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Integrales dobles

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Matematicas integrales dobles

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Integrales dobles

  1. 1. INTEGRALES DOBLES 9 TEMA 1 | NTEGRALES DOBLES IN | EQBAL DQBLE Er. .. Sea R una región cerrada y acotada del plano IR2. Sea f: IR? a IR una función definida sobre la región R. Los pasos que conducen a la definición de integral doble son: 1. Consideramos una cuadrícula que contenga a R siendo A¡ i =1,. .., n rectán- gulos de la cuadrícula, de áreas respectivas AA¡, totalmente contenidos en R. 2. Escogemos (x¡, y¡) punto arbitrario de A¡ para i =1,. .., n. . n 3. Calculamos la suma 2 f(x¡, y¡) AAi i=1 4. Consideramos cuadrículas cada vez más finas que contengan a R, de modo que las dimensiones de cada rectángulo tiendan a 0, y el número de rectán- gulos contenidos en R sea cada vez mayor. Entonces definimos: fl fi f(x, y) dA : = Iim z f(x¡, y¡)AA¡ R n-Óoo ïilswsw a’? Fnin ¡n ri La función escalar de dos variables f definida en la región R cerrada y acotada se dice que es integrable sobre R si y sólo si verifica la existencia del límite anterior y su valor es finito. El valor del límite recibe el nombre de integral doble de f sobre R.
  2. 2. INTEGRALES DOBLES 10 Si la función f es continua en la región R cerrada y acotada entonces f es inte- grable sobre R. (1) Si f(x, y)=1 en R, entonces Área (n) = jj 1dA R (2) Si f(X. y)20 en R, entonces f(x, y)dA R representa el volumen del sólido de paredes laterales rectas limitado arriba por la superficie z = f (x, y) y abajo por la región R en el plano z = 0. Z X (3) Si f(x, y)2g(x, y), entonces jj [f(x, y)-g(x, y)]dA R representa el volumen del sólido limitado entre las superficies z = f (x, y) y z = g (x. y), siendo R la región del plano z = 0 cuya frontera es la proyección de la curva intersección de ambas superficies. (1) jj k f(x, y)dA = kjj f(x, y)dA ke IR R R (2) jj [f<x. y>+g<x. y>]dA = IIf(x. y)dA + Il g(x, y)dA R R R
  3. 3. INTEGRALES DOBLES 1 1 (3) Si R = R1 u R2 donde R1n R2 es alo sumo una curva, jjr(x, y)dA = jjr(x, y)dA + jj f(x, y)dA R R1 R2 Si f (x, y) es una función continua sobre el rectángulo R = [a, b] x [c, d] entonces: db bd jjt(x, y)dA = jj f(x, y)dxdy = jjt(x, y)dydx n ca ac La región R es del tipo l en el plano si existen dos funciones continuas g1(x) y g2(x) de manera que los puntos de R pueden expresarse en Ia forma: asxsb 9,(x)sys92<x) La región R es del tipo Il en el plano si existen dos funciones continuas h1(y) y h2(y) de manera que los puntos de R pueden expresarse en la forma:
  4. 4. INTEGRALES DOBLES Teorema (a) Si R es una región de tipo l, y f(x, y) es continua en R: b 92m jjt(x, y)dA= j j f(x, y)dydx R a 94x) (b) Si R es una región de tipo II, y f (x, y) es continua en R: hztv) jj f(x, y)dA = jI j f(x, y)dxdy R ° rw) m i v ria l En coordenadas rectangulares cartesianas dA = dx dy. Sea ahora el cambio de coordenadas dado por la aplicación: x = X (u, v) y = Y (u. v) I siendo T la región del plano uv que se aplica en Ia región R del plano xy. Si se cumplen las condiciones siguientes: - Las funciones X, Y, ax/ au, ax/ av, av/ au, av/ av son continuas en T. - La aplicación de T sobre R es biyectiva. - El jacobiano de la aplicación J (u, v) ee 0. entonces: jj f(x, y)dxdy = jjt(x(u, v), v(u, v)) | J(u. v)l dudv R T 1. Coordenadas polares x= rcos6 } J(l',9)= f y= rsen9
  5. 5. INTEGRALES DOBLES 1 3 2. Coordenadas polares descentradas x= x +rcos9 ° j J(r, e)= r y= y0+rsen6 3. Coordenadas elípticas x= arcose y= brsene} J(r, e)= abr 4. Transformaciones lineales j J(u, v)= AD-BC AD-BCaeo Supongamos que tenemos un cuerpo plano acotado (lámina de grosor des- preciable), de forma que su masa total está distribuida en forma conocida siguiendo una función de densidad superficial u = u (x, y). Entonces: MasadeR = M(R) = u(x, y)dx dy R (1) Centro de masas de un cuerpo plano Si denotamos por (i, y) las coordenadas del centro de masas: nfi) jjxu<x, y>dxdy V= M—‘¿F¡ jjyutnwdxdy (2) Momentos de inercia de un cuerpo plano Sea r una recta y denotemos por d (x, y) la distancia de la recta r al punto (x, y) de la región R. El momento de inercia del cuerpo plano respecto a la recta r resulta ser: I, = jj d2(x. y) u (x. y) dx dy R En particular, los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados son:
  6. 6. INTEGRALES DOBLES lx = jj y2u(x. y)dxdy IY = jj x2u(x. y) dxdy R R El momento polar de inercia o momento respecto al origen es: lo -_- já (x2+y2)u(x, y)dxdy = IY + lx 14
  7. 7. INTEGRALES DOBLES 15 1.1 1.2 TEMA 1. PROBLEMAS Calcular las siguientes integrales dobles, sobre el rectángulo R que se indica. (a) xy(x+y)dA R= [0,1]x[0,1] R (b) (y + x - 3xy2) dA R = [o,1] x (1,31 R (c) senax senzy dA R = [Om] x[0,1:] R (d) jj (x sen y - y e") dA R = {-1,11 x [0,1c/2] R Dibujar Ia región de integración y calcular las siguientes integrales dobles: (a) x cos (x + y) dA R R triángulo de vértices (0,0), (m0) y (nar) (o) jj e“ dA R= {(x, y)e IR2 / |x| +|y| s1} R (c) jj (x2 + yz) dA R R región limitada por la recta y = x y por la parábola y = x2 (d) 2xy dA R región limitada por las rectas R! y=0,y= x,x+y=2 (e) x2y2 dA R región limitada por las rectas R y=1,y=2,x=0,y= x (t) jj (xz- ya) dA R R región limitada por la gráfica de y = sen x y el segmento [0,1r] en y = 0
  8. 8. INTEGRALES DOBLES 16 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Calcular la integral doble jj | y—x2|dA R= [-1,1]x[0,2] R Calcular las integrales dobles f(x, y) dA para las funciones f y los rec- R tángulos R que se indican. x + y x2 s y s 2x2 (a) f(x, y)= R = [0,1] x [0,1] 0 en caso contrario x2+ yz x2+ yz . <.1 (b) r<x. y)= 2 2 R= l-1.1l x {-1.11 0 x +y >1 (x+y)-2 xsys2x (c) f(x. y) = R = [1.2] x (1,41 0 en caso contrario Una pirámide está delimitada por los tres planos de coordenadas y el plano x + 2y + 32 = 6. Representar el sólido y calcular su volumen. Calcular el volumen del sólido limitado por la superficie z = x2 - y2 y los planos z=0,x=1,x=3. Calcular el volumen del sólido comprendido entre los cilindros x2 + y2 = 25 y x2 + z2 = 25. Calcular el volumen del sólido comprendido entre los cilindros parabólicos z= x2 y z=4-y2. Calcular el volumen del sólido comprendido entre las superficies z = xy, x2+y2=1, (x-1)2+(y-1)2=1 y z=0.
  9. 9. INTEGRALES DOBLES 17 1.10 Calcular el volumen del sólido comprendido entre las superficies 1.11 1.12 z= x2+y2, y= x, y= -x, x-y=2, x+y=2 y z=0. Calcular el volumen del sólido de paredes laterales rectas limitado arriba por la gráfica de z = f (x, y) y abajo por la región R en el plano z = 0, en cada uno de los siguientes casos: (a) (b) (C) R= {(X. y)/ I><IS1.IY| S1} R= {(x, y)/4x2+9y2s36,x>0,y>0} f(x. y)= ><2+y2 f(x. y)=3><+y f(x, y)= y+2x+20 R= {(x, y)/ x2+y2s16} Calcular por integración doble el área de los recintos limitados por: (a) (b) (0) circunferencia de centro (0,a) y radio a. elipse de semiejes 5 y 4. triángulo de lados y = x, y = - x, x = 2. 1.13 Calcular el área de la región del plano xy encerrada por la lemniscata 1.14 1.15 cuya ecuación en coordenadas polares es r2 = a2 cos 26. Calcular la integral doble x2 dx dy donde R es la región del plano xy R interior a la cardioide r = 1 - cos e. En cada uno de los siguientes casos describir la región de integración en coordenadas cartesianas, describirla luego en coordenadas polares y calcular cada integral mediante ese cambio: 2a 2ax-x2 (a) j j (x2+y2)dydx 0 0 a X (b) j j xjx2+ y2 dy dx 0 0 1 X 2 2-1/2 (c) jj <x+y) 0 x2 dy dx
  10. 10. INTEGRALES DOBLES 1.16 1.17 1.18 1.19 18 a2- y2 j (x2 + y2) dx dy a (d) j 0 0 Calcular las siguientes integrales dobles: (a) (x2 + y2) dx dy R región acotada de frontera R r2 = 2a2 cos 26 (b) (x3y + y - x) dx dy R semicírculo derecho de R centro (0,0) y radio 1 dx dy R primer cuadrante 2 2 2 2 (c) n x2 + y2 del círculo x + y2 s 9 2 1+x +y2 dxdy II R (d) R región acotada de frontera r2 = cos 29 Utilizar una transformación lineal conveniente para calcular las siguien- tes integrales: (a) (x - y)2 sen2 (x + y) dx dy R R paralelogramo de vértices (m0), (21t,1c), (ir,21r), (0,a) y-x jj ey” dx dy R R triángulo formado por los ejes coordenados y la recta x + y = 1 (b) X= U+V Dada la transformación: y = v - U2 j calcular el área de la región R del plano xy cuya imagen en el plano uv es el triángulo de vértices (0,0), (2,0), (0,2). ¿Cómo viene descrita la región R en el plano xy ? Calcular el volumen del sólido limitado por el paraboloide z = 2 - x2 - y2 y el plano 2z :1.
  11. 11. INTEGRALES DOBLES 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 19 Calcular el volumen del sólido limitado por el paraboloide z = x2 + y2 y la esfera x2 + y2 + z2 = 2. Calcular el volumen del sólido limitado por la esfera x2 + y2 + z2 = a2 y el semicono z2 = x2 + y2, z 2 0. Calcular el volumen del sólido limitado por la esfera (x - a)2 + y2 + z2 = a2 y el semicono z2 = x2 + y2, z 2 0. Calcular el volumen del sólido interior al cilindro x2 + y2 = 2ax y a la esfera x2 + y2 + 22 = 4a2. Calcular el volumen del sólido interior a las esferas x2 + y2 + z2 = a2 y x2+y2+(z-a)2=a2. 2 2 Calcular el volumen del sólido limitado por el paraboloide y? + 39- = 2% y el plano x = a. (a) Calcular el valor del área de la superficie plana exterior a la circunferencia x2+y2=1 einteriorala cardioide r=1 +cos e. (b) Encontrar la masa de esta superficie si su densidad superficial es proporcional a la distancia al origen. Calcular las coordenadas del centro de masas de un pétalo de la rosa r = a sen 26 si su densidad superficial es constante. Calcular los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados del cuerpo delgado plano de contorno x2 + y2 = 1 para y 2 0 e y = 0, si su función de densidad superficial es p. (x, y) = 1+ y.
  12. 12. INTEGRALES DOBLES 20 SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DEL TEMA 1 1 .1 Calcular las siguientes integrales dobles, sobre el rectángulo R que se indica. (a) xy(x+y)dA R= [0,1]x[0,1] R _ . _ 0.<_xs1 R-[ÜJIXIOJ] Recinto. osys1 jj xy(x+y)dA = jjxy(x+y)dydx :1? R 00 (b) jj (y + x - 3xy2) dA R = [0,1] x [1.3] R Y . _ 05x51 R= [0,1]x[1,3] Recinto. 1SyS3 2 .13 2 jj (y+x-3xy )dA = jj(y+x-3xy )dydx = -8 01 R (c) sen2x sen2y dA R = [0,1c] x [0,1r] R
  13. 13. INTEGRALES DOBLES 05x51: R= [0,7t]x[0,1t] osysn Recinto: 1C jj sen2x sen2y dA = jjsen2x sen2y dy dx R o 0 2 1- COSÉX dx NT " 1-cos2y 2 l— 2d’ 1|! sen2x dx j sen2y dy = o al‘ j 0 (d) R = [-1,1] x [O,1t/2] jj (x sen y - y ex) dA R R = {-1,11 x [0,1c/2] -15x51 Recinto: oSySn/ z 12 jlj (xseny-yex)dA = -jj (xseny-yex)dydx = (I; -e) f. 3 1.2 Dibujar la región de integración y calcular las siguientes integrales dobles: (a) jj x cos (x + y) dA R triángulo de vértices (0,0), (1r,0)y (m) R 21
  14. 14. INTEGRALES DOBLES . 05x51: Recinto: osysx 15X jj xcos(x+y)dA = xcos(x+y)dydx = 1: R 00 (b) jj e“ dA R= {(x, y)e (R21 | x|+| y| 51} R V= I'X -15x50 -1 -x5y51 +x x Recinto: 05x51 -1 +x5y51 -x jj exwdA —j Ijx exwd dx +j1jx ex+yd dx - e-I- R _—1 -1-x y 0-1+x y — e (c) jj (x2 + y2) dA R región limitada por la recta y = x R y por la parábola y = x2 22
  15. 15. INTEGRALES DOBLES R (d) jj 2xy dA R (e) x2y2 dA R 05x51 Recinto: 2 x 5 y 5 x 1 jj (x2+y2)dA = (x2+y2)dydx = á- o 2 X R región limitada por las rectas y=0, y= x, x+y=2 R región limitada por las rectas y=1, y=2, x=0, y= x 23
  16. 16. INTEGRALES DOBLES (t) jj (xa- ya) dA R jj (x2 - y") dA R 15y52 Recinto: o S x s y jj x2y2dA = jjx2y2dxdy = 51 R 1o 18 R región limitada por la gráfica de y = sen x y el segmento [0,1:] en y = 0 - . 05x51: Recinto. osyssenx nsenx TI: 1 = j j (x2-y2)dydx= j(x2senx-ísen3x)dx 0 O 0 1.3 Calcular la integral doble jj | y-x2]dA R R = [-1,1] x[0,2] 24
  17. 17. INTEGRALES DOBLES 25 Recir¡toR ' <XSI 1 x _y52 Recinto R2 45x51 O5y5x2 12 1x2 jj | y-x2|dA = jj (y-x2)dydx+jj(-y+x2)dydx = R 4x2 -1o 1 4 2 46 = _j(x-2x+2)dx= fi 1.4 Calcular las integrales dobles f(x, y) dA para las funciones f ylos rec- R tángulos R que se indican. x + y x2 5 y 5 2x2 (a) f (x, y) = _ R = [0,1] x [0,1] 0 en caso contrario 05y51 +, /y/2 5x5+, /7 Recinto:
  18. 18. INTEGRALES DOBLES 26 1+5 jjf(x, y)dA = j j (x+y)dxdy = 21:32 R 0+ y/2 x2+y2 x2+y251 f(x, = 2 2 I R = [-1I1Ix[-1)1] 0 x+y >1 x +y2=1 -1 -1 x Recinto: Sx< - 1-x25y5+ 1-x2 1+w/1-x2 1 2 4 jjf(x, y)dA= j (x2+y2)dydx= j(í+íx2I 1-x2dx= R -1_ H2 -1 E 2 = j (%+%sen2t)x/1-sen2t costdt = -1 2 1 2 1 1 2 =4j(í+í sen2t-ísen4t)dt= o JL 2 1_ LJJLTLÁ 1_ -1 Q -12 =4ój[3+3 2 3(8cos4t2cos2t+8)]dt_2 Nota: Esta integral puede efectuarse de forma muy simple mediante un cambio a coordenadas polares.
  19. 19. INTEGRALES DOBLES 27 (x+y)'2 x5y52x (c) f(x. y)= R = [1.2] x [1,4] 0 en caso contrario Recinto: 22x 1 1 jjf(x, y)dA= jj 2dydx= €ln2 R 1x (x+y) 1 .5 Una pirámide está delimitada por los tres planos de coordenadas y el plano x + 2y + 3z = 6. Representar el sólido y calcular su volumen. 2 s Il 3-1—X Vol = z(x, y)dxdy = j ja (Z-íy-Iïxmydx R 0 0
  20. 20. INTEGRALES DOBLES 28 1 .6 Calcular el volumen del sólido limitado por la superficie z = x2 - y2 y los planos z=0,x=1,x=3. La superficie z = x2 - y2 es un paraboloide hiperbólico (reglado); z toma valores positivos y negativos. La intersección de esta superficie con el plano z = 0, Z= X2-y2 Z=0 j son las rectas: y = i x En el recinto de integración R la función z = f (x, y) = x2 - y2 es positiva. Su integral doble será el volumen bajo la superficie. 3 x Vol = (x2-y2)dxdy = j j(x2-y2)dydx = 87° R 1-X 1.7 Calcular el volumen del sólido comprendido entre los cilindros x2 + y2 = 25 y x2 + 22 = 25.
  21. 21. INTEGRALES DOBLES 29 05x55 Recinto de integración para el primer octante: 0 5 y 5 + xI 25 - x2 j _ 2 Vol = sjj +«/25-x"’ dxdy = ej” zj x+xj25-x2 dydx = ïfl R 0 3 0 1 .8 Calcular el volumen del sólido comprendido entre los cilindros parabólicos z= x2 y z=4-y2. Proyección sobre el plano xy de la curva intersección de ambos cilindros parábolicos: 2 z x 2 2_ z ¿”ej x+y -4
  22. 22. INTEGRALES DOBLES 30 05x52 Para el rimer octante: recinto de inte ración: FT— p g 0 5 y 5 4 - x2 JT? 2 Vol=4jj(zsup-z¡n¡)dxdy=4j j [(4-y2)-x2]dydx= R 0 0 1 2 2 =2j(4-x2) 4-x2 dx=2j(4-4sen2t)4cos2tdt= 3 3 O 0 E. 1 2 2 12 4 128 1 _1_ e _ = T j cos tdt = —3—ój(ícos4t-2cos2t+8 )dt _ 81: 1 .9 Calcular el volumen del sólido comprendido entre las superficies z = xy, x2+y2=1, (x-1)2+(y-1)2=1 y z=0. La intersección de los cilindros x2 + y2 = 1 y (x - 1)2 + (y - 1)2 = 1 con el plano z = 0 son sendas circunferencias de igual ecuación.
  23. 23. INTEGRALES DOBLES 31 Y (X-1)2+(y-1)2=1 0.<_XS1 Recinto: 1-j1-(X-1)2SyS+'j1-X2 Sobre R la función z = xy es positiva, así pues: 1+x/ a 1 VoI= jjxydxdy= j j xydydx= j[—x2+x 1-(x-1)2Idx= R 1-x o o 1- /1-(x-1)2 1.10 Calcular el volumen del sólido comprendido entre las superficies z= x2+y2, y= x, y= -x, x-y=2, x+y=2 y z=0. . 05x51 Recinto R1 _xsysx Recinto R2 1 5x52 x-25y52-x
  24. 24. INTEGRALES DOBLES 32 jj f(x, y) dxdy = j j (x2+y2)dy dx + (x2+y2)dydx = % R 0 ‘X 1 x-2 1 .1 1 Calcular el volumen del sólido de paredes laterales rectas limitado arriba por la gráfica de z = f (x, y) y abajo por la región R en el plano z = 0, en cada uno de los siguientes casos: (a) f(x. y)= x2+y2 R= {(x. y)/ lxls1,Iyls1} lxl51<: > -15x51 x Recinto: lyl51<= > -15y51 1 jj f(x, y)dxdy = jj(x2+y2)dydx = % R -1-1 (b) f(x, y)=3x+y R= {(x, y)/4x2+9y2536,x>0,y>0} R 05x53 ecinto: 05y5%xÍ36-4x2 3 %1/36-4x2 jj f(x, y)dxdy= j j (3x+y)dydx=22 R 0 0 (c) f(x, y)= y+2x+20 R= {(x, y)/ x2+y2516}
  25. 25. INTEGRALES DOBLES 33 -4sxs4 Recinto: «Í 16-x2 sys+xÍ16-x2 4+wÍ16-x2 jj’ f(x, y)dxdy = j j (y+2x+20)dydx = 320:: R -4 - 16-x2 1.12 Calcular por integración doble el área de los recintos limitados por: (a) circunferencia de centro (0,a) y radio a. Y Recinto: x2+(y-a)2s a2 x= rcos9 21: a 2 Area= H1dxdy= y-a= rsen6 = _[ I rdrd9=1ra n J(f.9)= |' o o (b) elipse de semiejes 5 y 4. N N Recinto: 01m ¡x A” | < IA _L
  26. 26. INTEGRALES DOBLES 34 x=5rcos9 21:1 Area = jj 1dxdy = y=4rsen6 = j jzordrde = 201: R J(r,9)=20Ï o o (c) triángulo de lados y= x, y= -x, x=2 05x52 Recinto: -xsysx ><%-u>< Area = jj 1dxdy = j dydx = 4 R 0' 1.13 Calcular el área de la región del plano xy encerrada por la lemniscata cuya ecuación en coordenadas polares es r2 = a2 cos 29. En [0, 2a] la lemniscata está definida en los intervalos [0, n/4], [31c/4, 51:14] y [71c/4, 21:], es decir, allí donde cos 26 2 0 Descripción de R: E 05954 osrsaJ cos 29
  27. 27. INTEGRALES DOBLES 35 1.14 Calcular la integral doble x2 dx dy donde R es la región del plano xy R interior a la cardioide r = 1 - cos e. Descripción de R: 059521t Os rst -cos6 x= rcos9 21c1-oose jj x2dxdy= y= rsen9 = j j rzcosze rdrde: R J(r, e)= r o o 121: 4 121i: =íj cos26(1-cos9) de = ¡4-j (-4cos3e-4cos59)de+ 0 0 +l? (cos2e+6cos46+cos66)d9=l0+l2n-4-9-= 49" 40 4 4 15 32 1 .1 5 En cada uno de los siguientes casos describir la región de integración en coordenadas cartesianas, describirla luego en coordenadas polares y calcular cada integral mediante ese cambio: (a) 2a w/2ax j j (x2 + y? ) dy dx 0 0 Recinto en cartesianas 0sxs2a Osysx/ 2ax-x2
  28. 28. INTEGRALES DOBLES y= /2ax-x2 (x-a)2+y2=a2 Frontera: x= rcose y= rsene J(r,6)= r Transformación de las fronteras: x2+y2-2ax=0 —-> r=2acos9 y=0 —>9=0 x=0 —->9=1t/2 (1 er. cuadrante) (1 er. cuadrante) _ o s e s 1‘- Recinto en polares: 2 Osrszacose 2a w/2ax-x2 j j (x2+y2)dydx= j 0 0 0 a (b) j j y] x2+ yz dy dx 0 0 15/2 2acos6 j r2 rdrde = %1:a4 0 Osxsa Recinto en cartesianas: o _<_ y g x Coordenadas polares: x= rcos6 y= rsene J (F,9)= f Transformación de las fronteras: Coordenadas polares: 36
  29. 29. INTEGRALES DOBLES y= x -> rsen6=rcos9; = ï— (1er. cuadrante) y=0 —> 6:0 (tencuadrante) x= a —> rcos9=a; r= a cose oseslj- Recinto en polares: a Osrs cose 1 a 1L ax 4 cose 4 3 1 jj x2+y2dydx= j jr rdrd9=j a? 3 oo o o o 0059 1 _2 = áj cose d9=aÏ2 dt = 3 o (1-sen29)2 3 o (1452 . _2_ 3 2 3 _¿_ 1/4 1/4 1/4 1:; __a__. /_ï_1_ 3 (j[(1+i)2+1+t +(1-t)2+1-t] dt’ 3 l 2 +2'"(1+ 1 x 2 2-1/2 (c) (x+y) dydx 0 x2 _ _ Osxst Recinto en cartesianas: 2 x. <.ysx Coordenadas polares: x= rcos9 y= rsen6 J(| ',9)= I' Transformación de las fronteras:
  30. 30. INTEGRALES DOBLES y= x -> rsen9=rcos9; 9=-7:- (1er. cuadrante) y= x2 —> rsen9=r2cos26 ; r= Se": cos 9 osesf Recinto en polares: o S r S sen29 cos 9 sen e 1 1 jj(x2+y2_)2dydx = j j ‘T rdrde = Jï-1 0 0 0 x2 ID ‘[57- a Y (d) I I (x2 + v2) dx ay 0 0 Osysa Recinto en cartesianas : o S x S (iva Frontera: x = a2 - yz x2 + yz = a2 Coordenadas polares: x= rcos9 y= rsen9 J(r, e)= r x2 + ya = a2 —> r = a y = 0 —> e = 0 (1 er. cuadrante) x = 0 —> e = 12t- (1 er. cuadrante) _ osesï Recinto en polares: 2 osrsa
  31. 31. INTEGRALES DOBLES 39 a "¿La j j (x2+y2)dxdy= j j r2rdrd9=%a4 0 0 0 0 1.16 Calcular las siguientes integrales dobles: (a) jj (x2 + y? ) dx dy R región acotada de frontera R r2 = 2a2 cos 26 En [0, 21:], la lemniscata r2 = 2a? cos 29 está definida en los intervalos [0,1c/4], [3n/4, 51c/4], [7n/4, 21:], es decir, allí donde cos 29 2 0. Descripción de R‘: osesf Osrs/ Ï al cos 29 Dada la simetría de la función sobre el dominio y por la simetría del domi- nio consideraremos sólo la integral sobre R‘: 2 2 2 2 x= rcos6 (x +y)dxdy = 4 (x +y)dxdy = Y= VS9"9 = ‘já LI. J(r,9)= r 1 4 531/ cos ze 4 = 4 j j r2 r dr de = u; o o (b) (x3y + y - x) dx dy R semicírculo derecho de R centro (0,0) y radio 1
  32. 32. INTEGRALES DOBLES l‘. 2 l l 2 Recinto en polares: l NIF! o IA | / d) -1 l/ ¡A mlá "‘ jj (x3y+y-x)dxdy = R 2 (rscose rsenensene-rcose) rdedr = 3 2 2 2 - -2 (c) (X y ): g’ x dxdy R primer cuadrante R x +y x 2 2 del circulo x + y s9 Recinto en polares: E 0 _<. e s 2 0 s rs 3 x 2 2 2 - -2 j <¿_YÉ>><_Z)Y_X dxdy = R X +Y E. 2 3 3 2 2 3 2 6 - e e - 2 e e = jj , d,d9=_3 o o r2 (d) jj i} 1+ x2+ yz dx dy R región acotada de frontera R r2 = cos 29 40
  33. 33. INTEGRALES DOBLES 41 Descripción de R’: 0 osesï 4 Osrsv/ cosze 008 117. 4j j2e/1+I2 rdrde= 0 0 jj ‘j 1+ x2+ yz dx dy R = á [(1+ cos 2e)3’2-1 1 de °‘ïu-h| á II °'¿-J¡[? l A. 23/2- __2_c_>__¿c_ 3 [(2cos9) 1]d9—9 3 1.17 Utilizar una transformación lineal conveniente para calcular las siguien- tes integrales: (a) (x - y)2 sen2 (x + y) dx dy R R paralelogramo de vértices (1:,0), (21:,1:), (1:,21:), (0,1:) Consideremos la transformación U = x ' y j de donde: v= x+y _ 1_ L x- 2 u + 2 v 1 -1 1 J (u: V) = í y = í U + E: V
  34. 34. INTEGRALES DOBLES 42 Transformación de las fronteras: y= x-r: <—> u=1: y= -x+31:<-> v=31: y= x+1: <-> u= -1: y= -x+1: <—> v=1: _ _ _ _ -1: s u s 1: Descripción del dominio T en el plano uv: n s V S 3,: 2 2 "su 2 1 1:4 (x-y) sen (x+y)dxdy = u senzv -— dvdu = — R q‘ n 2 3 .21 (b) ey” dx dy R R triángulo formado por los ejes coordenados y la recta x + y = 1 Consideremos la transformación u Ïy ' xx j de donde: _ 1 .1. x- 2 u + 2 v _1 1 1 J (U, V) = “2— y = í U + -2- V Osvsl -v5u5v Descripción del dominio T en el plano uv:
  35. 35. INTEGRALES DOBLES 43 fl 1 1 jlj ey“ dxdy = ev1ïdudv = %ój ¿‘--o< (D Q. C Q. < II 1 V 1 H 1 1 = ïjVIe”I, ""= z<°'3l X= U+V 1 .18 Dada la transformación: y = v - uz calcular el área de la región R del plano xy cuya imagen en el plano uv es el triángulo de vértices (0,0), (2,6), (0,2). ¿Cómo viene descrita la región R en el plano xy ? Es un ejemplo de transformación no lineal; J (u, v) = 1 + 2u Recinto en el plano uv: O5us2 0svs2-u 2 2-u Area(R) = jj1dxdy = jj1(1+2u)dudv = (1 +2u)dvdu = 13—4 R T 0 Descripción de la región R en el plano xy; transformación de las fronteras: v O x= u 2j --x2 _ e. ) y____u y. _ X= V u= O <—-> y= v y= x u+v=2 <-> x=2 es decir:
  36. 36. INTEGRALES DOBLES 44 El cálculo directo del área de R en el plano xy sería: 2 x Area (R) = j j 1dydx 0 -x2 1 .1 9 Calcular el volumen del sólido limitado por el paraboloide z = 2 - x2 - y? y el plano 2z = 1 Proyección de la curva intersección: 2 _ x2_ ya 1_ 2 Descripción de R en polares: í 2 z x+ z Y 056521: O5 r5J3/2
  37. 37. INTEGRALES DOBLES 45 2nJ3_/5 Vol(D) = (2-x2-y2-%)dxdy = j (2-r2-; —)rdrde = R 0 0 3/2 -21:j-3-r2-Líj = gu ‘ 4 4 o a 1 .20 Calcular el volumen del sólido limitado por el paraboloide z = x2 + y2 y la esfera x2 + y2 + z2 = 2. Proyección de la curva intersección: 2 2 2 =2 x+y2+z2 } Z+Z2=2 Z2+Z-2=0 Z= X +y Solución válida: z=1 La curva intersección está contenida en el plano z = 1; su proyección en el plano xy es: x2 + y2 = 1 Descripción de R en polares: g 32:12" 21t1 j j[/2-r2 -r21rdrde = 0 0 Vol (D) = jj[, /2-x2-y2 -(x2+y2)]dxdy = R
  38. 38. INTEGRALES DOBLES 46 1 .21 Calcular el volumen del sólido limitado por la esfera x2 + y2 + z2 = a2 y el semicono 22 . —. x2 + y2, z 2 0. Proyección de la curva intersección: 2 2 2_ 2 2 x+Y2+z2:a2 x2+y2+X2+y2=a2 x2+y2=aï x+y . .z De . H d R I 056521: SCFlpClOn e en oares: p OSrSJ-ï-a 2 Vol (D) = jj [, /a2-x2-y2 -, jx2+ y2 1 dxdy = R J_ ’ Jïa/ z 2 2a/2 3/2 = jj“ j [x/ az-rz-r] rdrde =21:| :.&-¿j = 3 3 0 0 o = %(1-—¡22)1:a3 1 .22 Calcular el volumen del sólido limitado por la esfera (x - a)2 + y2 + z2 = a2 y el semicono 22 = x2 + y2, z 2 0.
  39. 39. INTEGRALES DOBLES 47 Proyección sobre el plano xy de la curva intersección de ambas superficies: x2+ yz = z 2 (x-a) +y2+z2=a 2 2 2 aj (X-a)2+y2+x2+y2=a2 ix-gi +y2=<%> 2 (x-a) +y2+z2=a2 Por la simetría de la figura consideraremos R como el semicírculo supe- rior de centro (a/2, 0) y radio a/2. Su descripción en cartesianas es: GTIÍORCQSÏ Vol (D) = 2jj( Jai’- (x - a)2- y2 -, /x2+y2 )dx dy R Separando en dos integrales: j 2 I1=j az-(x-a) -y2 dxdy R - = 9 Tomando polares descentradas: x a r Cos j J (r, e) = r y = r sen 6 (x-%)2+y2=(—; —)2 -> = —acose l 5 6 5 1: luego R se describe como : 2 Os rs-acose
  40. 40. INTEGRALES DOBLES 48 | | i>| =i«—. .a 01:, ” 8 m O I! ) N I "iv ‘l D. Ñ Q. CD | | l —L 1 3/2 o -1" 2 2 3 -a3 n a = —j[(a sen9) -a]d9=—3-— j(sen9-1)d9= 3L 1 2 2 -a3 n 2 -a3 cos39 n = ——-j[(1-cos9)sen9-1]d9=—3—cos9- 3 +9 = 3 15. 1 2 2 3 _2_ 2 1:. ' 3 (3*2) i2=jj, /x2+y2 dxdy R C l b. ¡ _ x= rcos9j J e_ one cam ioapoares. y= rsene (r, )_r (x-—a—)2+y2=(3)2 -> r= acos9 2 2 . eses-E luego R se describe como : 2 Osrsacose .72. l 2 awserz a3 2 3 a3 sen39 M2 2a3 I2=jj dfd9=ïjCOS9d9=ï sen9- 3 = —9— o o o o Porlotanto: 3 3 _ _ _ a_ 2 z; _2¿ -2 3 1-1 1.23 Calcular el volumen del sólido interior al cilindro x2 + y2 = 2ax y a la esfera x2 + y2 + 22 = 4a2. Cilindro x2 + y2 = 2ax ; (x - a)2 + y2 = a2 La proyección de la curva intersección de la esfera x2 + y2 + 22 = (2a)2 y
  41. 41. INTEGRALES DOBLES 49 el cilindro x? + y? = 2ax es la circunferencia (x - a)? + y? = a? Por la simetría del dominio de integración y del integrando y dado que en el dibujo se considera sólo z 2 0 quedará: Vol (D) = 4 x} (2a)2- x2- ya dx dy R X= fCOS6 En coordenadas polares y= r sen 9 I J(r, e)= r (x-a)? +y? =a? -> r=2acose 0S6Sn/2 luego R se describe como : O s r s 2a cose Vol (o) = 4IÏZZaÏOSGJ4aZ-I2 rdrde = 0 0 : |2a COS 9 l‘. n12 2_ 23/2 3 2 = -2j Iïï“? ‘I c953“ j(sen3e-1)de= o 3/2 o 3 o 1t/2 1 _ 3? 3 = 33a j[(1-cos2e)sene-1] dG= %-a3[cose-°°; e+e] = o o
  42. 42. INTEGRALES DOBLES 50 _Q¿31v__; ‘aaIz 3) 1 .24 Calcular el volumen del sólido interior a las esferas x? + y? + z? = a? y x? +y? +(z-a)? =a? . Proyección sobre el plano xy de la curva intersección de ambas esferas: 2 2 2 2 X + Z= a I y+ 2} z= + a2'X2'y2 a2- 2a t} a2- x2- ya = 0 2 x + y2+ (z - a)2= a x2+ y2+ (‘I a2- x2- yz - a )2 = a2 x2+ y2= fi- a2 Casquete superior de x2+ y2+ zz = a2 : z = + ‘I a2- x2- yz 2: z= a-x/ a2-x2-y2 Vol(D) = jj [J a2-x2-y2 -(a-, /a2-x2-y2)1dxdy R x= rcos6 y= rsen6 Casquete inferior de x2+ y2+ (z - a)2: a En coordenadas polares I J (r. e) = r
  43. 43. INTEGRALES DOBLES 51 OSGSZK R se describe como : 3 0srs———a 2 Ea 21122 Vol(D)= _Í j (2 a2-r2-a)rdrd9= 0 0 . ... _3_a 3/2 2 _ (az-r? ) a j __5_ a _21c| :- 3/2 -ïr2 o — 12 1ta 2 2 1.25 Calcular el volumen del sólido limitado por el paraboloide yï+zï = gaï y el plano x = a. Efectuaremos la integración sobre el plano yz considerando las funcio- nes en la forma x = f (y, z). cies: ? 2 Y_ z__2_x 2 2 2 2 4*9“a} Ï4—+%=2 yz. » ‘z=1 x= a (fé) l/ Ts’) es una elipse de semiejes JB y 13-8 y=2JÏ rcose 2:35 rseneI ‘IIr'9I= I2r Consideramos coordenadas elípticas:
  44. 44. INTEGRALES DOBLES 52 EI recinto de integración R se describirá en la forma o S e S 2" 0srs1 entonces: a V2 22 Vol (D) = jj [a-—2- (T+ï) 1 dydz = R 21: al j(a-ar2)12rdrde = 2nj12a(r-r3)dr = 0 0 41 = 24au[É-ï4—I = San 0 1.26 (a) Calcular el valor del área de la superficie plana exterior a la circunferencia x? +y? =1 einteriorala cardioide r=1 +cos e. r =1+cos9 Descripción de las fronteras en polares: r = 1 ; r = 1 + cos e w . _ . _ Jr. , :1 intersección. cos9_0, e _ 2 2 1 1 2 S e S 2 Recinto en polares: 1 s r s 1 + cos 9 1+cose j r drde = L Area(R) = 1dxdy = aj n o 1
  45. 45. INTEGRALES DOBLES 53 2 2 2 = j[(1+cose)-1]de= %—"- 0 (b) Encontrar la masa de esta superficie si su densidad superficial es proporcional a la distancia al origen. M(R) = Masade R = u(x, y) dx dy R u(x, y) = k. / x2+ yz ke lR; en polares: ke IR u(r,9)= kr L l‘. 21+cos9 2k2 3 M(R)=2j j krrdrde= —3-j [(1+cos9)-1]d9= 0 1 0 -215. L1. 3_7t ’ 3 (3 + 4) 1 .27 Calcular las coordenadas del centro de masas de un pétalo de la rosa r = a sen 26 si su densidad superficial es constante. r = a sen 29 está definida para sen 29 2 0 si a > 0, es decir: ses3—" l 05.652,1: 2 en [0, 21:] Consideraremos el pétalo del primer cuadrante; R será en polares: O IA CD 1t/2 asen 29 O I/ ‘I I/ IA
  46. 46. INTEGRALES DOBLES 54 MasadeR = M(R) = jj u(x, y)dxdy = kdxdy R R m2 asen2e k 2 2 M(R) = j j krdrde = % j sen zede = 0 0 0 /2 = si Loma de = kazn 2 o 2 8 Denotando por (x, y ) las coordenadas del centro de masas: x = fiïjn xu(x, y)dxdy 1t/2 asen2 9 jjxu(x, y)dxdy= j j (rcos6)krdrd9= R 0 0 33/2 3 ¡‘C/ z = LL cos 6 sen329 de = 8 k a cos4e sense de = 3 o 3 o 3 n12 j (cosse - 00346) (- sen e) de = o 8ka 3 de donde x = y por simetría 7 = x = —— % 1.28 Calcular los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados del cuerpo delgado plano de contorno x? + y? = 1 para y 2 o e y = 0, si su función de densidad superficial es u (x, y) = 1+ y.
  47. 47. INTEGRALES DOBLES Descripción de R en polares: 03651: 0srs1 ¡y = x2u(x, y)dxdy = x2(1+y)dxdy = R R 1:1 = j j ¡2cos2e(1+rsene)rdrd9 = oo 1:1 = j I (r3cos2e+r4cos29sen9)drde = o 0 1C = J [-14-cos29+% coszesene] de = o 1C .1. .1. __1_ 3 2 48e+16sen2e15cose = %+fi. 11:1 lx = y2(1+y)dxdy = ófóf r2sen2e(1+rsen6) rdrde = R 1 1:1 1: = (r3sen2e+r4sen3e)de :1 [%sen2e+—sen3e] de = oo o 5 1|‘. 1. _1_ _1_ L. 3 -1 _[8e16sen2e 5cos9+15 cos 90-8», _4_ 15 55

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