Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo

                           Bachillerato Universitario Nicolaita

       ...
4.2.   Propiedades.
   4.3.   Simplificación.
   4.4.   Multiplicación de fracciones.
   4.5.   División de fracciones.
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Glosario:




NÚMEROS REALES
Tras la primera Revolución del Hombre, la del neolítico, cuando en tierras del Próximo
Orient...
De este modo obtenemos la sucesión de números naturales: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
12, 13, 14, 15, 16, 17... q...
Sean los conjuntos A={1, 2, 3,4}, B={3, 4, 5} y C={4, 5, 6}. Hallar el conjunto S, suma de
A, B y C.

El conjunto será S={...
La sustracción
Los signos aritméticos de sumar y restar se cree son debidas a los antiguos comerciantes
que marcaban con e...
Una fracción o quebrado es un número representado por dos números naturales (a, b) que
acostumbra a escribirse como a . El...
Fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Así, por
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Se trata de demostrar que  .
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Multiplicando miembro a miembro las igualdades ad=bc y cf=ed...
mismo será mayor el cociente cuanto menor sea el divisor. Por lo tanto, en el caso que
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Si en vez de multiplicar el numerador los dividiéramos, por ejemplo por 2, sin variar el
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Se dice que una fracción es irreductible cuando el numerador y el denominador son
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Simplificar la fracción     mediante una sola operación.
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Hallamos en primer lugar el Máximo ...
576:4811 = 132
                               576:363 = 48

Por consiguiente tendremos:
      5  360              13  ...
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7 7       1960 = 222577 = 23572
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Calculo del Mínimo Común Múltiplo de números entero...
b) Se dividen todos los números entre los factores primos comunes.
   c) El M.C.D. es el producto de los factores primos c...
a) Para sumar fracciones que tengan igual denominador se suman los numeradores y el
   resultado obtenido es el numerador ...
c) Para sumar números mixtos se suman por separado las partes enteras y las partes
   fraccionarias y los resultados obten...
Como hemos visto anteriormente el mínimo común denominador es 24. Es decir,
   que:

                   15 90             ...
Por consiguiente al efectuar la suma:
              15      15
        19  1  20 , que es la suma total buscada.
       ...
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Programa De MatemáTicas I

  1. 1. Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo Bachillerato Universitario Nicolaita Programa académico de la materia de Matemáticas I: Álgebra Primer semestre 1. Números reales. 1.1. Números naturales: Definición y axioma de cerradura. 1.2. Números enteros: Definición, reglas de los signos y axioma de cerradura. 1.3. Números racionales: Definición , expresión decimal, equivalencia y operaciones fundamentales, razones y proporciones. 1.4. Números irracionales: Definición. 1.5. Números reales: Definición, representación geométrica, definición de igualdad y sus propiedades, axiomas de campo y de orden. 2. Lenguaje algebraico. 2.1. Definición de álgebra. 2.2. Notación algebraica. 2.3. Signos algebraicos: De operación, de relación y de agrupación. 2.4. Términos algebraicos y sus partes. 2.5. Clasificación de los términos algebraicos: semejantes o no semejantes. 2.6. Clasificación de las expresiones algebraicas por su número de términos. 2.7. Grado de expresión algebraica. 2.8. Ordenamiento de una expresión algebraica. 2.9. Valor numérico de una expresión algebraica. 3. Operaciones algebraicas. 3.1. Adición y sustracción de monomios y polinomios con coeficientes enteros y fraccionarios 3.2. Introducción y supresión de signos de agrupación. 3.3. Leyes de los exponentes enteros para la multiplicación. 3.4. Multiplicación de polinomios. 3.5. Definición de producto y productos notables: Cuadrado de un binomio, binomios conjugados, binomios con un término común, cubo de un binomio, teorema del binomio, binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma o diferencia de cubos y cuadrado de un trinomio. 3.6. Leyes de los exponentes enteros para la división. 3.7. División de polinomios. 3.8. División sintética 3.9. Factorización: Factor común, diferencia de cuadrados, trinomios con un término de segundo grado, suma y diferencia de cubos y por agrupación. 4. Fracciones algebraicas. 4.1. Definición y clasificación.
  2. 2. 4.2. Propiedades. 4.3. Simplificación. 4.4. Multiplicación de fracciones. 4.5. División de fracciones. 4.6. Obtener el mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas. 4.7. Suma de fracciones. 4.8. Simplificación de fracciones complejas. 5. Exponentes fraccionarios y radicales. 5.1. Propiedades de los exponentes fraccionarios. 5.2. Operaciones con exponentes fraccionarios. 5.3. Definición de raíz. 5.4. Propiedades de los radicales. 5.5. Simplificación de un radical. 5.6. Suma de radicales. 5.7. Multiplicación y división de radicales. 5.8. Racionalización. 6. Ecuaciones 6.1. Definición, partes y clasificación en base al grado y número de incógnitas. 6.2. Propiedades de las ecuaciones. 6.3. Soluciones de ecuaciones de primer grado con una incógnita. 6.4. Problemas que conducen a ecuaciones de primer grado con una incógnita. 6.5. Solución gráfica de una ecuación de primer grado con dos incógnitas. 6.6. Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. 6.7. Métodos de solución (eliminación y por determinantes) e interpretación geométrica. 6.8. Problemas que conducen a sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. 6.9. Clasificación y solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita; por factorización y por la fórmula cuadrática.
  3. 3. Glosario: NÚMEROS REALES Tras la primera Revolución del Hombre, la del neolítico, cuando en tierras del Próximo Oriente surgían las primeras civilizaciones de agricultores y las primeras ciudades, también hizo su aparición una ciencia trascendental para el hombre: la aritmética. Efectivamente, el hombre tuvo enseguida necesidad de contar, medir y calcular sus pertenencias, ya fueran cosechas, campos o el tiempo. Ahí empezaron de forma rudimentaria los números y los usos de las cuatro reglas que más tarde se estudiarían bien y teorizarían. El desarrollo de esta ciencia, la base primera de las matemáticas, ya alcanzó notable desarrollo en la antigüedad, pero ha continuado su evolución hasta nuestro días. De hecho la estadística, tan utilizada en la actualidad se comenzó a usar masivamente a partir de la tercera década del Siglo XX. La Aritmética es, con seguridad, las parte de las matemáticas de empleo más generalizado e inmediato para el hombre , es obvio el uso universal de las cuatro reglas o de los sistemas de medición. Sin embargo, la aparente sencillez y conocimiento de la aritmética entra también en campos más complejos, tales como la radicación, la teoría de los números (reales, complejos, etc.), los logaritmos o las derivadas, hasta alcanzar los niveles de cálculo de la matemática superior. Los conocimientos de las matemáticas han tenido una influencia determinante en la Ciencia y Sociedad y en los avances Científicos y Tecnológicos; cuando el ser humano se hizo sedentario, surgió la necesidad de contar sus bienes (pieles, flechas, cosechas, etc.); para esto pudo utilizar “piedritas” o “rayitas”, para simbolizar alguna cosa u objeto de su propiedad. 1.1 Números naturales En el desarrollo de la culturas fue evolucionando esta forma primitiva de representar objetos o cosas reales a través de símbolos naciendo así el primer conjunto de números llamados Números Naturales, estos números son utilizados para contar , se representan mediante una “N”. Número natural, es aquello que tienen en común los conjuntos coordinables entre sí. Así, por ejemplo los conjuntos A={a, b, c, d, e} y B={1, 2, 3, 4, 5}; tienen la propiedad de estar constituidos por cinco elementos. Diremos, en este caso, que los conjuntos A y B son representantes del número natural 5, o bien representan la cantidad cinco. De modo similar todos lo conjuntos que poseen un solo elemento, es decir, los conjuntos unitarios, representaran al número 2, y así sucesivamente. El conjunto vacío, o sea, los que no poseen ningún elemento, representará al número 0 (cero).
  4. 4. De este modo obtenemos la sucesión de números naturales: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17... que es una sucesión con infinitos términos: N={1, 2, 3, 4, 5, ....) El matemático Richard de Dekind, decía que el hombre solo necesitaba los números naturales, los demás eran creación del mismo hombre; obligado por la necesidad el ser humano tuvo que ir introduciendo otros conjuntos de números como son: 1.2 Números enteros Si efectuamos la unión del conjunto que contiene cero {0} con el conjunto N de los números naturales, obtenemos el conjunto de los “números enteros positivos. Al incluir un elemento aditivo inverso por cada número natural, obtenemos el conjunto de los “números enteros negativos”. La unión de los dos conjuntos anteriores, da como resultado el conjunto de los “números enteros”, denotados por: Z={-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} La primera operación aritmética que efectuaron las civilizaciones primitivas fue la adición, utilizando objetos concretos que estuvieran al alcance de la mano. Así, o bien se efectuaban las sumas amontonando piedrecitas o bien formando nudos en una cuerda, como hacían los Incas. Unir o sumar varios conjuntos consiste en reunir en un solo conjunto todos los elementos de todos los conjuntos. Los conjuntos que se unen se llaman sumandos y el conjunto obtenido se llama unión. En la suma de conjuntos pueden presentarse dos casos: 1.- Que los conjuntos que se van a unir no posean ningún elemento en común. 2.- Que los conjuntos que se van a unir posean elementos en común. El primer caso, el número de elementos del conjunto unión es la suma de los elementos de los conjuntos sumandos. Sean los conjuntos A={1, 2, 3}, B={4, 5} y C={6, 7, 8}. Hallar el conjunto S, suma de A, B y C. El conjunto unión será S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Como puede observarse el conjunto S tiene 8 elementos, lo cual coincide con la suma de los elementos de los conjuntos A, B y C. En efecto, 3+2+3 = 8. En el segundo caso, el número de elementos del conjunto unión es menor que la suma de los elementos de los conjuntos sumandos.
  5. 5. Sean los conjuntos A={1, 2, 3,4}, B={3, 4, 5} y C={4, 5, 6}. Hallar el conjunto S, suma de A, B y C. El conjunto será S={1, 2, 3, 4, 5, 6}, en el cuál están todos los elementos que hay en los conjuntos A, B y C. Como puede observarse, en este caso el número de elementos del conjunto unión es 6, número inferior a la suma de los elementos de los conjuntos A, B y C. En efecto 4+3+3=10 y obviamente 6<10. Adición o suma de números naturales Sean a y b los número naturales que representen el número de elementos de los conjuntos disjuntos (es decir, sin elementos comunes) A yB, respectivamente. Diremos que el número natural c, que representa el número de elementos del conjunto unión A y B es la suma de los números naturales a y b y lo representaremos con la notación: c = a + b Así, por ejemplo, la suma de 2 y 5 es 2+5=7 y la suma de 4, 6 y 13 es 4+6+3=13. En el caso particular de que los números naturales que se sumen sean todos ellos iguales a 1, el número de sumandos coincidirá con la suma. Si sumamos cualquier número natural x con el número cero, el resultado que se obtendrá será también x, es decir que cualquier número natural permanece inalterado si se le suma el número cero. O sea x+0=x Propiedades de la adición La suma de los números naturales cumple con la propiedades uniforme, asociativa, conmutativa y tiene elemento neutro. Propiedad uniforme: La suma de los números naturales es siempre un número natural. En efecto, sí a y b son dos números naturales cualesquiera, su suma a +b = c también será un número natural. Propiedad asociativa. La suma de dos números naturales cumple que a+(b+c)=(a+b)+c. Es decir que el resultado final de la suma es independiente de la manera a como se agrupa los sumandos. Para indicar la forma como se deben de agrupar los sumandos se utilizan diversos signos: a) Los signos ( ) reciben el nombre de paréntesis. b) Los signos [ ] reciben el nombre de corchetes. c) Los signos { } reciben el nombre de llaves. d) Los signos __ reciben el nombre de barras. Propiedad conmutativa: La suma de números naturales cumple que a+b=b+a, es decir, que el resultado final de la suma no es alterado por el orden de los sumandos. Elemento neutro: La suma de números naturales cumple que a+0=0+a=a. Es decir, que cualquier número sumado con el número cero, tanto si efectuamos la suma por la izquierda como si la efectuamos por la derecha, permanece inalterado. Por esta razón se dice que el número cero es el elemento neutro respecto a la suma de números naturales.
  6. 6. La sustracción Los signos aritméticos de sumar y restar se cree son debidas a los antiguos comerciantes que marcaban con ellos las mercancías que compraban y vendían para indicar de este modo que contenían mayor o menor cantidad de la pactada para el intercambio. La sustracción es la operación aritmética opuesta a la adición y consiste en obtener uno de los sumandos, que recibe el nombre de minuendo y el otro sumando, que recibe el nombre de sustraendo. Si representamos el minuendo con la letra m, el sustraendo son la letra s y la resta con la letra r tendremos que: m-s=r Donde el signo menos (-) entre el minuendo y el sustraendo indica que ambos deben restarse. Para poder realizar esta operación en los números naturales el minuendo debe ser mayor al sustraendo. Obviamente, de acuerdo con la definición que se acaba de dar, el minuendo coincidirá siempre con la suma del sustraendo y la diferencia. Es decir, m=s+r. Propiedades de la sustracción 1.- Al restar igualdades se obtiene como resultado otra igualdad. En efecto supongamos las siguientes igualdades: 5=5 y 3=3. Si las restamos miembro a miembro obtendremos: 55 33 22 que es otra igualdad. 1.3 Números racionales Las civilizaciones antiguas (egipcios, babilonios, griegos...) conocieron las fracciones desde tiempos muy remotos. Al descifrar los jeroglíficos egipcios, los egiptólogos encontraron resueltos muchísimos problemas con fracciones sobre cuestiones de la vida cotidiana en el antiguo Egipto, tales como la agrimensura o la construcción de pirámides. La división exacta de números naturales no resulta siempre posible puesto que no siempre existe un número natural que al ser multiplicado por el divisor coincida en el dividendo. Por lo tanto, nos vemos obligado a ampliar el campo numérico, introduciendo las fracciones o quebrados. Algunos, también dan el nombre de Números Racionales. Un número racional es aquel que puede expresarse como cociente de dos enteros. En el conjunto de los racionales están incluidos los enteros positivos y negativos, el cero y las fracciones positivas y negativas.
  7. 7. Una fracción o quebrado es un número representado por dos números naturales (a, b) que acostumbra a escribirse como a . El número a se llama numerador y el numero b se llama b denominador. El denominador no puede ser nunca cero. Toda fracción representa el cociente de una división en la cuál el numerador representa el dividendo y el denominador representa al divisor. 4 8 1 0 Así, por ejemplo, son fracciones , , , . 7 8 3 4 Uno de los aspectos más significativos de la noción fracción es la llamada “parte de unidad”. El denominador de una fracción indica el número de partes en que se ha divido la unidad y el numerador el número de partes que se toman. Así, por ejemplo, en la fracción 5/8, el denominador 8 indica que la unidad se ha dividido en ocho partes iguales y el numerador 5 indica que se han tomado 5 de esas 8 partes iguales. Si la unidad la dividimos en dos partes iguales esas partes se llaman medios, si la dividimos en tres partes iguales las partes reciben el nombre de tercios, si la dividimos en cuatro partes iguales las partes se llaman cuartos, si la dividimos en cinco partes iguales se llaman quintos, si la dividimos en seis partes iguales se llaman sextos, si la dividimos en siete se llaman séptimos, en ocho partes se llaman octavos, en nueve novenos, en diez decimos, en once onceavos, si la dividimos en doce partes iguales se llaman doceavos y así sucesivamente. 4 6 3 7 Así, por ejemplo, las fracciones siguientes: , , y se leerán del modo siguiente: 7 8 11 10 cuatro séptimos, seis octavos, tres onceavos y siete décimos. Fracciones comunes son aquellas cuyo denominador no es la unidad seguida de ceros. Así, 5 3 6 por ejemplo: , y , son fracciones comunes. 7 4 11 Fracciones decimales son aquellas cuyo denominador es la unidad seguida de ceros. Así, 3 5 37 por ejemplo, , y , son fracciones decimales. 10 100 1000 Fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Así, por 5 3 7 ejemplo, , y , son fracciones propias. 8 13 12
  8. 8. Fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Así, por 8 6 9 ejemplo, , y , son fracciones impropias. 7 5 4 Fracciones iguales son aquellas cuyo numerador es igual al denominador. Así, por ejemplo, 3 7 11 , y , son fracciones iguales. 3 7 11 Números mixtos son aquellos que constan de una parte entera y una parte fraccionaria. Así, 2 1 por ejemplo, 4 , 5 1 , 6 , son números mixtos. Los números mixtos es otra forma de 3 4 7 representar a los fracciones impropias. Dos fracciones son equivalentes cuando el producto obtenido al multiplicar el numerador de la primera por el denominador de la segunda coincide con el producto obtenido al multiplicar el numerador de la segunda por el denominador de la primera. 3 9 Comprobar que las fracciones y son equivalentes. 7 21 3x 21  63 9 x7  63 y como puede observarse ambos productos son iguales. La equivalencia de fracciones constituye una relación de equivalencia. En efecto, vamos a comprobar que se cumplen las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. a a Propiedad reflexiva: Toda fracción es equivalente a sí misma. En efecto,  , donde el b b signo  significa “es equivalente a”, puesto que a x b=b x a Propiedad simétrica: Si una fracción es equivalente a otra, ésta es equivalente a la primera. a c En efecto, si  , debe de cumplirse que ad=bc. Por lo tanto, también se cumplirá que b d c a  , puesto que esto significa que cb=ad, que es la misma igualdad que hemos descrito d b anteriormente. Propiedad transitiva: Si una fracción es equivalente a otra y ésta es equivalente a una a c tercera, la primera fracción es equivalente a la tercera. En efecto, si  , debe cumplirse b d c e ad=bc. Si además  , debe cumplirse que cf=ed. d f
  9. 9. a e Se trata de demostrar que  . b f Multiplicando miembro a miembro las igualdades ad=bc y cf=ed obtendremos: adcf=bced Dividiendo ambos miembros por dc resultará: af=be, por lo cuál pone de manifiesto que a e  tal como queríamos demostrar. b f Por lo tanto la equivalencia de fracciones constituye una relación de equivalencia, de modo que el conjunto de las fracciones queda dividido en subconjuntos o clases de equivalencia formadas por todas las fracciones equivalentes entre sí. Cada una de las clases de equivalencia constituye un número fraccionario, puesto que todas 1 2 4 5 ellas son equivalentes. Damos como ejemplo: , , y 3 6 12 15 1 2 3 4 En cambio las fracciones , , y son representantes de distintos números 2 3 4 5 fraccionarios, puesto que no son equivalentes. Propiedades de la ordenación y equivalencia de los números fraccionarios. Los números fraccionarios gozan de una serie de importantes propiedades que vamos a detallar a continuación. a) Si varias fracciones tienen el mismo denominador es mayor la que tenga mayor numerador. 3 7 2 En efecto, consideremos las fracciones , y . Como se ha dicho anteriormente, 5 5 5 toda fracción representa una división en la cual el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor. Por consiguiente, si el divisor, es decir el denominador, es el mismo será mayor aquella en que el dividendo, es decir, el numerador, sea mayor. En el 7 3 2 caso que nos ocupa tendríamos > > . 5 5 5 b) Si varias fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador. 4 4 4 En efecto, consideremos por ejemplo las fracciones , y . Puesto que toda 5 3 9 fracción representa una división entre numerador y denominador, si el numerador es el
  10. 10. mismo será mayor el cociente cuanto menor sea el divisor. Por lo tanto, en el caso que 4 4 4 nos ocupa tendremos que > > . 3 5 9 c) Si a los dos términos de una fracción propia se le suma el mismo número, la fracción obtenida es mayor que la inicial. 3 En efecto, consideremos por ejemplo la fracción . Si al numerador y al denominador 5 33 6 les añadimos el mismo número, por ejemplo3, la nueva fracción será  , y puede 53 8 observarse que el cociente 6:8 = 0.75 es mayor que el cociente 3:5 = 0.6 d) Si a los dos términos de una fracción propia se les resta el mismo número, la fracción obtenida es menor que la inicial. 4 Consideremos . Si al numerador y al denominador les restamos el mismo número; 5 4 1 3 digamos 1, la nueva fracción será  y puede observarse 3:4 = 0.75 es menor 5 1 4 que el cociente 4:5 = 0.8 e) Si a los dos términos de una fracción impropia se les suma un mismo número, la fracción obtenida es menor que la inicial. 6 En efecto, consideremos la fracción . Si al numerador y al denominador les sumamos 4 6  4 10 el mismo número, por ejemplo 4, la nueva fracción será  y puede observarse 44 8 que el cociente 10:8 = 1.25 es menor que el cociente 6:4 = 1.5 f) Si a los dos términos de una fracción impropia se les resta un mismo número, la fracción obtenida es mayor que la inicial. 6 En efecto consideremos por ejemplo la fracción . Si al numerador y al denominador 4 62 4 les restamos el mismo número, por ejemplo 2, la nueva fracción será  y puede 42 2 observarse el cociente 4:2 = 2 es mayor que el cociente 6:4 = 1.5 g) Si el numerador de una fracción se multiplica o se divide por un número sin variar el denominador, la fracción queda multiplicada o dividida por el mismo número. 6 En efecto consideremos la fracción . Si multiplicamos, por ejemplo, el numerador 12 6  3 18 por 3 sin variar el denominador la nueva fracción será  y puede observarse 12 12 que el cociente 18:12 = 1.5 es 3 veces mayor que el cociente 6:12 = 0.5
  11. 11. Si en vez de multiplicar el numerador los dividiéramos, por ejemplo por 2, sin variar el 6:2 3 denominador la nueva fracción sería:  y puede observarse que el cociente 12 12 3:12 = 0.25 es 2 veces menor que el cociente 6:12 = 0.5 h) Si el denominador de una fracción se multiplica o se divide por un número sin variar el numerador, la fracción queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo caso por el mismo número. 4 En efecto consideremos . Si multiplicamos el denominador por 2 tenemos 10 4 4  y vemos el cociente de 4:20 = 0.2 es 2 veces menor que el de 4:10 = 0.4 10  2 20 Si en vez de multiplicar dividimos, digamos por 5, sin variar el numerador, la nueva 4 4 fracción será  y puede observarse que el cociente 4:2 = 2 es 5 veces mayor 10 : 5 2 que el cociente 4:10 = 0.4 i) Si los dos términos de una fracción se multiplican o se dividen por un mismo número, el valor de la fracción no varía. En efecto, consideremos, por ejemplo la fracción 4 . Si multiplicamos por ejemplo 8 4  5 20 ambos términos por 5 la nueva fracción será  y puede observarse que el 8  5 40 cociente 20:40 = 0.5 es el mismo que el cociente 4:8= 0.5 Si en vez de multiplicar ambos términos los dividiéramos, por ejemplo por 2, la nueva 4:2 2 fracción sería  y puede observarse que el cociente 2:4 = 0.5 es el mismo que el 8:2 4 cociente 4:8 = 0.5 Reducción y simplificación de fracciones Basándose en las propiedades de las fracciones, vamos a comentar diversos procedimientos para reducir y simplificar fracciones. a) Para convertir un número mixto en fracción impropia se multiplica la parte entera por el denominador y al producto resultante se le añade el denominador. El resultado obtenido es el numerador de la fracción impropia. El denominador de la fracción impropia es el mismo denominador del número mixto. 3 Convertir el número mixto en fracción impropia: 6 5 3 3 33 6  65   5 5 5 b) Para convertir una fracción impropia en número mixto se divide el numerador entre el denominador. Si la división es exacta solo hay parte entera y está coincide con el
  12. 12. cociente de la división. Si la división no es exacta, el cociente coincide con la parte entera del número mixto, el resto coincide con el numerador y el divisor con el denominador. 30 Convertir en número mixto la fracción impropia: 6 30 Efectuemos la división 30:6=5, como la división es exacta 5 6 17 Convertir en número mixto la fracción impropia: 9 17 8 Efectuemos la división 17=91+8, como la división no es exacta tendremos 1 9 9 c) Para convertir un número entero en una fracción de denominador determinado se multiplica el entero por el denominador. El producto obtenido es el numerador de la fracción y el denominador es el indicado “a priori”. Convertir el número 5 en fracción de denominador 9. a Se trata de escribir 5 como . Para ello hacemos a = 59 = 45 y tendremos que 9 45 5 9 d) Para convertir una fracción en otra fracción equivalente cuyos términos sean mayores, se pone como denominador el indicado y como numerador el producto del numerador inicial por el cociente obtenido al dividir los denominadores. 5 Convertir en otra equivalente de denominador 28 7 5 a 5 20 Se trata de escribir como . Para ello hacemos a = 528:7 = 20, o sea:  7 28 7 28 e) Para convertir una fracción en otra fracción equivalente cuyos términos sean menores, se pone como denominador el indicado y como numerador el cociente entre el numerador inicial y el cociente entre el numerador inicial y el cociente obtenido al dividir los denominadores. 15 Convertir la fracción en otra equivalente cuyo denominador 8 40 15 a Se trata de escribir como . Para ello hacemos a = 15:(40:8) = 15:5 = 3, o sea: 40 8 15 3  40 8
  13. 13. Se dice que una fracción es irreductible cuando el numerador y el denominador son números primos entre sí. La fracción 7 es irreductible puesto que 7 y 8 son 8 números primos entre sí. f) Si los dos términos de una fracción irreductible se elevan a una potencia, la fracción obtenida también es irreductible. x En efecto consideremos la fracción irreductible . Se trata de demostrar que la y xa fracción es también irreductible. Si los números son primos entre sí sus ya potencias también los son, por lo que xa y ya también son primos entre sí y por xa consiguiente la fracción a es irreductible, tal como queríamos demostrar. y Simplificar una fracción es convertirla en otra fracción equivalente cuyos términos sean menores. La simplificación máxima que puede efectuarse en una fracción consiste en convertirla en una fracción irreductible. Para simplificar una fracción se dividen numerador y denominador por sus factores comunes. 168 Simplificando al máximo la fracción . 252 2 es factor común de 168 y 252. Por lo tanto podemos dividir ambos términos por 2 168 : 2 84 obteniendo:  252 : 2 126 2 es factor común de 84 y 126. Por lo tanto podemos dividir ambos términos por 2 84 : 2 42 obteniendo:  126 : 2 63 3 es factor común de 42 y 63. Por lo tanto podemos dividir ambos términos por 3 42 : 3 14 obteniendo:  63 : 3 21 14 : 7 2 7 es factor común de 14 y 21. Dividimos, obteniendo:  21 : 7 3 que ya no se puede simplificar más y, por consiguiente , es una fracción irreductible. 168 2 Observa que y son fracciones equivilantes, puesto que 1683 = 2252 = 504 252 3 Para simplificar una fracción hasta convertirla en irreductible en una sola operación, se halla el Máximo Común Divisor de los dos términos de la fracción y se dividen ambos términos de la fracción y se dividen ambos términos por el Máximo Común Divisor obtenido.
  14. 14. 168 Simplificar la fracción mediante una sola operación. 252 Hallamos en primer lugar el Máximo Común Divisor de 168 y 252 168 2 252 2 84 2 126 2 42 2 63 3 21 3 21 3 7 7 7 7 1 1 Es decir 168 = 2337 252 = 22327 Por lo tanto el Máximo Común Divisor de 168 y 252 es 2237 = 84 168 : 84 2 Así, pues, tendremos:  252 : 84 3 Para reducir varias fracciones al Mínimo Común Denominador se simplifican las fracciones. A continuación se halla el Mínimo Común Múltiplo de todos los denominadores, que será el Mínimo Común Denominador. Los denominadores se calculan dividiendo el mínimo común múltiplo entre cada denominador y multiplicando el cociente obtenido por cada uno de los numeradores. Reducir al Mínimo Común Denominador las fracciones 5 , 13 , 11 y 3 . 8 64 48 36 Encontremos el mínimo común múltiplo de 8, 64, 48 y 36. 8 2 64 2 48 2 36 2 4 2 32 2 24 2 18 2 2 2 16 2 12 2 9 3 1 8 2 6 2 3 3 4 2 3 3 1 2 2 1 1 Es decir, 8 = 23 64 = 26 48 = 243 36 = 2232 Por lo tanto el mínimo común múltiplo será: 2632 = 576 Los numeradores serán: 576:85 = 360 576:6413 = 117
  15. 15. 576:4811 = 132 576:363 = 48 Por consiguiente tendremos: 5  360 13  117 11  132 3  48 . 8 576 64 576 48 576 36 576 Números múltiplos, compuestos y primos Múltiplo de un número Un número A es múltiplo de un número B si al efectuar la división A/B está es exacta, es decir el residuo es cero. 55 20 8 70 6 5 4 2  10 2 11 5 4 7 3 Así 12 es múltiplo de: 1, 2, 3, 4, 6, 12 Para buscar múltiplos de un número, sólo hay que multiplicar por: 1, 2, 3, 4, etc. Números compuestos Es todo número natural distinto de la unidad y que puede ser expresado como el producto de dos o más enteros positivos diferentes de sí mismo, los cuales son sus factores y en algunos casos puede repetirse. 4 se puede factorizar en: 22 ó 41 6 se puede factorizar en: 32 ó 61 8 se puede factorizar en: 42 ó 81 ó 222 26 se puede factorizar en: 132 ó 261 Todo entero por mayor que dos es un número compuesto. Números primos Es todo número natural que solo tiene como factores a la unidad y así mismo. Fue el matemático griego Euclides el primero en descubrir que los números primos constituyen una serie infinita. Las investigaciones de los matemáticos griegos les condujeron rápidamente al concepto de número primo, basándose en el cual Eratóstenes construyo su famosa Criba para encontrar los números primos de la serie de los números naturales. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
  16. 16. 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 78 88 89 90 91 92 93 94 95 96 79 89 99 100 El cuadro anterior es la Criba de Eratóstenes del 1 al 100 Eratóstenes escribió los números naturales hasta un número dado y fue agujereando en un pergamino en primer lugar a todos los múltiplos de 2 excepto al 2. A continuación hizo los mismo con los múltiplos de 3. Después procedió de modo análogo con los múltiplo de 5, de 7, de 11 y así sucesivamente. Los números que nos resultaron agujereados constituyen las serie de los números primos hasta el número dado. Descomposición de un número en sus factores primos Una propiedad interesante y útil de los factores de los números enteros es que puede expresarse como producto de números primos. Para determinar los factores primos de un número natural, se va dividiendo dicho número en forma progresiva, empleando únicamente números primos hasta terminar en elemento unitario. Hallar la factorización prima para 72 72 2 36 2 18 2 9 3 3 3  72 = 22233 = 2332 1 Hallar la factorización prima para 375 375 3 125 5 25 5 5 5  375 = 3555 = 353 1 Hallar la factorización prima para 1960 1960 2 980 2 490 2 245 5 49 7
  17. 17. 7 7  1960 = 222577 = 23572 1 Calculo del Mínimo Común Múltiplo de números enteros positivos Un entero es un múltiplo común de dos o más enteros dados si es múltiplo de cada uno de ellos. Es frecuente tener que usar el menor entero positivo que sea común múltiplo de dos o más enteros, al cual se le llama mínimo común múltiplo y se simboliza por m.c.m. o bien M.C.M. Para determinar el M.C.M. a) Se halla la factorización prima de cada número. b) El M.C.M. se forma con el producto de los factores primos comunes y no comunes afectados en su mayor exponente. Hallar el M.C.M. de 18, 24 y 15 18 2 24 2 15 3 9 3 12 2 5 5 3 3 6 2 1 1 3 3 1 232 233 35  El M.C.M. de 18, 24 y 15 es (23) (32) (5) = 360 También se puede determinar la factorización prima de todos los números a la vez. Hallar el M.C.M. de 200, 300 y 225 200 300 225 2 100 150 225 2 23 50 75 225 2 25 75 225 3 32 25 25 75 3 25 25 25 5 52 5 5 5 5 1 1 1 Máximo Común Divisor El máximo común divisor de dos o más números, es el mayor de los divisores comunes de dichos números; se simboliza por m.c.d. ó M.C.D.; cuando los números son pequeños el M.C.D. puede calcularse fácilmente; por el contrario si los números son grandes seguimos algunas reglas adecuadas: a) Se anotan los números en un mismo renglón.
  18. 18. b) Se dividen todos los números entre los factores primos comunes. c) El M.C.D. es el producto de los factores primos comunes tomados con su menor exponente. Hallar el M.C.D. de 48 y 72 48 72 2 24 36 2 12 18 2 6 9 3 2 3 3 2 1 2 1  El M.C.D. = 233 = 83 = 24 Hallar el M.C.D. de 464, 812 y 870 464 812 870 2 232 406 435 2 116 203 435 2 58 203 435 2 29 203 435 3 29 203 145 7 29 29 145 5 29 29 29 29 1 1 1  El M.C.D. = 229 = 58 Hallar el M.C.D. de 60, 150, 40 y 850 60 150 40 850 2 30 75 20 425 2 15 75 10 425 2 15 75 5 425 3 5 25 5 425 5 1 5 1 85 5 1 17 17  El M.C.D. = 25 = 10 1 Operaciones con Fracciones Las reglas que usamos en la actualidad para efectuar operaciones con fracciones son debidas a las matemáticas hindúes y datan de los Siglos VI y VII d. C.. En Europa fueron introducidas por los árabes a través de España. Suma En la suma de fracciones se pueden presentar diversos casos que vamos a explicar a continuación:
  19. 19. a) Para sumar fracciones que tengan igual denominador se suman los numeradores y el resultado obtenido es el numerador de la suma. El denominador de la suma es el mismo que el de los sumandos. 3 5 2 Sumar las fracciones   4 4 4 3 5 2 3  5  2 10 Tendremos:     4 4 4 4 4 Podremos simplificar la fracción, al dividir entre 2 el numerador y el denominador, 10 5 obtendremos:  4 2 5 Podemos también convertir la fracción impropia a número mixto:  2 1 , que es 2 2 resultado final de la suma. b) Para sumar fracciones que tengan distinto denominador se reducen a un común denominador y a continuación se opera tal como se ha indicado en el caso del inciso a. Sumar las fracciones 5  5  5 12 16 18 Vamos a encontrar en primer lugar el mínimo común denominador 12 2 16 2 18 2 6 2 8 2 9 3 3 3 4 2 3 3 1 2 2 1 1 223 24 232 Por lo tanto el mínimo común múltiplo de 12, 16 y 18 será: 2432 = 144, y éste será el mínimo común denominador 5 60 5 45 5 40    12 144 16 144 18 144 60 45 40 145 Así pues: 5  5  5     12 16 18 144 144 144 145 Convirtiendo la fracción impropia obtenida en un número mixto, tendremos: 145 1 1 , que es el resultado final de la suma. 144 144
  20. 20. c) Para sumar números mixtos se suman por separado las partes enteras y las partes fraccionarias y los resultados obtenidos se suman para dar la suma total. Otro procedimiento consiste en convertir las partes enteras en fracciones impropias y sumar todas las fracciones así obtenidas. 3 5 5 Sumar 3  5  7 4 6 8  3 5 5 Por el primer procedimiento tendremos. 3  5  7  3  5  7        3 5 5 4 6 8  4 6 8 La suma de las partes enteras es: 3+5+7 = 15 3 5 5 La suma de las partes fraccionarias es:    4 6 8 Encontremos en primar lugar el mínimo común denominador: 4 2 6 2 8 2 2 2 3 3 4 2 1 1 2 2 1 1 4 = 22 6= 23 8 = 23 Por lo tanto, el mínimo común denominador de 4, 6 y 8 será: 233 = 24 3 18 5 20 5 15    4 24 6 24 8 24 3 5 5 18 20 15 53 Así pues:       4 6 8 24 24 24 24 53 5 Convirtiendo la fracción impropia obtenida en número mixto tendremos: 2 24 24 5 Por lo tanto al efectuar la suma 15  2 24 5 5 Tendremos 15  2  17 , que es la suma total buscada. 24 24 Por el segundo procedimiento tendremos: 3 15 5 35 5 61 3  5  7  4 4 6 6 8 8 15 35 61 Por lo tanto se trata de sumar las fracciones:   4 6 8
  21. 21. Como hemos visto anteriormente el mínimo común denominador es 24. Es decir, que: 15 90 35 140 61 183    4 24 6 24 8 24 15 35 61 90 140 183 413 Así pues,       4 6 8 24 24 24 24 413 5 Convirtiendo la fracción impropia en número mixto, tendremos:  17 , que 24 24 es la suma total buscada. Y coincide con la obtenida por el primer procedimiento. d) Para sumar combinaciones de número enteros, números mixtos, y fracciones se suman los números con las partes enteras de los números mixtos y la suma obtenida se añade al efectuar la adición de las fracciones y las partes fraccionarias de los números mixtos. 21 1 9 Sumar 7  5 43  32 64 16 Sumamos en primer lugar las partes enteras: 7+5+4+3 = 19 21 1 9 A continuación sumamos las partes fraccionarias   32 64 16 Para ello encontramos el mínimo común denominador: 32 2 64 2 16 2 16 2 32 2 8 2 8 2 16 2 4 2 4 2 8 2 2 2 2 2 4 2 1 1 2 2 1 32 = 25 64 = 26 16 = 24 Por lo tanto el mínimo común denominador será: 26 = 64 Es decir que: 21 42 1 1 9 36    32 64 64 64 16 64 21 1 9 42 1 36 79 15 Así pues:       1 32 64 16 64 64 64 64 64
  22. 22. Por consiguiente al efectuar la suma: 15 15 19  1  20 , que es la suma total buscada. 64 64 Resta

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