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1	
Strumenti	della	Teoria	dei	Giochi	per	l’Informatica	
	
Sebastiano	Panichella
Scenario
—  L’emergente	ricerca	di	algoritmi	di	“game	theory”	ha	portato	a	una	
fondamentale	riesaminazione		dei	classici	concetti	relativi	agli	
“equilibri	di	Nash”,	con	grosse	prospettive	computazionali	
—  Tratteremo	i	“Congestion	Game”		
—  Esempio	di	Congestion	Game:	
—  siano							e	 						due	giocatori;	
—  sia									che								vogliono	andare	da		S	(Sorgente)	a	D	(Destinazione);	
—  le	strade	disponibili	per	andare	da	S	a	D	sono	due,	A	e	B	
	
p1 p2
p1
p2
S D
A
B	
Tabella	dei	payoff	
/ A B
A 4 3 2 2
B 1 1 3 4
p1 p2
2
—  I	Congestion	Game	hanno	attirato	l’attenzione	dei	ricercatori	per	varie	
ragioni:	
—  Riguardano	una	gran	parte	di	scenari	con	problemi	di	allocazione	delle	
risorse,	 e	 di	 routing	 dove	 è	 	 sempre	 presente	 un	 “equilibrio	 di	 Nash	
puro”:	 a	 differenza	 di	 	 altri	 giochi,	 hanno	 sempre	 un	 N.E.	 	 dove	 ogni	
giocatore	sceglie	un’unica	strategia	
—  Per	il	meccanismo	noto	come	“Nash	dynamics”,	dove	a	ogni	passo	qualche	
giocatore	cambia	la	sua	strategia	verso	un’altra	ritenuta	più	conveniente,	è	
garantita	la	convergenza	a	un	“pure	Nash	equilibria”.	
Motivazioni
3
—  Definizione	di	Congestion	Game:	
—  n	giocatori 	 														;	
—  a	ciascun	giocatore		i	viene	assegnato	un	insieme	finito	di	
strategie														
									(ossia	un	insieme	di	risorse	disponibili	all’i-esimo	giocatore);	
	
—  a	ciascun	giocatore		i	viene	assegnata	una	funzione	di	costo		
	 	 	 	 che	 desidera	 minimizzare	 (il	 costo	 di	 ogni	
strategia	dipende	solo	dal	numero	di	giocatori	che	usano	la	risorsa	
in	questione)		
Congestion Game
}{ 1, ,… np p
iS
Maggiore	è	il	numero	dei	
giocatori	che	utilizzano	
una	risorsa	
	
1:i nc S S× × →L N
Maggiore		
è	il	
costo	
4
—  Formalmente	il	costo	per	pi	è	
—  Uno	stato	 	 	 																					è	una	qualsiasi	combinazione	di			
					strategie	per	gli	n	giocatori.	
—  equilibrio	di	Nash	puro:	uno	stato		
				è	un	equilibrio	di	Nash	se	
	
numero	di	giocatori	che	
usano	la	risorsa		“e”	
funzione	di	costo	(non	negativa)	
1 1( , , )n ns s s S S= … ∈ × ×L
'
1 1( , , , , ) ( , , , , )i i i n i i np c s s s c s s s∀ … … ≤ … …
'
i is S∀ ∈
Congestion Game
( )
| |i
i
r
s
r s
rd f
∈
∑
1 1( , , )n ns s s S S= … ∈ × ×L
Per	ogni	
giocatore	
Il	costo	della	strategia		
								scelta	da	pi	
Il	giocatore	pi	non	è	
incentivato	a		
cambiare	
Per	ogni		
altra	strategia	
5
—  Nella	Classe	di	Congestion	Game	che	consideriamo:	
q i	giocatori	condividono	un	insieme	di	risorse	(gioco	simmetrico)		
																															chiamate	archi										
q l’insieme	di	strategie,						,	di	un	giocatore	pi	è	una	collezione		
				arbitraria	di	sottoinsiemi	di	E	
q la		strategia		del	giocatore	pi,															è	un	sottoinsieme	di	E	
q a	ogni	arco														è	associata	una	funzione	di	costo	(o	ritardo)	
non	decrescente	
			
						
Classe di Congestion Game
{ }1, , mE e e= …
iS
i is S∈
e E∈
{ }: 1, ,ed n… → N
6
—  Se	t	giocatori	utilizzano	l’arco	e	ciascuno	di	essi	pagherà	un	costo	
de(t)	
														
	
	
	
	
	
	
	
—  In	uno	stato	s=(s1	,…,	sn)	il	costo	del	giocatore	pi		è	
numero	di	giocatori	che	usano	
l’arco	“e”	nello	stato	“s”		
Classe di Congestion Game
dstrada(1)=2
dstrada(2)=4
dstrada(3)=8
Esempio	
( )( )( )
i
i e s
e s
c s d f e
∈
= ∑
In	generale	
	
	
dstrada(t)=	2t
7
—  Funzione	potenziale:	i	giochi	a	congestione	sono	in	possesso	una	
precisa	funzione	potenziale	definita	come	
	
	
—  proprietà:	il	cambiamento	in		𝜙 rispecchia	esattamente	la	variazione	
dei	costi	del	giocatore		
Per	ogni	arco	
Funzioni Potenziali
( )
( )
( )
1
sf e
e
e E t
s d tφ
∈ =
= ∑∑
Sommiamo	i	costi	
sostenuti	in	base	
ai		giocatori	che	
lo	utilizzano	
Variazione	del	
potenziale	
se	il	giocatore	pi		
cambia	la	sua	strategia	
da		si		a	s’i	
( ) ( ) ( ) ( )' '
i is s c s c sφ φ− = −
Variazione	del	
costo	per	pi		
=	
8
—  Osservazione:	
	
Funzioni Potenziali
Se	a	ogni	passo	
permettiamo	ai	
giocatori	di	modificare	
la	propria	strategia	
(più	conveniente)		
φ fino	a	raggiungere	un	minimo	locale	
diminuirà	
ossia	
un	equilibrio	di	Nash	puro	
ma	
Niente	ci	assicura	“la	
rapida	convergenza”	a	
un	equilibrio	di	Nash	
9
Approssimazione di equilibri di
Nash
ottimo	
Accuratezza	
Tempo	
10
Definizioni
—  ε-equilibrio	di	Nash:	sia																		,	uno	stato																																															
è	un	ε-equilibrio	di	Nash	se		
—  Dinamiche	best	response	ε-approssimate:		dinamiche	best	response	
nelle	quali	ciascun	giocatore	può	fare	solo		ε-mosse,	ossia	movimenti		
che	migliorano	il	costo	di	un	fattore	maggiore	di	ε.	Più	formalmente	se	
il	giocatore	pi	si	sposta		da	si	a	si’	allora		
	
Per	ogni	
giocatore	
Per	ogni	
strategia	
	Il	giocatore	pi	non	ha	più	di	un	
ε-incentivo	a	cambiare	strategia	
[ )0,1ε ∈ 1 1( , , )n ns s s S S= … ∈ × ×L
1 1, ( , , , , ) (1 ) ( , , , , )∀ … … ≥ − … …'
i i i n i i np c s s s ε c s s s ∀ ∈'
i is S
1 1( , , , , ) (1 ) ( , , , , )ε… … < − … …'
i i n i i nc s s s c s s s
11
ε-N.E. e Dinamiche ε-Nash
Se	più	di	un	giocatore	ha	una	ε-mossa	disponibile,	solo	il	giocatore	il	cui	
relativo	guadagno	è	il	più	grande	 	effettuerà	la	sua	mossa.	In	altre	parole,	il	
giocatore	pi		effettua	la	sua	mossa	se,	tale	mossa	massimizza	il	rapporto	
Se	 i	 giocatori	 non	 hanno		
più	ε-mosse		da	effettuare	
I	giocatori	hanno	raggiunto	
un	ε-equilibrio		di	Nash	
( ) 1( , , , , )
( )
R
− … …
=
'
i i i n
i
c s c s s s
c s
Costo	ottenuto	nel	caso	
in	cui	il	giocatore	effettua	
la	mossa	si’		
Minore	è	tale	costo		e	
maggiore	è	il	rapporto	R	
Costo	Precedente	
12
Definizioni
Bounded	Jump:	dato	un	grafo	G(V,E)	con	funzione	di	peso	sugli	archi		
																						,		diciamo	che	l’arco	“e”	soddisfa	la	condizione	di	α-bounded	
jump	se	
•  	sia	t	≥	0	il	numero	di	giocatori	
•  	∀	costante		α	≥	1
la	sua	funzione	di	costo	soddisfa	la	condizione	
:d E → •
( ) ( )1e ed t d tα+ ≤ ⋅
costo	dell’arco	e	
per	(t +1)	giocatori	
costo	dell’arco	
e	per	t	
giocatori	
quando	 un	 nuovo	 player	 sceglie	 di	
utilizzare	 	 un	 determinato	 arco,	 il	
costo	che	pagheranno	tutti	i	giocatori	
che	lo	usano	sarà	incrementato	di	un	
fattore	di	al	più	α	
13
ENUNCIATO	
In	 un	 gioco	 a	 congestione	 simmetrico	 dove,	 	 ogni	 arco	 soddisfa	 la	
condizione	 “α-bounded	 jump	 “,	 se	 nelle	 dinamiche	 ε-approssimate	 nello	
stato	s	la	prossima	mossa	è	fatto	dal	giocatore		pi	,allora		
	
( ) ( )∀ ≠ ≤j ij i c s α c s
Lemma	3.2	
Per	ogni	giocatore		
pj	diverso	dal	
giocatore	pi	
Il	costo	del	giocatore		pj		è	
al	più	α	volte	il	costo	del	
giocatore	pi	
14
Lemma	3.2	
DIMOSTRAZIONE	
•  Supponiamo	che	il	gioco	si	trovi	in	uno	stato		
•  Supponiamo	che	un	giocatore	pi		voglia	effettuare	una	mossa	da		si	a	
si’	con	guadagno	relativo		
•  Supponiamo	 che	 un	 altro	 giocatore	 pj≠pi	 voglia	 effettuare	 la	 stessa	
mossa,ossia,	si	muove	da	sj	a	sj’’	=	si’	con	guadagno	relativo	
Per	 come	 abbiamo	 definito	 il	 gioco,	 solo	 il	 giocatore	 con	 il	 massimo	
guadagno	 relativo	 effettua	 la	 sua	 mossa;	 quindi	 	 se	 nel	 gioco,	 solo	 il	
giocatore		pi		effettua	la	sua	mossa,	deve	valere	che	Rj≤Ri		
1( , , )ns s s= K
( ) 1( , , , , )
( )iR
− … …
=
'
i ni i
i
c c s s
c
s s
s
( ) 1( , , , , )
( )
''
j
j
j jj
R
− … …
= ns sc s s
c s
c
15
Lemma	3.2	
Ossia																																																																																														
	
A	questo	punto,	confrontiamo		il	costo																																		che	il	giocatore	
pi	 	 paga	 per	 effettuare	 la	 sua	 mossa	 con	 quanto	 avrebbe	 pagato	 	 il	
giocatore	pj		per	effettuare	la	sua	mossa	da	sj’’	(se	vedessimo	vincere	l’uno	
o	l’altro	giocatore):		∀	arco																																	che	il	giocatore	pi		vuole	
usare,	possiamo	avere	che		
	
	
1( , , , , )… …'
ni ic s s s
1( , , ', , )i ne s s s∈ K K
1 1
( ) ( , , , , ) ( ) ( , , , , )
( ) ( )
j− … … − … …
≤
j j n i i
'
i
i n
'
j
'
s s s sc c s s c c s s
c cs s
(1)	
Per	la	condizione	di	“bounded	jump”	abbiamo	che																																										.	( ) ( )( ) 1 ( )e s e sd f e d f eα+ ≤
1.	pi		sta	già	usando	l’arco	
“e”	prima	della	mossa	 pj		paga	al	più																							per	usare	l’arco	
e		
( )( ) 1e sd f e +
pi		paga																							per	usare	l’arco	
e		
( )( )e sd f e
(perchè	pj	stesso	potrebbe	essere	il	
nuovo	
	giocatore	che	utilizza	l’arco	e)	
16
Lemma	3.2	
2.		pi		non	sta	già	usando	
l’arco	e	prima	della	
mossa	 pj		paga	al	più	lo	stesso	prezzo		 ( )( ) 1e sd f e +
pi		paga																							per	usare	l’arco	
e		
( )( ) 1e sd f e +
Sommando	su	tutti	gli	archi															abbiamo	che			'ie s∈
1 1( , , , , ) ( , , , , )j α… … ≤ … …'' '
j n i i nc s s s c s s s (2)	
iR
1( ) ( , , , , )
( )
i jα− … …'
j n
j
c s c s s s
c s
1( ) ( , , , , )
( )
j− … …
≤
''
j j n
j
c s c s s s
c s
1( ) ( , , , , )
( )
− … …
≤
'
i i i n
i
c s c s s s
c s
Sostituendo	la	(2)	nella	disequazione	(1)	abbiamo	che			
jR
17
18	
Lemma	3.2	
Semplificando,	abbiamo		 ( ) ( )∀ ≠ ≤j ij i c s α c s
1 1
( ) ( , , , , ) ( ) ( , , , , )
( ) ( ) ( ) ( )
i jα … … … …
⇒ − ≤ − ⇒
' '
j n i i i n
j j i i
c s c s s s c s c s s s
c s c s c s c s
1 1
( , , , , ) ( , , , , )
1 1
( ) ( )
i jα … … … …
⇒ − ≤ − ⇒
' '
n i i n
j i
c s s s c s s s
c s c s
1 1
( , , , , ) ( , , , , )
( ) ( )
i jα … … … …
⇒ − ≤ − ⇒
' '
n i i n
j i
c s s s c s s s
c s c s
1 1
( , , , , ) ( , , , , )
( ) ( )
i jα … … … …
⇒ ≥ ⇒
' '
n i i n
j i
c s s s c s s s
c s c s
1
( ) ( )
α
≥
j ic s c s
Il	fattore	di	
approssimazione		
>	0
Bounded	
condition
Limite	superiore	al	
costo	di	ciascun	
giocatore
Teorema	3.1	
ENUNCIATO	
In	qualsiasi		gioco	a	congestione	simmetrico,	dove		
•  n	è	il	numero	di	giocatori	
•  tutti	gli	archi	soddisfano	l’α-bounded	jump	condition	
•  C	è	un	limite	superiore	al	costo	di	ciascun	giocatore	
le		dinamiche	ε-approssimate	convergono	partendo	da	un	qualsiasi	stato	
iniziale	in		numero	di	passi	pari	a	
	
log( )
n
n C
α
ε
⋅⎡ ⎤
⋅⎢ ⎥⎢ ⎥
19
Teorema	3.1	
il	costo	che	paga	il	giocatore	è	di	almeno					
volte	il	più	grande	costo	di	ogni	giocatore	
1
α
( ) ( ) ( ) ( )
1
j i i jα
α
∀ ≠ ≤ ⇒ ≥j i c s c s c s c s
DIMOSTRAZIONE	
Dal	Lemma	3.2 sappiamo che se pi è il giocatore che si muove da si	a	si’ allora
Siccome
stato abbiamo allora
1
( ) ( ) ( )( )
n
i
s φ φ∀ ≤ ≥∑ iis c s sc s
αn
Il	potenziale			≤	costo	complessivo			
Il	costo	del	giocatore	pi	≥					la	media	del	potenziale			
1
α
20
Teorema	3.1	
Da	cui,	dopo	un	movimento	di	pi	stato	s	allo	stato	s’
( ) ( ) ( ) ( ) ( )φ φ ε− = − >' '
i i is s c s c s c s
Variazione	del	
potenziale	
Variazione	del	
costo	per	pi		
=	 Trattandosi	di	un	ε-mossa	la	variazione	
del	costo	per	pi		è	più	di	ε-volte	il	
costo	dello	stato	precedente	s		
( )φ≥ s
ε
αn
1
( ) ( )φ≥ic s s
αn
			Dato	che
In	generale	
	
	
Nello	stato	iniziale	 𝜙 =𝜙max =	potenziale	iniziale;	dato	che		
	
		
	
n
φ
φ
ε
α
=
⋅
Ad	ogni	passo	
φ ≤max nCe dal momento chelog ( )
nα
φ
ε
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
s
Numero	totale	di	passi	per	la	convergenza	
21
PLS-completezza	di	giochi	con	
Bounded	Jump		
Proposition	3.3	Il	problema	della	ricerca	di	un	equilibrio	di	Nash	in	giochi	
a	congestione	simmetrici	che	soddisfano	la	condizione	di	bounded	jump	
con	α = 2 è	PLS-completo	
Mentre	 	 un	 ε-equilibrio	 di	 Nash	 viene	 raggiunto	 in	 un	 numero	 di	 passi	
polinomiale	(	il	Teorema	3.1)	lo	stesso	non	accade	per	un	equilibrio	di	Nash	
puro	
	
I	risultati	finora	ottenuti	
sugli	equilibri	di	Nash		esatti	
	
non	hanno	effetti	
hanno	effetti	significativi	
sugli	ε-equilibri	di	Nash	
	 22
L’Esempio		
—  Anche	se	gode	della	Bounded	Jump	condition		questo	
semplice	problema	di	allocazione	di	risorse	
		
dstrada(1)=2
dstrada(2)=4
dstrada(3)=8
Esempio	
In	generale	
	
	
dstrada(t)=	2t
è	PLS-completo…	
23
Meccanismi di coordinamento		
—  Osservazione:	 finora	 abbiamo	 sempre	 utilizzato	 un	 meccanismo	 di	
coordinamento	nel	quale	il	giocatore	con	il	maggiore	incentivo	fa	la	
prima	mossa	
—  1) Domanda:	 quando	 vengono	 utilizzati	 altri	 meccanismi	 di	
coordinamento	 cosa	 succede?	 Per	 queste	 varianti	 dell’	 ε-Nash	
dynamics,	il	teorema	3.1	è	ancora	valido	(convergenza	polinomiale	a	
ε-equilibri	di	Nash)?	
—  2) Domanda:	 quando	 non	 viene	 utilizzato	 nessun	 meccanismo	 di	
coordinamento	cosa	succede?	E’	possibile	convergere	polinomiale	a	ε-
equilibri	di	Nash?	
24
Varianti della ε-Nash dynamics
Largest	 gain	 dynamics:	 ad	 ogni	 passo,	 tra	 tutti	 i	 giocatori	 con	 un	 ε-
mossa	 disponibili,	 quello	 che	 si	 muove	 è	 quello	 il	 cui	 miglioramento	 dei	
costi	(assoluto)	è	il	maggiore.	
Una	variante	della	ε-Nash	dynamics	
	
( ) 1Cerchiamo il giocatore che massimizza ( , , , , )R = − … …'
i i i nc s c s s s
Costo	Precedente	 Costo	del	giocatore		
se	effettua	la	mossa	
si’		
Un’altra	variante	della	ε-Nash	dynamics	
	
Heaviest	first	dynamics:	ad	ogni	passo,	tra	tutti	i	giocatori	con	un	ε-mossa	
disponibili,	si	consente	la	mossa	al	giocatore	con	il	maggior	costo	corrente	
( )Cerchiamo il giocatore con più grandeic s
25
1) Domanda:	per	queste	varianti	dell’	ε-Nash	dynamics,	il	teorema	3.1	
è	ancora	valido?	
							
	
	
	
	
	
	
Varianti della ε-Nash dynamics
Dai	teoremi	
	
Teorema	3.4	Il	Teorema	3.1 continua	a	essere		valido	anche	nel	
Largest	gain	dynamics.	
	
	
Teorema	3.5	Il	Teorema	3.1 continua	a	essere		valido	anche		per	
Heaviest	first	ε-Nash	dynamics	
	
Risposta:	Si	
	
26
—  2) Domanda:	 quando	 non	 viene	 utilizzato	 nessun	 meccanismo	 di	
coordinamento	cosa	succede?	E’	possibile	convergere	polinomiale	a	ε-
equilibri	di	Nash?	
The	unrestricted	dynamics		è	un	meccanismo	in	cui	i	giocatori:	
	
•  possono	muoversi	in	un	ordine	arbitrario		
•  sono	 soggetti	 ad	 una	 sola	 condizione	 “necessaria”:	 a	 ogni	
giocatore	 deve	 essere	 data	 la	 possibilità	 di	 fare	 la	 propria	 mossa	
entro	un	certo	limite	di	tempo	
—  Osservazione:	 finora	 abbiamo	 sempre	 utilizzato	 un	 meccanismo	 di	
coordinamento	nel	quale	il	giocatore	con	il	maggiore	incentivo	fa	la	
prima	mossa	
Le dinamiche senza “restrizioni”
27
—  Più	formalmente	la	dinamica	senza	restrizioni	è		
—  una	sequenza	di		q1 ,q2	,…	,qn	dove		
	 	 	 	ogni	qt indica	un	giocatore	
—  al	passo	t	al	giocatore	qt è data la possibilità di muoversi	
Le dinamiche senza “restrizioni”
Si	
Fa	la	mossa		
qt	ha	un	ε-mossa?	
	 No	
Non	fa	nulla	
—  Vogliamo che per qualche costante T	ogni	 	giocatore	pi	compaia	
almeno	una	volta	in	ogni	intervallo	di	sequenza	con	lunghezza	T	
28
—  Esempio:	
					La	“Round-Robin”	dynamics	
Le dinamiche senza “restrizioni”
—  A turno a ogni player pi viene data la possibilità di fare la sua
mossa 	
29
Le dinamiche senza “restrizioni”
—  2) Domanda:	 quando	 non	 viene	 utilizzato	 nessun	 meccanismo	 di	
coordinamento	cosa	succede?	E’	possibile	convergere	polinomiale	a	ε-
equilibri	di	Nash?	
							 Risposta: Si	
	
Dal		
Teorema	4.1 	In	ogni	gioco	a	congestione	simmetrico	con	n	giocatori	i	
cui	 archi	 soddisfano	 α-bounded	 jump	 condition,	 qualsiasi	 ε-Nash-
dynamics,	 in	 cui	 a	 ogni	 giocatore	 viene	 data	 la	 possibilità	 di	 fare	 la	
propria	mossa	all'interno	di	ogni	intervallo	di	tempo	di	lunghezza	t	,	
converge	da	qualsiasi	stato	iniziale	in	un	numero	di	passi	pari	a 																		
	
	 	 		
	
	 			
	
è	un	limite	
superiore	al	costo	
di	ogni	giocatore	
( 1)
( )
(1 )
⎡ ⎤+
⎢ ⎥−⎢ ⎥
n α
log nC T
ε ε ( ) ( )0 0(1 )
( 1)
φ φ φ− ≥
−
+
t
s s
ε ε
n α
30
Le dinamiche senza “restrizioni”
Per provare il teorema 4.1 è utile enunciare (e dimostrare) il seguente
Lemma:	
Lemma	4.2 Sia	ci	(s)	il	costo	sostenuto	dal	giocatore	pi	nello	stato	
s	,	e	sia	ci	(s’)	il	costo	di	pi	“in	uno	 	stato	futuro	s’	in	cui	non	si	è	
mosso”.		Allora		
	
( ) ( ) ( ) ( )( ).φ φ ε− ≥ −' '
i is s c s c s
“Concettualmente”	
mette	in	relazione	
il	miglioramento	della	
funzione	potenziale	
la	variazione	del	costo	per	
pi,	anche	quando	il	giocatore	
non	fa	nessuna	mossa	per	
molti	steps	
31
Dimostrazione	lemma	
Le dinamiche senza “restrizioni”
Sappiamo	che	 ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )S∈
= −− ∑
i
'e s e s
e
'
i i d f e d f ec s c s
la	variazione	del	costo	
per	pi	
I	 contributi	 positivi	 a	 questa	 somma	 sono	
dati	 dagli	 archi	 e	 che	 altri	 giocatori	 hanno	
liberato	
( ) ( )> 's s
f e f e
e∀		Sapendo	che									il	primo	giocatore	pj	che	rinuncia	a	e	aveva	un	costo	di	
		almeno																						allora	la	funzione	potenziale	migliora	di	almeno		( )( )e sd f e
( )( )e sεd f e
32
valore	che	ha	
assunto	la	funzione	
potenziale	all'inizio	
dell'intervallo	
Il	miglioramento	totale	di	𝜙	è			è		
	
	
	
	 	 	 	 	 	 	 	 		
	
	
	
Le dinamiche senza “restrizioni”
Dimostrazione	Teorema	4.1
Ai	fini	della	prova	è	sufficiente	mostrare	che	durante	ogni	intervallo	in	cui	a	ogni	
giocatore	è	data	la	possibilità	di	effettuare	una	mossa,	la	funzione	potenziale	𝜙		
diminuisce	di	almeno	
0(1 )
( 1)
φ
−
+
ε ε
n α
( 1)
( )
(1 )
⎡ ⎤+
⎢ ⎥−⎢ ⎥
n α
log nC T
ε ε
Convergenza		in	
al	più	
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ): ( ) ( )
( )φ φ ε
>
− ≥ ≥ −∑
s 's
' '
i i
e
e
f e
s
f e
εd f ces s s c s
ε-volte	quanto	
ci	guadagna		pi	
33
§  Siano																											gli	stati	durante	questo	intervallo	
							(non	necessariamente	differenti)	
Le dinamiche senza “restrizioni”
0 1
, , ,… T
s s s
§  Sia	ph	il	giocatore	con	il	maggior	costo	in	s0		
§  Sia	t	≥ 0	la	prima	volta	in	cui,durante	l’intervallo,	al	giocatore	ph	è	data									
					la	possibilità	di	muoversi			
Avremo	due	casi:	
• 		Caso(i):	al	tempo	t	,	ph	ha	un	ε-mossa	a	disposizione	
• 		Caso(ii):	al	tempo	t	,	ph	non	ha	un	ε-mossa	a	disposizione	
34
Le dinamiche senza “restrizioni”
Caso(i)		
dal	Lemma	4.2,		abbiamo	la	garanzia	che	
( ) ( ) ( ) ( )( )0 0
φ φ− ≥ −t t
h hs s ε c s c s
il	miglioramento	della	
funzione	potenziale	
la	variazione	del	costo	per	ph,	
anche	quando	il	giocatore	non	fa	
nessuna	mossa	per	molti	steps	
Dopo	l’	ε-mossa	di	ph	,	𝜙	sarà	migliorata	di	almeno	
( ) ( )0 0
φ≥h
ε
εc s s
n
ε-Media	del	
potenziale	iniziale	
Il	teorema	è	soddisfatto	
( 1)
( )
(1 )
⎡ ⎤+
⎢ ⎥−⎢ ⎥
n α
log nC T
ε ε
Convergenza		
in	al	più	
35
Le dinamiche senza “restrizioni”
Caso(ii)			
Non	avendo	un	ε-mossa	a	disposizione	non	vogliamo	che	ph	possa	fare	
un		ε-mossa	adottando	semplicemente	la	strategia	di	un	altro	giocatore,	
pi
• 		Al	momento	t,	dobbiamo	avere		
	
hi pp ≠∀
)(⋅ t
iα c s ( ) ( )−t t
h hεc s c s
≥
Costo	di	ph	
per	simulare	
la	mossa	di	pi	
	
Utilità	di	ph	
per	simulare	
la	mossa	di	pi	
( ) ( )( )
( )
( )
( )1
1
(3)
t
it t t
i h h
c s
c s c s c s
α
α ε
ε
⋅
⋅ ≥ − ⇒ ≥
−
36
Le dinamiche senza “restrizioni”
(1° caso)	
	Consideriamo	un	giocatore	pi,	a	cui	è	data	la	possibilità	di	fare	la	sua	
mossa	al	tempo	t’	>	t	ossia,	dopo	che	a	ph	è	stata	data	la	possibilità	di	
muoversi	
(2° caso)	
	Consideriamo	l’ultimo	giocatore,	pi ,a	cui	è	data	la	possibilità	di	fare	la	
sua	mossa	al	tempo	t’	<	t	
Analizzeremo	due	casi:	
37
(1° caso)	
	Sia	pi ,	un	giocatore	che	fa	la	sua	mossa	al	tempo	t’	>	t	ossia,	dopo	che	a	ph	
è	stata	data	la	possibilità	di	muoversi,	avremo	che																													
Le dinamiche senza “restrizioni”
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
e= = =t
h h
t' t
i i ic s c s c s c s c s
( ) ( )01
abbiamo che
−
≥t'
i h
ε
c s c s
α
( )da (( ) 3)
1
≤
−
t t
h i
α
c s c s
ε
=	 =	
( ) ( ) ( ) ( )
0
0 0' 1 (1 ) ( )t
ic s
φ
φ φ ε
− −
− ≥ ≥ ≥⋅t
h
' ε ε s
s s ε c s ε
α α n
La	variazione	
della	funzione		=	
potenziale	
Il	teorema	è	soddisfatto	
38
Le dinamiche senza “restrizioni”
(2° caso)	
	Sia	pi ,	l’ultimo	giocatore	che	fa	la	sua	mossa	al	tempo	t’	<	t,	
Nell’istante	t’	
( )
( ) ( ) (4)
(3)dalla proprietà
possiamo affermare che
( )
1
1
≤
−
≤
−
'
t t
h i
t t
h i
α
c s c s
ε
α
c s c s
ε
Infatti	da	(3)	la	condizione	
deve	essere	soddisfatta	da	pi	
anche	 al	 tempo	 t	 (e	 anche	
subito	dopo)		
Dato	che	fare	la	mossa	può	
solo	ridurre	il	suo	costo,	
soddisfa	la	condizione	anche	al	
tempo	t’	
39
—  Allora	la	variazione	di	potenziale	
Le dinamiche senza “restrizioni”
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ){ }
( ) ( ) ( )
0 0
0
( ,
1
( ,
φ φ− ≥ −
−⎧ ⎫
≥ −⎨ ⎬
⎩ ⎭
't t
i h h
t t
h h h
t
s s max ε c s ε c s c s
ε
ε max c s c s c s
α
( ) ( ()
1
3)≤
−
t t
h i
α
c s c s
ε
Deriva	
dalla	condizione	
	
	
	
massimo	miglioramento	
ottenuto	da	pi per la sua mossa	
	
	
Deriva	dal	LEMMA	4.2
	
	
( ) ( ) ( ) ( )( )0 0
φ φ− ≥ −t t
h hs s ε c s c s
40
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ){ }
( ) ( ) ( )
0 0
0
( ,
1
,
φ φ− ≥ −
−⎧ ⎫
≥ −⎨ ⎬
⎩ ⎭
't t
i h h
t t
h h h
t
s s max ε c s ε c s c s
ε
ε max c s c s c s
α
( ) ( ) ( )
( )0
00 (1 ) (1 )
1 1
allora
φ
φ φ
− −
+
≥ ≥
− +
− h
t
sε ε ε ε
c s
α ε α n
s s
Le dinamiche senza “restrizioni”
—  Allora	la	variazione	di	potenziale	
massimo	miglioramento	
ottenuto	da	pi per la sua mossa	
	
	
	
	
	
è	minima	quando		
( ) ( )0
1
=
+ −
t
h h
α
c s c s
α ε
È	soddisfatta	
Deriva	dal	LEMMA	4.2
	
	
( ) ( ) ( ) ( )( )0 0
φ φ− ≥ −t t
h hs s ε c s c s
41
Le dinamiche senza “restrizioni”
Risposta:	Si 																													
2) Domanda:	quando	non	viene	utilizzato	nessun	meccanismo	di				
coordinamento	cosa	succede?	E’	possibile	convergere	polinomiale	a		
					ε-equilibri	di	Nash?	
	 	 	 	 3)	 	 Domanda:	 se	 generalizziamo	 il	 gioco	 permettendo	 a	 ciascun	
giocatore	di	dichiarare	il	proprio	ε	(che	in	un	certo	qual	modo	indica	la	
“tolleranza”	all’infelicità	o,	se	vogliamo,	la	propensione	a	accontentarsi	del	
giocatore).	E’	possibile	convergere	polinomiale	a	ε-equilibri	di	Nash?	
Parliamo di Giocatori eterogenei
42
Giocatori eterogenei
Heterogeneouse players: è una generalizzazione	 delle	 impostazione	
precedenti	 dove	 ciascun	 giocatore	 pi 	 ha	 un	 proprio	 valore	 ε,	 che	
chiameremo	εi	che	specifica	la	sua	“tolleranza”	all’infelicità		
Per	ogni	
giocatore	
Per	ogni	
strategia	
	Il	giocatore	pi	non	ha	più	di	un	
εi-incentivo	a	cambiare	
strategia	
					ε-equilibrio	di	Nash: per ,	uno	stato	
è	un	ε-	equilibrio	di	Nash	se	
( ) [0,1)= ∈ n
iε ε
1 1( , , )= … ∈ × ×Ln ns s s S S
1 1, ( , , , , ) (1 ) ( , , , , )i∀ … … ≥ − … …'
i i i n i i np c s s s ε c s s s ∀ ∈'
i is S
43
Dinamiche	best	response	ε-approssimate:		dinamiche	best	response	
nelle	quali	ciascun	giocatore	pi	può	fare	solo		εi-mosse,	ossia	movimenti		
che	migliorano	il	costo	di	un	fattore	maggiore	di	εi.	più	formalmente	se	il	
giocatore	pi	si	sposta		da	si	a	si’	allora		
Giocatori eterogenei
1 1( , , , , ) (1 ) ( , , , , )iε… … < − … …'
i i n i i nc s s s c s s s
Cambiare	strategia	non	conviene	più	di	εi	
volte	il	costo	della	strategia	attuale	
44
Giocatori eterogenei
—  Vedremo che	
—  questa	dinamica	converge	in 	 	 						passi	
					
							
( log( ))
(1 )−min max
nα
O nC
ε ε
=min i iε min ε e =max i iε max ε
—  il	numero	di	passi	di	tempo	in	cui	un	giocatore	con	tolleranza	εi	
"sarà"	infelice	"(cioè,	avrà	un	ε-move	disponibile)	è	essenzialmente	
log( )
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠min
nα
nC
ε
O
a	prescindere	dagli	
εj-valori	degli	altri	
giocatori.	
45
i max ip ε ε∀ ≥
Giocatori eterogenei
	
	
	
	
	 	 		
	
	 			
	
Teorema	5.2 Sia	εmax < 1 il	valore	massimo	di	εi	,	tra	tutti	i	giocatori	pi	.	
Allora,																					,	ci	sono	al	massimo		 	 		 				“volte”	in	cui	
	
qualche	giocatore	pj	con	εj	≥	ε	sarà	in	grado	di	muoversi	prima	che	l’	ε-
Nash	dynamics	converga	 																													
	
0∀ >ε
log( )
(1 )
⎡ ⎤
⎢ ⎥
−⎢ ⎥max
nα
nC
ε ε
Dimostrazione	Teorema	5.2
Sia	s =(s1,…,sn),	uno	stato	in	cui	un	giocatore	pj con εj	≥	ε	ha	una	εj -
move	disponibile.	Ai	fini	della	prova		è	sufficiente	dimostrare	che	la	
riduzione	della	funzione	potenziale	𝜙	è	almeno			è	almeno		
( )1
( )φ
−j maxε ε
s
αn
46
Giocatori eterogenei
§  Sia	ph		il	giocatore	con	il	“maggior	costo”	in	s	
	
Analizzeremo	due	casi:	
• 		Caso(i):	ph	=	pi , ossia, pi ha il maggior costo	
• 		Caso(ii):	ph ≠	pi ossia, pi non ha il maggior costo	
§  Sia	 pi	 il	 giocatore	 che	 si	 muove	 “attualmente”	 dallo	 stato	 s	
a																																												.																																						.	1( , , , , )= … … nis s' ss'
47
max
( 1)
( )
(1 )j
⎡ ⎤+
⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥
n α
log nC T
ε ε
Giocatori eterogenei
Se	il	ph=	pi	allora	abbiamo	già	finito,	dal	momento	che	ad	ogni	
passo	il	potenziale	si	riduce	di	almeno	
( ) ( )
( ) ( )
φ φ
ε ε≥ ⇒ ≥h h
s s
c s c s
n n
Caso(i)		
Il	teorema	è	soddisfatto	
Convergenza		
in	al	più	n.	
passi	pari	a		
48
Giocatori eterogenei
Supponiamo	che		ph		possa	muoversi	da	s	a	s’’		simulando	la	strategia	
s’i		del	giocatore		pi	.		
Siccome	non	vogliamo	che	ph	possa	muoversi	da	s,	dato	che	non	è	il	
suo	turno	
	
• 		Caso(2):	il	guadagno	relativo	per	ph		non	è	più	grande	del	guadagno	
	relativo	che	ottiene	consentendo	a	pi		di	effettuare	la	sua	mossa.		
Analizziamo	due	casi:	
• 		Caso(1):	la	mossa	da	s	a	s’’		non	deve	essere	una	εh-move	per	ph	
Caso(ii):					ph ≠	pi ossia, pi non ha il maggior costo		
49
Sappiamo	che	
• 					
• 		
	
Combinando	le	due	disequazioni,	abbiamo	
		
Giocatori eterogenei
( ) ( ) ( )− <h i h hc s αc s ε c s
( ) ( )
( )11
( ) ( )
j
j
ε
ε
−−
> ⇒ >
hh
i h i h
εε
c s c s c s c s
α α
( ) (1 ) ( ) ( ) ( )< − ⇒ <h j i h ic s'' α ε c s c s'' αc s
• 		Caso(1):		la	mossa	da	s	a	s’’		non	deve	essere	una	εh-move	per	ph	
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )− ≤ ⇒ ≥ −h h h h h h h hc s c s'' ε c s c s'' c s ε c s
( ) ( ) ( ) ( )− ≤ <h h h h ic s ε c s c s'' αc s
50	
(Dal	teorema	3.1)	
		Allora		
( ) ( )
( )la variazione di potenziale
1
( ) ( )jεφ φ φ>
−
− > i
j h
c s
ε ε
s s' s
αn
Il	teorema	è	
soddisfatto
51	
		Allora		
( )la variazione di potenziale ( ) ( )j
s
n
ε
φ φ φ
α
− ≥s s'
□	
Giocatori eterogenei
( ) ( )α<h ic s c s
		Dato	che		
• 	 	 Caso(2):	 il	 guadagno	 relativo	 per	 ph	 	 non	 è	 più	 grande	 del	 guadagno	
	 relativo	 che	 ottiene	 consentendo	 a	 pi	 	 di	 effettuare	 la	 sua	
mossa	,ossia,	
( ) ( )<h ic s'' αc s'
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
− −
≤h h i i
h i
c s c s'' c s c s'
c s c s
Siccome
stato abbiamo allora
1
( ) ( ) ( )( )
n
i
s φ φ∀ ≤ ≥∑ iis c s sc s
αn
hR iR

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