Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Matematika Aplikasi


                     Jilid 3

                      untuk

             SMA dan MA Kelas XII
       ...
Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional
Dilindungi Undang-undang




Matematika Aplikasi
Jilid 3
Untuk SMA dan MA Ke...
KATA SAMBUTAN
       Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia-Nya, Pemerintah,
  dalam h...
KATA PENGANTAR
           Upaya menyeluruh dari pemerintah untuk meningkatkan mutu pendidikan meliputi
     aspek-aspek pe...
Pada setiap awal bab terdapat
tujuan pembelajaran untuk
mengetahui isi dan manfaat
                                       ...
GameMath berisi soal berupa permainan                    Asah Kemampuan digunakan untuk menguji
     matematika. Jawabanny...
DAFTAR ISI
Kata Sambutan ....................................................................................................
C.       Perbandingan Vektor .................................................................................            ...
DAFTAR SIMBOL
                    Simbol                           Arti                       Halaman

                   ...
Simbol                           Arti                                    Halaman

         Un       Suku ke-n             ...
B
                                                                                       A
Integral                       ...
A. Pengertian Integral
        Di Kelas XI, kalian telah mempelajari konsep turunan. Pemahaman
    tentang konsep turunan ...
1
Dari uraian ini, tampak bahwa jika g‘(x)                                               xn, maka g(x)                    ...
1
                            1               4                         2
                                    2   1       ...
Teorema 3

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka
                        ( f ( x ) g( x )) dx        f ( x ...
Pembuktian Teorema 1
    1
     Untuk membuktikan Teorema 1, kalian dapat mendiferensialkan
     xn 1 c yang terdapat pada...
Pembuktian Teorema 6

  Di kelas XI, kalian telah mengetahui turunan hasil kali dua fungsi
                        d
  f(x...
1
                                     x     x2
     b. Misalkan u
                                        1
             ...
B. 2. Integral dengan Bentuk a2 x 2 , a2 x 2 , dan x 2 a2

    Pengintegralan bentuk-bentuk a 2 x 2 , a 2 x 2 , dan x 2 a ...
1
                           sin     cos                   sin 2 .
                                                       ...
2. Jika g’(x)           2x         3 dan g(2)     1, tentukanlah g(x).
      Jawab:
      g(x)        g '( x ) dx

       ...
1                        ASAH KEMAMPUAN
 Waktu : 90 menit
 1. Tentukanlah integral berikut!                               ...
4. Tentukanlah persamaan kurva yang melalui titik (2, 8) dan memiliki                Bobot soal: 10
                      ...
Luas setiap persegi panjang pada gambar tersebut adalah:
                                                                 ...
b

Sehingga kalian harus dapat membedakan bahwa integral tertentu                       f ( x ) dx
                       ...
Teorema 1
     Kelinearan
     Jika f dan g terintegralkan pada interval [a, b] dan k suatu konstanta,
     maka
         ...
Akan dibuktikan teorema 1a dan 1c, teorema 2b, dan teorema 3.

Pembuktian Teorema 1a

  1a. Jika F(x) sembarang antituruna...
Pembuktian Teorema 3 1

       Jika F(x) sembarang antiturunan dari f(x), maka
       c
           f ( x) dx [ F ( x)]c
  ...
23
                                 (1              0 3)
                               3
                               2...
5
2. Dari fungsi f(x) berikut, hitunglah                               f ( x ) dx
                                        ...
3. Diketahui f merupakan fungsi ganjil dan g merupakan fungsi genap                                Bobot soal: 10
        ...
Contoh
       Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh                                          y
       kurva f(x) 4 x2...
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
SMA-MA  kelas12 matematika aplikasi pesta cecep
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

SMA-MA kelas12 matematika aplikasi pesta cecep

15,235 views

Published on

Published in: Education, Business
  • Be the first to comment

SMA-MA kelas12 matematika aplikasi pesta cecep

  1. 1. Matematika Aplikasi Jilid 3 untuk SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional i Daftar Isi
  2. 2. Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang Matematika Aplikasi Jilid 3 Untuk SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam Penulis : Pesta E. S. Cecep Anwar H. F. S. Penelaah : Drs. Suwarkono, M.Sc Editor : Adi Setiyawan Agus Tri Antoro Perancang Kulit : Henry Nur Patria Tata Letak : Riefmanto Sri Sugiyarni Ilustrasi : Andie Anakota Ukuran Buku : 20,5 x 28 cm 510.07 PES PESTA E.S m Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi ilmu alam/Pesta E>S, Cecep Anwar H. F .S ; editor Adi Setiyawan, Agus Tri Antoro. — Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 2008. x, 194 hlm. : ilus. ; 28 Cm. Bibliografi : hlm.190 Indeks ISBN 979-462-948-0 1. Matematika-Studi dan Pengajaran I. Judul II. Cecep Anwar H. F. S Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2008 Diperbanyak oleh ... ii ii Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
  3. 3. KATA SAMBUTAN Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia-Nya, Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2008, telah membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluaskan kepada masyarakat melalui situs internet (website) Jaringan Pendidikan Nasional. Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 34 Tahun 2008. Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia. Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku teks pelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini. Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan. Jakarta, Juli 2008 Kepala Pusat Perbukuan iii Kata Sambutan
  4. 4. KATA PENGANTAR Upaya menyeluruh dari pemerintah untuk meningkatkan mutu pendidikan meliputi aspek-aspek pengetahuan, keterampilan, sikap, dan nilai-nilai. Pengembangan aspek- aspek tersebut dilakukan untuk meningkatkan dan mengembangkan kecakapan hidup (life-skills) melalui seperangkat kompetensi agar siswa dapat bertahan hidup, menyesuaikan diri, dan berhasil di masa datang. Kebijakan pemerintah ini telah menyulut pemikiran penulis untuk ikut meningkatkan mutu pendidikan. Upaya yang penulis lakukan adalah dengan menyusun perangkat buku pelajaran Matematika Aplikasi untuk siswa Sekolah Menengah Atas (SMA) dan Madrasah Aliyah (MA). Buku ini berbalur ungkapan santun dengan bahasa yang komunikatif sehingga mudah dipahami oleh siswa. Selain itu, buku ini juga didukung dengan tampilan tata letak yang baik, disain dan ilustrasi yang menarik dengan memperhatikan tingkat pemahaman siswa. Dengan mengusung pendekatan induktif-dedukatif konstruktif, konsep dalam buku ini mengakar ke dalam pemikiran siswa karena pengenalan konsep-konsep ini disajikan dengan memberikan masalah yang memiliki makna dalam kehidupan sehari-hari. Kebermaknaan ini dapat dirasakan dari awal mempelajari setiap pelajaran dalam buku ini. Sebagai buku siswa, buku ini dilengkapi dengan bagian pelatihan yang terdiri atas dua kelompok soal. Masing-masing diberi nama Asah Kompetensi dan Asah Kemampuan. Bagian pelatihan ini dimaksudkan untuk mengukur penguasaan siswa terhadap konsep yang diberikan. Dalam buku ini, siswa juga dapat menemukan bagian pengayaan seperti Aktivitas di Kelas yang berisi kegiatan untuk dilakukan oleh siswa, Sahabat Kita yang berisi informasi tentang tokoh matematika, GameMath yang berisi pemainan matematika, dan Siapa Berani yang berisi soal-soal menantang khusus diberikan bagi siswa penggemar matematika. Terbitnya buku ini diharapkan seperti matahari yang mampu menjadi energi dan penerang dalam pendidikan bangsa kita. Buku ini masih jauh dari sempurna, kritik dan saran yang ada hubungannya dengan penyempurnaan buku ini sangat penulis harapkan untuk perbaikan pada edisi berikutnya. Jakarta, Juli 2008 Penulis iv iv Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
  5. 5. Pada setiap awal bab terdapat tujuan pembelajaran untuk mengetahui isi dan manfaat Daftar simbol merupakan setelah mempelajari bab kumpulan simbol atau tersebut dan diberikan juga rotasi beserta penjelasan- pengantar bab berupa uraian nya yang dilengkapi nomor singkat dan gambar yang halaman kemunculannya. berhubungan dengan kehidupan sehari-hari. Catatan disajikan berupa informasi yang berguna untuk memperjelas konsep Ada Aktivitas di Kelas yang merupakan kegiatan di Matematika. mana kamu dapat mengembangkan keterampilan dalam merencanakan melaksanakan dan menyimpulkan aktivitas. Sahabat Kita merupakan informasi latar belakang Info Math disisipkan sebagai informasi untuk matematikawan yang telah berjasa dengan mene- membuka wawasan sehingga tidak buta terhadap mukan berbagai macam teori yang sekarang ini informasi Matematika dan perkembangan teknologi. digunakan dan dirasakan manfaatnya. Siapa Berani merupakan soal-soal yang Asah Kompetensi digunakan untuk mengukur menantang. Soal-soal ini khusus diberikan buat kemampuan dalam menguasai materi yang telah kamu yang gemar Matematika dan telah dibahas. memahami materi. v Apakah Keunggulan Buku Ini?
  6. 6. GameMath berisi soal berupa permainan Asah Kemampuan digunakan untuk menguji matematika. Jawabannya dapat dicari dengan kamu dalam menyelesaikan soal-soal relatif menggunakan logika sehingga dapat mengasah lebih sulit yang berkaitan dengan materi yang logika dan cara berpikir kritis. telah dibahas. Rangkuman disajikan di akhir materi bab supaya Ulangan Bab disajikan kamu dapat dengan untuk mengukur ke- cepat mengingat kem- mampuan kamu dalam bali materi-materi yang menguasai semua materi telah dipelajari pada yang telah dibahas dalam bab tersebut. bab tersebut. Tugas Akhir digunakan untuk mengukur kemampuan kamu mengingat dan menguasai semua materi yang telah dipelajari selama dua semester. Glosarium disajikan untuk memahami istilah- Indeks merupakan kumpulan istilah penting yang istilah penting yang disusun secara alfabetis dilengkapi dengan nomor halaman kemunculan beserta penjelasannya. istilah dan disajikan secara alfabetis. vi vi Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
  7. 7. DAFTAR ISI Kata Sambutan ...................................................................................................................... iii Kata Pengantar ...................................................................................................................... iv Apakah Keunggulan Buku Ini? ............................................................................................... v Daftar Simbol ......................................................................................................................... ix BAB 1 INTEGRAL ................................................................................................ 1 A. Pengertian Integral .................................................................................... 2 B. Integral Tak Tentu ...................................................................................... 4 C. Integral Tertentu ......................................................................................... 13 D. Menentukan Luas Daerah ......................................................................... 21 E. Menentukan Volume Benda Putar ............................................................ 26 Rangkuman ........................................................................................................ 31 Ulangan Bab 1 .................................................................................................. 33 BAB 2 PROGRAM LINEAR ................................................................................. 35 A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel .......................................... 36 B. Model Matematika ...................................................................................... 39 C. Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif ....................................................... 41 Rangkuman ........................................................................................................ 47 Ulangan Bab 2 .................................................................................................. 48 BAB 3 MATRIKS .................................................................................................. 51 A. Pengertian Matriks ..................................................................................... 52 B. Operasi Hitung pada Matriks .................................................................... 57 C. Determinan dan Invers Matriks ................................................................. 69 D. Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear ............................. 76 Rangkuman ........................................................................................................ 79 Ulangan Bab 3 .................................................................................................. 80 BAB 4 VEKTOR ................................................................................................... 83 A. Pengertian Vektor ...................................................................................... 84 B. Operasi pada Vektor ................................................................................. 89 vii Daftar Isi
  8. 8. C. Perbandingan Vektor ................................................................................. 98 D. Perkalian Skalar Dua Vektor dan Proyeksi Vektor ................................... 100 Rangkuman ........................................................................................................ 104 Ulangan Bab 4 .................................................................................................. 107 BAB 5 BARISAN, DERET, DAN NOTASI SIGMA .............................................. 109 A. Barisan dan Deret Aritmetika ................................................................... 110 B. Barisan dan Deret Geometri .................................................................... 114 C. Notasi Sigma dan Induksi Matematika ..................................................... 120 D Aplikasi Barisan dan Deret ....................................................................... 124 Rangkuman ........................................................................................................ 127 Ulangan Bab 5 .................................................................................................. 129 BAB 6 TRANSFORMASI GEOMETRI ................................................................ 131 A. Translasi .................................................................................................... 132 B. Refleksi ...................................................................................................... 138 C. Rotasi ........................................................................................................ 146 D. Dilatasi ....................................................................................................... 151 E. Komposisi Transformasi dengan Matriks ................................................. 153 Rangkuman ........................................................................................................ 156 Ulangan Bab 6 .................................................................................................. 158 FUNGSI, PERSAMAAN, DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN DAN BAB 7 LOGARITMA ............................................................................................. 161 A. Grafik Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma ...................................... 162 B. Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen ............................................ 165 C. Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma ............................................ 173 Rangkuman ........................................................................................................ 179 Ulangan Bab 7 .................................................................................................. 181 Tugas Akhir ....................................................................................................... 184 Glosarium ........................................................................................................... 187 Pustaka Acuan ................................................................................................... 190 Kunci Jawaban .................................................................................................. 191 Indeks ................................................................................................................. 193 viii viii Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
  9. 9. DAFTAR SIMBOL Simbol Arti Halaman + Tanda penjumlahan, ditambah, plus 2, 36, 57, 90, 110, 133 − Tanda pengurangan, dikurang, 2, 36, 67, 85, 110, 133, 162 diambil, minus = Sama dengan 2, 36, 67, 89, 110, 133, 162 ×, ⋅ Tanda perkalian, dikali dengan 52, 137 :, ÷ Tanda pembagian, dibagi dengan 98 > Lebih besar dari 36, 116, 151, 162 < Lebih kecil dari 36, 116, 151, 162 ≥ Lebih besar atau sama dengan 21, 37 ≤ Lebih kecil atau sama dengan 22, 36 ≠ Tidak sama dengan 71, 167 ± Kurang lebih, plus minus 6, 116 xn dy ( x ) dx a f a dibagi b, a per b 2, 111, 162 dx b () Tanda kurung 4, 55, 85, 110, 132, 162 Akar kuadrat dari n 9, 85, 162 f (x) Fungsi x 2, 162 f ′(x) Turunan pertama dari fungsi f(x) 2 f (x, y) Fungsi objektif dari x dan y 40 Nilai mutlak x 28, 69, 89, 117 Turunan fungsi y terhadap x 4 Integral fungsi f(x) terhadap dx 4 c Konstanta 4 [a, b] Interval, selang tertutup a sampai b 4 Rata-rata, mean 26 x ∑ Notasi sigma 14, 120 ix Daftar Isi Simbol
  10. 10. Simbol Arti Halaman Un Suku ke-n 110 Sn Jumlah n suku yang pertama 111 S∝ Jumlah suku tak terhingga 116 sin x Sinus x 5, 146 cos x Cosinus x 5, 146 tan x Tangen x 5, 150 sec x Secan x 9 lim f ( x ) Limit x mendekati dari f(x) 14 x a Ai Matriks dengan i baris dan j kolom 53 ×j At Transpos dari A 54 A′ Bayangan pertama dari A 133 A′′ Bayangan kedua dari A 142 A′′′ Bayangan ketiga dari A 142 A Determinan A 71 A−1 Invers dari A 71 Vektor bawah dari A ke B 84 T2 ο T1 Komposisi transformasi T1 133 dilanjutkan dengan T2 log x Logaritma dari x 162 x x Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
  11. 11. B A Integral B 1 A. Pengertian Integral B. Integral Tak Tentu C. Integral Tertentu D. Menentukan Luas Daerah E. Menentukan Volume Benda Putar Sumber: www.wallpaperbase.com Pernahkah kalian melihat baling-baling pesawat? Bagaimanakah bentuknya? Ketika pesawat hendak mengudara, baling-baling pesawat akan berputar dengan kecepatan tinggi. Bagaimanakah bentuk baling-baling itu saat berputar? Saat baling-baling berputar, kalian akan mengamati sebuah bentuk seperti lingkaran. Dapatkah kalian mengetahui luas lingkaran yang terbentuk dari perputaran baling-baling itu? Dengan menggunakan integral, kalian akan dapat mengetahuinya. 1 Bab 1 Integral
  12. 12. A. Pengertian Integral Di Kelas XI, kalian telah mempelajari konsep turunan. Pemahaman tentang konsep turunan ini dapat kalian gunakan untuk memahami konsep integral. Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi-fungsi berikut. • f1(x) 3x3 3 • f2(x) 3x3 7 • f3(x) 3x 1 3 • f4(x) 3x3 10 • f5(x) 3x3 99 Perhatikan bahwa fungsi-fungsi tersebut memiliki bentuk umum f(x) 3x3 c, dengan c suatu konstanta. Setiap fungsi ini memiliki turunan f (x) 9x2. Jadi, turunan fungsi f(x) 3x3 c adalah f (x) 9x2. Sekarang, bagaimana jika kalian harus menentukan fungsi f(x) dari f (x) yang diketahui? Menentukan fungsi f(x) dari f (x), berarti menentukan antiturunan dari f (x). Sehingga, integral merupakan antiturunan (antidiferensial) atau operasi invers terhadap diferensial. Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F (x) f(x), maka F(x) merupakan antiturunan atau integral dari f(x). Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut. f(x) dx F(x) c dengan: notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman) f(x) fungsi integran F(x) fungsi integral umum yang bersifat F (x) f(x) c konstanta pengintegralan Sekarang, perhatikan turunan fungsi-fungsi berikut. • g1(x) x, didapat g1 (x) 1. Jadi, jika g1 (x) 1 maka g1(x) g1 (x) dx x c 1. 12 • g2(x) x , didapat g2 (x) x. 2 12 Jadi, jika g2 (x) x maka g2(x) g2 (x) dx x c 2. 2 13 • g3(x) x , didapat g3 (x) x2. 3 13 Jadi, jika g3 (x) x2 maka g3(x) g3 (x) dx x c 3. 3 16 • g4(x) x , didapat g4 (x) x5 . 6 16 Jadi, jika g4 (x) x5 maka g4(x) g4 (x) dx x c 4. 6 2 2 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
  13. 13. 1 Dari uraian ini, tampak bahwa jika g‘(x) xn, maka g(x) c atau xn 1 n 1 1 x n dx xn 1 dapat dituliskan 1. c, n n 1 Sebagai contoh, turunan fungsi f(x) 3x3 c adalah f (x) 9x2. Ini berarti, antiturunan dari f (x) 9x2 adalah f(x) 3x3 c atau dituliskan f ‘(x) dx 3x2 c. Uraian ini menggambarkan hubungan berikut. 1 xn 1 Jika f ‘(x) xn, maka f(x) c, n 1 dengan c suatu n1 konstanta Contoh 1. Tentukanlah turunan dari setiap fungsi berikut! 13 a. f(x) 5x2 10 c. f(x) x 2x 2 13 14 12 b. f(x) 2x3 3x2 4x 5 d. f(x) x x x 1 3 4 2 Jawab: a. f ’(x) (2 5)x2 0 10x 1 b. f ’(x) (3 2)x3 (2 3)x2 (1 4)x1 0 1 1 1 6x2 6x 4 13 c. f ’(x) 3 x (1 2)x1 1 1 2 32 x 2 2 13 14 12 d. f ’(x) x x x 0 3 4 2 1 1 1 3 4 2 x3 x2 x 2. Tentukanlah antiturunan x jika diketahui: a. g1 (x) x3 c. g3 (x) 3x4 2x 1 b. g 2 (x) 2x6 3 d. g4 (x) x2 4x 2 Jawab: 14 1 x3 1 a. g 1(x) x c 31 4 2 3 27 x0 1 x6 1 b. g 2(x) x 3x c 61 0 1 7 35 35 22 3 2 x2 x c c. g 3(x) x4 1 x1 1 x x c 5 5 2 4 1 1 1 3 Bab 1 Integral
  14. 14. 1 1 4 2 2 1 1 1 d. g 4(x) x x c 0 1x 0 21 11 1 13 42 11 x x x c 3 2 2 13 1 2x2 x x c 3 2 B. Integral Tak Tentu Pada bagian sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa integral merupakan antiturunan. Jadi, apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat d(F( x )) didiferensialkan pada interval a , b sedemikian hingga f(x), dx maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) c. Secara matematis, ditulis F(x) c f ( x ) dx di mana dx Lambang integral yang menyatakan operasi antiturunan f(x) Fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya c Konstanta Sebagai contoh, dapat kalian tuliskan x3 x 2 dx c 3 karena d x3 x2 c dx 3 Sehingga kalian dapat memandang integral tak tentu sebagai wakil keseluruhan keluarga fungsi (satu antiturunan untuk setiap nilai konstanta c). Pengertian tersebut dapat digunakan untuk membuktikan teorema- teorema berikut yang akan membantu dalam pengerjaan hitung integral. Teorema 1 1n 1 x 1, maka x n dx Jika n bilangan rasional dan n c di mana n1 c adalah konstanta. Teorema 2 Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka k f ( x ) dx kf ( x ) dx 4 4 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
  15. 15. Teorema 3 Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka ( f ( x ) g( x )) dx f ( x )dx g( x ) dx Teorema 4 Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka ( f ( x ) g( x )) dx f ( x ) dx g( x ) dx Teorema 5 Aturan integral substitusi Jika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan 1 r ( u( x ))r 1 rasional tak nol, maka ( u( x )) u ( x ) dx c, di mana c r1 adalah konstanta dan r 1. Teorema 6 Aturan integral parsial Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka u dv uv v du Teorema 7 Aturan integral trigonometri • cos x dx sin x c • sin x dx cos x c 1 dx tan x c • cos 2 x di mana c adalah konstanta 5 Bab 1 Integral
  16. 16. Pembuktian Teorema 1 1 Untuk membuktikan Teorema 1, kalian dapat mendiferensialkan xn 1 c yang terdapat pada ruas kanan seperti berikut. 1 dn 1 . . . kalikan kedua ruas dengan (x c) (n 1)xn n 1 dx 1 d n1 1 1 xn x c n n 1 dx n 1 d xn 1 xn c dx n 1 1 x n dx xn 1 Sehingga c n 1 Pembuktian Teorema 3 dan 4 Untuk membuktikan Teorema 4, kalian dapat mendiferensialkan g( x ) dx yang terdapat pada ruas kanan seperti berikut. f ( x ) dx d d d f ( x ) dx g( x ) dx f ( x ) dx g( x ) dx fx gx dx dx dx d f ( x ) dx g( x ) dx f ( x ) g( x ) dx Sehingga didapat: ( f ( x ) g( x )) dx f ( x ) dx g( x ) dx Contoh (3x 2 3x 7) dx! Hitunglah integral dari Jawab: (3x 2 3 x 2 dx 3 x dx (Teorema 2, 3, dan 4) 3x 7) dx 7 dx 3 x2 3 x1 (Teorema 1) 7x c 2 1 1 1 32 x3 7x x c 2 32 Jadi, (3x 2 x3 3x 7) dx x 7 x c. 2 6 6 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
  17. 17. Pembuktian Teorema 6 Di kelas XI, kalian telah mengetahui turunan hasil kali dua fungsi d f(x) u(x) v(x) adalah u( x )v( x ) u x v x v x u x dx Akan dibuktikan aturan integral parsial dengan rumus tersebut. Caranya adalah dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan seperti berikut. d ux vx ux v x dx v x u x dx dx ux vx u x v x dx v x u x dx u x v x dx ux vx v x u x dx Karena v (x) dx dv dan u’(x) dx du Maka persamaan dapat ditulis u dv uv v du B. 1. Aturan Integral Substitusi Aturan integral substitusi seperti yang tertulis di Teorema 5. Aturan ini digunakan untuk memecahkan masalah pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan dengan rumus-rumus dasar yang sudah dipelajari. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini. Contoh Hitunglah integral dari: x sin x dx x 9 x 2 dx 4dx a. b. c. 1 2x2 x Jawab: a. Misalkan u 9 x2, maka du 2x dx du x dx 2 1 1 u 2 du x 2 dx x2 2x x9 9 dx 2 3 1 2u 2 1 u 2 du 1 c 2 2 3 1 2 1u u 2 u3 c c 2 3 3 19 x2 x2 9 c 3 1 9 x2 x 9 x 2 dx 9 x2 c. Jadi, 3 7 Bab 1 Integral
  18. 18. 1 x x2 b. Misalkan u 1 du 12 1 x dx 2 2x dx 2 x du, sehingga sin x sin u dx 2 x du x x 2 sin u du 2 cos u c 2 cos x c c. Misalkan u 1 2x2, maka du 4x dx du dx 4x sehingga integral tersebut dapat ditulis sebagai berikut. x x du dx (Teorema 5) 4 u4 ( 4x ) 2 1 2x 1 u 4 du 4 1 1 3 u c 4 3 1 u c 3 12 Substitusi u 1 2x2 ke persamaan 12u c 3 x 1 dx u3 c 4 12 2 1 2x 1 (1 2x2 ) c 3 12 1 x 1 c. dx Jadi, (1 2x2 ) c 3 2 x 2 )3 2 x 2 )4 12 12(1 (1 Pembuktian Teorema 7 Di Kelas XI, kalian telah mempelajari turunan fungsi trigonometri, d d d yaitu (sin x) cos x, (cos x) sin x, dan (tan x) sec2x. dx dx dx Berikut ini akan dibuktikan aturan integral trigonometri menggunakan rumus tersebut. Caranya adalah dengan mengintegralkan kedua ruas seperti berikut. d cos x diperoleh cos x dx • Dari (sin x) sin x c dx d sin x diperoleh sin x dx • Dari (cos x) cos x c dx d sec 2 x • Dari (tan x) sec2x diperoleh tan x c dx 8 8 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
  19. 19. B. 2. Integral dengan Bentuk a2 x 2 , a2 x 2 , dan x 2 a2 Pengintegralan bentuk-bentuk a 2 x 2 , a 2 x 2 , dan x 2 a 2 dapat dilakukan dengan menggunakan subtisusi dengan x a sin t, x a tan t , x a sec t. Sehingga diperoleh bentuk-bentuk seperti ini. Ingat a2 a 2 sin 2 t a2 1 sin 2 t a2 x2 cos (ax b) dx 2 2 1 sin (ax b) a cos t a cos t c a sin (ax b) dx 2 2 2 2 2 2 2 a x a a tan t a 1 tan t 1 cos (ax b) c a 2 sec (ax b) dx a 2 sec 2 t a sec t 1 tan (ax b) c a x2 a2 a 2 sec 2 t a2 a 2 sec 2 t 1 a2 tan 2 t a tan t x2 a2 a x x x 2 2 x a t t t a a a2 x2 (i) (ii) (iii) Gambar 1.1 Segitiga siku-siku untuk integral substitusi trigonometri: a sec t , (iii) a2 x2 a2 x2 x2 a2 (i) a cos t , (ii) a tan t Contoh 1. Hitunglah setiap integral berikut! sin (3x 1) cos (3x 1) dx a. x2 b. dx 9 x2 Jawab: a. Untuk mengerjakan integral ini, terlebih dahulu kalian harus mengubah sin (3x 1) cos (3x 1) ke dalam rumus trigonometri sudut rangkap, yaitu 9 Bab 1 Integral
  20. 20. 1 sin cos sin 2 . 2 Dengan rumus ini, kalian mendapatkan: 1 sin (3x 1) cos (3x 1) dx sin (6x 2) dx 2 1 sin (6x 2) dx 2 1 1 cos (6 x c 2) 2 6 1 cos (6 x 2) c 12 1 cos 6 x sin 3x 1 cos 3x 1 dx 2 c Jadi, 12 x b. Misalkan, x 3 sin t, maka sin t dan dx 3 cos t dt. 3 Sekarang, perhatikan segitiga berikut ini! Dari segitiga di samping, 9 x2 3 cos t 3 x 3 cos t 9 x2 t x2 2 (3 sin t ) 2 9x dx 3 cos t dt 9 x2 3 cos t Ingat, rumus kosinus sudut rangkap 9 sin 2 t cos 2t 1 2 sin2 t Ingat a 1 (1 cos 2t ) dt 2 Integral bentuk: a2 x 2 diubah x2 • 9 dx (1 cos 2t ) dt menjadi x a sin t 2 9x 2 a2 x 2 diubah • 9 1 t sin 2t c menjadi x a tan t 2 2 x2 a 2 diubah • 9 9 t sin 2t c menjadi x a sec t 2 4 9 9 t sin t cos t c 2 2 9 x2 9 9x x sin 1 c 2 3 23 3 9 x x 1 9 x2 c sin 2 3 2 x2 x x9 9 sin 1 x2 dx c Jadi, 2 3 2 2 x 9 10 10 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
  21. 21. 2. Jika g’(x) 2x 3 dan g(2) 1, tentukanlah g(x). Jawab: g(x) g '( x ) dx (2 x 3) dx x2 3x c Karena g(2) 1, maka c dapat ditentukan sebagai berikut. g(x) x2 3x c g(2) 22 3 2 c 146c 1 2c c12 c3 Jadi, g(x) x2 3x 3 3. Tentukan persamaan kurva yang melalui titik ( 2, 12) dan dy memiliki persamaan gradien garis singgung 6 x 15 . dx Jawab: dy 6x 15 dx y 3x2 15x c (6 x 15) dx f(x) 3x 15x c 2 Karena kurva melalui titik ( 2, 12), maka: f( 2) 3( 2)2 15( 2) c 12 3 4 30 c 12 12 30 c 12 42 c c 12 42 c 30 Jadi, persamaan kurva tersebut adalah f(x) 3x2 15x 30. 1 Asah Kompetensi 1. Hitunglah setiap integral berikut! 1 ( x4 2x3 3) dx 2x 3 dx a. c. 4 1 (5x 3 10x 2 3x ) dx (4 x 2 b. d. 3x 5) dx 4 2. Jika g’(x) 4x 5 dan g(3) 6, tentukanlah g(x). 3. Tentukanlah persamaan kurva yang melalui titik (1, 2) dan memiliki gradien garis singgung dy x 3. dx 11 Bab 1 Integral
  22. 22. 1 ASAH KEMAMPUAN Waktu : 90 menit 1. Tentukanlah integral berikut! Bobot soal: 30 4)3 (x 2 dx a. i. x dx 3 x 2 1 1 (5x 4 ) dx b. j. 1 dx 2 x x 1 dx (18x 8 25x 4 3x 2 ) dx c. k. 3 x1 x 4x 6 3x 5 8 dx ( x 2) x 2 d. l. 4x 1 dx x5 4 3 ) dx ( e. m. x 4x 1 dx x5 x4 (x3 x2 1 x f. n. x ) dx dx g. o. ( 2 x 4)dx 3x 2 dx x2 (x3 5)9 dx h. 2. Tentukanlah setiap integral berikut! Bobot soal: 30 sin x cos 8x a. (sin x cos x ) dx dx f. cos 6 x sin 8x 4 (x 2 b. 2 sin x ) dx g. (8 sin 9 x cos 3x 6 sin 9 x sin 3x ) dx sin x cos 2 x dx c. (sin 5 x 2 )( x cos x 2 ) dx h. d. (3 sin x 4 cos x ) dx (x 2 1)3 x sin 3 ( x 2 1)4 cos( x 2 1)4 dx i. e. sin 5x sin 4 x dx j. (2 x 1)sin 3x dx 3. Tentukanlah fungsi g(t), jika diketahui: Bobot soal: 20 a. g‘(t) 7 dan g(0) 0 b. g‘(t) 3t2 8t 1 dan g(2) 5 c. g‘(t) 6t2 4t 1 dan g(1) 5 1 1 d. g‘(t) t 2 dan g(2) 4 2 t 1 1 e. g‘(t) dan g(4) 3 t 3 t 1 f. g‘(t) dan g(3) 18 t1 1 g. g‘(t) 2t 1 dan g( ) 1 2 h. g‘(t) 3 t dan g(4) 19 UMPTN 1994 12 12 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
  23. 23. 4. Tentukanlah persamaan kurva yang melalui titik (2, 8) dan memiliki Bobot soal: 10 1 dy 2x persamaan gradien garis singgung . x2 dx 5. Tentukanlah persamaan kurva yang melalui titik (1, 2) dan gradien Bobot soal: 10 garis singgung pada sebarang titiknya adalah setengah koordinat-y. C. Integral Tertentu C. 1. Memahami Luas Sebagai Limit Suatu Jumlah Sebelumnya kalian telah mempelajari grafik fungsi kuadrat. Daerah grafik fungsi kuadrat berupa garis lengkung. Berapakah luas daerah yang batas-batasnya berupa garis lengkung ini? Untuk mengetahui, lakukanlah aktivitas berikut. A K ktivitas di elas x2 pada interval 0, 3 . 1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat, misalnya f(x) 9 3 2. Bagi selang menjadi n selang bagian yang lebarnya masing-masing x , memakai titik- n titik x0 0 x1 x2 … xn 1 xn 3. 3. Buat persegi panjang-persegi panjang yang alasnya x dan tingginya f(xi). Tentukan pula luas setiap persegi panjang tersebut! 4. Jumlahkan luas setiap persegi panjang tersebut! 5. Dengan memilih x sekecil-kecilnya hingga mendekati nol, hitunglah limit jumlah dari hasil pada langkah 4. Hasil yang kalian dapatkan menunjukkan luas daerah yang dibatasi kurva f(x) 9 x2, sumbu-x, garis x 0, dan x 3. 6. Buatlah kesimpulannya dan diskusikan kesimpulan tersebut dengan teman-temanmu! y Dari Aktivitas ini, kalian memperoleh daerah yang akan ditentukan luasnya. f(x) 9 x2 9 Setelah membagi interval 0, 3 menjadi n selang bagian yang lebarnya 3 masing-masing x , kalian memperoleh: n x0 0 3 x1 x n 6 x2 2x x n x x0 O x1 x3 3 9 x3 3x n Gambar 1.2 3i Daerah yang dibagi xi ix menjadi n selang bagian n 13 Bab 1 Integral
  24. 24. Luas setiap persegi panjang pada gambar tersebut adalah: 2 3i 3 3i 3 27 27 2 f (xi ) x f i 9 n3 n n n n n Luas seluruh persegi panjang adalah sebagai berikut. L f(x1) x f(x2) x ... f(xn) x ……(*) 27 27 12 27 27 2 2 27 27 n2 n3 n3 n3 n n n n. 27 12 22 n2 ... 3 n n 27 n n 1 2 n 1 9 3 1 9 3 1 27 27 2 18 n3 n2 n2 6 2 2 n n Dengan memilih x 0 maka n , sehingga akan diperoleh luas daerah yang dibatasi kurva f(x) 9 x2, sumbu-x, garis x 0, dan x 3 sebagai berikut. 93 1 L(R) lim 18 18 n2 2n n Sekarang, perhatikan kembali persamaan berikut. L(Rn) f(x1) x f(x2) x … f(xn) x Dengan menggunakan notasi sigma, kalian dapat menuliskan persamaan tersebut sebagai berikut. n L(Rn ) f ( xi ) x i1 Jika x 0, maka akan diperoleh n L(Rn ) lim f ( xi ) x x 0 i1 Dengan mengambil batas daerah x1 a dan x2 b, maka bentuk di atas merupakan suatu bentuk integral tertentu yang dituliskan sebagai b L f ( x ) dx a 3 3 13 (9 x 2 ) dx Sehingga diperoleh 18. 9x 27 9 x 3 0 0 b Jika fungsi f terdefinisi pada interval [a, b], maka f ( x ) dx adalah integral a tertentu terhadap fungsi f dari a ke b. Pengintegralannya dituliskan sebagai berikut. b b f ( x ) dx fx Fb Fa a a dengan: f(x) fungsi integran a batas bawah b batas atas 14 14 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
  25. 25. b Sehingga kalian harus dapat membedakan bahwa integral tertentu f ( x ) dx a adalah bilangan, sedangkan integral tak tentu yang dibahas sebelumnya adalah fungsi. 2 Asah Kompetensi Gambarlah daerah dari integral tertentu berikut. Kemudian, hitunglah integral tersebut! 1 2 5x dx 1. 4. sin x dx 0 0 3 1 x dx 2. 5. ( x 1) dx 3 2 3 cos 2 x dx 3. 6. x 2 dx 0 0 Sahabat Kita Siapakah orang yang pertama kali menemukan integral tertentu? Dia adalah George Friedrich Bernhard Riemann, seorang Matematikawan asal Jerman yang lahir pada tahun 1826. Riemann menjelaskan integral tertentu dengan menggunakan luas daerah yang dihitungnya menggunakan poligon dalam dan poligon luar. Untuk mengenang jasanya, integral tertentu tersebut dinamakan integral Riemann. Riemann meninggal pada tahun 1866. Sumber: http://www-groups.dcs.st- and.ac.uk Sumber: Calculus and Geometry Analitic Gambar 1.3 Riemann C. 2. Teorema Dasar Kalkulus Berdasarkan definisi integral tertentu, maka dapat diturunkan suatu teorema yang disebut dengan Teorema Dasar Kalkulus. Jika f kontinu pada interval a, b dan andaikan F sembarang b antiturunan dari f pada interval tersebut, maka F(b) F(a). f ( x ) dx a Dalam pengerjaan hitung integral tertentu ini akan lebih mudah jika kalian menggunakan teorema-teorema berikut. 15 Bab 1 Integral
  26. 26. Teorema 1 Kelinearan Jika f dan g terintegralkan pada interval [a, b] dan k suatu konstanta, maka b b k f ( x ) dx a. kf ( x ) dx a a b b b b. g( x ) dx ( f ( x ) g( x )) dx f ( x ) dx a a a b b b c. ( f ( x ) g( x )) dx f ( x ) dx g( x ) dx a a a Teorema 2 Perubahan batas Jika f terintegralkan pada interval [a, b] maka: a a b a. 0 b. f ( x ) dx f ( x ) dx f (x) dx a b a Teorema 3 Teorema penambahan interval Jika f terintegralkan pada suatu interval yang memuat tiga titik a, b, dan c, maka c b c f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx a a b Teorema 4 Kesimetrian a a a. Jika f fungsi genap, maka f ( x ) dx 2 f ( x ) dx a 0 a f ( x ) dx b. Jika f fungsi ganjil, maka 0 a 16 16 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
  27. 27. Akan dibuktikan teorema 1a dan 1c, teorema 2b, dan teorema 3. Pembuktian Teorema 1a 1a. Jika F(x) sembarang antiturunan dari f(x), maka b b kF( x ) kf ( x ) dx a a kF(b) kF(a) k(F(b) F(a)) b k f ( x ) dx a b b Jadi, kf ( x ) dx k f ( x ) dx a a Pembuktian Teorema 1b dan 1c 1b. Jika F(x) dan G(x) masing-masing sembarang antiturunan dari f(x) dan g(x), maka b b F( x ) G( x ) ( f ( x ) g( x )) dx a a (F(b) G(b)) (F(a) G(a)) (F(b) F(a)) (G(b) G(a)) b b f ( x ) dx g( x ) dx a a b b b Jadi, ( f ( x ) g( x )) dx f ( x ) dx g( x ) dx . a a a Pembuktian Teorema 2b 1 2b. Jika F(x) sembarang antiturunan dari f(x), maka b b f ( x ) dx Fx a a F(b) F(a) (F(a) F(b)) a f ( x ) dx b b a f (x) dx f ( x) dx . Jadi, a b 17 Bab 1 Integral
  28. 28. Pembuktian Teorema 3 1 Jika F(x) sembarang antiturunan dari f(x), maka c f ( x) dx [ F ( x)]c a a F(c) F(a) (F(c) F(b)) (F(b) F(a)) c b f ( x ) dx f ( x ) dx b a c c b b c Jadi, f ( x ) dx . f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx a b a a b Contoh 6 1. Hitunglah (sin 3x cos x ) dx . 0 Jawab: 6 6 6 sin 3x cos x dx sin 3x dx cos x dx (Teorema 1b) 0 0 0 1 6 cos 3x sin x 6 3 0 0 1 cos cos 0 sin sin 0 3 2 6 1 1 1 3 2 5 6 6 5 Jadi, . (sin 3x cos x ) dx 6 0 1 2. Tentukan x 2 dx . 1 Jawab: Oleh karena untuk f(x) x2, berlaku f( x) f(x), maka f(x) x2 merupakan fungsi genap. Dengan menggunakan Teorema 4, akan diperoleh: 1 1 x 2 dx 2 x 2 dx 1 0 1 13 2 x 3 0 18 18 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
  29. 29. 23 (1 0 3) 3 2 3 1 2 x 2 dx Jadi, . 3 1 4 f ( x ) dx jika fungsi f didefinisikan sebagai 3. Tentukanlah 0 x 2, jika 0 x 2 f(x) 1 , jika x 2 Jawab: 2 4 4 f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx (Teorema 3) 0 2 0 2 4 ( x 2) dx 1 dx 0 2 2 12 4 x 2x x2 2 0 12 1 ( 2 2 2) ( 0 2 2 0) 42 2 2 2 4 2 8 4 f ( x ) dx Jadi, 8. 0 3 Asah Kompetensi 1. Tentukanlah integral tertentu berikut ini! 5 1 x2 7x 6 2x dx a. e. x 1 1 0 5 2 3x 2 b. f. 5x (4 x 3 cos x ) dx 0 0 100 2 x 5 dx c. g. (cos x sin x ) dx 100 2 6 3 d. h. 1)3 dx cos(3x ) dx (2 x 4 0 0 19 Bab 1 Integral
  30. 30. 5 2. Dari fungsi f(x) berikut, hitunglah f ( x ) dx 0 x 2, jika 0 x 2 fx a. x , jika 2 x 6 5 x 2 , jika 3 4 x 4 b. fx 2 , jika 4 x 10 x 2 , jika 0 9 x 3 fx c. 5x , jika x 3 2 ASAH KEMAMPUAN Waktu : 60 menit 1. Tentukanlah integral tertentu berikut! Bobot soal: 80 2 0 a. e. 4t 6t 2 dt 3x 2 x 3 1 dx 1 1 8 1 4 4 (x 3 x 3 ) dx b. f. (sin 3 2 x cos 2 x ) dx 1 0 4 1 cos x dx (2 x 1) x x 2 dx c. g. 0 2 3 1 4 dt d. h. tan 4 x dx (t 2)2 1 0 1 1 2. Jika 4 dan 2 , hitunglah integral-integral f ( x ) dx g( x ) dx Bobot soal: 10 0 0 berikut! 1 1 (2 g( x ) 3 f ( x )) dx a. d. 3 f ( x ) dx 0 0 0 1 (2 f ( x ) 3x 2 ) dx b. e. ( f ( x ) g( x )) dx 1 0 1 c. (3 f ( x ) 2 g( x ) 2) dx 0 20 20 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
  31. 31. 3. Diketahui f merupakan fungsi ganjil dan g merupakan fungsi genap Bobot soal: 10 1 1 f ( x ) dx g( x ) dx 3 . Tentukanlah integral-integral berikut! dengan 0 0 1 a. f ( x ) dx 1 1 b. g( x ) dx 1 1 c. f ( x ) dx 1 D. Menentukan Luas Daerah D. 1. Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x Pada subbab c kalian telah mengetahui bahwa luas merupakan limit suatu jumlah, yang kemudian dapat dinyatakan sebagai integral tertentu. Pada subbab ini, akan dikembangkan pemahaman untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva. Misalkan R daerah yang dibatasi oleh kurva y f(x), sumbu-x, garis x a, dan garis x b, dengan f(x) 0 pada [a, b], maka luas daerah R adalah sebagai berikut. b L(R) f ( x )dx a y y = f(x) R L(R) x O a b Gambar 1.4 Luas daerah di atas sumbu-x 21 Bab 1 Integral
  32. 32. Contoh Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh y kurva f(x) 4 x2, sumbu-x, garis x 0, dan 4 x 1. x=1 Jawab: Daerah tersebut adalah daerah R. Luas R daerah R adalah: f(x) = 4 x2 1 2 x L(R) (4 x ) dx O 1 2 2 1 0 1 13 4x x 3 0 13 (4 1 1 0) 3 2 3 3 2 Jadi, luas daerah R adalah 3 satuan luas. 3 D. 2. Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu-x Misalnya S daerah yang dibatasi oleh kurva y f(x), sumbu-x, garis x a, dan garis x b, dengan f(x) 0 pada [a, b], seperti yang telah dibahas di subbab D.1, maka luas daerah S adalah b f ( x ) dx L(S) a y a b x O S y = f(x) Gambar 1.5 Luas daerah di bawah sumbu x 22 22 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

×