Principio de incertidumbre de Heisenberg

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Principio de incertidumbre de Heisenberg

  1. 1. INTRODUCCIÓN A LAMECÁNICA CUÁNTICAFísica IV- Astronomía-Geofísica- U.N.S.J.
  2. 2. Principio de complementariedad deBohr Ó
  3. 3.  En Física Clásica cualquier fenómeno de transporte de energía puede explicarse por el modelo ondulatorio o por el modelo de partícula, pero no por ambos. EL MODELO DE PARTÍCULA Y EL MODELO ONDULATORIO SON MUTUAMENTE CONTRADICTORIOS.
  4. 4. ¿Cómo aplicamos estos modelos a las situaciones denaturaleza dual de la radiación electromagnética y laspartículas materiales? Ó
  5. 5. (1928) Niels Bohr: PRINCIPIO DECOMPLEMENTAR IEDAD LOS ASPECTOS DE ONDA Y PARTÍCULA DE LA RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA SON COMPLEMENTARIOS, ES DECIR, CUALQUIER MEDICIÓN EXPERIMENTAL QUE INVOLUCRE LA RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA PUEDE SER COMPLETAMENTE EXPLICADA POR UN MODELO O POR EL OTRO.
  6. 6. ¿Cómo aplicamos esto a laspartículas materiales?
  7. 7. EN ALGUNOS EXPERIMENTOS LANATURALEZA ONDULATORIA SESUPRIME Y EN OTROS LANATURALEZA DE PARTÍCULA SESUPRIME, PERO LOS DOSMODELOS SE COMPLEMENTAN.
  8. 8. ¿Cómo son las ondas que asociamos a las partículas materiales? Longitud de onda: longitud de onda de de Broglie. Denominación: Ondas de materiaPero: ¿Cuál es la naturaleza de estas ondas?
  9. 9. Descripción del paquete de ondade partículas materialesMovimiento de una onda típica a lo largo del eje x: k= 2π y ( x, t ) = Asen(kx − ωt ) λ Número de onda 2π ω = 2πν = T Frecuencia angularPor analogía reemplazamos y(x,t) por: Ψ(x,t) función de onda asociada con una partícula material Ψ ( x, t ) = Asen( kx − t ) ω
  10. 10. Dos dificultades para: ( x, t ) = Asen( kx − ωt ) Ψ Ψ tiene continuidad en el espacio, mientras que una partícula material siempre está localizada en el espacio. La velocidad de fase (o velocidad de la perturbación): ω 2πν en atributos de onda v fase = = = λν k 2π / λ Usando E=hν y E h E p=h/λ: v fase = = en atributos de h p p partícula Usando E=mc2 y p=mv: c2 Fotón: vfase=c v fase = v Partícula: (como v<<c) vfase>c
  11. 11. Para superar estas dificultades asumimos que lafunción de onda Ψ(x,t) representa un grupo de ondasde frecuencias y longitudes de onda diferentes. k i = k + ∆k Ψ ( x, t ) = ∑ A(k )sen(k x − ω t ) ki = k i i i ∆k depende del grado de localización de la partícula en el espacio.El objetivo es combinar muchas ondas de diferentesfrecuencias y amplitudes para que la resultante tengaun alto valor de amplitud cerca de la vecindad de lapartícula y cero en otras partes. Esto es necesarioporque la onda de materia debe estar espacialmenteasociada con la partícula cuyo movimiento controla.
  12. 12. (a) F ación de un ormpaquete de onda porcom binación de 7ondas desde k=7 ak=13. E prom l edio delnúm de onda es erok0=10.(b) E el tiem t1, el n popaquete de onda sem ueve una distancia(ħ k0/ )t1. m
  13. 13. Para localizar mejor la partículadeberíamos aumentar el rango de ∆ky usar series de Fourier e integral deFourier.Nos limitaremos a analizar un casosimple.
  14. 14. Consideremos dos ondas deamplitudes iguales y frecuenciasligeramente distintas:Ψ1 ( x, t ) = Asen(kx − ωt )Ψ2 ( x, t ) = Asen[ (k + ∆k ) x − (ω + ∆ω )t ]Sumándolas: Ψ ( x, t ) = Ψ1 ( x, t ) + Ψ2 ( x, t )Ψ ( x, t ) = Asen(kx − ωt ) + Asen[ (k + ∆k ) x − (ω + ∆ω )t ]  ∆k ∆ω   ∆k   ∆ω  Ψ ( x, t ) = 2 A cos  x− t  sen  k +  x − ω + t   2 2   2   2 
  15. 15.  ∆k ∆ω   ∆k   ∆ω   Ψ ( x, t ) = 2 A cos  x− t  sen  k +  x − ω + t   2 2   2   2 Tomando k + (∆k / 2) ≅ k ω + (∆ω / 2) ≅ ω  ∆k ∆ω  Ψ ( x, t ) = 2 A cos x− t  sen(kx − ωt )  2 2  Ψ ( x, t ) = Am sen(kx − ωt ) Representa una onda de frecuencia original ω pero amplitud modulada
  16. 16. Ψ ( x, t ) = Am sen(kx − ωt ) Dos ondas de frecuencias y longitudes de onda levemente diferentes que viajan en la dirección x com se m o uestra en (a) producen m áxim y os m ínim cuando se sum juntas com en (b). os an o
  17. 17. Aunque las ondas individuales viajan con la fase velocidadvfase, la modulación de amplitud  ∆k ∆ω  Am = 2 cos x− t  2 2 viaja con una velocidad de grupo vg dadapor: ∆ω / 2 ∆ω vg = = ∆k / 2 ∆ko en el límite para Δk→ 0: dω vg = dk
  18. 18. Usando las relaciones E = hν =ħω, donde ħ=h/2π y p = h/λ = ħk, tenemos: dω dE vg = = dk dp Como: E = m0 c 4 + p ²c ² 2 dE = pc ² = pc ² mvc² = =v vg = v dp m0 c + p ²c ² 2 4 E mc ²La velocidad vg de grupo (o velocidad del paquete de onda)es la misma que la de la partícula y por lo tanto el paquetepuede guiar el movimiento de la partícula y ademáslocalizarla.La velocidad vfase es la velocidad de la perturbación.
  19. 19. INTERPRETACIÓN ESTADÍSTICA DE LA FUNCIÓN DE ONDA Nos interesa considerar en detalle la relación existente entre la función de onda Ψ(x,t) y la localización de la partícula. Haremos una analogía con la amplitud del campo eléctrico de la radiación electromagnética. Consideraremos un haz de radiación electromagnética monocromática incidiendo en ángulo recto sobre una pantalla.
  20. 20. I: intensidad de iluminación, definida como la energía por unidad de áreapor unidad de tiempo. ε0 : permitividad del vacío I = ε 0 E²c E: magnitud del campo eléctrico instantáneo sobre la pantallaOtro punto de vista es tratar la radiación electromagnética como queconsiste en fotones:N: flujo de fotones o el número de fotones incidentes por unidad de áreapor unidad de tiempo I = Nhν El lado izquierdo de la ecuación representa el N∝E 2 modelo de partícula de la electromagnética, mientras el lado derecho radiación representa el modelo ondulatorio. Para un gran flujo no hay dificultad en explicar la iluminación de la pantalla con cualquier modelo.
  21. 21. Si la intensidad disminuye y sólo se reciben unos pocos fotones sobre lapantalla tenemos que: N e s p o s ible p re d e c ir la p o s ic ió n y e l tie m p o o e x a c to d e a rribo d e c a d a fo tó n s o bre la p a nta lla . La d is tribuc ió n d e lo s fo to ne s s o bre la p a nta lla e s c o m p le ta m e nte a le a to ria , p e ro e l núm e ro p ro m e d io d e fo to ne s q ue a rriba n p o r unid a d d e á re a y p o r unid a d d e tie m p o e s c o ns ta nte y p re d e c ible .Si se reemplaza la pantalla por una placa fotográfica y se expone untiempo largo a esta radiación débil, el resultado es la iluminaciónuniforme de la placa. N nos da la probabilidad de observar un fotón y no la posición exacta y el tiempo de arribo del fotón a la pantalla. E² α probabilidad de observar a un fotón en un punto
  22. 22. Si extendemos estos conceptos a los paquetes de onda asociados conpartículas materiales, tenemos:Max Born (1926)La función de onda Ψ(x,y,z,t) es tal que:Ψ ( x, y, z , t ) ² dves la probabilidad de observar una partícula en un volumen dv=dx dy dz en untiempo t.Para un sistema estacionario (independiente del tiempo) la probabilidad deobservar una partícula es: ψ ( x, y, z, t ) ² dv = ψ ( x, y, z , t )ψ ( x, y, z, t )dv ∗En una dimensión para un sistema estacionario (independiente del tiempo):la probabilidad de observar una partícula entre x y x+dx ∝ ψ ( x) ² dx Ψ no tiene significado físico y Ψ² sí lo tiene.
  23. 23. Cuando decimosque a cada fotón o  Una ondapartícula material sele asigna una mecánica ofunción de onda, electromagnéticasuponemos que seasigna una transportapropiedad energía.estadística a cada  Ψ transportapartícula individual. probabilidad.
  24. 24. Experimento de Young con ondas de materia Los puntos son más grandes que el tamaño que corresponde. Se ha variado la cantidad de electrones que golpea la placa. No existen puntos en la región de mínimos de interferencia. La probabilidad de que cualquier punto de la película resulte afectado queda determinado por la teoría ondulatoria con independencia de que la película se vea expuesta a electrones o a fotones.
  25. 25. PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG Si Ψ²∆x es la probabilidad de que la partícula esté en la región entre x y x+∆x Hay incertidumbre en la posición de la partícula Si el paquete de ∆x es La onda es pequeño incertidumbre estrecho es menor 1 ∆x ∝Necesitamos un ∆krango denúmeros de onda∆k ancho
  26. 26. Sin un conocimiento exacto del paquete de onda, aproximamos: ∆x∆k ≈ 1Com p = h / λ = (2π / λ )(h / 2π ) = ko: ∆k = ∆p /  ∆x∆p ≈ Mediante cálculos más sofisticados se llega a:∆p ∆x ≈/2Ya que éste es el límite más bajo de exactitud, en forma generalpodemos escribir que: ∆x∆p ≥  / 2 PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISEMBERG
  27. 27. ∆x∆p ≥  / 2 Partícula completamente localizada: ∆x=0. La cantidad de movimiento es completamente desconocida. La cantidad de movimiento se conoce en forma precisa: ∆p=0. Entonces ∆x=∞. La partícula no está localizada y se extiende por todo elo espacio.ir s im ultá ne a m e nte y c o n p re c is ió n Es im p s ible m e d ta nto la p o s ic ió n c o m o la c a ntid a d d e m o vim ie nto d e una p a rtíc ula .Este límite de exactitud no es debido a cualquier dificultad técnica en elexperimento; sino que es inherente a la naturaleza dual –onda y partícula- tantode la radiación electromagnética como de las partículas materiales.
  28. 28. En tres dimensiones: ∆x∆p x ≥  / 2 ∆y∆p y ≥  / 2 ∆z∆p z ≥  / 2
  29. 29. También está limitada ladeterminación simultánea de: El momento angular y el ángulo: Θ: posición angular ∆θ∆Lθ ≥  / 2 Lθ: momento angular La energía y el tiempo: Desigualdad tiempo- ∆ E∆ t ≥  / 2 energía (ya que el tiempo no es un observable sino que es un parámetro) Según Heisenberg, la medida de la energía de una partícula dentro de un tiempo Δt debe ser incierta por una cantidad ΔE, el producto puede derivarse usando la relación E = p²/2m que da ΔE=pΔp/m=vΔp, y t=x/v, que da Δt=Δx/v.

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