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2.8 Problemas Propostos
1. Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor v = (2, −5), sa-
bendo que sua orig...
Resultado: w =
−15
2
,
15
2
b)3w − (2v − u) = 2(4w − 3u)
Soluc¸˜ao:
Substitu´ıdo os valores dos respectivos vetores;
3(x, ...
−−→
OC −
−→
BC = (3, −1) − (1, −6) ⇒ (2, 5)
−−→
OC −
−→
BC = (2, 5)
Resolvendo:
−→
BA ⇒ B − A ⇒ (−1, 3) − (2, 5) ⇒ (−3, −2...
6. Dados os pontos A(−1, 3),B(1, 0) e C(2, −1), determinar D Tal que
−−→
DC =
−→
BA.
Soluc¸˜ao:
Resolvendo
−−→
DC e
−→
BA:...
x + 1 = 15 ⇒ x = 114
Resolvendo para y:
y − 2 = −12 ⇒ y = −10
Rsolvendo para z:
z − 3 = −9 ⇒ z = −6
P(14, −10, −6)
9. Dete...
12. Verificar se s˜ao colineares os pontos:
a)A(−1, −5, 0), B(2, 1, 3) e C(−2, −7, −1)
Soluc¸˜ao:
det =


−1 −5 0
2...
Resolvendo para x: x + 1 = −4 ⇒ x = −5
Resolvendo para y: y = −1 ⇒ y = −1
Resolvendo para z: z + 3 = −1 ⇒ z = −4
X(−5, −1,...
4. Dados os pontos A(1, 2, 3), B(−6, −2, 3) e C(1, 2, 1), determinar o versor do vetor
3
−→
BA − 2
−→
BC.
Soluc¸˜ao:
3
−→
...
|v| =
√
1 ⇒
|v| = 1, ou seja, o vetor v ´e unit´ario.
6. Determinar o valor de n para o vetor v = n,
2
5
,
4
5
seja unit´a...
m =
−9 ± 1
2
⇒
m′
=
−9 + 1
2
⇒ m′
= −4
m′′
=
−9 − 1
2
⇒ m′′
= −5
8. Dados os pontos A(1, 0, −1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), ...
9. Dados os pontos A(3, m − 1, −4) e B(8, 2m − 1, m), determinar m de modo que
|
−→
AB| =
√
35.
Soluc¸˜ao:
|(8, 2m − 1, m)...
Queremos encontrar um ponto P(x, 0, 0), se os pontos s˜ao equidistantes satisfaz a
seguinte equac¸˜ao: |
−→
AP| = |
−→
PB|...
|
−→
AB| = 10cm
|
−−→
AC| = 10cm
Equac¸˜ao do produto escalar:
−→
AB.
−−→
AC = |
−→
AB|.|
−−→
AC|.cosθ ⇒
Substituindo a eq...
Calculando ˆB:
−→
BA = (2, 1, 3) − (1, 0, −1) = (1, 1, 4) |
−→
BA| =
√
12 + 12 + 42 =
√
18
−→
BC = (−1, 2, 1) − (1, 0 − 1)...
m =
−8 ± 0
2.1
m = −4
17. Calcular n para que seja de 30o
o ˆangulo entre os vetores u = (1, n, 2) e j.
Soluc¸˜ao:
u = (1,...
Resolvendo a equac¸˜ao 2o
grau.
∆ = 32
− 4.1.(−18) ⇒ ∆ = 81
α =
−3 ± 9
2
α′
=
−3 + 9
2
⇒ α′
= 3
α′′
=
−3 − 9
2
⇒ α′′
= −6
...
21. Determinar o vetor v, colinear ao vetor u = (−4, 2, 6),tal que v.w = −12, sendo
w = (−1, 4, 2).
Soluc¸˜ao:
v = α.u
(x,...
Substitu´ıdo os valores temos:
(−1, 2, 3−) − (−8, −3, −4) = (7, 5, 1)
(7, 5, 1) = (7, 5, 1)
Satisfeita a igualdade fica pro...
25. Os ˆangulos diretores de um vetor podem ser de 45o
, 60o
e 90o
? Justificar.
Soluc¸˜ao:
Para serem ˆangulos diretores t...
1
2
2
+ −
1
4
2
+ cos2
γ = 1 ⇒
cos2
γ = 1 −
1
2
2
+ −
1
4
2
⇒
cos2
γ = 1 −
1
4
+
1
16
⇒
cos2
γ = 1 −
4 + 1
16
⇒
cos2
γ = 1...
b =
√
2
2
⇒ c =
√
2
2
e a = 0 ⇒ u = (0,
√
2
2
,
√
2
2
)
b =
√
2
2
⇒ c =
√
2
2
e a = 0 ⇒ u = (0, −
√
2
2
, −
√
2
2
)
u = (0...
(x, y, 0).(1, −1, 2) = −5 ⇒ x − y = −5 ⇒ x = y − 5
(x, y, 0).(2, 3, −1) = 10 ⇒ 2x + 3y = 10 Substituindo x por y − 5 temos...
para a obtenc¸˜ao do mesmo n˜ao se alteram. o versor ´e o mesmo(m´odulo) e a
distancia do vetor `a componente(direc¸˜ao) ´...
38. Calcular o modulo dos vetores u + v e u − v, sabendo que |u| = 4 e v = 3 e o ˆangulo
entre u e v ´e de 60o
.
Soluc¸˜ao...
u.v + u.w + v.w = −
18
2
u.v + u.w + v.w = −9
41. O vetor v ´e ortogonal aos vetores a = (1, 2, 0) e b = (1, 4, 3) e forma...
v × (w − u) =
i j k
1 −1 0
−3 3 1
= −i + 3k − (3k + j)
v × (w − u) = −i − j
v × (w − u) = (−1, −1, 0)
c) (u + v) × (u − v)...
u × v =
i j k
2 −1 1
1 −1 0
= −2k + j − (−k − i)
u × v = i + j − k
u × v = (1, 1, −1)
(u × v).w = (1, 1, −1).(−1, 2, 2) = ...
u × w =
i j k
2 −1 1
−1 2 2
= −2i − j + 4k − (2i + 4j + k)
u × w = −4i − 5j + 3k
u + v = (2, −1, 1) + (1, −1, 0) = (3, −2,...
−→
CB × (
−→
BC − 2
−−→
CA) =
i j k
−2 0 −2
4 6 0
= −8j − 12k − (−12i)
−→
CB × (
−→
BC − 2
−−→
CA) = 12i − 8j − 12k
−→
CB ...
Calcular o produto vetorial entre v1 × v2
v1 × v2 =
i j k
2 −1 0
1 −3 −1
= i − 6k − (−2j − k)
v1 × v2 = i + 2j − 5k
w = α(...
u =
3
3
√
3
, −
3
3
√
3
, −
3
3
√
3
⇒
u =
1
√
3
, −
1
√
3
, −
1
√
3
⇒
Onde u ´e o vetor unit´ario que queremos encontrar.
...
b) 3i × 2k
Soluc¸˜ao:
51. Sabendo que |a| = 3, |b| =
√
2 e 45o
´e o ˆangulo entre a e b, calcular |a × b|.
Soluc¸˜ao:
Usan...
53. Dados os vetores a = (3, 4, 2) e b = (2, 1, 1), obter um vetor de modulo 3 que seja
ao mesmo tempo ortogonal aos vetor...
(3, 5, −4) + (1, 4, −2) = (4, 9, −6)
(4, 9, −6) = (4, 9, −6), a igualdade foi satisfeita logo ´e um paralelogramo.
Calculo...
|
−→
AB ×
−−→
AC| = 22 + 22 + (−4)2
|
−→
AB ×
−−→
AC| =
√
4 + 4 + 16
|
−→
AB ×
−−→
AC| =
√
24 = 2
√
6
´area do triˆangulo ...
|
−→
AB ×
−−→
AC| =
√
81 + 81
|
−→
AB ×
−−→
AC| =
√
162 = 9
√
2
´area do triˆangulo =
|
−→
AB ×
−−→
AC|
2
=
9
√
2
2
= 9
√
...
59. Calcular x, sabendo que A(x, 1, 1), B(1, −1, 0) e C(2, 1, −1) s˜ao v´ertices de um
triˆangulo de ´area
√
29
2
.
Soluc¸...
−→
AB = −2i − j + 2k
vetor
−−→
AC:
−−→
AC = (1 − 0)i + (−2 − 1)j + (0 + 1)k
−−→
AC = i − 3j + k
−→
AB ×
−−→
AC =
i j k
−2 ...
Igualando os resultados temos de u com v × w:
(1, 1, −1) = (z, 2z − x, −x) onde temos:
z = 1 e x = 1
v = (1, 0, 1)
62. Dad...
64. Demonstrar que a × b = b × c = c × a, sabendo que a + b + c = 0.
Soluc¸˜ao:
Se a × b = b × c = c × a , ent˜ao a = b = ...
Seja um trap´ezio ABCD de bases AB e CD.
Seja M o ponto m´edio de AD e N o ponto m´edio de BC
Construamos uma reta BM.
Pro...
(u, v, w) =
3 −1 2
1 2 1
−2 3 4
= 24 + 2 + 6 + 4 − 9 + 8 = 35
(u, v, w) 0 logo os vetores n˜ao s˜ao coplanares.
b) u = (2,...
(
−→
AB,
−−→
AC,
−−→
AD) = 10 logo, n˜ao s˜ao coplanares.
c) A(2, 1, 3), B(3, 2, 4), C(−1, −1, −1) e D(0, 1, −1)
Soluc¸˜ao...
2k − 12 = 0
k = 6
b)a = (2, 1, 0), b = (1, 1, −3) e c = (k, 1, k)
Soluc¸˜ao:
Para os vetores sejam coplanares tem que sati...
72. Calcular o valor de m para que o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos
vetores v1 = 2i − j, v2 = 6i + mj − 2k e ...
pela definic¸˜ao temos:Vol = |
−→
AB.(
−−→
AC ×
−−→
AD))| = |10m − 40|
Para Vol = 20 temos: 10m − 40 = 20 logo m = 6 ou 10m...
h =
8
√
10
49
4.15 Problemas Propostos
1. Verificar se os pontos P1(5, −5, 6) e P2(4, −1, 12) pertence `a reta.
r :
x − 3
−1
=
y + 1
2
=
...
Para z temos;
z = −4 + t ⇒ n = −4 − 1 ⇒ n = −5
P(3, −2, −5)
4. Determinar os pontos da reta r :
x − 3
2
=
y + 1
−1
=
z
−2
...
y = −1 − 2.(−1) ⇒ y = −1 + 2 ⇒ y = 1
z = 4 − 5.(−1) ⇒ z = 4 + 5 ⇒ z = 9
P(2, 1, 9)
6. Determinar as equac¸ ˜oes reduzidas,...



y =
x
2
−
5
2
z = −2x + 5
b) A(−1, 2, 3) e B(2, −1, 3)
Soluc¸˜ao:
(x, y, z) = (−1, 2, 3) + [(2, −1, 3) − (−1...
9. Mostrar que os pontos A(−1, 4, −3), B(2, 1, 3) e C(4, −1, 7) s˜ao colineares.
Soluc¸˜ao:
Condic¸˜ao de alinhamento dos ...
v(2, 0, −1); P(0, −1, 2)
d)
y = 3
z = −1
Soluc¸˜ao:
v(1, 0, 0); P(0, 3, −1)
e))
y = −x
z = 3 + x
Soluc¸˜ao:
v(1, −1, 1); P...
c) reta que passa por A(2, 3, 4) e ´e ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e
dos y;
Soluc¸˜ao:
A(2, 3, 4) ⊥ xOy
A(2, 3...
y = −3 + 2(4 − z) ⇒ y = −3 + 8 − 2z ⇒ y = 5 − 2z
x = 2
y = 5 − 2z
13. Representar graficamente as retas cujas equac¸ ˜oes s...
c)



y = −3x + 6
z = x + 4
Soluc¸˜ao:
d)



x = −1 + t
y = 3 − t
z = 2t
Soluc¸˜ao:
11
e)



y = 2x
z = 3
Soluc¸˜ao:
f)



y = 3
z = 2x
Soluc¸˜ao:
12
g)



z = 2y
x = 3
Soluc¸˜ao:
h)



x = 3
y = −4
Soluc¸˜ao:
13
i)



x = −3
z = 4
Soluc¸˜ao:
14. Determinar o ˆangulo entre as seguintes retas:
a)r :



x = −2 − 2t
y ...
vs(0, 3, −3)
Formula do ˆangulo entre vetores: cosθ =
|vr.vs|
|vr|.|vs|
Substituindo os valores na formula:
cosθ =
|(1, −2...
Fazendo P2 − P1 = (0, 5, −2) − (1, n + 5, 0) = (1, n, 2)
vs(1, n, 2)
cos30o
=
√
3
2
Formula do ˆangulo entre vetores: cosθ...
√
3
2
=
|0 + n + 0|
√
02 + 12 + 02.
√
12 + n2 + 22
⇒
√
3
2
=
|n|
√
n2 + 5.
√
1
⇒ (2n)2
= (
√
3.
√
n2 + 5)2
⇒
4n2
= 3n2
+ 1...
a)
vr = (−3, 1, 0) e vs = (6, m, 0)
Para ser paralelas:
−3
6
=
1
m
⇒ −3m = 6 ⇒ m = −2
b)
vr = (−3, 0, m) e vs = (6, 0, 5)
...
y = 1 + 4(2 + x) ⇒ y = 1 + 8 + 4x ⇒ y = 4x + 9
Substituindo t na equac¸˜ao de z temos;
z = −(2 + x) ⇒ z = −x − 2
y = 4x + ...
m =
−1 ±
√
25
2.2
⇒ m =
−1 ± 5
4
m′
=
−1 + 5
4
⇒ m′
= 1
m′′
=
−1 − 5
4
⇒ m′′
= −
3
2
23. Calcular o valor de m para que se...
c) r:
x − m
m
=
y − 4
−3
; z = 6 e s:
y = −3x + 4
z = −2x
Soluc¸˜ao:
Para reta r:
r = (m, −3, 0)
P3 = (m, 0, 6)
Para reta ...
x − 2
2
=
7 − x
3
⇒ 3x − 6 = 14 − 2x ⇒ 5x = 20 ⇒ x = 4
Substituindo x = 4 em y = 7 − x temos: y = 7 − 4 ⇒ y = 3
Substituin...
Temos x = 2 substituindo em x = 3 + t temos
2 = 3 + t ⇒ −t = 3 − 2 ⇒ t = −1
Temos t = −1 como z = t temo z = −1
P(2, 4, −1...
27. Sejam as retas
r:



x = 2 + 3t
y = 4 + 5t
z = mt
e s:



y = 2x + 1
z =
x
2
−
3
2
Soluc¸˜ao:
Isol...
v = vr × vs =


i j k
0 0 1
1 −2 −1


= j + 2i = 2i + j
v = (2, 1, 0)
Calculando a equac¸˜ao param´etric...
v = vr × j =
i j k
0 2 −1
0 1 0
= i ⇒ v = (1, 0, 0)
Calculando as equac¸ ˜oes param´etricas para A(2, 0, −1) com o v(1, 0,...
32. A reta
r:
x − 1
a
=
y
b
=
z
−2
´e paralela `a reta que passa pelo ponto A(−1, 0, 0) e ´e simultaneamente ortogonal
`as...
Para z:
z =
z1 − r.z2
1 − r
⇒ z =
3 −
2
3
.(−12)
1 −
2
3
⇒ z =
11
1
3
⇒ z = 33
P(15, −3, 33)
b) o ponto Q, que divide o se...
z =
z1 − r.z2
1 − r
⇒ 7 =
3 −
2
3
.z2
1 −
2
3
⇒ 3.
1
3
= 3 −
2
3
.z2 ⇒
2
3
.z2 = 3 −
7
3
⇒
2
3
z2 =
9 − 7
3
⇒
2
3
.z2 =
2
...
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Respostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterle

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Respostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterle

  1. 1. 2.8 Problemas Propostos 1. Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor v = (2, −5), sa- bendo que sua origem ´e o ponto A(−1, 3). Soluc¸˜ao: v = B − A (2, −5) = (x, y) − (−1, 3) Para x temos, x + 1 = 2 ⇒ x = 1 Para y temos, y − 3 = −5 ⇒ y = −5 + 3 ⇒ y = −2 Logo, o ponto da extremidade e igual a: B = (1, −2) 2. Dados os vetores u = (3, −1) e v = (−1, 2), determinar o vetor w tal que: a) 4(u − v) + 1 3 w = 2u − w Soluc¸˜ao: 4(u − v) + 1 3 w = 2u − w Substitu´ıdo os valores dos respectivos vetores, 4[(3, −1) − (−1, 2)] + 1 3 (x, y) = 2(3, −1) − (x, y) Efetuando as operac¸ ˜oes; (16, −12) + x 3 , y 3 = (6 − x, −2 − y) 16 + x 3 , −12 + y 3 = (6 − x, −2 − y) Para x temos a seguinte igualdade; 16+ x 3 = 6−x ⇒ x 3 +x = 6−x ⇒ x + 3x 3 = −10 ⇒ x + 3x = −10 ⇒ 4x = −30 ⇒ x = −30 4 ⇒ x = −15 2 Para y temos a seguinte igualdade; −12 + y 3 = −2 − y ⇒ y 3 + y = −2 − y ⇒ y + 3y 3 = 10 ⇒ y + 3y = 30 ⇒ 4y = 30 ⇒ y = 30 4 ⇒ y = 15 2 3
  2. 2. Resultado: w = −15 2 , 15 2 b)3w − (2v − u) = 2(4w − 3u) Soluc¸˜ao: Substitu´ıdo os valores dos respectivos vetores; 3(x, y) − [2(−1, 2) − (3, −1)] = 2[(4(x, y) − 3(3, −1)] (3x, 3y) − [(−2, −4) − (3, −1)] = 2[(4x, 4y) − (9, −3)] (3x, 3y) − (−5, 5) = 2(4x − 9, 4y + 3) (3x + 5, 3y − 5) = (2(4x − 9), 2(4y + 3)) Para x temos a seguinte igualdade; 3x + 5 = 8x − 18 3x − 8x = 18 − 5 −5x = −23 x = 23 5 Para y temos a seguinte igualdade; 3y − 5 = 8y + 6 3y − 8y = 6 + 5 −5y = 11 y = −11 5 w = 23 5 , −11 5 3. Dados os Pontos A(−1, 3), B(2, 5) e C(3, 1), calcular −−→ OA− −→ AB, −−→ OC− −→ BC e 3 −→ BA−4 −→ CB. Soluc¸˜ao: Resolvendo: −−→ OA ⇒ A − O ⇒ (−1, 3) − (0, 0) ⇒ (−1, 3) Resolvendo: −→ AB ⇒ B − A ⇒ (2, 5) − (−2, 3) ⇒ (3, 2) Efetuando a Operac¸˜ao: −−→ OA − −→ AB = (2, 5) − (−1, 3) ⇒ (−4, 1) −−→ OA − −→ AB = (−4, 1) Resolvendo: −−→ OC ⇒ C − O ⇒ (3, −1) − (0, 0) ⇒ (3, −1) Resolvendo: −→ BC ⇒ C − B ⇒ (3, −1) − (2, 5) ⇒ (1, −6) Efetuando a Operac¸˜ao: 4
  3. 3. −−→ OC − −→ BC = (3, −1) − (1, −6) ⇒ (2, 5) −−→ OC − −→ BC = (2, 5) Resolvendo: −→ BA ⇒ B − A ⇒ (−1, 3) − (2, 5) ⇒ (−3, −2) Resolvendo: −→ CB ⇒ B − C ⇒ (2, 5) − (3, 1) ⇒ (−1, 6) Efetuando a Operac¸˜ao: 3 −→ BA − 4 −→ CB = 3(−3, −2) − 4(−1, 6) ⇒ (−9, −6) − (−4, 24) ⇒ (−4, 24) 3 −→ BA − 4 −→ CB = (−5, −30) 4. Dados os vetores u = (3, −4) e v = − 9 4 , 3 , verificar se existem n´umeros a e b tais que u = av e v = bu. Soluc¸˜ao: Resolvendo para a; (3, −4) = a −9 4 , 3 ⇒ 3 = −9 4 a ⇒ a = −3.4 9 ⇒ a = −12 3 ⇒ a = −4 3 Resolvendo para b; −9 3 , 3 = b(4, 3) ⇒ 3 = b.4 ⇒ b = −3 4 ⇒ b = −3 4 5. Dados os vetores u = (2, −4), v = (−5, 1) e w = (−12, 6), determinar k1 e k2 tal que w = k1u + k2v. Soluc¸˜ao: Substituindo os valores dos respectivos vetores; (−12, 6) = k1(2, 4) + k2(−5, 1) (−12, 6) = (2.k1, −4.k1) + (−5.k2, k2) Retirando a igual- dade para os valores de x temos; 2.k1 + (−5.k2) = −12 −4.k1 + k2 = 6 ⇒ 2.k1 − 5.k2 = −12 −4.k1 + k2 = 6.(+5) ⇒ 2.k1 − 5.k2 = −12 −20.k1 + 5.k2 = 30 ⇒. −18k1 = 18 ⇒ k1 = −1 Substituindo k1 na Primeira Equac¸˜ao temos; 2(−1) − 5.k2 = 12 ⇒ −2 − 5.k2 = −12 ⇒ −5.k2 = −12 + 2 k2 = −10 −5 ⇒ k2 = 2 5
  4. 4. 6. Dados os pontos A(−1, 3),B(1, 0) e C(2, −1), determinar D Tal que −−→ DC = −→ BA. Soluc¸˜ao: Resolvendo −−→ DC e −→ BA: −−→ DC = (2, 1) = (x, y) −→ BA = (−1, 3) − (1, 0) Substituido em −−→ DC = −→ BA temos: (2, −1) − (x, y) = (−1, 3) − (1, 0) (2 − x, −1 − y) = (−2, 3) Resolvendo para x: 2 − x = −2 ⇒ x = 4 Resolvendo para y: −1 − y = 3 ⇒ y = −4 D(4, −4) 7. Dados os pontos A(2, −3, 1) e B(4, 5, −2), determinar o ponto P tal que −→ AP = −→ PB. Soluc¸˜ao: Resolvendo −→ AP e −→ PB: −→ AP = (x, y, z) − (2, −3, 1) −→ PB = (4, 5, −2) − (x, y, z) Substituindo em −→ AP = −→ PB temos: (x, y, z) − (2, −3, 1) = (4, 5, −2) − (x, y, z) (x − 2, y + 3, z − 1) = (4 − x, 5 − y, −2 − z) Resolvendo para x: x − 2 = 4 − x ⇒ x = 3 Resolvendo para y: y + 3 = 5 − y ⇒ 2y = 5 − 3 ⇒ 2y = 2 ⇒ y = 1 Resolvendo para z: z − 1 = −2 − z ⇒ 2z = −2 + 1 ⇒ 2z = −1 ⇒ z = −1 2 P 3, 1, −1 2 8. Dados os pontos A(−1, 2, 3) e B(4, −2, 0), determine o ponto P tal que −→ AP = 3 −→ AB. Soluc¸˜ao: (x, y, z) − (−1, 2, 3) = 3[(4, −2, 0) − (−1, 2, 3)] (x + 1, y − 2, z − 3) = 3[(5, −4, −3)] (x + 1, y − 2, z − 3) = (15, −12, −9) Resolvendo para x: 6
  5. 5. x + 1 = 15 ⇒ x = 114 Resolvendo para y: y − 2 = −12 ⇒ y = −10 Rsolvendo para z: z − 3 = −9 ⇒ z = −6 P(14, −10, −6) 9. Determinar o vetor v sabendo que (3, 7, 1) + 2v = (6, 10, 4) − v. Soluc¸˜ao: (3, 7, 1) + 2v = (6, 10, 4) 3v = (6, 10, 4) − (3, 7, 1) 3v = (3, 3, 3) v = (1, 1, 1) 10. Encontrar os n´umeros a1 e a2 tais que w = a1v1 + a2v2, sendo v1 = (1, −2, 1), v2 = (2, 0, −4) e w = (4, −4, 14). Soluc¸˜ao: (−4, −4, 14) = a1(1, −2, 1)+a2(2, 0, −4) ⇒ (−4, −4, 14) = (a1+2a2, −2a1, a1−a1−4a2) ⇒ Fazendo o sistema:    a1 + 2a2 = −4 −2a1 = −4 a1 + 4a2 = 14 Resolvendo para a1 temos: −2a1 = −4 ⇒ a1 = −4 −2 ⇒ a1 = 2 . Resolvendo para a2 temos: 2 − 4.a2 = 14 ⇒ −4a2 = 14 − 2 ⇒ a2 = 12 −4 ⇒ a2 = −3 11. Determinar a e b de modo que os vetores u = (4, 1, −3) e v = (6, a, b) sejam paralelos. Soluc¸˜ao: Para os vetores sejam paralelos tem que satisfazer a seguinte equac¸˜ao: v = αu (6, a, b) = α(4, 1, −3) ⇒ 6 = α4 α = 3 2 Substituindo α na primeira equac¸˜ao: a = 3 2 1 ⇒ a = 3 2 e b = 3 2 − 3 ⇒ b = 9 2 a = 3 2 e b = − 9 2 7
  6. 6. 12. Verificar se s˜ao colineares os pontos: a)A(−1, −5, 0), B(2, 1, 3) e C(−2, −7, −1) Soluc¸˜ao: det =   −1 −5 0 2 1 3 −2 −7 −1   = 0 Os pontos s˜ao colineares: b)A(2, 1, −1), B(3, −1, 0) e C(1, 0, 4) Soluc¸˜ao: det =   2 1 −1 3 −1 0 1 0 4   = 21 Os pontos n˜ao s˜ao colineares: 13. Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos A(3, 1, −2), B(1, 5, 1) e C(a, b, 7). Soluc¸˜ao: −→ AB = B − A = (−2, 4, 3) −→ BC = C − B = (a − 1, b − 5, 6) −→ AB = −→ BC −2 a − 1 = 4 b − 5 = 3 6 Simplificando: −2 a − 1 = 4 b − 5 = 1 2 Para a: a − 1 = −4 ⇒ a = −3 Para b: b − 5 = 8 ⇒ b = 13 14. Mostrar que os pontos A(4, 0, 1), B(5, 1, 3), C(3, 2, 5) e D(2, 1, 3) s˜ao v´ertices de um paralelogramo: Soluc¸˜ao: Para ser um paralelogramo tem que satisfazer a igualdade: −→ AB + −−→ AD = −−→ AC [(5, 1, 3) − (4, 0, 1)] + [(2, 1, 3) − (4, 0, 1)] = (3, 2, 5) − (4, 0, 1) (1, 1, 2) + (−2, 1, 2) = (−1, 2, 4) (−1, 2, 4) = (−1, 2, 4) Satisfazendo a igualdade os pontos formam os v´ertices de um paralelogramo. 15. Determine o sim´etrico do Ponto P(3, 1, −2) em relac¸˜ao ao ponto A(−1, 0, −3). Soluc¸˜ao: X ´e ponto sim´etrico do ponto P em relac¸˜ao ao ponto X. −→ PA = −−→ AX (−1, 0, −3) − (3, 1, −2) = (x, y, z) − (−1, 0, 3) ⇒ (−4, −1, −1) = (x + 1, y, z + 3) 8
  7. 7. Resolvendo para x: x + 1 = −4 ⇒ x = −5 Resolvendo para y: y = −1 ⇒ y = −1 Resolvendo para z: z + 3 = −1 ⇒ z = −4 X(−5, −1, −4) 3.16 Problemas Propostos: 1. Dados os vetores u = (1, a, −2a − 1), v = (a, a − 1, 1) e w = (a, −1, 1), determine a, de modo u.v = (u + v).w. Soluc¸˜ao: (1, a, −2a − 1).(a, a − 1, 1) = [(1, a, −2a − 1) + (a, a − 1, 1)].(a, −1, 1) (a + a(a − 1) − 2a − 1) = [(a + 1), a + a − 1, 2a − 1 + 1].(a, −1, 1) a + a2 − a − 2a − 1 = [a + 1, 2a, −2a].(a, −1, 1) a2 − 2a − 1 = a.(a + 1) − (2a − 1) − 2a a2 − a2 − 2a − a + 2a + 2a = 1 + 1 a = 2 2. Dados os pontos A(−1, 0, 2), B(−4, 1, 1) e C(0, 1, 3), determine o vetor x tal que 2x − −→ AB = x + ( −→ BC. −→ AB) −−→ AC Soluc¸˜ao: −→ AB = B − A = (−4 + 1, 1 − 0, 1 − 2) = (−3, 1, −1) −→ BC = C − B = (0 + 4, 1 − 1, 3 − 1) = (4, 0, 2) −−→ AC = C − A = (0 + 1, 1 − 0, 3 − 2) = (1, 1, 1) −→ BC. −→ AB = 4.(−3) + 0.1 + 2.(−1) = −12 − 2 = −14 ( −→ BC. −→ AB)AC = (−14.1, −14.1, −14.1) = (−14, −14, −14). Portanto, 2x − x = (−14, −14, −14) + (−3, 1, −1) ⇒ x = (−17, −13, −15) 3. Determinar o vetor v, sabendo que (3, 7, 1) + 2v = (6, 10, 4) − v. Soluc¸˜ao: (3, 7, 1) + 2(x, y, z) = (6, 10, 4) − (x, y, z) (3, 7, 1) + (2x, 2y, 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z) (3 + 2x, 7 + 2y, 1 + 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z) Para x, temos: 3 + 2x = 6 − x ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1 Para y, temos: 7 + 2y = 10 − y ⇒ y = 1 Para z, temos: 1 + 2z = 4 − z ⇒ z = 1 v = (1, 1, 1) 9
  8. 8. 4. Dados os pontos A(1, 2, 3), B(−6, −2, 3) e C(1, 2, 1), determinar o versor do vetor 3 −→ BA − 2 −→ BC. Soluc¸˜ao: 3 −→ BA − 2BC = 3.[(1, 2, 3) − (−6, −2, 3)] − 2[(1, 2, 1) − (−6, −2, 3)] ⇒ 3 −→ BA − 2 −→ BC = 3.[(7, 4, 0)] − 2[(7, 4, −2)] ⇒ 3 −→ BA − 2 −→ BC = (21, 12, 0) − (14, 8, −4) ⇒ 3 −→ BA − 2 −→ BC = (7, 4, 4) Calculo do Modulo: |3 −→ BA − 2 −→ BC| = √ 72 + 42 + 42 ⇒ |3 −→ BA − 2 −→ BC| = √ 49 + 16 + 16 ⇒ |3 −→ BA − 2 −→ BC| = √ 81 ⇒ |3 −→ BA − 2 −→ BC| = 9 Calculo do versor: 3 −→ BA − 2 −→ BC |3 −→ BA − 2 −→ BC| = (7, 4, 4) 9 ⇒ 3 −→ BA − 2 −→ BC |3 −→ BA − 2 −→ BC| = 7 9 , 4 9 , 4 9 5. Verificar se s˜ao unit´arios os seguintes vetores: −→u = (1, 1, 1) e −→v = 1 √ 6 , − 2 √ 6 , 1 √ 6 Soluc¸˜ao: Calculo do Modulo do vetor u: |u| = √ 12 + 12 + 12 ⇒ |u| = √ 1 + 1 + 1 |u| = √ 3 ⇒, ou seja, ´e diferente de 1 logo u n˜ao ´e unit´ario. Calculo do Modulo do vetor v: |v| = 1 √ 6 2 + − 2 √ 6 2 + 1 √ 6 2 ⇒ |v| = 1 6 + 4 6 + 1 6 ⇒ |v| = 1 + 4 + 6 6 ⇒ |v| = 6 6 ⇒ 10
  9. 9. |v| = √ 1 ⇒ |v| = 1, ou seja, o vetor v ´e unit´ario. 6. Determinar o valor de n para o vetor v = n, 2 5 , 4 5 seja unit´ario. Soluc¸˜ao: |v| = 1 |v| = n2 + 2 5 2 + 4 5 2 ⇒ |v| = n2 + 4 25 + 16 25 ⇒ |v| = n2 + 20 25 Substituindo o valor de |v|, temos: 1 = n2 + 20 25 ⇒ 12 =   n2 + 20 25   2 ⇒ n2 + 20 25 = 1 ⇒ n2 = 1− 20 25 ⇒ n2 = 25 − 20 25 ⇒ n2 = 5 25 ⇒ n2 = 1 5 ⇒ n = ± 1 5 ⇒ n = ± 1 √ 5 ⇒ n = ± 1. √ 5 √ 5. √ 5 ⇒ n = ± √ 5 5 7. Seja o vetor v = (m + 7)i + (m + 2)j + 5k. Calcular m para que |v| = √ 38. Soluc¸˜ao: |(m + 7)i + (m + 2)j + 5k| = √ 38| ⇒ (m + 7)2 + (m + 2)2 + 252 = √ 38 ⇒ √ m2 + 14m + 49 + m2 + 4m + 4 + 25 = √ 38 ⇒ ( √ m2 + 14m + 49 + m2 + 4m + 4 + 25)2 = ( √ 38)2 ⇒ m2 + 14m + 49 + m2 + 4m + 4 + 25 = 38 ⇒ 2m2 + 18m + 78 = 38 ⇒ 2m2 + 18m + 78 − 38 = 0 ⇒ 2m2 + 18m + 40 = 0 ⇒ m2 + 9m + 20 = 0 ⇒ Resolvendo a equac¸˜ao 2 grau. ∆ = 92 − 4.1.20 ⇒ ∆ = 81 − 80 ⇒ ∆ = 1 m = −9 ± √ 1 2.1 ⇒ 11
  10. 10. m = −9 ± 1 2 ⇒ m′ = −9 + 1 2 ⇒ m′ = −4 m′′ = −9 − 1 2 ⇒ m′′ = −5 8. Dados os pontos A(1, 0, −1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determinar o valor de m para que |v| = 7, sendo v = m −−→ AC + −→ BC. Soluc¸˜ao: v = m −−→ AC + −→ BC ⇒ v = m[(1, 2, 0) − (1, 0, −1)] + [(1, 2, 0) − (4, 2, 1)] ⇒ v = m[(0, 2, 1)] + (−3, 0, −1) ⇒ v = (0, 2m, m) + (−3, 0, −1) ⇒ v = (−3, 2m, m − 1) ⇒ |v| = (−3)2 + (2m)2 + (m − 1)2 ⇒ |v| = √ 9 + 4m2 + m2 − 2m + 1 ⇒ |v| = √ 5m2 − 2m + 10 Substituindo o valor de |v| = 7 7 = √ 5m2 − 2m + 10 ⇒ ( √ 5m2 − 2m + 10)2 = 72 ⇒ 5m2 − 2m + 10 = 49 ⇒ 5m2 − 2m − 39 = 0 ⇒ Resolvendo a equac¸˜ao 2 grau. ∆ = (−2)2 − 4.5.(−39) ⇒ ∆ = 4 + 780 ⇒ ∆ = 784 m = −(−2) ± √ 784 2.5 m = 2 ± 28 10 m′ = 2 + 28 10 m′ = 30 10 ⇒ m′ = 3 m′′ = 2 − 28 10 m′′ = −26 10 ⇒ m′′ = −13 5 ⇒ m′′ = − 13 5 12
  11. 11. 9. Dados os pontos A(3, m − 1, −4) e B(8, 2m − 1, m), determinar m de modo que | −→ AB| = √ 35. Soluc¸˜ao: |(8, 2m − 1, m) − (3, m − 1, −4)| = √ 35 ⇒ |(5, 2m − 1 − m + 1, m + 4)| = √ 35 ⇒ (5)2 + (m)2 + (m2) + 8m + 16 = √ 35 ⇒ 25 + (m)2 + (m2) + 8m + 16 = √ 35 ⇒ 25 + (m)2 + (m2) + 8m + 16 2 = √ 35 2 ⇒ 25 + (m)2 + (m2 ) + 8m + 16 = 35 ⇒ 2m2 + 8m + 16 + 25 − 35 = 0 ⇒ 2m2 + 8m + 6 = 0 ⇒ m2 + 4m + 3 = 0 ⇒ Resolvendo a Equac¸˜ao 2 grau. δ = 42 − 4.1.3 δ = 16 − 12 δ = 4 m = −4 ± √ 4 2.1 m′ = −4 + 2 2 ⇒ m′ = −2 2 ⇒ m′ = −1 m′′ = −4 − 2 2 ⇒ m′′ = −6 2 ⇒ m′′ = −3 10. Calcular o per´ımetro do triˆangulo do v´ertices A(0, 1, 2), B(−1, 0, −1) e C(2, −1, 0). Soluc¸˜ao: p = | −→ AB| + | −→ BC| + | −−→ CA| ⇒ p = |(B − A)| + |(C − B)| + |(A − C)| ⇒ p = |(−1, 0, −1) − (0, 1, 2)| + |(2, −1, 0) − (−1, 0, −1)| + |(0, 1, 2) − (2, −1, 0)| ⇒ p = |(−1, −1, −3)| + |(3, −1, 1)| + |(−2, 2, 2)| ⇒ p = (−1)2 + (−1)2 + (−3)2 + (9)2 + (1)2 + (1)2 + (4)2 + (4)2 + (4)2 ⇒ p = √ 11 + √ 11 + √ 12 ⇒ p = 2 √ 11 + √ 12 ⇒ p = 2 √ 11 + 2 √ 3 ⇒ p = 2( √ 11 + √ 3) 11. Obter um ponto P do eixo das abscissas equidistantes dos pontos A(2, −3, 1) e B(−2, 1, −1). Soluc¸˜ao: 13
  12. 12. Queremos encontrar um ponto P(x, 0, 0), se os pontos s˜ao equidistantes satisfaz a seguinte equac¸˜ao: | −→ AP| = | −→ PB|. Substituindo os pontos na equac¸˜ao: |(x, 0, 0) − (2, −3, 1)| = |(−2, 1, −1) − (x, 0, 0)| ⇒ |x − 2, 3, −1| = | − 2 − x, 1, −1| ⇒ (x − 2)2 + 32 + 12 = (−2 − x)2 + 12 + 11 ⇒ √ x2 − 4x + 14 = √ x2 + 4x + 4 + 2 ⇒ ( √ x2 − 4x + 14)2 = ( √ x2 + 4x + 4 + 2)2 ⇒ x2 − 4x + 14 = x2 + 4x + 4 + 2 ⇒ −4x − 4x = −14 + 4 + 2 ⇒ −8x = −8 ⇒ x = 1 ⇒ Logo o ponto procurado P(1, 0, 0) 12. Seja o triˆangulo de v´ertices A(−1, −2, 4), B(−4, −2, 0) e C(3, −2, 1). Determine o ˆangulo interno ao v´ertice B. Soluc¸˜ao: −→ BA = (−1, −2, 4) − (−4, −2, 0) = (3, 0, 4) −→ BC = (3, −2, 1) − (−4, −2, 0) = (7, 0, 1) | −→ BA| = √ 32 + 02 + 42 = 5 | −→ BC| = √ 72 + 02 + 12 = 5 √ 2 Pela equac¸˜ao do produto escalar: −→ BA. −→ BC = | −→ BA|.| −→ BC|.cosθ Substitu´ındo os valores temos: (3, 0, 4).(7, 0, 1) = 5.5 √ 2.cosθ ⇒ (21 + 0 + 4) = 25 √ 2.cosθ ⇒ 25 = 25 √ 2.cosθ ⇒ cosθ = 25 25 √ 2 ⇒ θ = arccos 1 √ 2 θ = 45o 13. Os pontos A,B,C s˜ao v´ertices de um triˆangulo equil´atero cujo lado mede 10cm. Calcular −→ AB e −−→ AC. Soluc¸˜ao: 14
  13. 13. | −→ AB| = 10cm | −−→ AC| = 10cm Equac¸˜ao do produto escalar: −→ AB. −−→ AC = | −→ AB|.| −−→ AC|.cosθ ⇒ Substituindo a equac¸˜ao com os valores conhecidos: −→ AB. −−→ AC = 10.10.cos60o ⇒ −→ AB. −−→ AC = 100.0, 5 ⇒ −→ AB. −−→ AC = 50 14. Os lados de um triˆangulo retˆangulo ABC (reto em A) medem 5,12 e 13. Calcular −→ AB. −−→ AC + −→ BA. −→ BC + −−→ CA. −→ CB. Soluc¸˜ao: −→ AB. −−→ AC + −→ BA. −→ BC + −−→ CA. −→ CB −→ AB. −−→ AC = 0 cosα = 5 13 cosα = −→ BA. −→ BC | −→ BA|.| −→ BC| ⇒ 5 13 = −→ BA. −→ BC 5.13 ⇒⇒ −→ BA. −→ BC = 25 cosθ = 12 13 = −−→ CA. −→ CB | −−→ CA|.| −→ CB| ⇒ 12 13 = −−→ CA. −→ CB 12.13 ⇒ −−→ CA. −→ CB = 144 ⇒ 0 + 25 + 144 = 169 −→ AB. −−→ AC + −→ BA. −→ BC + −−→ CA. −→ CB = 169 15. Determinar os ˆangulos do triˆangulo de v´ertice A(2, 1, 3), B(1, 0, −1) e C(−1, 2, 1). Soluc¸˜ao: Calculando ˆA: −→ AB = (1, 0, −1) − (2, 1, 3) = (−1, −1, −4) | −→ AB| = (−1)2 + 12 + (−4)2 = √ 18 −−→ AC = (−1, 2, 1) − (2, 1, 3) = (−3, 1, −2) | −−→ AC| = √ 32 + 12 + 22 = √ 14 Substituindo na equac¸˜ao −→ AB. −−→ AC = | −→ AB|.| −−→ AC|.cos ˆA temos: (−1, −1, −4).(−3, 1, −2) = √ 18. √ 14.cos ˆA ⇒ cos ˆA = 10 √ 18. √ 14 ⇒ ˆA = arccos 10 3.2. √ 7 ⇒ ˆA = arccos 5 3 √ 7 15
  14. 14. Calculando ˆB: −→ BA = (2, 1, 3) − (1, 0, −1) = (1, 1, 4) | −→ BA| = √ 12 + 12 + 42 = √ 18 −→ BC = (−1, 2, 1) − (1, 0 − 1) = (−2, 2, 2) | −→ BC| = (−2)2 + 22 + 22 = 2. √ 3 Substituindo na equac¸˜ao −→ BA. −→ BC = | −→ BA|.| −→ BC|.cos ˆB temos: (1, 1, 4).(−2, 2, 2) = √ 18.2. √ 3.cos ˆB ⇒ cos ˆB = 8 √ 18.2. √ 3 ⇒ ˆB = arccos 8 2.3. √ 6 ⇒ ˆB = arccos 4 3. √ 6 ⇒ ˆB = arccos 4. √ 6 3. √ 6. √ 6 ⇒ ˆB = arccos 4. √ 6 3.6 ⇒ ˆB = arccos 2. √ 6 3.3 ⇒ ˆB = arccos 2. √ 6 9 Calculando C: −−→ CA = (2, 1, 3) − (−1, 2, 1) = (3, −1, 2) | −−→ CA| = 32 + (−1)2 + 22 = √ 14 −→ CB = (1, 0, −1) − (−2, 21) = (2, −2, −2) | −→ CB| = 22 + (−2)2 + (−2)2 = 2. √ 3 Substituindo na equac¸˜ao −−→ CA. −→ CB = | −−→ CA|.| −→ CB|.cos ˆC temos: (3 − 1, 2).(2, −2, −2) = √ 14.2. √ 3.cos ˆC ⇒ cos ˆC = 4 √ 14.2. √ 3 ⇒ ˆC = arccos 4 2. √ 42 ⇒ ˆC = arccos 2 √ 42 ⇒ ˆC = arccos 2 √ 42 16. π 3 ,Sabendo que o ângulo entre os vetores u = (2, 1, −1) e v = (1, −1, m + 2) é determinar m. Soluc¸˜ao: F´ormula do ˆangulo entre dois vetores : cosΘ = u.v |u|.|v| u.v = (2, 1, −1).(1, −1, m + 2) = 2.1 + 1(−1) + (−1)(m + 2) = 2 − 1 − m − 2 = −1 − m |u| = (22 + 12 + (−1)2) = √ 6 |v| = 1 + 1 + (m + 2) = (2 + m2 + 4m + 4) = √ m2 + 4m + 6 Substituindo os valores na equac¸˜ao do angulo entre vetores temos: cos π 2 = (−1 − m) √ 6. √ m2 + 4m + 6 ⇒ 1 2 = (−1 − m) √ 6. √ m2 + 4m + 6 ⇒ √ 6. √ m2 + 4m + 6 = −2 − 2m ⇒ Elevando ambos os membros ao quadrado: 6.(m2 +4m+6) = (−2−2m)2 ⇒ 6m2 +24m+36 = 4+8m+4m2 ⇒ 2m2 +16m+32 = 0 ⇒ m2 + 8m + 16 = 0 ⇒ Resolvendo a equac¸˜ao 2o Grau. ∆ = 82 − 4.1.16 = 0 16
  15. 15. m = −8 ± 0 2.1 m = −4 17. Calcular n para que seja de 30o o ˆangulo entre os vetores u = (1, n, 2) e j. Soluc¸˜ao: u = (1, n, 2) |u| = √ 1 + n2 + 4 = √ n2 + 5 v = (0, 1, 0) |v| = 1 Substituindo os valores acima na equac¸˜ao: u.v = |u|.|v|.cos30o (1, n, 2).(0, 1, 0) = (n2 + 5).1. √ 3 2 ⇒ 0 + n + 0 = (n2 + 5). √ 3 2 ⇒ n = (n2 + 5). √ 3 2 ⇒ n2 = (n2 + 5). √ 3 2 2 ⇒ n2 = (n2 + 5). 3 22 ⇒ n2 = 3.(n2 + 5). 4 ⇒ 4n2 = 3n2 + 15 ⇒ n2 = 15 ⇒ n = ± √ 15 18. Dados os vetores a = (2, 1, α), b = (α + 2, −5, 2) e c = (2α, 8, α), determinar o valor de α para que o veor a + b seja ortogonal ao vetor c − a. Soluc¸˜ao: a + b = (2, 1, α) + (α + 2, −5, 2) = (α + 4, −4, α + 2) c − a = (2α, 8, α) − (2, 1, α) = (2α − 2, 7, 0) Para ser ortogonal (a + b).(c − a) = 0 (α + 4, −4, α + 2).(2, 1, α) = (2α − 2, 7, 0) = 0 (α + 4).(2α − 2) − 4.7 + 0 = 0 2α2 − 2α + 8α − 8 − 28 = 0 2α2 + 6α − 36 = 0 α2 + 3α − 18 = 0 17
  16. 16. Resolvendo a equac¸˜ao 2o grau. ∆ = 32 − 4.1.(−18) ⇒ ∆ = 81 α = −3 ± 9 2 α′ = −3 + 9 2 ⇒ α′ = 3 α′′ = −3 − 9 2 ⇒ α′′ = −6 19. Determinar o vetor v, paralelo ao vetor u = (1, −1, 2), tal que v.u = −18. Soluc¸˜ao: u = (1, −1, 2) v = α(u) ⇒ v = (α, −α, 2α) Substituindo os valores na equac¸˜ao:v.u = −18. (1, −2, 2)(α, −α, 2α) = −18 α + α + 4α = −18 6α = −18 α = −18 6 α = −3 v = (−3, 3, −6) 20. Determinar o vetor v ortogonal ao vetor u = (−4, 2, 6) e colinear e ao vetor w = (−6, 4, −2). como o vetor v ´e colinear ao vetor w, temos que: Soluc¸˜ao: v = α.w v = α.(−6, 4, −2) onde α elementos dos reais para α = 1, temos que o vetor v ´e igual ao vetor w, que isso n˜ao deixa de ser colinear, ou seja dois vetores iguais n˜ao deixa de ser colinear. v = α.(−6, 4, −2) para α = (− 1 2 ).t, onde t elemento dos reais, temos v = t.(3, −2, 1) para t = −2, temos que o vetor v ´e igual ao vetor w, que isso n˜ao deixa de ser colinear, ou seja dois vetores iguais n˜ao deixa de ser colinear. o vetor v = α.(−6, 4, −2) ´e tamb´em a soluc¸˜ao do problema...mas o vetor v = t.(3, −2, 1) ´e uma forma simplificada. o vetor v = α.(−6, 4, −2) e o vetor v = t.(3, −2, 1) s˜ao as mesmas soluc¸ ˜oes, basta tomar α = (−1/2).t , onde t e k elementos dos reais. ent˜ao temos que a resposta ´e v = t.(3, −2, 1) . 18
  17. 17. 21. Determinar o vetor v, colinear ao vetor u = (−4, 2, 6),tal que v.w = −12, sendo w = (−1, 4, 2). Soluc¸˜ao: v = α.u (x, y, z) = α.(−4, 2, 6) (x, y, z) = (−4α, 2α, 6α) Substituindo x, y e z na equac¸˜ao:v.w = −12 temos: (x, y, z).(−1, 4, 2) = −12 ⇒ (−4α, 2α, 6α).(−1, 4, 2) = −12 ⇒ 4α + 8α + 12α = −12 24α = −12 ⇒ α = − 1 2 v = − 1 2 .(−4, 2, 6) v = (2, −1, −3) . 22. Provar que os pontos A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(−3, −2, 1) s˜ao v´ertices de um triˆangulo retˆangulo. Soluc¸˜ao: Verificar se existe algum ˆangulo de 90o nos v´ertices. Testando ˆA cos ˆA = −→ AB. −−→ AC | −→ AB|.| −−→ AC| ⇒ cos ˆA = (−1, 2, −3).(−8, −3, −4) |(−1, 2, −3)|.|(−8, −3, −4)| ⇒ cos ˆA = 14 3, 74.9, 43 ⇒ cos ˆA = 0, 396 ⇒ ˆA = arccos0, 396 ⇒ ˆA 60o ⇒ ˆA 90o Testando ˆB cos ˆB = −→ BA. −→ BC | −→ BA|.| −→ BC| ⇒ cos ˆB = (1, −2, 3).(−7, −5, −1) |(1, −2, 3)|.|(−7, −5, −1)| ⇒ cos ˆB = 0 3, 74.8, 66 ⇒ cos ˆB = 0 ⇒ ˆB = arccos0 ⇒ ˆB = 90o . Verificar se os pontos est˜ao ligado se for um triˆangulo tem que satisfazer a seguinte equac¸˜ao: −→ AB − −−→ AC = −→ CB 19
  18. 18. Substitu´ıdo os valores temos: (−1, 2, 3−) − (−8, −3, −4) = (7, 5, 1) (7, 5, 1) = (7, 5, 1) Satisfeita a igualdade fica provado que os pontos est˜ao ligados com o ˆangulo ˆB sendo de 90o logo se trata de um triˆangulo retˆangulo. 23. Qual o valor de α para que os vetores a = αi + 5j − 4k e b = (α + 1)i + 2j + 4k sejam ortogonais? Soluc¸˜ao: a.b = 0 (α, 5, −4).((α + 1), 2, 4) = 0 ⇒ α(α + 1) + 10 − 16 = 0 ⇒ α(α + 1) − 6 = 0 ⇒ α2 + α − 6 = 0 ⇒ Resolvendo a equac¸˜ao 2o grau temos: ∆ = 1 − 4.1.(−6) ⇒ ∆ = 25 α = −1 ± 5 2 ⇒ α′ = −1 + 5 2 ⇒ α′ = 2 α′′ = −1 − 5 2 ⇒ α′′ = −3 α′ = 2 ou α′′ = −3 24. Verificar se existe ˆangulo reto no triˆangulo ABC, sendo A(2, 1, 3), B(3, 3, 5) e C(0, 4, 1). Soluc¸˜ao: Verificar se existe algum ˆangulo de 90o nos v´ertices. Testando ˆA cos ˆA = −→ AB. −−→ AC | −→ AB|.| −−→ AC| ⇒ cos ˆA = (1, 2, 1).(−2, 3, −2) |(1, 2, 1)|.|(−2, 3, −2)| ⇒ cos ˆA = 0 3.4, 12 ⇒ cos ˆA = 0 ⇒ ˆA = arccos0 ⇒ ˆA = 90o ⇒ ˆA = 90o ˆA = 90o . 20
  19. 19. 25. Os ˆangulos diretores de um vetor podem ser de 45o , 60o e 90o ? Justificar. Soluc¸˜ao: Para serem ˆangulos diretores tem que satisfazer a formula: cos2 45o + cos2 60o + cos2 90o = 1 Resolvendo: (0, 707)2 + (0.5)2 + 02 = 1 ⇒ 0.5 + 0.25 + 0 = 1 ⇒ 0.75 1 logo: N˜ao s˜ao ˆangulos diretores. 26. Os ˆangulos diretores de um vetor s˜ao de 45o , 60o e γ. Determinar γ. Soluc¸˜ao: cos2 45o + cos2 60o + cos2 γ = 1 ⇒ (0, 707)2 + (0.5)2 + cos2 γ = 1 ⇒ 0.5 + 0.25 + cos2 γ = 1 ⇒ cos2 γ = 1 − 0.75 ⇒ cos2 γ = 0.25 (cos2γ) = √ 0.25 cosγ = ±0.5 γ = arccos ± 0.5 γ′ = 60o ou γ′′ = 120o 27. Determinar o vetor v, sabendo que |v| = 5, v e ortogonal ao eixo 0z, v.w = 6 e w = 2j + 3k. Soluc¸˜ao: v = (x, y, z) ⇒ Para ser Ortogonal a 0z = (0, 0, 1) (x, y, z).(0, 0, 1) = 0 ⇒ 0.x + 0.y + 1.z = 0 ⇒ z = 0 Usando a equac¸˜ao:v.w = 6 temos: (x, y, 0).(0, 2, 3) = 6 ⇒ 0.x + 2y + 3.0 = 6 ⇒ 2y = 6 ⇒ y = 3 Usando a equac¸˜ao |(x, 3, 0)| = 5 temos: √ x2 + 32 + 02 = 5 ⇒ x2 + 9 = 52 ⇒ x2 = 25 − 9 ⇒ x2 = 16 ⇒ x = ± √ 16 ⇒ x = ±4 v = (4, 3, 0) ou v = (−4, 3, 0) 28. Sabe-se que |v| = 2, cosα = 1 2 e cosβ = − 1 4 . Determinar v. Soluc¸˜ao: cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 ⇒ 21
  20. 20. 1 2 2 + − 1 4 2 + cos2 γ = 1 ⇒ cos2 γ = 1 − 1 2 2 + − 1 4 2 ⇒ cos2 γ = 1 − 1 4 + 1 16 ⇒ cos2 γ = 1 − 4 + 1 16 ⇒ cos2 γ = 1 − 5 16 ⇒ cos2 γ = 16 − 5 16 ⇒ cos2 γ = 11 16 ⇒ cosγ = ± 11 16 ⇒ cosγ = ± √ 11 4 ⇒ Para coordenada x : x = cosα.|v| ⇒ x = 1 2 .2 ⇒ x = 1 Para coordenada y : y = cosβ.|v| ⇒ x = − 1 4 .2 ⇒ y = − 1 2 Para coordenada z : z = cosγ.|v| ⇒ z = √ 11 4 .2 ⇒ z = ± √ 11 2 v = (1, − 1 2 , ± √ 11 2 ) 29. Determinar um vetor unit´ario ortogonal ao vetor v = (2, −1, 1) Soluc¸˜ao: Seja u = (a, b, c) o vetor unit´ario pedido,ent˜ao a2 + b2 + c2 = 1 Como u ´e ortogonal a v ,ent˜ao u.v = 0 u.v = 0 => (a, b, c).(2, −1, 1) = 0 ⇒ 2a − b + c = 0 Como temos duas equac¸ ˜oes,mas trˆes inc´ognitas,ent˜ao teremos que atribuir a uma inc´ognita um valor arbitr´ario. Logo, seja a = 0. Ent˜ao c − b = 0 ⇒ c = b a2 + b2 + c2 = 1 ⇒ b2 + b2 = 1 ⇒ b = ± √ 2 2 Assim,encontramos dois vetores unit´arios u e ortogonais a v 22
  21. 21. b = √ 2 2 ⇒ c = √ 2 2 e a = 0 ⇒ u = (0, √ 2 2 , √ 2 2 ) b = √ 2 2 ⇒ c = √ 2 2 e a = 0 ⇒ u = (0, − √ 2 2 , − √ 2 2 ) u = (0, ± √ 2 2 , ± √ 2 2 ) 30. Determinar um vetor de modulo 5 paralelo ao vetor v = (1, −1, 2). Soluc¸˜ao: v = (1, −1, 2) Dois vetores v e w s˜ao paralelos se existe uma constante real k diferente de zero, tal que: w = k.v ⇒ w = k.(1, −1, 2) = (k, −k, 2k) |w| = 5 |w|2 = k2 + (−k)2 + (2k)2 = 6k2 52 = 6k2 ⇒ k = ± 5. √ 6 6 w = 5. √ 6 6 , − 5. √ 6 6 , 5. √ 6 3 ou w = − 5. √ 6 6 , 5. √ 6 6 , − 5. √ 6 3 31. O vetor v ´e ortogonal aos vetores u = (2, −1, 3) e w = (1, 0, −2) e forma ˆangulo agudo com o vetor j. Calcular v, sabendo que |v| = 3. √ 6 Soluc¸˜ao: v = uxw = i j k 2 −1 3 1 0 −2 = 2i + 7j + k. v = (2, 7, 1) Agora calculemos o ˆangulo que forma entre v e j, ou seja, o ˆangulo que forma o vetor v = (2, 7, 1) com o vetorj = (0, 1, 0). teremos que cosθ = v.j |v|.|j| ⇒ cosθ = 7 3 √ 6.1 = 7 3. √ 6 cosθ = 7 3 √ 6 32. Determine o vetor v, ortogonal ao eixo Oz, que satisfaz as condic¸ ˜oes v.v1 = 10 e v.v2 = −5, sendo v1 = (2, 3, −1) e v2 = (1, −1, 2). Soluc¸˜ao: Calculando v.(0, 0, 1) = 0 v.(0, 0, 1) = 0 ⇒ (x, y, z).(0, 0, 1) = 0 ⇒ z = 0 23
  22. 22. (x, y, 0).(1, −1, 2) = −5 ⇒ x − y = −5 ⇒ x = y − 5 (x, y, 0).(2, 3, −1) = 10 ⇒ 2x + 3y = 10 Substituindo x por y − 5 temos: 2(y − 5) + 3y = 10 ⇒ 2y − 10 + 3y = 10 ⇒ 5y = 20 ⇒ y = 4 Substituindo y = 4 em x = y − 5 temos: x = 4 − 5 ⇒ x = −1 v = (−1, 4, 0) 33. Determinar o vetor projec¸˜ao do vetor u = (1, 2, −3) na direc¸˜ao de v = (2, 1, −2). Soluc¸˜ao: Formula da projec¸˜ao de um vetor:Projvu = u.v |v||v| .v Resolvendo: |v| = 22 + 12 + (−2)2 ⇒ |v| = √ 9 Projvu = (1, 2, −3).(2, 1, −2) √ 9. √ 9 .(2, 1, −2) ⇒ Projvu = (2 + 2 + 6) 9 .(2, 1, −2) Projvu = 10 9 .(2, 1, −2) 34. Qual o comprimento do vetor projec¸˜ao u = (3, 5, 2) sobre o eixos dos x.? Soluc¸˜ao: Formula da projec¸˜ao de um vetor:Proji u = u.i |i||i| .i Resolvendo: |i| = 1 Proji u = (3, 5, 2).(1, 0, 0) 1.1 .(1, 0, 0) ⇒ Proji u = (3, 0, 0) |Proji u| = √ 32 = 3 |Proji u| = 3 35. Se o vetor −→ AB tem co-senos diretores p, q e r e ˆangulos diretores α , β e γ, quais s˜ao os co-senos e os ˆangulos diretores de −→ BA. Soluc¸˜ao: Ser´a o mesmo co-seno diretor do vetor AB, j´a que o vetor tem mesmo modulo e direc¸˜ao, tendo apenas o sentido contrario. −p , −q e −r O cosseno diretor de um vetor ´e a componente do vetor naquela direc¸˜ao dividido pelo m´odulo do seu versor, ou seja, para cada componente (x,y,z) tˆem-se um cosseno diretor. Se o vetor possui mesmo m´odulo e direc¸˜ao, duas informac¸ ˜oes 24
  23. 23. para a obtenc¸˜ao do mesmo n˜ao se alteram. o versor ´e o mesmo(m´odulo) e a distancia do vetor `a componente(direc¸˜ao) ´e a mesma tamb´em. π − α, π − β e π − γ 36. Mostrar que u e v s˜ao vetores, tal que u + v e ortogonal a u − v, ent˜ao |u| = |v|. Soluc¸˜ao: u = (a, b) v = (x, y) u + v = (a + x, b + y) u − v = (a − x, b − y) (u + v)(u − v) = (a + x, b + y).(a − x, b − y) = 0 (a2 − x2 , b2 − y2 ) = (0, 0) a2 − x2 = 0 ⇒ a2 = x2 ⇒ a = x b2 − y2 = 0 ⇒ b2 = y2 .....b = y Ent˜ao: u = (a, b) e v = (a, b) Logo: |u| = |v| 37. Mostrar que, se u ´e ortogonal a v e w, u ´e tamb´em ´e ortogonal a v + w Soluc¸˜ao: u = (x, y, z) v = (a, b, c) z = (e, f, g) Agora se u e ortogonal a v e w o produto escalar entre eles ´e 0. assim: (x, y, z).(a, b, c) = 0, ou seja, u.v = 0 (xa, yb, zc) = 0 (x, y, z).(e, f, g) = 0, ou seja, u.z = 0 (xe, y f, zg) = 0 Agora vamos somar os dois, (xa, yb, zc)+(xe, yf, zg) = 0, j´a que ambos s˜ao iguais a 0. Agora vamos fazer v+w = (x, y, z)+(e, f, g) = (x+e, y+ f, z+ g), se u e ortogonal a v + w significa que u.(v + w) = 0. Aplicando a propriedade distributiva, temos (u.v) + (u.w) = 0 , e isso e verdade, pois j´a provamos que u.v = 0 e u.w = 0, nas primeiras contas. Substituindo teremos 0 + 0 = 0 o que ´e verdade. 25
  24. 24. 38. Calcular o modulo dos vetores u + v e u − v, sabendo que |u| = 4 e v = 3 e o ˆangulo entre u e v ´e de 60o . Soluc¸˜ao: |u + v|2 = |u|2 + |v|2 + 2.|u|.|v|.cos60o |u − v|2 = |u|2 + |v|2 − 2.|u|.|v|.cos60o No caso: |u + v|2 = 42 + 32 + 2.4.3 ∗ cos60o = 16 + 9 + 24. 1 2 = 25 + 12 = |u + v| = √ 37 |u − v|2 = 42 + 32 − 2.4.3 ∗ sen60o = 16 + 9 − 24. 1 2 = 25 − 12 |u − v| = √ 13 39. Sabendo que |u| = 2, e |v| = 3 e que u e v formam um ˆangulo de 3π 2 rad, determinar |(2u − v).(u − 2v)|. u.v = |u||v|cosθ = 2.3.cos 3π 2 = 6. − √ 2 2 = −3 √ 2 Assim |(2u − v).(u − 2v)| = |2u2 − 5u.v + 2v2 | = Como u.u = |u|2 e v.v = |v|2 temos: |2|u|2 − 5u.v + 2|v|2 | = |2.22 − 5u.v + 2.32 | = |8 + 15 √ 2 + 18| = |26 + 15 √ 2| Como o valor ´e positivo retira-se o modulo. |(2u − v).(u − 2v)| = 26 + 15 √ 2 40. Determinar u.v + u.w + v.w, sabendo que u + v + w = 0, |u| = 2, |v| = 3 e |w| = √ 5. Soluc¸˜ao: 0 = 0.0 = (u + v + w).(u + v + w) = u.u + u.v + u.w + v.u + v.v + v.w + w.u + w.v + w.w = u.u + v.v + w.w + 2.(u.v + u.w + v.w) = |u|2 + |v|2 + |w|2 + 2.(u.v + u.w + v.w) = 4 + 9 + √ 5 2 + 2.(u.v + u.w + v.w) = 0 ⇒ u.v + u.w + v.w = − (13 + 5) 2 26
  25. 25. u.v + u.w + v.w = − 18 2 u.v + u.w + v.w = −9 41. O vetor v ´e ortogonal aos vetores a = (1, 2, 0) e b = (1, 4, 3) e forma ˆangulo agudo com o eixo dos x. Determinar v, sabendo que |v| = 14. Soluc¸˜ao: Seja v = (x, y, z) o vetor procurado. v ´e ortogonal ao vetor a logo v.a = 0 ⇒ x + 2y = 0 (1) v ´e ortogonal ao vetor b logo v.b = 0 ⇒ x + 4y + 3z = 0 (2) |v| = 4 ⇒ x2 + y2 + z2 = 16 (3) De(1) temos y = − x 2 que substitu´ıdo em (2) nos permite concluir que: z = x 3 Substituindo estes valores de y e z em (3) temos que x2 = 144 => x = ±12. Por´em, o problema nos diz que o ˆangulo Θ formado por v e o eixo dos x ´e agudo. Ent˜ao o ˆangulo formado por v e o vetor unit´ario na direc¸˜ao do eixo x tamb´em ´e agudo. Este vetor ´e i = (1, 0, 0). cosθ = i.v |i|.|v| ⇒ cosθ = x 1.14 = x 14 (4) Como θ ´e agudo, seu cosseno ´e positivo. Ent˜ao podemos concluir de (4) que x ´e positivo ⇒ x = 12. x = 12 ⇒ y = −x 2 = −12 2 = −6 e z = x 3 = 12 3 = 4 O vetor Procurado: v = (12, −6, 4) 42. Dados os vetores u = (2, −1, 1), v = (1, −1, 0) e w = (−1, 2, 2), calcular : a) w × v Soluc¸˜ao: w × v = i j k −1 2 2 1 −1 0 = 0 + k + 2j − (2k − 2i + 0) w × v = 2i + 2j − k w × v = (2, 2, −1) b) v × (w − u) Soluc¸˜ao: w − u = (−1, 2, 2) − (2, −1, 1) = (−3, 3, 1) 27
  26. 26. v × (w − u) = i j k 1 −1 0 −3 3 1 = −i + 3k − (3k + j) v × (w − u) = −i − j v × (w − u) = (−1, −1, 0) c) (u + v) × (u − v) Soluc¸˜ao: u + v = (2, −1, 1) + (1, −1, 0) = (3, −2, 1) u − v = (2, −1, 1) − (1, −1, 0) = (1, 0, 1) u + v × (u − v) = i j k 3 −2 1 1 0 1 = −2i + j − (−2k + 3j) u + v × (u − v) = −2i − 2j + 2k u + v × (u − v) = (−2, −2, 2) d) (2u) × (3v) Soluc¸˜ao: (2u) = 2(2, −1, 1) = (4, −2, 2) (3v) = 3(1, −1, 0) = (3, −3, 0) (2u) × (3v) = i j k 4 −2 2 3 −3 0 = −12k + 6j − (−6k − 6i) (2u) × (3v) = 6i + 6j − 6k (2u) × (3v) = (6, 6, −6) e) (u × v).(u × v) Soluc¸˜ao: u × v = i j k 2 −1 1 1 −1 0 = −2k + j − (−k − i) (u) × (v) = i + j − k u × v = (1, 1, −1) (u × v).(u × v) = (1, 1, −1).(1, 1, −1) = 1 + 1 + 1 = 3 (u × v).(u × v) = 3 f) (u × v).w e u.(v × w) Soluc¸˜ao: 28
  27. 27. u × v = i j k 2 −1 1 1 −1 0 = −2k + j − (−k − i) u × v = i + j − k u × v = (1, 1, −1) (u × v).w = (1, 1, −1).(−1, 2, 2) = −1 + 2 − 2 = −1 v × w = i j k 1 −1 0 −1 2 2 = −2i + 2k − (k + j) v × w = −2i − 2j + k v × w = (−2, −2, 1) u.(v × w) = (2, −1, 1).(−2, −2, 1) = −4 + 2 + 1 = −1 (u × v).w = u.(v × w) = −1 g) (u × v) × w e u × (v × w) Soluc¸˜ao: u × v = i j k 2 −1 1 1 −1 0 = −2k + j − (−k − i) u × v = i + j − k u × v = (1, 1, −1) (u × v) × w = i j k 1 1 −1 −1 2 2 = 2k + j + 2i − (−k − 2i + 2j) (u × v) × w = 4i − j + 3k (u × v) × w = (4, −1, 3) v × w = i j k 1 −1 0 −1 2 2 = −2i + 2k − (k + j) v × w = −2i − 2j + k u × (v × w) = i j k 2 −1 1 −2 −2 1 = −i − j − 4k − (2j − 2i + 2k) u × (v × w) = i − 4j − 6k h) (u + v).(u × w) Soluc¸˜ao: 29
  28. 28. u × w = i j k 2 −1 1 −1 2 2 = −2i − j + 4k − (2i + 4j + k) u × w = −4i − 5j + 3k u + v = (2, −1, 1) + (1, −1, 0) = (3, −2, 1) (u + v).(u × w) = (3, −2, 1).(−4, −5, 3) = −12 + 10 + 3 = 1 (u + v).(u × w) = 1 43. Dados os vetores a = (1, 2, 1) e b = (2, 1, 0), calcular: a) 2a × (a + b) Soluc¸˜ao: a + b = (1, 2, 1) + (2, 1, 0) = (3, 3, 1) 2a = 2(1, 2, 1) = (2, 4, 2) 2a × (a + b) = i j k 2 4 2 3 3 1 = 4i + 6j + 6k − (6i + 2j + 12k) 2a × (a + b) = −2i + 4j − 6k 2a × (a + b) = (−2, 4, −6) b) (a + 2b) × (a − 2b) 2b = 2(2, 1, 0) = (4, 2, 0) a + 2b = (1, 2, 1) + (4, 2, 0) = (5, 4, 1) a − 2b = (1, 2, 1)(4, 2, 0) = (−3, 0, 1) (a + 2b) × (a − 2b) = i j k 5 4 1 −3 0 1 = 4i − 3j − (5j − 12k) (a + 2b) × (a − 2b) = 4i − 8j + 12k (a + 2b) × (a − 2b) = (4, −8, 12) 44. Dados os pontos A(2, −1, 2), B(1, 2, −1) e C(3, 2, 1) determinar o vetor −→ CB × ( −→ BC − 2 −−→ CA). Soluc¸˜ao: −→ CB = B − C = (1, 2, −1) − (3, 2, 1) = (−2, 0, −2) −→ BC = C − B = (3, 2, 1) − (1, 2, −1) = (2, 0, 2) 2 −−→ CA = 2(A − C) = 2[(2, −1, 2) − (3, 2, 1)] = 2(−1, −3, 1) = (−2, −6, 2) −→ BC − 2 −−→ CA = (2, 0, 2) − (−2, −6, 2) = (4, 6, 0) 30
  29. 29. −→ CB × ( −→ BC − 2 −−→ CA) = i j k −2 0 −2 4 6 0 = −8j − 12k − (−12i) −→ CB × ( −→ BC − 2 −−→ CA) = 12i − 8j − 12k −→ CB × ( −→ BC − 2 −−→ CA) = (12, −8, −12) 45. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2a+b e b = a, sendo a = (3, −1, −2) e b = (1, 0, −3). Soluc¸˜ao: 2a = 2(3, −1, −2) = (6, −2, −4) 2a + b = (6, −2, −4) + (1, 0, −3) = (7, −2, −7) b − a = (1, 0, −3) − (3, −1, −2) = (−2, 1, −1) (2a + b) × (b − a) = i j k 7 −2 −7 −2 1 −1 = 2i + 14j + 7k − (−7j − 7i + 4k) (2a + b) × (b − a) = 9i + 21j + 3k (2a + b) × (b − a) = (9, 21, 3) 46. Dados os vetores a = (1, −1, 2), b = (3, 4, −2) e c = (−5, 1, −4), mostre que a.(b × c) = (a × b).c Soluc¸˜ao: b × c = i j k 3 4 −2 −5 1 −4 = −16i + 10j + 3k − (−12j − 2i − 20k) b × c = −19i + 22j + 23k a × b = i j k 1 −1 2 3 4 −2 = 2i + 6j + 4k − (−2j + 8i − 3k) a × b = −6i + 8j + 7k a.(b × c) = (1, −1, 2).(−14, 22, 23) = −14 + (−22) + 46 = 10 (a × b).c = (−6, 8, 7).(−5, 1, −4) = 30 + 8 − 28 = 10 a.(b × c) = (a × b).c = 10 47. Determinar o valor de m para que o vetor w = (1, 2, m) seja simultaneamente ortogonal aos vetores v1 = (2, −1, 0) e v2 = (1, −3, −1). Soluc¸˜ao: 31
  30. 30. Calcular o produto vetorial entre v1 × v2 v1 × v2 = i j k 2 −1 0 1 −3 −1 = i − 6k − (−2j − k) v1 × v2 = i + 2j − 5k w = α(v1 × v2) ⇒ (1, 2, m) = α(1, 2, −5) 1 = α1 ⇒ α = 1 logo: m = α − 5 ⇒ m = 1. − 5 ⇒ m = −5 m = −5 48. Dados os vetores v = a, 5b, − c 2 e w = (−3a, x, y), determinar x e y para que v × w = 0 Soluc¸˜ao: v × w = i j k a 5b −c 2 −3a x y = 5byi + (−3a)(−c 2 )j + axk − (+ayj + (−c 2 )xi + 5b(−3a)k) v × w = 5by + cx 2 i + 3ac 2 − ay j + (ax + 15ab)k Igualando v × w = 0 temos: 3ac 2 − ay = 0 ⇒ ay = 3ac 2 ⇒ y = 3c 2 ax + 15ab = 0 ⇒ ax = −15ab ⇒ x = −15b x = −15b e y = 3c 2 49. Determinar um vetor unit´ario simultaneamente ortogonal aos vetores v1 = (1, 1, 0) e v2 = (2, −1, 3), Nas mesmas condic¸ ˜oes, determinar um vetor de modulo 5. Soluc¸˜ao: v1 × v2 = i j k 1 1 0 2 −1 3 = 3i − k − (3j + 2k) v1 × v2 = 3i − 3j − 3k Calculando o Modulo: |v1 × v2| = 32 + (−3)2 + (−32) = 3 √ 3 u = v1 × v2 |v1 × v2| ⇒ 32
  31. 31. u = 3 3 √ 3 , − 3 3 √ 3 , − 3 3 √ 3 ⇒ u = 1 √ 3 , − 1 √ 3 , − 1 √ 3 ⇒ Onde u ´e o vetor unit´ario que queremos encontrar. Para encontrar o vetor na mesma direc¸˜ao de u com modulo 5 basta multiplicar pelo escalar 5, logo: 5u = 5 √ 3 , − 5 √ 3 , − 5 √ 3 u = 1 √ 3 , − 1 √ 3 , − 1 √ 3 e 5u = 5 √ 3 , − 5 √ 3 , − 5 √ 3 50. Mostrar num gr´afico um representante de cada um dos seguintes vetores: a) j × 2i Soluc¸˜ao: 33
  32. 32. b) 3i × 2k Soluc¸˜ao: 51. Sabendo que |a| = 3, |b| = √ 2 e 45o ´e o ˆangulo entre a e b, calcular |a × b|. Soluc¸˜ao: Usando a formula do modulo do produto vetorial temos: |a × b| = |a|.|b|.senθ ⇒ |a × b| = 3. √ 2.sen45o ⇒ |a × b| = 3. √ 2. √ 2 2 ⇒ |a × b| = 3 52. Se |u × v| = 3 √ 3, |u| = 3 e 60o ´e o ˆangulo entre u e v, determinar |v|. Soluc¸˜ao: Usando a formula do modulo do produto vetorial temos: |a × b| = |a|.|b|.senθ ⇒ 3 √ 3 = 3.|v|.sen60 ⇒ 3 √ 3 = 3.|v|. √ 3 2 |v| = 3. √ 3. 2 3. √ 3 |v| = 2 34
  33. 33. 53. Dados os vetores a = (3, 4, 2) e b = (2, 1, 1), obter um vetor de modulo 3 que seja ao mesmo tempo ortogonal aos vetores 2a − b e a + b. Soluc¸˜ao: 2a = 2.(3, 4, 2) = (6, 8, 4) 2a − b = (6, 8, 4) − (2, 1, 1) = (4, 7, 3) a + b = (3, 4, 2) + (2, 1, 1) = (5, 5, 3) (2a − b) × (a + b) = i j k 4 7 3 5 5 3 = 21i + 15j + 20k − (35k + 15i + 12j) (2a − b) × (a + b) = 6i + 3j − 15k (2a − b) × (a + b) = (6, 3, −15) |(2a − b) × (a + b)| = 62 + 32 + (−15)2 = √ 36 + 9 + 225 = √ 270 = 3 √ 30 (2a − b) × (a + b) |(2a − b) × (a + b)| = 6 3 √ 30 , 3 3 √ 30 , − 15 3 √ 30 = 2 √ 30 , 1 √ 30 , − 5 √ 30 3. (2a − b) × (a + b) |(2a − b) × (a + b)| = 3. 2 √ 30 , 1 √ 30 , − 5 √ 30 = 6 √ 30 , 3 √ 30 , − 15 √ 30 3. (2a − b) × (a + b) |(2a − b) × (a + b)| = 6 √ 30 , 3 √ 30 , − 15 √ 30 54. Calcular a ´area do paralelogramo definido pelos vetores u = (3, 1, 2) e v = (4, −1, 0). Soluc¸˜ao: u × v = i j k 3 1 2 4 −1 0 = 0 − 3k + 8j − (4k − 2i + 0) u × v = 2i + 8j − 3k |u × v| = 22 + 82 + (−7)2 |u × v| = √ 117 55. Mostrar que o quadril´atero cujos v´ertices s˜ao os pontos A(1, −2, 3), B(4, 3, −1), C(5, 7, −3) e D(2, 2, 1) ´e um paralelogramo e calcule sua ´area. Soluc¸˜ao: Para ser um paralelogramo a equac¸˜ao −→ AB + −−→ AD = −−→ AC tem que ser satisfeita. −→ AB = (4, 3, −1) − (1, −2, 3) = (3, 5, −4) −−→ AD = (2, 2, 1) − (1, −2, 3) = (1, 4, −2) −−→ AC = (5, 7, −3) − (1, −2, 3) = (4, 9, −6) Substituindo os respectivos valores na equac¸˜ao: −→ AB + −−→ AD = −−→ AC temos: 35
  34. 34. (3, 5, −4) + (1, 4, −2) = (4, 9, −6) (4, 9, −6) = (4, 9, −6), a igualdade foi satisfeita logo ´e um paralelogramo. Calculo da ´area: ´area= −→ AB × −−→ AD −→ AB × −−→ AD = i j k 3 5 −4 1 4 −2 = 10i + 4j + 12k − (5k = 16i − 6j) = 6i + 2j + 7k | −→ AB × −−→ AD| = √ 62 + 22 + 72 = √ 36 + 4 + 49 = √ 89 | −→ AB × −−→ AD| = √ 89 56. Calcular a ´area do paralelogramo cujos os lados s˜ao determinados pelos vetores 2u e −v, sendo u = (2, −1, 0) e v = (1, −3, 2). Soluc¸˜ao: 2u = (4, −2, 0) −v = (−1, 3, −2) (2u) × (−v) = i j k 4 −2 0 −1 3 −2 = 4i − 12k + 0 − (2k + 0 − 2j) = 4i − 8j + 10k (2u) × (−v) = 4i − 8j + 10k |(2u) × (−v)| = 42 + (−8)2 + 102 |(2u) × (−v)| = √ 16 + 64 + 100 |(2u) × (−v)| = √ 180 |(2u) × (−v)| = √ 22.32.5 |(2u) × (−v)| = 2.3 √ 5 |(2u) × (−v)| = 6 √ 5 57. Calcule a ´area do triˆangulo de v´ertices a)A(−1, 0, 2), B(−4, 1, 1) e C(0, 1, 3) Soluc¸˜ao: ´area do triˆangulo e dado pela formula: | −→ AB × −−→ AC| 2 −→ AB = B − A = (−3, 1, −1) −−→ AC = C − A = (1, 1, 1) −→ AB × −−→ AC = i j k −3 1 −1 1 1 1 = i − 3k − j − (k − 3j − i) −→ AB × −−→ AC = 2i + 2j − 4k 36
  35. 35. | −→ AB × −−→ AC| = 22 + 22 + (−4)2 | −→ AB × −−→ AC| = √ 4 + 4 + 16 | −→ AB × −−→ AC| = √ 24 = 2 √ 6 ´area do triˆangulo = | −→ AB × −−→ AC| 2 = 2 √ 6 2 = √ 6 ´area do triˆangulo= √ 6 b)A(1, 0, 1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0) Soluc¸˜ao: ´area do triˆangulo e dado pela formula: | −→ ABx −−→ AC| 2 −→ AB = B − A = (3, 2, 0) −−→ AC = C − A = (0, 2, −1) −→ AB × −−→ AC = i j k 3 2 0 0 2 −1 = 2i + 6k + 0 − (0 − 3j + 0) −→ AB × −−→ AC = −2i + 23vecj + 6k | −→ AB × −−→ AC| = (−2)2 + 32 + 62 | −→ AB × −−→ AC| = √ 4 + 9 + 36 | −→ AB × −−→ AC| = √ 49 = 7 ´area do triˆangulo = | −→ AB × −−→ AC| 2 = 7 2 ´area do triˆangulo= 7 2 c)A(2, 3, −1), B(3, 1, −2) e C(−1, 0, 2) Soluc¸˜ao: ´area do triˆangulo e dado pela formula: | −→ AB × −−→ AC| 2 −→ AB = B − A = (1, −2, −1) −−→ AC = C − A = (−3, −3, 3) −→ AB × −−→ AC = i j k 1 −2 −1 −3 −3 3 = −6i − 3k + 3j − (6k + 3i + 3j) −→ AB × −−→ AC = −9i − 9k | −→ AB × −−→ AC| = (−9)2 + (−9)2 37
  36. 36. | −→ AB × −−→ AC| = √ 81 + 81 | −→ AB × −−→ AC| = √ 162 = 9 √ 2 ´area do triˆangulo = | −→ AB × −−→ AC| 2 = 9 √ 2 2 = 9 √ 2 ´area do triˆangulo= 9 √ 2 2 d)A(−1, 2, −2), B(2, 3, −1) e C(0, 1, 1) Soluc¸˜ao: ´area do triˆangulo e dado pela formula: | −→ AB × −−→ AC| 2 −→ AB = B − A = (3, 1, 1) −−→ AC = C − A = (1, −1, 3) −→ AB × −−→ AC = i j k 3 1 1 1 −1 3 = 3i − 3k + j − (k + 9j − i) −→ AB × −−→ AC = 4i − 8j − 4k | −→ AB × −−→ AC| = 42 + (−8)2 + (−4)2 | −→ AB × −−→ AC| = √ 16 + 64 + 16 | −→ AB × −−→ AC| = √ 96 = 4 √ 6 ´area do triˆangulo = | −→ AB × −−→ AC| 2 = 4 √ 6 2 = 2 √ 6 ´area do triˆangulo= 2 √ 6 58. Calcular a ´area do paralelogramo que tem um v´ertice no ponto A(3, 2, 1) e uma diagonal de extremidade B(1, 1, −1) e C(0, 1, 2). Soluc¸˜ao: −−→ AC = C − A = (−3, −1, 1) −→ BA = A − B = (2, 1, 2) −−→ AC × −→ BA = i j k −3 −1 1 2 1 2 = −2i − 3k + 2j − (−2k − 6j + i) −−→ AC × −→ BA = −3i + 8j − k | −−→ AC × −→ BA| = (−3)2 + 82 + (−1)2 = √ 3 + 64 + 1 = √ 74 | −−→ AC × −→ BA| = √ 74 38
  37. 37. 59. Calcular x, sabendo que A(x, 1, 1), B(1, −1, 0) e C(2, 1, −1) s˜ao v´ertices de um triˆangulo de ´area √ 29 2 . Soluc¸˜ao: −→ AB = (1 − x, −2, −1) −→ BC = (1, 2, −1) −→ AB × −→ BC = i j k 1 − x −2 −1 1 2 −1 = 4i + (−2x + 4)k + xj −→ AB × −→ BC = 4i − xj + (−2x + 4)k | −→ AB × −→ BC| = 42 + x2 + (4 − 2x)2 | −→ AB × −→ BC| = √ 16 + x2 + 16 − 4x + 4x2 substituindo pelo valor da ´area do triangulo temos: √ 16 + x2 + 16 − 4x + 4x2 2 = √ 29 2 ⇒ Cancelando ambos os denominadores iguais a 2. √ 16 + x2 + 16 − 4x + 4x2 = √ 29 ⇒ Cancelando as raizes: 16 + x2 + 16 − 4x + 4x2 = 29 ⇒ 5x2 − 16x + 32 = 29 ⇒ 5x2 − 16x + 32 − 29 = 0 ⇒ 5x2 − 16x + 3 = 0 ⇒ Resolvendo a equac¸˜ao 2o grau: ∆ = 256 − 60 = 196 x = 16 ± 14 10 x′ = 2 10 = 1 5 x′′ = 30 10 = 3 x′ = 1 5 ou x′′ = 3 60. Dado o triˆangulo de v´ertices A(0, 1, −1), B(−2, 0, 1) e C(1, −2, 0), calcular a medida da altura relativa ao lado BC. Soluc¸˜ao: vetor −→ AB: −→ AB = (−2 − 0)i + (0 − 1)j + (1 + 1)k 39
  38. 38. −→ AB = −2i − j + 2k vetor −−→ AC: −−→ AC = (1 − 0)i + (−2 − 1)j + (0 + 1)k −−→ AC = i − 3j + k −→ AB × −−→ AC = i j k −2 −1 2 1 −3 1 = −i + 2j + 6k − (−6i − 2j − k) −→ AB × −−→ AC = 5i + 4j + 7k area = | −→ AB × −−→ AC| 2 = (52 + 42 + 72) 2 = √ 90 2 = 3. √ 10 2 | −→ BC| = (1 + 2)2 + (0 − 2)2 + (0 − 1)2] = √ 14 area = −→ BC. h 2 h = 2. area −→ BC = 2.3. √ 10 2. √ 14 h = 3. √ 10 √ 14 h = 3. √ 10. √ 14 14 h = 3. √ 140 14 h = 3.2. √ 35 14 h = 3 √ 35 7 61. Determinar v tal que v seja ortogonal ao eixo dos y e u = v×w, sendo u = (1, 1, −1) e w = (2, −1, 1). Soluc¸˜ao: v = (x, y, z) Para ser ortogonal ao eixo dos y tem que satisfazer a seguinte formula v.j = 0 (x, y, z) = (0, 1, 0) = 0 ⇒temos: y = 0 Onde temos: v = (x, 0, z) Para segunda condic¸˜ao: u = v × w: Calculando:v × w = i j k x 0 z 2 −1 1 = −xk + 2zj − (−zi + xj) = zi + (2z − x)j − xk 40
  39. 39. Igualando os resultados temos de u com v × w: (1, 1, −1) = (z, 2z − x, −x) onde temos: z = 1 e x = 1 v = (1, 0, 1) 62. Dados os vetores u = (0, 1, −1), v = (2, −2, −2) e w = (1, −1, 2), determine o vetor x, paralelo a w, que satisfaz `a condic¸˜ao: x × u = v. Soluc¸˜ao: x//w ⇒ x = αw ⇒ x = α(1, −1, 2) ⇒ x = (α, −α, 2α) x × u = i j k α −α 2α 0 1 −1 = αi + αk − (2αi − αj) = −αi + αj + αk Temos pela formula: x × u = v (−α, α, α) = (2, −2, −2) Tiramos que: α = −2: logo: x = αw x = −2(1, −1, 2) = (−2, 2, −4) x = (−2, 2, −4) 63. Dados os vetores u = (2, 1, 0) e v = (3, −6, 9), determinar o vetor x que satisfaz a relac¸˜ao v = u × x e que seja ortogonal ao vetor w = (1, −2, 3). Soluc¸˜ao: v = u × x u × x = i j k 2 1 0 x y z = zi − 2zj + (2y − x)k = (z, −2z, 2y − x) mas como v = u × x, ent˜ao (z, −2z, 2y − x) = (3, −6, 9) pela igualdade acima z = 3 e 2y − x = 9 (I) foi dito que x ortogonal w = (1, −2, 3), por isso: x.w = 0 (x, y, z).(1, −2, 3) = 0 e por essa igualdade x − 2y + 3z = 0 ⇒ x − 2y + 9 = 0 ⇒ x − 2y = −9 (II) como (I) = (II) x = 2y − 9 x = (2y − 9, y, 3) 41
  40. 40. 64. Demonstrar que a × b = b × c = c × a, sabendo que a + b + c = 0. Soluc¸˜ao: Se a × b = b × c = c × a , ent˜ao a = b = c : Vou usar um exemplo: a = b = c = (2, 2, 2) a × b = b × c = c × a (2, 2, 2)x(2, 2, 2) = (2, 2, 2)x(2, 2, 2) = (2, 2, 2)x(2, 2, 2) = 0 Igualdade OK mas na segunda igualdade n˜ao ´a verdadeiro a + b + c = a + a + a = 3a = 3(2, 2, 2) = (6, 6, 6) 0 S´o ´e verdadeiro quando: a = b = c = 0 65. Sendo u e v vetores do espac¸o, com v 0: a) determinar o n´umero real r tal que u − rv seja ortogonal a v; Soluc¸˜ao: (u − rv).v = 0 ⇒ u.v − rv.v = 0 −rv.v = −u.v r|v|2 = u.v r = u.v |v|2 b) mostrar que (u + v) × (u − v) = 2v × u. Soluc¸˜ao: (u + v) × (u − v) ⇒ u × (u − v) + v × (u − v) ⇒ u × u + u × −v + v × u + v × −v ⇒ u × −v + v × u ⇒ −1(u × v) + (v × u) ⇒ v × u + v × u ⇒ 2(v × u) ⇒ 2v × u (u + v) × (u − v) = 2v × u 66. Demonstrar que o segmento cujos extremos s˜ao os pontos m´edios de dois lados de um triˆangulo ´e paralelo ao terceiro lado e igual `a sua metade. Soluc¸˜ao: Demonstrac¸˜ao: 42
  41. 41. Seja um trap´ezio ABCD de bases AB e CD. Seja M o ponto m´edio de AD e N o ponto m´edio de BC Construamos uma reta BM. Prolongue com o lado DC. Seja Q o ponto de intersec¸˜ao da reta BM com a reta que passa por DC. Prolongue tamb´em o lado AD. Anote as congruˆencias de ˆangulos: ˆangulos QMD e AMB congruentes (ˆangulos opostos pelo v´ertice) ˆangulos MDQ e MAB congruentes (como os lados AB e CD s˜ao paralelos, temos que a reta que passa por AD ´e uma transversal `as bases. Portanto seus ˆangulos alternos internos s˜ao congruentes). O segmento AM ´e congruente ao segmento MD, pois M ´e o ponto m´edio do segmento AD. Pelo caso ALA de congruˆencia, temos que os triˆangulos MQD e AMB s˜ao congru- entes. Disso resulta que os segmentos MQ e MB s˜ao congruentes. Agora observe o triˆangulo BQC. O segmento MN ´e a base m´edia desse triˆangulo, pois M ´e ponto m´edio do segmento BQ e N ´e o ponto m´edio do segmento BC, ambos lados do triˆangulo. Pelo teorema da base m´edia do triˆangulo, temos que: o segmento MN ´e paralelo ao segmento CQ que por sua vez ´e paralelo ao lado AB. Podemos concluir que MN ´e paralelo as duas bases do trap´ezio. A medida de MN ´e metade da medida de CQ. Da congruˆencia dos triˆangulos AMB e QDM, temos que os segmentos QD e AB s˜ao congruentes. Em f´ormula: MN = QC 2 Mas QC = QD + DC e QD ´e congruente a AB Portanto: QC = AB + DC MN = (AB + DC) 2 67. Verificar se s˜ao coplanares os segmentos vetores: a) u = (3, −1, 2), v = (1, 2, 1) e w = (−2, 3, 4) Soluc¸˜ao: Para verificar se s˜ao coplanares basta verificar se o produto misto seja igual a 0 logo (u, v, w) = 0 (u, v, w) = 0 43
  42. 42. (u, v, w) = 3 −1 2 1 2 1 −2 3 4 = 24 + 2 + 6 + 4 − 9 + 8 = 35 (u, v, w) 0 logo os vetores n˜ao s˜ao coplanares. b) u = (2, −1, 0), v = (3, 1, 2) e w = (7, −1, 2) Soluc¸˜ao: Para verificar se s˜ao coplanares basta verificar se o produto misto seja igual a 0 logo (u, v, w) = 0 (u, v, w) = 0 (u, v, w) = 2 −1 0 3 1 2 7 −1 2 = 4 − 14 + 0 + 6 + 4 − 0 = 0 (u, v, w) = 0 logo os vetores s˜ao coplanares. 68. Verificar se s˜ao coplanares os pontos: a) A(1, 1, 1), B(−2, −1, −3), C(0, 2, −2) e D(−1, 0, −2) Soluc¸˜ao: Calculo dos Segmentos: −→ AB = (−2, −1, −3) − (1, 1, 1) = (−3, −2, −4) −−→ AC = (0, 2, −2) − (1, 1, 1) = (−1, 1, −3) −−→ AD = (−1, 0, −2) − (1, 1, 1) = (−2, −1, −3) Calculo do produto misto dos 3 segmentos ( −→ AB, −−→ AC, −−→ AD) = −3 −2 −4 −1 1 −3 −2 −1 −3 = 9 − 4 − 12 − (8 − 9 − 6) = 9 − 4 − 12 − 8 + 9 + 6 = 0 ( −→ AB, −−→ AC, −−→ AD) = 0 logo, sim s˜ao coplanares. b) A(1, 0, 2), B(−1, 0, 3), C(2, 4, 1) e D(−1, −2, 2) Soluc¸˜ao: Calculo dos Segmentos: −→ AB = (−1, 0, 3) − (1, 0, 2) = (−2, 0, 1) −−→ AC = (2, 4, 1) − (1, 0, 2) = (1, 4, −1) −−→ AD = (−1, −2, 2) − (1, 0, 2) = (−2, −2, 0) Calculo do produto misto dos 3 segmentos ( −→ AB, −−→ AC, −−→ AD) = −2 0 1 1 4 −1 −2 −2 0 = −2 − (−8 − 4) = −2 + 8 + 4 = 10 44
  43. 43. ( −→ AB, −−→ AC, −−→ AD) = 10 logo, n˜ao s˜ao coplanares. c) A(2, 1, 3), B(3, 2, 4), C(−1, −1, −1) e D(0, 1, −1) Soluc¸˜ao: Calculo dos Segmentos: −→ AB = (3, 2, 4) − (2, 1, 3) = (1, 1, 1) −−→ AC = (−1, −1, −1) − (2, l, 3) = (−3, −2, −4) −−→ AD = (0, 1, −1) − (2, 1, 3) = (−2, 0, −4) Calculo do produto misto dos 3 segmentos ( −→ AB, −−→ AC, −−→ AD) = 1 1 1 −3 −2 −4 −2 0 −4 = 8 + 8 − (4 + 12) = 8 + 8 − 4 − 12 = 0 ( −→ AB, −−→ AC, −−→ AD) = 0 logo, sim s˜ao coplanares. 69. Para que valor de m os pontos A(m, 1, 2), B(2, −2, −3), C(5, −1, 1) e D(3, −2, −2) s˜ao coplanares? Soluc¸˜ao: Calculo dos segmentos: −→ BA = (m, 1, 2) − (2, −2, −3) = (m − 2, 3, 5) −→ BC = (5, −1, 1) − (2, −2, −3) = (3, 1, 4) −−→ BD = (3, −2, −2) − (2, −2, −3) = (1, 0, 1) Basta calcular o produto misto dos 3 segmentos ( −→ BA, −→ BC, −−→ BD) = m − 2 3 5 3 1 4 1 0 1 = m − 2 + 12 − (5 + 9) = m − 2 + 12 − 5 − 9 = m − 4 para ser coplanar ( −→ BA, −→ BC, −−→ BD) = 0 logo temos m − 4 = 0 ⇒ m = 4 m = 4 70. Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares: a)a = (2, −1, k), b = (1, 0, 2) e c = (k, 3, k) Soluc¸˜ao: Para os vetores sejam coplanares tem que satisfazer a condic¸˜ao (a, b, c) = 0 (a, b, c) = 2 −1 k 1 0 2 k 3 k = −2k + 3k + k − 12 = 2k − 12 Logo:(a, b, c) = 0 temos: 45
  44. 44. 2k − 12 = 0 k = 6 b)a = (2, 1, 0), b = (1, 1, −3) e c = (k, 1, k) Soluc¸˜ao: Para os vetores sejam coplanares tem que satisfazer a condic¸˜ao (a, b, c) = 0 (a, b, c) = 2 1 0 1 1 −3 k 1 −k = −2k − 3k + k + 6 = −4k + 6 Logo:(a, b, c) = 0 temos: −4k + 6 = 0 k = 3 2 c)a = (2, k, 1), b = (1, 2, k) e c = (3, 0, −3) Soluc¸˜ao: (a, b, c) = 2 k 1 1 1 k 3 0 −3 = −12 + 3k2 + 3k − 6 = 3k2 + 3k − 18 Logo:(a, b, c) = 0 temos: 3k2 + 3k − 18 = 0 θ = 1 − 4.1.(−6) = 25 k = −1 ± 5 2 k′ = −1 + 5 2 = 2 k′′ = −1 − 5 2 = −3 k′ = 2 ou k′′ = −3 71. Sejam os vetores u = (1, 1, 0), v = (2, 0, 1), w1 = 3u−2v, w2 = u+3v e w3 = i+ j−2k. Determinar o volume do paralelep´ıpedo definido por w1, w2 e w3. Soluc¸˜ao: w1 = (3, 3, 0) − (4, 0, 2) = (−1, 3, −2) w2 = (1, 1, 0) − (6, 0, 3) = (7, 1, 3) w3 = (1, 1, −2) Vol = w1.(w2 × w3) = −1 3 −2 7 1 3 1 1 −2 = 2 + 9 − 14 − (−2 − 3 − 42) = 44 Vol = 44un 46
  45. 45. 72. Calcular o valor de m para que o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores v1 = 2i − j, v2 = 6i + mj − 2k e v3 = −4i + k seja igual a 10. Soluc¸˜ao: v1 = (2, −1, 0) v2 = (6, m, −2) v3 = (−4, 0, −1) Vol = v1.(v2 × v3) = 2 −1 0 6 m −2 −4 0 −1 = 2m − 8 − (−6) = 2m − 2 pela definic¸˜ao temos:Vol = |v1.(v2 × v3)| = |2m − 2| Para Vol = 10 temos: 2m − 2 = 10 logo m = 6 ou 2m − 2 = −10 logo m = −4 m = 6 ou m = −4 73. Os vetores a = (2, −1, −3), b = (−1, 1, −4) e c = (m + 1, m, −1) determinam um paralelep´ıpedo de volume 42, Calcular m. Soluc¸˜ao: a = (2, −1, −3) b = (−1, 1, −4) c = (m + 1, m, −1) Vol = a.(b×c) = 2 −1 −3 −1 1 −4 m + 1 m −1 = −2+3m+4(m+1)−(−3(m+1)−8m−1) = 18m+6 pela definic¸˜ao temos:Vol = |a.(b × c)| = |18m + 6| Para Vol = 42 temos: 18m + 6 = 42 logo m = 2 ou 18m + 6 = −42 logo m = − −8 3 m = 2 ou m = − −8 3 74. Dados os pontos A(1, −2, 3), B(2, −1, −4), C(0, 2, 0) e D(−1, m, 1), determinar o valor de m para que seja de 20 unidades de volume o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores −→ AB, −−→ AC e −−→ AD. Soluc¸˜ao: −→ AB = (2, −1, −4) − (1, −2, 3) = (1, 1, −7) −−→ AC = (0, 2, 0) − ()1, −2, 3) = (−1, 4, −3) −−→ AD = (−1, m, 1) − (1, −2, 3) = (−2, m + 1, −2) −→ AB.( −−→ AC× −−→ AD) = 1 1 −7 −1 4 −3 −2 m + 2 −2 = −8+7(m+2)+6−(56−3(m+2)+2) = 10m−40 47
  46. 46. pela definic¸˜ao temos:Vol = | −→ AB.( −−→ AC × −−→ AD))| = |10m − 40| Para Vol = 20 temos: 10m − 40 = 20 logo m = 6 ou 10m − 40 = −20 logo m = 2 m = 6 ou m = 2 75. Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados: a)A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) e D(4, 2, 7). Soluc¸˜ao: Pode-se dividir o paralelep´ıpedo em dois prismas triangulares e estes prismas, por sua vez, em trˆes tetraedros, todos com base e altura correspondentes `aa base e altura do prisma. Resoluc¸˜ao: Tem-se que todos os tetraedros ter˜ao o mesmo volume, ou seja, ter˜ao 1 6 do volume do paralelep´ıpedo em quest˜ao, cujo volume ´e dado pelo produto misto de trˆes vetores n˜ao coplanares que formam os lados do tetraedro (´area da base e altura). Escolhendo −−→ DA, −−→ DB e e −−→ DC tem-se: Vol = 1 6 | −−→ DA.( −−→ DB × −−→ DC)| = 1 6 (3, 2, 7).[(4, 1, 7) × (4, 2, 6)] = 3 2 7 4 1 7 4 2 6 = 1 6 .[18 + 5656 − (28 + 42 + 48)] = 12 6 = 2 Vol = 2 b)A(−1, 3, 2), B(0, 1, −1), C(−2, 0, 1) e D(1, −2, 0). Para este, calcular tamb´em a medida da altura trac¸ada do v´ertice A. Soluc¸˜ao: Vol = 1 6 | −−→ DA.( −−→ DB× −−→ DC)| = 1 6 (−2, 5, 2).[(−1, 3, −1)×(−3, 2, 1)] = −2 5 2 −1 3 −1 −3 2 1 = 1 6 .[−6− 4 + 15 − (−184 − 5)] = 24 6 = 4 Vol = 4 Vol = (areadabase).h ⇒ h = Vol areadabase −→ BC × −−→ BD = i j k −2 −1 2 1 −3 1 = −i + 2j + 6k − (−k − 6i − 2j) = 5i + 4j + 7k | −→ BC × −−→ BD| = √ 52 + 42 + 72 = √ 90 = 3 √ 10 Formula da altura: h = | −−→ DA.( −−→ DB × −−→ DC)| | −→ BC × −−→ BD| Substituindo pelos valores calculados temos: h = 24 3 √ 10 = 8 √ 10 48
  47. 47. h = 8 √ 10 49
  48. 48. 4.15 Problemas Propostos 1. Verificar se os pontos P1(5, −5, 6) e P2(4, −1, 12) pertence `a reta. r : x − 3 −1 = y + 1 2 = z − 2 −2 Soluc¸˜ao: Para saber se o ponto pertence a reta basta substituir o ponto P1 na equac¸˜ao da reta se pertencer a igualdade permanece. x − 3 −1 = y + 1 2 = z − 2 −2 ⇒ 5 − 3 −1 = −5 + 1 2 = 6 − 2 −2 ⇒ −2 = −2 = −2 ; logo o ponto pertence a reta dada. Para saber se o ponto pertence a reta basta substituir o ponto P2 na equac¸˜ao da reta se pertencer a igualdade permanece. x − 3 −1 = y + 1 2 = z − 2 −2 ⇒ 4 − 3 −1 = −1 + 1 2 = 12 − 2 −2 ⇒ −1 0 −5 ; logo o ponto n˜ao pertence a reta dada. 2. Determinar o ponto da reta r:    x = 2 − t y = 3 + t z = 1 − 2t que tem abscissa 4. Soluc¸˜ao: Temos x = 4 substituindo na primeira equac¸˜ao para determinar t temos; x = 2 − t ⇒ 4 = 2 − t ⇒ −t = 4 − 2 ⇒ t = −2 Para y temos; y = 3 + t ⇒ y = 3 − 2 ⇒ y = 1 Para z temos; z = 1 − 2t ⇒ z = 1 − 2(−2) ⇒ z = 1 + 4 ⇒ z = 5 P(4, 1, 5) 3. Determinar m e n para o ponto P(3, m, n) pertenc¸a `a reta s:    x = 1 − 2t y = −3 − t z = −4 + t Soluc¸˜ao: Temos x = 3 substituindo na primeira equac¸˜ao para determinar t temos; x = 1 − 2t ⇒ 3 = 1 − 2t ⇒ −2t = 3 − 1 ⇒ −2t = 2 ⇒ t = −1 Para y temos; y = −3 − t ⇒ m = −3 − (−1) ⇒ m = −3 + 1 ⇒ m = −2 3
  49. 49. Para z temos; z = −4 + t ⇒ n = −4 − 1 ⇒ n = −5 P(3, −2, −5) 4. Determinar os pontos da reta r : x − 3 2 = y + 1 −1 = z −2 que tem Soluc¸˜ao: (a) abscissa 5; Para x = 5 temos; x − 3 2 = y + 1 −1 ⇒ 5 − 3 2 = y + 1 −1 ⇒ 2 2 = y + 1 −1 ⇒ −1 = y + 1 ⇒ y = −2 1 = z −2 ⇒ z = −2 P(5, −2, −2) (b) ordenada 4; Para y = 4 temos; x − 3 2 = 4 + 1 −1 ⇒ x − 3 2 = 5 −1 ⇒ x − 3 = −10 ⇒ x = −7 5 −1 = z −2 ⇒ −5 = z −2 ⇒ z = 10 P(−7, 4, 10) (c) cota 1. Para z = 1 temos; x − 3 2 = 1 −2 ⇒ x − 3 = −1 ⇒ x = 2 y + 1 −1 = 1 −2 ⇒ y + 1 = 1 2 ⇒ y = 1 2 − 1 ⇒ y = − 1 2 P 2, − 1 2 , 1 5. O ponto P(2, y, z) pertence `a reta determinada por A(3, −1, 4) e B(4, −3, −1). Cal- cular P. Soluc¸˜ao: (x, y, z) = (3, −1, 4) + [(4, −3, −1) − (3, −1, 4)]t ⇒ (x, y, z) = (3, −1, 4) + (1, −2, −5)t ⇒ r:    x = 3 + t y = −1 − 2t z = 4 − 5t Para x = 2 temos: 2 = 3 + t ⇒ t = −1 4
  50. 50. y = −1 − 2.(−1) ⇒ y = −1 + 2 ⇒ y = 1 z = 4 − 5.(−1) ⇒ z = 4 + 5 ⇒ z = 9 P(2, 1, 9) 6. Determinar as equac¸ ˜oes reduzidas, com vari´avel independente x, da reta que passa pelo ponto A(4, 0, −3) e tem a direc¸˜ao do vetor v = 2i + 4j + 5k. Soluc¸˜ao: (x, y, z) = (4, 0, −3) + (2, 4, 5)t ⇒    x = 4 + 2t y = 4t z = −3 + 5t Encontrando o valor de t em func¸˜ao de x; 2t = x − 4 ⇒ t = x − 4 2 Substituindo t nas outras duas equac¸˜ao temos; y = 4 x − 4 2 ⇒ y = 2(x − 4) ⇒ y = 2x − 8 z = −3 + 5 x − 4 2 ⇒ z = −3 + 5 x 2 − 4 2 ⇒ z = −3 + 5x 2 − 10 ⇒ z = 5x 2 − 13    y = 2x − 8 z = 5x 2 − 13 7. Estabelec¸a as equac¸ ˜oes reduzidas (vari´avel independente x) da reta pelos pares de pontos: a) A(1, −2, 3) e B(3, −1, −1) Soluc¸˜ao: (x, y, z) = (1, −2, 3) + [(3, −1, −1) − (1, −2, 3)]t ⇒ (x, y, z) = (1, −2, 3) + (2, 1, −4)t ⇒ r:    x = 1 + 2t y = −2 + t z = 3 − 4t Isolando t na primeira equac¸˜ao: 2t = x − 1 ⇒ t = x − 1 2 Substituindo t nas outras duas equac¸ ˜oes temos; y = −2 + x − 1 2 ⇒ y = −4 + x − 1 2 ⇒ y = x − 5 2 ⇒ y = x 2 − 5 2 z = 3 − 4 x − 1 2 ⇒ z = 3 − 2x + 2 ⇒ z = −2x + 5 5
  51. 51.    y = x 2 − 5 2 z = −2x + 5 b) A(−1, 2, 3) e B(2, −1, 3) Soluc¸˜ao: (x, y, z) = (−1, 2, 3) + [(2, −1, 3) − (−1, 2, 3)]t ⇒ (x, y, z) = (−1, 2, 3) + (3, −3, 0)t ⇒ r:    x = −1 + 3t y = 2 − 3t z = 3 Isolando t na primeira equac¸˜ao: 3t = x + 1 ⇒ t = x + 1 3 Substituindo t na outra equac¸˜ao temos; y = 2 − 3 x + 1 3 ⇒ y = 2 − x − 1 ⇒ y = −x + 1    y = −x + 1 z = 3 8. Determinar as equac¸ ˜oes reduzidas tendo z como vari´avel independente, da reta que passa pelos pontos P1(−1, 0, 3) e P2(1, 2, 7). Soluc¸˜ao: (x, y, z) = (−1, 0, 3) + [(1, 2, 7) − (−1, 0, 3)]t ⇒ (x, y, z) = (−1, 0, 3) + (2, 2, 4)t ⇒ r:    x = −1 + 2t y = 2t z = 3 + 4t Isolando t na ´ultima equac¸˜ao temos; 4t = z − 3 ⇒ t = z − 3 4 Substituindo t nas outras equac¸ ˜oes temos; x = −1 + 2 z − 3 4 ⇒ x = −1 + z − 3 2 ⇒ x = −2 + z − 3 2 ⇒ x = z − 5 2 ⇒ x = z 2 − 5 2 y = 2. z − 3 4 ⇒ y = z − 3 2 ⇒ y = z 2 − 3 2    x = z 2 − 5 2 y = z 2 − 3 2 6
  52. 52. 9. Mostrar que os pontos A(−1, 4, −3), B(2, 1, 3) e C(4, −1, 7) s˜ao colineares. Soluc¸˜ao: Condic¸˜ao de alinhamento dos pontos: x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 = 0 Resolvendo o determinante a matriz: −1 4 −3 2 1 3 4 −1 7 = −7 + 48 + 6 − 56 − 3 + 12 = −66 + 66 = 0 Logo o determinante e igual a 0 os pontos s˜ao colineares. 10. Qual deve ser o valor de m para que os pontos A(3, m, 1), B(1, 1, −1) e C(−2, 10, −4) pertenc¸am a mesma reta? Soluc¸˜ao: Condic¸˜ao de alinhamento dos pontos: x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 = 0 Resolvendo o determinante: 3 m 1 1 1 −1 −2 10 −4 = 0 ⇒ −12 + 2m + 10 + 4m + 30 + 2 = 0 ⇒ 6m + 30 = 0 ⇒ 6m = −30 ⇒ m = −5 11. Citar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas: a)    x + 1 3 = z − 3 4 y = 1 Soluc¸˜ao: v(3, 0, 4); P(−1, 1, 3) b) x = 2y z = 3 Soluc¸˜ao: v(2, 1, 0); P(0, 0, 3) c)    x = 2t y = −1 z = 2 − t Soluc¸˜ao: 7
  53. 53. v(2, 0, −1); P(0, −1, 2) d) y = 3 z = −1 Soluc¸˜ao: v(1, 0, 0); P(0, 3, −1) e)) y = −x z = 3 + x Soluc¸˜ao: v(1, −1, 1); P(0, 0, 3) f) x = y = z Soluc¸˜ao: v(1, −1, 1); P(0, 0, 0) 12. Determinar as equac¸ ˜oes das seguintes retas: a) reta que passa por A(1, −2, 4) e ´e paralela ao eixo dos x; Soluc¸˜ao: A(1, −2, 4) i(1, 0, 0) (x, y, z) = (1, −2, 4) + (1, 0, 0)t    x = 1 + t y = −2 z = 4 Temos que a reta e paralelo ao eixo Ox podemos simplificar a equac¸˜ao; y = −2 z = 4 b) reta que passa por B(3, 2, 1) e ´e perpendicular ao plano xOz; Soluc¸˜ao: B(3, 2, 1) ⊥ xOz B(3, 2, 1) Oy B(3, 2, 1) j(0, 1, 0) (x, y, z) = (3, 2, 1) + (0, 1, 0)t    x = 3 y = 2 + t z = 1 Temos que a reta e paralelo ao eixo Oy podemos simplificar a equac¸˜ao; x = 3 z = 1 8
  54. 54. c) reta que passa por A(2, 3, 4) e ´e ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y; Soluc¸˜ao: A(2, 3, 4) ⊥ xOy A(2, 3, 4) Oz A(2, 3, 4) k(0, 0, 1) (x, y, z) = (2, 3, 4) + (0, 0, 1)t    x = 2 y = 3 z = 4 + t Temos que a reta e paralelo ao eixo Oz podemos simplificar a equac¸˜ao; x = 2 y = 3 d) reta que passa por A(4, −1, 2) e tem a direc¸˜ao do vetor i − j; Soluc¸˜ao: A(4, −1, 2) i − j A(4, −1, 2) k(1, −1, 0) (x, y, z) = (4, −1, 2) + (1, −1, 0)t    x = 4 + t y = −1 − t z = 2 Colocando t em func¸˜ao de y y = −1 − t ⇒ y + 1 = −t ⇒ t = −1 − y Substituindo t na func¸˜ao de x x = 4 + t ⇒ x = 4 − y − 1 ⇒ x = 3 − y x = 3 − y z = 2 e) reta que passa pelos pontos M(2, −3, 4) e N(2, −1, 3). Soluc¸˜ao: (x, y, z) = (2, −3, 4) + [(2, −1, 3) − (2, −3, 4)]t (x, y, z) = (2, −3, 4) + [(0, 2, −1)]t x = 0; Colocando t em func¸˜ao de z z = 4 − t ⇒ −t = z − 4 ⇒ t = 4 − z Substituindo t na func¸˜ao de y 9
  55. 55. y = −3 + 2(4 − z) ⇒ y = −3 + 8 − 2z ⇒ y = 5 − 2z x = 2 y = 5 − 2z 13. Representar graficamente as retas cujas equac¸ ˜oes s˜ao: a)    x = −1 + t y = −10 + 5t z = 9 − 3t Soluc¸˜ao: b)    x = 4 + 2t y = 3 z = −5 − 5t Soluc¸˜ao: 10
  56. 56. c)    y = −3x + 6 z = x + 4 Soluc¸˜ao: d)    x = −1 + t y = 3 − t z = 2t Soluc¸˜ao: 11
  57. 57. e)    y = 2x z = 3 Soluc¸˜ao: f)    y = 3 z = 2x Soluc¸˜ao: 12
  58. 58. g)    z = 2y x = 3 Soluc¸˜ao: h)    x = 3 y = −4 Soluc¸˜ao: 13
  59. 59. i)    x = −3 z = 4 Soluc¸˜ao: 14. Determinar o ˆangulo entre as seguintes retas: a)r :    x = −2 − 2t y = 2t z = 3 − 4t e s : x 4 = y + 6 2 = z − 1 2 Soluc¸˜ao: vr = (−2, 2, −4) vs = (4, 2, 2) Formula do ˆangulo entre vetores: cosθ = |vr.vs| |vr|.|vs| Substituindo os valores na formula: cosθ = |(−2, 2, −4).(4, 2, 2)| (−2)2 + 22 + (−4)2. √ 42 + 22 + 22 ⇒ cosθ = | − 8 + 4 − 8| √ 4 + 4 + 16. √ 16 + 4 + 4 ⇒ cosθ = | − 12| 24 ⇒ cosθ = 0.5 ⇒ θ = arccos0.5 θ = 60o b)r :    x = −2x − 1 z = x + 2 e s : y 3 = z + 1 −3 ; x = 2 Soluc¸˜ao: Para x = 0 temos: y = −1 e z = 2 obtemos P1(0, −1, 2) Para x = 1 temos: y = −3 e z = 3 obtemos P2(1, −3, 3) vr[(1, −3, 3) − (0, −1, 2)] vr(1, −2, 1) 14
  60. 60. vs(0, 3, −3) Formula do ˆangulo entre vetores: cosθ = |vr.vs| |vr|.|vs| Substituindo os valores na formula: cosθ = |(1, −2, 1).(0, 3, −3)| 12 + (−2)2 + 12. 02 + 32 + (−3)2 ⇒ cosθ = | − 9| √ 1 + 4 + 1. √ 9 + 9 ⇒ cosθ = | − 9| √ 6. √ 18 ⇒ θ = arccos 9 √ 108 ⇒ θ = 30o c)r :    x = 1 + √ 2t y = t z = 5 − 3t e s : x = 0 y = 0 Soluc¸˜ao: vr( √ 2, 1, −3) vs(0, 0, 1) Formula do ˆangulo entre vetores: cosθ = |vr.vs| |vr|.|vs| Substituindo os valores na formula: cosθ = |( √ 2, 1, −3).(0, 0, 1)| √ 2 + 1 + 9. √ 1 ⇒ cosθ = | − 3| √ 12 ⇒ cosθ = 3 √ 12 ⇒ θ = arccos 3 √ 12 ⇒ θ = 30o d)r : x − 4 2 = y −1 = z + 1 −2 e s :    x = 1 y + 1 4 = z − 2 3 Soluc¸˜ao: vr(2, −1, −2) vs(0, 4, 3) Substituindo os valores na formula: cosθ = |(2, −1, −2).(0, 4, 3)| √ 22 + 1 + 4. √ 0 + 16 + 9 ⇒ cosθ = | − 4 − 6| √ 4 + 1 + 4. √ 16 + 9 ⇒ cosθ = 10 √ 9. √ 25 ⇒ θ = arccos 10 3.5 ⇒ θ = arccos 2 3 ⇒ θ = 48.18o 15. Determinar o valor de n para que seja de 30o o ˆangulo entre as retas r: x − 2 4 = y + 4 5 = z 3 e s: y = nx + 5 z = 2x − 2 Soluc¸˜ao: vr(4, 5, 3) para x = 0 em s temos: P1(0, 5, −2) para x = 1 em s temos: P2(1, n + 5, 0) 15
  61. 61. Fazendo P2 − P1 = (0, 5, −2) − (1, n + 5, 0) = (1, n, 2) vs(1, n, 2) cos30o = √ 3 2 Formula do ˆangulo entre vetores: cosθ = |vr.vs| |vr|.|vs| substituindo os valores temos: √ 3 2 = |(4, 5, 3).(1, n, 2)| √ 42 + 52 + 32. √ 12 + n2 + 22 ⇒ √ 3 2 = |4 + 5n + 6| √ 16 + 25 + 9. √ 1 + n2 + 4 ⇒ √ 3 2 = 5n + 10 √ 50. √ n2 + 5 ⇒ √ 3 2 = 5n + 10 (n2 + 5).50 ⇒ √ 3. (n2 + 5).50 2 = (10n+20)2 ⇒ 3.(n2 +5).50 = 100n2 +400+400n ⇒ 150(n2 +5) = 100n2 + 400 + 400n ⇒ 150n2 + 750 = 100n2 + 400 + 400n ⇒ n2 − 8n + 7 = 0 Resolvendo a equac¸˜ao do 2o Grau temos: δ = 64 − 4.1.7 = 36 n = 8 ± 6 2 ⇒ n′ = 8 + 6 2 = 7 n′′ = 8 − 6 2 = −1 n = 7 ou −1 16. Calcular o valor de n para que seja de 30o o ˆangulo que a reta r:    y = nx + 5 z = 2x − 3 forma com o eixo do y. Soluc¸˜ao: Para x = 0 em r temos: y = 5 e z = −3 temos: P1(0, 5, −3) Para x = 1 em r temos: y = n + 5 e z = −1 temos: P2(1, n + 5, −1) v1 = P2 − P2 = (1, n, 2) v2 = (0, 1, 0) cos30o = √ 3 2 Formula do ˆangulo entre vetores: cosθ = |v1.v2| |v1|.|v2| substituindo os valores temos: 16
  62. 62. √ 3 2 = |0 + n + 0| √ 02 + 12 + 02. √ 12 + n2 + 22 ⇒ √ 3 2 = |n| √ n2 + 5. √ 1 ⇒ (2n)2 = ( √ 3. √ n2 + 5)2 ⇒ 4n2 = 3n2 + 15 ⇒ 4n2 − 3n2 = 15 ⇒ n2 = 15 ⇒ n = ± √ 15 n = ± √ 15 17. A reta    x = 1 + 2t y = t z = 3 − t forma um ˆangulo de 60o com a reta determinda pelos pontos A(3, 1, −2) e B(4, 0, m). Calcular o valor de m. Soluc¸˜ao: v1 = (2, 1, −1) v2 = (1, −1, m + 2) cos60o = 1 2 Formula do ˆangulo entre vetores: cosθ = |v1.v2| |v1|.|v2| Substituindo os valores na formula: cos60o = |2 + (−1) + (−m − 2)| 22 + 12 + (−1)2. 12 + (−1)2 + (m + 2)2 ⇒ 1 2 = | − m − 1| √ 6. √ m2 + 4m + 6 ⇒ 1 2 = m + 1 √ 6. √ m2 + 4m + 6 ⇒ 1 2 = m + 1 √ 6m2 + 24m + 36 ⇒ 2.(m+1) = √ 6m2 + 24m + 36 ⇒ 2m + 2 = √ 6m2 + 24m + 36 ⇒ (2m + 2)2 = √ 6m2 + 24m + 36 2 ⇒ 4m2 + 8m + 4 = 6m2 +24m+36 ⇒ −2m2 −16m−32 = 0 ⇒ −m2 −8m−32 = 0 ⇒ m2 +8m+32 = 0 ⇒ Resolvendo a equac¸˜ao do 2o Grau: δ = 64 − 4.1.16 = 64 − 64 = 0 m = −8 ± √ 0 2.1 m = −8 2 m = −4 18. Calcular o valor de m para que os seguintes pares de retas sejam paralelas: a: r:    x = −3t y = 3 + t z = 4 e s: x + 5 6 = y − 1 m ; z = 6 Soluc¸˜ao: b: r:    x = 2 − 3t y = 3 z = mt e s: x − 4 6 = z − 1 5 ; y = 7 Soluc¸˜ao: 17
  63. 63. a) vr = (−3, 1, 0) e vs = (6, m, 0) Para ser paralelas: −3 6 = 1 m ⇒ −3m = 6 ⇒ m = −2 b) vr = (−3, 0, m) e vs = (6, 0, 5) −3 6 = m 5 ⇒ 6m = −15 ⇒ m = −15 6 ⇒ m = − 5 2 m = − 5 2 19. A reta passa pelo ponto A(1, −2, 1) e ´e paralela `a reta s:    x = 2 + t y = −3t z = −t Se P(−3, m, n) ∈ r, determinar o ponto m e n. Soluc¸˜ao: r : (x, y, z) = (1, −2, 1) + (1, −3, −1)t r :    x = 1 + t y = −2 − 3t z = 1 − t Para o ponto dado P(−3, m, n) tiramos t sabendo o valor de x = −3 substituindo na equac¸˜ao da reta r para x; x = 1 + t ⇒ t = −4 Agora com valor de t encontramos m; m = −2 − 3(−4) ⇒ m = −2 + 12 ⇒ m = 10 Agora com valor de t encontramos n; n = 1 − t ⇒ n = 1 − (−4) ⇒ n = 5 P(−3, 10, 5) 20. Quais as equac¸ ˜oes reduzidas da reta que passa pelo ponto A(−2, 1, 0) e ´e paralela `a reta r: x + 1 1 = y 4 = z −1 ? Soluc¸˜ao: (x, y, z) = (−2, 1, 0) + (1, 4, −1)t    x = −2 + t y = 1 + 4t z = −t Fazendo t em func¸˜ao de x. t = 2 + x Substituindo t na equac¸˜ao de y temos; 18
  64. 64. y = 1 + 4(2 + x) ⇒ y = 1 + 8 + 4x ⇒ y = 4x + 9 Substituindo t na equac¸˜ao de z temos; z = −(2 + x) ⇒ z = −x − 2 y = 4x + 9 z = −x − 2 21. A reta que passa pelos pontos A(−2, 5, 1) e B(1, 3, 0) ´e paralela `a reta determinada por C(3, −1, −1) e D(0, y, z). Determinar o ponto D. Soluc¸˜ao: v1 = B − A = (3, −2, −1) v2 = C − D = (3, −1 − y, −1 − z) Como os vetores s˜ao Paralelos temos: v1 = αv2 (3, −2, −1) = α(3, −1 − y, −1 − z) temos que: α = 3 3 = 1 Resolvendo y; −2 = 1.(−1 − y) ⇒ −2 = −1 − y ⇒ y = 1 Resolvedo z; −1 = 1.(−1 − z) ⇒ −1 = −1 − z ⇒ z = 0 D(0, 1, 0) 22. A reta r:    y = mx + 3 z = x − 1 ´e ortogonal `a reta determinada pelos pontos A(1, 0, m) e B(−2, 2m, 2m). Calcular o valor de m. Soluc¸˜ao: Para x = 0 temos; y = 3 e z = −1 P1 = (0, 3, −1) Para x = 1 temos; y = m + 3 e z = 0 P2 = (1, m + 3, 0) vr = (1, m, 1) vs = (−3, 2m, m) Temos vr ⊥ vs temos; vr.vs = 0 (1, m, 1).(−3, 2m, m) = 0 ⇒ −3 + 2m2 + m = 0 ⇒ 2m2 + m − 3 = 0 Resolvendo a equac¸˜ao de 2o grau; δ = 1 − 4.2(−3) = 25 19
  65. 65. m = −1 ± √ 25 2.2 ⇒ m = −1 ± 5 4 m′ = −1 + 5 4 ⇒ m′ = 1 m′′ = −1 − 5 4 ⇒ m′′ = − 3 2 23. Calcular o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas a) r: y = 2x + 3 z = 3x − 1 e s: x − 1 2 = y −1 = z m Soluc¸˜ao: Para x = 0 temos y = 3 e z = −1. P1 = (0, 3, −1) Para x = 1 temos y = 5 e z = 2. P2 = (1, 5, 2) r = P2 − P1 = (1, 2, 3) s = (2, −1, m) P3 = (1, 0, 0) −−−→ P1P3 = (1, −3, 1) Condic¸˜ao de Coplanaridade: (r, s, −−−→ P1P3) = 1 2 3 2 −1 m 1 −3 1 = 0 ⇒ −1 + 2m − 18 − 4 + 3m + 3 = 0 ⇒ 5m − 20 = 0 ⇒ 5m = 20 ⇒ m = 20 5 ⇒ m = 4 b) r: x = −1 y = 3 e s: y = 4x − m z = x Soluc¸˜ao: Para reta r r = (0, 0, 1) P1 = (−1, 3, 0) Para a reta s P2 = (0, −m, 0) P3 = (1, 4 − m, 1) s = P3 − P2 = (1, 4 − m, 1) − (0, −m, 0) = (1, 4, 1) −−−→ P1P2 = (1, −m − 3, 0) Condic¸˜ao de Coplanaridade: (r, s, −−−→ P1P2) = 0 0 1 1 4 1 1 (−m − 3) 0 = 0 ⇒ 0 + 0 + (−m − 3) − 0 − 0 − 4 = 0 ⇒ −m − 3 = 4 ⇒ m = −4 − 3 ⇒ m = −7 20
  66. 66. c) r: x − m m = y − 4 −3 ; z = 6 e s: y = −3x + 4 z = −2x Soluc¸˜ao: Para reta r: r = (m, −3, 0) P3 = (m, 0, 6) Para reta s: P1 = (0, 4, 0) P2 = (1, 1, −2) s = P2 − P1 = (1, 1, −2) − (0, 4, 0) = (1, −3, −2) −−−→ P1P3 = (m, 0, 6) Condic¸˜ao de Coplanaridade: (r, s, −−−→ P1P3) = m −3 0 1 −3 −2 m 0 6 = 0 − 18m + 6m + 18 = 0 ⇒ −12m = −18 ⇒ m = 18 12 ⇒ m = 3 2 ⇒ m = 3 2 24. Calcular o ponto de intersec¸˜ao das retas a) r: y = 3x − 1 z = 2x + 1 e s: y = 4x − 2 z = 3x Soluc¸˜ao: Igualando as express˜oes com z temos: 2x + 1 = 3x ⇒ x = 1 Substituindo x = 1 em y = 3x − 1 temos: y = 3.1 − 1 ⇒ y = 2 Substituindo x = 1 em z = 3x temos: z = 3 P(1, 2, 3) b) r: x − 2 2 = y 3 = z − 5 4 e s:    x = 5 + t y = 2 − t z = 7 − 2t Soluc¸˜ao: Isolando t em y = 2 − t temos: t = 2 − y Substituindo t = 2 − y em x = 5 + t temos: y = 7 − x Com a igualdade x − 2 2 = y 3 substituindo y = 7 − x temos: 21
  67. 67. x − 2 2 = 7 − x 3 ⇒ 3x − 6 = 14 − 2x ⇒ 5x = 20 ⇒ x = 4 Substituindo x = 4 em y = 7 − x temos: y = 7 − 4 ⇒ y = 3 Substituindo y = 3 em t = 2 − y temos: t = 2 − 3 ⇒ t = −1 Substituindo t = −1 em z = 7 − 2t temos: z = 7 − 2.(−1) ⇒ z = 7 + 2 ⇒ z = 9 P(4, 3, 9) c) r: y = 2x − 3 z = 4x − 10 e s: x = y − 7 −3 = z − 12 −7 Soluc¸˜ao: Temos x = y − 7 −3 substituindo em y = 2x − 3 temos; y = 2. y − 7 −3 − 3 ⇒ y = 2y − 14 −3 − 3 ⇒ y = 2y − 14 + 9 −3 ⇒ −3y = 2y − 5 ⇒ −5y = −5 ⇒ y = 1 Temos x = z − 12 −7 substituindo em z = 4z − 10 temos; z = 4. z − 12 −7 − 10 ⇒ z = 4z − 48 −7 − 10 ⇒ z = 4z − 48 + 70 −7 ⇒ −7z = 4z − 22 ⇒ −11z = 22 ⇒ z = −2 Temos y = 1 substituindo em y = 2x − 3 temos: 1 = 2x − 3 ⇒ 4 = 2x ⇒ x = 2 P(2, 1, −2) d) r: y = −5 z = 4x + 1 e s: x − 1 2 = z − 5 −3 ;y = −5 Soluc¸˜ao: Temos z = 4x + 1 substituindo em x − 1 2 = z − 5 −3 temos; x − 1 2 = 4x + 1 − 5 −3 ⇒ −3x + 3 = 8x − 8 ⇒ −11x = −11 ⇒ x = 1 Temos x = 1 substituindo em z = 4x + 1 temos; z = 4.1 + 1 ⇒ z = 5 P(1, −5, 5) 25. Dadas as retas r: y − 3 2 = z + 1 −2 ; x = 2, s: y = 2x z = x − 3 e h:    x = 3 + t y = 1 − 3t z = t , Determinar a) o ponto de intersec¸˜ao de s, r e h Soluc¸˜ao: Temos x = 2 substituindo em y = 2x temos y = 4 22
  68. 68. Temos x = 2 substituindo em x = 3 + t temos 2 = 3 + t ⇒ −t = 3 − 2 ⇒ t = −1 Temos t = −1 como z = t temo z = −1 P(2, 4, −1) b) o ˆangulo entre r e s. Soluc¸˜ao: r = (2, −2, 0) Para reta s temos; Para x = 0 temos y = 0 e z = −3 P1 = (0, 0, −3) Para x = 1 temos y = 2 e z = −2 P2 = (1, 2, −2) r = P2 − P1 = (1, 2, −2) − (0, 0, −3) = (1, 2, 1) Formula do ˆangulo entre vetores: cosθ = |vr.vs| |vr|.|vs| substituindo os valores temos: cosθ = |(2, −2, 0).(1, 2, 1)| |(2, −2, 0)|.|(1, 2, 1)| ⇒ cosθ = |2 + (−4) + 0| 22 + (−2)2 + 02. √ 12 + 22 + 12 ⇒ cosθ = | − 2| √ 8. √ 6 ⇒ cosθ = 2 2. √ 2. √ 6 ⇒ cosθ = 1 √ 12 ⇒ cosθ = 1 2 √ 3 ⇒ cosθ = 1 2 √ 3 . √ 3 √ 3 ⇒ cosθ = √ 3 6 ⇒ θ = arccos √ 3 6 26. Em que ponto a reta que passa por A(2, 3, 4) e B(1, 0, −2) intercepta o plano xy? Soluc¸˜ao: v = B − A = (1, 0, −2) − (2, 3, 4) = (−1, −3, −6) Encontrando as equac¸ ˜oes Param´etricas da reta: (x, y, z) = (2, 3, 4) + (−1, −3, −6)t    x = 2 − t y = 3 − 3t z = 4 − 6t Como o ponto intercepta o plano xy temos que z = 0 Substituindo z = 0 em z = 4 − 6t temos 0 = 4 − 6t ⇒ 6t = 4 ⇒ t = 2 3 Substituindo t = 2 3 em x = 2 − t temos x = 2 − 2 3 ⇒ x = 6 − 2 3 ⇒ x = 4 3 Substituindo t = 2 3 em y = 3 − 3t temos y = 3 − 3. 2 3 ⇒ y = 3 − 6 3 ⇒ y = 1 P 4 3 , 1, 0 23
  69. 69. 27. Sejam as retas r:    x = 2 + 3t y = 4 + 5t z = mt e s:    y = 2x + 1 z = x 2 − 3 2 Soluc¸˜ao: Isolando t na equac¸˜ao x = 2 + 3t temos −3t = 2 − x ⇒ t = 2 − x −3 Substituindo t = 2 − x −3 em y = 4 + 5t temos y = 4 + 5. 2 − x −3 ⇒ y = 4 + 10 − 5x −3 ⇒ y = −12 + 10 − 5x −3 ⇒ y = −2 − 5x −3 Substiuindo y = −2 − 5x −3 em y = 2x + 1 temos −2 − 5x −3 = 2x + 1 ⇒ −2 − 5x = −6x − 3 ⇒ x = −1 Substituindo x = −1 em y = 4 + 5x temos y = 4 + 5.(−1) ⇒ y = 4 − 5 ⇒ y = −1 Subtituindo x = −1 em z = x 2 − 3 2 temos z = −1 2 − 3 2 ⇒ z = −2 Subtituindo x = −1 em t = 2 − x −3 temos t = 2 − (−1) −3 ⇒ t = −1 Subtituindo t = −1 e z = −2 em z = mt temos −2 = m.(−1) ⇒ m = 2 a) calcular o valor de m para que r e s sejam concorrentes; m = 2 b) determinar, para o valor de m, o ponto de intersec¸˜ao de r e s. P(−1, −1, −2) 28. Estabelecer as equac¸ ˜oes param´etricas da reta que passa pelos ponto A(3, 2, 1) e ´e simultaneamente ortogonal `as retas r:    x = 3 z = 1 e s:    y = −2x + 1 z = −x − 3 Soluc¸˜ao: Calculo do Vetor diretor de r vr = (0, 0, 1) Calculo do Vetor diretor de s Para x = 0 temos; y = 1 , z = −3 logo; P1 = (0, 1, −3) Para x = 1 temos; y = −1, z = −4 logo; P2 = (1, −1, −4) P2 = (1, −1, −4) − (0, 1, −3) = (1, −2, −1) Calculando o Vetor diretor v 24
  70. 70. v = vr × vs =   i j k 0 0 1 1 −2 −1   = j + 2i = 2i + j v = (2, 1, 0) Calculando a equac¸˜ao param´etrica da reta com o ponto A = (3, 2, 1) e o vetor v = (2, 1, 0)    x = 3 + 2t y = 2 + t z = 1 29. Estabelecer as equac¸ ˜oes da reta que passa pela origem e ´e simultaneamente orto- gonal `as retas r: x 2 = y −1 = z − 3 −2 e s:    x = 3x − 1 z = −x + 4 Soluc¸˜ao: Para a reta s atribuimos x = 0 temos y = −1 e z = 4 logo P1 = (0, −1, 4) Para a reta s atribuimos x = 1 temos y = 2 e z = 5 logo P2 = (1, 2, 5) vs = P2 − P1 = (1, 2, 5) − (0, −1, 4) = (1, 3, 1) Para a reta r temos; vr = (2, −1, −2) Calculando o Produto Vetorial entre vr e vs temos: v = vr × vs = i j k 2 −1 −2 1 3 1 = −i − 2j + 6k − 2j + 6i + k = 5i − 4j + 7k ⇒ v = (5, −4, 7) Calculando as equac¸ ˜oes param´etricas para P(0, 0, 0) com o v = (5, −4, 7) temos: (x, y, z) = (0, 0, 0) + (5, −4, 7)t    x = 5t y = −4t z = 7t 30. Determinar as equac¸ ˜oes param´etricas da reta que contem o ponto A(2, 0, −1) e ´e simultaneamente ortogonal `a reta r: y − 3 2 = z + 1 −1 ; x = 1 e ao eixo dos y. Soluc¸˜ao: vr = (0, 2, −1) j = (0, 1, 0) 25
  71. 71. v = vr × j = i j k 0 2 −1 0 1 0 = i ⇒ v = (1, 0, 0) Calculando as equac¸ ˜oes param´etricas para A(2, 0, −1) com o v(1, 0, 0) temos: (x, y, z) = (2, 0, −1) + (1, 0, 0)t    x = 2 + t y = 0 z = −1 Simplificando temos: y = 0 z = −1 31. Estabelecer as equac¸ ˜oes param´etricas da reta que passa pelo ponto de intersec¸˜ao das retas r: x − 2 = y + 1 2 = z 3 e s:    x = 1 − y z = 2 + 2y e ´e ao mesmo tempo ortogonal a r e s. Soluc¸˜ao: Substituindo x = 1 − y em x − 2 = y + 1 2 temos 1 − y − 2 = y + 1 2 ⇒ −y − 1 = y + 1 2 ⇒ −2y − 2 = y + 1 ⇒ −3y = 3 ⇒ y = −1 Substituido y = −1 em z = 2 + 2y temos z = 2 + 2.(−1) ⇒ z = 0 Substituindo y = −1 em x = 1 − y temos x = 1 − (−1) ⇒ x = 2 Ponto de coincidˆencia entre as retas r e s ´e P(2, −1, 0) Para a reta s atribuimos y = 0 logo: x = 1 e z = 2 temos; P1(1, 0, 2) Para a reta s atribuimos y = 1 logo: x = 0 e z = 4 temos; P2(0, 1, 4) vs = P2 − P1 = (0, 1, 4) − (1, 0, 2) = (−1, 1, 2) Para a reta r temos vr = (1, 2, 3) Calculando: v = vs × vs = i j k 1 2 3 −1 1 2 = 4i − 3j + k − 2j − 3i + 2k = i − 5j + 3k ⇒ v = (1, −5, 3) Calculando as equac¸ ˜oes param´etricas para P(2, −1, 0) com o v(1, −5, 3) temos: (x, y, z) = (2, −1, 0) + (1, −5, 3)t    x = 2 + t y = −1 − 5t z = 3t 26
  72. 72. 32. A reta r: x − 1 a = y b = z −2 ´e paralela `a reta que passa pelo ponto A(−1, 0, 0) e ´e simultaneamente ortogonal `as retas r1:    x = −t y = −2t + 3 z = 3t − 1 e r2:    y = x z = 2x Calcular a e b Soluc¸˜ao: A direc¸ ˜oes de r1 e r2 s˜ao definidas pelos vetores vr1 = (−1, −2, 3) e vr2 = (1, 1, 2). A direc¸˜ao do vetor de r ser´a v que ´e paralela a reta que passa pelo ponto A. Se r1 ´e ortogonal a r ent˜ao vr1.v = 0 ⇒ (−1, −2, 3).(a, b, −2) = 0 ⇒ −a − 2b − 6 = 0(1) Se r2 ´e ortogonal a r ent˜ao vr2.v = 0 ⇒ (1, 1, 2).(a, b, −2) = 0 ⇒ a + b − 4 = 0(2) Resolvendo o sistema entre (1) e (2): −a − 2b − 6 = 0 a + b − 4 = 0 −b − 10 = 0 ⇒ b = −10 Substituindo b = −10 na outra equac¸˜ao: a + b − 4 = 0 ⇒ a + (−10) − 4 = 0 ⇒ a = 10 + 4 a = 14 33. Dados os pontos P1(7, −1, 3) e P2(3, 0, −12), determinar: a) o ponto P, que divide o segmento P1P2 na raz˜ao 2 3 ; Soluc¸˜ao: r = 2 3 Para x: x = x1 − r.x2 1 − r ⇒ x = 7 − 2 3 .3 1 − 2 3 ⇒ x = 5 1 3 ⇒ x = 15 Para y: y = y1 − r.y2 1 − r ⇒ y = −1 − 2 3 .0 1 − 2 3 ⇒ y = −1 1 3 ⇒ y = −3 27
  73. 73. Para z: z = z1 − r.z2 1 − r ⇒ z = 3 − 2 3 .(−12) 1 − 2 3 ⇒ z = 11 1 3 ⇒ z = 33 P(15, −3, 33) b) o ponto Q, que divide o segmento P1P2 ao meio. Soluc¸˜ao: r = 1 2 Para x: x = x1 + x2 2 ⇒ x = 7 + 3 2 ⇒ x = 5 Para y: y = y1 + y2 2 ⇒ y = −1 + 0 2 ⇒ y = − 1 2 Para z: z = z1 + z2 2 ⇒ y = 3 − 12 2 ⇒ y = − 9 2 P 5, − 1 2 , − 9 2 34. O ponto P(9, 14, 7) divide o segmento P1P2 na raz˜ao 2 3 . Determinar P2, sabendo que P1(1, 4, 3). Soluc¸˜ao: r = 2 3 Para x: x = x1 − r.x2 1 − r ⇒ 9 = 1 − 2 3 .x2 1 − 2 3 ⇒ 9. 1 3 = 1 − 2 3 .x2 ⇒ 2 3 .x2 = 1 − 3 ⇒ x2 = −2 2 3 ⇒ x2 = −2. 3 2 ⇒ x2 = −6 2 ⇒ x2 = −3 Para y: y = y1 − r.y2 1 − r ⇒ 14 = 4 − 2 3 .y2 1 − 2 3 ⇒ 14. 1 3 = 4 − 2 3 .y2 ⇒ 2 3 .y2 = 4 − 14 3 ⇒ 2 3 y2 = − 2 3 ⇒ y2 = −1 Para z: 28
  74. 74. z = z1 − r.z2 1 − r ⇒ 7 = 3 − 2 3 .z2 1 − 2 3 ⇒ 3. 1 3 = 3 − 2 3 .z2 ⇒ 2 3 .z2 = 3 − 7 3 ⇒ 2 3 z2 = 9 − 7 3 ⇒ 2 3 .z2 = 2 3 ⇒ z2 = 1 P(−3, −1, 1) 35. Seja o triˆangulo de v´ertices A(1, 0, −2), B(2, −1, −6) e C(−4, 5, 2). Estabelecer as equac¸ ˜oes param´etricas da reta suporte da mediana do triˆangulo ABC relativa ao lado BC. Soluc¸˜ao: O Ponto M e a mediana entre B e C; M = B + C 2 ⇒ M = (−2, 4, −4) 2 ⇒ M = (−1, 2, −2) o vetor na Direc¸˜ao −−→ MA = M − A ⇒ −−→ MA = (1, 0, −2) − (−1, 2, −2) = (2, −2, 0) Agora termos o vetor na direc¸˜ao −−→ MA = (2, −2, 0) e ponto A = (1, 0, −2) Podemos calcular a equac¸˜ao da reta da altura relativa ao lado BC: (x, y, z) = (1, 0, −2) + (2, −2, 0)t    x = 1 + 2t y = −2t z = −2 29

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