1. Escola Básica de Paços de Ferreira
Trabalho realizado por:
João Sampaio Nº12 7ºc
Júlio Carvalho Nº14 7ºc
Disciplina: Matemática Ano Lectivo:2011/2012

2. 1-Capa
2-Índice
3-Introdução
4-Vida de Fibonacci
5-Obras de Fibonacci
6-Sequência de Fibonacci
7- O número de ouro e Fibonacci
8-A relação entre a sequência de Fibonacci e o número de ouro
9-Pintura e Arte
10-Moluscos
11- Plantas
12-Música
13- Problema dos coelhos
14- Resolução das páginas 134 e 135

3. Introdução
 Com este trabalho pretendemos que fiquem a
saber mais sobre a vida de Fibonacci.

4. •O seu nome completo era Leonardo de Pisa.
•Nasceu em Pisa (Itália) por volta de 1175.
•Desde muito jovem Leonardo visitou o Oriente e o Norte de
África, onde o sistema de numeração hindu era já largamente
usado.
•Ao longo das suas viagens conheceu a obra de al-Khwarismi e
assimilou numerosas informações aritméticas e algébricas que
compilou no seu primeiro livro " Liber Abacci", que teve uma
enorme influência para a introdução na Europa do sistema de
numeração hindu-Árabe.
•Foi neste livro que Fibonacci introduziu o conceito dos números
de Fibonacci e da sucessão de Fibonacci, tema do nosso
trabalho.

5. • Escreveu depois " Pratica Geometriae " onde
analogamente descreve as suas recolhas sobre
Geometria e Trigonometria.
• Difundiu nos seus livros, os saberes
matemáticos de origem indiana e árabe e
estudou as operações elementares, assim como
os números naturais, a decomposição de
números em fatores primos, as frações e as
equações entre outros.
• Mas a conceção que Fibonacci apresentou no
seu livro "Liber Abacci" conhecido agora como
os números de Fibonacci foi o que mais o
popularizou entre os outros matemáticos da sua
época.

6.  Fibonacci escreveu cinco obras: quatro livros e uma que foi
preservada como carta.
 Os quatro livros de Fibonacci:
 Liber Abacci: 1202.
 Foi revisto em 1228. Foi neste livro que Fibonacci falou pela
primeira vez do problema dos coelhos.
 Pratica Geometriae: 1220.
 Este é um livro sobre geometria.
 Flos: 1225.
 Liber quadratorum: 1225.
 É o maior livro que Fibonacci escreveu.

7. Dentre todos os mistérios da Matemática, a sequência de Fibonacci é considerada uma
das mais fascinantes descobertas da história. A sequência de números proposta pelo
matemático italiano Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, possui o
numeral 1 como o primeiro e o segundo termo da ordem, e os elementos seguintes são
originados pela soma de seus dois antecessores, observe:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181...
Analisada como uma sequência numérica, ela não passa de uma simples organização de
numerais que recebem um toque de lógica matemática. Mas o que faz dessa ordem de
números, uma descoberta especial, é a sua ligação com os fenômenos da natureza e o
valor aproximado da constante 1,6, quociente da divisão entre um número e seu
antecessor na sequência, a partir do número 3.
Os grandes estudiosos sempre procuraram a proporção ideal a ser aplicada nas
construções e nas artes. E foi com esse propósito que os gregos criaram o retângulo de
ouro e os egípcios construíram suas pirâmides.

8.  O fascínio pelo número de ouro, data de há mais de 2 000
anos. Os "antigos" aperceberam-se que a arte e a arquitectura
baseadas na razão de ouro, eram invulgarmente agradáveis à
vista. A razão de ouro começou por ser definida em termos
geométricos
 O número de ouro pode ser encontrado através da razão da
largura e do comprimento de um rectângulo de ouro.
 Mas antes de prosseguirmos, iremos explicar o que se entende
por rectângulo de ouro.
 Denomina-se rectângulo de ouro, um rectângulo que, quando é
dividido em duas partes e em que uma dessas partes seja um
quadrado, então o que resta terá que ser um rectângulo com as
mesmas proporções do rectângulo inicial.

9.  Como vimos, se dividirmos um termo dessa sequência pelo seu antecessor, encontramos um
número próximo ao valor de phi (1,618). Também percebemos que quanto maior forem os valores
desses números, mais próximo seu quociente ficará de phi. Vejamos então ao gráfico que representa
essa situação:
Desta maneira, inicialmente considerei adotei de maneira geral que essa sequência seria
determinada por fn e onde, seu sucessor seria fn+1 e seu antecessor seria fn–1. Como já sabemos, na
sequência de Fibonacci o número correspondente a um determinado termo é igual a soma de seus
dois antecessores (a partir do terceiro termo), logo podemos determinar de maneira geral o valor de
por fn = fn–1 + fn–2.
Também sabemos que na sequência de Fibonacci, os dois primeiros termos são iguais a 1, logo
podemos designá-los como sendo o termo inicial f0 = 1 e f1 = 1. desta forma, podemos montar a
sequência a seguir:
f0 + f1 + f2 + ... + fn + ...
em que,
f0 = 1, f1 = 1, f2 = f0 + f1, f3 = f2 + f1 + ...+ fn = fn–1 + fn–2 + ...
ou seja,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

10.  f0 + f1 + f2 + ... + fn + ...
em que,
f0 = 1, f1 = 1, f2 = f0 + f1, f3 = f2 + f1 + ...+ fn = fn–1 + fn–2 + ...
ou seja,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
 Logo, podemos também dizer que uma razão Rf qualquer entre dois
termos sucessivos podem ser determinados de maneira geral da
seguinte forma:
Assim, podemos representar o limite dessa razão da seguinte maneira:
 Assim, podemos representar o limite dessa razão da seguinte maneira:
 Outro detalhe interessante, é que se a razão entre um termo dessa
sequência pelo seu antecessor tende phi, logo a razão entre um termo
qualquer e sucessor nos dará o inverso do número de ouro, que
poderíamos determinar de maneira geral como a seguir:
 Mas um detalhe importante é que para melhor aproximação de phi,
devemos considerar para a razão, preferencialmente, termos cuja
posição na sequência seja n > 4.

11. Pintura e arte
Muitos artistas que viveram depois de Phidias usaram a proporção Áurea
em seus trabalhos. Da Vinci chamava-a: Divina Proporção e usou-a em
muitos dos seus trabalhos. Na Mona Lisa observa-se a proporção Áurea
em várias situações.
Por exemplo, ao construir um retângulo em torno de seu rosto, veremos
que este possui a proporção do retângulo Áureo.

12. Moluscos
 Anexando dois quadrados com lado=1, teremos um retângulo 2x1,
sendo o lado maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores.
Anexamos agora outro quadrado com lado=2 (o maior lado do
retângulo 2x1) e teremos um retângulo 3x2. Continuamos a anexar
quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos retângulos
obtidos no passo anterior. A sequência dos lados dos próximos
quadrados é: 3,5,8,13,... que é a sequência de Fibonacci

13. Plantas
Certas plantas mostram os números de Fibonacci no crescimento dos seus
galhos. Suponhamos que nasça um novo broto de um galho a cada mês,
sendo que um broto leva dois meses para produzir o seu primeiro broto.
Existem várias plantas cujo crescimento se parecem com o descrito
aqui. A planta Achillea ptarmica possui estas características.

14. Música
Os amantes da música podem ficar, a saber, que mesmo Stradivarius
utilizava o número de Ouro na construção dos seus famosos violinos.
A banda TOOL tem uma música projetada com a sucessão de
Fibonacci, designada de Lateralus.
O Número de Ouro está presente nas famosas sinfonias n.º 5 e na
Sinfonia n.º 9, de Ludwig van Beethoven.
O baterista de jazz Max Roach, incorporou a Proporção Áurea nas
suas músicas.

15. Problema dos coelhos
 No livro a que nos referimos anteriormente, Líber
Abacci, Fibonacci introduziu um problema por ele
formulado que veio dar origem posteriormente a uma
sucessão. Essa sucessão ficou conhecida na história
como a Sucessão de Fibonacci e teve lugar no ano de
1202, quando Fibonacci se interessou pela reprodução
dos coelhos. Ele criou então um cenário imaginário
com as condições ideais, sob as quais os coelhos se
poderiam então procriar.
 O objetivo era responder à seguinte questão: Quantos
pares de coelhos é que vão existir daqui a um ano?

16.  Demonstração:
 Ao fim de um ano (12 meses) Fibonacci
concluiu que:
 Mês 0 - No início da experiência existe
apenas um par de coelhos.
 Mês 1 – Após um mês, os coelhos acasalaram
mas ainda não deram à luz (portanto existe
somente um par de coelhos).
 Mês 2 – Neste mês já a fêmea deu à luz um
par de coelhos. Existem agora dois pares de
coelhos.
 Mês 3 – Depois de 3 meses, o par inicial de
coelhos dá à luz mais um par de coelhos. No
entanto, o segundo par acasala. Isto faz então
um total de três pares.
 Mês 4 – Aos 4 meses, o par original tem mais
um par de coelhos. O par nascido no mês #2
também dá à luz. O par de coelhos nascido
no mês #3 acasalam, mas ainda não dão à luz.
Isto faz um total de cinco pares.
 Mês 5 – Aos 5 meses, todos os pares que
nasceram até há dois meses dão à luz. Isto
totaliza oito pares.

17. Resolução das páginas 134 e 135
 2)
 2.1) 1 ano----1)x2 R.: Ao fim de 10 anos terá 512 ramos
2 ano----2)x2
3 ano----4)x2 2.2)Porque à sequencia do numero
4 ano----8)x2 de ramos a partir do primeiro
5 ano----16)x2 é uma potencia de base 2, logo
6 ano----32)x2 é par.
7 ano----64)x2
8 ano----128)x2
9 ano----256)x2
10 anos----512)xe

18.  3)
 3.1) 1 de janeiro– 3 km R.: No dia 7 de janeiro
2 de janeiro—5 km
3 de janeiro—7 km
4 de janeiro—11 km
5 de janeiro—13 km
6 de janeiro—15 km
 3.2) 1 de janeiro– 3 km 31- 6=25x15=3+5+7+9+11+13=423
2 de janeiro—5 km
3 de janeiro—7 km R.: o Alex durante o mês de
4 de janeiro—9 km janeiro correu 423 km.
5 de janeiro—11 km
6 de janeiro—13 km

19.  4)
 4.1) 1+1=2 R.: Haverá 377 casais de coelhos ao fim de 14
1+2=3 meses.
2+3=5
3+5=8 5) 1+1+1=3 R.: A sequencia é continuada
5+8=13 1+1+3=5 somando-se sempre os 3
8+13=21 3+5+9=17 últimos termos para
13+21=34 obtermos o termo
21+34=55 seguinte.
34+55=89 6)7 1113122117
55+89=144 17 311311222117
89+144=233 1117
144+233=377 3117
132117