µ        UNIVERSITA DEGLI STUDI DI                MESSINA                     µ               FACOLTA DI SCIENZE MM.FF.NN....
Indice GeneraleIntroduzione                                                                             11 Nozioni e strum...
2.7 Teorema della mappa aperta. Teorema dellinversa continua. Teorema del       gra¯co chiuso . . . . . . . . . . . . . . ...
Introduzione    Un numero considerevole di procedimenti matematici concreti puµ essere incluso                            ...
Elenchiamo qui di seguito i risultati piµ salienti presenti nella nostra trattazione:                                     ...
e continuo. Sicuramente degni di attenzione sono il teorema di Nachabin ed i teoremidi Hahn-Banach. Inoltre vengono espost...
come applicazione notevole di questo un altrettanto fondamentale teorema noto comeprincipio delluniforme limitatezza. Di q...
Capitolo 1Nozioni e strumenti propedeutici1.1     Nozioni di algebra lineare propedeutichePropriet¶ 1.1.1        aSia E un...
De¯nizione 1.1.2Sia E un IK-spazio vettoriale e sia SµE insieme, diciamo che S µ una varit¶ a±ne se:                      ...
Ovviamente E 2 A. Si veri¯ca facilmente che il prodotto di uno scalare per un equilibratoµ un equilibrato, che lintersezi...
Propriet¶ 1.1.5        aSia E un IK-spazio vettoriale; sia 0 2E; sia FµE un s.sp.vett; sia AµE radiale in 0Ts: Se 0 2F ...
Propriet¶ 1.1.7        aSia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e siano A,BµE sottoinsiemi non vuotiTs: (A [ B) = ...
base di Hamel e per il teorema 1.1.5 tutte le basi di Hamel di E hanno la medesimacardinalit¶. Tenendo conto della premess...
(1) (E) = (F)(2) 8m 2 IN 91      m 2 E li , 91      m 2 F liDim (1))(2)Conseguenza immediata del l...
²  µ positivamente omogeneo se () = () 8 2 E e 8  0.       e   ²  µ assolutamente omogeneo se () = jj() 8...
Propriet¶ 1.1.12        aSia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un insieme radiale in ETs: Valgono allora i s...
De¯nizione 1.2.1Sia X un insieme non vuoto e siano 1 e 2 due topologie su X. Diciamo allora che latopologia 1 µ meno ¯n...
Teorema 1.2.1 (Unicitµ del limite in uno spazio di Hausdor® )                     aSia X uno spazio topologico di Hausdor®...
Propriet¶ 1.2.1        aSia X uno spazio topologico e sia AµX un insiemeTs: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:() Se ...
topologici I-numerabili µ che si puµ lavorare con successioni ordinare invece che con                        e          os...
Diciamo che f µ continua se µ continua in ogni punto di X. Si denota con  0 (X Y)              e             elinsieme d...
esempio la compattezza). Si veri¯ca facilmente che linversa di un omeomor¯smo µ un                                        ...
Dim (1))(2)Sia 80 2 Y e ­ 2 X tc f ¡1 (0 )  ­ 6= ; allora per la proprietµ 1.2.3 scegliamo V=f(­).                   ...
Sia  2 f ¡1 (K) ) f() 2 K segue allora dalla 1.2 che 9j = 1     n tc f() 2 ­j )f() 2 Y n f(XnBj ) ) f() 62 f...
µ che la topologia meno ¯ne su X contenente la famiglia . Considerate le famiglie:e                             8        ...
() X£Y µ di Hausdor® , X ed Y sono di Hausdor®        e() X£Y µ I-numerabile , X ed Y sono I-numerabili        eTeorema ...
Teorema 1.2.18Siano X, Y e Z spazi topologici; sia f:X £ Y !Z e una funzione continuaTs: f µ continua separatamente cioµ ¯...
De¯nizione 1.2.22Sia (X,d) uno spazio metrico. La topologia generata dalla famiglia di sfere:                             ...
De¯nizione 1.2.25Sia (X,) uno spazio metrico e siano 0 2X e AµX insieme non vuoto. Si de¯nisce alloradistanza del punto ...
De¯nizione 1.2.27Diciamo che uno spazio metrico µ completo se ogni succ. di Cauchy µ convergente.                         ...
De¯nizione 1.2.29Siano (X,) e (Y,) spazi metrici; sia f:X!Y funzione. Diciamo che f µ unisometria se:                   ...
Propriet¶ 1.2.13 (s.c.i dellinviluppo superiore)        aSia X uno spazio topologico; sia ffi gi2I famiglia di funzioni de...
vettoriale topologico. Se F µ E µ un s.sp.vett. allora si veri¯ca facilmente che la                                erelati...
Ts: U µ intorno di 0 , 9W µ E intorno di E tc U =0 + W      eCorollario 1.3.1Sia E uno spazio vettoriale topologico; ...
DimConseguenza immediata del corollario 1.3.2 e del corollario 1.1.2.Propriet¶ 1.3.4        aSia E uno spazio vettoriale t...
Propriet¶ 1.3.6        aSia E uno spazio vettoriale topologico di Hausdor®; siano fn gn2IN e fn gn2IN duesuccessioni in ...
P1in E e supponiamo che la serie      n=1   n sia convergenteTs: La successione fn gn2IN converge a EPropriet¶ 1.3.10  ...
Propriet¶ 1.3.12        aSia E uno spazio vettoriale topologico; siano A,BµE insiemi limitati; sia 0 2E; sia  2 IKTs: Gl...
Teorema 1.3.8Sia E uno spazio vettoriale topologico e sia UµE un intorno di E convessoTs: 9V µE intorno di E assolutamen...
Si puµ veri¯care che tale topologia su E µ vettoriale. Se F µ E µ un sottospazio     o                                   e...
E inducente la topologia di E; sia UµE e sia 0 2ETs: U µ un intorno di 0 , 9i 2 I e r 0 t.c. (i 0  r) µU      ePro...
Corollario 1.3.8Sia (E,) uno spazio seminormato; sia AµE un sottoinsiemeTs: A µ limitato , 9M  0 tc () · M 8 2 A   ...
Propriet¶ 1.3.16        aSia (E,k ¢ kE ) uno spazio normato e siano 0 2E e   0Ts: (0  ) = (0  )Propriet¶ 1.3.17...
si veri¯ca agevolmente che tali funzionali sono tre norme sul prodotto E, dette normecanoniche. Si veri¯ca inoltre facilme...
Teorema 1.3.20 (di Kolmogorov)Sia E uno spazio vettoriale topologico di Hausdor® e supponiamo che esista VµE intornodi E ...
Lo spazio H munito del prodotto scalare si dice spazio pre-hilbertiano o spazioa prodotto scalare e si indica con la coppi...
Propriet¶ 1.3.18        aSia H uno spazio a prodotto scalareTs: (¢ ¢)H : H £ H ! IK µ continuo                         eD...
se E ed F sono due sp.vett. su C allora in particolare E ed F saranno due sp.vett. su IR                               Ie ...
() (T) µ un sottospazio vettoriale di E           e() Preso 0 2T(E) e 0 2 T¡1(0 ) allora T¡1 (0) = 0 + (T)()...
Propriet¶ 1.4.7        aSiano E ed F IK-spazi vettoriali; sia GµE un s.sp.vett.; sia T 2 (E F)Ts: TjG : G ! F µ un opera...
Propriet¶ 1.4.11        aSiano E ed F due spazi vettoriali sul corpo IK; sia AµE un sottoinseme non vuoto; sianoS T 2 (E...
la seguente relazione su E che si veri¯ca facilmente essere di equivalenza:                              8  2 E  »  ,...
sempre per la proprietµ 1.4.7, per la () e per il fatto che F e G sono complementari                      aosserviamo che...
Il fatto che T()=f() 8 2A µ evidente, infatti ¯ssato  2A allora essendo un vettore                             edi A, ...
Corollario 1.4.3Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia GµE un s.sp.vett.; sia S:G!F un operatore lineareTs: 9T:E!F operator...
Teoremi fondamentali sugli operatori lineari [tesi][santi caltabiano]
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Teoremi fondamentali sugli operatori lineari [tesi][santi caltabiano]

  1. 1. µ UNIVERSITA DEGLI STUDI DI MESSINA µ FACOLTA DI SCIENZE MM.FF.NN. Corso di Laurea in Matematica TEOREMI FONDAMENTALI SUGLI OPERATORI LINEARI E RICERCA DELLE LORO APPLICAZIONITesi di Laurea di:Santi Caltabiano Relatore: Ch.ma Prof.ssa C. Vitanza ANNO ACCADEMICO 1998-1999
  2. 2. Indice GeneraleIntroduzione 11 Nozioni e strumenti propedeutici 5 1.1 Nozioni di algebra lineare propedeutiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Nozioni topologiche propedeutiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Cenni sugli spazi vettoriali topologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4 Teoria di base degli operatori lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 Teoremi fondamentali sugli operatori lineari 69 2.1 Operatori a gra¯co convesso. Operatori a±ni. Teorema di Deutsch-Singer 69 2.2 Criteri di continuitµ per operatori e funzionali lineari . . . . . . . . . . . a 76 2.3 Criteri per operatori e funzionali lineari aperti . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.4 Prolungamento per continuit¶ ad operatori lineari. Teorema di Nachabin. a Teoremi di Hahn-Banach. Teoremi di separazione . . . . . . . . . . . . . 91 2.5 Spazio degli operatori lineari e continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 2.6 Anello degli operatori lineari e continui. Criteri sullinversa di un operatore lineare. Teorema di Banach. Metodo delle approssimazioni successive . . 126 i
  3. 3. 2.7 Teorema della mappa aperta. Teorema dellinversa continua. Teorema del gra¯co chiuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 2.8 Teorema di Banach-Steinhaus. Principio delluniforme limitatezza . . . . 146 2.9 Funzionali lineari e continui di uno spazio di Hilbert e teorema di rappresentazione di Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Bibliogra¯a 154Indice Analitico 155 ii
  4. 4. Introduzione Un numero considerevole di procedimenti matematici concreti puµ essere incluso oin uno schema astratto descritto con laiuto degli operatori lineari. Tra i problemidi tal genere vanno annoverati in particolare, lo studio delle soluzioni di sistemi diequazioni di®erenziali, lo studio della convergenza delle serie di Fourier e dei polinomiinterpolabili, delle formule di quadrature meccaniche, la teoria degli integrali singolari,eccetera. In questi casi lo studio del problema, in forma astratta, si riconduce solitamentealla dimostrazione della convergenza di una successione di operatori lineari, o alladimostrazione della limitatezza di tali operatori, o ad altri problemi analoghi. Nella presente trattazione ci proponiamo di esporre e di approfondire i principaliteoremi sugli operatori lineari. Di alcuni teoremi non diamo la dimostrazione originale,in quanto nel corso del lavoro di tesi si µ trovata una dimostrazione piµ attinente a e uquesto contesto, un esempio in questo senso µ dato dalla dimostrazione del teorema edi rappresentazione di Riesz di un funzionale lineare e continuo. Facciamo inoltreosservare che alcuni risultati sono stati estrapolati da un contesto di analisi multivocae precisamente dalla teoria delle multifunzione a gra¯co convesso, per i quali µ stato enecessario costruire la dimostrazione adatta al caso, esempi di tali risultati sono: ilteorema di Deutsch-Singer [4], criteri di continuitµ, criteri per mappe aperte, eccetera. a 1
  5. 5. Elenchiamo qui di seguito i risultati piµ salienti presenti nella nostra trattazione: uteorema di Deutsch-Singer, teorema di Nachabin, teoremi di Hahn-Banach, teorema suglioperatori lineari nel caso di ¯nito dimensionaliµ, teorema di Banach per linversa di un aoperatore lineare e continuo, teorema della mappa aperta in forma generale, teorema delledue norme, teorema di Banach-Steinhaus, principio delluniforme limitatezza, teorema dirappresentazione di Riesz. Il capitolo uno µ di carattere introduttivo. Vi sono esposte le nozioni algebriche e etopologiche propedeutiche, ed i fondamenti della teoria degli spazi vettoriali topologici edella teoria degli operatori lineari. Limpostazione di tale capitolo µ stata fatta ricalcando elimpostazione di base data dal professore B. Ricceri nel corso di Analisi funzionale [1]. Il capitolo due µ suddiviso in paragra¯. Nel primo paragrafo si mettono in evidenza ei legami che intercorrono tra gli operatori lineari, gli operatori a±ni e gli operatori agra¯co convesso. Di particolare interesse µ un risultato estrapolato da un contesto di eanalisi multivoca e precisamente dal teorema di Deutsch-Singer [4], il quale a®erma checondizione necessaria e su±ciente a±nch¶ un operatore de¯nito tra spazi vettoriali reali esia lineare µ che sia a gra¯co convesso e che si annulli nellorigine. Nel paragrafo due e nel eparagrafo tre sono esposti dei risultati riguardanti rispettivamente gli operatori linearicontinui e gli operatori lineari aperti; tali risultati giocano un ruolo fondamentale nellapresente trattazione, sono inoltre presenti interessanti conseguenze. La costruzione diquesti due paragra¯ µ stata fatta adoperando sia gli appunti di analisi funzionale [1] che egli appunti di analisi superiore [2], piµ precisamente da questi ultimi si µ sfruttata la u eparte conclusiva del corso inerente la trattazione delle multifunzione a gra¯co convesso.Nel paragrafo quattro si µ a®rontato il problema dellestendibilitµ di un operatore lineare e a 2
  6. 6. e continuo. Sicuramente degni di attenzione sono il teorema di Nachabin ed i teoremidi Hahn-Banach. Inoltre vengono esposti come applicazione notevole di questi ultimii cosidetti teoremi di separazione. Per la stesura di questo paragrafo si µ utilizzato il etesto Kantarovic-Akilov [6]. Il paragrafo cinque µ dedicato allo studio delle proprietµ e adello spazio degli operatori lineari e continui e piµ precisamente si dimostra che tale uspazio µ di Banach rispetto alla norma operatoriale se lo µ lo spazio darrivo ed inoltre e esi dimostra che se lo spazio vettoriale topologico di partenza ha dimensione ¯nita edµ di Hausdor® allora lo spazio degli operatori lineari e continui coincide con lo spazioedegli operatori lineari ovvero ogni operatore lineare µ continuo. Per la stesura di tale eparagrafo sono stati utilizzati gli appunti di analisi funzionale [1]. Nel paragrafo seisi a®ronta il problema dellinvertibilitµ di un operatore lineare e continuo. Spicca tra ai risultati il noto teorema di Banach. Inoltre vengono esposti come conseguenza deiteoremi inerenti la convergenza del cosiddetto metodo delle approssimazioni successive.La trattazione esposta in questo paragrafo µ stata fatta seguendo limpronta del testo eKantarovic-Akilov [6]. Il paragrafo sette µ tra i piµ importanti se non il piµ importante e u uparagrafo della presente tesi. In esso µ trattato il teorema della mappa aperta in forma eclassica che costituisce uno dei capisaldi di tutta lanalisi funzionale. Le conseguenzedi questo teorema sono ragguardevoli essendo queste il teorema dellinversa continua, ilteorema del gra¯co chiuso ed il teorema delle due norme. Il tutto viene compendiatograzie a laiuto di un lemma fondamentale nel cosiddetto teorema della mappa apertain forma generale. Per la costruzione di tale paragrafo si µ fatto ricorso agli appunti edi analisi funzionale [1], agli appunti di analisi superiore [2] ed al testo H. Brezis[5]. Nel paragrafo otto viene trattato il fondamentale teorema di Banach-Steinhaus e 3
  7. 7. come applicazione notevole di questo un altrettanto fondamentale teorema noto comeprincipio delluniforme limitatezza. Di questultimo viene data unapplicazione notevoleriguardante la convergenza di una successione di operatori lineari. Per la costruzione ditale paragrafo sono stati adoperati gli appunti di analisi funzionale [1], il testo H. Brezis[5] ed il testo Kantarovic-Akilov [6]. Il capitolo nove conclude la tesi ed in esso vieneesposto il fondamentale teorema di rappresentazione di Riesz di un funzionale lineare econtinuo di uno spazio di Hilbert. Una prima applicazione di questo teorema consente diindividuare lespressione analitica di un funzionale lineare nel caso dello spazio euclideon-dimensionale. Ed in conclusione facendo uso del noto Lemma di Ascoli si ottiene laformula per la stima della distanza di un punto da un iperpiano dello spazio euclideoreale n-dimensionale. La trattazione di questo paragrafo si appoggia sulla trattazionedegli spazi di Hilbert esposta nel corso di analisi funzionale [1]. 4
  8. 8. Capitolo 1Nozioni e strumenti propedeutici1.1 Nozioni di algebra lineare propedeutichePropriet¶ 1.1.1 aSia E un IK-spazio vettoriale; siano A,BµE due sottoinsiemi; sia 0 2ETs: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:() Se A 6= ; e B 6= ; allora A B = ; , (0 + A) (0 + B) = ;() Se A B 6= ; allora 0 + A B = (0 + A) (0 + B)De¯nizione 1.1.1Sia E un IK-spazio vettoriale e siano F e G s.sp.vett. di E. Diciamo allora che la sommadei sottospazi F+G µ somma diretta e scriviamo F © G se ogni vettore della somma eF+G, si puµ scrivere in modo unico come somma di un vettore di F e di un vettore di G. oTeorema 1.1.1Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e siano F e G due sottospazi vettoriali di ETs: F+G µ somma diretta , FG=fE g e 5
  9. 9. De¯nizione 1.1.2Sia E un IK-spazio vettoriale e sia SµE insieme, diciamo che S µ una varit¶ a±ne se: e a 9F µ E sottospazio vettoriale e x0 2 E tc S = x0 + FBanalmente i traslati di variet¶ a±ni sono variet¶ a±ni. Si osserva che i punti sono delle a avariet¶ a±ni poich¶ li possiamo rigurdare come traslati del s.sp.vett. banale fE g. a ePropriet¶ 1.1.2 aSia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia SµE una variet¶ a±ne e siano quindi FµE aun sottospazio vettoriale e 0 2E t.c. S=0 +FTs: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:() S µ un sottospazio vettoriale , E 2S e() 8G µE sottospazio vettoriale e 0 2E t.c. S=0 +G allora F=G() 80 2 S allora S ¡ 0 =FDe¯nizione 1.1.3Sia E un IK-spazio vettoriale e sia AµE insieme, diciamo allora che A µ convesso se: e  + (1 ¡ ) 2 A 8  2 A e 8 2 [0 1]Si veri¯ca facilmente che i punti sono convessi, che il prodotto di uno scalare per unconvesso µ un convesso, che la somma di convessi µ un convesso (e che quindi in particolare e eil traslato di un convesso µ un convesso) e che lintersezione di convessi un convesso. eDe¯nizione 1.1.4Sia E un IK-spazio vettoriale e sia AµE insieme, diciamo allora che A µ equilibrato se: e  2 A 8 2 A e 8 2 IK con jj · 1 6
  10. 10. Ovviamente E 2 A. Si veri¯ca facilmente che il prodotto di uno scalare per un equilibratoµ un equilibrato, che lintersezione e lunione di equilibrati µ un equilibrato.e eDe¯nizione 1.1.5Sia E un IK-spazio vettoriale e sia AµE un insieme, diciamo allora che A µ eassolutamente convesso se µ convesso ed equilibrato. eDe¯nizione 1.1.6Sia E un IK-spazio vettoriale e sia AµE insieme, diciamo allora che A µ simmetrico se: e A = ¡ASi osserva immediatamente che ogni insieme equilibrato µ simmetrico. eDe¯nizione 1.1.7Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia AµE un sottoinsieme non vuoto e sia 0 2E,diciamo allora che A µ radiale nel punto 0 se: e 8 2 E 9  0 tc 0 +  2 A 8 2 [0 ]Chiamiamo nucleo radiale di A e lo denotiamo con A0 linsieme punti di E in cui A µ eradiale. Ovviamente A0 µ A. Inoltre se BµE con AµB allora evidentemente A0 µ B0 .Propriet¶ 1.1.3 aSia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia AµE un sottoinsieme; sia 0 2ETs: 0 2 A0 , 8 2 E 9  0 tc 0 +  2 A 8 2 [¡ ]Propriet¶ 1.1.4 aSia E uno spazio vettoriale su IK; sia AµE con A0 6= ;; siano 0 2E e  2 IK n f0gTs: (A + 0 )0 = A0 + 0 7
  11. 11. Propriet¶ 1.1.5 aSia E un IK-spazio vettoriale; sia 0 2E; sia FµE un s.sp.vett; sia AµE radiale in 0Ts: Se 0 2F allora AF µ radiale in 0 in F ePropriet¶ 1.1.6 aSia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia AµE un sottoinsieme convesso con A0 6= ;Ts: A0 µ convesso e A0 = (A0 )0 eDe¯nizione 1.1.8Sia E un IK-spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un insieme non vuoto, diciamo allorainviluppo lineare di A e lo denotiamo con (A), lintersezione di tutti i s.sp.vett.di E che contengono A, ovvero il piµ piccolo s.sp.vett. di E contenente linsieme A. uEvidentemente linviluppo lineare di un sottospazio vettoriale coincide con se stesso.Teorema 1.1.2Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un sottoinsieme non vuotoTs: span(A)=f11 + ¢ ¢ ¢ + n n : 1      n 2 IK e 1     n 2 AgCorollario 1.1.1Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un sottoinsieme con A0 6= ;Ts: span(A)=ECorollario 1.1.2Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia FµE un sottospazio vettoriale con F0 6= ;Ts: F=E 8
  12. 12. Propriet¶ 1.1.7 aSia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e siano A,BµE sottoinsiemi non vuotiTs: (A [ B) = (A) + (B)De¯nizione 1.1.9Sia E un IK-spazio vettoriale e sia AµE non vuoto, diciamo allora che A µ linearmente eindipendente (brevemente l.i.) se ogni parte ¯nita di A costituisce un insieme di vettoril.i. cioµ se 1      n 2A a due a due distinti e 1       2 IK t.c. 1 1 + ¢ ¢ ¢ + n n = E eallora necessariamente 1 =    = n = 0.Teorema 1.1.3Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un sottoinsieme non vuotoTs: A µ linearmente indipendente , 8 2 (A) ammette rappresentazione unica eDe¯nizione 1.1.10Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un sottoinsieme non vuoto, diciamoallora che A µ una base di Hamel per E se µ linearmente indipendente e se span(A)=E. e eTeorema 1.1.4 (Massimalit¶ di una base di Hamel) aSia E un IK-spazio vettoriale e sia DµE un sottoinsieme l.i.Ts: 9A µ E base di Hamel t.c. D µ ATeorema 1.1.5Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e siano A,BµE due basi di Hamel per ETs: (A) = (B)De¯nizione 1.1.11Sia E un IK-spazio vettoriale, per il teorema 1.1.4 tale spazio ammette almeno una 9
  13. 13. base di Hamel e per il teorema 1.1.5 tutte le basi di Hamel di E hanno la medesimacardinalit¶. Tenendo conto della premessa fatta si de¯nisce allora dimensione algebrica adi E e la si denota con (E), la cardinalit¶ di una qualsiasi base di Hamel di E. aFacciamo osservare subito che (IKn ) = n, infatti basta considerare le n n-uple(1 0     0)     (0 0     1) che costituiscono una base per IKn , detta base canonica.De¯nizione 1.1.12Sia E un IK-spazio vettoriale e sia SµE una variet¶ a±ne, per la proprietµ 1.1.2 il s.sp. a adi cui S µ il traslato µ univocamente determinato e quindi ha senso dare la seguente e ede¯nizione. Si de¯nisce dimensione algebrica di S e la si denota con (S), ladimensione del s.sp. di cui S µ il traslato. Equivalentemente ¯ssato un qualunque 0 2 S eallora per la proprietµ 1.1.2 la dimensione di S µ la dimensione del s.sp.vett. S ¡ 0. a ePropriet¶ 1.1.8 aSia E un IK-spazio vettoriale; sia DµE insieme l.i.Ts: (D) · (E)DimConseguenza immediata del teorema 1.1.4.Lemma 1.1.1Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia n 2 IN n f0gTs: (E) ¸ n , 91      n 2 E liTeorema 1.1.6Siano E ed F IK-spazi vettorialiTs: Sono allora equivalenti: 10
  14. 14. (1) (E) = (F)(2) 8m 2 IN 91      m 2 E li , 91      m 2 F liDim (1))(2)Conseguenza immediata del lemma 1.1.1.Dim (2))(1)Proviamo che (E) · (F). Si puµ presentare il caso in cui (E)  +1 ed oil caso in cui (E) = +1. Se (E)  +1 ) 9n 2 IN tc (E) = n segueallora dallipotesi e dal lemma 1.1.1 che (F) ¸ n = (E). Sia adesso il caso incui (E) = +1 e quindi comunque ¯ssato m 2 IN esisteranno m vettori di E l.i.segue allora dallipotesi e dal lemma 1.1.1 che (F) ¸ m 8m 2 IN cioµ (F) = +1. eAnalogamente scambiando il ruolo di E con quello di F si ottiene che (F) · (E).De¯nizione 1.1.13Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e siano F e G due sottospazi vettoriali di E.Diciamo allora che F e G sono complementari se: E=F©GPropriet¶ 1.1.9 aSia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia FµE un sottospazio vettorialeTs: 9G µ E sottospazio vettoriale complementare ad FDe¯nizione 1.1.14Sia E IK-spazio vettoriale e sia  : E ! IR un funzionale (si ricorda che per una funzionede¯nita su uno sp.vett. a valori in IK si riserva il nome di funzionale). Diciamo che: ²  µ sub-additivo se ( + ) · () + () 8  2 E e 11
  15. 15. ²  µ positivamente omogeneo se () = () 8 2 E e 8  0. e ²  µ assolutamente omogeneo se () = jj() 8 2 E e 8 2 IK e ²  µ una seminorma se µ sub-additivo e assolutamente omogeneo e e ²  µ una norma se µ una seminorma e se () = 0 ,  = E . Usualmente per e e denotare il funzionale norma si riserva il simbolo k ¢ kE .Propriet¶ 1.1.10 aSia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia  : E ! IR una seminorma su ETs:  µ non negativa ed inoltre j() ¡ ()j · ( + ) 8  2 E eDe¯nizione 1.1.15Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un insieme radiale in E . Fissato unvettore  2E consideriamolinsieme f  0 :  2 Ag che µ non vuoto per la radialit¶ di e aA in E . Posto ciµ de¯niamo allora il seguente funzionale non negativo: o A : E ! IR con A () := inff  0 :  2 Ag 8 2 Eche prende il nome di funzionale di Minkowsky associato ad A.Propriet¶ 1.1.11 aSia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un insieme radiale in ETs: Valgono allora i seguenti fatti:() A µ positivamente omogeneo e() Se A µ equilibrato allora A µ assolutamente omogeneo e e() Se A µ convesso allora A µ sub-additivo e e() Se A µ assolutamente convesso allora A µ una seminorma e e 12
  16. 16. Propriet¶ 1.1.12 aSia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un insieme radiale in ETs: Valgono allora i seguenti fatti:() A µ ¡1([0 1]) A() Se A µ equilibrato o convesso allora ¡1 ([0 1[) µA e A() Se A µ convesso allora A0 = ¡1 ([0 1[) e ATeorema 1.1.7Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia AµE un insieme radiale in E ; sia  : E ! IRun funzionale positivamente omogeneoTs: j()j · 1 8 2 A , j()j · A () 8 2EPropriet¶ 1.1.13 aSiano E ed F due IK-spazi vettoriali; siano XµE e YµF non vuoti; sia  : X ! Y unafunzione; sia 0 2F e consideriamo  : X ! Y + 0 con () = () + 0 8 2 XTs: () = () + (E  0)Propriet¶ 1.1.14 aSia E uno spazio vettoriale su IK; siano A,BµE sottoinsiemi non vuoti e sia  2 IK n f0gTs: maxf(A) (B)g · (A + B) e (A) = (A)1.2 Nozioni topologiche propedeutiche Diamo qui di seguito de¯nizioni e proprietµ di natura topologica, propedeutiche ai a¯ni della presente tesi. Per un resoconto piµ dettagliato si veda D.C. Demaria [3]. u 13
  17. 17. De¯nizione 1.2.1Sia X un insieme non vuoto e siano 1 e 2 due topologie su X. Diciamo allora che latopologia 1 µ meno ¯ne o piµ grossolana della topologia 2 e scriviamo 1 · 2 se e uvale linclusione 1 µ 2 . Diciamo che 1 e 2 sono equivalenti se 1 = 2.De¯nizione 1.2.2Sia X uno spazio topologico; sia fn gn2IN una successione ordinaria in X e sia  2X.Diciamo allora che la successione fn gn2IN converge a  se: 8U µ X intorno di  9 2 IN tc n 2 U 8n ¸ Si fa osservare che una successione puµ avere piµ punti di convergenza cioµ non µ detto o u e eche valga lunicit¶ del limite. Denotiamo allora con: a lim n n!1linsieme dei punti di convergenza della successione fn gn2IN . La circostanza che  2limn!1 n si esprime anche con le scritture: lim n =  oppure  = n!1 n lim n!1facendo attenzione al fatto che questa µ solo una simbologia, nel senso che se 1 2 2 elimn!1 n cioµ sfruttando la notazione ora introdotta 1 = limn!1 n = 2 , allora non µ e edetto che 1 = 2 poich¶ come suddetto il limite non µ necessariamente unico. e eDe¯nizione 1.2.3Diciamo che uno spazio topologico µ di Hausdor® se per ogni coppia di punti distinti eesistono due rispettivi intorni disgiunti. Banalmente sottospazi topologici di uno spaziodi Hausdor® sono di Hausdor®. 14
  18. 18. Teorema 1.2.1 (Unicitµ del limite in uno spazio di Hausdor® ) aSia X uno spazio topologico di Hausdor® e sia fn gn2IN una successione ordinaria in XTs: se fn gn2IN ammette limite in X allora questo µ unico eDe¯nizione 1.2.4Sia T un insieme non vuoto; sia X uno spazio topologico di Hausdor®; sia ffn gn2IN in XTe sia f 2 XT . Diciamo allora che la successione ffn gn2IN converge puntualmente ad fse per ogni ¯ssato  2T la successione ffn ()gn2IN converge al punto f().De¯nizione 1.2.5Sia X un insieme non vuoto e sia F una famiglia di parti di X. Diciamo allora che lafamiglia F µ un ricoprimento di X se lunione dei suoi membri µ tutto X. Se G µ una e e esottofamiglia di F diciamo allora che µ un sottoricoprimento di F se a sua volta µ un e ericoprimento di X. Un ricoprimento si dice ¯nito se contiene un numero ¯nito di insiemi.Nel caso in cui X µ munito di una struttura topologica allora diremo che il ricoprimento eF µ aperto se i suoi elementi sono degli aperti. eDe¯nizione 1.2.6Sia X uno spazio topologico, diciamo allora che X µ compatto se ogni suo ricoprimento eaperto ammette un sottoricoprimento ¯nito. Se AµX µ un insieme, diciamo allora che A eµ compatto se µ compatto nella relativizzazione ad esso della topologia di X. Si veri¯cae efacilmente che i punti di uno spazio topologico sono compatti.Teorema 1.2.2Sia (X, ) uno spazio topologico; sia AµX un insieme [ n [Ts: A µ compatto , 8fAi gi2I in  tc A µ e Ai 9i1     in 2 I tc A µ Aij i2I j=1 15
  19. 19. Propriet¶ 1.2.1 aSia X uno spazio topologico e sia AµX un insiemeTs: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:() Se X µ compatto e A µ chiuso allora A µ compatto e e e() Se X µ di Hausdor® e A µ compatto allora A µ chiuso e e eDe¯nizione 1.2.7Diciamo che uno spazio topologico µ -compatto se si puµ scrivere come unione al piµ e o unumerabile (cioµ ¯nita o numerabile) di compatti. eDe¯nizione 1.2.8Un sottoinsieme di uno spazio topologico si dice denso se la sua chiusura coincide conlintero spazio.Teorema 1.2.3Sia X uno spazio topologico e sia DµX un sottoinsiemeTs: D µ denso , 8­ µX aperto non vuoto D­ 6= ; eDe¯nizione 1.2.9Sia X uno spazio topologico; sia 0 2X e sia U una famiglia di intorni di 0, diciamoallora che tale famiglia µ una base o un sistema fondamentale di intorni di 0 se: e 8U µ X intorno di 0 9V 2 U tc V µ UDe¯nizione 1.2.10Diciamo che uno spazio topologico µ I-numerabile se in ogni punto ammette una base efondamentale di intorni al piµ numerabile. Il vantaggio principale che o®rono gli spazi u 16
  20. 20. topologici I-numerabili µ che si puµ lavorare con successioni ordinare invece che con e osuccessioni generalizzate, cioµ si puµ fare uso di criteri sequenziali. e oTeorema 1.2.4Sia X uno spazio topologico I-numerabile; sia AµX sottoinsieme e sia 0 2XTs: 0 2 A , 9fn gn2IN successione ordinaria in A convergente verso 0Corollario 1.2.1Sia X uno spazio topologico I-numerabile; sia AµX sottoinsiemeTs: A µ chiuso , Ogni successione ordinaria in A convergente ha limite in A eDe¯nizione 1.2.11Un sottoinsieme di uno spazio topologico si dice raro se la sua chiusura ha interno vuoto.De¯nizione 1.2.12Un sottoinsieme di uno spazio topologico si dice di I-categoria se si puµ scrivere come ounione al piµ numerabile di insiemi rari. Banalmente linsieme ; µ di I-categoria. Diciamo u eche un sottoinsieme di uno spazio topologico µ di II-categoria se non µ di I-categoria. e eEssendo ; di I-categoria allora necessariamente ogni insieme di II-categoria µ non vuoto. eDe¯nizione 1.2.13Diciamo che uno spazio topologico µ di Baire se ogni aperto non vuoto µ di II-categoria. e eDe¯nizione 1.2.14Siano X ed Y due spazi topologici; sia f:X!Y una funzione e sia 0 2X diciamo allorache f µ continua in 0 se: e 8V µ Y intorno di f(0) 9U µ X intorno di 0 tc f(U) µ V 17
  21. 21. Diciamo che f µ continua se µ continua in ogni punto di X. Si denota con  0 (X Y) e elinsieme di tutte le funzioni continue da X in Y. Si veri¯ca facilmente che restrizioni ecomposizioni di funzioni continue sono ancora funzioni continue.Teorema 1.2.5Siano X ed Y due spazi topologici; sia f:X!Y una funzione e sia 0 2XTs: f µ continua in 0 , 8VµY intorno di f(x0 ) allora f ¡1(V) µ un intorno di 0 e eTeorema 1.2.6Siano X ed Y due spazi topologici; sia f:X!Y una funzioneTs: Sono allora equivalenti:(1) f µ continua e(2) 8AµY aperto allora f ¡1 (A) µ aperto e(3) 8CµY chiuso allora f ¡1 (C) µ chiuso eTeorema 1.2.7Siano X ed Y spazi topologici con X I-numerabile; sia f:X!Y una funzione e sia 0 2XTs: f µ continua in 0 , 8fn gn2IN in X tc !1 n = 0 allora !1 f(n ) = f(0 ) e lim limPropriet¶ 1.2.2 aSiano X ed Y due spazi topologici; sia AµX compatto; sia f:X!Y una funzione continuaTs: f(A) µ un compatto eDe¯nizione 1.2.15Siano X ed Y due spazi topologici; sia f:X!Y una funzione bigettiva, diciamo allora che fµ un omeomor¯smo se µ continua assieme alla sua inversa. In tal caso X ed Y si diconoe eomeomor¯. Una proprietµ  si dice topologica se µ invariante per omeomor¯smo (ad a e 18
  22. 22. esempio la compattezza). Si veri¯ca facilmente che linversa di un omeomor¯smo µ un eomeomor¯smo e che la composizione di omeomor¯smi µ un omeomor¯smo. eDe¯nizione 1.2.16Siano X ed Y due spazi topologici e sia f:X!Y una funzione. Diciamo allora che f µ eaperta se ¶ mappa di aperti. Analogamente diciamo che f µ chiusa se ¶ mappa di chiusi. e e eTeorema 1.2.8Siano X ed Y due spazi topologici; sia f:X!Y una funzione biettiva e continuaTs: Sono allora equivalenti:(1) f µ un omeomor¯smo e(2) f µ aperta e(3) f µ chiusa eTeorema 1.2.9Siano X ed Y due spazi topologici; sia f:X!Y una funzioneTs: f µ aperta , 80 2X e 8U µ X intorno di 0 allora f(U) µ un intorno di f(0) e ePropriet¶ 1.2.3 aSiano X ed Y due insiemi non vuoti; sia AµX insieme; sia f:X!Y una funzioneTs: f(A) = f 2 Y : f ¡1 () A 6= ;g e Y n f(X n A) = f 2 Y : f ¡1 () µ AgTeorema 1.2.10Siano (X,X ) ed (Y,Y ) due spazi topologici; sia f:X!Y una funzioneTs: Sono allora equivalenti:(1) f µ aperta e(2) 80 2 Y 8­ 2 X tc f ¡1 (0 )­ 6= ; 9V µ Y intorno di 0 tc f ¡1 ()­ 6= ; 8 2 V 19
  23. 23. Dim (1))(2)Sia 80 2 Y e ­ 2 X tc f ¡1 (0 ) ­ 6= ; allora per la proprietµ 1.2.3 scegliamo V=f(­). aDim (2))(1)Sia AµX aperto e proviamo quindi che f(A) µ intorno di ogni suo punto. Sia 0 2f(A) esegue allora dalla proprietµ 1.2.3 che f ¡1 (0 ) A 6= ; segue allora dallipotesi che a9V µ Y intorno di 0 tc f ¡1 () ­ 6= ; 8 2 V segue dalla proprietµ 1.2.3 che Vµf(A) ae pertanto essendo V un intorno di 0 allora anche f(A) lo µ. eTeorema 1.2.11Siano X ed Y spazi topologici; sia f:X!Y funzione chiusa t.c. f ¡1 () compatto 8 2 YTs: 8K µ Y compatto allora f ¡1 (K) µ compatto. eDimSia fAi gi2I un ricopr. aperto di f ¡1(K). Fissiamo un  2K ed osserviamo che in particolarela famiglia fAi gi2I µ un ricopr. aperto di f ¡1 () che µ compatto per ipotesi e quindi: e e [ 9I µ I ¯nito tc f ¡1 () µ Ai (1.1) i2I Sponiamo B := i2I Ai che µ un aperto di X in quanto unione di aperti. Consideriamo eadesso linsieme ­ := Y n f(XnB ) che µ un aperto essendo per ipotesi f chiusa. E quindi eal variare di  in K otteniamo la famiglia di aperti f­ g2K di F che µ un ricoprimento di eK, infatti preso ad arbitrio  2K allora per la 1.1 segue che f ¡1 () µ B e quindi seguedalla proprietµ 1.2.3 che  2 Y n f(X n B ) =: ­ . E quindi essendo K compatto allora: a n [ 91      n 2 K tc K µ ­j (1.2) j=1Vogliamo veri¯care che: n [ f ¡1 (K) µ Bj j=1 20
  24. 24. Sia  2 f ¡1 (K) ) f() 2 K segue allora dalla 1.2 che 9j = 1     n tc f() 2 ­j )f() 2 Y n f(XnBj ) ) f() 62 f(XnBj ) )  62 X n Bj )  2 Bj . E si concludeessendo banalmente per costruzione fB1      Bn g un sottoricopr. ¯nito di fAi gi2I .Teorema 1.2.12Sia X un insieme non vuoto e siano 1 e 2 due topologie su XTs: Sono allora equivalenti:(1) 1 · 2(2) 80 2X e 8U µX 1 -intorno di 0 ) U µ un 2-intorno di 0 e(3) ldentit¶ X : (X 2 ) ! (X 1 ) µ continua a eCorollario 1.2.2Sia X un insieme non vuoto e siano 1 e 2 due topologie su XTs: Sono allora equivalenti:(1) 1 = 2(2) 80 2X e 8U µX allora U µ un 1-intorno di 0 , U µ un 2 -intorno di 0 e e(3) ldentit¶ X : (X 2 ) ! (X 1 ) µ un omeomor¯smo a eDe¯nizione 1.2.17Sia X un insieme non vuoto e sia  una famiglia di parti di X. Si veri¯ca facilmente chein generale data una famiglia di topologie su X allora lintersezione di queste topologieµ ancora una topologia su X. Tenendo conto di quanto detto si de¯nisce topologiaegenerata dalla famiglia  e la si denota con  , lintersezione di tutte le topologie suX, contenenti la famiglia  (ovviamente di queste topologie ne esiste almeno una, poich¶ ebasta considerare ad esempio la topologia discreta). E quindi per de¯nizione  altro non 21
  25. 25. µ che la topologia meno ¯ne su X contenente la famiglia . Considerate le famiglie:e 8 9 < n = G := :G µ X : 9A1      An 2 a tc G = Aj ; j=1 ( ) [ H := H µ X : 9fGi gi2I in G tc H = Gi i2Isi puµ dimostrare che la topologia  puµ essere espressa nel seguente modo: o o  = f; Xg [ HSi osserva che nel caso in cui  µ chiusa rispetto allintersezione ¯nita allora a=G e quindi ein tal caso i membri della topologia  si riducono allunione di membri della famiglia .De¯nizione 1.2.18Siano X1      Xn spazi topologici. Si considera allora sul prodotto cartesiano X1 £¢ ¢ ¢£Xn ,la topologia generata dalla famiglia: fA1 £ ¢ ¢ ¢ £ An : Ai µ Xi aperto 8i = 1     ngdetta topologia prodotto. Si veri¯ca facilmente che la famiglia generante µ chiusa erispetto allintersezione ¯nita. Una proprietµ  si dice produttiva se il prodotto di aspazi godenti della proprietµ  µ ancora uno spazio godente della proprietµ  . a e aTeorema 1.2.13Siano X ed Y due spazi topologici; sia WµX£Y e sia (0  0 ) 2X£YTs: W µ un intorno di (0  0 ) , 9U µ X e V µ Y risp. intorni di 0 e 0 t.c. U£VµW eTeorema 1.2.14Siano X ed Y due spazi topologiciTs: Valgono allora le seguenti a®ermazioni: 22
  26. 26. () X£Y µ di Hausdor® , X ed Y sono di Hausdor® e() X£Y µ I-numerabile , X ed Y sono I-numerabili eTeorema 1.2.15Siano X ed Y due spazi topologici di Hausdor®; siano fn gn2IN e fn gn2IN successionirispettivamente in X ed in Y convergenti µ ¶Ts: n!1(n  n ) = lim lim n  n!1 n lim n!1De¯nizione 1.2.19Siano X ed Y due insiemi non vuoti, chiamiamo allora proiezione su X, la funzione: X : X £ Y ! X con X ( ) =  8( ) 2 X £ YAnalogamente si de¯nisce la proiezione su Y.Propriet¶ 1.2.4 aSiano X ed Y due spazi topologiciTs: La proiezione X µ continua, aperta e surgettiva eTeorema 1.2.16Siano X, Y e Z spazi topologici; siano f:X!Y e g:X!Z due funzioni e sia h:X! Y £ Zcon h() = (f() g()) 8 2XTs: h µ continua , f e g sono continue eTeorema 1.2.17 (della diagonale)Siano X, Y, W e Z spazi topologici; siano f:X!W e g:Y!Z due funzioni e sia h:X £ Y !W £ Z con h( ) = (f() g()) 8( ) 2 X £ Y detta funzione diagonaleTs: h µ continua , f e g sono continue e 23
  27. 27. Teorema 1.2.18Siano X, Y e Z spazi topologici; sia f:X £ Y !Z e una funzione continuaTs: f µ continua separatamente cioµ ¯ssati  2X e  2Y allora f( ¢) e f(¢ ) sono continue e eTeorema 1.2.19Sia X spazio topologico; sia Y spazio topologico di Hausdor®; sia f:X!Y continuaTs: (f) µ chiuso eTeorema 1.2.20Siano X ed Y spazi topologici; sia f:X!Y una funzione a gra¯co chiusoTs: f ¡1 () µ chiuso 8 2Y eDe¯nizione 1.2.20Sia X un insieme non vuoto, e sia  : X £ X ! IR una funzione. Diciamo allora che  µ euna metrica su X se soddisfa alle seguenti tre proprietµ: a(1) ( ) = ( ) 8  2X(2) ( ) · ( ) + ( ) 8   2X(3) ( ) = 0 ,  = La coppia (X ) prende il nome di spazio metrico. Si verifca facilmente che la metrica µ una funzione non negativa. Se A µX µ un insieme non vuoto allora si veri¯ca facilmentee eche la restrizione jA£A µ una metrica su A e si chiama metrica indotta. eDe¯nizione 1.2.21Sia (X,d) uno spazio metrico. Fissati 0 2X e   0 allora linsieme: (0  ) := f 2 X : (0 )  gµ detto sfera (aperta) di centro 0 e raggio .e 24
  28. 28. De¯nizione 1.2.22Sia (X,d) uno spazio metrico. La topologia generata dalla famiglia di sfere: f( ) :  2 X e   0gµ detta topologia indotta dalla metrica ed µ la topologia che si considera su (X,).e eSe A µ X µ un insieme non vuoto allora si dimostra facilmente che la topologia indotta edalla metrica indotta su A coincide con la relativizzazione ad A della topologia di X.Teorema 1.2.21Sia (X,) uno spazio metrico; sia UµX insieme non vuoto e sia 0 2XTs: U µ un intorno di 0 , 9  0 t.c. (0  ) µU eCorollario 1.2.3Sia (X,) uno spazio metrico; sia AµX insieme non vuoto [Ts: A µ aperto , 9f g2A in ]0 +1[ t.c. A= e ( ) 2ADe¯nizione 1.2.23Sia (X,) uno spazio metrico. Fissati 0 2X e   0 allora linsieme: (0  ) := f 2 X : (0  ) · gµ detto sfera chiusa di centro 0 e raggio . Si veri¯ca facilmente che ogni sfera chiusaeµ un chiuso. Ovviamente (0 ) µ (0 ) e passando alle chiusure si ha (0  ) µe(0  ), linclusione inversa non µ sempre vera. eDe¯nizione 1.2.24Un sottoinsieme di uno spazio metrico si dice limitato se esiste una sfera che lo contiene. 25
  29. 29. De¯nizione 1.2.25Sia (X,) uno spazio metrico e siano 0 2X e AµX insieme non vuoto. Si de¯nisce alloradistanza del punto 0 dallinsieme A, il numero non negativo: (0  A) := inf (0 ) 2ADe¯nizione 1.2.26Sia (X,) uno spazio metrico. Diciamo che una succ. fn gn2IN in X µ di Cauchy se: e 8  0 9 2 IN tc (n  m )   8n m  Si osserva immediatamente che equivalentemente una succ. fn gn2IN µ di Cauchy se: e 8  0 9 2 IN tc (n+p  n )   8n   e 8p 2 INPropriet¶ 1.2.5 aSia (X,) uno spazio metrico; sia fn gn2IN una successione ordinaria in XTs: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:() Se fn gn2IN µ convergente allora µ di Cauchy e e() Se fn gn2IN µ di Cauchy allora µ limitata e e() Se fn gn2IN µ convergente allora µ limitata e ePropriet¶ 1.2.6 aSia (X,) uno spazio metrico; sia fn gn2IN una successione ordinaria in X; sia fn gn2INuna successione ordinaria in IR+ := [0 +1[ in¯nitesima t.c. (n+p  n ) · n 8n p 2 INTs: fn gn2IN µ una successione di Cauchy ePropriet¶ 1.2.7 aSia (X,d) uno spazio metricoTs: X µ di Hausdor® e I-numerabile e 26
  30. 30. De¯nizione 1.2.27Diciamo che uno spazio metrico µ completo se ogni succ. di Cauchy µ convergente. e ePropriet¶ 1.2.8 aSia (X,d) uno spazio metrico; sia AµX insiemeTs: Valgono allora le seguenti a®ermazini:() Se A µ completo allora A µ chiuso e e() Se X µ completo e A µ chiuso allora A µ completo e e eTeorema 1.2.22Sia (X,d) uno spazio metrico completoTs: X µ di Baire ePropriet¶ 1.2.9 aSia X uno spazio topologico; sia (Y,) uno spazio metrico; sia 0 2X; sia f:X!Y funzioneTs: Se f µ continua in 0 allora f µ limitata su un intorno di 0 e eDe¯nizione 1.2.28Siano (X,) e (Y,) spazi metrici; sia f:X!Y funzione. Diciamo che f µ lipschitziana se: e 9L  0 tc (f() f()) · L( ) 8  2 Xla costante L prende il nome di costante di lipschitz.Propriet¶ 1.2.10 aSiano (X,) e (Y,) due spazi metrici e sia f:X!Y una funzione lipschitzianaTs: f µ continua e 27
  31. 31. De¯nizione 1.2.29Siano (X,) e (Y,) spazi metrici; sia f:X!Y funzione. Diciamo che f µ unisometria se: e (f() f()) = ( ) 8  2 Xcio¶ f preserva le distanze- Nel caso in cui la f µ anche surgettiva allora gli spazi X ed Y e esi dicono isometrici. Banalmente unisometria puµ essere rigurdata come una funzione olipschitziana con costante di lipschitz 1.Propriet¶ 1.2.11 aSiano (X,) e (Y,) due spazi metrici e sia f:X!Y unisometriaTs: Valgono allora i seguenti fatti:() f µ iniettiva e() f ¡1 : f(X) ! X µ unisometria e() f µ un omeomor¯smo tra X ed f(X) e() se f µ surgettiva allora X ed Y sono omeomor¯ ePropriet¶ 1.2.12 aSia X uno spazio topologico; sia 0 ; sia f : X ! C una funzione ITs: f µ continua in 0 , f e f sono continue in 0 eDe¯nizione 1.2.30Sia X uno spazio topologico; sia f:X! IR una funzione. Diciamo allora che la funzione fµ semicontinua inferiormente (brevemente s.c.i.) se per ogni  2 IR il sottolivello:e f 2 X : f() · gµ un chiuso. Banalmente se f µ continua allora f µ s.c.i..e e e 28
  32. 32. Propriet¶ 1.2.13 (s.c.i dellinviluppo superiore) aSia X uno spazio topologico; sia ffi gi2I famiglia di funzioni de¯nite da X in IR s.c.i.Ts: La funzione f() := sup fi () 8 2X µ s.c.i. e i2I1.3 Cenni sugli spazi vettoriali topologici Nella maggioranza dei casi in cui si considera uno spazio vettoriale concreto E, inesso vi µ gi¶ una certa convergenza naturale che determina la topologia in E, la quale e ain generale risula compatibile con le operazioni algebriche dello spazio. In questa tesi ciinteressa soprattutto il caso in cui tale topologia puµ essere assegnata a mezzo di una onorma, cioµ il caso in cui E µ uno spazio normato. Noi tuttavia, considereremo dapprima e eil caso piµ generale degli spazi vettoriali topologici. Ciµ µ motivato, da una parte, dal u oefatto che molte questioni relative agli spazi normati vengono risolti per via naturale gi¶ aa questo livello generale. Lintroduzione che qui o®riamo alla teoria elementare deglispazi vettoriali topologici persegue soltanto gli scopi necessari ai ¯ni della presente tesi epertanto non pretende di essere integrale e completa. Per una esposizione piµ dettagliata udegli spazi vettoriali topologici si veda N. Bourbaki [7].De¯nizione 1.3.1Sia E un IK-spazio vettoriale; sia  una topologia su E e consideriamo le seguenti funzioni:  : E £ E ! E con s( ) :=  +  8   2 E  : IK £ E ! E con p( ) :=  8  2 E e 8 2 IKDiciamo allora che  µ una topologia vettoriale se le funzioni somma  e prodotto , esono continue. In tal caso si dice che E munito della topologia vettoriale  , µ uno spazio e 29
  33. 33. vettoriale topologico. Se F µ E µ un s.sp.vett. allora si veri¯ca facilmente che la erelativizzazione ad esso della topologia vettoriale di E µ ancora una topologia vettoriale. eUna particolarit¶ degli spazi vettoriali topologici µ che nella maggior parte dei casi i a eprocedimenti dimostrativi si possono sempli¯care mediante opportune traslazioni.Teorema 1.3.1Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia  una proprietµ topologica; sia AµE insieme agodente della proprietµ  ; siano 0 2E e  2 IK aTs: Gli insiemi 0 +A e A godono della proprietµ  aDimConsideriamo f:E!E con f() = 0 +  8 2E che µ un omeomor¯smo essendo E euno spazio vettoriale topologico, e quindi essendo  una proprietµ topologica, segue che alinsieme f(A)=0 +A gode della proprietµ  . Analogamente si veri¯ca che linsieme A agode della proprietµ  infatti basta considerare loperatore g:E!E con g() =  8 2E. aTeorema 1.3.2Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia  una proprietµ invariante per continuit¶ e a aproduttiva; siano A,BµE due sottoinsiemi godenti della proprietµ  aTs: A+B gode della proprietµ  aDimConsideriamo f:E £ E ! E con f( ) =  +  8( ) 2 E £ E che µ continuo essendo E euno spazio vettoriale topologico e quindi per la produttivit¶ e linvarianza rispetto alla acontinuit¶ della proprietµ  segue che linsieme f(A£B)=A+B gode della proprietµ  . a a aPropriet¶ 1.3.1 aSia E uno spazio vettoriale topologico; sia UµE; sia 0 2E 30
  34. 34. Ts: U µ intorno di 0 , 9W µ E intorno di E tc U =0 + W eCorollario 1.3.1Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia 0 2E e sia UµE intorno di 0Ts: U¡0 µ un intorno di E ePropriet¶ 1.3.2 aSia E uno spazio vettoriale topologico; sia UµE intorno di E ; sia  2 IKTs: U µ un intorno di E ePropriet¶ 1.3.3 aSia E uno spazio vettoriale topologico; sia UµE intorno di ETs: U µ radiale in E eCorollario 1.3.2Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia AµE insiemeTs: (A) µ A0DimConseguenza della proprietµ 1.3.1, della proprietµ 1.3.3 e della proprietµ 1.1.4. a a aCorollario 1.3.3Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia AµE un insieme apertoTs: A = A0Corollario 1.3.4Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia FµE un s.sp.vett. con interno non vuotoTs: E=F 31
  35. 35. DimConseguenza immediata del corollario 1.3.2 e del corollario 1.1.2.Propriet¶ 1.3.4 aSia E uno spazio vettoriale topologico; sia UµE intorno di ETs: 9VµE intorno di E t.c. V+VµUTeorema 1.3.3Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia F la famiglia degli intorni di E equilibratiTs: F µ una base fondamentale di intorni di E eTeorema 1.3.4Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia AµE un sottoinsieme; sia H una basefondamentale di intorni di E Ts: A = (A + V) V2HCorollario 1.3.5Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia WµE intorno di ETs: W µ W + WPropriet¶ 1.3.5 aSia E uno spazio vettoriale topologico; sia H una base fondamentale di intorni di ETs: Le famiglie fW + WgW2H e fWgW2H sono basi fondamentali di intorni di EDimPer la proprietµ 1.3.4 segue immediatamente che la famiglia fW + WgW2H µ una base a efondamentale di intorni di E , e da ciµ assieme al corollario 1.3.5 segue che anche la ofamiglia fWgW2H µ una base fondamentale di intorni di E . e 32
  36. 36. Propriet¶ 1.3.6 aSia E uno spazio vettoriale topologico di Hausdor®; siano fn gn2IN e fn gn2IN duesuccessioni in E convergenti; siano fn gn2IN e fn gn2IN due successioni in IK convergentiTs: n!1[n n + n n ] = n!1 n n!1 n + n!1 n n!1 n lim lim lim lim limPropriet¶ 1.3.7 aSia E uno spazio vettoriale topologico; sia AµE insieme; sia 0 2E e sia  2 IKTs: 0 + A = 0 + A e (0 + A) = 0 + (A)Propriet¶ 1.3.8 aSia X uno spazio topologico; sia E uno spazio vettoriale topologicoTs: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:() 8f g 2  0 (X E) e 8 2  0 (X IK) allora f + g f 2  0 (X E)()  0(X E) µ un sottopazio vettoriale di EX eDe¯nizione 1.3.2Sia E uno spazio vettoriale topologico di Hausdor®; sia fn gn2IN una succ. in E. Diciamoallora serie associata ad fn gn2IN la somma degli in¯niti termini di fn gn2IN . Fissatok 2 IN diciamo ridotta k-esima o somma parziale k-esima il vettore: k X k := n n=1La succ. fk gk2IN µ detta succ. delle ridotte associata alla serie data. Diciamo che la eserie µ convergente se la succ. delle ridotte ad essa associata µ convergente ed il limite e eprende il nome di somma della serie.Propriet¶ 1.3.9 aSia E uno spazio vettoriale topologico di Hausdor®; sia fn gn2IN una successione ordinaria 33
  37. 37. P1in E e supponiamo che la serie n=1 n sia convergenteTs: La successione fn gn2IN converge a EPropriet¶ 1.3.10 aSia E uno spazio vettoriale topologico; sia FµE un sottospazio vettorialeTs: F µ un sottospazio vettoriale eCorollario 1.3.6Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia SµE una variet¶ a±ne aTs: S µ una variet¶ a±ne e aDimConseguenza immediata della proprietµ 1.3.7 e della proprietµ 1.3.10. a aDe¯nizione 1.3.3Sia E uno spazio vettoriale topologico e sia AµE un insieme non vuoto, diciamo allorachiusura lineare di A e la denotiamo con (A), lintersezione di tutti i s.sp.vett.chiusi di E che contengono A, ovvero il piµ piccolo s.sp.vett. chiuso di E contenente A. uPropriet¶ 1.3.11 aSia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un sottoinsieme non vuotoTs: (A) = (A)De¯nizione 1.3.4Sia E uno spazio vettoriale topologico. Diciamo che un insieme AµE µ limitato se: e 8U µ E intorno di E 9  0 tc A µ UBanalmente sottoinsiemi di limitati sono limitati. 34
  38. 38. Propriet¶ 1.3.12 aSia E uno spazio vettoriale topologico; siano A,BµE insiemi limitati; sia 0 2E; sia  2 IKTs: Gli insiemi f0 g, A+B, 0 +A, A, A B, A [ B sono limitatiTeorema 1.3.5Sia E uno spazio vettoriale topologico; siano A,BµE non vuoti con A compatto e B chiusoTs: A+B µ chiuso eTeorema 1.3.6Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia VµE un intorno di E convesso; Sia V :E ![0 +1[ il funzionale di Minkowsky associato a VTs: Valgono allora i seguenti fatti:() (V) = ¡1 ([0 1[) V() V = ¡1 ([0 1]) V() V = ¡1 (1) VTeorema 1.3.7Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia AµE un insieme convesso con (A) 6= ;Ts: Valgono allora i seguenti fatti:() A = (A)() (A) = A0() A = A0De¯nizione 1.3.5Diciamo che uno spazio vettoriale topologico E µ localmente convesso se ammette una ebase fondamentale di intorni E convessi. 35
  39. 39. Teorema 1.3.8Sia E uno spazio vettoriale topologico e sia UµE un intorno di E convessoTs: 9V µE intorno di E assolutamente convesso t.c. VµUCorollario 1.3.7Sia E uno spazio vettoriale topologico localmente convessoTs: E ammette una base fond. di intorni di E assolutamente convessiDe¯nizione 1.3.6Sia E un IK-spazio vettoriale; sia :E! [0 +1[ una seminorma su E; siano  2E e r 0.Si de¯nisce semisfera relativa alla seminorma , di centro 0 e raggio r linsieme: ( 0  r) := f 2  : ( ¡ 0 )  rgPropriet¶ 1.3.13 aSia E un IK-spazio vettoriale; sia :E! [0 +1[ una seminorma su E; siano 0 2E e r 0Ts: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:() ( 0 r) = 0 + r( E  1)() ( E  r) µ un equilibrato e() ( 0  r) µ un convesso e() 80 2 E 9  0 t.c. ( 0  ) µ ( 0  )De¯nizione 1.3.7Sia E un IK-spazio vettoriale; sia fi gi2I una famiglia di seminorme su E. Si de¯niscetopologia indotta dalla famiglia figi2I , la topologia generata dalla famiglia: f(i   r) : i 2 I  2 E r  0g 36
  40. 40. Si puµ veri¯care che tale topologia su E µ vettoriale. Se F µ E µ un sottospazio o e evettoriale e consideriamo la famiglia di seminorme fijF gi2I , allora si veri¯ca facilmenteche la topologia indotta su F da tale famiglia, coincide con la relativizzazione ad F dellatopologia di E. Diciamo che una famiglia di seminorme ¶ meno ¯ne di unaltra famiglia edi seminorme se la topologia da essa indotta µ meno ¯ne della topologia indotta dallaltra efamiglia. Diciamo che due famiglie di seminorme su E sono equivalenti se inducono allamedesima topologia. Nel caso in cui la famiglia di seminorme sia costituita da una solaseminorma  allora lo spazio si dice seminormato e lo si denota con la coppia (E ). Inparticolare se tale seminorma µ pure una norma k ¢ kE allora lo spazio si dice normato. eTeorema 1.3.9Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia fi gi2I una famiglia di seminorme su Einducente la topologia di E; sia UµE e sia 0 2E n Ts: U µ un intorno di 0 , 9i1     in 2 I e r 0 t.c. e (ij  0  r) µU j=1De¯nizione 1.3.8Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia fi gi2I una famiglia di seminorme su E,diciamo allora che tale famiglia µ saturata se: e 8i1  i2 2 I 9i3 2 I tc i3 () ¸ maxfi1 () i2 ()g 8 2 ETeorema 1.3.10Sia E uno spazio vettoriale su IK; sia fi gi2I una famiglia di seminorme su ETs: 9 una famiglia di seminorme su E saturata equivalente a fi gi2ITeorema 1.3.11Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia fi gi2I una famiglia saturata di seminorme su 37
  41. 41. E inducente la topologia di E; sia UµE e sia 0 2ETs: U µ un intorno di 0 , 9i 2 I e r 0 t.c. (i 0  r) µU ePropriet¶ 1.3.14 aSia E uno spazio vettoriale topologico; sia fi gi2I una famiglia di seminorme su Einducente la topologia di ETs: Le seminorme della famiglia fi gi2I sono continueTeorema 1.3.12Sia (E  ) uno spazio vettoriale topologicoTs: E µ localmente convesso , 9figi2I famiglia di seminorme su E inducente  eTeorema 1.3.13Sia E uno spazio vettoriale topologico localmente convesso e sia quindi fi gi2I una famigliadi seminorme su E, inducente la topologia di ETs: E µ di Hausdor® , 8 2 E n fE g 9i 2 I tc i()  0 eTeorema 1.3.14Sia E uno spazio vettoriale topologico localmente convesso e sia quindi fi gi2I una famigliadi seminorme su E, inducente la topologia di E; sia fn gn2IN una succ. in E e sia 0 2ETs: fn gn2IN converge a 0 , n!1 i(n ¡ 0 ) = 0 8i 2 I limTeorema 1.3.15Sia E uno spazio vettoriale topologico localmente convesso e sia quindi fi gi2I una famigliadi seminorme inducente la topologia vettoriale di E; sia AµE un sottoinsiemeTs: A µ limitato , i (A) µ limitato in IR 8i2I e e 38
  42. 42. Corollario 1.3.8Sia (E,) uno spazio seminormato; sia AµE un sottoinsiemeTs: A µ limitato , 9M  0 tc () · M 8 2 A eDe¯nizione 1.3.9Sia (E,k ¢ kE ) uno spazio normato e consideriamo la funzione:  : E £ E ! [0 +1[ con ( ) = k ¡ kE 8  2 Esi veri¯ca facilmente che tale funzione µ una metrica su E, che prende il nome di metrica eindotta dalla norma. Si evince dalle de¯nizioni 1.2.22 e 1.3.7 che la topologia indottadalla metrica  coincide con quella indotta dalla norma k ¢ kE . E pertanto uno spazionormato puµ essere sempre riguardato come un particolare spazio metrico. oDe¯nizione 1.3.10Uno spazio normato di dice di Banach se µ completo. eTeorema 1.3.16Sia (E,k ¢ kE ) uno spazio normato; sia fn gn2IN una successione ordinaria in E e sia 0 2ETs: fn gn2IN converge a 0 , n!1 kn ¡ 0 kE = 0 limDimConseguenza immediata del teorema 1.3.14.Propriet¶ 1.3.15 aSia (E,k ¢ kE ) uno spazio normato; sia AµE un sottoinsiemeTs: A µ limitato nel senso degli sp. vett. top. , A µ limitato nel senso degli sp. metrici e eDimConseguenza immediata del corollario 1.3.8. 39
  43. 43. Propriet¶ 1.3.16 aSia (E,k ¢ kE ) uno spazio normato e siano 0 2E e   0Ts: (0  ) = (0  )Propriet¶ 1.3.17 aSia (E,k ¢ kE ) uno spazio normato e siano 0 0 2E e    0Ts: (0  ) (0  ) 6= ; ,  +  · k0 ¡ 0 kETeorema 1.3.17Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; siano k ¢ k1 e k ¢ k2 due norme su ETs: Valgono allora i seguenti fatti:() k ¢ k1 µ meno ¯ne di k ¢ k2 , 9 k0 t.c. kk1 · kkk2 8 2E e() k ¢ k1 µ equivalente a k ¢ k2 , 9 c,k0 t.c. ckk2 · kk1 · kkk2 8 2E eTeorema 1.3.18Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; siano k ¢ k1 e k ¢ k2 due norme su E equivalentiTs: E µ k ¢ k1 -di Banach , E µ k ¢ k2-di Banach e eDe¯nizione 1.3.11Siano (E1 k ¢ kE1 )     (En  k ¢ kEn ) n spazi normati, si de¯niscono allora sul prodottocartesiano E := E1 £ ¢ ¢ ¢ £ En i seguenti tre funzionali: kk1 := max ki kEi 8 = (1      ) 2 E 1·i·n v u n uX kk2 := t k k2 i 8 = (1      ) 2 E E i=1 n X kk3 := k kEi 8 = (1       ) 2 E i=1 40
  44. 44. si veri¯ca agevolmente che tali funzionali sono tre norme sul prodotto E, dette normecanoniche. Si veri¯ca inoltre facilmente che: k ¢ k1 · k ¢ k2 · k ¢ k3 · nk ¢ k1 · nk ¢ k2 · nk ¢ k3e tale s¯lza di disuguaglianze per il teorema 1.3.17 ci dice che le tre norme canoniche sonoequivalenti cioµ inducono alla medesima topologia e si puµ provare che tale topologia µ e o eproprio la topologia prodotto su E. Inoltre per il teorema 1.3.18 e per il teorema 1.3.17la s¯lza di disuguaglianza ci dice che se lo spazio prodotto E µ di Banach rispetto ad una edelle norme canoniche allora lo µ anche rispetto alle altre due. eTeorema 1.3.19Siano (E k ¢ kE ) ed (F k ¢ kF ) due spazi normatiTs: E£F µ di Banach , E ed F sono di Banach eDe¯nizione 1.3.12Sia (E k ¢ kE ) uno spazio normato, diciamo allora che tale spazio µ di tipo M se ogni efamiglia di sfere chiuse a due a due non disgiunte ha intersezione non vuota. Si puµ odimostrare che ogni spazio di tipo M µ di Banach. Esempi di spazi di tipo M sono la eretta reale oppure lo spazio funzionale di misura 1 ( § ) se la misura  µ -¯nita. Il ecorpo C rigurdato come spazio vettoriale reale (identi¯cabile quindi con il piano IR2 ), non Iµ di tipo M poich¶ µ facile costruire un sistema di tre cerchi sul piano, due qualunquee eedei quali si intersecano, ma la cui intersezione comune µ vuota. La maggior parte degli espazi funzionali noti non µ di tipo M. Per un approfondimento piµ dettagliato di tali e uspazi si rimanda al Kantarovic-Akilov [6]. Da quanto detto si evince che la classe deglispazi di tipo M µ abbastanza ristretta. e 41
  45. 45. Teorema 1.3.20 (di Kolmogorov)Sia E uno spazio vettoriale topologico di Hausdor® e supponiamo che esista VµE intornodi E assolutamente convesso e limitatoTs: Il funzionale di Minkowsky V µ una norma su E, inducente la topologia di E eTeorema 1.3.21 (di Heine-Pincherle-Borel)Sia Aµ IKn insiemeTs: A µ compatto , A µ chiuso e limitato e eDe¯nizione 1.3.13Sia (E,k ¢ kE ) uno spazio normato e sia fn gn2IN una successione in E, diciamo allora chela serie ad essa associata converge assolutamente se converge la serie reale a termininon negativi associata alla successione fkn kE gn2IN .Teorema 1.3.22Sia (E,k ¢ kE ) uno spazio di Banach; sia fn gn2IN una successione ordinaria in E esupponiamo che la serie ad essa associata converga assolutamente 1 XTs: La serie n µ convergente e n=1De¯nizione 1.3.14Sia H un IK-spazio vettoriale. Diciamo allora che la funzione (¢ ¢)H : H £ H ! IK µ un eprodotto scalare o un prodotto interno, se soddisfa alle seguenti proprietµ: a (1) ( +  )H = ( )H + ( )H 8   2 H e 8  2 IK (2) ( )H = ( )H 8  2 H (3) ( )H ¸ 0 8 2 H (4) ( )H = 0 ,  = H 42
  46. 46. Lo spazio H munito del prodotto scalare si dice spazio pre-hilbertiano o spazioa prodotto scalare e si indica con la coppia (H,(¢ ¢)H ). Dalle precedenti si veri¯cafacilmente che vale anche la seguente proprietµ: a (  + )H = ( )H + ( )H 8   2 H e 8  2 IKquindi il prodotto scalare µ lineare rispetto alla prima variabile ma non lo µ rispetto alla e eseconda variabile. Si puµ dimostrare che vale la seguente disuguaglianza: o q q j( )H j · ( )H ( )Hdetta disuguaglianza di Schwarz-Cauchy. Consideriamo adesso il funzionale: q k ¢ kH : H ! [0 +1[ con kkH := ( )H 8 2 Hallora facendo uso della disuguaglianza di Schwarz-Cauchy, si veri¯ca facilmente che talefunzionale µ una norma su H. La topologia che si considera su H µ quella indotta dalla e enorma appena introdotta, che µ pertanto una topologia vettoriale. Uno spazio a prodotto escalare si dice di Hilbert se µ completo rispetto alla norma suddetta. Un esempio notevole edi prodotto scalare su IKn µ dato dal prodotto scalare euclideo: e n X ( )IKn := i 8 = (1     n )  = (1     n ) 2 IKn i=1infatti si veri¯ca facilmente che questo µ un prodotto scalare. Si osserva inoltre che ela norma indotta dal prodotto scalare euclideo ¶ una delle tre norme canoniche su IKn ee precisamente quella euclidea. Essendo come noto il corpo IK completo, allora per ilteorema 1.3.19 segue che lo spazio IKn risulta essere completo rispetto ad ognuna delletre norme canoniche. E quindi dal ragionamento fatto si desume che lo spazio IKn munitodel prodotto scalare euclideo µ uno spazio di Hilbert. e 43
  47. 47. Propriet¶ 1.3.18 aSia H uno spazio a prodotto scalareTs: (¢ ¢)H : H £ H ! IK µ continuo eDe¯nizione 1.3.15Due vettori di uno spazio a prodotto scalare si dicono ortogonali se il loro prodottoscalare nullo.De¯nizione 1.3.16Sia H uno spazio a prodotto scalare e sia AµH un insieme non vuoto. Diciamocomplemento ortogonale di A e lo indichiamo con A? , linsieme dei vettori di Hortogonali ad ogni vettore di A. Si dimostra facilmente che A? µ un s.sp.vett. chiuso. eTeorema 1.3.23 (fondamentale degli spazi di Hilbert)Sia H uno spazio di Hilbert; sia FµH un sottospazio vettoriale chiusoTs: H=F©F? e F = (F? )?1.4 Teoria di base degli operatori lineariDe¯nizione 1.4.1Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia T:E!F un operatore, diciamo che T µ lineare se: e (1) T( + ) = T() + T() 8  2 E (2) T() = T() 8 2 IK e 8 2 EDenotiamo con (E F) linsieme di tutti gli operatori lineari da E in F. Nel caso F = IKsi denota con E0 := (E IK) e prende il nome di duale algebrico di E. Si osserva che 44
  48. 48. se E ed F sono due sp.vett. su C allora in particolare E ed F saranno due sp.vett. su IR Ie quindi se T:E!F µ un operatore lineare con E ed F considerati come C-sp.vett. allora e Ibanalmente T sar¶ un operatore lineare anche con E ed F considerati come IR-sp.vett.. aTeorema 1.4.1Siano E ed F due spazi vettoriali sul medesimo corpo IK; sia T:E!F un operatoreTs: Sono allora equivalenti:(1) T µ lineare e(2) T( + ) = T() + T() 8  2 IK e 8  2 E(3) T¡1 () + T¡1() µ T¡1( + ) 8  2 IK e 8  2 T(E)(4) gr(T) µ un sottospazio vettoriale di E£F ePropriet¶ 1.4.1 aSiano E ed F due spazi vettoriali sul medesimo corpo IKTs: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:() 8S T 2 (E F) e 8 2 IK allora S + T S 2 (E F)() (E F) µ un sottospazio vettoriale di FE eDe¯nizione 1.4.2Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia T 2 (E F). Chiamiamo nucleo di T linsieme: (T) := T¡1 (F ) = f 2 E : T() = F gPropriet¶ 1.4.2 aSiano E ed F due spazi vettoriali sul corpo IK; sia T 2 (E F)Ts: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:() T µ iniettivo , (T) = fE g e 45
  49. 49. () (T) µ un sottospazio vettoriale di E e() Preso 0 2T(E) e 0 2 T¡1(0 ) allora T¡1 (0) = 0 + (T)() Preso 0 2T(E) allora T¡1 (0) µ una variet¶ a±ne di E e aPropriet¶ 1.4.3 aSiano E ed F due IK-spazi vettoriali; siano T1      Tn 2 (E F); siano 1     n 2 IK n à n ! XTs: (Ti ) µ  i Ti i=1 i=1Propriet¶ 1.4.4 aSiano E ed F due spazi vettoriali sul corpo IK; sia T 2 (E F)Ts: T¡1 ( + ) = T¡1 () + T¡1 () 8  2 IK n f0g e 8  2 T(E)DimFissati   2 IK n f0g e   2 T(E), siano  2 T¡1 () e  2 T¡1 () ed osserviamo cheT( + ) = T() + T() =  + . Per la proprietµ 1.4.2 segue che: a T¡1 () + T¡1() = [ + (T)] + [ + (T)] = =  + (T) +  + (T) = =  +  + (T) = T¡1 ( + )Propriet¶ 1.4.5 aSiano E, F e G IK-spazi vettoriali; siano S 2 (E F) e T 2 (F G)Ts: T ± S 2 (E G) ed inoltre se T µ iniettivo allora (S) = (T ± S) ePropriet¶ 1.4.6 aSiano E ed F IK-spazi vettoriali; sia GµE un s.sp.vett.; sia T 2 (E F)Ts: T(G) µ un sottospazio vettoriale di E e 46
  50. 50. Propriet¶ 1.4.7 aSiano E ed F IK-spazi vettoriali; sia GµE un s.sp.vett.; sia T 2 (E F)Ts: TjG : G ! F µ un operatore lineare ed inoltre (TjG ) = (T) G ePropriet¶ 1.4.8 aSiano E ed F IK-spazi vettoriali; sia AµE un insieme; sia T 2 (E F)Ts: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:() Se A µ convesso allora T(A) µ convesso e e() Se A µ equilibrato allora T(A) µ equilibrato e e() Se A µ assolutamente convesso allora T(A) µ assolutamente convesso e ePropriet¶ 1.4.9 aSiano (E,k ¢ kE ) (F,k ¢ kF ) due spazi normati; sia : E ! F un operatore lineareTs:  µ unisometria , k()kF = kkE 8 2 E ePropriet¶ 1.4.10 aSiano E ed F due spazi vettoriali sul corpo IK; sia AµE t.c. (A)=E; sia T 2 (E F)Ts: Se T µ nullo su A allora T µ identicamente nullo e eDimConseguenza della proprietµ 1.4.2. aCorollario 1.4.1Siano E ed F due IK-spazi vettoriali; sia AµE con A0 6= ;; sia T 2 (E F) non nulloTs: 90 2A t.c. T(0) 6= FDimSupponiamo per assurdo che T sia nullo su A segue allora dal corollario 1.1.1 e dallaproprietµ 1.4.10 che T µ identicamente nullo e siamo ad un assurdo. a e 47
  51. 51. Propriet¶ 1.4.11 aSiano E ed F due spazi vettoriali sul corpo IK; sia AµE un sottoinseme non vuoto; sianoS T 2 (E F) t.c. S() = T() 8 2 ATs: S() = T() 8 2 (A)Propriet¶ 1.4.12 aSiano E ed F due IK-spazi vettoriali; sia AµE insieme; sia T 2 (E F)Ts: T(span(A))=span(T(A))Propriet¶ 1.4.13 aSiano E ed F IK-spazi vettoriali; sia AµE insieme l.i.; sia T 2 (E F) iniettivoTs: T(A) µ l.i. ePropriet¶ 1.4.14 aSiano E ed F IK-spazi vettoriali; sia AµE una base di Hamel; sia T 2 (E F) iniettivoTs: T(A) µ una base di Hamel per T(E) eDimConseguenza immediata della proprietµ 1.4.13 e della proprietµ 1.4.12. a aDe¯nizione 1.4.3Siano E ed F due IK-spazi vettoriali e sia T 2 (E F). Diciamo allora che T µ un eisomor¯smo se µ bigettivo. In tal caso E ed F si dicono isomor¯. Si veri¯ca facilmente eche linversa di un isomorf. µ un isomorf. e che la composizione di isomorf. µ un isomorf.. e eDe¯nizione 1.4.4Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia F un sottospazio vettoriale di E. De¯niamo 48
  52. 52. la seguente relazione su E che si veri¯ca facilmente essere di equivalenza: 8  2 E  »  ,  ¡  2 FTale relazione di equivalenza induce quindi ad una partizione di classi di elementiequivalenti, denotiamo allora con EF linsieme quoziente cioµ la famiglia di tutte le eclassi di equivalenza. Se in EF si considerano le seguenti operazioni: (1) [] + [] = [ + ] 8  2 E (2) [] = [] 8 2 E e 8 2 IKallora si prova che rispetto ad esse EF risulta essere un IK-spazio vettoriale. Detta [] laclasse nulla allora si veri¯ca facilmente che [] = [E ] = F. De¯niamo inoltre loperatore: ¦F : E ! EF con ¦F () = [] 8 2 Edetto proiezione canonica.Teorema 1.4.2Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia FµE un sottospazio vettorialeTs: La proiezione canonica ¦F soddisfa le seguenti proprietµ: a() ¦F µ un operatore lineare e() (¦F ) = F() Se GµE s.sp.vett. complem. ad F allora ¦FjG : G ! EF µ un isomor¯smo eDimVeri¯chiamo la (). Conseguenza immediata delle operazioni sullo spazio EFVeri¯chiamo la (). Sia  2 (¦F ) , ¦F () = F , [] = F ,  2 F.Veri¯chiamo la (). Per la proprietµ 1.4.7 e per la () segue che ¦FjG µ lineare. Inoltre a e 49
  53. 53. sempre per la proprietµ 1.4.7, per la () e per il fatto che F e G sono complementari aosserviamo che (¦FjG ) = (¦F ) G = F G = fE g e quindi segue dalla proprietµ a1.4.2 che ¦FjG µ iniettivo. Ci rimane da provare la suriettivit¶ di ¦FjG . Sia [] 2 EF , e aessendo F e G complementari allora  =  +  per opportuni  2F e  2 G )  ¡  = 2 F )  2 [] ) [] = [] cioµ ¦F () = [] come volevasi. eTeorema 1.4.3Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia AµE base di Hamel per E; sia f:A!F unapplicazioneTs: 9!T:E!F operatore lineare t.c. TjA ´ f ed inoltre:() se f µ iniettiva e f(A) µ linearmente indipendente allora T µ iniettivo e e e() se (f(A))=F allora T µ surgettivo e() se f µ iniettiva e f(A) µ una base di Hamel per F allora T µ un isomor¯smo e e eDimEssendo A una base di Hamel per il teorema 1.1.3 segue che: n X 8 2 E 9!       2 A con  6=  se i 6= j e 9x      x 2 IK tc  = 1 n i j 1 n  (1.3) i i i=1scegliamo allora: n X T : E ! F con T() =  f( ) 8 2 E i i i=1che µ ben posto per lunicit¶ di scrittura dei vettori di E assicurata dalla 1.3 e proviamo e aquindi che µ una buona scelta. Come prima cosa veri¯chiamo che T µ lineare: e e 0 1 0 1 n X m X Xn m X T( + ) = T @   +  i i  j A = T @   + j i i  j A = j i=1 j=1 i=1 j=1 n X m X n X Xm =  f( ) + i i  f( ) =  j j  f( ) +  i i  f( ) = j i i=1 j=1 i=1 j=1 = T() + T() 8  2 E e 8  2 IK 50
  54. 54. Il fatto che T()=f() 8 2A µ evidente, infatti ¯ssato  2A allora essendo un vettore edi A, necessariamente per lunicitµ di scrittura lunica rappresentazione che ammette µ a e = 1 e quindi per costruzione T()=f(). Veri¯chiamo luncit¶ di T, sia quindi S:E!F aun operatore lineare che ristretto ad A coincide con f e proviamo che coincide con T sututto E. Poich¶ TjA = f = SjA segue allora dalla proprietµ 1.4.11 che S=T. e aVeri¯chiamo adesso la (). Adoperiamo la proprietµ 1.4.2. Sia  2 (T) allora: a n X F = T() =  f( ) i i i=1per liniettivitµ della f gli f( ) sono a due a due distinti ed inoltre appartengono a iallinsieme f(A), segue allora dalla lineare indipendenza di questo che  =    =  = 0 1 ne pertanto per la 1.3 otteniamo che  = E .Veri¯chiamo la (). Per la proprietµ 1.4.12 segue che: a T(E) = T((A)) = (T(A)) = (f(A)) = FOvviamente la () µ conseguenza immediata della () e della (). eCorollario 1.4.2Siano E ed F due spazi vettoriali sul corpo IK; sia DµE l.i.; sia f:D!F unapplicazioneTs: 9T:E!F operatore lineare t.c. TjD ´ fDimPer il teorema 1.1.4 9A µ E base di Hamel tale che D µ A. Fissato un qualunque 0 2Fconsideriamo la funzione: 8 < f() se  2D g : A ! F con g() = : 8 2 A 0 se  2 A n Dsegue allora dal teorema 1.4.3 che 9!T 2 (E F) t.c. TjA ´ g e quindi TjD ´ gjD ´ f. 51
  55. 55. Corollario 1.4.3Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia GµE un s.sp.vett.; sia S:G!F un operatore lineareTs: 9T:E!F operatore lineare t.c. TjG ´ SDimPer il teorema 1.1.4 9A µ G base di Hamel per G. Per il corollario 1.4.2 9T:E!Foperatore lineare t.c. TjA ´ SjA e quindi segue dalla proprietµ 1.4.11 che TjG ´ S. aTeorema 1.4.4Siano E ed F due spazi vettoriali sul corpo IKTs: E ed F sono isomor¯ , (E)=(F)Dim )Dobbiamo dimostrare che due rispettive basi di Hamel degli spazi vettoriali E ed F,hanno la medesima cardinalit¶ e cioµ che tra le due basi esiste una biezione. Per ipotesi a e9T:E!F operatore lineare e biunivoco e quindi detta A una base di Hamel per E, per laproprietµ 1.4.14 segue che T(A) µ una base di Hamel per T(E)=F. E poich¶ banalmente a e ela restrizione TjA : A !T(A) µ pure una biezione, per quanto suddetto si ha la tesi. eDim (Per ipotesi esiste una bigezione tra due basi di Hamel rispettivamente per E ed F epertanto segue di peso dal teorema 1.4.3 che tali spazi sono isomor¯.Teorema 1.4.5Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e siano F,GµE due s.sp.vett. complementariTs: (G) = (EF )DimConseguenza del teorema 1.4.2 e del teorema 1.4.4. 52

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