M.A.S

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M.A.S

  1. 1. miércoles, 06 de octubre de 2010<br />Dr. Segundo Morocho C.<br />UNIDAD 8<br />MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE<br />8.1. Definiciones<br />8.2. Descripción cinemática del M.A.S.<br />8.3. Elongación, velocidad, aceleración, período<br />8.4. Fuerza en el M.A.S.<br />8.5. Energía en el M.A.S.<br />8.6. Aplicaciones<br />
  2. 2. OSCILADOR ARMONICO SIMPLE<br />Dr. Segundo Morocho C.<br />miércoles, 06 de octubre de 2010<br />Cuando una partícula de masa m oscila a un lado y otro de una posición central de equilibrio.<br /> PE<br />Sobre la partícula actúa una fuerza elástica: <br /> <br />Y almacena energía potencial elástica dada por: <br />Si no se toma en cuenta el rozamiento el movimiento de esta partícula se llama: M.A.S.<br />-A<br />A<br />
  3. 3. Dr. Segundo Morocho C.<br />miércoles, 06 de octubre de 2010<br />MOVIMIENTO OSCILATORIO (Vibratorio):  Es un movimiento periódico hacia un lado y otro de una posición central de equilibrio sin cambiar la trayectoria. <br />MOVIMIENTO PERIÓDICO: Es cuando se repite a intervalos iguales de tiempo.<br /> PE<br />POSICION DE EQUILIBRIO (PE): Es la posición central de la trayectoria, donde la fuerza sobre la partícula es nula.<br />ELONGACION (Posición) (x):Es la distancia lineal o angular medida desde la posición de equilibrio hasta la posición donde se encuentra la partícula.<br />AMPLITUD (A): Se llama amplitud a la máxima elongación. Es la distancia entre la posición de equilibrio y cualquiera de los extremos de la trayectoria<br />P. Ext.<br />P. Ext.<br />x<br />-A<br />A<br />
  4. 4. Dr. Segundo Morocho C.<br />miércoles, 06 de octubre de 2010<br />OSCILACIÓN (CICLO):<br />Es el camino que recorre la partícula hasta que el estado de movimiento se repite exactamente en desplazamiento, velocidad y aceleración. <br />Cuando un cuerpo va de una posición a otra y regresa a la posición inicial.<br />PERIODO (T):<br /> Es el tiempo empleado por la partícula para cumplir una oscilación completa.<br /> <br />FRECUENCIA (f): Es el número de oscilaciones en la unidad de tiempo.<br />
  5. 5. Dr. Segundo Morocho C.<br />miércoles, 06 de octubre de 2010<br />EJEMPLO<br />Determinar cuál es la distancia z que se deforma el resorte de longitud natural Lo y constante de recuperación elástica K hasta llegar a la posición de equilibrio, cuando se ha sujetado un bloque de masa m en su extremo. <br />Horizontal<br />Si no hay fuerzas en la dirección horizontal no hay deformación del resorte<br />Vertical<br /> Lo<br />Peqr<br /> z<br />Peqs<br />
  6. 6. RELACION M.C.U. M.A.S.<br />Dr. Segundo Morocho C.<br />miércoles, 06 de octubre de 2010<br />Se tiene un Movimiento Armónico Simple cuando se proyecta perpendicularmente el movimiento circular uniforme de una partícula, sobre un diámetro cualquiera de su trayectoria<br /> y<br /> φ<br /> x<br /> φ se llama fase inicial<br /> X0 desviación de la posición de equilibrio cuando t = 0<br />A<br />Xo<br />
  7. 7. Dr. Segundo Morocho C.<br />miércoles, 06 de octubre de 2010<br />POSICIÓN O ELONGACION<br /> y<br /> O x<br />ωt+φ<br />Q<br />A<br />P<br />X<br />
  8. 8. miércoles, 06 de octubre de 2010<br />Dr. Segundo Morocho C.<br />VELOCIDAD<br /> y<br /> O x<br />ωt+φ<br />Q<br />Vx<br />V<br />A<br />P<br />Vx<br />
  9. 9. Dr. Segundo Morocho C.<br />miércoles, 06 de octubre de 2010<br />ACELERACION<br /> y<br /> O x<br />Se usa exclusivamente el signo negativo, porque siempre la aceleración es de sentido opuesto a la posición de la partícula.<br />ωt+φ<br />ax<br />a<br />A<br />ax<br />
  10. 10. NOTAS:<br />Dr. Segundo Morocho C.<br />miércoles, 06 de octubre de 2010<br /> PE<br />Se obtiene la posición máxima, cuando la rapidez es cero y la aceleración es máxima<br />Se alcanza la posición de equilibrio cuando la rapidez es máxima y la aceleración es cero<br />La aceleración es siempre proporcional y opuesta a la posición<br />La posición inicial (x0) y la rapidez inicial (v0) son condiciones iniciales del movimiento, independientemente de la frecuencia del movimiento<br />v = 0<br />v = 0<br />v = máx<br />a = máx<br />a = máx<br />a = 0<br />F= 0<br />
  11. 11. Dr. Segundo Morocho C.<br />miércoles, 06 de octubre de 2010<br />PERIODO<br />Para un mismo sistema se pueden tener movimientos armónicos simples con diferentes amplitudes y diferentes ángulos de fase sin que esto altere el valor del período, de su frecuencia y de su frecuencia angular.<br />
  12. 12. ENERGIA EN EL M.A.S.<br />Dr. Segundo Morocho C.<br />miércoles, 06 de octubre de 2010<br />Como la fuerza depende de la posición, ésta es conservativa<br />La energía cinética:<br /> <br />La energía potencial:<br />
  13. 13. La energía mecánica:<br />Dr. Segundo Morocho C.<br />miércoles, 06 de octubre de 2010<br />Em total<br /> A PE A<br />Ep<br />Ec<br />
  14. 14. Dr. Segundo Morocho C.<br />miércoles, 06 de octubre de 2010<br />EJERCICIOS<br />1. La ecuación del M.A.S. de una partícula Q de 20g es Determinar: <br />La amplitud del movimiento<br />La frecuencia angular de oscilación<br />La frecuencia de oscilación<br />La constante de recuperación del movimiento<br />La posición de la partícula en t = 2s<br />La fuerza recuperadora en t = 2s<br />La energía potencial en t = 2s<br />La velocidad de la partícula en t = 2s<br />La energía cinética en t = 2s<br />La energía mecánica total en t = 2s<br />La energía mecánica total en t = 3s <br />
  15. 15. Dr. Segundo Morocho C.<br />miércoles, 06 de octubre de 2010<br />EJERCICIOS<br />2. Una partícula Q de 20g oscila con M.A.S. Si la ecuación de la posición en función del tiempo es Determinar: <br />La amplitud del movimiento<br />La frecuencia angular de oscilación<br />El ángulo de fase inicial<br />La posición de la partícula para t = 0s y t = 3s<br />El período de oscilación<br />La constante de oscilación de la partícula<br />La posición de la partícula en t = 2s<br />La fuerza recuperadora en t = 2s<br />La energía potencial en t = 2s<br />La velocidad de la partícula en t = 4s<br />La energía cinética en t = 4s<br />La aceleración de la partícula en t = 2s<br />
  16. 16. miércoles, 06 de octubre de 2010<br />Dr. Segundo Morocho C.<br />EJERCICIOS<br />3. Una partícula de 25kg vibra horizontalmente con M.A.S. de acuerdo a las condiciones indicadas en la figura:<br /> OA = OB = 15cm<br /> OP = 1/3OA<br />T = 1s<br /> A P O B <br />P es la posición de la partícula en t = 0s, donde empieza a moverse hacia el punto O, determinar: <br />Las ecuaciones del movimiento en función del tiempo t<br />Los puntos en los cuales se tiene amáx, Fmáx y vmáx<br />El tiempo mínimo en que se consiguen esos valores máximos<br />La energía mecánica total en el punto A y en el punto R ubicado a ¼ del recorrido OB<br />La fuerza recuperadora en P<br />
  17. 17. Dr. Segundo Morocho C.<br />miércoles, 06 de octubre de 2010<br />EJERCICIOS<br />4. La gráfica de una partícula de 0,8kg que oscila con M.A.S. es:<br />x(cm)<br />16<br />1 2 3 4 5 6 7 t(s)<br />-8<br />-16<br />Determinar:<br />La amplitud del movimiento, el período, la frecuencia angular de oscilación, el ángulo de fase inicial<br />Las ecuaciones del movimiento en función del tiempo<br />Las gráficas v=f(t) y a=f(t)<br />El tiempo mínimo para alcanzar la amáx y vmáx<br />La posición de la partícula en t = 3s<br />La velocidad de la partícula en t = 4s<br />La aceleración de la partícula en t = 6,5s<br />
  18. 18. APLICACIONES DEL MAS<br />PENDULO SIMPLE<br />Es un sistema mecánico que consta de una masa puntual suspendida de una cuerda de peso despreciable e inextensible<br />Cuando el sistema se separa de su posición de equilibrio y se suelta, el péndulo oscila en un plano vertical por la acción de la gravedad<br />miércoles, 06 de octubre de 2010<br />Dr. Segundo Morocho C.<br />La resultante de fuerzas en la dirección central proporciona la aceleración centrípeta<br />T<br />θ<br />La componente del peso en la dirección tangencial es la fuerza restauradora<br />mgsenθ<br />mgcosθ<br />θ<br />mg<br />
  19. 19. Para valores pequeños de θ (en radianes): sen θ = θ<br />miércoles, 06 de octubre de 2010<br />Dr. Segundo Morocho C.<br />
  20. 20. Dr. Segundo Morocho C.<br />miércoles, 06 de octubre de 2010<br />EJERCICIOS<br />1. En un péndulo simple, una partícula de masa m esta suspendida de una cuerda de masa despreciable y longitud L. Cuando la partícula se desplaza un ángulo Φ de la vertical, es abandonado a sí mismo. Determinar: <br />El módulo de la velocidad de la partícula cuando la cuerda forma un ángulo θ con la vertical<br />El módulo de la velocidad máxima<br />La tensión de la cuerda cuando ésta forma un ángulo θ con la vertical<br />La tensión mínima de la cuerda<br />La tensión máxima de la cuerda<br />
  21. 21. o<br /> C<br /> B<br /> NR A <br />miércoles, 06 de octubre de 2010<br />Dr. Segundo Morocho C.<br />Φ<br />L<br />θ<br />T<br />hc<br />mgsenθ<br />hB<br />mgcosθ<br />θ<br />mg<br />
  22. 22. Dr. Segundo Morocho C.<br />miércoles, 06 de octubre de 2010<br />EJERCICIOS<br />2. Una partícula de0,5Kg cuelga de una cuerda de 1m de longitud. Cuando se desplaza 16º de la vertical, es abandonada a sí mismo. Determinar: <br />El período del movimiento<br />La velocidad de la partícula cuando la cuerda forma un ángulo de 8º con la vertical<br />La velocidad máxima de la partícula<br />La tensión de la cuerda cuando ésta forma un ángulo de 8º con la vertical<br />La tensión mínima de la cuerda<br />La tensión máxima de la cuerda<br />La magnitud de la fuerza que tiende a llevarlo a la posición de equilibrio, cuando el péndulo se desvía 8º de la vertical<br />
  23. 23. o<br /> C<br /> B<br /> NR A <br />miércoles, 06 de octubre de 2010<br />Dr. Segundo Morocho C.<br />16º<br />1m<br />8º<br />T<br />hc<br />mgsenθ<br />hB<br />mgcosθ<br />θ<br />mg<br />
  24. 24. Dr. Segundo Morocho C.<br />miércoles, 06 de octubre de 2010<br />EJERCICIOS<br />3. En el interior de un ascensor se coloca un péndulo simple cuyo período es 3s. Determinar:<br />La longitud de péndulo<br />La frecuencia del movimiento cuando el ascensor esta en marcha normal<br />La frecuencia del movimiento cuando el ascensor arranca hacia arriba con una aceleración de<br />La frecuencia del movimiento cuando el ascensor arranca hacia abajo con una aceleración de <br />
  25. 25. APLICACIONES DEL MAS<br />OSCILADOR VERTICAL<br />Sistema masa resorte vibrando en posición vertical<br />miércoles, 06 de octubre de 2010<br />Dr. Segundo Morocho C.<br />Lo<br />Pext.(s.)<br />PE(res.)<br />A<br />z<br />PE(sist.)<br />x<br />A<br />NR<br />Pext.(i.)<br />
  26. 26. Como el sistema es conservativo la energía mecánica total es constante<br />miércoles, 06 de octubre de 2010<br />Dr. Segundo Morocho C.<br />PE(res.)<br />z<br />PE(sist.)<br />x<br />A<br />NR<br />
  27. 27. Dr. Segundo Morocho C.<br />miércoles, 06 de octubre de 2010<br />EJERCICIOS<br />1. Se coloca un cuerpo de 10Kg en el extremo de un resorte de 50cm de longitud y constante elástica K=10N/cm. Si a partir de la posición de equilibrio del sistema se estira el resorte 5cm, calcular: <br />La posición de equilibrio del sistema<br />La Epg, la Epe, la Ec y la Emt en un punto situado a 3cm sobre la posición de equilibrio del sistema<br />La Epg, la Epe, la Ec y la Emt en un punto situado a 4cm bajo la posición de equilibrio del sistema<br />La energía mecánica total en la posición de equilibrio del sistema<br />
  28. 28. miércoles, 06 de octubre de 2010<br />Dr. Segundo Morocho C.<br />Lo<br />PE(res.)<br />x<br />z<br />x<br />x<br />h<br />NR<br />PE(sist.)<br />A<br />h<br />
  29. 29. miércoles, 06 de octubre de 2010<br />Dr. Segundo Morocho C.<br />EJERCICIOS<br />2. Un bloque de 10Kg es colocado en el extremo de dos resortes de constante elástica K1 = 20N/cm y K2 = 3N/cm. Si se estira el bloque 6cm por debajo de la posición de equilibrio del sistema y se suelta. Calcular la constante elástica equivalente, el período de vibración, la velocidad máxima y la aceleración máxima del bloque, cuando los resortes:  <br />Están ligados en serie<br />Están ligados en paralelo<br />
  30. 30. miércoles, 06 de octubre de 2010<br />Dr. Segundo Morocho C.<br />K1<br />PE(sist.)<br />NR<br />A<br />K2<br />
  31. 31. miércoles, 06 de octubre de 2010<br />Dr. Segundo Morocho C.<br />K2<br />K1<br />PE(sist.)<br />A=6cm<br />
  32. 32. miércoles, 06 de octubre de 2010<br />Dr. Segundo Morocho C.<br />EJERCICIOS<br />3. En un oscilador vertical, el cuerpo es de 28Kg y la constante elástica del resorte es K = 280N/m. Si el cuerpo se separa 0,3m de la posición de equilibrio y se suelta, calcular:  <br />La amplitud, frecuencia angular y frecuencia de oscilación<br />El período y el ángulo de fase inicial<br />La posición, velocidad y aceleración para cualquier tiempo t<br />La posición, velocidad y aceleración para t =3s<br />La energía mecánica total en t=3s<br />La velocidad y aceleración en términos de la posición<br />La velocidad y aceleración en un punto situado a 5cm sobre la posición de equilibrio del sistema<br />La energía mecánica total en el punto anterior<br />La velocidad y aceleración en un punto situado a 20cm por debajo de la posición de equilibrio del sistema<br />La energía mecánica total en el punto anterior<br />
  33. 33. miércoles, 06 de octubre de 2010<br />Dr. Segundo Morocho C.<br />Lo<br />PE(res.)<br />x<br />x<br />z<br />h<br />h<br />NR<br />PE(sist.)<br />x<br />h<br />A<br />

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