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# Ejercicios Selectividad Campo Gravitatorio

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Ejercicios resueltos de las pruebas de acceso a la universidad de Andalucía de la materia de Física y tema Campo Gravitatorio.

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### Ejercicios Selectividad Campo Gravitatorio

2. 2. 1. – a) Si estamos hablando de energía potencial es porque estamos en un campo de fuerzas conservativo en el cual la energía mecánica permanece constante EMA = EPA + ECA EM = EP + EC EMB = EPB + ECB como EMA = EMB y EPB < EPA esto implica que ECB > ECA b) T P T M m E R h ⋅ = − + esta ecuación nos da la energía potencial del sistema formado por la Tierra y un cuerpo de masa m situado a una altura h sobre su superficie, su valor es negativo porque se considera que la energía potencial es cero en el infinito y que disminuye al decrecer la distancia. PE m g h∆ = ⋅ ⋅ esta ecuación nos da el valor de la “variación” de energía potencial para pequeñas diferencias de altura (h << RT) en la superficie terrestre, su valor es positivo porque la energía potencial aumenta con la altura. 2. – a) La densidad de un cuerpo es la relación entre su masa y el volumen que ocupa, para el caso de la Tierra: 34 3 T T T T T M M d V Rπ = = ⋅ ⋅ como 2 T T M g G R = ⋅ despejando la masa de la Tierra 2 T T g R M G ⋅ = y sustituyendo en la ecuación de la densidad 2 3 3 3 5.619 4 4 3 T T T T g R g Kg G R mG R ππ ⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ d b) 2 T T M g G R = ⋅ dividiendo nos queda ( ) 2 2 3 T T R h R + = ( ) 2 1 3 T T M g G R h ⋅ = ⋅ + 3 T T R h R + = y despejando h ( )3 1 4.663Th R Km= − ⋅ =
3. 3. 3. – a) la ecuación de la energía potencial para dos cuerpos de masas m y m’ separados una distancia r es la siguiente: ' P m m E G r ⋅ = − ⋅ al separarlos, aumenta r y disminuye el valor absoluto de la energía potencial, pero como su signo es negativo, la energía potencial aumenta b) El trabajo realizado por las fuerzas conservativas del campo gravitatorio, equivale a la variación negativa de la energía potencial del sistema. P PA PBW E E E= −∆ = − 4. – a) En la Tierra 2 T T M g G R = ⋅ en el planeta X 2 1 2 T X X M g G R ⋅ = ⋅ como el peso de un cuerpo es la cuestión planteada en este apartado será verdadera siempre y cuando se cumpla que P m g= ⋅ 1 2 Xg Tg= ⋅ para lo cual es necesario que T XR R= como se deduce de las ecuaciones anteriores. b) Es falsa, a la altura que orbitan los astronautas la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra sobre ellos es considerable (sin ella seguirían una trayectoria rectilínea), pero al llevar una velocidad v perpendicular a la fuerza gravitatoria, esta actúa como fuerza centrípeta y la “ingravidez” se debe a su estado permanente de caída libre. 5. – a) Ver apartado b del problema número 1 de esta relación. b) Es cierto que el valor de g disminuye al aumentar h (altura sobre la superficie) ( ) 2 T T M g G R h = ⋅ + pero mide la variación de la energía potencial (m g h⋅ ⋅ PE∆ ), no el valor de la energía potencial T P T M m E R h ⋅ = − + que disminuye con la altura en valor absoluto, pero que al ser negativo aumenta por lo tanto la variación de la energía potencial ( PE m g h∆ = ⋅ ⋅ ) aumenta con la altura.
4. 4. 6. – a) Ver problema número 3 de la relación DINÁMICA FCA 04 b) La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial M C PE E E= + la energía potencial P M m E G r ⋅ = − la energía cinética 21 2 CE m v= ⋅ ⋅ como la fuerza gravitatoria ejerce de fuerza centrípeta 2 2 M m m v G r r ⋅ ⋅ ⋅ = despejando 2 M m m v G r ⋅ ⋅ = ⋅ sustituyendo en la ecuación de la energía cinética 1 2 2 C M m M E G G r r m⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 2 2 M M m M m M E G G G r r m r ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ + ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ 7. – a) La gravedad en la superficie 0 2 T T M g G R = ⋅ a una altura h ( ) 2 T T M g G R h = ⋅ + dividiendo ambas ecuaciones miembro a miembro ( ) 2 0 2 T T R hg g R + = sustituyendo y despejando h ( ) 2 2 10 2 T T R h R + = 5 T T R h R + = ( )5 1 7.873Th R= − ⋅ = Km P b) La energía cinética que hay que comunicar al cuerpo ha de ser igual ala variación de la potencial CE E= ∆ , desarrollando esta ecuación: 21 1 2 T T T T T T M m M m m v G G G M m 1 TR h R R R ⎛ ⎞ ⎛⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − − − = ⋅ ⋅ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ + +⎝ ⎠ ⎝ h ⎞ ⎟ ⎠ ( ) 21 2 T T T h v G M R R h ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + como 2 T T M g G R = ⋅ 2 TG M g RT⋅ = ⋅ sustituyendo ( ) 2 21 2 T T T h v g R R R h ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + 2 3.045T T R h m v g R h s ⋅ = ⋅ ⋅ = +
6. 6. 1. - a) Ninguno. Como se desprende de la expresión del potencial gravitatorio para cuerpos esféricos (la Tierra) TM V G r = ⋅ todos los puntos situados a la misma distancia r del centro de gravedad de la Tierra, tienen el mismo valor de potencial. Si unimos todos esos puntos mediante una superficie, esta será una “superficie equipotencial” que para el caso de la Tierra, toma la forma de una esfera. Una de las implicaciones del carácter conservativo de la fuerza gravitatoria, es que esta no realiza trabajo alguno sobre un cuerpo que se mueva por una superficie equipotencial (una órbita circular pertenece a una superficie equipotencial). Puesto que el potencial es el mismo no hay variación de energía potencial y en consecuencia, el trabajo es nulo. b) Otra de las implicaciones de los campos conservativos es que no se produce trabajo en trayectorias cerradas. Al ser el mismo el punto inicial que el final, no hay variación de energía potencial y por lo tanto el trabajo es nulo. 2. – a) ( ) 2 24 11 2 22 8 2 5,98 10 1000 6,67 10 10,82 / 2 3,84 10 2 T GT M m N m Kg Kg F G Kgd m −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ N ( ) 2 22 11 2 22 8 2 7,35 10 1000 6,67 10 0,13 / 2 3,84 10 2 L GL M m N m Kg Kg F G Kgd m −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ N N10,69RES GT GLF F F= − = b) Para que la fuerza resultante sea nula, los módulos de la fuerza gravitatoria de la Tierra y de la Luna han de ser igualesTier
7. 7. GT GLF F= ( ) 22 T LM m M G G x d x m⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − ( ) 2 2 T LM d x M x⋅ − = ⋅ desarrollando obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado ( ) 2 2 2 0T L T TM M x M d x M d− ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = sustituyendo resolviendo24 2 33 41 5,91 10 4,59 10 8,82 10 0x x⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ = ( ) 233 33 24 41 24 4,59 10 4,59 10 4 5,91 10 8,82 10 2 5,91 10 x ⋅ ± ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ siendo los dos resultados 8 1 4,28 10 3,49 108 2x m y x= ⋅ = ⋅ m como x ha de ser menor que d, en este caso el resultado que se nos pide es 8 3,49 10x m= ⋅ 3. – a) Las expresiones de ambas velocidades son: T orb T G M v R h ⋅ = + 2 2T T escp orb T T G M G M v R h R h ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ = + + 2 v⋅ la velocidad de escape es 2 veces mayor que la orbital. b) No, la expresión de la energía potencial es T P T M m E G R h ⋅ = − ⋅ + al aumentar h, disminuye el valor numérico de la energía potencial, pero al ser esta negativa su valor real aumenta. a) Como la fuerza gravitatoria actúa de fuerza centrípeta cpt =F FG 2 2 Saturno Titán Titán M M Mv ⋅ = ⋅G rr ⋅ despejando 11 2 2 26 9 6,67 5.628 1,2⋅10 Saturno Kg m mr ⋅10− ⋅− N m⋅ Kg⋅ 5,7 10⋅ v ⋅G M = = = s para calcular su periodo, utilizamos la tercera ley de π π⋅ ( 10 ) 2 2 32 3 3 9 3 11 2 2 26 44 10 Saturno Saturno =T K m ⋅G M Kg− − ⋅ r⋅ = r⋅ = 1,2⋅ ⋅ 6,67 10⋅ N m Kg⋅ ⋅ 5,7⋅ ⋅ 1,79= ⋅1012 T s2 1,= 36 106 ⋅ s que suponen unos 15,5 días b) 2,6⋅10 ) 2 23 11 22 2 2 ( 6 6,67⋅10 1,28Titán Titán Titán M ⋅N m Kg m g = ⋅G s2 R Kg m − 13 10⋅ = ⋅ = Titán TitánP m= ⋅ g dividiendo Titán 0,= 128Titán Tierra Tierra P g P g = Tierra TierraP m= ⋅ g 4.
8. 8. 5. – a) La masa en la Luna es igual que en la Tierra o en cualquier otro lugar, puesto que dicha magnitud no depende del campo gravitatorio en que se encuentre, si no de la cantidad de materia del cuerpo. ( ) 2 22 11 22 2 6 2 7,2 10 6,67 10 . 1,66 1,7 10 Luna Luna Luna M N m Kg m g G 2 R Kg sm − ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ 2 70 1,66 116Luna Luna m P m g Kg s = ⋅ = ⋅ = N b) v0 = 0 t = 3 s 2 2 2 2 1 1 1,66 3 7,47 2 2 Luna m h g t s s = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = m al caer libremente (no hay energía cinética inicial), la energía potencial disminuye convirtiéndose en energía cinética, ya que al estar en un campo conservativo la energía mecánica permanece constante 0M C PE E E= −∆∆ = 6. – a) A M ⋅m E = − ⋅GPA r PB B M ⋅m E = − ⋅G r como rA > rB implica que EPA > EPB luego la energía potencial disminuye. b) La energía potencial no varía porque el cuerpo se desplaza por una superficie equipotencial (ver problema número 1 de esta relación).
10. 10. 1.- a) En la Tierra real 2 T T M g G R = ⋅ En la Tierra hipotética ' 2 T T R R = 22 ' ' 4 T T TT M G M g G RR ⋅ = ⋅ = ' 4g g= b) No se modificaría en absoluto porque el centro de gravedad de la “nueva” Tierra seguiría siendo el mismo. 2.- h = 20.000 Km = 2 · 107 m a) El satélite se mantiene en órbita porque la fuerza gravitatoria que le ejerce la Tierra actúa como fuerza centrípeta sustituyendocpt GF F= 2 2 T sat sat M mv m G r r ⋅ = despejando TG M v r ⋅ = como nos quedaTr R h= + 11 2 2 24 6 7 6,67 10 6 10 3895,7 6,37 10 2 10 T T G M N m Kg Kg m v R h m m − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = + ⋅ + ⋅ s b) ' 2 h h = Llamamos 6 7 6,37 10 2 10 2,637 10Tr R h m m m= + = ⋅ + ⋅ = ⋅ 7 76 7 ' ' 6,37 10 1 10 1,637 10Tr R h m m m= + = ⋅ + ⋅ = ⋅ la energía cinética para ambos casos es 1 2 T sat c M m E G r ⋅ = y 1 ' 2 ' T sa c tM m E G r ⋅ = dividiendo ambas expresiones entre sí obtenemos ' 1,61 ' c c E r E r = = es decir ' 1,61c cE E= la energía cinética al ser positiva es 1,61 veces mayor en la nueva situación. La energía mecánica para ambos casos es 1 2 T sat m M m E G r ⋅ = − y 1 ' 2 ' T sat m M m E G r ⋅ = − dividiendo ambas expresiones entre sí obtenemos ' ' m m E r E r = =1,61 es decir ' =1,61E Em m la energía mecánica es 1,61 veces mayor, en valor absoluto, en la nueva situación pero como su signo es negativo, realmente es menor.
11. 11. 3.- a) El trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo viene dado por la expresión cosW F x F x α= ×∆ = ⋅∆ ⋅ v donde x∆ es el desplazamiento y α es el ángulo que forma la fuerza y el desplazamiento.GF La fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta que, por definición, es siempre perpendicular al desplazamiento, es decir 90ºα = , por lo tanto el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es nulo (cos90º 0= ). También se puede resolver este apartado teniendo en cuenta que el campo gravitatorio es conservativo y en consecuencia pW E= −∆ en una órbita el punto inicial y el final son el mismo y la variación de la energía potencial es cero, por lo tanto el trabajo realizado en una órbita es nulo. b) Por definición, la fuerza de rozamiento se opone al movimiento, por lo tanto su signo será negativo al igual que el del trabajo de rozamiento 4.- a) MJ = 300 MT si el diámetro es diez veces el de la Tierra, lo mismo ocurre con el radio, por lo tanto RJ = 10 RT. Plantemos la ecuación de la gravedad en Júpiter y sustituimos los valores en función de los de la Tierra ( ) 22 2 300 3 3 10 J T T J T J TT M M M g G G G g R RR = = = ⋅ = ⋅ si el astronauta pesa 75 Kg (fuerza) en la Tierra, en Júpiter pesará tres veces más, es decir 225 Kg (fuerza). También podríamos calcular el peso del astronauta sabiendo que gJ = 30 m·s-2 2 75 30 2250 225P m g Kg m s N Kgf− = ⋅ = ⋅ ⋅ = = b) Aplicando la tercera ley de Kepler a los dos planetas y sabiendo que rJ = 5 rT 2 3 JT KSol= ⋅ Jr 2 3 T Sol T=T K ⋅r dividiendo ambas expresiones obtenemos ( 3 )2 3 2 3 3 5 TJ TT T r = T r T r r J = =125 125 11,18 11,18J T TT = T⋅ = T⋅ = años
12. 12. 5.-a) Si aplicamos la ley de gravitación universal a la interacción producida entre la Tierra y los cuerpos que están en su superficie o cercanos a ella obtenemos 2 T G T M m F G R u ⋅ = − ⋅ como vemos la fuerza es directamente proporcional a la masa del cuerpo. En la caída libre lo que importa es la aceleración 2 G T T F M a G u m R = = − ⋅ = g y como observamos en la ecuación anterior no de pende de la masa del cuerpo, por lo tanto, aunque dos cuerpos tengan distinta masa, si caen de la misma altura llegan al suelo simultáneamente. Esta afirmación es verdadera. b) El campo gravitatorio es conservativo y en consecuencia pW E= −∆ como la variación de energía potencial solo depende de los puntos inicial y final podemos indicar que el trabajo realizado entre dos puntos no depende del camino seguido. Esta afirmación es falsa. 6.- m1 = 5 Kg m2 = 10 Kg a) Calculamos las intensidades de campo creadas por las masas m1 y m2 en el punto (4,3) 111 1 2 1 = −g G 2,08⋅10− ⋅ m N i Kr ⋅i = − g 112 2 2 2 = −g G m 7,41⋅10− ⋅ j N Kr ⋅ j = − g sumando vectorialmente obtenemos = −2,08 11 7,41− −11 N ⋅10 ⋅ −ig Kg ⋅10 ⋅ j
13. 13. b) Calculamos el potencial gravitatorio creado por las masas m1 y m2 en los puntos (0,0) y (4,3) 11 101 2 (0,0) 1 2 5 10 6,67 10 2,78 10 3 4 m m J V G r r K − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − + = − ⋅ + = − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ g 11 101 2 (4,3) 1 2 5 10 6,67 10 3,06 10 4 3 m m J V G r r K − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − + = − ⋅ + = − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ g calculamos el trabajo para trasladar una carga de 2 Kg desde el punto (4,3) hasta el punto (0,0) mediante la expresión que lo relaciona con la diferencia de potencial ( ) ( )10 10 11 (0,0) (4,3) 2 2,78 10 3,06 10 / 5,6 10W m V V Kg J Kg J− − = − = ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ − 7.-a) La velocidad orbital de la Luna en torno a la Tierra se deduce de igualar la fuerza centrípeta a la gravitatoria T orbt G M v r ⋅ = si disminuye el radio de la órbita (r) es evidente que aumenta la velocidad orbital. b) La velocidad de escape desde la superficie de un cuerpo celeste viene dada por varias expresiones, la que nos sirve para comparar en este caso es 2escpv g= ⋅ ⋅r particularizamos para la Tierra y la Luna ( ) 2escp Tierra T Tv g R= ⋅ ⋅ ( ) 2escp Luna L Lv g R= ⋅ ⋅ tanto comoTg TR son mayores que yLg LR , por lo tanto >( )escp Tierrav ( )escp Lunav 8.- a) rL = 3,84 · 108 m TL = 2354400 s aplicamos la tercera ley de Kepler 2 2 3 4 L T L T T r ⋅G M π = ⋅K r = ⋅ 3 L y despejamos la masa de la Tierra 2 10244 LT L M K ⋅G T π = ⋅r 63 = ⋅ g b) rL = 2 · 108 m ( días horas) 2 34 888354 10 6L L T T s ⋅G M π = r⋅ =
15. 15. 1.- MSAT = 500 Kg h = 120 Km G = 6,67 · 10-11 2 2 N m Kg ⋅ RL = 1740 Km T = 2 h = 7200 s r = RL + h = 1,86 · 106 m a) La tercera ley de Kepler aplicada a la Luna dice 2 LT K r= ⋅ 3 2 12 3 8 10L T K r − = = ⋅ Como 2 4 L L K G M π = ⋅ 2 224 7,4 10L L M Kg G K π = = ⋅ ⋅ b) La Energía potencial del satélite en la orbita viene dada por la expresión: 9 1,33 10L SAT P M M E G r J ⋅ = − = − ⋅ en la superficie lunar 9 1,42 10L SAT P L M M E G R J ⋅ = − = − ⋅ 7 9 10P Pórbita PspfE E EP JΔ = − = ⋅ 2.- a) Ver TEORÍA b) La afirmación es falsa, G como su propio nombre indica, es una constante universal, es decir su valor es el mismo para todo el universo. La gravedad de Venus es menor que la de la Tierra por el valor de su masa y de su radio. 3.- a) La energía cinética de una partícula no puede ser negativa, no tiene sentido ya que la ecuación de la energía cinética es 21 2 CE m v= ⋅ aunque el módulo de la velocidad puede ser negativo su cuadrado es positivo. La energía potencial si es negativa, viene dada por la ecuación P M m E G r ⋅ = − El signo negativo proviene de la necesidad que se cumplan las condiciones de dicha energía y son que crece con la distancia y ha de ser cero en el infinito. Si fuera positiva no se cumplirían dichas condiciones. b) Si se trata de un campo conservativo y solo actúan las fuerzas del campo, si se cumple. Si actúan fuerzas no conservativas no se cumple.
16. 16. 4.- 9 T M M M = si el diámetro es la mitad, el radio también 6 3185 3,185 10 2 T M R R km m= = = ⋅ a) Para determinar la velocidad de escape en Marte partimos de su ecuación 2 M escape M G M v R ⋅ ⋅ = pero como no nos dan ni G ni MM, el valor de dicho producto lo sustituimos por su equivalente despejado de la expresión de la gravedad 2 M M MG M g R⋅ = ⋅ sustituyendo la expresión de la velocidad de escape se queda 2escape M Mv g R= ⋅ ⋅ conocemos el radio de Marte, hemos de calcular g en su superficie 2 2 2 2 /9 4 4 4,44 ( / 2) 9 9 M T T M T M T T M M M g G G G g m s R R R − = = = = = ⋅ sustituimos en la ecuación anterior y operamos 1 1 2 5318 5,32escape M Mv g R m s km s− − = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ b) Al preguntarnos sobre la altura máxima alcanza por un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba, desde la superficie de Marte, con una velocidad de 720 km h-1 (200 m s-1 ), está claro que en dicho punto su velocidad será cero, esto nos permite establecer la siguiente ecuación para el balance de energía ( ) ( ) (C P PE inicial E inicial E final+ = ) es decir C PE E= Δ 2 0 1 2 M M M M m M m v G G r R ⎛ ⎞m⋅ ⋅ ⋅ = − − −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ eliminando m y sacando factor común obtenemos 2 2 0 1 1 1 2 M M M M M v G M g R 1 1 R r R ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⋅ − = ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠r despejando v0 2 y deshaciendo el paréntesis 2 2 0 2 2 M M M M ⋅g R v g ⋅ R r = − despejando r y sustituyendo 2 2 0 2 3189511 2 MM M M ⋅g R r m g R⋅ −v = = como M=r R + h 4511M m=h r R− =
17. 17. Esta sería la forma correcta de resolver este apartado, aunque si considerásemos que la velocidad con la que lanzamos el cuerpo no es lo suficientemente elevada para que la altura que alcance el cuerpo sea relevante con respecto al radio de Marte, podríamos plantear la variación de la energía potencial como mgh 2 0 1 2 m v m g h⋅ = ⋅ ⋅ 2 0 4504 2 M v h m g = = como vemos el error cometido es muy pequeño. 5.- a) La interacción gravitatoria entre dos cuerpos es atractiva y puede expresarse mediante una fuerza central directamente proporcional al producto de las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. La constante de proporcionalidad es la llamada constante de gravitación universal G, vectorialmente, expresamos esta fuerza de la siguiente manera: 2 ' G r m m F G r u ⋅ = − es la ley de gravitación universal desarrollada por Newton. La fuerza que actúa sobre m es igual que la actúa sobre m’, pero dirigida en sentido contrario. b) Cuando tenemos un conjunto de varias masas la fuerza que actúa sobre una de ellas es igual a la resultante de las fuerzas que las demás ejercen sobre ella, consideradas individualmente. F 2,1= +F F3,1
18. 18. 6.- a) Que un cuerpo salga de la influencia del campo gravitatorio del planeta significa que llegue a una distancia infinita (EP = 0) y que su velocidad sea cero (EC = 0), por lo tanto su energía mecánica sería cero. A la velocidad necesaria que hay que darle al cuerpo en la superficie del planeta para que eso ocurra se le llama velocidad de escape. Como el campo gravitatorio es conservativo, la energía mecánica se mantiene constante, en consecuencia, podemos plantear la siguiente ecuación (superficie) (superficie) 0P CE E+ = 21 0 2 escape M m m v G R ⋅ ⋅ − = despejando 2 escape G M v R ⋅ ⋅ = b) Un satélite geoestacionario se caracteriza por estar situado en todo momento sobre el mismo punto del planeta, esto se consigue si su periodo de rotación es el mismo del planeta sobre el que orbita (en el caso de la Tierra el periodo de rotación del satélite sería de 24 h). Para calcular la altura de la órbita partimos de la tercera ley de Kepler sustituyendo k por su valor2 T k r= ⋅ 3 2 2 34 T r G M π = ⋅ ⋅ despejamos r 2 3 2 4 T G M r π ⋅ ⋅ = y como r R h= + 2 3 2 4 T G M h R π ⋅ ⋅ = − 7.- a) M =T' 2MT 3,84= 108 ⋅ morbital Luna=r R si llamamos v’ a la nueva velocidad orbital de la Luna podemos calcularla partiendo de la igualación entre la fuerza centrípeta y la fuerza gravitatoria 2 2 L L v' =M G M ' ⋅T M r r despejando 1T' ' T 1443= ,7 ⋅G M v m r r −G M2⋅ = = s calculamos el periodo en las nuevas condiciones T’ ' πr v T ' 2 = =1671179,8s 19,34días( ) b) =' 2T TM M TT =' 2R R llamamos g’ a la gravedad de la Tierra en la nueva situación ( R ) 2 22 2' 4 ' 2 TT T T g G= =' G M M R = m − s,9