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Diagrama de bode

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Diagrama de bode

  1. 1. REPRESENTACIONES GRÁFICAS 1. ¿Qué son? • Son gráficos que permiten mostrar la respuesta en frecuencia de un sistema lineal. • Son herramientas útiles para el análisis, síntesis y diseño. 2. Diagrama de Bode Permite representar la respuesta en frecuencia de un sistema H(jw) en dos gráficos conocidos como: [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] FasedeDiagramar/swv/sH(jw)/ MagnituddeDiagramar/swv/sH(jw)log20dBH(jw) ====       Unidades Cantidad Unidad Observación Magnitud decibeles [dB] 20log|H(jw)| Fase Grados [º] 0[º] a 360[º] Frecuencia radianes/segundo [r/s] 1 radian = 180 / π [º] Escalas Cantidad Escala Observación Magnitud lineal Se marca cada 20 [dB] Fase lineal Se marca cada 90 [º] Frecuencia logarítmica En decadas [dec] Década, corresponde al rango entre w1 y su múltiplo 10w1.
  2. 2. 3. Factores canónicos Para dibujar estos diagramas la función de transferencia se expresa en producto de los siguientes factores canónicos: [B1] K Ganancia Bode a frecuencia cero. [B2] (1+jw/wo)q Factor simple [B3] (jw)q Factor cero [B4] [1+2ξ(jw/wn)+(jw/wn)2 ]q Factor cuadrático [B5] e-jwτ τ0 Factor retardo Donde q Є {-1,1}, 0 ≤ ξ ≤ 1 4. Ejemplo de descomposición en factores canónicos. • Considerar la función: 12 2 2 2 −−−−++++++++++++++++==== ++++++++++++ ++++ ==== ++++++++++++ ++++ ==== )) jw () 2 jw (*0.25*2(11-jw)(11-(jw)jw/2)(1)0.1jw-e(*3H(jw) )) jw () 2 jw (*0.25*2(1jw)(1(jw) )w/2j(1)0.1jw-e(*3 H(jw) :comoescribirsepuedeEntonces 4)jw2((jw)1)(jw(jw) 2)(jw0.1jw-e6 H(jw)
  3. 3. 5. Gráficas aproximadas de los factores canónicos. • [B1] F(jw) = K Magnitud |F(jw)|[dB]= |K|[dB] = 20 log |K| es una recta horizontal Fase /F(jw) = /K =    ≥≥≥≥ 0K180- 0K o 0 es una recta horizontal Obs. MATLAB prefiere +180[o ] /F(jw)| [o ] 0o -90o - 180o 10-1 10-0 10+1 w K≥0 K0 |F(jw)|[dB] +20 20log|K| 0 - 20 10-1 10-0 10+1 w
  4. 4. • [B2] F(jw) = (1+ jw/wo)q , q Є {-1, 1} Magnitud |F(jw)|[dB]= q * 10 * log (1 + (w/wo)2 ) [dB] q = -1 Fase /F(jw) = q * arctan (w/wo) [o ] q = -1 /F(jw)| [o ] 0o -45o - 90o 10-1 10-0 10+1 w/wo |F(jw)|[dB] 0 -10 - 20 10-1 10-0 10+1 w/wo
  5. 5. • [B3] F(jw) = (jw)q , q Є {-1, 1} Magnitud |F(jw)|[dB]= q * 20 * log |w| [dB] Es una recta con pendiente 20*q [dB/decada] q = -1 Fase /F(jw) = q * 90 [o ] q = -1 /F(jw)| [o ] 0o -45o - 90o -135o 10-1 10-0 10+1 w |F(jw)|[dB] +20 0 - 20 10-1 10-0 10+1 w
  6. 6. • [B4] F(jw) = [1+2ξ(jw/wn)+(jw/wn)2 ]q q Є {-1,1}, 0 ≤ ξ ≤ 1 Magnitud |F(jw)|[dB]= q * 10* log ( (1- (w/wn)2 )2 + 4ξ2 (w/wn)2 ) Para todo w wn q = -1 (ξ aumenta ) Fase /F(jw) =          ∀∀∀∀ ξξξξ ++++ ∀∀∀∀ ξξξξ nww) 2 nw-2w nww2 arctan(*qq*90 nww) 2w-2 nw nww2 (arctan*q (ξ aumenta ) /F(jw)| [o ] 0o -45o - 90o -135o -180o 10-1 10-0 10+1 w/wn ξ 10-1 10-0 10+1 w/wn |F(jw)|[dB] 0 -20 - 40 ξ
  7. 7. • [B5] F(jw) = e-jwτ τ0 Magnitud |F(jw)|[dB]= 0 Fase /F(jw) = -w τ /F(jw)| [o ] 0o -300o - 600o 10-1 10-0 10+1 wτ
  8. 8. 6. Procedimiento para construir un diagrama de Bode aproximado. • Escriba H(jw) como producto de factores canónicos • Seleccionar rango de frecuencia de los gráficos • Dibujar los diagramas I) Diagrama de Magnitud • Anote para cada factor, los puntos de quiebre de sus asíntotas y la pendiente de ellas entre cada par de puntos de quiebre consecutivos. Hacer una Tabla. • Sumar las pendientes entre cada punto de quiebre y dibujar el diagrama de magnitud. (Pendiente = [20dB / década]) • Desplazar verticalmente el diagrama de magnitud en 20log(|K|). Esta operación es equivalente a renumerar el eje de ordenadas II) Diagrama de Fase • Anote para cada factor, los puntos de quiebre de sus asíntotas y la pendiente de ellas entre cada par de puntos de quiebre consecutivos. Hacer una Tabla. • Sumar las pendientes entre cada punto de quiebre y dibujar el diagrama de fase. (Pendiente = 45[o / década]). • Desplazar verticalmente el diagrama de fase en 90*q [o ] cuando existe el factor (jw)q . Esta operación es equivalente a renumerar el eje de ordenadas. • Si K0 desplazar verticalmente el diagrama de fase en -180 [o ] III) Verificación • Verifique que su resultado satisface las aproximaciones asintóticas, tanto en magnitud como en fase, para frecuencias muy bajas (w → 0) y para frecuencias muy altas (w → ∞).
  9. 9. 7. Ejemplo de Diagrama de Bode Dada la función de transferencia de un sistema lineal, obtener su respuesta en frecuencia usando Diagrama de Bode. 4)-(s8)(ss 1)(s2)-(s8 H(s) ++++ ++++ ==== a) Como interesa el comportamiento en frecuencia usar s = jw. Luego escribir H(jw) como el producto de factores canónicos. H(jw) = 0,5 (1-jw/2) (1+jw) (jw)-1 (1+jw/8)-1 (1-jw/4)-1 F1 F2 F3 F4 F5 F6 b) Cálculo del rango de frecuencias de interés ( en Diagrama de Fase): Factores PQ 1 PQ 2 F1 - - F2 0,2 20 F3 0,1 10 F4 - - F5 0,8 80 F6 0,4 40 Tabla 1. Rango de frecuencias El rango va desde [0,1; 80], se usará un rango [ 0,01; 100 ]. c) Diagrama de Magnitud •••• Hacer la Tabla con los puntos de quiebre y las pendientes entre dos puntos de quiebre sucesivos: PQ (-∞ ; 1] ( 1 ; 2] ( 2 ; 4] ( 4 ; 8] ( 8 ; +∞] F1 - - - - - - F2 2 0 0 1 1 1 F3 1 0 1 1 1 1 F4 1 -1 -1 -1 -1 -1 F5 8 0 0 0 0 -1 F6 4 0 0 0 -1 -1 Sumar pendientes -1 0 1 0 -1 Tabla 2. Contribución de pendientes
  10. 10. • El factor F1 desplaza verticalmente el diagrama en 20 log (0,5) = - 6 [dB]. Figura 1. Diagrama de Magnitud d) Diagrama de Fase •••• Hacer la Tabla con los puntos de quiebre y las pendientes entre dos puntos de quiebre sucesivos: PQ (-∞;0,1] (0,1;0,2] (0,2;0,4] (0,4;0,8] (0,8;10] (10;20] (20;40] (40;80] ( 80;+∞] F1 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F2 2 0 0 -1 -1 -1 -1 0 0 0 F3 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 F4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F5 8 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 0 F6 4 0 0 0 1 1 1 1 0 0 Suma 0 1 0 1 0 -1 0 -1 0 Tabla 2. Contribución de pendientes • El factor F4 desplaza verticalmente el diagrama de fase en -90[o ]. 10-2 10-1 10o 2 4 8 101 102 w | |dB 40 30 20 10 -6 -10 -20 -30 -40
  11. 11. Figura 2. Diagrama de Fase El programa MATLAB dispone del comando “bode” para calcular y dibujar exactamente estos diagramas. En este ejemplo, primero se expande la función en polinomios tanto el numerador como el denominador. 032s-24s3s 16-8s-28s H(s) ++++++++ ==== Entonces los diagramas de Bode se obtienen con el código MATLAB: H = tf ( [ 8 -8 -16] , [ 1 4 -32 0] ); bode (H); 10-2 10-1 .2 .4 .8 10o 2 4 8 101 20 40 80 102 w /_[o ] 90 45 -45 -90

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