Proyecto final matemática 2 (INTEGRALES)

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TRABAJO REALIZADO POR ALUMNOS DEL III SEMESTRE DE LA ESCUELA DE GESTION EMPRESARIAL

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Proyecto final matemática 2 (INTEGRALES)

  1. 1. MATEMATICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN II ESCUELA DE GESTIÓN EMPRESARIAL MODALIDAD DISTANCIA III SEMESTRECATEDRATICO: ING. RAFAEL S. SALCEDO AUTORES ANGEL ARÉVALO GUZMÁN CAROLINA VALAREZO MACÍAS RICKY VILLANUEVA AVILA AÑO LECTIVO 2009 - 2010 1
  2. 2. INDICE Pàg.INTRODUCCIÓN 4JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA 5PROBLEMA 6OBJETIVOS 6CAPITULO I: MARCO CONCEPTUAL 71.1 Concepto de Integral 71.2 La integral indefinida 81.2.1 Fórmulas básicas de integración. 91.2.2 Ejercicios de aplicación de las fórmulas 101.3 Integración con condiciones iniciales 151.4 Técnicas de Integración 181.6 Método de sustitución 19Capítulo II:APLICACIÓN DE LA INTEGRAL INDEFINIDA EN PROBLEMASDE ECONOMÍA 202.1 Costo2.2 Ingreso2.3 utilidad2.4 Incremento de la utilidad2.5 Maximización de la utilidad2. CAPÍTULO III:CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES3.1 Conclusiones 25 2
  3. 3. 3.2 Recomendaciones 26BIBLIOGRAFÍA 27ANEXOS 28Tablas de Integración 29Fotos 35 3
  4. 4. INTRODUCCIÓN Como parte del proceso de formación como futuros ingenieros en GestiónEmpresarial de la UTSAM, el conocimiento sobre cálculo integral y la aplicaciónde los ejercicios matemáticos es de vital importancia para desarrollar habilidades ydestrezas en la solución de creativa de problemas de administración y economía. La finalidad de nuestra investigación sobre las integrales indefinidasComprender los conceptos básicos del cálculo integral, como también el adquirirdestreza en las técnicas de integración, elementos que son importantes para lamayor comprensión de la Microeconomía y Macroeconomía. En el primer capítulo abordaremos el marco conceptual sobre la integralindefinida, la integración con condiciones iníciales, las tablas de integrales,las técnicas de integración y el método de sustitución. En un segundo capítulo aplicaremos la integral indefinida en problemas deeconomía, donde realizaremos ejercicios prácticos adaptados a determinar elcosto, los ingresos, la utilidad, su incremento y maximización en laproducción y comercialización de banano orgánico de UROCAL. En un tercer capítulo, abordaremos las conclusiones a las que hemosllegado y definiremos algunas recomendaciones sobre el tema de nuestrainvestigación. 4
  5. 5. JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA La Matemática aplicada II, se constituye en una herramienta básica paraorientar el desarrollo de los conocimientos, habilidades y destrezas para elestudio de temas relacionados a la economía, donde deja de ser abstracta einaplicable y pasa a ser práctica y aplicable a soluciones de problemas actualesen el campo de problemas económicos. La importancia del estudio de las integrales indefinidas radica en quecontribuyen a tener una mejor comprensión de la micro y macro economía,materias de gran importancia en el proceso de formación profesional como futurosingenieros en Gestión Empresarial. El estudio y la Aplicación de las integrales indefinidas son de vital importanciapara la resolución e interpretación de los problemas de costos fijos y variables,ingresos, consumo, demanda, utilidad, ahorro, formación de capitales,maximización de la producción, marginalidad. De allí que consideramos que la presente investigación, se constituye en unaherramienta de investigación y consulta para todo estudiante que se encuentra enproceso de formación profesional. 5
  6. 6. PROBLEMA ¿Cómo resolver problemas de administración y economía, mediante laaplicación de sistemas de conocimientos de cálculo integral con énfasis en laintegral indefinida? OBJETIVOS  Comprender los conceptos básicos del cálculo integral , especialmente lo relacionado a la integral indefinida.  Adquirir destreza en las técnicas de integración, elementos que son importantes para la mayor comprensión de la Microeconomía, Macroeconomía y Teorías del Crecimiento.  Aplicar la integral indefinida en problemas de economía 6
  7. 7. CAPÌTULO I MARCO CONCEPTUAL 1.1 CONCEPTO DE INTEGRAL La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas,especialmente en los campos del cálculo. El cálculo integral es el proceso inverso a la diferenciación. Es decir, es elproceso de determinar la función cuando se conoce su derivada se llamaintegración, y la función de determinar se denomina la antiderivada o la integralde la función dada, o de otra manera dada la derivada de una función se debeencontrar la función original. Por ejemplo, podemos estar manejando un modelode costos en que el costo marginal es una función conocida del nivel deproducción y necesitamos calcular el costo total de producir X artículos. Principio.- Con el objeto de evaluar la antiderivada de alguna función f(x),debemos encontrar una función F(x) cuya derivada sea igual a f(x), por ejemplo,supongamos que f(x)= 3x2. Puesto que sabemos que (d/dx)(x3)= 3x2, concluimosque podemos decir F(x) = x3, en consecuencia, una antiderivada de 3x2 es x³. El cálculo integral también involucra un concepto de límite que nos permitedeterminar el límite de un tipo especial de suma, cuando el número de términos enla suma tiende a infinito. Con él podemos conocer la tasa de producción de unpozo de petróleo como función del tiempo y debemos calcular la producción totaldurante cierto periodo. ¡Ésta es la verdadera fuerza del cálculo integral! 7
  8. 8. 1.2 LA INTEGRAL INDEFINIDA La notación moderna de las integrales indefinidas fue presentada por GottfriedLeibniz en 1675 para indicar la suma, que adaptó el símbolo integral,”∫”, partir deuna letra S alargada. OBJETIVO.- Definir la antiderivada y la integral indefinida, y aplicar fórmulas básicas deintegración. Del ejemplo enunciado anteriormente podemos decir que esta repuesta no esúnica, por que las funciones x³ + 4 y x³ - 2 también tienen 3x² como derivada. Dehecho, para cualquier constante C, x³ tiene derivada 3x², en consecuencia, x³ + Ces una antiderivada de 3x² para cualquier C. La constante C, que puede tener unvalor arbitrario, se conoce como constante de integración. El aspecto común a todas las derivadas es la no unicidad; se les puede sumarcualquier constante sin destruir su propiedad de ser la antiderivada de una funcióndada. Sin embargo, ésta no es la única ambigüedad que existe: si F(x) escualquier antiderivada de f(x) , entonces cualquier otra antiderivada f(x) difiere deF(x) sólo por una constante. Por tanto, podemos decir que si F’(x)= f(x), entoncesla antiderivada general de f(x) está dada por F(x) + C, en donde C es cualquierconstante. Ya que la constante de integración es arbitraria (es decir, puede ser cualquiernúmero real), la integral así obtenida recibe el nombre más propio de integralindefinida Dos antiderivadas cualesquiera de una función difieren sólo en una constante. Como x³ + C describe todas las antiderivadas de 3x², podemos referirnos a ellacomo la antiderivada más general de x³, detonada por ∫x³ dx , que se lee “integralindefinida de x³ con respecto a x”. Escribimos así 8
  9. 9. ∫x³ dx = +C El símbolo ∫ se llama símbolo de integración, 2x es el integrando y C laconstante de integración. La dx es parte de la notación integral e indica la variableimplicada. Aquí, x es la variable de integración. Ejemplo: Determinación de una integral indefinida. Encontrar ∫ 8 dx. Solución: Primero debemos encontrar una función cuya derivada sea 8, luegoañadimos la constante de integración Como sabemos que la derivada de 8x es 8, 8x es la antiderivada de 8 (v = 8;dv = dx), por lo tanto, ∫ 8 dx. = 8x + c 1.2.1 Formulas básicas de integración: 1. ∫ dx = x + C 2. ∫ k dx = Kx + C k es una constante 3 ∫ xⁿ dx = +c n ‡-1 4 ∫ ex dx = ex + C 5 ∫ kf (x) = k∫ f(x)dx, k es una constante 6 ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) ± ∫ g(x) dx 9
  10. 10. 7 ∫ dx = Ln x + c 1.2.2 EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LAS FORMULAS Integrales indefinidas de una constante y de una potencia de x • Encontrar ∫ 2 dx.Solución : por la fórmula 2 con k = 2, ∫ k dx = Kx + C ∫ 2 dx = 2x + C Encontrar ∫ x⁴ dx =Solución : por la fórmula 3 con n = 4, ∫ xⁿ dx = +c ∫ x⁴ dx = +c = +c Integral indefinida de una constante por una función de x La integral del producto de una constante de una función de x es igual a laconstante por la integral de la función. Esto es, si C es una constante. Encontrar ∫ 5x dx Solución: por la fórmula 5 con k = 5 y f(x) = x, ∫ kf (x) = k∫ f(x)dx, ∫ 5x dx = 5 ∫ x dx v=x dv = dx Como x es x¹, por la formula 3 tenemos ∫ xⁿ dx = +c 10
  11. 11. ∫ x¹ dx = + c, donde c, es la constante de integración, por lo tanto, ∫ 5x dx = 5∫ x dx = 5 +c Con mayor sencillez, escribimos de la siguiente manera ∫ 5x dx = 5∫ x dx = +c Integral de una constante por una función de x Encontrar ∫ - ex dx. Solución: donde es la constante de integración por lo tanto; = ∫ ex dx. Por la formula 4 ∫ ex dx = ex + C tenemos ∫ - ex dx = ex + c  Integral indefinida de una suma: La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus integrales Encontrar ∫ (x⁴ + 2x) dx Solución: Por la fórmula 6, ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) ± ∫ g(x) dx ∫ (x⁴ + 2x) dx = ∫ x⁴ dx + ∫ 2dx. Este resultado puede extenderse a la diferencia de dos funciones o a cualquier suma algebraica de un número finito de funciones; ahora tenemos, 11
  12. 12. ∫ xⁿ dx = +c v =x dv = dx n=4 = ∫ x⁴ dx = +c = +c ∫ 2x dx.= Donde 2 es la constante de integración; 2∫ x dx. +c = +c = x² + c ∫ (x⁴ + 2x) dx = = + x² + C Integral indefinida de una suma y diferencia Encontrar ∫(2 -7x³ + 10 Por la fórmula 6, ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) ± ∫ g(x) dx Solución: 2∫ x4/5 dx – 7 ∫x³ dx + 10 ∫ ex dx - ∫ 1 dx v=x dv= dx n= Aplicamos la formula ∫ xⁿ dx = +c v = x dv= dx n=3 v = ex dv = exdx = (2) – (7) Aplicamos la formula ∫ ex dx = ex + C ∫(2 -7x³ + 10 = - 12
  13. 13.  Uso de manipulaciones algebraicas para encontrar una integral indefinida Encontrar ∫ y² (y + ) dy. Solución: El integrado no concuerda con ninguna forma familiar de integración;sin embargo, multiplicando los factores del integrado obtenemos ∫ y² (y + ) dy = Primeramente multiplicamos y nos da: ∫ (y³ + y²) dy Utilizamos la formula ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) ± ∫ g(x) dx Y nos resulta ∫ y³ dy + ∫ y² dy v=y dv= dy n=3 v=y dv = dy n= 2 Aplicamos la formula ∫ xⁿ dx = +c : ∫ (y³ + y²) dy = ∫ y² (y + ) dy = Uso de manipulación algebraicas para encontrar una integral indefinida Encontrar ∫ dx Solución: Al factorizar la constante y multiplicar los binomios, obtenemos : = ∫ (2x² + 5x -3 ) dx Utilizamos la formula ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) ± ∫ g(x) dx Donde es la constante de integración y aplicando la formula tenemos: 13
  14. 14. = ∫2x² dx + ∫5x dx - ∫3 dx ∫2x² dx = ∫5x dx = +c ∫3 dx = v = 2x dv = x dx n=2 v = 5x dv = x dx n=1 Tomando factor común = = ó también = ∫ dx = +cEncontrar ∫ dx Solución: Podemos descomponer el integrando en fracciones, dividiendo cadatérmino del numerador entre el denominador. = ∫ =∫ dx = ∫x dx - ∫ dx =∫x dx = +c =-∫ dx = +c v=x dv = dx n=1 v= dv = dx = +c ∫ dx = +c Aplicación de la regla de potencia para integración Encontrar ∫( x + 1)20 dx. Como el integrado es una potencia de la función x + 1, haremos u = x, entonces du = dx, y la ∫( x + 1)20 dx tiene la forma ∫( u)20 du. Por medio de la regla de la potencia para integración, 14
  15. 15. ∫( x + 1)20 dx = utilizamos la formula ∫ xⁿ dx = +c Donde v =( x+1) dv = dx n= 20 ∫( u)20 du = +c = Aplicación con ajuste al dv Encontrar ∫x dx Lo podemos escribir también ∫x dx u = x2 + 5 du = 2x dx n= ; nos damos cuenta que el valor de que elfactor constante de 2 aparece en el integrado, la misma que no tiene la forma de∫ ; sin embargo podemos poner la integral dada en esta forma por medio dela multiplicación 2 y dividiendo por , quedando de la siguiente manera = ∫ .(2x dx) = / +c ∫x dx = 1.3 INTEGRACIÓN CON CONDICIONES INICIALES Encontrar una antiderivada particular de una función que satisface ciertascondiciones implica la evaluación de una constante de integración. Si conocemos la razón de cambio, f’, de la función f, entonces la función fmisma es una antiderivada de f (ya que la derivada de f es f’). Por supuesto hay 15
  16. 16. muchas antiderivadas de f’ y la más general es denotada por la integral indefinida.Ejemplo; f’ (x) = 3x entonces: f (x) = ∫ f’ (x) dx = ∫ 3x dx = +C (1)Esto es, cualquier función de la forma f (x) = + C tiene su derivada igual a 3x,que debido a la constante de integración, no conocemos f (x) específicamente.Sin embargo, si f debe tener cierto valor para un valor particular de x, podemosdeterminar el valor de C y conocer así específicamente a f (x) . Ejemplo: Si f (1) =4, de la ecuación (1) obtenemos. f (1) = 1² + C 4 =1+C C =4–1 C=3 Así; f (x) = x² + 3 Esto es, ahora la función particular f(x) para la cual f (x)= 3x y f(1) = = 4. Lacondición f(1) = 4, que da un valor especifico de x, se llama condición inicial ( ovalor en la frontera). Ejemplo: Si y es una función de x tal que y’ = 6x - 3 y y(2)= 5, Solución: aquí, y(2) = 5 es la condición inicial. Como y’ = 6x – 3, y es unaantiderivada de 6x - 3: y = ∫(6x – 3) dx = = 3x² - 3x + (2) Podemos determinar el valor de C por medio de la condición inicial. Como = 5cuando = 2, de la ecuación (2) tenemos 5 = 3(2)² - 3(2) + C, 5 = 12 – 6 + C C = -3 16
  17. 17. Al reemplazar C por -3 en la ecuación (2) obtenemos la función que buscamos y = 3x² - 3x - 3 (3) Para encontrar y(4), hacemos x = 4 en la ecuación (3) y(4) = 3(4)² - 3(4) – 3 = 48 -12 – 3 = 33 Ejemplo: Problema con condiciones iníciales que implican Dado que y” = - 12, y’(0) = 2, y y(1) = -1, encontrar y. Solución: para pasar de y” a y son necesarias dos integraciones, la primeranos lleva de y” a y, y la otra de y’ a y. Por lo tanto, se tendrán dos constantes deintegración, que denotaremos como Como y” = - 12, y’ es una antiderivada de - 12, por lo que, =∫( - 12) dx = - 12x + Ahora (0) significa que = 2 cuando x = 0; por tanto, de la ecuaciónanterior, tenemos 2== – 12(0) + De aquí, = 2, de modo que - 12x + Por integración podemos encontrar: y = ∫ = 17
  18. 18. Así: y= Ahora, como y = -1 cuando x = 1, de la ecuación anterior tenemos -1 = Así, =- , por lo que y= 1.4 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN El objetivo es analizar las técnicas del manejo de problemas de integraciónmás complejas, a saber, por medio de la manipulación algebraica y por ajuste delintegrando a una forma conocida. Cuando se tiene que integrar fracciones, es necesario a veces efectuar unadivisión previa para obtener formas de integración conocidas; Ejemplo. Encontrar ∫ dx Solución: Podemos descomponer el integrando en fracciones, dividiendo cadatérmino del numerador entre el denominador. = ∫ = ∫ ; La descomponemos de la siguientemanera: = ∫x dx - ∫ dx ; aquí aplicamos para el primerintegral la 18
  19. 19. Formula ∫ xⁿ dx = +c , y en segundo caso la formula ∫ dx = ln x+ c . Entonces tenemos que: ∫ dx = - ln x + c Encontrar ∫ dx ; la podemos escribir como ∫ dx u= du = dx ∫ dx = 2∫ dx =2∫ +c =- = c dx 1.5 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN No todas las integrales se pueden evaluar en forma directa usando lasintegrales estándar. Sin embargo, muchas veces la integral dada puede reducirsea una integral estándar ya conocida mediante un cambio en la variable deintegración. Este método se conoce como método de sustitución y corresponde ala regla de la cadena en diferenciación. ∫x dx u = x2 + 5 du = 2x dx n= 4 ∫ .(2x dx) = +c = +c ∫ .(2x dx) = 19
  20. 20. Algunas veces la diferencial exacta apropiada no aparece en la integral misma,sino que la función debe multiplicarse o dividirse por cierta constante Ejemplo: ∫ ; la derivada de es . Puesto que la expresión noaparece en el integrado, esto no sugiere hacer u = + 1 , luego, du = y así dx =du. ∫ ; Utilizamos la formula ∫ = + c, y nos dacomo resultado, ∫ = 20
  21. 21. CAPÌTULO II APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA EN PROBLEMAS DE ECONOMÍA El costo marginal de una finca de 7,00 hectáreas que produce bananoorgánico en UROCAL está dada por la ecuación c(x) = 3 + 008xa) Determine la función de costo C (x), si los costos fijos de la finca es de 240 dólares mensuales. C’ (x) = 3 + 0.008x C’ (x) = ∫( + 0.008x ∫ ∫ C (x) = 3x + +c C (x) = 3x b) Cuánto costara producir 500 cajas con banano es un mes? X = 500, procedemos a reemplazar en la ecuación anterior C (x) = 3x ; procedemos a reemplazar x por 500 C (x) = 3(500) + C (x) = 2740 C (x) = 1500 + 1000 + 240 Producir 500 cajas con banano cuesta 2.740,00 dólares mensualmente. c) Si las cajas con banano se venden a 6,50 dólares cada una. Cuál es suutilidad? U=I–C 21
  22. 22. I = 500 x 6,50 = $ 3.250,00 U = 3.250 – 2740 = $ 510 La utilidad mensual es de $ 510 d) Si las cajas con banano se venden a 6,50 dólares cada una. Cuántascajas deben producir para maximizar la utilidad? Px = R (x) – C (x) R (x) = $ 6,50 P(x) = 6,50x – (3x ) procedemos a derivar la función P’(x) = 6,50– (3 ) 0 = 6,50 -3 – 0,004x 0,004x = 0,004x = 3,50 x= X = 875 Para maximizarla producción hay que producir 875 cajas con banano mensualmente e) Determine el incremento de utilidad que hay maximizando laproducción a 875 cajas mensualmente. De acuerdo a la pregunta el costo de producir 500 cajas con bananomensualmente es de: 2740/ 500 = $ 5,48; maximizando la producción nos da 875 cajasmensualmente, entonces tenemos lo siguiente: 2740/500 = $ 5,48 Costo de producción por caja 2740/875 = $ 3,13 Costo de producción por caja Variación : 22
  23. 23. El incremento de producción en porcentaje por cajas es del 75% (375Cajas mensuales) 875 * $ 6,50 = $ 5.687,50 Ingreso mensual 500 * $ 6,50 = $ 3.250,00 Ingreso mensual Variación : U=I–C I = 875 x 6,50 = $ 5.687,50 U = 5.687,50 – 2.740 = $ 2.947,50 La utilidad mensual maximizando la producción es de $ 2.947,50 f) Determine el incremento de utilidad si el volumen de venta esincrementado de 500 a 675 cajas mensuales. 2740/500 = $ 5,48 Costo de producción por caja 2740/675 = $ 4,06 Costo de producción por caja Variación : 675 * $ 6,50 = $ 4.387,50 Ingreso mensual 500 * $ 6,50 = $ 3.250,00 Ingreso mensual Variación : 23
  24. 24. U=I–C I = 675 x 6,50 = $ 4.385,50 U = 5.687,50 – 2.740 = $ 1.647,50 La utilidad mensual aumentando la producción a 675 cajas es de $1.647,50 24
  25. 25. CAPÍTULO III CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 3.1 CONCLUSIONES Después de la desarrollar la investigación sobre las integrales indefinidas,hemos llegado a las siguientes conclusiones:  Que para la integración indefinida no existen reglas generales, es la práctica sistemática lo que determina la aplicación del método adecuado de integración, según sea el integrando.  Solo con la práctica sistemática, se podrá llegar a entender y resolver los ejercicios de las integrales indefinidas.  Que el estudio de las integrales indefinidas son importantes en la aplicación y resolución de problemas de la micro y macro economía. 25
  26. 26. 3.2 RECOMENDACIONES A nivel general recomendamos la presente investigación como material deestudio o consulta para los estudiantes de la UTSAM u otro centro de estudio, conla finalidad de facilitar y ampliar su conocimiento sobre las integrales indefinidas. Para el proceso de resolución de las integrales indefinidas recomendamos losiguiente:  Analizar si es una integral directa o indirecta  Valorar la posibilidad de transformarla en una o varias inmediatas aplicando alguna transformación algebraica o simplificación del integrando.  Si el integrando no es racional (directo) o es algebraico irracional (indirecto) hay que valorar la posibilidad de aplicar alguna sustitución o el método de integración por partes y así obtener directamente el resultado o en su defecto por lo menos reducir el integrando a uno que esté en alguna tabla de integrales.  En otros casos hay que hacer la utilización de los artificios algebraicos o logarítmicos para poder transformarla en una integral accesible. 26
  27. 27. BIBLIOGRAFÍA Chiang A, “Métodos Fundamentales de Economía Matemática”, 3ª ed., Ed. McGraw-Hill,México, 1987. J. Grafe, “Matemáticas para Economistas”. Ed. McGraw-Hill, Madrid, 1991. E. Costa Reparaz, “Problemas y Cuestiones de Matemáticas para Economistas”, Ed. Pirámide,Madrid, 1991. Ernest F. Haeussler, Jr y Richard S. Paúl. Matemáticas para Administración y economía. Décima edición. Pearson Educación, México 2003. JAGDISH, C. ARYA, Matemáticas aplicadas a la Administración y a la Economía, Cuarta Edición, Editorial Pearson, México, 2002 Lardner Aaya. Matemáticas Aplicadas a la Administración y economía. México 1,993. Sheifle Xavier. Apuntes a la teoría económica. Editorial Trillas. México. 1.996. wikipedia.org/wiki/Integración www.uoc.edu/in3/emath/docs/Integral_Definida.pdf www.scribd.com/doc/.../Integrales-Indefinidas - www.scribd.com/.../CALCULO-DIFERENCIAL-E-INTEGRAL-II-FAS2-LA- INTEGRAL-INDEFINIDA- www.upao.edu.pe/new_pregrado/.../12/.../MATEMATICA_II.pdf 27
  28. 28. ANEXOS 28
  29. 29. TABLA DE INTEGRALESObservación. En toda integral se omite la constante de integración y el lector deberá agregarla. 29
  30. 30. 30
  31. 31. 31
  32. 32. 32
  33. 33. 33
  34. 34. 34
  35. 35. Pequeño productor de banano orgánico de UROCAL 35
  36. 36. Procesamiento de las cajas 36
  37. 37. 37
  38. 38. 38

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