Métodos numéricos, programação linear e otimização

Matemática computacional: métodos
numéricos, programação linear, otimização
Ricardo Terra
rterrabh [at] gmail.com
Ricardo Terra (rterrabh [at] gmail.com) Matemática computacional Fevereiro, 2013 1 / 46

CV
Nome: Ricardo Terra
Email: rterrabh [at] gmail.com
www: ricardoterra.com.br
Twitter: rterrabh
Lattes: lattes.cnpq.br/ 0162081093970868
Ph.D. (UFMG/UWaterloo),
Post-Ph.D. (INRIA/Université Lille 1)
Background
Acadêmico : UFLA (desde 2014), UFSJ (1 ano ), FUMEC (3 anos ), UNIPAC (1 ano ), FAMINAS (3 anos )
Proﬁssional : DBA Eng. (1 ano ), Synos (2 anos ), Stefanini (1 ano )

Introdução à Matemática Computacional

Matemática Computacional
Matemática ∩ Computação
Trata problemas complexos
qualquer área (qual não tem?)
Por meio da busca matemática de soluções
Isto é, explora o que o computador faz de melhor

Matemática ∩ Computação
Trata problemas complexos
qualquer área (qual não tem?)
Por meio da busca matemática de soluções
Isto é, explora o que o computador faz de melhor
É então programar algoritmos O(n!), O(nn)?
não necessariamente
vai um pouco além... vamos ver!

Solução em 4 etapas
1 Deﬁnição do Problema
2 Modelagem Matemática
3 Solução Numérica
4 Análise dos Resultados

3 Solução Numérica (algoritmos!!!)

3 Solução Numérica (algoritmos!!!)
Se eu lhe dizer que...
o algoritmo talvez seja a parte mais fácil
não acredita?

Nada como exemplos!
Determinante
Seja uma matriz quadrada A = (aij)n
i,j=1
Solução: det(A) = ±a1i1
· · · anin
Fácil de programar para qualquer n
Super eﬁciente para:


−2 2 3
−1 1 3
2 0 1


Por que?

Nada como exemplos!
Determinante
Seja uma matriz quadrada A = (aij)n
i,j=1
Solução: det(A) = ±a1i1
· · · anin
Fácil de programar para qualquer n
Super eﬁciente para:


−2 2 3
−1 1 3
2 0 1


Por que? A soma em todas as n! permutações
n = 3 → segundos n = 25 → 400.000 anos

Nada como (mais?) exemplos!
Postponed
A partir de agora: on-the-ﬂy
Nesta aula, visão geral das principais áreas:
1 Métodos Numéricos
2 Programação Linear
3 Otimização

Métodos Numéricos

Métodos Numéricos
O que são métodos numéricos?
Algoritmos que usam aproximação numérica
heurísticas?
resultados exatos?
Convergem, convergem, convergem até um ops
ideia de ponto ﬁxo (contudo, raramente o alcançam)

Métodos Numéricos
Achando um número aleatório!

Métodos Numéricos
Por exemplo:
1 public class Terra {
3 public static void main (String args[]){
System.out.println( Math.sqrt(2) );
5 }
7 }
Qual o resultado?

Métodos Numéricos
Por exemplo:
5 }
7 }
Qual o resultado? Essa pergunta está errada nesta aula

Métodos Numéricos
Por exemplo:
5 }
7 }
Qual o resultado? Essa pergunta está errada nesta aula
Assim, por que 1.4142135623730951?

Métodos Numéricos
Passo #1: Deﬁnição do Problema
Calcular
√
a, a > 0 usando operações básicas (+ − /∗)
Fácil!

Métodos Numéricos
Passo #1: Deﬁnição do Problema
Calcular
√
a, a > 0 usando operações básicas (+ − /∗)
Fácil!
Passo #2: Modelagem Matemática
Problema real → Problema original (lembra redução NP-Completo)
x =
√
a =⇒ x2 = a =⇒ f(x) = x2 − a = 0
De fato: determinar a raiz de uma equação algébrica
Atenção: problema original pode ter mais soluções que real
+
√
a e −
√
a

Métodos Numéricos
Passo #3: Solução Numérica
Qual o método mais apropriado para f(x) = x2 − a = 0?
Possível solução: método de Newton
xk+1 = xk − f(xk )
f (xk )
Substituindo f(x) e f (x), tem-se que:
xk+1 = xk −
x2
k − a
2xk
= xk −
xk
2
+
a
2xk
= (xk +
a
xk
) ∗ 0.5

Métodos Numéricos
Passo #3: Solução Numérica
Resultado: um processo iterativo
que calcula
√
a
a partir de x0
usando apenas operações aritméticas
i xi xi − 3
0 1.0000
1 5.0000 2.0000
2 3.4000 0.4000
3 3.0235 0.0235
4 3.0001 0.0001
5 3.0000 0.0000

Métodos Numéricos
1 Algoritmo Newton
parâmetros de entrada: x0, Toler, IterMax
3 parâmetros de saída: Raiz, Iter, CondErro
{CondErro = 0 se a raiz for encontrada, 1 caso contrário}
5
Fx <- f(x0); DFx <- f’(x0); x <- x0; Iter <- 0;
7 escreva Iter, x, DFx, Fx
repita
9 DeltaX <- -Fx/DFx; x <- x + DeltaX
Fx <- f(x); DFx <- f’(x);
11 Iter <- Iter + 1
escreva Iter, x, DFx, Fx, DeltaX
13 se ( abs(DeltaX) <= Toler e abs(Fx) <= Toler ) ou DFx = 0
ou Iter >= IterMax
15 então interrompa
fimse
17 Raiz <- x
{teste de convergência}
19 se abs(DeltaX) <= Toler e abs(Fx) <= Toler então
CondErro <- 0
21 senão
CondErro <- 1
23 fimse
fimalgoritmo

Métodos Numéricos
Passo #4: Análise dos Resultados
A solução é adequada ao problema?
sim, ótimo!
não, nova formulação matemática
Por exemplo, se x0 < 0:
i xi xi − 3
0 −1.0000
1 −5.0000 −2.0000
2 −3.4000 −0.4000
3 −3.0235 −0.0235
4 −3.0001 −0.0001
5 −3.0000 0.0000

Métodos Numéricos
Aplicações Reais de Métodos Numéricos
√
a → apenas um exemplo
e só mostramos a solução com o método de Newton
Ao longo da disciplina:
seno, coseno...
interpolação polinomial
equações lineares
EDO
etc.

Programação Linear / Otimização

Programação Linear
Envolve problemas de otimização em que:
função objetivo é linear
restrições são lineares
Mas...
o que é função objetivo e restrições?
isso tem aplicação prática?

Otimização
Busca da melhor solução dentre um conjunto de soluções
Função objetivo
um critério de avaliação das soluções alternativas
permite dizer que uma é melhor que a outra
É a função objetivo que buscamos otimizar
alguns casos maximizar
outros casos minimizar
E quanto às restrições?
o que deve ser respeitado pela função objetivo
À procura de uma deﬁnição mais formal?

Otimização (do ponto de vista matemático)
Uma função f
ora denominada função objetivo
Um conjunto Ω
contendo todas as possíveis soluções
Um problema de otimização matemático é deﬁnido por:
min{ f(x) }, x ∈ Ω
ou
max{ f(x) }, x ∈ Ω

Que tal exemplos práticos?
O problema da mistura (minimizar custos)
Ração
Barragem de concreto (só modelagem do problema)
O problema da produção (maximizar faturamento)
Geladeira
Pão e Pizza (só citar)

Problema da mistura – Ração

Queremos saber quais as quantidades ideais de cada
ingrediente para fazer uma quantidade de ração, com as
necessidades nutricionais atendidas e o custo total dos
ingredientes seja o menor possível
Temos os ingredientes e seus custos:
Milho (A1) – R$ 65,00 /Kg
Farinha de ossos (A2) – R$ 30,00 /Kg

Para fazer uma certa quantidade de ração para aves por
exemplo, é necessário uma certa quantidade nutrientes,
digamos, vitamina A (Va), vitamina B (Vb) e proteína (Vc)
Mais importante, segue sua quantidade nos ingredientes:
Milho (A1) → 2 un. Va 3 un. Vb 1 un. Vc
Farinha de ossos (A2) → 3 un. Va 2 un. Vb

Ademais, a ração deve ter no mínimo:
7 un. Va 9 un. Vb 1 un. Vc
Objetivo: determinar a quantidade dos alimentos para
satisfazer as restrições da ração e ter o menor custo

Modelagem
Variáveis de decisão
x1 = quantidade de ingrediente do tipo 1 presente na mistura
x2 = quantidade de ingrediente do tipo 2 presente na mistura
Função custo (restrições evitam ser nulo)
f(x1, x2) = 65x1 + 30x2
Nosso objetivo: determinar x1 e x2 tal que
f(x1, x2) = min{ f(x) }, x ∈ Ω
e logicamente considerando as restrições

Modelo Matemático
Para lembrar:

Problema da mistura – Barragem de concreto

Na implantação de uma barragem com grande consumo
de concreto, usar-se-á como fontes de agregados graúdos:
Britas graníticas, seixos rolados e pedra britada comercial
A tabela no próximo slide apresenta os custos e as
composições granulométricas de cada agregado e a
composição granulométrica ideal

Dados do problema da barragem de concreto

Modelo Matemático
Para lembrar:

Problema da produção – Geladeira

Empresa precisa decidir quais modelos de geladeira instalar
em sua nova planta
luxo ou básico
No máximo, 1500 un. luxo e 6000 un. básico por mês
Empresa contratou 25.000 homens-hora por mês
Luxo requer 10 homens-hora, básico requer 8 homens-hora
A capacidade da linha de montagem é de 4.500
geladeiras por mês (os modelos dividem a mesma linha)
O lucro unitário do modelo luxo é R$100 por mês, básico
lucra R$50 por mês

Objetivo: determinar quanto produzir de cada modelo, de
modo a satisfazer todas as restrições e maximizar o lucro da
empresa
Variáveis de decisão
x1 = quantidade de geladeiras do modelo luxo a ser
produzida por mês
x2 = quantidade de geladeiras do modelo básico a ser
produzida por mês

Modelo Matemático

Problema da produção – Pão e Pizza

Problema da produção – Pão e Pizza
Uma padaria produz: pão (P1) e massa de pizza (P2)
Usa-se: farinha (M1), fermento (M2), ovos (M3) e manteiga
(M4), em que tem-se em estoque, respectivamente, 60, 38,
18 e 55 unidades
1 kg de pão requer 1 un. de farinha, 2 un. de fermento e 3
un. de manteiga
1 kg de massa de pizza requer 3 un. de farinha, 1 un. de ovo
e 1 un. de manteiga
O pão e massa de pizza são vendidos a R$ 22/Kg e R$20/Kg
Objetivo: determinar a quantidade de cada produto a ser
fabricada que maximize as vendas e respeite o estoque

Algoritmo
Entendi os exemplos. Mas existe algoritmo para isso?
A resposta é simplex

Algoritmo
Entendi os exemplos. Mas existe algoritmo para isso?
A resposta é simplex
Simplex
Algoritmo mais utilizado em Programação Linear
Não é tão simples como o nome (mas também não é assim complicado)
por isso só uma visão geral nesta aula
Em suma, a partir do modelo matemático do problema
passa para formal normal matricial
executa o algoritmo
são sete passos muito bem deﬁnidos
resultado: solução ótima (se existir)

Então, consegue complicar?

Então, consegue complicar?
O melhor é que consegue fácil e ainda conseguimos solucionar!

Considerações Finais

Considerações Finais
Para concluir, viu-se nesta aula:
Processo (as quatro etapas)
Motivação (det(A))
Métodos numéricos
Alguns problemas (
√
a) e métodos numéricos (Newton)
Programação Linear/Otimização:
Função objetivo e restrições
Exemplos práticos de otimização
Simplex
Ao longo da disciplinas
Aprofundar... (não é afundar)

Referências
Frederico Campos et al. Algoritmos Numéricos. 2 ed., 2007.
Maristela Santos. Otimização Linear. Notas de aula, 2012.

Obrigado!!!

Métodos numéricos, programação linear e otimização

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