= A e) ( ) A – B= B – Ac) ( ) A ∩ { }= A f) ( ) n(A U B)= n(A) + n(B) – n(A ∩ B)18. Considere os conjuntos:A= {-2;-1;0;1;2;3;4;5}B= {0;1;3}C= {3;4;5;6;7} Obtenha o que se pede:6
  7. 7. a) A U B e) (A U B) ∩ Cb) A ∩ B f) A ∩ B ∩ Cc) A – B g) C – Ad) B – A h) A ∩ C19. Em relação aos conjuntos A, B e C, do exercício anterior, faça umdiagrama relacionando os elementos.20. Assinale com V ou F, para as seguintes afirmações:a) ( ) N U Z= Z e) ( ) (R – I) c Qb) ( ) N ∩ Z= { } f) ( ) Q – I= Nc) ( ) (Z – N) c Z g) ( ) R= Q U Id) ( ) (R – Q)= I h) ( ) Q ∩ I c R21. Sendo A= {1;2;3;4} e B= {1;2;3;4;5;6;7}, obtenha:a) B – A c) CBAb) A – B d) CAB22. No diagrama ao lado, estão representados trêsconjuntos A, B e C. Em cada região do diagrama estãoindicados números de I a VII, que relacionam os conjuntos.Escreva, para cada região, a relação entre os conjuntos quea corresponde:23. Sendo A= {x ∈ Z/ (3x + 9)(2x + 4)x(x – 1) = 0} e B= {x ∈ N/ x² - 7x =- 12}, substitua os espaços corretamente pelos símbolos ∈, ∉ , c ou .a) 0 ___ A d) 3 ___ Bb) 0 ___ B e) B ___ Zc) 3 ___ A f) A ___ N24. Dado o diagrama abaixo, assinale a região que representa: a) (A ∩ B) – C b) A U (B ∩ C) c) A – (B U C) d) A ∩ B ∩ C25. Dados A= {0,1,2,3}, B= {1,2,3} e C= {2,3,4,5}. Determine:a) A – B c) CA(B ∩ C)b) (A – C) ∩ (B – C) d) ( - B) U (B – C) 7
  8. 8. 26. Considerando o diagrama abaixo, determine: a) n(A) b) n(B) c) n(C) d) n(A ∩ B) e) n(A ∩ C) f) n(A – B) g) n[(A U B) – C]27. (FATEC-SP) Seja n um número natural. Se A= {x ∈ N/ x= 2n} e B= {x ∈N/ x= 2n + 1}, então:a) B – A= {1}b) A U B= Nc) A U B= {0;10}d) A ∩ B= Ae) A U B= {x ∈ N/ x é par}28. (FCMSC-SP) Um conjunto A possui n elementos e um conjunto B possuium elemento a mais do que A. Sendo x e y os números de subconjuntos de Ae B, respectivamente, tem-se que:a) y é o dobro de x.b) y é o triplo de x.c) y= x/2 + 1.d) y= x + 1.e) y pode ser igual a x.29. (PUC-RJ) Num universo de 800 pessoas, é sabido que 200 delas gostamde samba, 300 de rock e 130 de samba e rock. Quantas não gostam nem desamba e nem de rock?a) 800 b) 730 c) 670 d) 560 e) 43030. (UFV-MG) Sabe-se que os conjuntos A e B têm, respectivamente, 64 e 16subconjuntos. Se A U B tem 7 elementos, então A ∩ B tem:a) nenhum elemento.b) três elementos.c) dois elementos.d) um elemento.e) quatro elementos.8
  9. 9. 31. (FATEC-SP) Se A= {x ∈ R/ 0 < x < 2} e B= {x ∈ R/ -3 ≤ x ≤ 1}, então oconjunto (A U B) – (A ∩ B) é:a) [-3;0] U ]1;2[b) [-3;0[ U [1;2[c) ]-∞;-3[ U [2;+∞[d) ]0;1]e) [-3;2[32. (FGV-SP) Um levantamento efetuado entre 600 filiados ao INSS mostrouque muitos deles mantinham convênio com duas empresas particulares deassistência médica, A e B, conforme o quadro: O número de filiados simultanea- mente às empresas A e B é: a) 30 b) 40 c) 25 d) 5033. (FATEC-SP) O conjunto A tem 20 elementos, A ∩ B tem 12 elementos e AU B tem 60 elementos. O número de elementos do conjunto B é:a) 28 b) 36 c) 40 d) 48 e) 5234. (FAAP-SP) Foi feita uma pesquisa com todos os alunos de uma escola econstatou-se que 56 lêem a revista A, 21 as revistas A e B, 106 apenas umadas revistas e 66 não lêem a revista B. Qual o número de alunos dessaescola?35. (FAAP-SP) Uma prova era constituída de dois problemas. 300 alunosacertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova?36. (ENEM) Um fabricante de cosméticos decide produzir 3 diferentescatálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como algunsprodutos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma páginainteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originaisde impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2terão 10 páginas em comum, C1 e C3 terão 6, C2 e C3 terão 5, das quais 4também estarão em C1. Nessas condições, o fabricante, para a montagemdos 3 catálogos, necessitará de quantos originais de impressão? 9
  10. 10. 37. (CESGRANRIO) Em uma universidade são lidos dois jornais A e B.Exatamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 60%, o jornal B. Sabendo quetodo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos quelêem ambos é:a) 48% b) 140% c) 60% d) 80% e) 40%38. (FGV-SP) Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de 3 marcas: A, B eC, de um determinado produto apresentou os seguintes resultados:A=48% B=45% C=50% A e B=18% B e C=25% A e C=15% Nenh.= 5%a) Qual a porcentagem dos entrevistados que consomem as 3 marcas?b) Qual a porcentagem dos entrevistados que consomem uma e apenas umadas 3 marcas?39. (UNESP-SP) Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente aspublicações: Helena, Senhora, A Moreninha. Para isso pesquisou o mercado econcluiu que, em cada 1000 pessoas consultadas.600 haviam lida A Moreninha- 400 haviam lido Helena- 300 haviam lido Senhora- 100 haviam lido Senhora e Helena- 150 haviam lido A Moreninha e Senhora- 200 haviam lida A Moreninha e Helena- 20 haviam lido as três obras Com estas informações calcule:a) O número de pessoas que leram somente uma das três obras.b) O número de pessoas que não leram nenhuma das três obras.c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.40. (Mackenzie-SP) Sabe-se que:A U B U C= {n ∈ N/ 1 ≤ x ≤ 10}A ∩ C= {2,7}A U B= {n ∈ N/ 1 ≤ x ≤ 8}A ∩ B= {2,3,8}B ∩ C= {2,5,6}Determine o conjunto C.41. (PUC-PR) Era um levantamento com 100 vestibulandos da PUC, verificou-se que o número de alunos que estudou para as provas de matemática, físicae português foi o seguinte:10
  11. 11. -Matemática, 47;-Física, 32;-Português, 21;-Matemática e Física, 7;-Matemática e Português, 5;-Física e Português, 6;-As três matérias, 2; Quantos dos 100 alunos incluídos no levantamento não estudaramnenhuma das três matérias?42. (UFMG-MG) Os conjuntos A, B e A U B têm, respectivamente, 10, 9 e 15elementos. O número de elementos de A ∩ B é:a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 843. (UFPE) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistados consumidoressobre suas preferências em relação aos produtos A e B. Os resultados dapesquisa indicaram que:- 310 pessoas compraram o produto A.- 200 pessoas compraram o produto B.- 110 pessoas compraram os produtos A e B.- 510 pessoas não compraram nenhum dos dois produtos.Indique o número de consumidores entrevistados, divididos por 10.44. (UFV-MG) Uma academia de ginástica possui 150 alunos; 40% delesfazem musculação; 20%, musculação e natação; 22% natação e capoeira;18% musculação e capoeira; e 12%, as três atividades. O número de pessoasque faz natação é igual ao número de pessoas que faz capoeira. Pergunta-sea) Quantas fazem capoeira e não fazem musculação.b) Quantas fazem natação e capoeira e não fazem musculação.45. (FUVEST-SP) Durante uma viagem choveu cinco vezes. A chuva caía pelamanhã ou à tarde, nunca o dia todo. Houve seis manhãs e três tardes semchuva. Quantos dias duraram a viagem?a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 11

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