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Presentation of my Master's Thesis

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Diferences between minimum distance and the distance of closest approach between two ellipses or ellipsoids.

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  1. 1. Distancia entre dos elipses Distancia “closest-approach” Closed formulae for distance functions involving ellipses Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Gema R. Quintana Portilla Tesis del Máster en Matemáticas y Computación Dirigida por D. Fernando Etayo y D. Laureano Glez-Vega Curso 2008-2009Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  2. 2. Distancia entre dos elipses Distancia “closest-approach”Objetivo Estudiaremos dos problemas relacionados con la obtención de fórmulas cerradas para la determinación de la función distancia entre objetos definidos por ecuaciones de grado bajo: Determinación de una fórmula cerrada para el cálculo de la distancia mínima entre dos elipses Determinación de una fórmula cerrada para el cálculo de la denominada closest approach entre dos elipses o elipsoides Ambos problemas son de gran interés en el ámbito del modelado geométrico y en CAGDFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  3. 3. Distancia entre dos elipses Distancia “closest-approach”Índice 1 Distancia entre dos elipses Problema Nuestra aproximación Ejemplo Trabajo futuro 2 Distancia “closest-approach” Problema Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  4. 4. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuroÍndice 1 Distancia entre dos elipses Problema Nuestra aproximación Ejemplo Trabajo futuro 2 Distancia “closest-approach” Problema Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  5. 5. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuroIntroducción Queremos calcular la distancia entre dos elipses coplanarias La distancia mínima entre un punto y una elipse es un número real positivo: buscamos obtenerlo como la raíz real de un polinomio Esta forma de caracterizar la distancia es independiente de los llamados “footpoints” y proporciona la distancia de forma directa, pudiendo ser usada para analizar el caso dinámicoFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  6. 6. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuroAplicaciones El cálculo de la mínima distancia entre dos elipses es un problema fundamental en varios campos: Detección de colisiones en robótica Análisis de interferencias en CAD/CAM Interacciones en Realidad Virtual Juegos de ordenador Análisis de órbitas (elipses no coplanarias) Interferencias entre moléculas en física computacional y química ...Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  7. 7. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuroTrabajos previos I. Z. E MIRIS , E. T SIGARIDAS , G. M. T ZOUMAS . The predicates for the Voronoi diagram of ellipses. Proc. ACM Symp. Comput. Geom., 2006 I. Z. E MIRIS , G. M. T ZOUMAS . A Real-time and Exact Implementation of the predicates for the Voronoi Diagram for parametric ellipses. Proc. ACM Symp. Solid Physical Modelling, 2007 C. L ENNERZ , E. S CHÖMER . Efficient Distance Computation for Quadratic Curves and Surfaces. Geometric Modelling and Processing Proceedings, 2002Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  8. 8. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuroTrabajos previos J.-K. S EONG , D. E. J OHNSON , E. C OHEN . A Higher Dimensional Formulation for Robust and Interactive Distance Queries. Proc. ACM Solid and Physical Modeling, 2006 K.A. S OHN , B. J ÜTTLER , M.S. K IM , W. WANG . Computing the Distance Between Two Surfaces via Line Geometry. Proc. Tenth Pacific Conference on Computer Graphics and Applications, 236-245, IEEE Press, 2002 Aspecto común: el problema se resuelve previo cálculo de los “footpoints”Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  9. 9. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuroNuestra aproximación El cálculo de la distancia mínima no depende de los “footpoints”. Estudiamos el problema analizando el polinomio univariado asociado a la distancia Parámetros del problema: coordenadas del centro, longitud de los ejes, inclinación de los mismosFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  10. 10. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuroNuestra aproximación El cálculo de la distancia mínima no depende de los “footpoints”. Estudiamos el problema analizando el polinomio univariado asociado a la distancia Parámetros del problema: coordenadas del centro, longitud de los ejes, inclinación de los mismos ¿Alguna ventaja?Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  11. 11. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuroNuestra aproximación El cálculo de la distancia mínima no depende de los “footpoints”. Estudiamos el problema analizando el polinomio univariado asociado a la distancia Parámetros del problema: coordenadas del centro, longitud de los ejes, inclinación de los mismos ¿Alguna ventaja? La distancia se comporta de forma continua, mientras que los “footpoints” noFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  12. 12. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuroDistancia punto-elipse Sean las ecuaciones paramétricas de la elipse ε0 : √ √ x = a cos t, y = b sin t, t ∈ [0, 2π) Construyamos la función fd cuyo mínimo positivo, d, nos proporcione el cuadrado de la distancia entre el punto (x0 , y0 ) y la elipse: √ √ fd := (x0 − a cos t)2 + (y0 − b sin t)2 − dFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  13. 13. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuroDistancia punto-elipse Queremos resolver el sistema:   fd (t) = 0 ∂fd (t) =0  ∂tFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  14. 14. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuroDistancia punto-elipse Queremos resolver el sistema:   fd (t) = 0 ∂fd (t) =0  ∂t Hay dos posibilidades para el cambio de variable: racional complejoFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  15. 15. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuroDistancia punto-elipse Cambio de variable racional: 1−t2 cos t = 1+t2 2t sin t = 1+t2 Desventaja: más complicadoFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  16. 16. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuroDistancia punto-elipse Cambio de variable racional: 1−t2 cos t = 1+t2 2t sin t = 1+t2 Desventaja: más complicadoFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  17. 17. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuroDistancia punto-elipse 1 Como z = cos t + i sin t, z = z , luego podemos usar el cambio: 1 z− z sin t = 2i 1 z+ z cos t = 2Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  18. 18. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuroDistancia punto-elipse El nuevo sistema resulta: √ √ √ √  (b − a)z 4 + 2(x0 √a − iy0 √b)z 3 − 2(x0 a + iy0 b)z + a − b = 0  (b − a)z 4 − 4(x0 a − iy0 b)z 3 − 2(2(x2 + y0 − d))z 2 + 0 2 √ √ +4(x0 a + iy0 b)z + b − a = 0  Usando resultantes eliminamos la veriable zFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  19. 19. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuroDistancia punto-elipse Teorema Si d0 es la distancia del punto (x0 , y0√a la elipse ε0 con centro ) √ (0, 0) y semiejes de longitudes a y b entonces d = d2 es la0 [x0 ,y ] menor raíz no negativa del polinomio F[a,b] 0 (d)Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  20. 20. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro [x ,y ] F[a,b] 0 (d) = 0 = (a − b)2 d4 +2(a − b)(b2 + 2x2 b + y0 b − 2ay0 − a2 − x2 a)d3 0 2 2 0 +(y0 b − 8y0 ba − 6b a + 6a y0 − 2x2 a3 + a4 + 6x2 y0 b2 − 2y0 b3 4 2 2 2 2 2 3 2 0 0 2 2 4 2 2 2 3 2 2 2 3 4 2 2 +6y0 a + 4x0 a b + 2b a + 6x0 y0 a + 2a b − 6x0 ab + 4y0 b a +6x4 b2 + 4x4 a2 + 6b3 x2 − 10x2 y0 ab + b4 − 8x2 ab2 − 6y0 ab)d2 0 0 0 0 2 0 4 4 4 2 3 4 6 2 2 6 3 2 2 4 −2(ab + y0 − a b + a b + 2y0 a + 2b x0 − a b − bx0 ay0 4 2 2 2 2 2 2 2 6 2 4 2 4 3 −bx0 ay0 + 3x0 ay0 b + 3x0 a y0 b − by0 a + b y0 x0 + 3x0 b +3y0 a3 + x2 b4 + x4 a2 y0 − bx6 a − 5x4 ab2 + 3b2 y0 x4 + 3y0 ab2 4 0 0 2 0 0 2 0 4 −2x2 a3 u2 + 3x4 a2 b + 3x2 b2 y0 − 2x2 ab3 − 2y0 a3 b − 3y0 ab3 0 0 0 0 2 0 2 2 −3x2 a3 b − 2x2 b3 y0 − 5y0 a2 b + 4x2 a2 b2 + 4y0 a2 b2 )d 0 0 2 4 0 2 +(x4 + 2x2 b + b2 − 2x2 a − 2ba + a2 + y0 + 2x2 y0 − 2y0 b + 2ay0 )· 0 0 0 4 0 2 2 2 (bx2 + ay0 − ba)2 = 0 2 4 [a,b] = k=0 hk (x0 , y0 )dkFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  21. 21. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuroAclaraciones al teorema [x ,y ] La mayor raíz real de F[a,b] 0 (d) es el cuadrado de la 0 distancia máxima entre (x0 , y0 ) y ε0 . Si x0 es un foco de ε0 √ [ a−b,0] F[a,b] (d) = (a − b)2 d2 (d2 + 2(b − 2a)d + b2 ) √ √ √ √ ⇒ d = ( a − a − b)2 , ( a + a − b)2 En el caso de una circunferencia a = b = R2 y si d = d2 0 √ [ a−b,0] F[a,b] (d2 ) = R4 (y0 + x2 )2 · 0 2 0 2 + 2Rd + R2 − y 2 − x2 )(d2 − 2Rd + R2 − y 2 − x2 ) · (d0 0 0 0 0 0 0 0 ⇒ d0 = R − y0 + x2 2 0Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  22. 22. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuroDistancia entre dos elipses Sea ε1 una elipse disjunta con ε0 , dada por la parametrización x = α(s), y = β(s), s ∈ [0, 2π). Entonces d(ε0 , ε1 ) = min{ (x1 − x0 )2 + (y1 − y0 )2 : (xi , yi ) ∈ εi , i = 1, 2} es la raíz cuadrada de la menor raíz no negativa de la [α(s),β(s)] familia de polinomios univariados F[a,b] (d)Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  23. 23. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuroDistancia entre dos elipses Para hallar d(ε0 , ε1 ) consideramos dos posibilidades: d es el menor real positivo tal que existe s ∈ [0, 2π) solución de [α(s),β(s)] 4 [a,b] F[a,b] = k=0 hk (α(s), β(s))dk = 0 ¯ [α(s),β(s)] := F[a,b] 4 ∂ [a,b] (α(s), β(s))dk = k=0 ∂s hk 0 d se determina a través del análisis de la curva [α(s),β(s)] implícita F[a,b] =0Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  24. 24. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuroPrimer caso Como α(s) y β(s) son lineales en cos(s) y sin(s) la pregunta se convierte en un problema algebraico (al igual que en el caso punto-elipse) mediante el cambio de variable 1 1 1 1 cos s = w+ , sin s = w− 2 w 2i w y luego usando resultantes para eliminar w. Obtenemos un polinomio univariado de grado 60, Gε1 , cuya ε0 menor raíz positiva es el cuadrado de d(ε0 , ε1 ). Gε1 depende sólo de los parámetros que definen ε0 y ε1 ε0Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  25. 25. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuroSegundo caso d se determina a través del análisis de la curva implícita [α(s),β(s)] F[a,b] = 0 en la región d ≥ 0 y s ∈ [0, 2π). Para aplicar el algoritmo dado en L. G ONZALEZ -V EGA , I. N ÉCULA , Efficient topology determination of implicitly defined algebraic plane curves. Computer Aided Geometric Design, 19: 719-743, 2002, usamos el cambio de coordenadas: 1 − u2 2u cos s = 2 sin s = 1+u 1 + u2 [α(s),β(s)] y la curva algebraica plana ral F[a,b] = 0 se estudia en d ≥ 0, u ∈ RFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  26. 26. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuroEjemplo Consideremos ε0 y ε1 . ε0 con centro (0, 0) y semiejes de longitudes 3 y 2. ε1 centrada en (2, −3) y semiejes, paralelos a los ejes coordenados, con longitudes 2 y 1Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  27. 27. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuroEjemploFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  28. 28. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuroEjemploFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  29. 29. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuroEjemplo La mínima distancia se obtiene calculando las raíces reales del polinomio: Gε1 (d) = k1 d4 (d12 −216d11 +...)(d2 −54d+1053)2 (d2 −52d+1700)2 (k2 d12 +k3 d11 +...)3 ε0 donde los ki son números reales El factor simple de grado 12 es el que aporta la mayor y menor raíz real de Gε1 (d). Aún no está claro el carácter ε0 general de esta descomposiciónFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  30. 30. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuroTrabajo futuro Estudio del caso dinámico Generalización a elipsoides Elipses no-coplanarias Análisis de otras cónicasFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  31. 31. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroÍndice 1 Distancia entre dos elipses Problema Nuestra aproximación Ejemplo Trabajo futuro 2 Distancia “closest-approach” Problema Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  32. 32. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroProblema La distancia de “closest approach” de dos elipses (resp. elipsoides) es la distancia existente entre sus centros cuando éstas son tangentes exteriores, después de moverlas a lo largo de la recta determinada por sus centrosFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  33. 33. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroProblema La distancia de “closest approach” de dos elipses (resp. elipsoides) es la distancia existente entre sus centros cuando éstas son tangentes exteriores, después de moverlas a lo largo de la recta determinada por sus centros Aparece en el estudio del problema del cálculo de la distancia del “closest approach of hard particles” que es un problema clave en algunas áreas de la Física como la modelización y simulación de sistemas de partículas anisométricas, como los cristales líquidos, o en el caso del análisis de interferencias entre moléculasFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  34. 34. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroTrabajo previo Un método que resuelve el problema anterior en el caso de dos elipses rígidas está descrito en X. Z HENG , P. PALFFY-M UHORAY, Distance of closest approach of two arbitrary hard ellipses in two dimensions, Physical Review, E 75, 061709,2007 Se obtiene una expresión analítica para la distancia “closest approach” en función de su orientación relativa respecto de la recta determinada por los centrosFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  35. 35. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroTrabajo previo Se afirma que: “[...]this problem seems simple enough for a highschool geometry homework assignment. Further consideration shows, however, that it is not simple at all. A prize for its solution was informally announced at the Liquid Crystal Gordon Conference in 1983 attended by W. M. Gelbart and R. B. Meyer; this, however, did not generate a solution. J. Vieillard- Baron, an early worker on this problem, was reportedly greatly disturbed by the difficulties he encountered[...]”Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  36. 36. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroTrabajo previo Pasos del método: 1 Se consideran dos elipses separadas 2 Se traslada una hacia la otra a lo largo de la recta determinanda por ambos centros hasta que son tangentes exteriores 3 PROBLEMA: hallar la distancia d entre los centros en dicho instante 4 Transformación de las dos elipses tangentes en un círculo y una elipse 5 Cálculo de la distancia d de “closest approach” entre el círculo y la elipse 6 Obtención de la distancia d de “closest approach” de las elipses iniciales mediante la transformación inversaFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  37. 37. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroTrabajo previo Pasos del método: 1 Se consideran dos elipses separadas 2 Se traslada una hacia la otra a lo largo de la recta determinanda por ambos centros hasta que son tangentes exteriores 3 PROBLEMA: hallar la distancia d entre los centros en dicho instante 4 Transformación de las dos elipses tangentes en un círculo y una elipse⇒ “Anisotropic scaling” 5 Cálculo de la distancia d de “closest approach” entre el círculo y la elipse 6 Obtención de la distancia d de “closest approach” de las elipses iniciales mediante la transformación inversaFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  38. 38. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroTrabajo previo Trabajar con “anisotropic scaling” y la transformación inversa requiere del cálculo de los vectores y valores propios de la matriz de la transformación Buscamos evitar dicho cálculoFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  39. 39. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroNuestra aproximación Usamos los resultados mostrados en: F. E TAYO, L. G ONZÁLEZ -V EGA , N. DEL R ÍO, A new approach to characterizing the relative position of two ellipses depending on one parameter, Computed Aided Geometric Desing 23, 324-350, 2006 W. WANG , R. K RASAUSKAS, Interference analysis of conics and quadrics, Contemporary Math. 334, 25-36,2003 W. WANG , J. WANG , M. S. K IM, An algebraic condition for the separation of two ellipsoids, Computer Aided Geometric Desing 18, 531-539, 2001Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  40. 40. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroNuestra aproximación Siguiendo la notación de los autores, definimos el polinomio característico del haz determinado por dos elipses (resp. elipsoides) Definición Sean A y B dos elipses (resp. elipsoides) dadas por las ecuaciones X T AX = 0 y X T BX = 0 resp. El polinomio de grado 3 (resp. 4) f (λ) = det(λA + B) se denomina polinomio característico del haz λA + BFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  41. 41. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroNuestra aproximación W. WANG , R. K RASAUSKAS, Interference analysis of conics and quadrics, Contemporary Math. 334, 25-36,2003 W. WANG , J. WANG , M. S. K IM, An algebraic condition for the separation of two ellipsoids, Computer Aided Geometric Desing 18, 531-539, 2001 Caracterizan completamente la intersección de dos elipsoides en términos del signo de las raíces reales del polinomio característico en el caso que ambos elipsoides puedan ser separados por un planoFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  42. 42. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroNuestra aproximación Más aún: Dos elipsoides están separados si y sólo si su polinomio característico tiene dos raíces reales positivas distintas Su ecuación característica siempre tiene al menos dos raíces negativas Los elipsoides son tangentes exteriores si y sólo si la ecuación característica tiene una raíz doble positivaFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  43. 43. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroNuestra aproximación F. E TAYO, L. G ONZÁLEZ -V EGA , N. DEL R ÍO, A new approach to characterizing the relative position of two ellipses depending on one parameter, Computed Aided Geometric Desing 23, 324-350, 2006 Proporciona una caracterización equivalente para el caso de dos elipses De hecho se caracterizan las diez posiciones relativas de dos elipses mediante herramientas de Geometría Algebraica Real, Álgebra Computacional y Geometría Proyectiva (sucesiones de Sturm-Habitch y la clasificacion de haces de cónicas en P2 (R)). Cada una se determina mediante un conjunto de igualdades y desigualdades que dependen sólo de las matrices de las cónicasFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  44. 44. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroNuestra aproximación Empleamos la anterior caracterización para resolver el problema Obtenemos una fórmula cerrada para el polinomio S(t) (dependiente sólo de los parámetros de la elipse) cuya menor raíz real proporcione la distancia “closest approach”. Veremos que esto es generalizable de forma natural al caso de los elipsoidesFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  45. 45. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Consideremos dos elipses coplanarias dadas por las ecuaciones: x2 y2 E1 = (x, y) ∈ R2 : + −1=0 a b E2 = (x, y) ∈ R2 : a11 x2 + a22 y 2 + 2a12 xy + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  46. 46. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroConfiguración de las elipsesFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  47. 47. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Ecuación de una elipse que se mueve E1 (t) a lo largo de la recta definida por los centros: (x − pt)2 (y − qt)2 E1 (t) = (x, y) ∈ R2 : + −1=0 a b donde a22 a13 − a12 a23 p= a2 − a11 a22 12 a11 a23 − a12 a13 q= a2 − a11 a22 12Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  48. 48. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro El polinomio característico del haz λA2 + A1 (t): H(t; λ) = det(λA2 + A1 (t)) = h3 (t)λ3 + h2 (t)λ2 + h1 (t)λ + h0 (t) La situación de tangencia exterior tiene lugar cuando H(t; λ) tiene una raíz real positiva doble: la ecuación que nos proporciona el valor buscado de t, t0 , es S(t) = 0 donde S(t) = discλ H(t; λ) = s8 t8 +s7 t7 +s6 t6 +s5 t5 +s4 t4 +s3 t6 +s2 t4 +s1 t2 +s0Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  49. 49. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroDistancia “closest approach” de dos elipses separadas Teorema Dadas dos elipses separadas E1 y E2 la distancia “closest approach” es d = t0 p2 + q 2 donde t0 es la menor raíz real positiva de S(t) = discλ H(t; λ), H(t; λ) es el polinomio característico del haz que definen, y (p, q) es el centro de E2Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  50. 50. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroEjemplo Sean A y B las elipses: 1 A := (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 − 1 = 0 2 B := (x, y) ∈ R2 : 9x2 + 4y 2 − 54x − 32y + 109 = 0 1 A centrada en el origen y semiejes de longitudes 1 y √ . 2 B con centro en (3, 4) y semiejes de longitudes 2 y 3Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  51. 51. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroPosición de las elipses A (azul) y B (verde)Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  52. 52. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroEjemplo Hacemos que el centro de la primera se mueva a lo largo de la recta que pasa por los centros (y − 4t)2 A(t) := (x, y) ∈ R2 : (x − 3t)2 + −1=0 2 Polinomio característico del haz λB + A(t): B HA(t) (t; λ) = λ3 + − 17 t2 + 18 t − 24 λ2 + 36 17 5 23 145 2 145 1 − 648 − 2592 t + 1296 t λ + 2592Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  53. 53. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroEjemplo Polinomio cuya menor raíz real positiva proporciona el instante t = t0 cuando las elipses son tangentes exteriores: 251243 115599091 1478946641 SA(t) (t) = − 80621568 t + 8707129344 t2 + 34828517376 t4 − B 266704681 3 55471163 6 158971867 5 8707129344 t + 2902376448 t − 4353564672 t + 6076225 8 6076225 7 40111 8707129344 t − 1088391168 t + 136048896Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  54. 54. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroEjemplo Polinomio cuya menor raíz real positiva proporciona el instante t = t0 cuando las elipses son tangentes exteriores: 251243 115599091 1478946641 SA(t) (t) = − 80621568 t + 8707129344 t2 + 34828517376 t4 − B 266704681 3 55471163 6 158971867 5 8707129344 t + 2902376448 t − 4353564672 t + 6076225 8 − 6076225 t7 + 40111 8707129344 t 1088391168 136048896 B Las cuatro raíces reales de SA(t) (t) son: t0 = 0.2589113100, t1 = 0.7450597195, t2 = 1.254940281, t3 = 1.741088690Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  55. 55. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroPosiciones de A(t) (azul) y B (verde) t = t0 t = t1Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  56. 56. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroPositions of A(t) (blue) and B (green) t = t2 t = t3Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  57. 57. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Sean A1 y A2 dos matrices simétricas definidas positivas que definen los elipsoides separados E1 y E2 como X T A1 X = 0 y X T A2 X = 0 donde X T = (x, y, z, 1), y 1     a 0 0 0 a11 a12 a13 a14 1  a12  0 b 0 0  a22 a23 a24  A1 =  1  A2 =   a13   0 0 c 0  a23 a33 a34  0 0 0 −1 a14 a24 a34 a44 i.e., x2 y2 z2 E1 = (x, y, z) ∈ R3 : + + −1=0 a b c a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz+ E2 = (x, y, z) ∈ R3 : 2a23 yz + 2a14 x + 2a24 y + 2a34 z + a44 = 0Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  58. 58. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroConfiguración de los elipsoidesFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  59. 59. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroPolinomio característico (x − txc )2 (y − tyc )2 (z − tzc )2 E1 (t) = (x, y, z) ∈ R3 : + + −1=0 a b c Para encontrar el valor de t, t0 , en el que los elipsoides son tangentes exteriores, tenemos que comprobar si el polinomio H(t; λ) = det(E1 (t) + λE2 ), de grado 4, tiene una raíz real doble. Esto es, calcular las raíces de un polinomio de grado 12: S(t) = discλ (H(t, λ)) = s12 t12 + ... + s0Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  60. 60. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroDistancia “closest approach” de dos elipsoides Teorema Dados dos elipsoides E1 y E2 separados, la distancia “closest approach” está dada por d = t0 x 2 + yc + zc c 2 2 donde t0 es la menor raíz real positiva de S(t) = discλ H(t; λ), H(t; λ) es el polinomio característico del haz que definen, y (xc , yc , zc ) es el centro de E2Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  61. 61. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroEjemplo Sean E1 (t) y E2 los elipsoides: 1 2 1 2 E1 := (x, y, z) ∈ R3 : x + y + z2 − 1 = 0 4 2 1 2 1 51 1 E2 := (x, y, z) ∈ R3 : x − 2 x + y2 − 3 y + + z2 − 5 z = 0 5 4 2 2 1 2 1 2 5 197 2 E1 (t) := (x, y, z) ∈ R3 : x + y + z 2 − tx − 6 ty − 10 tz − 1 + t =0 4 2 2 4Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  62. 62. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroConfiguración de los elipsoides E1 (azul) y E2 (verde)Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  63. 63. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroEjemplo Polinomio característico de E2 y E1 (t): E2 HE1 (t) (t; λ) = λ4 − 43 λ3 − 197 λ3 t2 − 301 λ2 − 659 λ2 t2 + 4 2 4 197 2 λ3 t− 237 2 λ − 265 λ t2 + 659 λ2 t + 5 + 265 λ t 2 2Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  64. 64. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroEjemplo E2 Polinomio SE1 (t) (t) cuya menor raíz real corresponde al instante t = t0 cuando los elipsoides son tangentes: E (t) 2 SE1 (t) = 16641 1024 − 1)4 (2725362025t8 − 21802896200t7 + 75970256860t6 − (t 150580994360t5 + 185680506596t4 − 145836126384t3 + 71232102544t2 − 19777044480t + 2388833408) E2 Las cuatro raíces reales de SE1 (t) (t) que determinan los cuatro puntos de tangencia provienen todas del factor de grado 8: t0 = 0.6620321914, t1 = 0.6620321914 t2 = 1.033966297, t3 = 1.337967809Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  65. 65. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroPosiciones de E1 (azul) y E2 (verde) t = t0Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  66. 66. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroPosiciones de E1 (azul) y E2 (verde) t = t1Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  67. 67. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroPosiciones de E1 (azul) y E2 (verde) t = t2Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  68. 68. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuroPosiciones de E1 (azul) y E2 (verde) t = t3Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  69. 69. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Algunas configuraciones geométricas de las cuádricas y cónicas objeto de nuestro estudio parecen estar relacionadas con descomposiciones especialmente simétricas o simples de los polinomios involucrados en el cálculo de las distancias entre ellas Estamos trabajando en la interpretación algebraico-geométrica de dichas situacionesFórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  70. 70. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro ¡Muchas gracias!Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09

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