Este documento trata sobre las proporciones y la semejanza en geometría. Explica qué son las razones y proporciones, y cómo se pueden usar para determinar si segmentos u objetos geométricos como triángulos son proporcionales o semejantes. También presenta los tres criterios para determinar si dos triángulos son semejantes, dependiendo de si sus lados y/o ángulos son proporcionales. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios para aplicar estos conceptos.

1. 52
x 10
CAPITULO V  despejamos a x
2 4
4x=2(10)
SEMEJANZA 20
x= , resolviendo tenemos que x = 5
Dos o más figuras son semejantes si tienen la misma forma y 4
están construidos a escala, sus lados son múltiplos o
submúltiplos una de otra. SEGMENTOS PROPORCIONALES
2 6
SEGMENTOS PROPORCIONALES A D
B C
Los segmentos proporcionales, están construidos a escala,
tomando como base una unidad de medida. Esto quiere decir que al comparar el segmento AB con el
Es decir un segmento de dos unidades es proporcional a uno de segmento CD , podemos formar una razón. Lo anterior significa
cuatro unidades. que los segmentos son conmensurables, esto es obtenemos un
a
RAZONES Y PROPORCIONES número racional ( ).
b
a
Una razón es una pareja de la forma , donde a es el AB
b Con el segmento AB y CD , obtenemos una razón estamos
CD
antecedente y b es el consecuente.
comparando sus medidas (Razón).
Una Proporción es la igualdad de las razones y esto no es más
que la definición de las fracciones equivalentes. Es decir los
AB 2 1
múltiplos de una fracción cualquiera. = = , donde AB es un tercio de CD .
CD 6 3
a c
En forma general  ad =bc
b d
Comparando con el segmento CD con AB forma el racional
si cualquiera de los números de una proporción es desconocido,
CD 6
para encontrarlo, simplemente lo despejamos, o también, lo = = 3 CD es el triple de AB .
AB 2
escribes en función de los otros.
MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 52

2. 53
CD 3 2 7 21
En las razones anteriores ; CD se llama antecedente y AB a).-  b).- 
AB 5 10 2 5
se llama consecuente. 2y 4y 5 10
c).-  d).- 
5 10 a 2a
Una proporción esta formada por dos razones, o dicho de otra x y 1 2 3 2b  3a
e).- 2  f).-  
a c x y
2
x y a b ab
manera es una igualdad de dos razones (  ).
b d x2 1 x  y x 2  xy  y 2
g).-  2 h).- 
x  8 x  2x  4
3
x y x y
Ejercicios
1.- Encuentra una fracción equivalente a la fracción dada y
realiza los productos cruzados. 3.- Encuentra el número que falta para que las siguientes razones
5 2 formen una proporción. Donde al numero x se llama cuarta
a).- = c).- =
8 5 proporcional.
7 3
b).- = d).- =
2 8
5 10 a c 5 10
3 5 a).-  b).-  c).- 
e).- = f).- = 3 x b x 2 x
a b
a 3a
g).- = h).- =
b 5
2x 100
i).- = j).- = 4.- Encuentra el número que falta para que las siguientes razones
7 11
formen una proporción. Donde al numero x se llama tercera
proporcional.
2.- Analiza si las siguientes proposiciones forman una
2 4 a b 2 c
proporción. a).-  b).-  c).- 
4 x b x c 18
MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 53

3. 54
5.- Encuentra el número que falta para que las siguientes razones
formen una proporción. Donde al número x se llama media 1.- Hallar una fracción equivalente en a y b.
proporcional. 1 2 4 12
a).-    K
2 x a x 5 y 3 6 12 36
a).-  b).-  c).- 
x 6 x b y 20
En una serie de razones equivalentes, la suma de todos los 2 3 5 7
b).-    K
antecedentes y todas las consecuentes nos da nuevamente una 10 15 25 35
fracción equivalente.
a c e g 2.- De los siguientes cuatro números, ¿Cuáles parejas son
   K
b d f h proporcionales?
ace g
K
bd  f h a).- 1, 5, 7, 3 b).- 3, 15, 21, 9
Sumando los numeradores y los denominadores: c).- 2, 3, 5, 7 d).- 4, 6, 10, 14
a + c + e + g = K(b + d + f + h)
1 3.- Encuentre el valor de x para que las siguientes razones
Ejemplo: equivalencia a ½, K , escribe fracciones
2 formen una proporción.
1 2 4 16
   K
2 4 8 32 3 6 5 10
a).-  b).- 
Sumando numeradores y denominadores se obtiene: 4 x 6 x4
1  2  4  16 23 23  1 1 x3 8 x6 20
   c).-  d).- 
2  4  8  32 46 23  2 2 6 12 6 17  x
K 
1 x 2 15  x x  2 x 1
e).-  f).- 
2 4 8 x x2
la fracción más simple.
x  1 2x  2
g).- 
7 3x  1
Construir con regla y compás la cuarta proporcional.
Ejercicio:
MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 54

4. 55
Construir un triángulo con los elementos que se dan. La longitud
a b 4
3 de un lado de un triángulo equilátero es 3
c 6
1.- Se construye un ángulo cualquiera.
2.- Se traza a sobre un lado y b sobre el otro.
3.- Se traza c a continuación de a.
4.- Se unen el extremo de a con b y por c se traza una paralela
con ayuda de las escuadras.
C
Equilátero de lado 3
b a
d=8 A B
c
Segmentos proporcionales
b=4
C’
O
a=3 c=6
Equilátero de lado 6
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS b’ a’
Se dice que dos figuras son semejantes si una esta construida, en Los triángulos ABC  A’B’C’, son semejantes, por que son
forma proporcional de otra, es decir construidas a escala. proporcionales. El símbolo “” representa la semejanza, se lee
A’ B’
De la misma manera que existen criterios para la congruencia, c’
“es semejante a”.
también hay criterios para la semejanza de triángulos. No se AC AB BC
demostrarán los criterios, únicamente para las finalidades de este   K
A' C' A' B' B' C'
curso del bachillerato, los tomaremos como “axiomas”. donde K = constante de proporcionalidad.
3 3 3 1
PRIMER CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.   
6 6 6 3
Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados al establecer las razones estas tienen que ser equivalentes.
respectivamente proporcionales. Criterio LLL (lado, lado, lado).
MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 55

5. 56
SEGUNDO CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
Criterio (LAL). Dos triángulos son semejantes si tienen dos
lados proporcionales y congruente el ángulo comprendido.
Construir los triángulos con los elementos que se dan, y
establecer las razones de semejanza, los lados son
proporcionales.
a).- b).-
TERCER CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
Criterio de semejanza AAA. Dos triángulos son semejantes si
tienen sus tres ángulos congruentes o todos los triángulos con
dos ángulos congruentes son semejantes. Ejercicios
1.- Encuéntrese el numero correcto para establecer una
Construir dos triángulos semejantes que cumplan con este proporción verdadera.
criterio, estableciendo las razones de semejanza. Los elementos 10
que se dan son: dos ángulos congruentes y uno de sus lados. a).- 
6 12
7
b).- 
2 6
a).- b).-
MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 56

6. 57
4 3 x x  2 28
c).-  e)  f) 
9 18 x 9 5 20
7 21 3x  1 5 x  4 x  4 2x  8
d).-  g)  h) 
8 5 2x  6 x  3 x  12
3 x 2  4 3x  1 x 1 x3
e).-  i)  j) 
8 32 x 1 8 2 x  5 3x  5
5x  1 8x  6 5x  4 x 1
k)  l) 
2.- Con tu regla y tu compás encuentra la cuarta proporcional x 4 3x  1 2 x  8
con los siguientes segmentos; también establezca la proporción x 4 3x 5x  4
m)  n) 
correspondiente, con los lados homólogos. 6 12 x  6 7x  2
4.- Las parejas de triángulos de cada uno de los siguientes
incisos, son semejantes encuentra el valor de las letras que se
c
a a indican o las razones de semejanza.
b
a).-
3.- Encontrar el valor de x para que las siguientes razones Solución: para encontrar los valores se establece la proporción,
formen una proporción. entre lados correspondientes:
x 6 x4 C AC BC
a)  b) 5 8  
3 9 16 A' C' B' C' C’
12 10
4 x 9 x
c)  d)  9 y
x 20 x 4 12 10

A B6 y A’
x B
7
’
MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 57

7. 58
Sustituyendo: 6
12y = 60
y = 60/12 x x+4 18
y=5 2 3
1.5 x-2 y+3
Para encontrar x
12 7 3
 3 y+4
6 x A
12x = 42
x = 42/12
l BC
x = 3.5 P D
l
b).- e).- B C
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA PROPORCIONALIDAD.
En todo triángulo si se traza una paralela a uno de sus lados, l
c).- interseca a los otros dos, se forman triángulos semejantes.
B
6 B’ Trazar una paralela al lado BC del triángulo de la figura, que
9
3 2 pase por P.
A’ C’
A C
3 a
d).-
MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 58

8. 59
2.- A  F Por ser iguales.
3.- B  G Por correspondientes.
la paralela l pasa por PD 4.- C  C Identidad.
5.- ABC  FGC Por AAA. Q.D.
Midiendo los lados de los triángulos establecer las razones y
proporciones para probar que son semejantes (método Ejemplo:
C Hipótesis
inductivo). La medida de PD es un número aproximado. Determine el valor de x, para que en el siguiente triángulo; DE
F ABCG PDDABC  FGC
 sea paralela al lado AB .
Las razones tienen que ser equivalentes.
A B
AB AC
a).-  Sustituye las medidas que encontraste.
PA AD
¿Las razones son equivalentes? ¿Los productos cruzados de las
proporciones son iguales?
AB BC
b).-  Sustituye las medidas que encontraste.
AP PD
Suponiendo que DE AB
Ejercicios.
x3 4
Trazar un triángulo obtusángulo, trazar una paralela a uno de 
3x  19 x  4
sus lados: pruebe que son semejantes.
* Demostración del teorema: (x-3)(x-4) = 4(3 x-19) Desarrollando
2
x -7x +12 = 12x -76
C
x-3 4
x2-19x +88 = 0 Resolviendo por factorización
D E
(x -11)(x-8) = 0 la ecuación de 2° grado.
3x-19 x-4
x = 11, x=8
A B
1.- FG AB Por ser iguales.
MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 59

9. 60
Comprobación. N
11  3 4 83 4
  x+18
3(11)  19 11  4 24  19 4 2.- x= T
8 4 5 4 32
 
14 7 5 4 M Q
4 4 22 S 20
 1=1
7 7
C
Q 4x-5
6x+5
A B 3.- x=
Ejercicios 9x-10 R 3x
En los siguientes triángulos se ha trazado una paralela a uno de B
sus lados, encuentre el valor de las letras que se piden en cada X
caso.
Q
1.- x= 12
4.- Escribe las demás letras en función de x.
A C
25 R 10
L x a b
Q R
C x
MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 60

10. 61
5.- En el siguiente triángulo DE es paralela a BC, encontrar la las razones necesarias y observa que los segmentos entre
medida de los segmentos que se piden. paralelas son proporcionales.
a
AB A' B '
AD = 5 
z BC B' C'
AE = 6
y
BC = 12 BC B' C'

AB = 15 x CD C ' D'
AC =
DE =
9.- Sabiendo que ST PQ en el triángulo PQR, complétense los
6.- Dividir el segmento mayor en segmentos que sean siguientes enunciados.
proporcionales a los segmentos más pequeños. RP
a).-  
RS
RS
b).-  
SP
SP
c).-  
C RP r s
RT
d).-  
E RQ A A’
7.- ¿Como encontrar la altura de un árbol con la sombra que B B’
proyecta en un día soleado?
A B C C’
D A
8.- En la siguiente figura las dos secantes r y s son cortadas por 11.- Si los segmentos de D figura de la izquierda tienen las
la D’
varias rectas paralelas, tome la medida de los segmentos y forme longitudes indicadas ¿Será PQ AB ?
MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 61

11. 62
AC = 20
R
C D C
PC = 16
S T
C E
P Q
CQ = 25 D
P Q
CB = 30 A B
A B
A B
C B
E 14.- En la figura AB DC , demuestre que ABE  CDE
12.- En la siguiente figura DE BC ; encuentre el valor de x. D G
D E F C
BC = 15 E
A
DE = 12 A B
EB = 4
15.- En la figura si DG CB y AEF  ACB.
AD = 14
AE = x
16.- En la figura si EC AB y BD AC demuestre que:
13.- En la siguiente figura AD BC demostrar que
AECADB.
AEDCEB
MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 62

12. 63
CA CE
¿Es verdadero o falso la proporción  ?
AB DB
C A
E
C
F
A B
D
20.- En el triángulo de laBfigura, traza una bisectriz, en el vértice
17.- En la figura si las alturas AE y CD se cruzan F. Demuestre A. Mide los segmentos los más exacto posible.
que ADF  CEF
AB 
A
AC 
D
CD 
B C
E
DB AB
y pruebe que la proporción  es verdadera.
DC AC
19.- En la figura si AD  DC y BE  EC , demostrar que DCE
C ¿Como podrías enunciar este teorema?
 ACB. D
F
21.- Traza dos triángulos equiláteros semejantes de lados 5 y
2.5, traza las alturas, mide, los más exacto que sea posible; y
A B
observa que la razón de las alturas es la misma que las razones
E
entre los lados de los triángulos.
MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 63

13. 64
¿La altura es cuarta proporcional entre la hipotenusa y los
¿Este será un teorema? Argumenta catetos?
C
BC AC BC AB
c).-  
AC CD AB BD
A B
22.- Dibuja un triángulo rectángulo de 3, 4 y 5 unidades de ¿Los catetos son media proporcional entre la hipotenusa y los
longitud. segmentos CD y DB .
2
AC CD
d).- 2

AB DB
¿La razón de los cuadrados de los catetos es igual a la razón
entre la razón de los segmentos de la hipotenusa?
a).- trazar una altura del vértice A, que pase por D de la
hipotenusa BC , los triángulos que forman son semejantes.
23.- Grafíca un triángulo rectángulo de lados a=3, b=4, c=5.
b).- establece la proporción midiendo los segmentos con la Traza, luego, una bisectriz al lado opuesto y, encuentra los
mejor aproximación. valores de x, y.
¿la altura es media proporcional?
Encuentra, también, el valor de los segmentos x y y, formados
CD AD
a).-  trazar un triángulo de lado 5.
AD DB
BC AB
b).- 
AC AD
MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 64

14. 65
24.- Traza un triángulo isósceles.  Busca el punto medio de dos lados.
 Une los puntos medios
 ¿El segmento que uniste, es paralelo al otro lado? ¿Cómo lo
A 3
sabes? a
D
 Y ¿Es la mitad del tercer lado?
r 4
b
26.-En la siguiente figurah CD , es una altura del triángulo
Corolario 5
rectángulo ACB. C B
En todo triángulo el segmento que mide los puntos medios de s
dos de sus lados, es paralelo al tercer lado e igual a su mitad.
a).- Encontrar el punto medio de AC , usando tú compás, mide
los segmentos con tú regla.
b).- Encontrar el punto medio de BC , igual que en el caso del
inciso a) a).- Si a=20 y b=50, determina el valor de h.
c).- Une los puntos medios b).- Si a=3.2 y b=2.8, determina el valor de h.
d).- ¿Cómo puedes saber si, es paralelo al lado AB ? a).- Si a=3.9 y h=4, determina el valor de b.
27.- Determinamos a h como la altura de un triángulo que se
indica en la figura. Encuentra el valor de la letra que se indica en
25.- Traza un triángulo rectángulo cada caso.
C
A B
MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 65

15. 66
a) Si a= 4, b= 9, determinar h, r y q.
b) Si a= 5 y r= 7 determinar el valor de q y b.
E
q
r h
D F
G b
MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 66

16. 67
a b a c Cada cateto es media proporcional
2.-  , 
b CD c DB entre la hipotenusa y el segmento
El teorema de Pitágoras.
de la hipotenusa
Enuncia el teorema de Pitágoras, si lo recuerdas; y si no recurre 3.- b2 = a CD , c2 = a DB Sumando los cuadrados
a las fuentes; investiga cuál es la hipotenusa y los catetos.
Sobre un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5, construye b2 + c2 = a( CD  DB )
cuadrados de esas medidas. b2 + c2 = a  a
¿La suma de los cuadrados más pequeñas son iguales al más CD  DB  a
b2 + c2 = a2
grande?
¿Cuánto vale la hipotenusa de un triángulo de catetos 6 y 8?
Formando cuadrados
Trazar un cuadrado de lado a, luego sumar un segmento b.
DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS.
Por triángulos semejantes a b
ABC  DAB  DAC a
a2 ab
a
C
a
b b ab b2 b
D
a b
El área del cuadrado a+b es:
A B
c
Hipótesis: El ABC es rectángulo. (a+b)2 = a2+ 2ab+ b2
Tesis: a2 = b2 + c2 (a+b)2 - 2ab = a2 + b2
Por construcción. Es decir es igual a la suma de los rectángulos ab, ab y dos
1.- AD es altura.
cuadrados a2 y b2.
MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 67

17. 68
Ejercicios del Capitulo V
a b
1.- Cuales de las siguientes triadas podrían ser los lados de un
b ab ab
2 2 a triángulo rectángulo.
c
c a).- 5, 12, 13
2
C b).- 1, 3, 5
c
c).- 2, 3, 3.6
c d).- 3, 6, 5.3
ab ab
a 2 2 b e).- 7, 3, 9
*Los b a triángulos son f).- 7, 6, 9.21
congruentes.
ab
(a+b)2 = 4( ) + c2 2.- Las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo son
2
(a+b)2 = 2ab + c2 24 y 32. Determina la hipotenusa.
a2 +2ab+b2 = 2ab + c2
a2+b2 = c2
3.- Hallar la longitud de una altura de un triángulo equilátero,
que tiene lados de longitud igual a 10.
MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 68

18. 69
4.- Hállese la longitud de una mediana de un triángulo equilátero 7.- Considérese el triángulo equilátero dibujado, con cada lado
que tiene lados de longitud igual a 4 de longitud la unidad. ¿Cuál es la longitud de cada una de las
alturas?
h=
?
a=1 b=1
c=1
5.- Si la longitud de una altura de un triángulo equilátero es 10,
hállese la longitud de cada lado del triángulo. 8.- Calcular la hipotenusa de los triángulos rectángulos si las
longitudes de los catetos son:
a).- 6 y 7
b).- 9 y 3
c).- 3 y 5
d).- 10 y 9
6.- Si la longitud de una mediana de un triángulo equilátero es 4
hállese, la longitud de cada lado del triángulo. 9.- Calcula la longitud de la altura de un triángulo isósceles, de
base 4 y lados iguales de 6 unidades.
MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 69

19. 70
10.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo es de x+2, y los
catetos son: x y x+1, encontrar la longitud de los catetos y la
hipotenusa.
C
h
A B
a=7.2 b=11.
25
11.- Encontrar el área de un triángulo rectángulo, cuyos catetos
miden 6 y 8 unidades de longitud, respectivamente.
12.- Calcular el área del triángulo rectángulo ABC, de la
siguiente figura. Si h es la altura de la hipotenusa.
MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 70