PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I



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Problemas tipo sobre números enteros

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Problemas con operaciones algebraicas.
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Problemario Matematicas 4

  1. 1. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Problemario para el curso Matemáticas I 1. NÚMEROS NATURALES. 1.1. Definición. 1.2. Operaciones. 2. NÚMEROS ENTEROS. 2.1. Definición. 2.2. Orden. 2.3. Operaciones 3. NÚMEROS RACIONALES. 3.1. Definición. 3.2. Orden. 3.3. Expresión decimal. 3.4. Equivalencias. 3.5. Operaciones fundamentales. 3.6. Razones y proporciones. 4. NÚMEROS IRRACIONALES. 4.1. Definición. 5. NÚMEROS REALES. 5.1. Definición. 5.2. Representación geométrica. 5.3. Definición de igualdad y sus propiedades. 6. APLICACIONES. 6.1. Mínimo común múltiplo ( M. C. M.) 6.2. Máximo Común Divisor. (M. C. D.) 6.3. Potencia y radicación. 6.4. Notación científica. 2. LENGUAJE ALGEBRAICO. 2.1. Definición de Álgebra. 2.2. Notación algebraica (lenguaje algebraico). 2.3. Signos algebraicos de operación, de relación y de agrupación. 2.4. Término algebraico y sus partes. 2.5. Clasificación de los términos algebraicos; semejantes ó no semejantes. 2.6. Clasificación de las expresiones algebraicas por su número de términos. 2.7. Grado de una expresión algebraica. 2.8. Ordenamiento de una expresión algebraica. 2.9. Valor numérico de una expresión algebraica. 3. OPERACIONES ALGEBRAICAS. 3.1. Adición y sustracción de monomios y polinomios con coeficientes, enteros y fraccionarios. 3.2. Introducción y supresión de signos de agrupación. 3.3. Leyes de los exponentes enteros para la multiplicación. 3.4. Multiplicación por polinomios. 3.5. Definición de producto y producto notable. 3.5.1. Cuadrado de un binomio. 3.5.2. Binomios conjugados. 3.5.3. Binomio con un término común. 3.5.4. Cubo de un binomio. 3.5.5. Teorema del binomio. 3.5.6. Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma o diferencia de cubos 3.5.7. Cuadrado de un trinomio. Salvador González Sánchez -1-
  2. 2. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 3.6. Leyes de los exponentes enteros para la división. 3.7. División de polinomios. 3.8. División sintética. 3.9. Factorización. 3.9.1. Factor común. 3.9.2. Diferencia de cuadrados. 3.9.3. Trinomios con término de segundo grado. 3.9.4. Suma y diferencia de cubos. 3.9.5. Por agrupación. 4. FRACCIONES ALGEBRAICAS. 4.1. Definición y clasificación. 4.2. Propiedades. 4.3. Simplificación. 4.4. Multiplicación de fracciones. 4.5. División de fracciones. 4.6. Obtener el mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas 4.7. Suma y resta de fracciones. 4.8. Simplificación de fracciones complejas. 5. EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES. 5.1. Propiedades de los exponentes fraccionarios. 5.2. Operaciones con exponentes fraccionarios. 5.3. Definición de raíz 5.4. Propiedades de los radicales. 5.5. Simplificación de un radical. 5.6. Suma de radicales. 5.7. Multiplicación y división de radicales. 5.8. Racionalización. 6. ECUACIONES. 6.1. Definición, partes y clasificación en base al grado de número de incógnitas. 6.2. Propiedades de las ecuaciones. 6.3. Solución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. 6.4. Problemas que conducen a ecuaciones de primer grado con una incógnita. 6.5. Solución gráfica de una ecuación de primer grado con dos incógnitas. 6.6. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. 6.7. Método de solución (eliminación y por determinantes) e interpretación geométrica. 6.8. Problemas que conducen a un sistema de ecuaciones de lineales con dos incógnitas. 6.9. Clasificación y solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita por: 6.9.1. Factorización. 6.9.2. Formula cuadrática. 6.9.3. Completando el trinomio cuadrado perfecto. Objetivo Realizar una recopilación de los problemas propuestos por los libros de texto relativos a cada uno de los subtemas señalados por el programa analítico de la materia de matemáticas. Salvador González Sánchez -2-
  3. 3. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Problemas tipo sobre números enteros 1. Di que número debes sumar en cada situación: a) Bajó 3 kilos de peso. b) Su dieta tiene 200 calorías menos. c) La bolsa perdió 153 puntos. d) La temperatura bajó 17º C. e) Retiró $35.50 de sus ahorros. f) Se contrajo 0.15 metros la barra de acero. g) El ritmo cardíaco aumentó 5 latidos por minuto. h) La presión atmosférica subió0.16 atm. i) El resorte se estiró 5 centímetros. j) Este pan lleva 100 gramos menos de levadura. k) Este barco tiene 5 metros más de estribor. l) Creció 1 20 de metro. m) Una pérdida de $320. n) La tela encogió 1 de metro. 4 o) El café subió $0.70 el kilo. p) Un descuento de $9. q) Un aumento de $52. r) Se hundió 4.25 metros. s) La longitud aumentó 10 centímetros. t) Se cortó el cabello 8 centímetros. 3 u) Subió 2 kilos de peso. 4 v) Perdió 2 dientes. Salvador González Sánchez -3-
  4. 4. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 2. La suma de dos números es 450 y su cociente 8. Hallar los números. R: 400 y 50 3. Un ejército retrocedió 2300 metros. Después de reagruparse, avanzó 1750 metros. Al día siguiente ganó otros 1875 metros. Calcula la ganancia o pérdida total de ese ejército. 4. La suma de dos números es 3768 y su cociente 11. Hallar los números. R: 3454 y 314 5. Juan gana $8 por hora peinando caballos. Después de trabajar 8 horas tenía $94. ¿Cuánto tenía antes de comenzar a trabajar? 6. El doble de la suma de dos números es 100 y el cuádruplo de su cociente es 36. Hallar los números. R: 45 y 5 7. Determina el perímetro de un triángulo cuyos lados miden 23.5, 37.2 y 39.7 pies. 8. 800 excede en 60 unidades a la suma de dos números y en 727 a su cociente. Hallar los números. R: 730 y 10 9. Determina el perímetro de un trapezoide cuyos lados miden 43.27, 47.37, 50.21 y 52.93 centímetros. 10. La edad de A es 4 veces la de B y ambas edades suman 45 años. ¿Qué edad tiene cada uno? R: A, 36 años; 9 años. 11. Entre A y B tienen $12,816.00, y B tiene la tercera parte de lo que tiene A. ¿Cuánto tiene cada uno? R: A, $9,612 y B, $3,204 12. Durante cinco días de invierno se registraron las siguientes temperaturas a mediodía: –15ºC, 6ºC, –5ºC y –8ªC. ¿Cuál fue la temperatura promedio de esos cinco días? 13. La bolsa de valores tuvo las siguientes fluctuaciones durante una semana. Ganó 132 puntos, perdió 57 puntos, perdió 86 puntos, ganó 27 puntos y perdió 50 puntos. ¿Cuántos puntos ganó o perdió durante la semana? 14. Un día de invierno, la temperatura en la madrugada era de 8ºC. Durante la mañana subió 12ºC, en la tarde descendió 5ºC y en la noche bajó 3ºC. ¿Qué temperatura había en la noche? 15. Un submarino se encuentra a 210 metros bajo el nivel del mar. Debido a las fuertes corrientes tiene que descender 74 metros. Más tarde decide subir 50 metros. ¿ A qué profundidad se encuentra el submarino? Salvador González Sánchez -4-
  5. 5. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 16. María tenía $897. Tuvo que pagar una cuenta de $78.65, una de $53 y una de $8.50. Juan le pagó $101.80 que le debía. ¿Cuánto dinero tiene ahora María? 17. Un avión subió a una altura de 8825 metros. Debido al mal tiempo tuvo que elevarse 1547 metro. Después descendió 1239 metros para continuar su viaje. ¿Qué altura llevaba? 18. Un elevador estaba en el piso 12. Bajó 5 pisos, subió 13 y bajó 2 ¿En que piso se encuentra ahora? 19. Ricardo tiene una tarjeta de crédito con un saldo a favor de $229. Pagó con la tarjeta $296, $103 y $76. Como había gastado mucho, depositó $130. ¿Qué saldo tiene ahora en la tarjeta de crédito? 20. Un alpinista se encuentra en la cima del Popocatepetl cuya altura es de 5452 metros. Desciende 476 metros. Otro alpinista se encuentra al pie del volcán y asciende 892 metros. ¿Cuál es la diferencia entra las alturas a las que se encuentran los dos alpinistas? 21. La Ciudad de México tiene una altitud de 2303 metros sobre el nivel del mar. Un helicóptero de noticias sobrevuela la ciudad. Sube 193 metros, desciende 24 metros, baja 9 metros y se eleva 38 metros. Después de todos estos movimientos, ¿qué altura tiene sobre el nivel del mar? 22. El área de un rectángulo es igual a 24 centímetros cuadrados. Si se deforma el rectángulo disminuyendo la altura y permaneciendo el área constante, ¿qué le sucede a la base? 23. Divide el número 403 327 884 entre 280 869, 270 327 y 267 814 respectivamente. La solución que encontrarás en los tres casos es un número entero y corresponden al año en el que nació Cristóbal Colón, el año en que descubrió América y el año en que murió, respectivamente. —————————— Dos correos salen de dos ciudades, A y B, distantes entre sí 150 kms. a las 7 a.m., y van uno hacia el otro. El que sale de A va a 8 kms. por hora y el sale de de B va a 7 kms. por hora. ¿A qué hora se encontrarán y a que distancia de A y B? El que sale de A anda 8 kms/h y el de B anda 7 kms/h, luego de una hora se acercan 8+7=15 kms. y como la distancia que separa A de B es de 150 kms., se encontraran al cabo de 150 kms ÷ 15 kms. = 10 horas. Habiendo salido a las 7 a.m., se encontrarán a las 5 p.m. Salvador González Sánchez -5-
  6. 6. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I En las 10 horas que se ha estado moviendo el móvil que salió de A ha recorrido 8 kms × 10 horas = 80 kms.; luego, el punto de encuentro dista de A 80 kms. y de B distará 150 kms – 80 kms. =70 kms. Comprobación El que salió de B, en las 10 horas que ha estado andando para encontrar al de A, ha recorrido 10 × 7 kms = 70 kms., que es la distancia del punto de encuentro al punto B. —————————— Dos autos salen de dos ciudades, A y B, situadas a 1400 Kms. de distancia, y van uno hacia el otro. El de A sale a las 6 a.m. a 100 Kms./h. ¿A qué hora se encontrarán y a qué distancia de los puntos A y B? El que sale de A, de 6 a 8 de la mañana recorre 2×100 Kms. = 200 Kms.; luego a las 8 a.m., cuando sale el de B, la distancia que los separa es de 1,400 Kms. - 200 Kms. = 1,200 Kms. A partir de las 8 a.m., en cada hora se acercan 100 Kms. + 50 Kms. = 150 Kms.; luego, para encontrarse, necesitarán 1,200 Kms. ÷ 150 Kms. = 8 horas, a partir de las 8 a.m.; luego se encontrarán a las 4 p.m. El que salió de A ha estado andando desde las 6 a.m. hasta las 4 p.m., o sea 10 horas, a razón de 100 Kms. por hora, para encontrar al otro; luego, ha recorrido 10 × 100 Kms. = 1,000 Kms.; luego, el punto de encuentro E dista 1,000 kms. de A y 1,400-1,000 = 400 Kms. de B. Comprobación De 8 a.m. a 4 p.m., o sea en 8 horas, el que salió de B ha recorrido 8×50 Kms. = 400 Kms., que es la distancia hallada del punto de encuentro al punto B. a) Dos autos salen de dos ciudades A y B distantes entre sí 840 Kms. y van al encuentro. El de A va a 50 Kms./h. y el de B a 70 Kms./h. Si salieron a las 6 p.m., ¿a qué hora se encontrarán y a qué distancia de A y de B? R: A la 1 p.m.; a 350 Kms. de A y 490 Kms. de B b) Dos móviles salen de dos puntos A y B que distan 236 Kms. y van al encuentro. Si el de A sale a las 5 a.m. a 9 Kms./h. y el B a las 9 a.m. a 11 Kms./h. ¿a qué hora se encontrarán y a qué distancia de A y B? R: A las 7 p.m.; a 126 Kms. de A y 110 Kms. de B. c) Un auto sale de Sta. Clara hacia La Habana a las 6 a.m. a 30 Kms./h. y otro de la Habana hacia Sta. Clara a las 6½ a.m. a 20 Kms./h. ¿A qué Salvador González Sánchez -6-
  7. 7. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I distancia se hallarán a las 9 a.m. sabiendo que entre Sta. Clara y la Habana hay 300 Kms.? R: A 160 Kms. d) A las 6 a.m. sale un auto de A a 60 Kms./h. y va al encuentro de otro que sale de B a 80 Kms./h., a la misma hora. Sabiendo que se encuentran a las 11 a.m., ¿cuál es la distancia entre A y B? R: 700 Kms. —————————— Un hacendado lleva al Banco tres bolsas con dinero. La 1ª y la 2ª juntas tienen $350; la 2ª y la 3ª juntas $300, y la 1ª y la 3ª juntas, $250 ¿Cuánto tiene cada bolsa? 1ª bolsa + 2ª = $ 350 bolsa 2ª bolsa + 3ª = $ 300 bolsa 1ª bolsa + 3ª = $ 250 bolsa Suma: $ 900 La suma $900 contiene dos veces lo de la primera bolsa, más dos veces lo de la segunda, más dos veces lo de la tercera, luego la mitad de la suma $900 ÷ 2 = $450 = 1ª bolsa + 2ª bolsa + 3ª bolsa. Si las tres juntas tienen $450, y la 1ª y la 2ª , $350, la tercera tendrá $450-$350=$100. La segunda tendrá $300 - $100 = $200 La primera tendrá $350- $200 = $150 La primer bolsa contiene $150, la segunda $200 y la tercera $100 Comprobación La 1ª y la 2ª bolsa tendrán $150 + $200 = $350 La 2ª y la 3ª bolsa tendrán $200 + $100 = $300 La 1ª y la 3ª bolsa tendrán $150 + $100 = $250 1) En un colegio hay tres aulas. La 1ª y la 2ª juntas tienen 85 alumnos; la 2ª y la 3ª, 75 alumnos; la 1ª y la 3ª, 80 alumnos ¿Cuántos alumnos hay en cada clase? R: 1ª, 45; 2ª, 40; 3ª, 35 2) La edad de pedro y la de Juan suman 9 años; la de Juan y la de Enrique, 13 años y la de Pedro y la de Enrique, 12 años. Hallar las tres edades. R: Pedro, 4 años; Juan, 5; Enrique, 8 3) Un saco y un pantalón valen 75 bolívares; el pantalón y su chaleco, 51 bolívares y el saco y el chaleco, 66 bolívares ¿cuánto vale cada pieza? R: saco, 45; pantalón 30; chaleco, 21 Salvador González Sánchez -7-
  8. 8. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 4) Un hacendado lleva al banco tres bolsas que contienen dinero. El duplo de lo que contiene la 1ª y la 2ª bolsa es 14,000 bolívares; el triplo de lo que contiene la 1ª y la 3ª es 24,000 bolívares y la mitad de lo que contiene la 2ª y la 3ª es 4,500 bolívares ¿Cuánto contiene cada bolsa? R: la 1ª 3,000; la 2ª 4,000; la 3ª 5,000 bolívares. —————————— Un depósito se puede llenar por dos llaves. Una vierte 150 litros en 5 minutos y la otra 180 litros en 9 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el depósito, estando vacío y cerrado el desagüe, si se abren a un tiempo las dos llaves, sabiendo que su capacidad es de 550 litros? La 1ª llave vierte 150 litros en 5 minutos; luego, en un minuto vierte 150 ÷ 5 = 30 litros. La 2ª llave vierte 180 litros en 5 minutos; luego, en un minuto vierte 180 ÷ 9 = 20 litros. Las dos llaves juntas vierten en un minuto 30 + 20 = 50 litros. Como la capacidad del depósito es de 550 litros, tardarán en llenarlo 550 ÷ 50 = 11 minutos. Comprobación La 1ª llave, en 11 minutos, vierte 11× 30 = 330 litros. La 2ª llave, en 11 minutos, vierte 11× 20 = 220 litros. Las dos llaves juntas, en 11 minutos, echarán 330 + 220 = 550 litros, que es la capacidad del depósito. —————————— Un estanque tiene dos llaves, una de las cuales vierte 117 litros en 9 minutos y la otra en 112 litros en 8 minutos, y un desagüe por el que salen 42 litros en 6 minutos. El estanque contenía 500 litros de agua y abriendo las dos llaves y el desagüe al mismo tiempo se acabó de llenar en 48 minutos. ¿Cuál es la capacidad del estanque? La 1ª llave vierte 117 ÷ 9 = 13 litros por minuto. La 2ª llave vierte 112 ÷ 8 = 14 litros por minuto. Las dos llaves juntas vierten 13 + 14 = 27 litros por minuto. Por el desagüe 42 ÷ 6 = 7 litros por minuto Si en un minuto las dos llaves echan 27 litros y salen 7 litros por el desagüe, quedan en el estanque 20 litros en cada minuto; luego, en 48 minutos, que es el tiempo en que acaba de llenarse el estanque, se han quedado 20 × 48 = 960 litros, y como éste tenía ya 500 litros, la capacidad del estanque es 500 + 960 = 1,460 litros. Comprobación Salvador González Sánchez -8-
  9. 9. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I La capacidad total es 1460 litros. Quitando los 500 litros que ya había en el estanque, quedan 1460-500=960 litros de capacidad. Estos 960 litros se llenan en 960 ÷ 20 = 48 minutos. A. Un estanque cuya capacidad es de 300 litros está vacío y cerrado su desagüe. ¿En cuánto tiempo se llenará si abrimos al mismo tiempo tres llaves que vierten, la 1ª, 36 litros en 3 minutos; la 2ª, 48 litros en 6 minutos y la 3ª, 15 litros en 3 minutos? R: 12 minutos. B. Un lavabo tiene una llave que vierte 24 litros en 4 minutos y un desagüe por el que salen 32 litros en 16 minutos. Si estando vacío el lavabo y abierto el desagüe por el que salen 32 litros en 16 minutos. Si estando vacío el lavabo y abierto el desagüe se abre la llave, ¿en cuánto tiempo se llenará el lavabo si su capacidad es de 84 litros? R: 21 min. C. Si un estanque de 480 litros de capacidad que está lleno se le abre el desagüe, se vacía en 1 hora. Si estando vacío y cerrado el desagüe, se abre su llave de agua, se llena en 40 minutos. ¿en cuánto tiempo se llenará, si estando vacío y abierto el desagüe, se abre la llave? R: 2 h. D. Un tinaco de 1200 litros se llena en 5 horas. ¿Cuántos litros por minuto arroja la llave? R: E. Un estanque se puede llenar por dos llaves, una de las cuales vierte 200 litros en 5 minutos y la otra 150 litros en 6 minutos. El estanque tiene un desagüe por el que salen 8 litros en 4 minutos. ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque, si estando vacío, se abren al mismo tiempo las dos llaves y el desagüe, sabiendo que su capacidad es de 441 litros? R: 7 min. F. Un estanque tiene tres grifos que vierten: el 1º, 50 litros en 5 minutos; 2º, 91 litros en 7 minutos y el 3º, 108 litros en 12 minutos, y dos desagües por los que salen 40 litros en 5 minutos y 60 litros en 6 minutos, respectivamente. Si estando vacío el estanque y abiertos los desagües, se abren la tres llaves al mismo tiempo, necesita 40 minutos para llenarse. ¿Cuál es su capacidad? R: 560 l. G. Un estanque cuya capacidad es de 53,227 litros tiene dos llaves que vierten una 654 lts. en 3 minutos y la otra 1260 lts. en 4 minutos y dos desagües por los que salen, respectivamente, 95 lts. en 5 minutos y 102 lts. en 6 minutos. Si en el estanque hay ya 45,275 litros de agua y se abren a un tiempo las dos llaves y los desagües, ¿en cuánto tiempo se acabará de llenar? R: 16 min. H. Un depósito tiene tres llaves que vierten: la 1ª, 68 lts en 4 minutos; la 2ª, 108 lts en 6 minutos y la 3ª, 248 lts en 8 minutos y un desagüe por los que salen 55 lts en 5 minutos. Si el desagüe está cerrado y se abren Salvador González Sánchez -9-
  10. 10. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I las tres llaves al mismo tiempo, el depósito se llena en 53 minutos. ¿En cuánto tiempo puede vaciarlo el desagüe estando lleno y cerradas las llaves? R: 5 h. 18 min. I. Si estando lleno un depósito se abre un desagüe por el que salen 54 lts en 9 minutos, el depósito, se vacía en 5 horas. Sí estando vacío y abierto el desagüe se abren dos llaves que vierten juntas 21 litros por minuto, ¿en cuánto tiempo se llenará el estanque? R: 2 h. J. Un estanque tiene agua hasta su tercera parte, y si ahora abrieran una llave que echa 119 lts en 7 minutos y un desagüe por el que le salen 280 litros en 8 minutos, el depósito se vaciaría en 53 minutos ¿Cuál es la capacidad del estanque? R: 2,862 lts. K. Si en un estanque que está vacío y cuya capacidad es de 3,600 litros, se abrieran al mismo tiempo tres llaves y un desagüe, el estanque se llenaría en 15 minutos. Por el desagüe salen 240 litros en 4 minutos. Si el estanque tiene 600 litros de agua y está cerrado el desagüe, ¿en cuánto tiempo lo acabarán de llenar las tres llaves? R: 10 min. —————————— Un comerciante compró 30 trajes a $20 pesos cada uno. Vendió 20 trajes a $18 cada uno. ¿A cómo tiene que vender los restantes para no perder? Costo de los 30 trajes a $20 uno: 30 × 20 = $ 600 Para no perder, es necesario que de la venta saque estos $600 que gastó. De la venta de 20 trajes a $18 uno, sacó: 20 × $ 18 = $360; luego lo que le tiene que sacar de los trajes restantes para no perder es $600 – $360 = $240. Habiendo vendido 20 trajes, le quedan 30 – 20 = 10 trajes Si de estos 10 trajes tiene que sacar $240, cada traje tendrá que venderlo a $240 ÷ 10 = $24 Comprobación Al vender los trajes que le quedaban a $24, obtuvo 10 × 24 = $240, y de los 20 trajes que ya había vendido antes a $18 obtuvo 20 × $18 = $360; luego, en total obtuvo las ventas $240 + $360 = $600, que es el costo; luego, no pierde. —————————— Compré cierto número de bueyes por $5600. Vendí 34 bueyes por $2210, perdiendo en cada uno $5. ¿A cómo hay que vender el resto para que la ganancia total sea de $2130? Salvador González Sánchez - 10 -
  11. 11. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Costo de los bueyes: $5600 Para ganar en total $2130 hay que sacar de la venta $5600 + $2130 = $7730 De la primera venta que hice obtuve ya $2210; luego, lo que tengo que sacar de los bueyes que me quedan es $7730 – $2210 = $5520. Ahora vamos a ver cuantos bueyes me quedaron. Precio de venta de un buey: $2210 ÷ 34 = $65. Al vender cada buey a $65, perdí $5 en cada uno; luego, el precio de compra fue de $70 cada buey. Si cada buey me costo $70 y el importe total de la compra fue de $5600, compré $5600 ÷ $70 = 80 bueyes. Como ya se vendieron 34 bueyes, quedan 80 – 34 = 46 bueyes. De estos 46 bueyes que me quedan tengo que obtener $5520, luego cada buey hay que venderlo a $5520 ÷ 46 = $120 Comprobación Vendiendo los 46 bueyes que le quedaban a $120, obtiene 46 × $120 = $5520, y como de la primera venta obtuvo $2210, ha obtenido en total $5520 + $2210 = $7730. Como el costo fue de $5600, la ganancia es $7730 – $5600 = $2130; luego, se cumplen las condiciones del problema. 1) Compré 500 sombreros a $6 uno. Vendí cierto número en $500, a $5 uno. ¿A cómo tengo que vender el resto para no perder? R: $6.25 2) Un librero compró 15 libros a 12 quetzales cada uno. Habiéndose deteriorado algo 9 de ellos, tuvo que venderlos a 8 quetzales cada uno. ¿A cómo tiene que vender los restantes para no perder? R: 18 Quetzales 3) Un comerciante compró 600 sacos de frijoles a $8 cada uno. Por la venta de cierto número de ellos a $6 uno, recibe $540. ¿A cómo tendrá que vender los restantes para ganar el total $330? R: $9 4) Vendí 60 sacos de azúcar por 480 bolívares, ganando 3 en cada uno. ¿Por cuántos sacos estaba integrado un pedido que hice al mismo precio y por el cual pagué 400? R: 80 sacos. 5) Un importador adquiere cierto número de automóviles por $108,000. Vendió una parte por $46,400, a $400 cada uno, perdiendo $100 en cada uno, y otra parte por $36,000, ganando $100 en cada uno. ¿A cómo vendió los restantes si en definitiva tuvo una ganancia de $4,000? R: $740 —————————— Salvador González Sánchez - 11 -
  12. 12. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Un capataz contrata a un obrero ofreciéndole $5 cada día que trabaje y $2 por cada día que, a causa de la lluvia, no pueda trabajar. Al cabo de 23 días el obrero recibe $91 ¿Cuántos días trabajó y cuantos no trabajó? Si el obrero hubiera trabajado los 23 días hubiera recibido 23 × $5 = $115. Como solamente ha recibido $91, la diferencia $115 – $91 = $24 proviene de los días que no pudo trabajar. Cada día que no trabaja deja de recibir $5 – $2 = $3, luego no trabajó $24 ÷ $3 = 8 días, y trabajó 23– 8 = 15 días. Comprobación En 15 días que trabajó recibió 15 × $5 = $75 En 8 días que no trabajó recibió 8 × $2 = $16 En total recibió $75 + $16 = $91 1. Se tienen $129 en 36 billetes de $5 y de a $2 ¿Cuántos billetes son de $5 y cuántos de $2? R: 19 de $5, 17 de $2 2. Un padre pone 15 problemas a su hijo, ofreciéndole 4 centavos por cada uno que resuelva, pero a condición de que el muchacho perderá 2 centavos por cada uno que no resuelva. Después de trabajar en los 15 problemas quedaron en paz. ¿Cuántos problemas resolvió el muchacho y cuántos no resolvió? R: resolvió 5, no resolvió 10 3. En un ómnibus iban 40 excursionistas. Los hombres pagaban 40 centavos las damas 25 centavos. Los pasajes costaron en total $13.45 ¿Cuántos excursionistas son hombres y cuántos damas? R: 23 hombre y 17 damas. 4. En un teatro las entradas de adulto costaban 9 bolívares y las de niños 3. concurrieron 752 espectadores y se recaudaron 5,472 bolívares ¿Cuántos espectadores eran adultos y cuántos niños? R: 536 adultos y 216 niños. 5. Un comerciante pagó 45,900 sucres por 128 trajes de lana y gabardina. Por cada traje de lana pagó 300 y por cada traje de gabardina pagó 400. ¿Cuántos trajes de clase compró? R: 53 de lana y 75 de gabardina. 6. María abrió una cuenta de cheques con $437.37. Después de un mes tenía depósitos de $125.18, $137.26 y $145.56. Ese mismo mes hizo retiros por $117.11, $183.49 y $122.89. Calcula su saldo final. 7. Escribiendo 3 páginas en una hora y trabajando 8 horas al día, ¿cuántos días se requieren para escribir un libro de 912 páginas? Salvador González Sánchez - 12 -
  13. 13. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 8. Si se quiere dividir un número entre 2, el resultado entre 3 y después dividir nuevamente entre 5, ¿entre que número se tiene que dividir para efectuar una sola división y obtener el mismo resultado? 9. la línea ofensiva de un equipo de fútbol americano está formada por dos alas, dos tacleadores y un centro. Si los alas pesan 298 y 287 libras, los tacleadores 310 y 302 libras y el centro 303 libras, calcula el peso promedio de esa línea ofensiva. 10. Un problema de números. Entre estas cifras hay que intercalar signos aritméticos simples (de más, menos, multiplicación, división y paréntesis) para llegar a los resultados indicados. 3 3 3 3 =3 3 3 3 3 =5 3 3 3 3 =7 3 3 3 3 =4 3 3 3 3 =6 3 3 3 3 =8 R: (3+3+3)÷3=3 (3+3)–(3÷3)=5 3+3+(3÷3)=7 (3×3+3)÷3=4 3+3+3–3=6 3×3–(3÷3)=8 Salvador González Sánchez - 13 -
  14. 14. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Problemas tipos sobre números racionales 6 a) Si tengo $25 y hago compras por los 5 de esta cantidad, ¿cuánto debo? R: $5 b) Una señora tenía en un recipiente 8 tazas de leche. Utilizó 2⅔ tazas 1 para hacer un pastel y 3 tazas para hacer un flan. ¿Cuántas tazas de 4 leche le quedaron? c) Una persona está a dieta para aumentar de peso. El primer mes subió 3 0.75 kilogramos. El segundo mes bajó ½. El tercer mes aumento 1 4 de kilo y el cuarto mes bajó ⅔ de kilo. ¿Cuántos kilos subió? d) Una persona esta siguiendo una dieta para adelgazar. El primer mes bajó 2¼ kilos, el segundo bajó 1, el tercero subió  de kilo y el cuarto perdió 1 kilos. ¿Cuántos kilos bajó en total? 3 e) Un reloj adelanta 7 de minuto cada hora. ¿Cuánto adelantará en 5 21 51 horas; en medio día; en una semana? R: 7 min.; 7 min.; 1 h. 12 min. 1 1 f) Tengo $86. Si compro 3 libros de $ 8 cada uno y seis objetos de a 7 3 77 $8 cada uno, ¿cuánto me queda? R: $ 8 g) Para hacer un metro de una obra un obrero emplea 6 horas. ¿Cuánto 2 5 10 14 18 108 empleará para hacer 3 metros; 33 metros? R: 88 hs.; 11 hs. 3 3 2 3 h) Compré tres sombreros a $ 5 uno; 6 camisas a $ 4 una. Si doy para 7 19 cobrar un billete de $50, ¿cuánto me devuelven? R: $ 10 2 1 1 54 24 i) Tenía $ 3 , compré 8 plumas fuentes a $ 4 ; 9 libros a $ 4 y luego 3 29 15 15 me pagan $ 16 . ¿cuánto tengo ahora? R: $ 48 Salvador González Sánchez - 14 -
  15. 15. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I j) Si de una soga de 40 metros de longitud se cortan tres partes iguales 2 5 de 3 metros de longitud, ¿cuánto falta a lo que queda para tener 5 5 31 8 8 metros? R: 8 metros. 1 3 80 90 k) Compré 16 caballos a $ 5 uno y los vendí a $ 10 uno ¿Cuánto 3 gané? R: $ 161 5 11 l) A$ 10 el saco de naranjas, ¿cuánto pagaré por tres docenas de sacos? 3 39 R: $ 5 3 m) Tenía $40 y gasté 8 . ¿Cuánto me queda? R: $25 2 1 n) Un hombre es dueño de los 5 de una finca y vende 2 de su parte. 1 ¿Qué parte de la finca le queda? R: 5 3 o) Un mechero consume 4 kgs. de aceite por día. ¿Cuánto consumirá en 5 5 6 de día? R: 8 kg. 3 1 2 p) Si un auto anda 60 Kms por hora, ¿cuánto andará en 5 , en 8 , en 11 y 7 1 10 2 7 10 46 en 9 de hora? R: 36; 2 ; 11 ; 3 Kms 7 q) Un obrero realizará una obra por $200 y hace los 20 . ¿Cuánto recibirá? R: $70 r) Un obrero realizará una obra por $300 y ya ha cobrado una cantidad 11 equivalente a los 15 de la obra. ¿Cuánto le falta por cobrar? R: $80 s) ¿Cuántos litros hay que sacar de un tonel de 560 litros para que 6 queden en él los 7 del contenido? R: 80 litros Salvador González Sánchez - 15 -
  16. 16. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 7 t) En un colegio hay 324 alumnos y el número de alumnas es los 18 del total. ¿Cuántos varones hay? R: 198 2 3 u) De una finca de 20 hectáreas, se venden los 5 y se alquilan los 4 del resto. ¿Cuánto queda? R: 3 hectáreas 3 2 v) Me deben los 4 de $88. Si me pagan los 11 de los $88, ¿cuánto me deben? R: $50 2 17 18 3 w) Repartí $ 5 entre varias personas y a cada una tocó $ 25 . ¿Cuántas eran las personas? R: 5 2 3 x) Si en 20 minutos estudio los de una página de un libro, ¿en cuánto tiempo podré estudiar 10 páginas? R: 5 h. y) La distancia entre dos ciudades es de 140 Kms. ¿Cuántas horas debe 3 andar un hombre recorre los 14 de dicha distancia en una hora, para ir 2 4 de una ciudad a otra? R: 3 h. 3 2 z) A $ 11 el kilo de una mercancía, ¿cuántos kilos puedo comprar con 1 35 $80? R: 5 kilos 1 aa) ¿Cuántas varillas de 4 de metro de longitud se pueden sacar de una 5 2 1 varilla de 12 metros de largo? R: 3 2 1 bb) Si tengo $50, ¿a cuantos muchachos podré dar $ 3 por cabeza? R: A 30 3 4 cc) Si un kilogramo de frijoles cuesta los de uno de manteca, ¿con cuántos kilogramos de frijoles podré comprar 15 de manteca? R: Con 20. Salvador González Sánchez - 16 -
  17. 17. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Problemas tipo sobre aplicaciones (Razones y proporciones) 1) Un lápiz de 25 centímetros proyecta una sombra de 4 centímetros. ¿Cuánto mide un árbol que proyecta una sombra de 1.20 metros? 2) Dos números están a razón 3 . Si el menor de ellos es 189 ¿Cuál 7 es el otro? 3) Una inversión de $5500 produjo un rendimiento de $385 en un año, otra inversión produjo $560 a la misma tasa de interés durante el mismo tiempo. ¿Cuál era el valor de la segunda inversión? 4) Dos obreros trabajan en un fabrica empacando calcetines, pero mientras uno empaca 3 cajas, el otro empaca 7 cajas. Si el más hábil ha empacado 91 cajas, ¿cuántas habrá empacado el otro? 5 5) La suma de dos números es 2920 y se encuentra en razón . 3 ¿Cuáles son los números? 6) Dos números se encuentran en razón . Si se sabe que uno es 3 unidades mayor que el otro, ¿cuáles son los números? 7) Una inversión de $3500 produce un rendimiento de $420 en un año, ¿qué rendimiento producirá una inversión de $4500 a la misma tasa de interés durante el mismo tiempo? 8) Comiendo 90 gramos de cereal, se consumen 360 calorías. ¿Qué cantidad de cereal debe comerse para consumir solamente 80 calorías? 9) Una mapa señala en el borde inferior: escala 1:100,000,000 ¿A cuántos kilómetros equivale una línea de 3 centímetros de largo? 10) Dos ángulos están a razón 6 a 7. Si el menor mide 30º ¿Cuánto mide el otro? 11) En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos están en razón . ¿Cuánto mide cada uno de ellos? 12) En un triángulo isósceles el lado desigual está en razón  a los dos iguales. Si el lado mayor mide 1.8 centímetros. ¿Cuál es perímetro del triángulo? Salvador González Sánchez - 17 -
  18. 18. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 13) En 1970 en México el número de kilómetros cuadrados de 1 superificie estaban en razón con el número de habitantes. Si la 25 superficie de México es de 1,972,547 kilómetros cuadrados. ¿Cuántos habitantes había en México en 1970? 14) En la república de Haití, en 1970 la razón entre el número de kilómetros cuadrados de superficie y el numero de habitantes estaba en razón 1 a 175. Si el número de habitantes en ese momento era de 4,856,250. ¿Qué superficie tiene Haití? 15) ¿Qué longitud tiene en un mapa una distancia de 400 kilómetros si el mapa señala: escala 1:19,500,000? 16) La estatura de mi hija cabe 2 veces en la mía, sobrando cierta cantidad de centímetros que está en razón 2 a 3 con la estatura de mi hija: a. ¿En qué razón está la estatura de mi hija en relación con la mía? b. Si mi estatura fuera de 160 metros con las condiciones del problema. ¿Cuál sería la de mi hija? c. La pregunta (b) si mi estatura es de 1.72 metros. 17) Las velocidades máximas de una mariposa y un avestruz están en razón . Si la mariposa, que es la que alcanza menor velocidad puede recorrer 48 kilómetros en una hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá el avestruz en el mismo tiempo? 18) Se estima que uno de cada 25 bebés hijos de madres que contrajeron rubéola durante el cuarto mes de embarazo sufre alguna anomalía congénita. ¿Qué número de bebés afectados habrá en 25,575 niños, hijos de madres que contrajeron la enfermedad? 19) En 1974 la razón entre las especies de insectos descritos hasta 19 entonces y el total de ellos era . Si entonces se tenía la 60 descripción de 950,000 especies. ¿Cuál era el total de especies de insectos? 20) Al aplicar la vacuna contra la tosferina, la posibilidad de que los niños tengan fiebre como reacción está en razón 1 a 100,000. Si se detectaron 26 niños con fiebre. ¿Cuántos fueron vacunados? Salvador González Sánchez - 18 -
  19. 19. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Problemas tipos sobre aplicaciones (mcm) 1) Hallar la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla de 2, de 5 o de 8 pies de largo. R: 40 pies. 2) ¿Cuál es la menor suma de dinero con que se puede comprar un número exacto de libros de $3, $4 $5 u $8 cada uno y cuántos libros de cada precio podría comprar con esa suma? R: $120; 40 de $3, 30 de $4; 24 de $5 y 15 de $8 3) Para comprar un número exacto de docenas de pelotas de 80 centavos la docena o un número exacto de docenas de lápices a 60 centavos la docena, ¿cuál es la menor cantidad de dinero necesaria? R: $2.40 4) ¿Cuál es la menor capacidad de un estanque que se puede llenar en un número exacto de minutos por cualquiera de las tres llaves que vierten: la 1ª 12 litros por minuto; la 2ª 18 litros por minuto y la 3ª 20 litros por minuto? R: 180 litros 5) Hallar el menor número de bombones necesario para repartir entre tres clases de 20 alumnos, 25 alumnos o 30 alumnos, de modo que cada alumno reciba un número exacto de bombones y cuántos bombones recibirá cada alumno de la 1ª, de la 2ª y de la 3ª clase. R: 300 bombones; de la 1ª 15 bombones, de la 2ª 12 y de la 3ª 10. 6) Tres galgos arrancan juntos en una carrera en que la pista es circular. Si el primero tarda 10 segundos en dar una vuelta a la pista, el segundo 11 segundos, el tercero 12 segundos, ¿al cabo de cuántos segundos pasarán juntos por la línea de salida y cuántas vueltas habrá dado cada uno ese tiempo? R: 660 segundos u 11 minutos; el 1º 66 vueltas, el 2º 60; el 3º 55 7) Tres aviones salen de una misma ciudad, el 1º cada 8 días, el 2º cada 10 días y el 3º cada 20 días. Si salen juntos de ese aeropuerto el día 2 de enero, ¿cuáles serán las dos fechas más próximas en que volverán a salir juntos? (el año no es bisiesto) R: 11 de febrero y 23 de marzo Salvador González Sánchez - 19 -
  20. 20. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Problemas tipos sobre aplicaciones (MCD) a) Se tienen tres varillas de 60 cms., 80 cms y 100 cms de longitud respectivamente. Se quieren dividir en pedazos de la misma longitud sin que sobre ni falte nada. Di tres longitudes posibles para cada pedazo. b) Un padre da 80 centavos a otro 75 centavos y a otro 60 centavos, para repartir entre los pobres, de modo que todos den a cada pobre la misma cantidad. ¿Cuál es la mayor cantidad que podrán dar a cada pobre y cuantos lo pobres socorridos? R: 5 centavos y 43 pobres. c) Se tienen tres cajas que contienen 1600 libras, 2000 libras y 3392 libras de jabón respectivamente. El jabón de cada caja está dividido en bloques del mismo peso y el mayor posible ¿Cuánto pesa cada bloque y cuántos bloques hay en cada caja? R: 16 lbs; en la 1ª 100; en la 2ª 125; en la 3ª 212 d) Un hombre tiene tres rollos de billetes de banco. En uno tiene $4500, en otro $5240 y en el tercero $6500. Si todos los billetes son iguales y de la mayor denominación posible, ¿cuánto vale cada billete y cuántos billetes hay en cada rollo? R: $20; en el 1º 225; en el 2º 262; en el 3º 325 e) Se quieren envasar 161 kilos, 253 kilos y 207 kilos de plomo entres cajas, de modo que los bloques de plomo de cada caja tengan el mismo peso y el mayor posible. ¿Cuánto pesa cada pedazo de plomo y cuántos caben en cada caja? R: 23 kilos; en la 1ª 7; en la 2ª 11; en la 3ª 9 f) Se tienen tres extensiones de 3675, 1575 y 2275 metros cuadrados de superficie respectivamente y se quieren dividir en parcelas iguales. ¿Cuál ha de ser la superficie de cada parcela apara que el número de parcelas de cada una sea el menor posible? R: 175 m2 Salvador González Sánchez - 20 -
  21. 21. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Problemas tipos sobre aplicaciones (potencia) Una sustancia radiactiva se desintegra de tal modo que después de 1 hora queda la mitad de la cantidad inicial. Si en cierto momento hay 320 gramos de la sustancia, ¿cuánto quedará después de 8 horas? ¿Cuánto después de n horas? Como la cantidad que queda después de cada hora es  de los gramos al final de la hora anterior, la cantidad restante se calcula multiplicando el número de gramos anterior por . Gramos que quedan Inicio: 0 horas 1 0 320   320 2 Después de 1 hora 1 1 320   160 2 Después de 2 horas 1 2 320   80 2 Después de 3 horas 1 3 320   40 2 ∷ ∷ Después de 8 horas 1 8 320   1.25 2 Se observa que el exponente de  es el mismo que el número de horas durante las que ha estado decayendo la sustancia. Si continua la misma pauta, llegamos a la n conclusión que después de n horas quedan 320   n 1 320   2 2 gramos. 1) Supón que una sustancia decae de tal modo que ½ de ella queda después de 1 hora. Si había 640 gramos al inicio, ¿cuánto queda después de 7 horas? ¿Cuánto queda después de n horas? R: 5 gramos; 640(½)n gramos 2) Si una cuerda tiene 243 pies de longitud y se cortan sucesivamente ⅔ de su longitud, ¿cuánto queda después de 5 cortes? ¿Cuánto después de n cortes? R: Salvador González Sánchez - 21 -
  22. 22. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 3) Para la cuerda del ejercicio anterior, ¿cuánto queda después de 5 cortes si cada vez se corta la tercera partes? ¿Cuánto queda después de n cortes? R: 32 pies; 243(⅔)n pies 4) Una empresa tiene un plan de 4 años para aumentar su personal a la cuarta parte cada uno de esos años. Si el personal actual es de 2560, ¿cuántos habrá al final del plan cuatrienal? Formula una expresión exponencial que represente la fuerza laboral después de n años. 5) Cuando una inversión de P dólares gana el i% de interés anual, y el interés se compone (capitaliza) anualmente, la formula de la cantidad final, A, después de n años, es A=P(1+i)n, en la cual i se expresa en forma decimal. Calcula la cantidad A si se invierten $1,000 al 10% compuesto anualmente durante 3 años. R: $1,331 6) Usa la fórmula del problema anterior para calcular el número de años que tardaría en duplicarse una inversión de $1,000, invertida al 10% de interés compuesto anualmente. R: 7 años (donde n tendrá que ser igual a 7.2725409) —————————— ¿Cuál es la cantidad que se obtiene al invertir 1000 pesos a un interés compuesto del 3% bimestral durante 2 años? Llamamos i al interés bimestral, es decir i= 0.03 En un año habrán pasado seis períodos bimestrales, por lo que el capital más los intereses correspondientes serán: 10001  i  6 Al finalizar el segundo año: 10001  i   6 2  10001  i  1  i  6 6  10001  i  6 6  10001  i  26  10001  i  12 Es decir, 10001  i   1000(1.03)12  1425.76 12 La cantidad que se obtiene es aproximadamente 1425.76 pesos. 7) ¿Cuánto percibe un empleado que guarda 700 pesos en una caja de ahorros durante un año, si el interés que se le aplica es del 1.5% bimestral? 8) Ignacio quiere invertir su dinero durante un año, pero no sabe que le conviene más. Así que se plantea la siguiente pregunta: ¿Qué Salvador González Sánchez - 22 -
  23. 23. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I conviene más, invertir al 20% trimestral reinvirtiendo los intereses o invertir al 95% anual? 9) ¿Cuál es el rédito que se obtendrá al invertir un capital de $1000 a una tasa de interés compuesto del 3% al cuatrimestre durante un período de 2 años?¿Conviene más hacer la inversión durante el mismo período si la tasa de interés compuesto que se ofrece es del 10% anual? 10) Si se invierten 10,000 pesos a un interés compuesto del 2% bimestral , ¿cuál será el capital al cabo de tres años? 11) Julián tiene 15,000 pesos que invierte de la siguiente manera: $10,000 a un interés compuesto trimestral del 4% y $5,000 a un interés compuesto semestral del 7%, ambos por un periodo de dos años. a).- ¿Cuál será su capital final? b).-¿Le convendría más invertir los $15,000 a un interés compuesto del 2.5% cuatrimestral, invertido un periodo de seis años? 12) ¿Qué rendimiento produce invertir 125,000 pesos a un interés compuesto del 2.5% cuatrimestral, invertido un periodo de seis años? 13) Calcula el capital que se tendrá después de cinco años invirtiendo 1200 pesos de la siguiente manera: Los tres primeros años a un interés compuesto del 2% bimestral, al finalizar este plazo el capital total se invierte a un interés compuesto del 3% bimestral. 14) Armando quiere comprar un refrigerador que le cuesta 2,500 pesos, pero sólo tiene 1,600 pesos. Decide invertir su dinero por un período de cuatro años a una tasa de interés compuesto del 5% semestral. Suponiendo que el costo del refrigerador aumenta el 6% cada año, al cabo de los cuatro años, ¿le alcanzará para comprar el refrigerador? 15) ¿Cuál de las dos opciones da al finalizar un mayor rendimiento?: a).-Invertir el capital a una tasa de interés compuesto del 2% bimestral durante cuatro años. b).-Invertir el capital a una tasa de interés compuesto del 3% bimestral durante cuatro años. 16) Magdalena decide invertir 10,000 pesos a un interés compuesto del 1% mensual. ¿Cuál será el capital de Magdalena al cabo de tres años? Salvador González Sánchez - 23 -
  24. 24. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 17) Julio quiere comprar un automóvil que tiene un costo de 26,500 pesos, pero sólo cuenta con 23,000. Sabe que en un año el costo del automóvil aumenta un 10%, que puede invertir su dinero al 4% de interés compuesto semestral y que en dos años recibirá 3,000 que prestó a un hermano sin cobrarle intereses. ¿Podrá comprar el auto en dos años? Salvador González Sánchez - 24 -
  25. 25. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Problemas tipo sobre aplicaciones (radicación) a) Un terreno cuadrado tiene una superficie de 324 m2 ¿Cuánto costará cercarlo si el metro de valla cuesta 380 pesos? R: 27,360 pesos b) Un propietario tiene un terreno cuyas dimensiones son 32 m de largo por 8 m de ancho, y quiere permutarlo por un terreno cuadrado de la misma superficie. ¿Cuál debe de ser el lado del terreno cuadrado? R: 16 m c) Una mesa cuadrada tiene una superficie de 841 dm2 ¿Cuánto mide su lado? R: 29 dm d) Un terreno cuadrado tiene una superficie de 635.04 m2 ¿Cuál es la longitud que tiene la valla que lo rodea? R: 100.8 m e) Un comerciante ha comprado cierto número de pantalones por $256. Sabiendo que le número de pantalones coincide con el precio de cada pantalón, ¿cuántos pantalones compró? R: 16 pantalones f) Un terreno cuadrado tiene una superficie de 2,209 m2 y se quiere rodear con una valla que cuesta $3.50 cada metro. ¿Cuánto cuesta la obra? R: $658 g) ¿Cuáles son las dimensiones de un terreno rectangular de 867 m2 si su longitud es triple que su ancho? R: 51 m de largo y 17 m de ancho h) Se quieren distribuir los 529 alumnos de una escuela formando un cuadrado. ¿Cuántos alumnos habrá en cada lado del cuadrado? R: 23 i) Se compra cierto número de bolígrafos por 196 pesos. Sabiendo que el precio de un bolígrafo coincide con el número de bolígrafos comprados, ¿cuál es el precio de un bolígrafo? R:14 j) Una caja en forma cúbica tiene un volumen de 125,000 cm3. Si se corta la mitad superior, ¿cuáles serán las dimensiones del recipiente resultante? R: 50 cm de largo, 50 cm de ancho y 25 cm de largo. k) Un depósito en forma cúbica tiene una capacidad de 1,728 m3. Si el agua contenida en el depósito ocupa un volumen de 1,296 m3, ¿qué altura alcanza el agua en el depósito? R: 9 m l) Un terreno tiene 500 metros de largo y 45 de ancho. Si se le diera forma cuadrada, ¿cuáles serían las dimensiones de este cuadrado? R: 150 m de lado Salvador González Sánchez - 25 -
  26. 26. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I m) En un depósito hay 250047 dms3 de agua, la cual adopta la forma de un cubo. Si el agua llega a 15 dms del borde, ¿cuáles serán las dimensiones del estanque? R: 67 dm de ancho y largo; 78 dm de alto. n) Se compra cierto número de libros por $729. Si el número de libros comprado es el cuadrado del precio de un libro, ¿cuántos libros he comprado y cuánto costó cada uno? R: 81 libros; $9 Salvador González Sánchez - 26 -
  27. 27. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Problemas tipo sobre aplicaciones (notación científica) 1) La luz que viaja aproximadamente a 3.0 × 105 km por segundo, tarda cerca de 5.0 × 102 segundos en llegar a la Tierra . ¿Cuál es la distancia aproximada, en notación científica, del Sol a la Tierra? R: 1.5 × 108 kms = 150,000,000 kms. 2) Una nave espacial tarda aproximadamente 5 días en llegar a la Luna. A este ritmo ¿cuánto le tomará viajar de la Tierra a Marte? R: 7.9217 × 102 días = 729.17 días Distancia desde la tierra Luna 240,000 mi Sol 93,000,000 mi Marte 35,000,000 mi Plutón 2,670,000,000 mi 3) La distancia aproximada de Neptuno al Sol es de 2,790,000,000 mi. ¿Cuánto tarda en llegar la luz desde el Sol a Neptuno? R: 1.5 × 1014 4) La luz viaja a una velocidad aproximada de 300 000 kilómetros por segundo. La distancia media de la Tierra al Sol es 150 000 000 kilómetros. Usa la notación científica para calcular cuánto tarda la luz del sol en llegar a la Tierra. 5) Basándote en la información anterior, emplea la notación científica para demostrar que un año luz, la distancia que recorre la luz en un año, es, aproximadamente, 9.44 × 1012 = 9,440,000,000,000 kilómetros. 6) Chasqueamos los dedos y los volvemos a chasquear 1 minuto después. A continuación esperamos 2 minutos y chasqueamos los dedos, después 4 minutos, 8 minutos, 16 minutos, etc. Esto es, se duplica el intervalo entre los chasquidos sucesivos. Si siguiéramos haciendo esto durante 1 año ¿cuántas veces chasquearíamos los dedos? —————————— La energía total recibida desde el sol cada minuto es de 1.02 × 1019 calorías. Puesto que el área de la tierra es de 5.1 × 1018 centímetros, la cantidad de energía recibida por centímetro cuadrado por minuto (la constante solar) es 19 1.02  10 18 5.1  10 Salvador González Sánchez - 27 -
  28. 28. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Simplificando la expresión Al dividir 1.02 entre 5.1 obtenemos 0.2 = 2 × 10-1. Ahora 1019 ÷ 1018 = 1019-18 = 101. Por lo tanto, la respuesta final es   2  10  1  10  2  10  2 1 0 Esto significa que la tierra recibe alrededor de 2 calorías de calor por centímetro cuadrado cada minuto. —————————— En un año reciente, el departamento del Tesoro de Estados Unidos informó de la impresión de las siguientes cantidades de dinero en las denominaciones especificadas: $3,500,000,000 en billetes de $1; $1,120,000,000 en billetes de $5; $640,000,000 en billetes de $10; $2,160,000,000 en billetes de $20; $250,000,000 en billetes de $50; $320,000,000 en billetes de $100. Tendremos que escribir estos números en notación científica y determinar cuánto dinero fue impreso (en miles de millones). $ 3,500,000,000 en billetes de $1 = 3.5 × 109 $1,120,000,000 en billetes de $5 = 1.12 × 109 $640,000,000 en billetes de $10 = 6.4 × 108 $2,160,000,000 en billetes de $20 = 2.16 × 109 $250,000,000 en billetes de $50 = 2.5 × 108 $320,000,000 en billetes de $100 = 3.2 × 108 Puesto que tenemos que escribir todas las cantidades en miles de millones (un millar de millón es 109) debemos anotar todos los números empleando 9 como exponente. En primer lugar, consideremos 6.4 × 108. Para anotar este número con un exponente de 9, escribimos 6.4 × 108 = (0.64 × 10) × 108 = 0.64 × 109 de manera similar 2.5 × 108 = (0.25 × 10) × 108 = 0.25 × 109 y 3.2 × 108 = (0.32 × 10) × 108 = 0.32 × 109 Al escribir los otros números, obtenemos 0.64 × 109 0.25 × 109 0.32 × 109 Salvador González Sánchez - 28 -
  29. 29. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 3.5 × 109 1.12 × 109 2.16 × 109 7.99 × 109 Entonces se imprimieron 7.99 mil millones de dólares. 7) El estadounidense promedio consume 80 libras de vegetales al año. Puesto que hay unos 250 millones de estadounidenses, las libras consumidas cada año son: (8 × 101) × (2.5 × 108). Escribe esta cifra en notación científica y en su forma estándar. R: 2 × 1010; 20,000,000,000 8) En Estados Unidos se producen 148.5 millones de toneladas de basura cada año. Puesto que una tonelada es igual a 2000 libras, hay unas 360días en un año y 250 millones de estadounidenses, las libras de basura producidas cada día del año por cada día del año por cada  1.485  108   2  103    hombre , mujer y niño de dicho país son     escribe  2.5  10   3.6  10 2  8   este número en notación estándar. R: 3.3 9) La fisión nuclear se utiliza como fuente de energía. ¿Sabes cuánta energía proporciona un gramo de uranio 235? La respuesta es 4.7  10 9 kilocalorías. Escríbela en notación científica. R: 2 × 107 235 10) La velocidad del sonido en el aire es de 3.31×104 centímetros por segundo. Calcula esa velocidad en centímetros por hora. 11) Si la masa de un protón es de 0.000000000000000000000167248 gramos, calcula la masa de un millón de protones. 12) La velocidad de la luz en el vacío es , aproximadamente 30,000,000,000 de centímetros por segundo. Calcula esa velocidad en millas por hora. Considera 160 000 cm ≈ 1 milla. 13) La luna está a unas 235 000 millas de la Tierra. Expresa esa distancia en pulgadas. 14) La luna está a unas 378 196 kilómetros de la Tierra. Expresa esa distancia en pulgadas. Considera 1 km ≈ 39 400 pulgadas. 15) El sol queda a unos 149 700 000 kilómetros de la Tierra. Expresa esa distancia en millas. Considera 1 km ≈ 0.6214 milla. Salvador González Sánchez - 29 -
  30. 30. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 16) La luz viaja a unas 186 000 millas por segundo. Un pársec equivale a 3.26 años luz. La estrella Alpha Centauri está a 1.3 parsecs de la Tierra. Expresa esa distancia en millas. 17) El planeta Plutón queda, aproximadamente a 3,574,000,000 de millas de la Tierra. Si una nave espacial pudiera viajar a 18,000 millas por hora, ¿cuánto tardaría en llegar a Plutón? 18) Una unidad astronómica (UA) se define como la distancia promedio de la Tierra al Sol (aproximadamente 9.3 × 107 millas). El cometa Halley recorre de 0.6 a 18 UA desde el Sol. Expresa esa distancia en millas. 19) La masa de un cometa es de 1016 gramos. Cuando el cometa se acerca al Sol, su material se evapora con una rapidez de 107 gramos por segundo. Calcula la vida del cometa si aparece cada 50 años y permanece 10 días cerca del Sol. Salvador González Sánchez - 30 -
  31. 31. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Problemas con operaciones algebraicas. Una piscina es 10 metros más larga que ancha y alrededor hay un camino de 2 metros de ancho. Encuentra las dimensiones de la piscina si el área del camino alrededor de la piscina es de 216 metros. Para encontrar la solución de este tipo de problemas es útil hacer un diagrama que represente la situación que se explica en el problema. 2 2 2 2 Nos pide encontrar las dimensiones de la piscina y observamos que una depende de la otra. Así que si una es x la otra será x+10. El área del camino alrededor de la piscina será el área de la piscina y el camino alrededor menos el área de la piscina, así que como: x  4x  10  4 Es el área de la piscina más el camino a su alrededor y xx  10 es el área de la piscina, tenemos que: x  4x  10  4  xx  10  área del camino = 216. Ahora hagamos los cálculos: x  4x  10  4  xx  10  216 xx  14 x  4 x  4 14   xx  10 x  216 x 2  x 2  14 x  4 x  10 x  56  216 8 x  56  216 8 x  56  56  216  56 8 x  216  56 8 x  160 8 x 160  8 8 x  20 De manera que las dimensiones de la piscina son 20 m. de ancho por x+10, es decir 30 m. de largo. Salvador González Sánchez - 31 -
  32. 32. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I —————————— Al hacer una zanja de 2m de ancho por 1m de profundidad alrededor de un edificio cuadrado y pegada a este, para retirar la tierra que se sacó hicieron falta 13 camiones de 14 metros cúbicos y dos de 5. Encuentra las dimensiones del edificio. Empecemos por hacer un esquema:. Denotemos por x el lado del edificio. Observemos que la cantidad de tierra removida es 1413  52  182  10  192 x metros cúbicos. Observemos ahora 2 que el volumen de tierra es igual al área por la profundidad es de 1 m, el área en la que se estuvo cavando es 192 2 de  192m 2 1 Así, el área del edificio más la de la zanja es x  4x  4 , el área del edificio es x• x y la diferencia de estas dos cantidades es de 192. Podemos entonces escribir la ecuación: x  4x  4  xx  192 xx  4 x  4 x  16  xx  192 x 2  8 x  16  x 2  192 8 x  16  192 8 x  16  16  192  16 8 x  176 8 x 176  8 8 x  22 Así, las dimensiones del edificio son de 22 metros por lado. 1) Una cancha de basketball es un rectángulo que tiene que tiene 10m más de largo que de ancho. Se van a colocar 20 filas de asientos alrededor y cada fila ocupa en total 1.5m. Encuentra el área total que se necesita para una construcción de este tipo si se van a usar 7200 metros cuadrados para la zona de asientos. Recuerda hacer un esquema, plantear una igualdad y resolver la ecuación que se obtiene, es decir, encontrar para qué valor de la variable se cumple la ecuación. Salvador González Sánchez - 32 -
  33. 33. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I —————————— La figura muestra una pista de carreras donde la parte interior consiste de un rectángulo que es dos veces más largo que ancho y de dos semicírculos. La pista es de 7 metros de ancho y el tartán que se utilizó para recubrirla fue de 1354 metros cuadrados. Encuentra las medidas del radio interior de los semicírculos. r 2r 4r 7 22 Para facilitar las cuentas tomaremos la aproximación de para π. 7 Como nos piden el radio denotémoslo por r, así que los lados del rectángulo serán 2r y 4r . El área total es: 4r 2r  14   r  7 2 De modo que el área de la pista, cubierta por el tartán es:   4r 2r  14   r  7   4r 2r   r 2  1354 2 8r  56r  r  14r  49  8r  r  1354 2 2 2 2 8r 2  8r 2  56r  14r  49  r 2  r 2  1354 56r  14r  49  1354 22 Como   en este caso 7  22   22  56r  14 r  49   1354  7   7  56r  44r  154  1354 100r  154  1354 100r  154  154  1354  154 100r  1200 100r 1200  100 100 r  12 Salvador González Sánchez - 33 -
  34. 34. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I El radio es de 12 metros 2) Una piscina rectangular es 7 metros más larga que ancha y está rodeada de concreto por un camino de 1.5 metros de ancho y cuya área es de 120m2. Encuentra las dimensiones de la piscina. Recuerda que es conveniente hacer un diagrama, plantear una igualdad y resolver la ecuación que aparezca. 3) La distancia en metros recorrida por un objeto en caída libre está dada por 1 2 d gt la expresión 2 , donde g = 9.8 m/seg2 es la aceleración producida por la gravedad y t es el tiempo transcurrido desde que empezó a caer el objeto medido en segundos. ¿Cuántos metros ha recorrido un objeto después de 8 segundos? d 1 2    9.8 m/seg 2 8 2 seg 2  313.6 m 4) La distancia recorrida por un móvil está dada por el producto de la velocidad por el tiempo, es decir: d  vt , en cada caso encuentra la distancia recorrida si: a) v = 90 Km/h, t = 1.15 h b) v = 60 Km/h, t = 38 seg c) v = 75 Km/h, t = 2 h d) v = 15.4 Km/h, t =  h W p 5) La fórmula 4 A se utiliza para calcular la presión en libras por pulgada cuadrada de una llanta de automóvil. W es el peso del automóvil en libras y A es el área de contacto con el piso de la llanta en pulgadas cuadradas. En cada caso encuentra la presión de la llanta. a) W= 936 lb, A= 9 pulg2 b) W= 4660 lb, A= 29 pulg2 c) W= 2198 lb, A= 78.5 pulg2 d) W= 1376 lb, A= 11.5 pulg2 El volumen de un cilindro está dado por la fórmula V   r h , donde r es 2 6) el radio de la base y h es la base del cilindro. En cada caso encuentra el volumen del cilindro si: Salvador González Sánchez - 34 -

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