Estas son las escuelas y colegios que tendrán modalidad no presencial este lu...
Superficies cuádricas
1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
EXTENSIÓN BARQUISIMETO
MATEMÁTICA III
Superficies cuádricas
Superficies cuádricas
Integrante:
Samuel Ramsbott C.I: 19.411.907
Profesor:
Rafael Zerpa
Barquisimeto, Octubre 2012
2. INTRODUCCIÓN
Analíticamente la ecuación ܧሺݕ ,ݔሻ = 0, nos representa un lugar geométrico en el plano ,ݕݔa la
ecuación ܧሺݕ ,ݔሻ = 0, extenderemos al espacio tridimensional, cuya ecuación rectangular en tres
variables representadas por:
ݖ ݕ ݔ
También se conoce que todo se representa analíticamente por una única ecuación lineal de la
forma
ܲ: 0 = ܦ + ݖܥ + ݕܤ + ݔܣ
De una manera más general, veremos si existe una representación analítica de una figura
geométrica, la cual denominaremos superficie, tal representación consistirá en una única ecuación
rectangular de la forma:
݂ሺݖ ,ݕ ,ݔሻ = 0
Por ejemplo, por medio de la distancia entre dos puntos se puede demostrar que la superficie
esférica de radio r con centro en el origen se representa analíticamente por la ecuación.
ݔଶ + ݕଶ + ݖଶ = ݎଶ
3. SUPERFICIES CUÁDRICAS
La ecuación de la esfera, es solo un caso particular de la ecuación de segundo grado.
ݔܣଶ + ݔܤଶ + ݔܥଶ + 0 = ܩ + ݖܨ + ݕܧ + ݔܦ
Cuando ܥ ݕ ܤ ,ܣno son todos nulos, se dice que la gráfica de una ecuación de la forma
ݔܣଶ + ݔܤଶ + ݔܥଶ + 0 = ܩ + ݖܨ + ݕܧ + ݔܦes una superficie cuádrica, si describe un lugar
geométrico real. Por ejemplo
El cilindro elíptico
ݔଶ ݕଶ
+ =1
4 9
Como el cilíndrico parabólico
ݕ = ݖଶ
Son superficies cuádricas, Concluiremos este informe considerando seis superficies cuádricas
adicionales y bien definidas.
ELIPSOIDE
Se dice que la gráfica de cualquier ecuación de la forma
ݔଶ ݕଶ ݖଶ
+ + =1
ܽଶ ܾ ଶ ܿ ଶ
ܽ > 0, ܾ > 0, ܿ>0
Es un elipsoide. Para|ݕ | < ܾ, la ecuación
ଶ
ݔଶ ݖଶ ݕ
+ ଶ =1− ଶ
ܽଶ ܿ ܾ
Representa una familia de elipses(o circunferencia si a=c) paralelas al plano ݔݖque se forman
cortando la superficie mediante planosݕ = ݕ . Eligiendo, cada uno a su vez,ݔ = ݔ , ݖ = ݖ,
encontrarías que los cortes de la superficie son elipse (o circunferencias) paralelas a los planos
,ݕݔ ݕ ݖݕrespectivamente.
4. HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
La grafica de una ecuación de la forma
ݔଶ ݕଶ ݖଶ
+ − =1
ܽଶ ܾ ଶ ܿ ଶ
ܽ > 0, ܾ > 0, ܿ>0
Se llama hiperboloide de una hoja. En este caso, un plano ݔ = ݖ , paralelo al plano ,ݕݔcorta la
superficie en secciones transversales elípticas (o circulares, si a = 0). Las ecuaciones de estas
elipses son
ଶ
ݔଶ ݕଶ ݖ
+ ଶ =1+ ଶ
ܽଶ ܾ ܿ
ܽ > 0, ܾ > 0, ܿ>0
La elipse más pequeña, ݖ = 0, corresponde a las traza en el plano .ݕݔ
5. HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS
Como se ve en la figura, una grafica de
ݔଶ ݕଶ ݖଶ
− + − =1
ܽଶ ܾ ଶ ܿ ଶ
ܽ > 0, ܾ > 0, ܿ>0
Es llamada apropiadamente hiperboloide de dos hojas.
Para |ݕ | > ܾ la ecuación
ଶ
ݔଶ ݖଶ ݕ
+ ଶ = ଶ −1
ܽଶ ܿ ܾ
Describe la curva elíptica de intersección de la superficie con el plano ݕ = ݕ
6. PARABOLOIDE
La grafica de una ecuación de la forma
ݔଶ ݕଶ
+ = ܿݖ
ܽଶ ܾ ଶ
Se llama paraboloide. En la Figura vemos que para ܿ > 0, los planosݖ = ݖ > 0, paralelos al plano
,ݕݔcortan las superficies en elipses cuyas ecuaciones son
ݔଶ ݕଶ
+ = ܿݖ
ܽଶ ܾଶ
7. CONO
Las graficas de una ecuación de la forma
ݔଶ ݕଶ ݖଶ
+ =
ܽଶ ܾ ଶ ܿ ଶ
ܽ > 0, ܾ > 0, ܿ>0
Son llamados cono elípticos (o circular, si a=b). Para ݖ arbitrario, los planos paralelos al plano ݕݔ
cortan la superficie en elipses cuyas ecuaciones son
ଶ
ݔଶ ݕଶ ݖ
+ ଶ= ଶ
ܽଶ ܾ ܿ
En la siguiente figura se muestra una grafica característica
8. PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
La última superficie cuádrica que consideraremos se conoce como paraboloide hiperbólico y es la
gráfica de toda ecuación de la forma
ݕଶ ݔଶ
− = ܿݖ
ܽଶ ܾ ଶ
ܽ > 0, ܾ>0
Observe que para ܿ > 0,los planos ݖ = ݖ , paralelos al plano ,ݕݔcortan la superficie en hipérbolas
cuyas ecuaciones son
ݕଶ ݔଶ
− = ܿݖ
ܽଶ ܾଶ
9. En la figura, se muestra la forma característica de la silla de montar de un paraboloide hiperbólico.
12. BIBLIOGRAFÍA
• Dennis G. Zill. Cálculo con Geometría Analítica
• Eduardo Espinoza Ramos. Análisis Matemático III
• G. Fuller y D. Tarwater. Geometría Analítica