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Ecuación deCauchy-Euler
Forma de ecuación de Cauchy-Euler        n dny           n −1 d n−1 y           dy   an x      n               + an−1 x   ...
ECUACIÓN AUXILIAR                           d2y      dy                                       ax 2                        ...
CASO 2: RAÍCES REALES REPETIDAS                                     m1Dedujimos                y2 = x ln xLuego           ...
CASO 3: RAÍCES COMPLEJASCONJUGADASOrden superior: multiplicidad k m1     m1          m1        2         m1        k −1x ,...
1Resolver       4 x y′′ + 17 y = 0, y (1) = −1, y  (1) = −                   2                                            ...
3 d3y       2 d2y      dy              x      3                       + 5x      2                                   + 7x +...
x 2 y"−3 xy +3 y = 2 x 4e xResolverSolución:Tenemos (m – 1)(m – 3) = 0, m = 1, 3     y c = c 1x + c 2x 3Usando variación d...
x x3       3  W=      2            = 2x ,     1 3x          0           x3        5 x       x    0  W1 =                  ...
Una ecuación de Cauchy-Euler siempre se puede escribir como un lineal de coeficientes constantes haciendo el cambio de var...
x 2 y′′ − xy′ + y = ln x    d2y    dy       2         −2 + y =t    dt     dt    y = c1et + c2te t + 2 + ty = c1 x + c2 x l...
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Ecuacion de cauchy euler

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Ecuacion de cauchy euler

  1. 1. Ecuación deCauchy-Euler
  2. 2. Forma de ecuación de Cauchy-Euler n dny n −1 d n−1 y dy an x n + an−1 x n −1 +  + a1 x + a0 y = g ( x) dx dx dxMétodo de solución Probamos y(x) = xm, donde debemos determinar m,para dk yresolver la ecuación homogénea asociada: Observa que: m − k kak x k k = ak x m(m − 1)(m − 2)(m − k + 1) x dx = ak m(m − 1)(m − 2)(m − k + 1) x m ( an m(m − 1)(m − 2) (m − n + 1) + ... + a1m + a0 ) x m = 0
  3. 3. ECUACIÓN AUXILIAR d2y dy ax 2 2 + bx + cy = g ( x) dx dxPara n = 2, y = xm, tenemos Observa que tenemos que ax2 (am(m – 1) + bm + c)xm = 0, o es igual a cero en am2 + (b – a)m + c = 0 x = 0. Para asegurar existencia y unicidad,Caso 1: Raíces reales y distintas tomaremos m1 m2 I = (0, ∞). y = c1 x + c2 x 2 d2y dyResolver x 2 − 2x − 4 y = 0 dx dxSolución:Tenemos a = 1, b = -2 , c = -4 m2 – 3m – 4 = 0, m = -1, 4, y = c1x-1 + c2x4
  4. 4. CASO 2: RAÍCES REALES REPETIDAS m1Dedujimos y2 = x ln xLuego m1 m1 y = c1 x + c2 x ln x 2 d2y dy Resolver 4 x 2 + 8 x + y = 0 dx dx Solución: Tenemos a = 4, b = 8, c = 1 4m2 + 4m + 1 = 0, m = -½ , -½ −1/ 2 −1/ 2 y = c1 x + c2 x ln x
  5. 5. CASO 3: RAÍCES COMPLEJASCONJUGADASOrden superior: multiplicidad k m1 m1 m1 2 m1 k −1x , x ln x , x (ln x) ,  , x (ln x)Caso 3: raíces complejas conjugadas m1 = α + iβ , m2 = α – iβ , y = C 1x ( α + i β ) + C 2x ( α - i β )Como xiβ = (eln x)iβ = eiβ ln x = cos(β ln x) + i sen(β ln x) x-iβ = cos (β ln x) – i sen (β ln x)Luego y = c1xα cos(β ln x) + c2xα sen(β ln x) = xα [c1 cos(β ln x) + c2 sen(β ln x)]
  6. 6. 1Resolver 4 x y′′ + 17 y = 0, y (1) = −1, y (1) = − 2 2Solución:Tenemos a = 4, b = 0 , c = 17 4m2 − 4m + 17 = 0, m = ½ + 2i y = x1/ 2 [c1 cos(2 ln x) + c2 sin( 2 ln x)]Aplicando y(1) = -1, y’(1) = 0, tenemos que c1 = -1, c2 = 0, 1/2 y = − x cos( 2 ln x)
  7. 7. 3 d3y 2 d2y dy x 3 + 5x 2 + 7x + 8y = 0 dx dx dxResolver 2Solución: dy m −1 d ySea y = xm, = mx , 2 = m(m − 1) x m−2 , dx dx d3y 3 = m(m − 1)(m − 2) x m−3 dxLuego tenemos xm(m + 2)(m2 + 4) = 0 m = -2, m = 2i, m = -2iy = c1x-2 + c2 cos(2 ln x) + c3 sin(2 ln x)
  8. 8. x 2 y"−3 xy +3 y = 2 x 4e xResolverSolución:Tenemos (m – 1)(m – 3) = 0, m = 1, 3 y c = c 1x + c 2x 3Usando variación de parámetros,yp = u1y1 + u2y2, donde y1 = x, y2 = x3 3 3Escribimos la ED como y′′ − y′ + 2 y = 2 x 2e x x xLuego P(x) = -3/x, Q(x) = 3/x2, f(x) = 2x2ex
  9. 9. x x3 3 W= 2 = 2x , 1 3x 0 x3 5 x x 0 W1 = = −2 x e , W2 = = 2 x 3e x 2 x 2e x 3x 2 1 2 x 2e xAsí 2 x 5e x 2 x 5e x ′ u1 = − ′ = − x 2e x , u2 = = ex 2 x3 2 x3 2 x x u1 = − x e + 2 xe − 2e , x u2 = e xHallamos yp = u1 y1 + u2 y2 = (− x 2e x + 2 xe x − 2e x ) x + e x x3 = 2 x 2e x − 2 xe x 3 2 x x y = yc + y p = c1 x + c2 x + 2 x e − 2 xe
  10. 10. Una ecuación de Cauchy-Euler siempre se puede escribir como un lineal de coeficientes constantes haciendo el cambio de variable: x = et. Por ejemplo: Resuelve así: x y′′ − xy′ + y = ln x 2 x = et t = ln xdy dy dt 1 dy = =dx dt dx x dtd 2 y d  1 dy  1 dy 1  d  dy   1 dy 1  d  dy   =  =− 2 +    = − 2  dx dt  +    =dx 2 dx  x dt  x dt x     x dt x  dt  dx     1 dy 1  d  1 dy   1  d 2 y dy − 2  dt x dt   = x 2  dt 2 − dt  +   x dt x        
  11. 11. x 2 y′′ − xy′ + y = ln x d2y dy 2 −2 + y =t dt dt y = c1et + c2te t + 2 + ty = c1 x + c2 x ln x + 2 + ln x

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