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Diapositivas integral definida

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UN APORTE DE LOS ALUMNOS QUE CURSAN ESTA MATERIA

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Diapositivas integral definida

  1. 1.  INTRODUCCIÓN Este artículo permite captar rápidamente la interpretación geométrica de la Integral Definida: área bajo la curva entre dos puntos dados. Se utiliza un procedimiento diferente al de aproximaciones sucesivas de rectángulos, usualmente empleado; contiene al de integración por medio de trapecios y es consecuencia de un enfoque propuesto para el cálculo de áreas de polígonos. Para su comprensión es conveniente la consulta del artículo: Área de los Polígonos- enfoque para el cálculo, publicado en monografías.com, por cuanto se utiliza la fórmula general de cálculo propuesta en el mencionado trabajo. No obstante, en forma rápida, introduciremos la fórmula para el caso de figuras de tres y cuatro lados. CATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ
  2. 2. Integración Numérica Integral definida: Cálculo Fórmula de los Trapecios Regla de Simpson Integración de Romberg Otros métodos (Newton-Cotes, Gauss)CATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ
  3. 3. Integral definida: Cálculo Regla de Barrow b f ( x)dx F( b) F(a ) a Pero...  Funciones sin primitiva sencilla sen( x ) t -x 2 dx e dx 0 x 0  Datos experimentales: área de un terreno.CATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ
  4. 4. Fórmula de los Trapecios Simple f (a ) f (b) IT (b a) 2 Error 3 (b a) ET f ( ), [a , b] 12CATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ
  5. 5. Fórmula de los Trapecios Compuesta h IT[h] (y0 2 y1 2y2  2yn 1 yn) 2 Error 2 h ET (b a ) f ( ), [a , b] 12 Exacta para funciones de 1er gradoCATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ
  6. 6. Algoritmo TRAPECIO Integra aproximadamente f(x) en el intervalo [a,b] aplicando la fórmula de los trapecios con n subintervalos.Datos de entrada: a,b,nProceso  Dividir el intervalo en n subintervalos  Evaluar la función en los extremos de los subintervalos  Aplicar la formula de los trapecios: IT[h] = h/2(y0 +2y1+2y2+...+2yn-1+yn)Salida: Integral aproximada Indicación: usar vectores en lugar de bucles para evaluar la Fórmula de los Trapecios.CATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ
  7. 7. Fórmula de Trapecios iterativa Supongamos que n es par: IT[h] = h/2 (y0 + 2y1 + 2y2 + ... + 2yn-1 + yn) = = h/2 (y0 + 2y2 + 2y4 + ... + 2yn-2 + yn) + + h (y1 + y3 + y5 + ... + yn-1) = = IT[2h]/2 + h(y1 + y3+...+yn-1) Refinar la partición y actualizar la integralCATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ
  8. 8. Algoritmo TRAPITER Refina iterativamente la partición del intervalo [a,b] y actualiza la Fórmula de los Trapecios para aproximar la integral de f(x) hasta una precisión determinada. Datos de entrada: a, b, n, tol. Inicio: I = trapecio(a,b,n) Iteraciones: mientras error > tol dividir en 2 cada intervalo x = nuevos puntos, y = f(x) Inueva = I/2 + h*sum(y) % Actualización de la error = abs(I-Inueva) % integral I = Inueva fin mientrasCATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ
  9. 9. Regla de Simpson simple (x0,y0), (x1,y1), (x2,y2) con x1=x0+h, x2=x1+h  Polinomio de diferencias progresivas P(t)= y0+(y1-y0)t+1/2(y0-2y1+y2)t(t-1); ht=x-x0 Integral x2 2 h f ( x ) dx hP ( t ) dt ( y0 4 y1 y2 ) I S [h] x0 0 3CATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ
  10. 10. Regla de Simpson Compuesta h IS[h] (y0 4 y1 2y2  4yn 1 yn) 3 Error 4 h IV ES (b a)f ( ), [a , b] 180 Exacta para polinomios de 3er gradoCATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ
  11. 11. Integración de Romberg  Relación Simpson-Trapecio par 2n subdivisiones de [a, b]. 4 IT [h] IT [2h] I S [h] 3CATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ
  12. 12. Tabla de Romberg IT[h] IT[h / 2] IS[h / 2] IT[h / 4] IS[h / 4] I R [h / 4] I T [ h / 8] I S [ h / 8] I R [ h / 8] I Q [ h / 8]     Expresión general: j 1 4 Ik,j 1 Ik 1, j 1 I kj j 1 4 1 Error de orden h2j Exacta para polinomios de grado 2j-1CATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ
  13. 13. Algoritmo ROMBERG  Integra f(x) en [a,b], aplicando el método de Romberg. Datos de entrada: a,b,n,tol  Proceso: Construccion de la tabla de Romberg k = 1, I(1,1) = trapecio(a,b,n); % Fila 1 mientras error > tol k = k+1 % Fila k dividir en 2 cada subintervalo x = nuevos puntos, y = f(x) I(k,1) = I(k-1,1)/2 + h*sum(y) para j = 2 : k % Aplica el método de Romberg I(k,j) = (4^(j -1)*I(k,j -1) - I(k -1,j -1)) / (4^(j -1) -1) fin para error = abs(I(k,j) - I(k,j -1)) fin mientrasCATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ
  14. 14. Método de Newton-Cotes Dados x0, x1, x2, ..., xn en [a,b], determinar A0, A1, A2, ..., An tales que para todo polinomio p(x) de grado < n, b p ( x ) dx a A 0p(x 0 ) A 1p ( x1 )  A n p ( x n ) Sustituyendo p(x) = 1,x ,x2 , ... , xn se obtiene un sistema lineal del que se despejan A0, A1, A2, ..., AnCATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ
  15. 15. Cuadratura de Gauss Determinar puntos x0, x1, x2, ..., xn en [a,b], y números A0, A1, A2, ..., An tales que, para todo polinomio p(x) de grado < 2n+1, b p ( x ) dx a A 0p(x 0 ) A 1p ( x1 )  A n p ( x n ) Sustituyendo p(x) = 1,x ,x2 , ... , x2n+1 se obtiene un sistema no lineal del que se despejan x0, x1, x2, ..., xn y A0, A1, A2, ..., An.CATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ
  16. 16.  APLICACIONES DE LA INTEGRAL   Cálculo del área de la superficie que determinan dos curvas al cortarse   Si en un intervalo (a, b) dos funciones f(x) y g(x) cumplen que f(x) g(x), entonces representa el área de la superficie que encierran las dos curvas.  En la figura, se ha llamado A, B, C y D a las áreas de las cuatro regiones que dos curvas f(x) y g(x) determinan con el eje de abscisas. Teniendo en cuenta que C es el área de una zona situada por debajo del eje X:  Para calcular el área encerrada por dos curvas se han de seguir, primeramente, estos pasos:  Se trazan las curvas.  Se señalan los puntos en los que se cortan las curvas.  Se determina la zona de la que hay que calcular el área.  Dependiendo de los resultados que se obtengan en los tres puntos anteriores, se procede a calcular las áreas de distintas zonas, entre los límites de integración apropiados. Así, por ejemplo, en la figura anterior la zona encerrada entre las dos curvas es B + C.CATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ
  17. 17. Integral Definida: función del incremento del área bajo la curva: Imaginemos la representación gráfica de la función y= f(x), donde se han trazado los segmentos AoA1 y MM1 que definen la superficie S de área A. Desplacemos el segmento en M una distancia infinitesimal; supongamos que se mueve hasta el punto N, desde donde levantamos el segmento NN1, como se muestra en la figura De esta manera la superficie S se incrementa en la superficie definida por MM1N1N, que denominaremos S, cuya área la denotaremos con A (se ha exagerado el desplazamiento para lograr mayor comprensión) Si identificamos la abscisa del punto M con x y el incremento de M a N con x, al ser éste un infinitésimo podemos considerar que el segmento M1N1 está sobre una recta y puede aplicar la fórmula A=½ S(rarb) d(rarb). Por lo que: A =½(f(x) + f(x+ x)) x, y dividiendo por x se tiene A =½(f(x) + f(x+ x)) x y al evaluar el límite cuando x tiende a cero: Lim A =Lim ½(f(x) + f(x+ x)) =½(2f(x)) =f(x) ( x tiende a 0). CATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ
  18. 18. Aplicaciones a la Administración y la Economía  Entre las funciones que se utilizan en economía para hacer modelos de situaciones de mercado se estudian las funciones de oferta y de demanda.  Función de oferta: una empresa que fabrica y vende un determinado producto utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos que está dispuesta a ofrecer en el mercado con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad. Podemos decir que, en respuesta a distintos precios, existe una cantidad correspondiente de productos que los fabricantes están dispuestos a ofrecer en el mercado en algún período específico.CATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ
  19. 19.  Función de demanda: La empresa utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos demandada por los consumidores, con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad, de acuerdo con la demanda. En general, si el precio aumenta, se produce una disminución de la cantidad demandada del artículo porque no todos los consumidores están dispuestos a pagar un precio mayor por adquirirlo. La demanda disminuye al aumentar el precio por eso esta es una función decreciente como lo observamos en los ejemplos gráficos. Podemos asegurar entonces que para cada precio de un producto existe una cantidad correspondiente de ese producto que los consumidores demandan en determinado período. Si el precio por unidad de un producto está dado por p y la cantidad correspondiente en unidades está dada por q la ley que los relaciona se denomina función de demanda. A su gráfica se la llama gráfica de demanda.CATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ
  20. 20. SUPERAVIT DE CONSUMIDORES Y PRODUCTORES  El mercado determina el precio al que un producto se vende. El punto de intersección de la curva de la demanda y de la curva de la oferta para un producto da el precio de equilibrio. En el precio de equilibrio, los consumidores comprarán la misma cantidad del producto que los fabricantes quieren vender. Sin embargo, algunos consumidores aceptarán gastar más en un artículo que el precio de equilibrio. El total de las diferencias entre el precio de equilibrio del artículo y los mayores precios que todas esas personas aceptan pagar se considera como un ahorro de esas personas y se llama el superávit de los consumidores.  El área bajo la curva de demanda es la cantidad total que los consumidores están dispuestos a pagar por q0 artículos. El área sombreada bajo la recta y p0 muestra la cantidad total que los consumidores realmente gastarán en el precio p0 de equilibrio. El área entre la curva y la recta representa el superávit de los consumidores.CATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ
  21. 21. ANÁLISIS MARGINAL La derivada y, en consecuencia la integral, tienen aplicaciones en administración y economía en la construcción de las tasas marginales. Es importante para los economistas este trabajo con el análisis marginal porque permite calcular el punto de maximización de utilidades. En el análisis marginal se examinan los efectos incrementales en la rentabilidad. Si una firma está produciendo determinado número de unidades al año, el análisis marginal se ocupa del efecto que se refleja en la utilidad si se produce y se vende una unidad más.CATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ
  22. 22.  Costo marginal: es el costo adicional que se obtiene al producir y vender una unidad más de un producto o servicio.  También se puede definir como el valor límite del costo promedio por artículo extra cuando este número de artículos extra tiende a cero.  Podemos pensar el costo marginal como el costo promedio por artículo extra cuando se efectúa un cambio muy pequeño en la cantidad producida.CATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ
  23. 23. APLICACIONES A LA ECONOMÍA Y A LOS NEGOCIOS DE LA INTEGRAL DEFINIDA  Se pueden presentar varias situaciones económicas en donde las cantidades pueden expresarse como integrales definidas y representarse geométricamente como áreas entre curvas.  Veamos el caso de las utilidades netas  Supóngase que dentro de x años un plan de inversión generará utilidades a un ritmo de  Dólares por año, mientras que un segundo plan lo hará a un ritmo de dólares por año.CATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ
  24. 24. Valor promedio de una función  Es sencillo hallar el promedio de un conjunto de números dados, sólo debemos realizar el siguiente cálculo y prom. ¿Cómo calculamos la temperatura promedio durante un día si se puede tener numerosas lecturas de temperaturas? ¿Qué pasa si queremos hallar el promedio de un número infinito de valores? ¿Cómo calculamos el valor promedio de la función f(x) x3 en el intervalo [1, 2]? ¿Cómo calculamos el promedio de cualquier función aunque no sea positiva? Estamos en presencia de un tipo de promedio "continuo".CATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ
  25. 25. Resumen Los métodos de Trapecios, Simpson y Romberg permiten estimar la integral con error de orden n2, n4, n,… . Usan nodos equiespaciados, incluyendo los extremos del intervalo. Son casos particulares de Newton-Cotes. El método de Gauss usa nodos desigualmente espaciados, distintos de los extremos del intervalo.CATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ

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