Matrix (Alin 1.3 1.5, 1.7)

841 views

Published on

Published in: Technology, Business
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
841
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
5
Actions
Shares
0
Downloads
21
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Matrix (Alin 1.3 1.5, 1.7)

  1. 1.   Chapter 1  1.1. Systems of Linear Equation 1.2. Gaussian Elimination 1.3. Matrices and Matrix Operations 1.4. Inverses, Rules of Matrix Arithmetic 1.5. Elementary Matrices and a Method for Finding A –1 1.6. Further Results 1.7. Diagonal-, Triangular-, Symmetric-Matrices
  2. 2. <ul><li>Matriks: </li></ul><ul><li>Suatu kumpulan nilai bentuk empat-persegi-panjang </li></ul><ul><li>Terdiri dari baris-baris dan kolom-kolom </li></ul><ul><li>Tiap nilai dalam matriks disebut entri ; cara menyebutkan entri adalah dengan subskrip / indeks (baris, kolom) </li></ul><ul><li>Contoh: </li></ul><ul><li>Matriks A = 1 5 9 semua entri: real </li></ul><ul><li>7 3 0 </li></ul><ul><li>Matriks A terdiri dari 2 baris dan 3 kolom </li></ul><ul><ul><li>A 1,1 = 1 A 1,2 = 5 A 1,2 = 9 </li></ul></ul><ul><ul><li>A 2,1 = 7 A 2,2 = 3 A 2,3 = 0 </li></ul></ul>
  3. 3. <ul><li>Definisi-definisi: </li></ul><ul><li>Matriks A = matriks B jika ukuran baris A & baris B dan ukuran kolom A & kolom B sama; dan entri A i,j = entri B i,j </li></ul><ul><li>C = A  B, maka C i,j = A i,j  B i,j </li></ul><ul><li>M = cA ( c = real / skalar), maka M i,j = cA i,j </li></ul><ul><li>Jika A 1 , A 2 , …, A n adalah matriks-matriks berukuran sama, dan c 1 , c 2 , …, c n adalah bilangan-bilangan skalar, maka c 1 A 1 + c 2 A 2 + …+ c n A n disebut kombinasi linier dari A 1 , A 2 , …, A n dengan koefisien c 1 , c 2 , …, c n . </li></ul><ul><li>Suatu matriks dapat di-partisi menjadi beberapa submatriks dengan “menarik” garis horisontal dan/atau garis vertikal. </li></ul><ul><ul><li>Contoh: </li></ul></ul>A = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 A 11 A 21 A 21 A 22 A = a 11 a 12 a 13 a 14 r 1 a 21 a 22 a 23 a 24 r 2 a 31 a 32 a 33 a 34 r 3
  4. 4. <ul><li>Definisi-definisi (lanjutan): </li></ul><ul><li>Matriks A dikalikan dengan matriks B; syaratnya adalah banyaknya kolom A = banyaknya baris B. </li></ul><ul><ul><li>Catatan: perhatikan bahwa perkalian matriks (kedua matriks bujursangkar dengan ukuran sama) tidak komutatif (AB ≠ BA) </li></ul></ul><ul><ul><li>Contoh: A = -1 0 B = 1 2 </li></ul></ul><ul><li> 2 3 3 0 </li></ul><ul><li> AB = -1 -2 BA = 3 6 </li></ul><ul><li> 11 4 -3 0 </li></ul><ul><li>  kesimpulan : AB ≠ BA </li></ul><ul><li>Transpos(A) = matriks A dengan baris-kolom ditukar tempatnya </li></ul><ul><li>Trace(A) = jumlah semua entri diagonal A = A 11 + A 22 + … + A nn </li></ul>
  5. 5. <ul><li>Sifat perkalian matriks: </li></ul><ul><li>Jika A matriks bujur sangkar, maka </li></ul><ul><ul><li>(A r ) (A s ) = A ( r+s ) </li></ul></ul><ul><ul><li>(A r ) s = A ( rs ) </li></ul></ul>
  6. 6. <ul><li>Sifat-sifat matriks transpos: </li></ul><ul><ul><ul><li>(A T ) T = A </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>(kA) T = k (A T ) </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>(A  B) T = A T  B T </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>(AB) T = B T A T </li></ul></ul></ul>
  7. 7. <ul><li>Matriks-matriks khusus: </li></ul><ul><li>Matriks O = matriks nol; semua entrinya nol </li></ul><ul><li>Matriks I n = matriks identitas berukuran (n x n); </li></ul><ul><li> semua entri diagonalnya = 1, entri lain = 0 </li></ul><ul><li>Matriks (vektor) baris adalah matriks dengan 1 baris. </li></ul><ul><li>Matriks (vektor) kolom adalah matriks dengan 1 kolom. </li></ul>
  8. 8. <ul><li>Teorema: A, B, C merepresentasikan matriks </li></ul><ul><li> a, b merepresentasikan bilangan skalar </li></ul><ul><ul><ul><li>A +B = B +A </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>A + (B + C) = (A + B) + C </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>A(BC) = (AB)C </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>A(B  C) = AB  AC </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>(B  C)A = BA  CA </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>a(B  C) = aB  aC </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>(a  b)C = aC  bC </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>a(bC) = (ab)C </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>a(BC) = (aB)C = B(aC) </li></ul></ul></ul>
  9. 9. <ul><li>Teorema: A, O merepresentasikan matriks </li></ul><ul><li> O adalah matriks nol (semua entrinya = nol) </li></ul><ul><ul><ul><li>A + O = O + A = A </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>A – A = O </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>O – A = – A </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>AO = O; OA = O </li></ul></ul></ul>
  10. 10. Teorema: A adalah matriks bujur sangkar berukuran (n x n) R adalah bentuk eselon-baris-tereduksi dari A. Maka R berisi (satu/lebih) baris dengan entri nol seluruhnya, atau R adalah matriks identitas I n . Contoh: A = 2 3 4 1 3/2 2 1 6 7 1 6 7 8 0 9 1 0 9/8 baris-1 x (1/2); baris-3 x (1/8)
  11. 11. Invers dari sebuah matriks: A adalah matriks bujur sangkar Jika AB = BA = I maka B adalah invers dari A dan A adalah invers dari B. (invers matriks A dinotasikan dengan A – 1 ) Jika B adalah invers dari A dan C adalah invers dari A maka B = C A = a b dan D = ad – bc  0, maka invers A c d dapat dihitung dengan A – 1 = (1/D) d – b – c a
  12. 12. <ul><li>Sifat-sifat matriks Invers: </li></ul><ul><li>Matriks A, B adalah matriks-matriks invertibel </li></ul><ul><li>(A – 1 ) – 1 = A </li></ul><ul><li>A n invertibel dan (A n ) – 1 = (A – 1 ) n </li></ul><ul><li>(kA) adalah matriks invertibel dan (kA) – 1 = (1/k) A – 1 </li></ul><ul><li>A T invertibel dan (A T ) – 1 = ( A – 1 ) T </li></ul><ul><li>A dan B keduanya matriks invertibel, maka AB invertibel dan (AB) – 1 = B – 1 A – 1 </li></ul>
  13. 13. Algoritma untuk mencari invers sebuah matriks A (n x n) ubah menjadi matrix identitas dengan menggunakan OBE . Contoh: 1 2 3 1 0 0 2 5 3 0 1 0 1 0 8 0 0 1 matriks A matriks identitas I
  14. 14. 1 2 3 1 0 0 2 5 3 0 1 0 1 0 8 0 0 1 dengan OBE dihasilkan 1 0 0 -40 16 9 0 1 0 13 -5 -3 0 0 1 5 -2 -1 matriks A invers A
  15. 15. <ul><li>1 2 3 -40 16 9 </li></ul><ul><li>2 5 3 13 -5 -3 </li></ul><ul><li>1 0 8 5 -2 -1 </li></ul><ul><li> </li></ul><ul><ul><ul><li>jika kedua matriks ini dikalikan, akan didapat </li></ul></ul></ul>matriks A invers A – 40 + 26 +15 16 – 10 – 6 9 – 6 – 3 – 80 + 65 + 15 32 – 25 – 6 18 – 15 – 3 – 40 + 0 + 40 16 – 0 – 16 9 – 0 – 8
  16. 16. Aplikasi: jika A = matrix ( nxn ) yang punya invers (invertible / dapat dibalik), maka dalam sebuah Sistem Persamaan Linier: Ax = B  x = A -1 B Contoh : dalam mendapatkan solusi dari Sistem Persamaan Linier x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 1 2x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 1 x 1 + 8x 3 = 1 matriks A berisi koefisien-koefisien dari x 1 , x 2 , x 3 vektor x = (x 1 , x 2 , x 3 ) yang dicari vektor B = (1, 1, 1) T
  17. 17. Contoh: Akan dicari solusi dari Ax = b, di mana A = 1 2 3 b = 1 2 5 3 1 1 0 8 1 x = A –1 b = -40 16 9 1 = -15 13 -5 -3 1 5 5 -2 -1 1 2
  18. 18. Solusi dari Ax = b adalah x sbb.: A = 1 2 3 b = 1 2 5 3 1 1 0 8 1 x = -15 Cek: apakah benar A x = b ? 5 2 – 15 + 10 + 6 – 30 + 25 + 6 – 15 + 0 + 16
  19. 19. Matriks Elementer: Matriks A(nxn) disebut elementer jika A dihasilkan dari matriks identitas I n dengan satu Operasi Baris Elementer. Contoh: I 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A 1 = 1 0 1 A 1 = 1 0 1 0 1 0 0 6 0 0 0 1 0 0 1
  20. 20. <ul><li>Teorema: </li></ul><ul><li>A (nxn) matriks bujur sangkar. </li></ul><ul><li>Maka yang berikut ini ekivalen (semuanya benar, atau semuanya salah) </li></ul><ul><li>A invertibel </li></ul><ul><li>Ax = 0 punya solusi trivial saja </li></ul><ul><li>Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah I n </li></ul><ul><li>A dapat dinyatakan dalam perkalian matriks-matriks elementer </li></ul>
  21. 21. Bab 1.7 Matriks-matriks dengan bentuk khusus
  22. 22. <ul><li>Matriks A(n  n) bujur sangkar, artinya </li></ul><ul><li>banyaknya baris A sama dengan banyaknya kolom A. </li></ul><ul><li>Bentuk-bentuk khusus sebuah matriks bujur sangkar antara lain: </li></ul><ul><ul><ul><li>Matriks diagonal D </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Matriks segi-3 atas </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Matriks segi-3 bawah </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Matriks simetrik </li></ul></ul></ul>
  23. 23. <ul><li>Matriks diagonal D: a ij = 0 untuk i  j </li></ul>a 11 0 0 0 0 0 a 22 0 0 0 0 0 a 33 0 0 ……………………………………… 0 0 0 0 a nn d 1 0 0 0 0 0 d 2 0 0 0 0 0 d 3 0 0 ……………………………………… 0 0 0 0 d n
  24. 24. <ul><li>Matriks segi-3 atas: a ij = 0 untuk i > j </li></ul>a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 ………… a 1n 0 a 22 a 23 a 24 a 25 ………… a 2n 0 0 a 33 a 34 a 35 ..……..… a 3n …………………………………………………………… . …………………………………………………………… . …………………………………………………………… . 0 0 0 0 0 …………… a nn
  25. 25. <ul><li>Matriks segi-3 bawah: a ij = 0 untuk i < j </li></ul>a 11 0 0 0 0 …………… 0 a 21 a 22 0 0 0 …………… 0 a 31 a 32 a 33 0 0 …………… 0 ……………………………………………………… 0 ……………………………………………………… 0 ……………………………………………………… 0 a n1 a n2 a n3 a n4 a n5 …………… a nn
  26. 26. <ul><li>Matriks simetrik: a ij = a ji </li></ul>a 11 a 12 a 13 ………………………. a 1n a 21 a 22 a 23 …………………………..… a 31 a 32 a 33 ………………..…………… …………………………………………………………… . …………………………………………………………… . …………………………………………………………… . a n1 ………………………………………………… a nn
  27. 27. <ul><li>Teorema: </li></ul><ul><li>Transpos dari matriks segi-3 bawah adalah matriks segi-3 atas; transpos dari matriks segi-3 atas adalah matriks segi-3 bawah. </li></ul><ul><li>Perkalian dua matriks segi-3 bawah menghasilkan matriks segi-3 bawah; perkalian dua matriks segi-3 atas menghasilkan matriks segi-3 atas. </li></ul><ul><li>Matriks segi-3 invertibel jika dan hanya jika semua entri diagonalnya tidak nol. </li></ul><ul><li>Invers dari matriks segi-3 bawah adalah matriks segi-3 bawah. </li></ul><ul><li>Invers dari matriks segi-3 atas adalah matriks segi-3 atas. </li></ul>
  28. 28. <ul><li>Teorema: </li></ul><ul><li>A dan B matriks simetrik, k adalah skalar </li></ul><ul><li>A T simetrik </li></ul><ul><li>A + B = A – B </li></ul><ul><li>Matriks kA simetrik </li></ul><ul><li>Jika A invertibel, maka A –1 simetrik </li></ul><ul><li>Teorema: </li></ul><ul><li>Jika A matriks invertibel, maka AA T dan A T A juga invertibel. </li></ul>

×