Nociones basicas de Algebra

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Nociones básicas de Álgebra. Para presentar a alumnos de Enseñanza Secundaria Obligatoria.

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Nociones basicas de Algebra

  1. 1. Álgebra básica UN POCO DE HISTORIA El origen de la palabra ALGEBRA está en el libro titulado Al-jabr wa'l muqabalah escrito por el árabe Al-Hwarizmi en el s. IX. En él se exponen los métodos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado casi como ahora, excepto que no usa números negativos, por lo que sólo se resuelven ecuaciones de 2º grado con coeficientes positivos.
  2. 2. Índice de temas • Monomios • Ecuaciones • Sistemas • Problemas
  3. 3. Monomios 1/3 Un monomio es un producto de cifras y letras. Ejemplo: 3b3c2 Los números se llaman COEFICIENTES. Las letras forman la PARTE LITERAL. El grado del monomio es el número de letras que contiene. Ejemplo: 3b3c2 tiene grado 5 (bbbcc). Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. Ejemplo: 3x3 y -5x3 son semejantes. Sólo los monomios semejantes se pueden sumar/restar: basta sumar/restar únicamente las cifras.
  4. 4. Monomios 2/3 Sin embargo, para multiplicar/dividir los monomios no necesitan ser semejantes: Se operan las cifras y también las letras, aplicando las reglas de las potencias de la misma base. Ejemplo de suma/resta: 3x3-5x3 =-2x3 porque 3-5=-2 Ejemplo de multiplicación: 3x3·(-5x2) =-15x5 porque 3·(-5)=-15 y x3·x2=x5 Ejemplo de división: 12x3y4 :(-3x2y2) =-4xy2 porque 12:(-3)=-4, x3 : x2=x3-2=x1=x; y4 : y2=y4-2=y2
  5. 5. Monomios 3/3 Un polinomio es la suma de monomios no semejantes. Si la suma tiene 2/3 términos se llama binomio/trinomio. Los polinomios se suman sumando sus monomios semejantes. Los polinomios se multiplican multiplicando cada monomio de uno por cada monomio del otro. Si P(x)=2x+1 y Q(x)=3x-5 Ejemplo de suma P+Q: (2x+1)+(3x-5)=(2x+3x)+(1-5)=5x-4 Ejemplo de multiplicación P·Q: (2x+1)·(3x-5)=(2x·3x+2x·(-5))+(1·3x+1·(-5))= 6x2-10x+3x-5=6x2-7x-5
  6. 6. Ecuaciones 1/3 Evaluar un polinomio es calcular cuanto vale cuando cambiamos las letras por números concretos. Ej: 3x2+1 vale 13 cuando x=2 porque 3·22+1=3·4+1=13 Una ecuación es una igualdad de polinomios. Un ecuación de primer/segundo grado es un polinomio de primer/segundo grado que vale 0. Ej: 3x-9=0 es una ecuación de 1er grado. Ej: x2-5x+6=0 es una ecuación de 2o grado. Resolver una ecuación es hallar los valores de las letras que la hacen cierta. Estos valores se llaman soluciones.
  7. 7. Ecuaciones 2/3 PRINCIPIO BÁSICO DEL ÁLGEBRA: Las soluciones de una ecuación no varían si realizamos la misma operación en ambos lados. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO: La ecuación de primer grado tiene forma general ax+b=0 y su solución es x=-b/a. Ej: La solución de 3x-9=0 es x=9/3=3 porque a=3 y b=-9 En la práctica, para despejar x: como -9 está restando a x pasa al otro lado sumando: 3x=9 como 3 está multiplicando pasa al otro lado dividiendo: x=9/3=3. Para quitar denominadores se multiplica por su Ej: La ec. x/3-1/2=0 es m.c.m. a 6·(x/3-1/2)=2x-3=0 equivalente
  8. 8. Ecuaciones 3/3 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE 2º GRADO: La ecuación de 2º grado tiene forma general ax2+bx+c=0 y sus dos soluciones son Ej: Como en 2x2-7x+3=0 los coeficientes son a=2, b=-7, c=3 las dos soluciones serán Esto es, X1=3 y x2=1/2 . Las ecuaciones ax2+bx=0 y ax2+c=0 se dicen incompletas.
  9. 9. Sistemas 1/3 Un sistema es un conjunto de ecuaciones con varias incógnitas. Estudiaremos los de 2 ecuaciones con 2 incógnitas: x e y. Una solución del sistema es un conjunto de valores de las incógnitas que hacen ciertas todas las ecuaciones. Existen varios métodos de resolución de sistemas. Estudiaremos 2: el de sustitución y el de reducción Con este ejemplo: x+3y=9 (ec. I) -x-2y =1 (ec. II)
  10. 10. Sistemas 2/3 MÉTODO DE SUSTITICIÓN: 1) Se despeja una incógnita de una ecuación. Ej: la x en la ec. I: x=9-3y (I bis) 2) Se sustituye el valor de dicha incógnita en la otra ecuación, quedando una ec. en la otra incógnita Ej: En la ec. II -x-2y=1: -9+3y-2y=1 (II bis) 3) Se resuelve la ecuación en la otra incógnita Ej: De la ec. II bis: -9+3y-2y=1 luego y=1+9=10 4) Se obtiene el valor de la incógnita elegida en 1) Ej: De la ec. I bis: x=9-3y=9-3·10=-21
  11. 11. Sistemas 3/3 MÉTODO DE REDUCCIÓN: 1) Se multiplican las ecuaciones por coeficientes convenientes para que una incógnita quede con el mismo coeficiente y signo contrario. Multiplicada ec. I por 1: x+3y=9 (ec. I') Multiplicada ec. II por 1: -x-2y =1 (ec. II') 2) Se suman las nuevas ecuaciones quedando una ec. en la otra incógnita que se resuelve (ec. I'+ec. II') 3y-2y=y=9+1=10 3) Se resuelve por sustitución la incógnita eliminada usando cualquier ecuación: En ec. I': X+3·10=9 luego x=9-30=-21
  12. 12. Problemas 1/3 Una cantidad de 217 € está formada por el mismo número de monedas de 2 € y billetes de 5 €. ¿Cuál? Solución: 1)Identificamos qué hemos de hallar: Sea x dicho número. 2)Interpretamos la información dada: 2x y 5x será la cantidad en monedas y billetes, respectivamente, con lo que debe ser 2x+5x=217, ecuación de 1er grado a resolver. 3) Resolvemos la ecuación: 2x+5x=7x=217 luego x=217/7=31. El nº de monedas y billetes es de 31. 4) Comprobamos la solución hallada:
  13. 13. Problemas 2/3 Los lados de un triángulo rectángulo son 3 enteros consecutivos. ¿Cuáles? Solución: 1)Identificamos qué hemos de hallar: Sean x-1,x,x+1 dichos números. 2)Interpretamos la información dada: Por el teor. de Pitágoras se debe cumplir que (x-1)2+x2=(x+1)2. 3) Planteamos y resolvemos la ecuación de 2º grado: x2-2x+1+x2=x2+2x+1, i.e., x2-4x=x(x-4)=0 de donde x=4 ó x=0 (no tiene sentido). Si x=4 los lados son 3,4 y 5. 4) Comprobamos la solución hallada: 32+42=9+16=25=52.
  14. 14. Problemas 3/3 Descomponer 357 en dos partes que sean entre si como 6 es a 11. Solución: 1)Identificamos qué hemos de hallar: Sean x e y los números. 2)Interpretamos la información dada: x+y=357 x/6=y/11, luego 6y=11X. 3) Resolvemos el sistema por reducción multiplicando la 1ª ecuación por 6 y restando: 6x+6y-6y=6·357-11x. Luego 17x=6·357 y x=6·357/17=6·21=126. Por tanto y=231. 4) Comprobamos la solución hallada: 126/6=21=231/11.
  15. 15. Para saber más Visita la página www.pppst.com Visita la página de recursos del CNICE Visualiza el video que aquí se enlaza Visita mi Aula virtual en construcción
  16. 16. Autor Rafael Valldecabres Rodrigo Matemáticas 1º, 2º y 3º ESO

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