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INTRODUCCION
Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a
plantearse en la época clásica...
INDICE
LIMITES DE FUNCIONES..................................................................................................
LIMITES DE FUNCIONES.
LÍMTE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO:
Sea f una función real de variable real . Diremos que el límite de...
En este caso: f(2)=-4
EJEMPLO III
f(2)=0
Observemos que en los tres casos el límite por la izquierda coincide con el
límit...
LIMITES INFINITOS.
De la misma forma que en el apartado anterior se puede decir que:
si a medida que x se aproxima hacia a...
LIMITES EN EL INFINITO
Ejemplo:
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. Como vemos en la gráfica, la función tiende a 1 cuando x tiende...
tendrá sentido estudiar el comportamiento de f cuando x tiende a -∞.
Por ejemplo, la función f(x) = 35 x no está definid...
Luego otros dos casos de indeterminación son:
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CUADRO CORRESPONDIENTE AL LÍMITE DEL PRODUCTO DE
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CUADRO CORRESPONDIENTE AL LÍMITE DE UNA POTENCIA DE
FUNCIONES
Como la base f(x) es definida positiva, su límite nunca podr...
CÁLCULO DE LÍMITES. RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES
Cálculo del límite de una función en un punto.
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Límite de una función racional
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En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen radicales, basta con
multiplicar y dividir por la expresión radical...
Limites des de la forma: Lxf xg
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Al evaluar límites de este tipo se tiene 3 casos:
Caso 1: Si existen los...
Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces
Teorema de límite4:
Teorema de límite5:
Teorema de límite6:
Si f es un ...
Procedimiento para calcular límites
Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el límite se
calcula di...
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Esta función tiene una discontinuidad evitable en el punto 1x
Caso 2.
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absoluto, entre los límites laterales....
3) Discontinuidad esencial (o de segunda especie):
Decimos que una función tiene una discontinuidad esencial (o de segunda...
TEOREMA DE DARBOUX.
Sea )(xf una función continua en el intervalo cerrado  ba, , y tal que )()( bfaf 
. Entonces )(xf t...
EJERCICIOS
Ejercicio nº 1.-
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Solución:
Ejercicio nº 2.-
Calcular x
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Solución:
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Solución:
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Ejercicio nº 4.-
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Solución:
Ejercicio nº 5.-
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Ejercicio nº 6.-
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Solución:
Ejercicio nº 7.-
Dada la función:
obtenidos.
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Solución:
Ejercicio nº 8.-
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Solución:
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

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x
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x



 3
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x
x...
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Con calculadorapodemoscomprobarque:
asíntota y  2.
asíntota y  2.
Ejercicio nº 9.-
a) La siguiente función,¿tiene unaa...
• Representación:
Ejercicio nº 10-
Calcula estoslímites:
Solución:
10
Cuando , 0 La curva está por encima de la asíntota.
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Ejercicio nº 11.-
Estudia la continuidadde la siguiente función.En lospuntos en losque no sea continua,
indica el tipo de ...
Ejercicio nº 12.-
Halla los valoresde a y b para que la siguiente funciónseacontinua:
Solución:
 Dominio
 Si x  1 y x...
Para que f (x) seacontinuaen x  2, ha de ser:
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 Uniendolasdoscondicionesanteriores,tenemosqu...
Ejercicio nº14.-
Estudia la continuidadde la función:
Solución:
Si x  4, la funciónescontinua.
Si x  4:
Ejercicio nº 15....
Para que f (x) seacontinuaen x  1, ha de ser:
2  a  6  3a  4a  4  a  1
Ejercicio nº 15.-
Di si es continuao no en ...
Ejercicio nº16.-
Estudia la continuidadde la función:
Solución:
Si x  0, la funciónescontinua.
Ejercicio nº 17.-
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Discontinuidadevitable en x 5.
Discontinuidadde saltoinfinitoen x  2.
Ejercicio nº18.-
Calcula losvalores de a y b para...
Para que f (x) seacontinua x  1, ha de ser:
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Ejercicio nº19.-
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Ejercicio nº20.-
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concluye que la función t...
Bibliografía
 Hasser-Lasalle-Sullivan. Análisis Matemático. Vol I y II. Trillas, 2010. 3.
 Johnson R; Kiokemeister F., W...
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Liites y continuidad

MATEMATICA

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Liites y continuidad

  1. 1. INTRODUCCION Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a. C.), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz). En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen: El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge) El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat) En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial. En matemática, la derivada de una función mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21. Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
  2. 2. INDICE LIMITES DE FUNCIONES................................................................................................3 LÍMTE DE UNAFUNCIÓN EN UN PUNTO: ................................................................3 LIMITES INFINITOS..........................................................................................................5 LIMITES EN EL INFINITO.............................................................................................6 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES. .................................................................................7 CUADRO CORRESPONDIENTE AL LÍMITE DEL COCIENTE DE FUNCIONES .....9 CÁLCULO DE LÍMITES. RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES.........................11 Limites des de la forma: Lxf xg ax   )( ))((lim .................................................................14 Teoremas de límites......................................................................................................14 Procedimiento para calcular límites............................................................................16 Continuidad....................................................................................................................16 EJERCICIOS...................................................................................................................21 Bibliografía.....................................................................................................................38
  3. 3. LIMITES DE FUNCIONES. LÍMTE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO: Sea f una función real de variable real . Diremos que el límite de f(x) cuando x tiende a x0 es L y escribiremos L)x(flím xx   0 si a medida que x se aproxima a x0 (por valores menores y mayores que x0) las imágenes de x , las f(x), se aproximan a L. Esto nos llevaría a definir los límites laterales:  Límite por la derecha cuando x se aproxima a x0 por valores mayores: L)x(flím xx   0  Y límite por la izquierda cuando x se aproxima a x0 por valores menores: L)x(flím xx   0 EJEMPLO I Consideremos la función Esta función no está definida en el punto 2. Cuando nos aproximamos a este punto por la izquierda, la función se aproxima a 1. Decimos por tanto que el límite de f(x) cuando x tiende a 2 por la izquierda es 1, y lo expresamos: Del mismo modo al aproximarnos a 2 por la derecha (tomando valores mayores que 2) la función se aproxima a 0. Por tanto "el límite de f(x) cuando x tiende a 2 por la derecha es 0", lo expresamos: EJEMPLO II         2xsi2x- 2xsi4- 2xsi32x =f(x)      2xsi2x- 2xsi32x =f(x) 1)( 2   xflim x 0)( 2   xflim x
  4. 4. En este caso: f(2)=-4 EJEMPLO III f(2)=0 Observemos que en los tres casos el límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, sin embargo el valor de la función en el punto 2 es distinto en cada caso; o incluso puede no estar definida en ese punto (Ejemplo I). Es decir, a la hora de calcular el límite de una función en un punto no nos interesa el valor de la función en ese punto sino en sus cercanías. EJEMPLO IV cuando el límite por la izquierda y por la derecha coincide se dice que existe el límite de f(x) cuando x tiende a 2 y es igual a ese número. Escribiremos: La condición necesaria y suficiente para que exista el límite de f(x) cuando x tiende a x0 y éste valga L, es que existan los límites laterales y que coincidan con L. L)x(flím xx   0  L)x(flím)x(flím xxxx    00       2xxi2x- 2xsi32 )( x xf 0)( 2   xflim x 1)( 2   xflim x 0)( 2   xflim x 1)( 2   xflim x       3xsi5 3xsi1 )( x x xf 2)(lim2)( 3x3    xfxflim x 2)( 3   xflim x
  5. 5. LIMITES INFINITOS. De la misma forma que en el apartado anterior se puede decir que: si a medida que x se aproxima hacia a, f(x) crece indefinidamente, es decir, tiende a infinito. Ejemplo f(x)=1/x Esta función tiene como gráfica la de la figura, se puede observar que a medida que nos acercamos al punto cero por la derecha la función se dispara a infinito, mientras que si nos acercamos por la izquierda la función se dispara a menos infinito. Analíticamente:    0 1 0 )x(flím x    0 1 0 )x(flím x Ejemplo2: f(x)= 2 1 1 )x(  En este caso se puede comprobar sin más que hallar los límites laterales que   )x(flím x 1 Cuando decimos que una función tiene límite infinito estamos expresando una tendencia, pues infinito no es un número.   )(xflim ax
  6. 6. LIMITES EN EL INFINITO Ejemplo: 1 3 1     x x lím x . Como vemos en la gráfica, la función tiende a 1 cuando x tiende a +∞ y a -∞ Los casos que se pueden dar al estudiar el comportamiento en el infinito de una función son: o La función tienda a un cierto valor l (como en el ejemplo anterior) o La función tienda a +∞ o a -∞, como por ejemplo:   )xxx(lím x 33 23 y   )xxx(lím x 33 23 o La función no tenga límite cuando x tienda a +∞ y a -∞, como por ejemplo, cuando f(x)=senx o La función no está definida para valores muy grandes de x con lo que no tendrá sentido estudiar el comportamiento de f cuando x tiende a +∞, o la función no está definida para valores muy pequeños de x con lo que no lim f x lim f x x x     ( ) ( ) valor al que se acerca f(x) cuando x crece indefinidamente en sentido positivo valor al que se acerca f(x) cuando x crece indefinidamente en sentido negativo
  7. 7. tendrá sentido estudiar el comportamiento de f cuando x tiende a -∞. Por ejemplo, la función f(x) = 35 x no está definida para valores de x inferiores a -5, por lo que no tiene sentido estudiar su límite cuando x tiende a -∞ PROPIEDADES DE LOS LÍMITES. A) LIMITE DE UNA SUMA: CASOS:  ± k =   +  =   -  INDETERMINADA B) LIMITE DE UN PRODUCTO: CASOS: . k =  .  =   . 0 INDETERMINADA C) LÍMITE DE UN COCIENTE: CASOS: )().())(.( 000 xglimxflimxgflim xxxxxx     k 0 0  k   0 adaindeterminada 0 0 )()())(( 000 xglimxflimxgflim xxxxxx   )( )( )( 0 0 0 xglim xflim x g f lim xx xx xx         
  8. 8. Luego otros dos casos de indeterminación son:   y 0 0 D) LIMITE DE UNA POTENCIA: CASOS 0k =0 0 =0 00 indeterminada 1 indeterminada k =   =  0 indeterminada k =0 si 0<k<1 k = si k>1 Surgen 3 nuevas indeterminaciones: 00, 0  y 1 CUADRO CORRESPONDIENTE AL LÍMITE DE LA SUMA DE FUNCIONES:  )x(g)x(flím xx   0 f(x) g(x) g(x) L +∞ -∞ L’ L+L’ +∞ -∞ +∞ +∞ +∞ ∞-∞ -∞ -∞ ∞-∞ -∞ 0  k  0 k 0 0       )()( 0 00 )()( xglim xx xg xx xxxflimxflim    adaindeterminada      0 1 0 1 0 0 11       
  9. 9. CUADRO CORRESPONDIENTE AL LÍMITE DEL PRODUCTO DE FUNCIONES f(x) g(x) L  0 0 +∞ -∞ L’  0 L . L’ 0 +∞ si L’>0 -∞ si L’<0 +∞ si L’<0 -∞ si L’>0 0 0 0 0. ∞ 0. ∞ +∞ +∞ si L>0 -∞ si L<0 0. ∞ +∞ -∞ -∞ +∞ si L<0 -∞ si L>0 0. ∞ -∞ +∞ CUADRO CORRESPONDIENTE AL LÍMITE DEL COCIENTE DE FUNCIONES f(x) g(x) L  0 0 +∞ -∞ L’  0 L / L’ 0 +∞ si L’>0 -∞ si L’<0 +∞ si L’<0 -∞ si L’>0 0  ∞ 0 0 ∞ ∞ +∞ 0 0     -∞ 0 0    
  10. 10. CUADRO CORRESPONDIENTE AL LÍMITE DE UNA POTENCIA DE FUNCIONES Como la base f(x) es definida positiva, su límite nunca podrá ser -∞ f(x) g(x) L>0 L  1 0 1 +∞ L’  0 LL’ 0 si L’>0 ∞ si L’<0 1 0 si L’<0 ∞ si L’>0 0 1 00 1 ∞0 +∞ 0 si 0<L<1 ∞ si L>1 0 1 ∞ -∞ ∞ si 0<L<1 0si L>1 ∞ 1 0
  11. 11. CÁLCULO DE LÍMITES. RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES Cálculo del límite de una función en un punto. En la práctica, para calcular el límite de una función cuando x tiende a x0, basta con sustituir, en la expresión analítica de la función, la variable por x0. Pero al efectuar la sustitución no siempre obtenemos un nº real; puede suceder que la función tienda a . Es lo que ocurre cuando tenemos k/0 (k distinto de 0). El resultado es , pero lo que no sabemos es su signo. Para ello hay que estudiar los límites laterales. Ejemplo1:   20 1 x lím x  Ejemplo2:                    3 1 3 1 3 1 3 3 3 x x lím x x lím x x lím x x x Cálculo del límite de una función definida a trozos Para obtener el límite en el punto en el que cambia la expresión de la función, calcularemos los límites laterales y analizaremos el resultado. En el resto de los puntos, procederemos de la forma habitual. Cálculo del límite de una función en el infinito Para calcular el límite de una función en el infinito no podremos aplicar la técnica anterior de sustituir en la variable de la función por el infinito, puesto que no se trata de un nº. Procederemos de manera diferente según el tipo de función: Límite de una función polinómica El comportamiento en los extremos de una función polinómica coincide con el comportamiento del término de mayor grado, es decir: )xa(lím)xa...........xaxaa(lím n n x n n x   2 210
  12. 12. Límite de una función racional               mnsi b a mnsi mnsi0 n n10 10 m m n n xm m n n x xb xa lím xb.....xbb xa.....xaa lím Límite de una función exponencial Al calcular el límite en el infinito de la función f(x)=ax hemos de tener en cuenta el valor de a (que siempre ha de ser positivo) y la tendencia del exponente. Los casos posibles son: - Si 0<a<1          x x x x alím alím 0 - Si a > 1          0x x x x alím alím Nota: En la práctica, para calcular )x(flím)x(flím xx   Resolución de indeterminaciones  INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de x del denominador. Ejemplos.-  INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo.-
  13. 13. En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen radicales, basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ejemplo.-  INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo.-  INDETERMINACIÓN Cuando solo aparecen funciones racionales, basta con descomponer factorialmente el numerador y el denominador y simplificar. Ejemplo.- En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ejemplo.-
  14. 14. Limites des de la forma: Lxf xg ax   )( ))((lim Al evaluar límites de este tipo se tiene 3 casos: Caso 1: Si existen los limites finitos Axf ax   )(lim Y B ax ALBxg   )(lim Caso 2: Si 1)(lim   Axf ax y   )(lim xg ax , el problema de hallar L se resuelve directamente, pues al tener L la forma indeterminada  1 , ocurre que : a) Si 0;1   ALALA b) Si   ALALA ;010 Caso 3: Si 1)(lim   xf ax y   )(lim xg ax tendremos la indeterminación  1 El problema se resuelve suponiendo que )(1)( xhxf  donde 0)(lim   xh ax , entonces: uxgxhxh ax exhL   )()*()( 1 }))(1{(lim donde: )(*)1)((lim)(*)(lim xgxfxgxhu axax   Teoremas de límites Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Epsilón-Delta se establecen los siguientes teoremas. Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia. Nota: los teoremas se presentan sin demostración, pero quien quiera verla puede hacer clic en el vínculo correspondiente. Teorema de límite1: Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces Teorema de límite2: Para cualquier número dado a, Teorema de límite3:
  15. 15. Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces Teorema de límite4: Teorema de límite5: Teorema de límite6: Si f es un polinomio y a es un número real, entonces Teorema de límite7: Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces Teorema de límite8:
  16. 16. Procedimiento para calcular límites Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el límite se calcula directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquier polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4 implican funciones polinómicas es indistinto que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando calculamos el límite de una función polinómica. Lo mismo, la propiedad 7 se aplica a una función racional y la propiedad 4 (III) también. Cuando al sustituir la a por x en la función nos da la forma indetermidada 0/0 es posible calcular el límite pero, previamente, hay que transformar la fórmula de la función de tal modo que se pueda evitar la división por cero: para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorización, la conjugada, etc. Continuidad Condiciones: El análisis se realiza en un contorno pequeño de intervalo <a,b> donde c pertenece a dicho intervalo existecfi )() existexfii cx )(lim)  )()(lim) cfxfii cx   Para que una función sea continua en el punto “c” debe cumplir con las tres condiciones anteriores. Tipos de discontinuidad. 1) Discontinuidad evitable: Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto 0x cuando el límite de la función en ese punto existe y es finito pero no coincide con el valor que toma la función en ese punto, o bien la función no está definida en ese punto. Vemos ambas situaciones gráficamente: Caso 1. )( 0 xflímxx  y es finito. )( 0xf , (la función esté definida en el punto 0x ). Pero, )()( 0 0 xfxflímxx  
  17. 17. 3)1(2)( 1   fxfLím x Esta función tiene una discontinuidad evitable en el punto 1x Caso 2. )( 0 xflímxx  y es finito. )( 0xf , (la función no está definida en el punto 0x ). NOTA: Este tipo de discontinuidad se dice evitable porque se puede evitar redefiniendo nuevamente la función, haciendo que el valor que tome la función en el punto 0x coincida con el valor del límite de la función en ese punto. 2) Discontinuidad de salto (o de primera especie): a) Con salto finito Decimos que una función tiene una discontinuidad de salto (o de primera especie), con salto finito, en un punto 0x cuando existen los límites laterales en
  18. 18. ese punto y son finitos pero no coinciden. Se llama salto a la diferencia, en valor absoluto, entre los límites laterales. 1)(1)( 22    xfLímxfLím xx b) Con salto infinito. Decimos que una función tiene una discontinuidad de salto (o de primera especie), con salto infinito, en un punto 0x cuando uno de los límites laterales sea finito y el otro infinito, o bien, cuando ambos límites laterales sean infinitos. Este tipo de discontinuidad viene marcada por la existencia de una asíntota vertical.    )()( 22 xfLímyxfLím xx
  19. 19. 3) Discontinuidad esencial (o de segunda especie): Decimos que una función tiene una discontinuidad esencial (o de segunda especie) en un punto 0x cuando uno o los dos límites laterales no existen. Por ejemplo: La función x senxf  )( tiene una discontinuidad esencial en el punto 0x NOTA: Algunos autores clasifican las discontinuidades en evitables y no evitables, reuniendo en este segundo grupo todas aquellas discontinuidades que no son evitables (1ª y 2ª especie). TEOREMAS SOBRE FUNCIONES CONTINUAS. TEOREMA DE BOLZANO. Sea )(xf una función continua en el intervalo cerrado  ba, , y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo, )()( bfsignoafsigno  , entonces existe al menos un punto  bax ,0  tal que 0)( 0 xf . TEOREMA DE WEIERSTRASS. Sea )(xf una función continua en un intervalo cerrado  ba, , entonces f alcanza el máximo y el mínimo absoluto en dicho intervalo.
  20. 20. TEOREMA DE DARBOUX. Sea )(xf una función continua en el intervalo cerrado  ba, , y tal que )()( bfaf  . Entonces )(xf toma cualquier valor k comprendido entre )(af y )(bf , al menos una vez en un punto interior del intervalo  ba, , es decir:   )()()()()(/, afkbfóbfkafconkcfbac 
  21. 21. EJERCICIOS Ejercicio nº 1.- Calcula: Solución: Ejercicio nº 2.- Calcular x x x sec3 2 ))cos(1(lim    Solución: Observese que si f(x)=cos(x)el limite cuando x tiende a pi medios de f(x)=0 , haciendo uso de un arreglo trigonométrico tenemos: 33cos 1 2 )))cos(1((lim ex x x    Ejercicio nº3.- Calcula el siguiente límite yestudiael comportamiento de la funciónpor la izquierday por la derechade x  0:  2 2 3a) xlim x    xlim x 21b) 8   xsenlim x 2 c)     2553a) 22 2   xlim x   54116121b) 8   xlim x 1 2 lim) 2     senxsenc x xx x lim x 2 12 20   
  22. 22. Solución: Calculamosloslímites laterales: Ejercicio nº 4.- Halla el límite siguiente yrepresentalainformación obtenida: Solución: 1 Ejercicio nº 4.-  2 12 2 12 020       xx x lim xx x lim xx         xx x lim xx x lim xx 2 12 2 12 2020 133 54 23 2 1    xxx xx lim x                    213123 2 1 1 5 1 51 133 54 x x lim x xx lim xxx xx lim xxx funciónsiguienteladecuandoycuandolímiteelCalcula  xx
  23. 23. y representala información que obtengas: Solución: Ejercicio nº 5.- Calcula lossiguienteslímitesyrepresentalas ramas que obtengas: Solución:   3 421 2 xx xf        3 421 3 421 22 xx lim xx lim xx x x lim x 35 3 a)  x x lim x 35 3 b)  1 3 3 35 3 a)   x x lim x
  24. 24. 1 1 Ejercicio nº 6.- los resultadosobtenidos: Solución: Ejercicio nº 7.- Dada la función: obtenidos. 1 35 3 b)   x x lim x representayfunciónsiguienteladeycuandoinfinitas,ramaslasHalla  xx   x xx xf 2 23 23                        x xx lim x xx lim x x 2 23 2 23 23 23   3 13    x x xf resultadoslosrepresentaycuandoycuandoinfinitas,ramassushalla ,xx 
  25. 25. Solución: Ejercicio nº 8.- representalos resultadosque obtengas: Solución:     3 13 x x lim x     3 13 x x lim x yfunciónsiguienteladecuandoycuandoinfinitas,ramaslasHalla ,xx    1 12 2 2    x x xf 2 1 12 2 1 12 2 2 2 2         x x lim x x lim x x
  26. 26. 2 Con calculadorapodemoscomprobarque: asíntota y  2. asíntota y  2. Ejercicio nº 9.- a) La siguiente función,¿tiene unaasíntota horizontal o una asíntota oblicua? b) Halla la asíntota horizontal uoblicua) y representala posiciónde la curva respectoa ella. Solución: a) Comoel grado del numeradoresuna unidadmásque el grado del denominador,lafunción tiene unaasíntotaoblicua.  Dando valores muy grandes y positivos , la curva va por debajo de lax    Dando valores muy grandes y negativos , la curva va por debajo de lax     2 23 2    x x xf 2 3 2 10 3 6 Asíntota oblicua: 3 6 2 2 x x y x x x          
  27. 27. • Representación: Ejercicio nº 10- Calcula estoslímites: Solución: 10 Cuando , 0 La curva está por encima de la asíntota. 2 x x       10 Cuando , 0 La curva está por debajo de la asíntota. 2 x x       2 6 y x=3 6 1 b)13a) 92       x e límxxlím x xx                 2 9 92 13a) xlímxxlím xx 0 0 11 )b         x e lím x e lím x x x x
  28. 28. Ejercicio nº 11.- Estudia la continuidadde la siguiente función.En lospuntos en losque no sea continua, indica el tipo de discontinuidadque presenta: Solución:  Dominio  {5, 2} f (x) escontinuaen   {5, 2}.  Veamosel tipode discontinuidadque presentaen x  5 yen x  2: Discontinuidadde saltoinfinitoen x  5. Discontinuidadevitable en x 2.   103 823 2 2    xx xx xf          25 243 103 823 2 2       xx xx xx xx xf   :lateraleslímiteslosHallamos. )0( 11 5 43 55       x x límxflím xx        xflímxflím xx 55 ;   7 10 5 43 22      x x límxflím xx
  29. 29. Ejercicio nº 12.- Halla los valoresde a y b para que la siguiente funciónseacontinua: Solución:  Dominio  Si x  1 y x  2  f (x) es continua,puesestáformadaporfuncionescontinuas.  En x  1: Para que f (x) seacontinuaen x  1, ha de ser: 3  a  2  b  a  2a  b  1  En x  2:            2si13 21si2 1si3 2 xx xabxx xax xf                           abf ababxxlímxflím aaxlímxflím xx xx 21 22 33 2 11 11                         72 713 282 22 2 22 f xlímxflím ababxxlímxflím xx xx
  30. 30. Para que f (x) seacontinuaen x  2, ha de ser: 8  2b  a  7  a  2b  1  Uniendolasdoscondicionesanteriores,tenemosque: Ejercicio nº13.- A partir de la gráfica de f(x) señala si escontinua o no en x  0 y en x  3. En el caso de no ser continua, indicala causa de la discontinuidad. 4 6 8 2 2 6 82 44 28 6 4 6 Y X Solución: En x = 0, sí es continua. En x = 3 es discontinuaporque noestádefinida,ni tiene límite finito.Tiene unaramainfinita enese punto(unaasíntota vertical).   1;1331421212 21 12 12        baaaaaa ab ba ba
  31. 31. Ejercicio nº14.- Estudia la continuidadde la función: Solución: Si x  4, la funciónescontinua. Si x  4: Ejercicio nº 15.- Halla el valor de a para que la siguiente funciónseacontinua: Solución:  Si x  1  la funciónescontinua,puesestáformadaporfuncionescontinuas.  En x  1:           4si15 4si 3 1 2 xx x x xf             4 4 2 44 4 1 lim lim 1 3 lim lim 15 1 También es continua en x 4 porque lim 4 . 4 1 x x xx x x f x f x x f x f f                                1si53 1si2 2 xax xa xf x
  32. 32. Para que f (x) seacontinuaen x  1, ha de ser: 2  a  6  3a  4a  4  a  1 Ejercicio nº 15.- Di si es continuao no en x  1 y en x  2. Si enalguno de los puntos no es continua,indica cuál es la causa de la discontinuidad. Solución: En x  1 no escontinuaporque presentaunsaltoenese punto.Observamosque En x  2 sí escontinua.                           af aaxlímxflím aalímxflím xx x xx 21 3653 22 2 11 11  :xffunciónlaaecorrespondgráficasiguienteLa 4 6 8 Y X 2 6 824 28 6 2 4 6 4    1 1 lim lim . x x f x f x    
  33. 33. Ejercicio nº16.- Estudia la continuidadde la función: Solución: Si x  0, la funciónescontinua. Ejercicio nº 17.- discontinuidadque hay en los puntosen los que no es continua. Solución:  Dominio  {5, 2} f (x) escontinuaen   {5, 2}.  Veamosque tipode discontinuidadque presentaen x  5 y en x  2:           0si 2 2 0si12 2 x x xx xf            .0porque0encontinuaEs 10 1 2 2 112 000 2 00 fxflimx f x limxflim xlimxflim xxx xx                         detipoelIndicad.continuidasuestudia, 103 5153 funciónlaDada 2 23    xx xxx xf         25 135 103 5153 2 2 23       xx xx xx xxx xf
  34. 34. Discontinuidadevitable en x 5. Discontinuidadde saltoinfinitoen x  2. Ejercicio nº18.- Calcula losvalores de a y b para que la siguiente funciónseacontinua: Solución:  Si x  1 y x  2  f (x) es continua,puesestáformadaporfuncionescontinuas.  En x  1:   7 76 7 76 2 13 2 55         x x límxflím xx   :lateraleslímiteslosHallamos. )0( 13 2 13 2 22      x x límxflím xx        xflímxflím xx 22 ;            2si3 21si4 1si2 2 2 xbx xbaxx xxax xf                           baf babaxxlímxflím axaxlímxflím xx xx 41 44 22 2 11 2 11
  35. 35. Para que f (x) seacontinua x  1, ha de ser: a  2  4  a  b  b  6 Ejercicio nº19.-  Estudiala continuidaden x  2: Para que f (x) seacontinuaen x  2, ha de ser: 10  2a  0  2a  10  a  5  Portanto, f (x) serácontinuasi a  5 y b  6. Estudia la continuidad de la siguiente función en el punto 2x       212 21 )( 2 xsix xsix xf Como en el punto 2x cambia la expresión analítica de la función, tenemos que estudiar los límites laterales:   31)( 2 22    xLímxfLím xx   312)( 22    xLímxfLím xx Como )()( 22 xfLímxfLím xx     )2()( 2 fxfLím x    f es continua en el punto 2x                           02 063 21064 22 2 22 f xlímxflím aaxxlímxflím xx xx
  36. 36. Ejercicio nº20.- Dada la función 4 2 )( 2 2    x xx xf determina los puntos de discontinuidad y clasifícalos. Una función racional esta definida  x excepto para aquellos valores de x para los cuales se anula el denominador. Por tanto, hallamos los valores de x para los cuales se anula el denominador:  042 x 2442  xx )2()2(  fyf (la función no está definida en los puntos 22  xyx , por tanto no es continua en dichos puntos. Para clasificar los puntos de discontinuidad tenemos que ver como se comporta la función en las proximidades de esos puntos. Esa información me la da el estudio del límite. En 2x         2 1 4 2 222 2 0 0 4 2 222 2 2                    x x Lím xx xx Lím x xx Lím xxx Nota: También podíamos haber resuelto el límite aplicando la regla de L'Hôpital. .
  37. 37. Como )( 2 xflímx   y es finito, y )2( f (la función no está definida en el punto 2x ), se concluye que la función tiene una discontinuidad evitable en el punto 2x . En 2x 04 2 2 2 2 K x xx Lím x            (estudiamos los límites laterales)             0 8 4 2 2 2 2 x xx Lím x y             0 8 4 2 2 2 2 x xx Lím x Con lo que la función tiene una discontinuidad de salto (con salto infinito) en el punto 2x , ya que ambos limites laterales son infinitos. o
  38. 38. Bibliografía  Hasser-Lasalle-Sullivan. Análisis Matemático. Vol I y II. Trillas, 2010. 3.  Johnson R; Kiokemeister F., Wolk, E. Cálculo con Geometría Analítica. Edit. Continental, 2013.  Pita Ruiz, Claudio. Cálculo en una Variable. Prentince Hall Hispanoamericana. México, 2011. 5.  Casabianca P. Manuel. Problemas Resueltos de Cálculo Diferencial. Bogota. Ed. ECI 2012. 6.  Demidovich. 5000 Problemas de Análisis Matemático. Ed. Paraninfo. Madrid 2012.

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