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mathphysicsmastersv3

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物理数学マスタリーの第三章です。
超わかりやすく、物理と数学を教えます。
第三章は、力学の初歩です。

第一章:https://www.slideshare.net/ryouen/mathphysicsmastersv1/
第二章:https://www.slideshare.net/ryouen/mathphysicsmastersv2/

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mathphysicsmastersv3

  1. 1. Topgunx Physics #1 Classical Mechanics Mastery 「力学」マスター 第三章 ~「力」を極める~ Ryosuke ISHII 1
  2. 2. 第3章:力 眼に見えないものを、 知性はどうやって 観ることができるでしょうか? 2
  3. 3. 第3章:力 「ある時刻に物体がどこにあるか」 これは、眼で見ることができます。 これは、物体の運動という 「結果」を示している。 スタート! 1秒後 2秒後 3秒後 3
  4. 4. 第3章:力 物体に運動を起こさせるもの つまり「原因」は眼に見えない。 この眼に見えない「原因」を 「力」と呼ぶとしたら、 原因と結果の関係をどう定められるだろう? 4
  5. 5. 第3章:力 物体に働く「力」 と 力を受けた物体の「運動」 の、 この関係を紐解こう 5
  6. 6. 第3章:力 Q1-1: 摩擦がまったくない、氷の床があります。 空気抵抗も無視できるとします。 いま、ソリが氷の床の上を速さ𝑣で滑っています。 3秒後、速さはどうなっているでしょうか? 摩擦ゼロの床。つるつる~~ 𝑣 6
  7. 7. 第3章:力 A1-1: 3秒後も、速さは変わらないはず。 Q1-2: では、このソリを止めるには、 どうしたらいいでしょうか? 摩擦ゼロの床。つるつる~~ 𝑣 𝑣 7
  8. 8. 第3章:力 A1-2: 進行方向と逆向きに、 力をしばらく、かけてあげれば止まるはず。 摩擦ゼロの床。つるつる~~ 𝑣 𝑣 静止: 𝑣 = 0 力 8
  9. 9. 第3章:力 この例から、何が分かるでしょうか? 9
  10. 10. 第三章:力 実は、摩擦や空気抵抗がなければ、 既に速さ𝑣で動いている物体が、 同じ速さ𝑣のまま、 等速直線運動をし続けるのに、 力は必要ありません。 (これを、慣性の法則と言います) 摩擦ゼロの床。つるつる~~ 𝑣 𝑣 10
  11. 11. 第三章:力 「力」とは、 物体の速度を変える時に必要なものです。 この、速度が変わることを 「加速度を持つ」と言います。 静止しているとき、 等速度で動いているとき、 その物体に働く力の和はゼロです。 摩擦ゼロの床。つるつる~~ 𝑣 𝑣力 11 静止
  12. 12. 第三章:力 Q2: 時速200kmで等速で走る新幹線の中で ジャンプすると、どうなるでしょうか? 新幹線の外に放り出されないのでしょうか? 12
  13. 13. 第三章:力 時速200kmは、約 秒速60m 一秒間ジャンプをしていれば、 わたしが宙に浮いている間、 新幹線は60m進むはず。 13
  14. 14. 第三章:力 でも、秒速60mの電車の中で あなたは普段どおり、 飛んだり跳ねたり、歩いたり できるはずです。 (前新幹線に乗った時、なにか気をつけましたか?) 14
  15. 15. 第三章:力 Q3: 新幹線の中でキャッチボールしたら、 どっちのポジションが有利でしょうか? 秒速60m 15
  16. 16. 第三章:力 A2: どっちも一緒。 でなければ、子供がボール遊びしただけで、 大変なことになります。 秒速60m ちなみに、調子の良い時のイチローの球速で、秒速42m 16
  17. 17. 第三章:力 Q2、Q3の例から 何が分かるでしょうか。 17
  18. 18. 第三章:力 実は、 「静止」と「等速度直線運動」は、 見分けがつかない。 等速直線運動をする 新幹線の中で、 私たちは 歩いたり、食事をしたり、 自然に振る舞える。 18
  19. 19. 第三章:力 Q4:あなたはワイルドにも、フロントガラスが ブッ壊れた自動車に乗って、 時速100kmで走っています。 シートベルトも、つけていません。 いま急ブレーキを踏む込むと、どうなるでしょうか。 19
  20. 20. 第三章:力 A4:まあ、控えめに言ってこうなりますよね。 20
  21. 21. 第三章:力 Q5:いま飛行機がまさに離陸しようとしています! 秒速10m 秒速90m この離陸直前、一気に加速を開始する瞬間に、 ボールを真上に投げ上げると何が起きるでしょう? ※良い子はマネしないで下さい 秒速10mから秒速90mまで、30秒程度で加速します。 21
  22. 22. 第三章:力 A5: 真上に投げたボールは、0.3Gくらいの 加速度で後ろに飛んで行くように見えます。 あぶない! 秒速10m 秒速90m 22
  23. 23. 第三章:力 Q6:地球を一周すると、その円周は4万kmです。 地球は一日24時間で一周回転します。 ということは、地球は赤道上では 40,000 km ÷ 24 ℎ = 1600 𝑘𝑚/ℎ = 約450[𝑚/𝑠] という超音速!で地表は移動しているはずです。 地軸が傾いているので日本では400[𝑚/𝑠]程度でしょう。 では、いま、地球が1秒で自転をやめたら、 人々はどうなるでしょうか。 秒速400m 23
  24. 24. 第三章:力 A6:重力の40倍くらいの力で 吹き飛ばされます。さよなら! 秒速0m 地球は止まり、地球が回っていた方向に 高速で吹き飛ばされる!! 24
  25. 25. 第三章:力 Q4、Q5、Q6の例から 何が分かるでしょうか。 25
  26. 26. 第三章:力 自分の乗っているものが、 加速(減速はマイナス方向の加速)する時、 ひとは「力」を感じる。 26
  27. 27. 第三章:力 「力」は乗り物の加速度と、逆の向きに感じる それは、乗り物が「加速」しても 自分はこれまで通り 等速直線運動をしようとするから。 27
  28. 28. 第三章:力 それは、乗り物が「加速」しても 自分はこれまで通り 等速直線運動をしようとするから。 28 車の外の街から、急ブレーキをかける自動車を眺めるとこうなる
  29. 29. 第三章:力 それは、乗り物が「加速」しても 自分はこれまで通り 等速直線運動をしようとするから。 29 車の中から、世界と人を眺めるとこうなる (運転している時の視点)
  30. 30. 第三章:力 乗っている車が、20[𝑚/𝑠](時速72km)で走っていて、 t = 5[𝑠]後からt = 10[𝑠]の5秒間で急ブレーキをかけ、 等加速度運動で減速し、静止したとしましょう(かなり急) 静止する車と等速直線運動をし続ける人の両方を、 𝑣 − 𝑡図でを書くとどうなるでしょう? 𝟏𝟎[𝒔] 𝟏𝟓[𝒔]𝟓[𝒔] 速度𝒗[𝒎/𝒔] 時間𝒕 [秒] 𝟓[𝒎/𝒔] 𝟏𝟎[𝒎/𝒔] 𝟏𝟓[𝒎/𝒔] 𝟐𝟎[𝒎/𝒔] 𝟎 30 練習問題
  31. 31. 第三章:力 𝟏𝟎[𝒔] 𝟏𝟓[𝒔]𝟓[𝒔] 速度𝒗[𝒎/𝒔] 時間𝒕 [秒] 𝟓[𝒎/𝒔] 𝟏𝟎[𝒎/𝒔] 𝟏𝟓[𝒎/𝒔] 𝟐𝟎[𝒎/𝒔] 𝟎 31 乗っている車が、20[𝑚/𝑠](時速72km)で走っていて、 t = 5[𝑠]後からt = 10[𝑠]の5秒間で急ブレーキをかけ、 等加速度運動で減速し、静止したとしましょう(かなり急) 静止する車と等速直線運動をし続ける人の両方を、 速度の𝑣 − 𝑡図でを書くとどうなるでしょう?
  32. 32. 第三章:力 32 𝟏𝟎[𝒔] 𝟏𝟓[𝒔]𝟓[𝒔] 加速度𝒂[𝒎/𝒔 𝟐 ] 時間𝒕 [秒] −𝟒 𝟎 𝟒 𝟖 −𝟖 乗っている車が、20[𝑚/𝑠](時速72km)で走っていて、 t = 5[𝑠]後からt = 10[𝑠]の5秒間で急ブレーキをかけ、 等加速度運動で減速し、静止したとしましょう(かなり急) 静止する車と等速直線運動をし続ける人の両方を、 加速度の𝑎 − 𝑡図でを書くとどうなるでしょう? 練習問題
  33. 33. 第三章:力 33 𝟏𝟎[𝒔] 𝟏𝟓[𝒔]𝟓[𝒔] 加速度𝒂[𝒎/𝒔 𝟐 ] 時間𝒕 [秒] −𝟒[𝒎/𝒔 𝟐 ] 𝟎 𝟒[𝒎/𝒔 𝟐] −𝟖[𝒎/𝒔 𝟐 ] −𝟖[𝒎/𝒔 𝟐 ] 乗っている車が、20[𝑚/𝑠](時速72km)で走っていて、 t = 5[𝑠]後からt = 10[𝑠]の5秒間で急ブレーキをかけ、 等加速度運動で減速し、静止したとしましょう(かなり急) 静止する車と等速直線運動をし続ける人の両方を、 加速度の𝑎 − 𝑡図でを書くとどうなるでしょう?
  34. 34. 第三章:力 乗っている車が、20[𝑚/𝑠](時速72km)で走っていて、 t = 5[𝑠]後からt = 10[𝑠]の5秒間で急ブレーキをかけ、 等加速度運動で減速し、静止したとしましょう(かなり急) 静止する車と等速直線運動をし続ける人の両方を、 位置の𝑥 − 𝑡図でを書くとどうなるでしょう? 𝟏𝟎[𝒔] 𝟏𝟓[𝒔]𝟓[𝒔] 位置𝒙[𝒎] 時間𝒕 [秒] 𝟓𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟐𝟎𝟎 𝟎 34 練習問題
  35. 35. 第三章:力 乗っている車が、20[𝑚/𝑠](時速72km)で走っていて、 t = 5[𝑠]後からt = 10[𝑠]の5秒間で急ブレーキをかけ、 等加速度運動で減速し、静止したとしましょう(かなり急) 静止する車と等速直線運動をし続ける人の両方を、 位置の𝑥 − 𝑡図でを書くとどうなるでしょう? 𝟏𝟎[𝒔] 𝟏𝟓[𝒔]𝟓[𝒔] 位置𝒙[𝒎] 時間𝒕 [秒] 𝟓𝟎[𝒎] 𝟏𝟎𝟎[𝒎] 𝟏𝟓𝟎[𝒎] 𝟐𝟎𝟎[𝒎] 𝟎 35
  36. 36. 第三章:力 視点をどこに置くか? 𝟏𝟎[𝒔] 𝟏𝟓[𝒔]𝟓[𝒔] 位置𝒙[𝒎] 時間𝒕 [秒] 𝟓𝟎[𝒎] 𝟏𝟎𝟎[𝒎] 𝟏𝟓𝟎[𝒎] 𝟐𝟎𝟎[𝒎] 𝟎 36 車を外から眺める人にとっては、 「車が急に止まった」&「人は等速直線運動 を続けようとしている」ように見える 車に乗っている人からすると 「自分が力を受け車から前に 投げ出される」ように感じる この「見かけの力」 を慣性力という シートベルトもフロント ガラスもナシで 今回みたいな急ブレーキ かけたら、5秒後には 車と50m離れている
  37. 37. 第三章:力 Q1~Q6 まとめ:力の定義 ・静止または等速直線運動をしている時、 物体の運動状態は変わっていない。 ・力とは、物体の運動状態を変えるもの。 つまり物体を加速度を生じさせるもの。 37
  38. 38. 第三章:力 力について、もっと多くのことを 見ていきましょう。 38
  39. 39. 第三章:力 摩擦のない床の上に、ソリに乗った子供が居ます。 1秒間かけて、 子供を、秒速5m まで加速して押すのと 子供を、秒速20mまで加速して押すのと どちらが大変そうですか? 39 摩擦ゼロの床。つるつる~~ 摩擦ゼロの床。つるつる~~ 𝟓[𝒎/𝒔] 20[𝒎/𝒔]
  40. 40. 第三章:力 あるいは、 秒速5m で 向かってくる子供を受け止めるのと 秒速20mで突っ込んでくる子供を受け止めるのと、 どちらをやりたいですか? 40 摩擦ゼロの床。つるつる~~ 摩擦ゼロの床。つるつる~~ 20[𝒎/𝒔] 𝟓[𝒎/𝒔] 20[𝒎/𝒔] 𝟓[𝒎/𝒔]
  41. 41. 第三章:力 加速度が大きければ大きいほど 大きな力が必要! 41
  42. 42. 第三章:力 摩擦のない床の上に、子供と自動車があります。 1秒間かけて、 子供を、秒速5mまで加速して押すのと 自動車を、秒速5mまで加速して押すのと、 どちらが大変そうですか? 42 摩擦ゼロの床。つるつる~~ 摩擦ゼロの床。つるつる~~ 𝟓[𝒎/𝒔] 𝟓[𝒎/𝒔]
  43. 43. 第三章:力 あるいは、 秒速5mで向かってくる子供を受け止めるのと 秒速5mで突っ込んでくる自動車を受け止めるのと どちらをやりたいですか? 43 摩擦ゼロの床。つるつる~~ 摩擦ゼロの床。つるつる~~ 𝟓[𝒎/𝒔] 𝟓[𝒎/𝒔]
  44. 44. 第三章:力 同じ加速度を与える時でも 重ければ重いほど「大きな力が必要」 44(左図) ArufaのBlogより加工 (右図)Huner×Hunterより加工
  45. 45. 第三章:力 「力」について見てきたこと。 45 物体に力が作用すると: 力の方向に加速度が生じる. 力が大きければ、 生じる加速度も大きい 物体の質量が大きければ 生じる加速度は小さい プラスの向きに働くと加速 マイナスの向きだと減速してた 5[m/s]まで加速するより 20[m/s]まで加速する方が 大変そうだった 子供を加速するより 自動車を加速する方が ちょう大変そうだった
  46. 46. 第三章:力 ニュートンは力学の原理として 「力」をこう定めました。 46 物体に力が作用すると、力の方向に加速度を生じる。 加速度は ・その物体が受ける力に比例し、 ・物体の質量に逆比例する。 これを、数式で書くとどうなるでしょうか?
  47. 47. 第三章:力 「力とは、物体に加速度を生じさせるものです。」 運動方程式 このニュートンの見出した法則を、式に直すと 力 = 質量 × 加速度 英語にすると 力はForce, 質量はmass, 加速度はacceleration なので頭文字をとります。 運動方程式 𝐹 = 𝑚 𝑎 (← ちょー重要!) 47方程式とは、=を含む式のことでした。
  48. 48. 第三章:力 力に「単位」をつけてみよう!! 運動方程式 力はForce, 質量はmass, 加速度はaccelerationとして [𝑘𝑔] [𝑚/𝑠2] 𝐹 = 𝑚 𝑎 [𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠2 ] この力の単位[𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠2 ]は長いので N ニュートン と呼びます。 ニュートンは、力学に於ける最も基本的な単位のひとつです。 重さの単位 加速度の単位 48
  49. 49. 第一章:位置と時間 「物理法則」とは、なにか 法則とは、世界を説明する「よい説明」のことです。 ニュートンは、落ちるリンゴも、走る馬車にも、 地球の周りを月が廻ることにも「同じ説明」を与えました。 世界に隠された 「真理」「構造」 の発見・仮説 観測事実 実験と結果 未来予測と検証 帰納 モデル化・数式化 演繹 帰納・修正 ・加速減速で力を感じる ・摩擦が無いと物体は 等速直線運動を続ける 49
  50. 50. 第三章:力 力について、さらに多くのことを 見ていきましょう。 壁に力をかけ、壁を押すと、 どうなるでしょうか 50
  51. 51. 第三章:力 |作用・反作用の法則 壁を、徐々に力を込めて押してみてください 壁に及ぼす力、壁に及ぼされる力 51 人から壁への力
  52. 52. 第三章:力 |作用・反作用の法則 壁から、押し返される力を感じませんか? 壁に及ぼす力、壁に及ぼされる力 52 壁から人への力 人から壁への力(作用)
  53. 53. 第三章:力 |作用・反作用の法則 しかも、力をいれれば入れるほど 押し返される力も大きくなるはずです 壁に及ぼす力、壁に及ぼされる力 53 壁から人への力 人から壁への力(作用)
  54. 54. 第三章:力 |作用・反作用の法則 力は壁から、真っ直ぐに跳ね返ってくるのであって、 真っ直ぐ押したのに 上から下に押し返されたりはしないはずです。 壁に及ぼす力、壁に及ぼされる力 54 壁から人への力 人から壁への力(作用)
  55. 55. 第三章:力 つまり、こういうことです。 「すべての力の作用に対して, 等しく、かつ反対向きの反作用が常に存在する」 55
  56. 56. 第三章:力 作用・反作用の法則 𝐹1 = 人から壁への力(作用)𝐹2 = 壁から人への力(反作用) 𝐹1 = 𝐹2 :大きさが等しい 𝐹1 = −𝐹2:向きが反対の 56 「すべての作用に対して, 等しく、かつ反対向きの反作用が常に存在する」
  57. 57. 第三章:力 なぜ、壁は動かないのか? ③作用・反作用の法則 𝐹1 = 人から壁への力(作用) 𝐹1 = 𝑚𝑎 めっちゃ重い!質量𝑚がおっきい! だから、人間クラスの力では、動きにくい!! 57
  58. 58. 第三章:力 ③作用・反作用の法則 𝐹2 = 壁から人への力(反作用) 人は、力を大きくすると、動きますよね。 𝐹2 = 𝑚𝑎 こっちのmは人の質量。 58
  59. 59. 第三章:力 なぜ人は、ジャンプしていると落ちるのに 地面の上だと落ちないのだろうか? 地面に立っている人も、ジャンプしている人も、 重力を受けている。 なぜ、地面の上に立っている人は、それ以上落ちないのだろう? 59
  60. 60. 第三章:力 なぜ人は、ジャンプしていると落ちるのに 地面の上だと落ちないのだろうか? 地面が人を支えている。この地面から人への力を「垂直抗力」と言う。 この垂直抗力は「人が地面を押す力」の反作用なので、 「人が地面を押す力」と「同じ大きさで逆方向」になる。 この垂直抗力の大きさが人に掛かる重力と釣り合った時、 人は落ちずにすむ。(地面が泥沼だと、垂直抗力が足りずに沈む) 60 垂直抗力 (地面が人を押し返す力) 人が地面を押す力 人に掛かる重力
  61. 61. 第三章:力 「力」のまとめ 61
  62. 62. 第三章:力 これまで学んできた「力」の概念は、 実はニュートンが、 ガリレオ・ガリレイ、ケプラー、 デカルト、ホイヘンス等の思索の上に 「力学原理」として まとめた「運動の3法則」の概念。 62
  63. 63. 第三章:力 ニュートン Sir Isaac Newton (1642 –1726) Natural Philosopher, Alchemist, 63
  64. 64. • [①慣性の法則] 外から力が作用しなければ,物体は静止したままか,等速度直線運動をする • [②運動方程式] 物体に力が作用すると,力の方向に加速度を生じる.加速度はその物体が受け る力に比例し,物体の質量に逆比例する • [③作用・反作用の法則] すべての作用に対して,等しく,かつ反対向きの反作用が常に存在する 第三章:力 ニュートン「運動の3法則」まとめ 𝐹1 = −𝐹2 運動方程式 𝐹 = 𝑚 𝑎 64
  65. 65. 第三章:力 いま、机の上に静止した りんご があります。 りんご と机に働く「力」をすべて、図に書けますか? 公式を憶えても物理では戦えない。 人生で体験してきた「物理―物のことわり」を、活用しよう。 机 地面 65
  66. 66. 第三章:力 「力」を図示する戦略があります 戦略①「分解して書くと混乱しにくい」 机 地面 机 地面 66 練習問題
  67. 67. 第三章:力 また、最初は2種類の力だけを考えよう 力には、幾つかの種類があります。 今の段階では、次の2種類の力だけを考えます。 ①接触力…1つ ・垂直抗力 ②遠隔力…1つ ・地球上の重力 地球上に居る限り、接触してなくても働く 力です。重心から地面に垂直な矢印を書き ます。 地面の上に居なくても、重力は働きます。 (だから、ジャンプすると落ちる) 「垂直抗力」とは、物理的に触れて いる点で発生する「反作用力」です。 ・物体を押している人からすると、 物体が自分を押し返す力。 ・地面に立っている人からすると、 地面が自分を押し返す力。 反作用力なので、考えている 物体の方向を向いています。 67
  68. 68. 第三章:力 「力」を図示する戦略があります 戦略②「二種類しか無い力を、順番に考えよう」 1.遠隔力(地球の重心に向かって重力が働く) 2.接触力(くっついてるところで力が働く) まず、1.の重力から考えます。 リンゴに、重力が働いています。 机に、重力が働いています。 𝐹𝐺𝑎とか書いてるのは、力Fと書くと様々な力の 見分けがつかないので、右下に「添字」をつけて、 Force(力)のGravity(重力)でapple(リンゴ)に働くやつ、 というくらいの意味でつけてます。 机 地面 𝐹𝐺𝑟:リンゴに掛かる重力 𝐹𝐺𝑑:机に掛かる重力 68
  69. 69. 第三章:力 「力」を図示する戦略があります 戦略③「物体の運動(物理)を考えよう」 いま、リンゴは静止しているそうです。 ということは、リンゴに外から掛かる力は、 トータルでゼロ。 つまり「つりあっている」はずです。 いまは、遠隔力は重力だけなので、 接触力を考えましょう。 いま、リンゴに接触しているのは、 机だけです。 だから机がリンゴに「垂直抗力」を くれているはずです。 机 地面 𝐹𝐺𝑟:リンゴに掛かる重力 𝐹𝐺𝑑:机に掛かる重力 𝐹 𝑁𝑑𝑟:机からの垂直抗力 69
  70. 70. 第三章:力 「力」を図示する戦略があります 戦略④「作用・反作用を考えよう」 さきほど、机がリンゴに及ぼす 「垂直抗力」を考えました。 「垂直抗力」の「反作用」として 同じ大きさの力が、 逆向きに働くはずです。 机 地面 𝐹𝐺𝑟:リンゴに掛かる重力 𝐹𝐺𝑑:机に掛かる重力 𝐹 𝑁𝑑𝑟:机からの垂直抗力 リンゴへの 垂直抗力の 反作用 𝐹 𝑁𝑟𝑑 70
  71. 71. 第三章:力 「力」を図示する戦略があります この戦略を、今度は机に使ってみましょう。 戦略③「物体の運動(物理)を考えよう」 机はいま、静止しているそうです。 しかし、 リンゴへの垂直抗力の反作用𝐹 𝑁𝑟𝑑と 机に掛かる重力𝐹𝐺𝑑を受けています。 地面がそれと釣り合う 接触力をくれているはずです。 これが、地面から机への 垂直抗力です。 机 地面 𝐹𝐺𝑟:リンゴに掛かる重力 𝐹𝐺𝑑:机に掛かる重力 𝐹 𝑁𝑑𝑟:机からの垂直抗力 リンゴへの 垂直抗力の 反作用 𝐹 𝑁𝑟𝑑 𝐹 𝑁𝐸𝑑:地面から 机への垂直抗力 71
  72. 72. 第三章:力 分解した「力」を検証してみましょう。 𝐹𝐺𝑟:リンゴに掛かる重力 𝐹 𝑁𝑑𝑟:机からの垂直抗力 机 𝐹𝐺𝑑:机に掛かる重力 リンゴへの 垂直抗力の 反作用 𝐹 𝑁𝑟𝑑 𝐹 𝑁𝐸𝑑:地面から 机への垂直抗力 𝐹 𝑁𝑑𝑟 𝐹𝐺𝑟 𝐹𝐺𝑟と𝐹 𝑁𝑑𝑟は 同じ大きさで 逆方向の力なので 釣り合っています。 𝐹 𝑁𝐸𝑑 𝐹𝐺𝑑 𝐹 𝑁𝑟𝑑 𝐹 𝑁𝐸𝑑と、 𝐹 𝑁𝑟𝑑と𝐹𝐺𝑑の合計は 同じ大きさで 逆方向の力なので 釣り合っています。 72
  73. 73. 第三章:力 「力」を図示する戦略 まとめ 戦略①「分解して書くと混乱しにくい」 戦略②「二種類しか無い力を、順番に考えよう」 接触力(まずは垂直抗力だけ)、遠隔力(重力だけ) 戦略③「物体の運動(物理)を考えよう」 釣り合っているなら、方向も含めた力を 合計すると0になるはず 戦略④「作用・反作用を考えよう」 必ず反対向きで同じ大きさの力がある (地球自体を考えない時は、重力の反作用は描かなくていい) 73
  74. 74. 第三章:力 練習問題:緑の板に働く力を図に書けますか 74 練習問題
  75. 75. 第三章:力 練習問題:緑の板に働く力を図に書けますか 重力 ①重力(地球の重心に向かって重力が働く) ②接触力(くっついてるところで力が働く) 垂直抗力垂直抗力 75
  76. 76. 第三章:力 ところで、リンゴに掛かる重力の反作用は?? 𝐹𝐺𝑟:リンゴに掛かる重力 ニュートンはこう言いました。 「すべての作用に対して、等しくかつ反対向きの反作用が常に存在する」 リンゴに掛かる重力も「作用」だとすると、その「反作用」ってなんでしょう? 76
  77. 77. 第三章:力 ところで、リンゴに掛かる重力の反作用は?? リンゴに掛かる重力 リンゴに掛かる 重力の反作用 「地球がリンゴに及ぼす力」の反作用は 「リンゴが地球に及ぼす力」です。 リンゴと地球は、同じ力で引き合っている。 リンゴが地球に落ちる時、地球もまたリンゴに落ちています。 77
  78. 78. 附録 78
  79. 79. 第三章:力 ベクトル ベクトルを極める 79
  80. 80. 第三章:力 「物理」には「ベクトル」が必要だ! 𝐹𝐺𝑟:リンゴに掛かる重力 𝐹 𝑁𝑑𝑟:机からの垂直抗力 物理では、大きさだけではなく 方向を持つ量「ベクトル」が あらゆるところで出現します。 力、速度、加速度… 多くの物理量は「方向」を 持つからです。 これまでも簡単に「ベクトル」に 触れてきましたが、 ここからは本格的にベクトルの話をします。 80
  81. 81. 第三章:力 ベクトルを極める その① ベクトルの特徴 81
  82. 82. 第三章:力 𝐹 = m 𝑎 zzzz この式さえあれば、 後は全部ここから導出できる 82
  83. 83. 第三章:力 加速度を極める zzzz 83
  84. 84. 第三章:力 加速度、速度、位置 zzzz 84
  85. 85. 第三章:力 加速度を示す𝑎 − 𝑡グラフ zzzz 85
  86. 86. 第三章:力 次元解析 86
  87. 87. 第三章:力 運動方程式はどう立てる? zzzz 87
  88. 88. 第三章:力 三角関数、はじめましょうか zzzz 88
  89. 89. 第三章:力 単位円のロンド zzzz 89
  90. 90. 第三章 エネルギー、仕事、ポテンシャル! 90
  91. 91. 第三章:力 エネルギー保存則 zzzz 91
  92. 92. 第四章 運動量と力積! 92
  93. 93. 第三章:力 運動量保存則 zzzz 93
  94. 94. 第三章:力 保存則は方程式だ! 保存する、ということは なにかの「後と前で変わらない」ということ。 だから、 後 = 前 という等式が生じる。 一番最初に余談②で見てきた通り、 等式の解を見つけるのが、方程式を解くということだった。 物理学を数学的に解くにはだから、方程式が大事。 94
  95. 95. 等速度運動でない場合の取扱 95
  96. 96. 0秒後 2秒後 3秒後1秒後 速度𝒗 [m/s] 時間𝒕 [秒] −𝟏𝒎/𝒔 𝟎𝒎/𝒔 𝟏𝒎/𝒔 𝟐𝒎/𝒔 −𝟐𝒎/𝒔 第一章:位置と時間 1次関数と傾き 𝑥 − 𝑡図と𝑣 − 𝑡図の対応 _ 0秒後 2秒後 3秒後1秒後 位置𝒙 [m] 時間𝒕 [秒] 𝟏𝒎 𝟐𝒎 𝟑𝒎 𝟒𝒎 𝟎𝒎 今度は逆に、下の 𝑣 − 𝑡図に対応する 𝑥 − 𝑡図を描いてみましょう。 まずは、 𝑣 − 𝑡図の「意味」を 日本語で書いて見て下さい: 0~1秒 「 」 1~2秒 「 」 2~3秒 「 」 96
  97. 97. 0秒後 2秒後 3秒後1秒後 速度𝒗 [m/s] 時間𝒕 [秒] −𝟏𝒎/𝒔 𝟎𝒎/𝒔 𝟏𝒎/𝒔 𝟐𝒎/𝒔 −𝟐𝒎/𝒔 第一章:位置と時間 1次関数と傾き 𝑥 − 𝑡図と𝑣 − 𝑡図の対応 _ 0秒後 2秒後 3秒後1秒後 位置𝒙 [m] 時間𝒕 [秒] 𝟏𝒎 𝟐𝒎 𝟑𝒎 𝟒𝒎 𝟎𝒎 𝑣 − 𝑡図の「意味」: 0~1秒 「0m/sから2m/sに 一秒かけて加速」 1~2秒 「2m/sで等速直線運動」 2~3秒 「2m/sから0m/sに 一秒かけて減速」 先ほど「 𝑣 − 𝑡図の面積が」 「 𝑥における移動距離」とま なびました。 97
  98. 98. 0秒後 2秒後 3秒後1秒後 速度𝒗 [m/s] 時間𝒕 [秒] −𝟏𝒎/𝒔 𝟎𝒎/𝒔 𝟏𝒎/𝒔 𝟐𝒎/𝒔 −𝟐𝒎/𝒔 0秒後 2秒後 3秒後1秒後 位置𝒙 [m] 時間𝒕 [秒] 𝟏𝒎 𝟐𝒎 𝟑𝒎 𝟒𝒎 𝟎𝒎 第一章:位置と時間 1次関数と傾き 𝑥 − 𝑡図と𝑣 − 𝑡図の対応 _ 先ほど「 𝑣 − 𝑡図の面積が」 「 𝑥における移動距離」と 学んだので、面積を計算して みましょう。 𝟏[𝒔] 𝟐[𝒎/𝒔] 𝟐[𝒎/𝒔] 𝟐[𝒎/𝒔] 𝟏[𝒎] 𝟏[𝒎] 𝟐[𝒎] 98
  99. 99. 0秒後 2秒後 3秒後1秒後 速度𝒗 [m/s] 時間𝒕 [秒] −𝟏𝒎/𝒔 𝟎𝒎/𝒔 𝟏𝒎/𝒔 𝟐𝒎/𝒔 −𝟐𝒎/𝒔 0秒後 2秒後 3秒後1秒後 位置𝒙 [m] 時間𝒕 [秒] 𝟏𝒎 𝟐𝒎 𝟑𝒎 𝟒𝒎 𝟎𝒎 第一章:位置と時間 1次関数と傾き 𝑥 − 𝑡図と𝑣 − 𝑡図の対応 _ 先ほど面積を計算できたので 意味を考えながら、 図に移し替えてみましょう! 𝟏[𝒔] 𝟐[𝒎/𝒔] 𝟐[𝒎/𝒔] 𝟐[𝒎/𝒔] 𝟏[𝒎] 𝟏[𝒎] 𝟐[𝒎] 99
  100. 100. 0秒後 2秒後 3秒後1秒後 速度𝒗 [m/s] 時間𝒕 [秒] −𝟏𝒎/𝒔 𝟎𝒎/𝒔 𝟏𝒎/𝒔 𝟐𝒎/𝒔 −𝟐𝒎/𝒔 0秒後 2秒後 3秒後1秒後 位置𝒙 [m] 時間𝒕 [秒] 𝟏𝒎 𝟐𝒎 𝟑𝒎 𝟒𝒎 𝟎𝒎 第一章:位置と時間 1次関数と傾き 𝑥 − 𝑡図と𝑣 − 𝑡図の対応 _ 先ほど面積を計算できたので 意味を考えながら、 図に移し替えてみましょう! 𝟏[𝒔] 𝟐[𝒎/𝒔] 𝟐[𝒎/𝒔] 𝟐[𝒎/𝒔] 𝟏[𝒎] 𝟏[𝒎] 𝟐[𝒎] +𝟏[𝒎] +𝟐[𝒎] +𝟏[𝒎] 100
  101. 101. 0秒後 2秒後 3秒後1秒後 速度𝒗 [m/s] 時間𝒕 [秒] −𝟏𝒎/𝒔 𝟎𝒎/𝒔 𝟏𝒎/𝒔 𝟐𝒎/𝒔 −𝟐𝒎/𝒔 0秒後 2秒後 3秒後1秒後 位置𝒙 [m] 時間𝒕 [秒] 𝟏𝒎 𝟐𝒎 𝟑𝒎 𝟒𝒎 𝟎𝒎 第一章:位置と時間 1次関数と傾き 𝟏[𝒎] +𝟏[𝒎] +𝟐[𝒎] +𝟏[𝒎] 時間を細かくとって、確かめてみよう 101
  102. 102. 第一章:位置と時間 ベクトル速習: ベクトルの成分表示 やりましょう。 2 31 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟎 4 点𝐴 (1,1) 点𝐵 (2,3) 点𝐶 (4,1) 102
  103. 103. 第三章:力 ①慣性の法則 「外から力が作用しなければ、 物体は静止したままか、等速度直線運動をする」 ここに、等「速度」と書きました。一章で見たように 「速さ」と「速度」は違うものです。 速さは大きさをもつ量。速度は大きさと向きをもつ量でした。 では、同じ「速さ」のまま 「方向」だけ変えると「速度」が変わるはずです。 103
  104. 104. 第三章:力 ①慣性の法則 「外から力が作用しなければ、 物体は静止したままか、等速度直線運動をする」 その時人は、慣性の法則に従って、真っ直ぐ「等速度直線運動」を しようとしているのです。けれども車がカーブを曲がる。 だからドアに押し付けられる。 もしドアが無ければ、つまり、ドアがあなたに力をくれなければ、 急カーブの時車から放り出されてしまいます。 その放り出される方向は、急カーブの前に進んでいた方向です。 カーブを曲がる車に乗っている時が、例えばそうです。 「遠心力」を感じることがあると思います。 104
  105. 105. 推薦図書 • 虚数の情緒 • 『いかにして問題を解くか』 • 科学者と技術者のための物理学Ia • 山本 義隆『新・物理入門』 105
  106. 106. 以下、メモ 106
  107. 107. 第三章:力 107
  108. 108. 第三章:力 リンゴが地球に落ちるとき 地球もリンゴに落ちている 108
  109. 109. 第三章:力 天才ニュートンは、力学に於ける何を明らかにしたのか? 万有引力の法則を見出した! • [万有引力の法則] 「2つの物体の間には、物体の質量に比例し 2物体間の距離の2乗に反比例する引力が作用する」 その為に運動の3法則を定式化した! [①慣性の法則] [②運動方程式] [③作用・反作用の法則] 109
  110. 110. 第三章:力 運動の3法則 その① 慣性の法則って? 110
  111. 111. 第三章:力 ①慣性の法則 摩擦ゼロの床。つるつる~~ 111
  112. 112. 第三章:力 ①慣性の法則 「外から力が作用しなければ、 物体は静止したままか、等速度直線運動をする」 別の言葉で言うと、 「動いているものは、同じ速度で動き続けようとします」 速度を変える為には、外から力を作用させなくてはならない。 「車は急に止まれない」です。 ブレーキという、進行方向と逆側に働く力が働いた時 車は減速します。 112
  113. 113. 第三章:力 ①慣性の法則 「外から力が作用しなければ、 物体は静止したままか、等速度直線運動をする」 高速で走っている車に乗っていて、 急ブレーキが掛かったら、どうなりますか? 前に投げ出されるような力を感じると思います。 もし、シートベルトをしていなくて、 車のフロントガラスが無かったら、本当に車外に投げ出されます。 これは、車の外から見ている人からすると、 「乗っている人が、同じ速度で動き続けようとしている」からです。 113
  114. 114. 第三章:力 ①慣性の法則 「外から力が作用しなければ、 物体は静止したままか、等速度直線運動をする」 エアホッケーでは、 ホッケーの円盤(パック)を打ち込むと、 ながい間、同じ速度で動いています。 通常の生活空間と違って摩擦という力が あまり働かないからです。 摩擦という力が無ければ、既に動いている物は 「等速度直線運動をする」のです。 114
  115. 115. 第三章:力 運動の3法則 その②運動方程式 115
  116. 116. 第三章:力 力とは何でしょうか ②運動方程式 116
  117. 117. 第三章:力 「力とは、物体に加速度を生じさせるものです。」 力とは何でしょうか ②運動方程式 𝐹 = 𝑚 𝑎 117
  118. 118. 第三章:力 「力とは、物体に加速度を生じさせるものです。」 自動車でアクセルを踏み込んだことのある人は誰でも、 車が「どんどん速くなっていく」つまり「加速していく」ことを 知っていると思います。 特に、公道から高速道路に合流する時、時速60kmから 時速100kmまでアクセルを踏み込んで加速する時です。 あれは、車のエンジンが燃料を燃やして、 「力」を供給しているからです。 力とは何でしょうか ②運動方程式 118
  119. 119. 第三章:力 「力とは、物体に加速度を生じさせるものです。」 ②運動方程式 どっちを加速するのが、大変そうですか? 摩擦ゼロの床。つるつる~~ 摩擦ゼロの床。つるつる~~ 第一章で触れたように「法則」とは「よい説明」です ニュートンが発見したのは、力を質量×加速度で定義すると 「よい説明」になりそうだ、ということでした。 私達も感覚としては「そうなりそうだ」と理解できると思います。 重いよ 軽いよ 119
  120. 120. 第三章:力 「力とは、物体に加速度を生じさせるものです。」 ②運動方程式 物体に力が作用すると,力の方向に加速度を生じる. 加速度はその物体が受ける力に比例し,物体の質量に逆比例する。 120
  121. 121. 第三章:力 「力とは、物体に加速度を生じさせるものです。」 ②運動方程式 このニュートンの見出した法則を、式に直すと 力 = 質量 × 加速度 英語にすると 力はForce, 質量はmass, 加速度はacceleration なので頭文字をとります。 運動方程式 𝐹 = 𝑚 𝑎 (← ちょー重要!) このように力は、質量と加速度の関係で定義されます。 これは、ニュートンが観察し実験し検証した「法則」です。 121
  122. 122. 第三章:力 力に「単位」をつけてみよう!! ②運動方程式 力はForce, 質量はmass, 加速度はaccelerationとして [𝑘𝑔] [𝑚/𝑠2] 𝐹 = 𝑚 𝑎 [𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠2 ] この力の単位[𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠2 ]は長いので N ニュートン と呼びます。 ニュートンは、力学に於ける最も基本的な単位のひとつです。 重さの単位 加速度の単位 122
  123. 123. 第三章:力 運動の3法則 その③ 作用・反作用の法則 123
  124. 124. 第三章:力 壁を、徐々に力を込めて押してみてください 作用・反作用の法則 124
  125. 125. 第三章:力 壁を、徐々に力を込めて押してみてください ③作用・反作用の法則 「すべての作用に対して, 等しく,かつ反対向きの反作用が常に存在する」 𝐹1 = 人から壁への力(作用)𝐹2 = 壁から人への力(反作用) 𝐹1 = 𝐹2 :大きさが等しい 𝐹1 = −𝐹2:向きが反対の 125
  126. 126. 第三章:力 なぜ、壁は動かないのか? ③作用・反作用の法則 𝐹1 = 人から壁への力(作用) 𝐹1 = 𝑚𝑎 めっちゃ重い!質量𝑚がおっきい! だから、人間クラスの力では、動きにくい!! 126
  127. 127. 第三章:力 ③作用・反作用の法則 𝐹2 = 壁から人への力(反作用) 人は、力を大きくすると、動きますよね。 𝐹2 = 𝑚𝑎 こっちのmは人の質量。 127
  128. 128. 第三章:力 なぜ人は、ジャンプしていると落ちるのに 地面の上だと落ちないのだろうか? 地面に立っている人も、ジャンプしている人も、 重力を受けている。 なぜ、地面の上に立っている人は、それ以上落ちないのだろう? 128
  129. 129. 第三章:力 なぜ人は、ジャンプしていると落ちるのに 地面の上だと落ちないのだろうか? 地面が人を支えている。 この地面から人への力を「垂直抗力」と言う。 この垂直抗力は 人に掛かる重力と同じ大きさで逆方向 ←「③作用反作用の法則」 129

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