Herminio ladeira

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Herminio ladeira

  1. 1. ˜ UNIVERSIDADE DE SAO PAULO ˆ ´ ˜ INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMATICAS DE SAO CARLOSDEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA E ESTAT´ ´ ISTICA ¸˜ ´ EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS NOTAS DE AULAS Herminio Cassago Junior Luiz Augusto da Costa Ladeira ˜ SAO CARLOS - SP 2011
  2. 2. Sum´rio a1 Preliminares 1 1.1 Problemas onde surgem E.D.O. . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Um Problema Geometrico . . . . . . . . . ´ 2 1.1.2 ımico . . . . . . . . . . . . Um Problema Qu´ 3 1.1.3 ısicos . . . . . . . . . . . . . . . Problemas F´ 3 1.2 Existencia e Unicidade de Solucoes . . . . . . . ˆ ¸˜ 72 Equa¸˜o Diferencial Linear de Primeira Ordem ca 15 2.1 A Equacao Homogenea . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ ˆ 17 2.2 A Equacao nao Homogenea . . . . . . . . . . . . ¸˜ ˜ ˆ 19 2.3 Algumas Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 24 2.3.1 Desintegracao radioativa . . . . . . . . . ¸˜ 24 2.3.2 Circuito Eletrico . . . . . . . . . . . . . . . ´ 25 2.3.3 Resfriamento de um corpo . . . . . . . . . 26 i
  3. 3. 2.3.4 Diluicao de Misturas . . . . . . . . . . . . ¸˜ 28 2.3.5 Outras Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 303 Equa¸˜es Lineares de Segunda Ordem co 31 3.1 Teoria Geral para Equacoes de Segunda Ordem 33 ¸˜ 3.2 Reducao de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 41 3.3 ¸˜ ˆ Equacoes Homogeneas com Coeficientes Cons- tantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.4 A Equacao Nao Homogenea . . . . . . . . . . . . ¸˜ ˜ ˆ 52 3.4.1 ´ Metodo dos Coeficientes a Determinar 55 3.4.2 ´ ¸˜ ˆ Metodo de Variacao dos Parametros (ou Variaca ¸ ˜ o das Constantes) . . . . . . . . . 64 3.5 Algumas Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 67 3.5.1 Vibracoes Mecanicas . . . . . . . . . . . . . ¸˜ ˆ 67 3.5.2 Circuitos Eletricos . . . . . . . . . . . . . ´ 70 3.5.3 Outras Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 72 3.6 Equacoes de Ordem Superior . . . . . . . . . . . ¸˜ 73 3.7 Metodo dos Coeficientes a Determinar . . . . ´ 79 3.8 Metodo de Variacao dos Parametros . . . . . . ´ ¸˜ ˆ 804 Transformada de Laplace 82 4.1 Integrais Improprias . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 82
  4. 4. 4.2 A Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . 84 4.3 Algumas Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.4 Transformada Inversa - Fracoes Parciais . . ¸˜ 89 4.5 Aplicacao a Equacoes Diferenciais . . . . . . . ¸˜ ¸˜ 92 4.6 Outras Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.7 Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.7.1 Transformada de Laplace de δ(t − t0 ) . . 98 4.8 O Produto de Convolucao . . . . . . . . . . . . . 100 ¸˜ 4.9 Tabela de Algumas Transformadas . . . . . . . 1035 Sistemas de Equa¸˜es Diferenciais co 105 5.1 Teoria Geral para Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.2 Sistemas Lineares com Coeficientes Constantes116 5.3 ˜ ˆ Sistemas Lineares nao Homogeneos com Coefi- cientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.4 Metodo da Variacao dos Parametros . . . . . . 131 ´ ¸˜ ˆ 5.5 ¸˜ Resolucao de Sistemas pela Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356 Equa¸˜es N˜o Lineares de Primeira Ordem co a 138 6.1 Equacoes Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 ¸˜ 6.2 Equacoes com Variaveis Separaveis . . . . . . . 144 ¸˜ ´ ´
  5. 5. 6.3 Fatores Integrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.4 Equacoes Homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . 148 ¸˜ ˆ 6.5 ¸˜ Homogeneizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Respostas dos Exerc´ ıcios 154Referˆncias Bibliogr´ficas e a 167
  6. 6. Cap´ ıtulo 1Preliminares O objetivo deste curso ´ mostrar alguns m´todos de resolu¸˜o de e e caalguns tipos de equa¸oes diferenciais que aparecem mais freq¨ente- c˜ umente. Uma equa¸˜o diferencial ´ uma rela¸˜o que envolve uma “fun¸˜o ca e ca cainc´gnita” e suas derivadas ou diferenciais. Por exemplo: o dy (1) y(t) = f (t), em que y denota ˙ ˙ . dt (2) y (t) + y(t) = 0. ¨ (3) y (3) (t) + (sen t) y (t) + 5 t y(t) = 0. ¨ ∂ 2 u(t, x) ∂ 2 u(t, x) (4) + = 0. ∂ t2 ∂ x2 (5) M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0. Uma equa¸˜o diferencial ordin´ria (E.D.O.) ´ uma equa¸ao di- ca a e c˜ferencial na qual a fun¸ao inc´gnita depende apenas de uma vari´vel. c˜ o a 1
  7. 7. Preliminares Cap. 1 Onde surgem E.D.O. 2As equa¸oes (1), (2), (3) e (5) acima s˜o exemplos de equa¸oes dife- c˜ a c˜renciais ordin´rias. Se a fun¸˜o inc´gnita depender de mais de uma a ca o a ca ´vari´vel, temos uma equa¸˜o diferencial parcial (E.D.P.). E o casoda equa¸ao (4). Estaremos interessados exclusivamente nas E.D.O.’s. c˜ A ordem de uma equa¸˜o diferencial ´ a ordem da mais alta ca ederivada da fun¸ao inc´gnita. Portanto, (1) ´ uma equa¸ao de primeira c˜ o e c˜ordem, (2) ´ de segunda ordem e (3) ´ de terceira ordem. e e Uma solu¸˜o de uma equa¸ao diferencial ´ uma fun¸ao definida ca c˜ e c˜num intervalo que, juntamente com suas derivadas, satisfaz a equa¸ao c˜diferencial dada. Por exemplo, a fun¸ao y(t) = sen t ´ uma solu¸ao da c˜ e c˜E.D.O. de segunda ordem y + y = 0, pois, ¨ d2 sen t + sen t = − sen t + sen t = 0. dt2 Verifique que, para cada c ∈ R, a fun¸ao yc (t) = c ek t ´ uma c˜ esolu¸ao da E.D.O. de primeira ordem y = k y e que yc (t) = c t ´ uma c˜ ˙ esolu¸ao de E.D.O. de segunda ordem y = 0. c˜ ¨1.1 Problemas onde surgem E.D.O.1.1.1 ´ Um Problema GeometricoDetermine uma curva que seja definida pela condi¸˜o de ter em todos ca dyos pontos (x, y) a inclina¸ao c˜ igual ao dobro da soma das coorde- dxnadas do ponto. Se y = y(x) ´ a equa¸ao da curva, ent˜o, para resolver este pro- e c˜ ablema devemos resolver a equa¸˜o diferencial: ca dy = 2 (x + y). dx
  8. 8. Preliminares Cap. 1 Onde surgem E.D.O. 31.1.2 Um Problema Qu´ ımicoSuponha que 100 gramas de a¸ucar de cana, em agua, est˜o sendo c´ ´ atransformados em dextrose numa raz˜o que ´ proporcional ` quanti- a e adade n˜o transformada. Deseja-se saber quanto a¸ucar foi transfor- a c´mado ap´s t minutos. o Se q ´ o n´mero de gramas convertido em t minutos e k ´ a cons- e u etante de proporcionalidade, ent˜o, a equa¸ao deste problema ´ dada a c˜ epor: dq = k (100 − q), dtsabendo-se que q(0) = 0.1.1.3 Problemas F´ ısicos1. Movimento vertical Vamos descrever o movimento vertical de um corpo de massa m soba a¸ao da gravidade em um meio que oferece resistˆncia proporcional c˜ ea velocidade do corpo. Deseja-se conhecer a posi¸ao do corpo num` c˜instante t.Seja y = y(t) a posi¸ao do corpo no instante t. c˜Consideremos o sentido positivo o do movimento, Tv = ky k ˙isto ´, para baixo. As for¸as que atuam sobre o e c mcorpo de massa m s˜o: m g devido a gravidade (no a ` dy mgsentido do movimento) e k devido a resistˆncia ` e c dtdo meio (no sentido contr´rio ao movimento). a Segue da 2a lei de Newton (F = m a) que a equa¸ao do movimento ¯ c˜´ dada pore d2 y dy m 2 = mg − k . dt dt
  9. 9. Preliminares Cap. 1 Onde surgem E.D.O. 4 Conhecendo y(0) = y0 e y(0) = 0, determinamos a posi¸˜o do ˙ cacorpo em qualquer instante.2. Movimento de um pˆndulo simples e x T E s θ d d x θ d{ E ~m mg y c c cy As for¸as que atuam no corpo de massa m s˜o a tens˜o T da corda c a a(de comprimento ) e a for¸a vertical mg devido ` gravidade. Se θ ´ o c a e a lei de Newtondeslocamento angular da corda a partir da vertical, a 2¯nos fornece as equa¸oes: c˜ m y = m g − T cos θ, ¨ m x = −T sen θ. ¨Eliminando-se T e lembrando que x = sen θ e y = cos θ, obtemos aequa¸ao do pˆndulo c˜ e ¨ g θ + sen θ = 0.Note que ´ uma equa¸˜o diferencial de 2a ordem. e ca ¯3. Circuitos el´tricos simples e (i) Considere o circuito da figura abaixo em que E I R= resistˆncia e R
  10. 10. I= corrente E L L= indutˆncia a E= for¸a eletromotriz c
  11. 11. Preliminares Cap. 1 Onde surgem E.D.O. 5 Sabe-se que a queda de potencial atrav´s da resistˆncia R ´ RI e e e e dIatrav´s da indutˆncia L ´ L e a e . Segundo a lei de Kirchhoff, a queda dttotal de potencial no circuito deve ser contrabalanceada pela for¸aceletromotriz aplicada. Com isso, a corrente num instante t qualquer ´edada pela equa¸˜o diferencial: ca dI L + R I = E, dtque ´ uma equa¸ao diferencial de 1a ordem. e c˜ ¯ (ii) Dado o circuito E em que R, I, L e E s˜o como em a I (i) e C = capacitˆncia. Sabe-se que a R
  12. 12. a queda de potencial atrav´s da ca- e E L 1 pacitˆncia C ´ Q, em que Q ´ a carga a e e C C no capacitor. Pela lei de Kirchhoff temos: dI 1 L + R I + Q = E. dt C dQComo I = , segue-se que dt d2 Q dQ 1 L +R + Q = E, dt2 dt Cque ´ uma equa¸ao diferencial de 2a ordem. e c˜ ¯4. Sistema massa-mola Consideremos uma mola (que supomos sem massa) suspensa ver-ticalmente tendo sua extremidade superior presa num suporte r´ ıgido.Quando fixamos um corpo de massa m na outra extremidade da mola,ela se distende de uma quantidade d e, pela lei de Hooke, passa a exer-cer sobre o corpo uma for¸a de intensidade kd (em que k ´ a constante c e
  13. 13. Preliminares Cap. 1 Onde surgem E.D.O. 6de restaura¸˜o da mola) e sentido oposto ao deslocamento. Sobre este cacorpo atuam duas for¸as: o peso m g e a for¸a restauradora da mola c ck d. o d T kd c 0 Tg m c k (d + y) y T c cg m Como o corpo est´ em equil´ a ıbrio, temos m g = k d. (1.1)Imaginemos agora que este corpo seja deslocado verticalmente a partirdesta posi¸ao de equil´ c˜ ıbrio e, em seguida, liberado. Queremos estudaro seu movimento. Fixemos um eixo de coordenadas Oy cuja origemcoincide com o ponto de equil´ ıbrio do corpo e sentido para baixo. Asfor¸as que atuam sobre o corpo s˜o: o peso m g (mesmo sentido de Oy) c ae a for¸a restauradora da mola de sentido oposto ao do deslocamento ce intensidade k (y + d). Pela 2a lei de Newton, temos: ¯ d2 y m = m g − k (y + d). dt2Usando (1.1), obtemos d2 y m + k y = 0, dt2que ´ uma equa¸ao diferencial linear de 2a ordem. e c˜ ¯
  14. 14. Preliminares Cap. 1 Existˆncia e Unicidade e 71.2 ˆ ¸˜ Existencia e Unicidade de Solucoes Seja f : [a, b] → R uma fun¸ao cont´ c˜ ınua. O Teorema Fundamentaldo C´lculo implica que a fun¸ao a c˜ t F (t) = f (s) ds, com a ≤ t ≤ b, a´ diferenci´vel em (a, b) e F (t) = f (t) para todo t ∈ (a, b). Logo, F (t)e a´ uma solu¸ao da equa¸ao diferencial ordin´ria de 1a ordeme c˜ c˜ a ¯ y(t) = f (t) com a ≤ t ≤ b, ˙e ainda F (a) = 0. Neste caso dizemos que F (t) ´ uma solu¸ao do e c˜problema de valor inicial (P.V.I.) y(t) = f (t) ˙ y(a) = 0.Este P.V.I. possui uma solu¸ao, mas surge a pergunta: c˜Ser´ que F (t) ´ a unica solu¸ao deste P.V.I.? Neste caso a resposta ´ a e ´ c˜ epositiva, pois, se G(t) for uma outra solu¸ao, temos que c˜ G (t) = f (t) = F (t)e isso implica que (F − G) (t) = 0. Ou seja, (F − G)(t) = constante.Mas, (F − G)(a) = F (a) − G(a) = 0 − 0 = 0. Portanto, G(t) = F (t)para todo t ∈ (a, b). No entanto, h´ problemas do valor inicial que possuem mais de auma solu¸ao. O problema de valor inicial c˜ y = |y|1/2 ˙ (1.2) y(0) = 0n˜o tem unicidade de solu¸˜o, pois y1 (t) ≡ 0 ´ uma solu¸ao e a ca e c˜
  15. 15. Preliminares Cap. 1 Existˆncia e Unicidade e 8 t2 /4, t ≥ 0, T y2 (t)y2 (t) = −t2 /4, t 0tamb´m ´ solu¸ao (verifique). e e c˜ EPortanto, temos duas solu¸oes c˜ y1 (t) ≡ 0para o problema (1.2). Como um outro exemplo, vemos que o P.V.I. y = 3 y 2/3 ˙ (1.3) y(0) = 0tamb´m n˜o tem unicidade de solu¸ao, pois y(t) ≡ 0 ´ uma solu¸˜o e e a c˜ e caobservamos que para qualquer c ∈ R+ , a fun¸˜o yc : R → R dada por ca y T (t − c)3 , t ≥ c,yc (t) = 0, t≤c t E 0 c1 c2 c3 c4tamb´m ´ solu¸ao. Logo, o P.V.I. (1.3) tem infinitas solu¸˜es. e e c˜ co Logo, dado o P.V.I. y = f (t, y) ˙ (1.4) y(t0 ) = y0 ,onde f ´ uma fun¸ao definida num aberto A de R2 , surgem as seguintes e c˜quest˜es: o 1. Como sabemos que o P.V.I. (1.4) possui de fato uma solu¸ao c˜ sem exibi-la explicitamente? 2. Como sabemos que existe somente uma solu¸ao de (1.4)? Talvez c˜ existam duas ou trˆs ou mesmo infinitas solu¸˜es. e co
  16. 16. Preliminares Cap. 1 Existˆncia e Unicidade e 9 3. Qual a utilidade de determinarmos se (1.4) possui uma unica ´ solu¸ao se n˜o somos capazes de exibi-la? c˜ a Para esta ultima quest˜o, podemos dizer que o fato de sabermos ´ aque (1.4) possui uma unica solu¸ao ´ muito importante, pois a par- ´ c˜ etir disto poderemos usar t´cnicas computacionais para obter aprox- eima¸oes da solu¸ao y(t). c˜ c˜ Para responder a primeira quest˜o usaremos o m´todo de Pi- a ecard. Suponhamos que f (t, x) seja uma fun¸˜o cont´ ca ınua em (t, x) econtinuamente deriv´vel em x. Observamos que y(t) ´ solu¸ao de (1.4) a e c˜se, e somente se, t y(t) = y0 + f (s, y(s)) ds. t0Consideremos, agora, a seq¨ˆncia yn (t) dada da seguinte forma: ue y0 (t) = y0 , t y1 (t) = y0 + f (s, y0 (s)) ds, t0 t y2 (t) = y0 + f (s, y1 (s)) ds, t0 . . . t yn (t) = y0 + f (s, yn−1 (s)) ds. t0As fun¸oes yn (t) s˜o chamadas iteradas de Picard. Pode-se mostrar c˜ aque yn (t) → y(t), quando n → ∞, para t num intervalo conveniente.Este processo ´ conhecido por m´todo de Picard. e eExemplo 1.1. Encontre uma solu¸ao para o P.V.I. c˜ y=y ˙ y(0) = 1
  17. 17. Preliminares Cap. 1 Existˆncia e Unicidade e 10usando o m´todo de Picard. eSolucao: Observamos que, neste caso, f (t, y) = y, t0 = 0 e y0 = 1. ¸˜A equa¸ao integral equivalente ao P.V.I. dado ´: c˜ e t y(t) = 1 + y(s) ds. 0Portanto,y0 (t) = 1 ty1 (t) = 1 + 1 ds = 1 + t , 0 t t t2y2 (t) = 1 + y1 (s) ds = 1 + (1 + s) ds = 1 + t + , 0 0 2! t t s2 t2 t3y3 (t) = 1 + y2 (s)ds = 1 + (1 + s + ) ds = 1 + t + + , 0 0 2! 2! 3! . . . t t s2 sn−1yn (t) = 1 + yn−1 (s)ds = 1 + 1+s+ + ··· + ds= 0 0 2! (n − 1)! 2 n t t =1+t+ + ··· + . 2! n! 2 t tnComo et = 1 + t + + · · · + + · · ·, vemos que as iteradas de Pi- 2! n!card yn (t) convergem para a solu¸ao y(t) = et deste P.V.I.. c˜ ıcios 1.1. 1) Construa as iteradas de Picard para o P.V.I.Exerc´ y = 2 t (y + 1) ˙ y(0) = 0 2e mostre que yn (t) converge para a solu¸ao y(t) = et − 1. c˜2) Calcule as trˆs primeiras iteradas de Picard para o P.V.I. e y = et + y 2 ˙ y(0) = 0.
  18. 18. Preliminares Cap. 1 Existˆncia e Unicidade e 11 Observacao 1.1. As solu¸˜es de equa¸˜es diferenciais podem n˜o ¸˜ co co aexistir para todo t real; por exemplo, a fun¸˜o y(t) = tg(t + π/4) ´ ca esolu¸ao do P.V.I.: c˜ y(t) = 1 + y 2 (t), y(0) = 1 ˙e est´ definida somente no intervalo a y(−3π/4, π/4). TDe fato, se t ∈ (−3π/4, π/4), ent˜o a π 1 y(t) = sec2 (t + ˙ ) t 4 E π − 3π π = 1 + tg2 (t + ) 4 4 4 = 1 + y 2 (t) πe y(0) = tg = 1. 4 Por este fato, n˜o podemos esperar que as iteradas de Picard con- avirjam para todo t. Para sabermos onde as iteradas de Picard con-vergem, tentamos encontrar um intervalo no qual todas as yn (t) s˜o auniformemente limitadas, isto ´, existe uma constante k 0 tal que e|yn (t)| ≤ k para todo t ∈ (a, b). Ou seja, procuramos um retˆngulo aque contenha os gr´ficos de todas as iteradas de Picard. a O lema abaixo cuja demonstra¸ao pode ser encontrada em [4] (cf. c˜Lema I.1), nos mostra como encontrar tal retˆngulo. aLema 1.1. Sejam a, b ∈ R e consideremos o retˆngulo a R = { (t, y) | t0 ≤ t ≤ t0 + a e |y − y0 | ≤ b }. bDefina M = max |f (t, y)| e α = min{ a, }. Ent˜o a (t,y)∈R M |yn (t) − y0 | ≤ M |t − t0 | para t0 ≤ t ≤ t0 + α.
  19. 19. Preliminares Cap. 1 Existˆncia e Unicidade e 12 Obervamos que o Lema 1.1 afirma que o gr´fico de yn (t) permanece aentre as retas y = y0 +M (t−t0 ) e y = y0 −M (t−t0 ) para t0 ≤ t ≤ t0 +α. bEstas retas limitam o retˆngulo R em t = t0 + a se a ≤ a e em M b bt = t0 + se a. Em ambos os casos, o gr´fico de yn (t) est´ a a M Mcontido em R para t0 ≤ t ≤ t0 + α. T T y0 + b y = y0 + M (t − t0 ) y = y0 + M (t − t0 ) d d ‚ d yn (t) ‚ d yn (t) y0 ! ¡   ¡ y = y0 − M (t − t0 )   y = y0 − M (t − t0 ) y0 − b t t E E t0 t0 + α t0 t0 + α α=a α = b/M O pr´ximo teorema nos apresenta as condi¸oes para a existˆncia e o c˜ eunicidade de solu¸˜es para o P.V.I. (1.4). co ∂fTeorema 1.1 (Existˆncia e Unicidade Local). Suponha f e e sejam ∂yfun¸˜es cont´nuas no retˆngulo co ı a R = { (t, y) | t0 ≤ t ≤ t0 + a e |y − y0 | ≤ b }. bSejam M = max |f (t, y)| e α = min{ a, }. Ent˜o o P.V.I. a (t,y)∈R M y = f (t, y) ˙ y(t0 ) = y0possui uma e somente uma solu¸˜o y(t) no intervalo t0 ≤ t ≤ t0 + α. ca A demonstra¸˜o deste teorema pode ser encontrada em [4] (cf. caTeorema I.2’).
  20. 20. Preliminares Cap. 1 Existˆncia e Unicidade e 13Exemplo 1.2. 1) Mostre que a solu¸ao y(t) do P.V.I. y = y 2 + cos t2 c˜ ˙ 1com y(0) = 0 existe no intervalo 0 ≤ t ≤ . 2Solucao: Usaremos o Teorema 1.1. Neste caso f (t, y) = y 2 + cos t2 ¸˜ ∂fe ınuas em qualquer retˆngulo R = { (t, y) | (t, y) = 2 y, s˜o cont´ a a ∂y0 ≤ t ≤ a, |y| ≤ b }, em que a, b ∈ R. Calculando M = max |f (t, y)| = max |y 2 + cos t2 | = b2 + 1, (t,y)∈R |y|≤b e 0 ≤ t ≤ a bvemos que y(t) existe para 0 ≤ t ≤ α, em que α = min{ a, }. b2 + 1Como a priori podemos tomar qualquer valor de a, temos que o valor bm´ximo de α ser´ quando 2 a a for m´ximo. Este m´ximo ´ 1/2. a a e b +1Portanto o Teorema 1.1 garante que a solu¸˜o y(t) existe e ´ unica ca e ´para 0 ≤ t ≤ 1/2. 2) Mostre que y(t) = −1 ´ a unica solu¸˜o do P.V.I. y = t(1 + y) e ´ ca ˙com y(0) = −1.Solucao: Observamos que y(t) = −1 ´ solu¸ao do P.V.I.. Como ¸˜ e c˜ ∂ff (t, y) = t (1 + y) e (t, y) = t s˜o cont´ a ınuas em qualquer retˆngulo, a ∂ytemos que o P.V.I. dado possui uma unica solu¸˜o e, portanto, ser´ ´ ca ay(t) = −1. Observacao 1.2. Suponha que y = f (t, y) seja uma equa¸ao dife- ¸˜ ˙ c˜rencial vetorial, isto ´, y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn e f : A ⊂ Rn+1 → Rn . e ∂fO Teorema 1.1 continua sendo v´lido se entendermos a como sendo ∂y ∂(f1 , . . . , fn )a matriz jacobiana de f , isto ´, Jf = e . Usaremos esta ∂(y1 , . . . , yn )formula¸˜o no caso das equa¸oes de 2a ordem, das equa¸oes de ordem ca c˜ ¯ c˜n e de sistemas de equa¸oes diferenciais. c˜ ıcios 1.2. 1) Determine uma solu¸˜o do P.V.I. y = tExerc´ ca ˙ 1 − y2
  21. 21. Preliminares Cap. 1 Existˆncia e Unicidade e 14com y(0) = 1 diferente de y(t) = 1. Isto contradiz o Teorema 1.1?Explique. 2) Mostre que a solu¸ao y(t) do P.V.I. dado existe no intervalo c˜especificado: a) y = t + y 2 , com y(0) = 0 para, 0 ≤ t ≤ 1/2. ˙ 2 b) y = e−t + y 2 , com y(0) = 0 para, 0 ≤ t ≤ 1/2. ˙ 2 c) y = e−t + y 2 , com y(1) = 0 para, 1 ≤ t ≤ 1 + ˙ e/2. d) y = 1 + y + y 2 cos t, com y(0) = 0 para, 0 ≤ t ≤ 1/3. ˙
  22. 22. Cap´ ıtulo 2Equa¸˜o Diferencial Linear cade Primeira Ordem Uma equa¸ao diferencial de primeira ordem pode ser colocada na c˜forma: y = f (t, y), ˙ (2.1)onde f ´ uma fun¸ao real definida em um conjunto A ⊂ R2 . e c˜ Se a fun¸˜o f depender apenas de t, ent˜o a equa¸ao fica: ca a c˜ y = f (t). ˙ (2.2)Se f for integr´vel, ent˜o para resolver (2.2) integramos ambos os a amembros em rela¸ao a t, o que nos fornece: c˜ y(t) = f (t) dt + c,em que c ´ uma constante arbitr´ria e e a f (t) dt ´ qualquer primitiva ede f . 15
  23. 23. Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Equa¸˜o Homogˆnea 16 ca e Este procedimento ´ imposs´ na maioria dos casos e, portanto, e ıveln˜o conseguiremos resolver, sem o aux´ de computadores, a maio- a ılioria das equa¸oes diferenciais. Partiremos, ent˜o, de equa¸oes mais c˜ a c˜simples, as quais poderemos resolver, que s˜o as lineares. a Definicao 2.1. Uma equa¸˜o diferencial linear de primeira ¸˜ caordem ´ uma equa¸˜o da forma: e ca y + a(t) y = b(t), ˙ (2.3)em que a(t) e b(t) s˜o fun¸˜es cont´nuas num intervalo I. a co ı Observacao 2.1. A equa¸ao (2.3) ´ chamada linear pois, se a es- ¸˜ c˜ ecrevermos na forma (2.1), teremos f (t, y) = −a(t) y + b(t) e a parteque depende de y, isto ´, g(t, y) = −a(t) y ´ linear em y. De fato, e eg(t, α1 y1 + α2 y2 ) = −a(t) [α1 y1 + α2 y2 ] = −α1 a(t) y1 − α2 a(t) y2 =α1 g(t, y1 ) + α2 g(t, y2 ).Observacao 2.2. O P.V.I. ¸˜ y + a(t) y = b(t) ˙ y(t0 ) = y0possui solu¸˜o unica. Isto segue do Teorema 1.1, pois as fun¸˜es ca ´ co ∂ff (t, y) = −a(t) y + b(t) e (t, y) = −a(t) s˜o cont´ a ınuas em t e ∂yem y.Exemplo 2.1. 1. y = t2 y + sen t ´ uma equa¸ao diferencial linear ˙ e c˜ a ordem, pois neste caso g(t, y) = t2 y ´ linear em y. de 1¯ e 2. y = t y 2 + sen t n˜o ´ E.D.O. linear de 1a ordem, pois g(t, y) = ˙ a e ¯ t y 2 n˜o ´ linear em y. a e 3. y = t cos y + t n˜o ´ E.D.O. linear de 1a ordem, pois g(t, y) = ˙ a e ¯ t cos y n˜o ´ linear em y. a e
  24. 24. Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Equa¸˜o Homogˆnea 17 ca e2.1 ¸˜ ˆ A Equacao HomogeneaComo uma solu¸˜o da equa¸˜o (2.3) n˜o ´ imediata, vamos simplific´- ca ca a e ala ainda mais, colocando b(t) ≡ 0. Obtemos y + a(t) y = 0 ˙ (2.4)que ´ chamada equa¸˜o diferencial linear homogˆnea [L.H.] as- e ca esociada a (2.3). A equa¸ao (2.3) ´ chamada equa¸˜o diferencial c˜ e calinear n˜o homogˆnea [L.N.H.]. a e A equa¸ao (2.4) pode ser resolvida facilmente. Dividindo ambos c˜os membros da equa¸˜o por y, obtemos: ca y ˙ = −a(t). y y ˙ dLembrando que = ( ln |y(t)| ) temos que a equa¸˜o (2.4) pode ser ca y dtescrita na forma d ( ln |y(t)| ) = −a(t). dtIntegrando ambos os membros, obtemos ln |y(t)| = − a(t) dt + c1 ,em que c1 ´ uma constante de integra¸˜o. Tomando exponenciais de e caambos os membros, encontramos |y(t)| = exp(− a(t) dt + c1 ).Logo, y(t) = c exp(− a(t) dt). (2.5) Observamos que y(t), dada por (2.5), ´ uma solu¸ao de (2.4). Pode- e c˜mos dizer mais, qualquer outra solu¸˜o de (2.4) ser´ desta forma para ca a
  25. 25. Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Equa¸˜o Homogˆnea 18 ca ealgum c ∈ R. Neste caso dizemos que (2.5) ´ a solu¸˜o geral da e caequa¸ao diferencial linear homogˆnea. c˜ eExemplo 2.2. Determine a solu¸˜o geral da equa¸˜o: y + 2 t y = 0. ca ca ˙Solucao: Neste caso a(t) = 2 t. Logo, ¸˜ 2 y(t) = c e− a(t) dt = c e− 2 t dt = c e−t .Portanto, 2 y(t) = c e−t´ a solu¸ao geral.e c˜Exemplo 2.3. Determine a solu¸ao do P.V.I.: y + (sen t) y = 0 com c˜ ˙y(0) = 2.Solucao: Aqui a(t) = sen t. Logo, ¸˜ y(t) = c e− sen t dt = c ecos te, portanto, a solu¸ao geral ´ c˜ e y(t) = cecos t .Como y(0) = 2, temos 2 = y(0) = c ecos 0 ,o que implica que c = 2e−1 . Logo, a solu¸ao do P.V.I. ser´ c˜ a y(t) = 2 ecos t−1 . Exerc´ ıcios 2.1. (1) Determine a solu¸ao do P.V.I. y + et y = 0 com c˜ ˙y(0) = 3/2. (2) Determine o comportamento, quando t → ∞, de todas assolu¸oes da equa¸ao y + a y = 0, em que a ´ constante. c˜ c˜ ˙ e
  26. 26. Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Eq. n˜o Homogˆnea 19 a e (3) Mostre que o conjunto das solu¸˜es de (2.4) possui as seguintes copropriedades: i) Se y1 e y2 s˜o solu¸˜es, ent˜o y1 + y2 tamb´m ´ solu¸ao. a co a e e c˜ ii) Se y1 ´ solu¸ao, ent˜o c y1 tamb´m ´ solu¸ao, para todo c ∈ R. e c˜ a e e c˜ iii) A fun¸˜o y(t) ≡ 0 ´ solu¸ao. ca e c˜ Observacao 2.3. O exerc´ (3) nos diz que o conjunto das solu¸oes ¸˜ ıcio c˜de (2.4) ´ um espa¸o vetorial. Como toda solu¸˜o de (2.4) ´ da e c ca eforma (2.5), segue-se que este espa¸o vetorial tem dimens˜o 1 e que c ay1 (t) = e− a(t) dt ´ uma base para este espa¸o. e c2.2 ¸˜ ˜ ˆ A Equacao nao HomogeneaConsideremos agora a equa¸ao n˜o homogˆnea c˜ a e y + a(t) y = b(t). ˙ (2.6)Se consegu´ ıssemos escrever a equa¸ao acima como c˜ d (“algo”) = b(t), dto nosso problema estaria resolvido, pois bastaria integrar ambos osmembros para encontrar o valor de “algo”. Por´m, a express˜o y + e a ˙a(t)y n˜o aparece como derivada de alguma express˜o simples. Para a aresolvermos o problema procuraremos uma fun¸˜o µ(t), cont´ ca ınua ediferenci´vel tal que multiplicando-se ambos os membros da express˜o a a(2.6) por µ(t) obteremos a equa¸ao equivalente: c˜ µ(t)y + µ(t)a(t)y = µ(t)b(t) ˙ (2.7)(onde, por equa¸˜o equivalente entendemos que toda solu¸˜o de (2.7) ca ca´ uma solu¸ao da (2.6) e reciprocamente) de modo que o primeiroe c˜membro de (2.7) µ(t) y + µ(t) a(t) y ˙
  27. 27. Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Eq. n˜o Homogˆnea 20 a eseja a derivada de alguma express˜o simples. a Observamos que d (µ(t)y) = µ(t) y + µ(t) y. ˙ ˙ dtPortanto, d µ(t) y + a(t) µ(t) y = ˙ (µ(t) y) ⇔ µ(t) = a(t) µ(t) ˙ dt a(t) dt ⇔ µ(t) − a(t) µ(t) = 0 ⇔ µ(t) = e ˙ .Logo, para esta µ(t) a equa¸˜o (2.6) pode ser escrita como: ca d (µ(t) y) = µ(t) b(t). dtPor integra¸ao obtemos c˜ µ(t) y = µ(t) b(t) dt + cou 1 y(t) = [ µ(t) b(t) dt + c] = e− a(t) dt [c + e a(t) dt b(t) dt]. µ(t)Portanto, y(t) = c e− a(t) dt + e− a(t) dt e a(t) dt b(t) dt (2.8)´ a solu¸˜o geral da equa¸ao n˜o homogˆnea.e ca c˜ a e Observacao 2.4. Vemos que a 1a parcela da f´rmula (2.8) ´ a ¸˜ ¯ o esolu¸ao geral da homogˆnea associada e que c˜ e yp (t) = e− a(t) dt e a(t) dt b(t) dt´ uma solu¸˜o particular da equa¸˜o n˜o homogˆnea (obtida quandoe ca ca a ec = 0). Logo, a solu¸ao geral da [L.N.H.] ´ a soma da geral da [L.H.] c˜ easssociada com uma particular da [L.N.H.].
  28. 28. Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Eq. n˜o Homogˆnea 21 a e Observacao 2.5. A fun¸ao µ(t) = e a(t) dt ´ chamada fator inte- ¸˜ c˜ egrante para a equa¸˜o n˜o homogˆnea. ca a e Observacao 2.6. Um outro m´todo de resolver uma equa¸˜o [L.N.H.] ¸˜ e ca´ o chamado m´todo da varia¸˜o das constantes, que consiste eme e cafazer y = uvque implica y = u v + u v. ˙ ˙ ˙Logo, a equa¸˜o [L.N.H.], y + a(t) y = b(t), se torna ca ˙ u v + v u + a(t) u v = b(t), ˙ ˙ou seja, u(v + a(t) v) + (v u − b(t)) = 0. ˙ ˙Se cada termo for nulo, ent˜o esta equa¸˜o ser´ satisfeita. Portanto, a ca afazendo v + a(t) v = 0 e v u − b(t) = 0 ˙ ˙e resolvendo a primeira delas, obteremos v em fun¸˜o de t (n˜o se ca aacrescenta constante de integra¸˜o porque se deseja um simples valor cade v). Em seguida, substituindo este valor na segunda equa¸ao e c˜integrando, obteremos o valor de u (agora acrescentamos a constantede integra¸˜o pois desejamos que y = uv seja a solu¸˜o geral do pro- ca cablema).Exemplo 2.4. Determine a solu¸˜o geral da equa¸˜o: y + 2 t y = t. ca ca ˙Solucao: Aqui a(t) = 2 t. Logo, ¸˜ a(t) dt 2 t dt 2 µ(t) = e =e = et .Multiplicando-se ambos os membros da equa¸ao por µ(t), obtemos a c˜equa¸ao equivalente: c˜ 2 2 d 2 2 et (y + 2 t y) = t et ˙ ou (y et ) = t et . dt
  29. 29. Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Eq. n˜o Homogˆnea 22 a ePortanto, 2 2 1 t2 y et = t et dt + c = e +c 2que implica 2 1 y(t) = c e−t + . 2Exemplo 2.5. Determine a solu¸˜o do P.V.I.: y−3 t2 y = t2 , y(0) = 1. ca ˙Solucao: Aqui a(t) = −3 t2 . Logo ¸˜ −3t2 dt 3 µ(t) = e a(t) dt =e = e−t .Multiplicando-se ambos os membros por µ(t), obtemos: 3 3 d −t3 3 e−t (y − 3t2 y) = t2 e−t ˙ ou (e y) = t2 e−t . dtAssim, t t d −s3 3 (e y(s)) ds = s2 e−s ds . 0 dt 0efetuando a integra¸ao, obtemos c˜ 3 1 3 e−t y(t) − y(0) = − (e−t − 1). 3Como y(0) = 1, temos que 4 t3 1 y(t) = e − . 3 3 ıcios 2.2. 1) Determine a solu¸ao dos P.V.I.’s:Exerc´ c˜ 2 a) y = (cos t) y, y(0) = 1. ˙ b) y + ˙ y = t3 , y(1) = 2. t 1 c) t y + y = t, ˙ y(10) = 20. d) y + y = ˙ , y(1) = 3. 1 + t2 1 e) (1 + t2 ) y + 4 t y = t, y(1) = . ˙ 4
  30. 30. Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Eq. n˜o Homogˆnea 23 a e 2) (Equacao de Bernoulli) A equa¸˜o ¸˜ ca y + p(t)y = q(t)y n , ˙em que p(t) e q(t) s˜o fun¸oes cont´ a c˜ ınuas em algum intervalo I da retae n ∈ R, ´ conhecida como a equa¸˜o de Bernoulli. Se n = 0 e e can = 1 a equa¸ao n˜o ´ linear, mas pode ser transformada em uma c˜ a eequa¸ao linear fazendo a mudan¸a de vari´vel z = y 1−n . Demonstre c˜ c aisto, e resolva as equa¸oes: c˜ 3 a) y + t2 y = t2 y 4 . ˙ b) y − ˙ y = t4 y 1/3 . t 2 c) y + ˙ y = −t9 y 5 , y(−1) = 2. t 3) (Equacao de Ricatti) A equa¸˜o ¸˜ ca y + p(t) y + q(t) y 2 = f (t), ˙ (R)em que p(t), q(t) e f (t) s˜o fun¸oes cont´ a c˜ ınuas em algum intervalo I dareta e q(t) = 0 em I ´ conhecida como a equa¸˜o de Ricatti. Se y1 (t) e ca´ uma solu¸ao particular de (R), mostre que a mudan¸a de vari´vele c˜ c ay = y1 + 1/z transforma (R) numa equa¸ao linear de 1a ordem em z c˜ ¯da forma z = (p(t) + 2 q(t) y1 ) z + q(t). Deduza da´ que a solu¸ao geral ˙ ı c˜de uma equa¸ao de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conhe¸a c˜ cuma solu¸ao particular. c˜ 4) Use o exerc´ anterior para determinar a solu¸ao geral de cada ıcio c˜uma das seguintes equa¸˜es de Ricatti: co a) y − t3 y + t2 y 2 = 1, y1 (t) = t. ˙ b) y − t y 2 + (2t − 1) y = t − 1, y1 (t) = 1. ˙ c) y + y 2 − (1 + 2 et ) y + e2 t = 0, y1 (t) = et . ˙ d) y + t y 2 − 2 t2 y + t3 = t + 1, y1 (t) = t − 1. ˙
  31. 31. Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Algumas Aplica¸˜es co 242.3 ¸˜ Algumas Aplicacoes2.3.1 ¸˜ Desintegracao radioativaSeja N (t) o n´mero de ´tomos radioativos em uma amostra num ins- u atante t. Define-se a atividade de uma amostra radioativa como sendoo n´mero de desintegra¸oes por unidade de tempo. Foi observado u c˜desde o in´ do estudo da radioatividade (1896), que a atividade ´ ıcio eproporcional ao n´mero de atomos radioativos presentes, isto ´: u ´ e dN = −λ N, dtonde λ ´ chamada constante de desintegra¸˜o ou de decaimento e caradioativo. Se N0 ´ o n´mero de ´tomos no instante t = 0, teremos o seguinte e u aP.V.I. dN = −λ N, N (0) = N0 dtque ´ uma equa¸˜o diferencial ordin´ria homogˆnea de 1a ordem, cuja e ca a e ¯solu¸ao ser´: c˜ a N (t) = N0 e−λ t . Observacao 2.7. Vale uma equa¸˜o semelhante para a massa de ¸˜ cauma substˆncia radioativa, ou seja: a dm = −λ m, m(0) = m0 , dtonde m = massa. A meia-vida de uma substˆncia radioativa ´ definida como sendo a eo tempo necess´rio para a decomposi¸ao da metade da substˆncia. a c˜ a
  32. 32. Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Algumas Aplica¸˜es co 25Exemplo 2.6. Uma quantidade de substˆncia radioativa possui ini- acialmente m0 gramas e decomp˜e-se a uma raz˜o proporcional a quan- o a `tidade presente. Se a meia-vida da quantidade inicial ´ 2.000 anos, eencontre a quantidade da substˆncia depois de 3.000 anos. a dm m0Solucao: Temos que ¸˜ = −λm, m(0) = m0 e m(2000) = . dt 2Sabemos que a solu¸ao geral desta equa¸ao ´: c˜ c˜ e m(t) = c e−λ t .Como m(0) = m0 , temos que c = m0 . Portanto, m(t) = m0 e−λ t .Mas, 2 m0 = m0 e−2000 λ o que implica que λ = 1 ln 2 2000 . Logo, m(t) = −(ln 2/2000)tm0 e e, portanto, m0 m(3000) = m0 e−(3 ln 2)/2 = √ . 8 Observacao 2.8. Pode-se usar a desintegra¸˜o radioativa para de- ¸˜ cascobrir a falsifica¸˜o de obras de arte (vide [4], Se¸ao 1.3). ca c˜2.3.2 ´ Circuito EletricoConsideremos um circuito el´trico simples e Econsistindo de uma indutˆncia L, uma re- a I Rsistˆncia R e uma for¸a eletromotriz E0 = e c
  33. 33. constante. O circuito ´ ligado no instante e E Lt = 0. Deseja-se determinar a correnteI(t). Sabe-se que:i) a queda de voltagem (ou tens˜o) atrav´s a eda resistˆncia R ´ igual a RI; e e dIii) a queda de voltagem atrav´s de uma indutˆncia L ´ igual a L e a e . dtLogo, pela lei de Kirchhoff que diz que a soma alg´brica das diferen¸as e c
  34. 34. Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Algumas Aplica¸˜es co 26de potencial ´ zero, temos: e dI dI RI E0 L + RI − E0 = 0 ou + = dt dt L Lque ´ uma E.D.O. linear n˜o homogˆnea de 1a ordem. Como I(0) = 0 e a e ¯(pois s´ temos corrente ap´s ligarmos o circuito), temos que o o E0 I(t) = (1 − e−R t / L ). R2.3.3 Resfriamento de um corpo (1) Consideremos um modelo simplificado para o fenˆmeno de ovaria¸˜o de temperatura num corpo por perda ou ganho de calor para cao meio ambiente, fazendo as seguintes hip´teses: oi) A temperatura T ´ a mesma no corpo todo e depende apenas do etempo.ii) A temperatura do meio ambiente, Ta , ´ constante com o tempo. e ˙ dTiii) O fluxo de calor atrav´s das paredes do corpo, dado por T (t) = e dt´ proporcional ` diferen¸a entre as temperaturas do corpo e do meioe a cambiente, isto ´, e ˙ T = −k(T − Ta )(chamada lei de Newton para resfriamento) em que k ´ uma constante epositiva que depende das propriedades f´ ısicas do corpo. Observamosque o sinal − na equa¸ao ´ devido ao fato que o calor flui da fonte c˜ equente para a fonte fria, e assim se T Ta teremos que T decresce ese T Ta , ent˜o T cresce. Conhecendo-se a temperatura T (0) = T0 , apodemos obter a temperatura do corpo em um instante t ≥ 0 qualquer.Para isto basta resolver a E.D.O. linear n˜o homogˆnea de 1a ordem: a e ¯ ˙ T + k T = k Ta , T (0) = T0cuja solu¸ao ser´: c˜ a T (t) = (T0 − Ta )e−k t + Ta .
  35. 35. Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Algumas Aplica¸˜es co 27Observamos que:1) T0 Ta =⇒ T (t) decresce quando t aumenta. 2) T0 Ta =⇒ T (t) cresce quando t aumenta. 3) T0 = Ta =⇒ T (t) ´ constante. e 4) Em todos os casos T (t) → Ta quando t → ∞, isto ´, Ta ´ e echamada de temperatura de equil´ ıbrio. Geometricamente, temos T T T0 T (t) Ta Ta T (t) T0 t t E E T0 Ta T0 Ta (2) Suponhamos que a temperatura Ta , do meio ambiente, variacom o tempo ao receber (ou ceder) calor ao corpo. Sejam m e ma ,as massas do corpo e do meio ambiente, respectivamente e c e ca ,os calores espec´ ıficos do corpo e do meio ambiente respectivamente.Supondo-se que n˜o haja mudan¸as de estado f´ a c ısico, a lei da con-serva¸˜o da quantidade de calor pode ser expressa como: ca mc(T0 − T ) = ma ca (Ta − Ta,0 ), (2.9)onde T = T (t) e Ta = Ta (t) s˜o as temperaturas do corpo e do meio aambiente num instante t, respectivamente, e T0 = T (0) e Ta,0 = Ta (0).
  36. 36. Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Algumas Aplica¸˜es co 28 Usando-se na equa¸˜o ca ˙ T = −k (T − Ta )a express˜o de Ta dada em (2.9), temos a mc Ta = (T0 − T ) + Ta,0 . ma caEnt˜o obtemos a ˙ mc mc T + k(1 + )T = k(Ta,0 + T0 ), ma ca ma caque ´ uma E.D.O. linear n˜o homogˆnea de 1a ordem. A solu¸˜o desta e a e ¯ caE.D.O. que satisfaz a condi¸˜o inicial T (0) = T0 ´ ` ca e T0 − Ta,0 −k (1+A) t Ta,0 + A T0 T (t) = e + , 1+A 1+A mconde A = . Logo ma ca 1) T0 Ta,0 =⇒ T (t) decresce com o tempo. 2) T0 Ta,0 =⇒ T (t) cresce com o tempo. 3) T0 = Ta,0 =⇒ T (t) ´ constante e igual a Ta,0 . e Ta,0 + A T0 4) Em qualquer dos casos T (t) → , quando t → ∞, que 1+Aser´ a temperatura de equil´ a ıbrio. Ta,0 + A T0 ıcio: Mostre que Ta (t) → Exerc´ , quando t → ∞. 1+A2.3.4 ¸˜ Diluicao de Misturas e ´ ´ Um tanque cont´m 100 litros de agua salgada. E adicionado, nestetanque, ´gua salgada a raz˜o de 5 litros por minuto, com uma concen- a ` atra¸ao de sal de 2 g/ . Ao mesmo tempo, a mistura deixa o tanque c˜
  37. 37. Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Algumas Aplica¸˜es co 29atrav´s de um buraco a mesma raz˜o. A mistura do tanque ´ conti- e ` a enuamente agitada, de modo a manter a solu¸˜o homogˆnea (isto ´, a ca e econcentra¸˜o ´ a mesma em todo tanque). Se inicialmente a mistura ca econt´m uma concentra¸˜o de 1 g/ , determine a concentra¸ao num e ca c˜instante futuro.Solucao: Seja y(t) a quantidade de sal no tanque depois de t minutos ¸˜do instante inicial t0 = 0. Temos que o sal est´ sendo adicionado no a y(t)tanque a raz˜o de 5·2 g/min = 10 g/min e est´ saindo a raz˜o de 5 ` a a ` a 100 y(t)g/min = g/min. Assim, temos que a varia¸ao da quantidade de c˜ 20sal no tanque ´ dada por: e y y = 10 − ˙ 20que ´ uma E.D.O. linear n˜o homogˆnea de 1a ordem. Como y(0) = e a e ¯100 g temos que a sua solu¸ao ´ c˜ e y(t) = 200 − 100 e−0,05 te, portanto, a concentra¸˜o de sal no tanque no instante t ser´ ca a y(t) c(t) = = 2 − e−0,05 t . 100Note que isso mostra que a concentra¸˜o de sal no tanque tende a 2 cag/ , quando t → ∞. Geometricamente, temos T 2 c(t) 1 tE
  38. 38. Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Algumas Aplica¸˜es co 302.3.5 ¸˜ Outras Aplicacoes a) Forma¸˜o de um composto qu´ ca ımico ([7], p´gina 45). a b) Dinˆmica de crescimento de um tumor ([4], Se¸ ao 1.8). a c c) Modelos de popula¸ao ([4], Se¸ao 1.5). c˜ c˜ Exerc´ ıcios 2.3. 1) Um objeto de massa m ´ solto da posi¸ao de e c˜repouso em um meio que oferece resistˆncia proporcional a velocidade e `do objeto. Determinar a velocidade no instante t. 2) Fazer o problema proposto no Exerc´ 1, supondo que a re- ıciosistˆncia do meio ´ proporcional ao quadrado da velocidade. e e 3) Uma colˆnia de bact´rias cresce a uma raz˜o proporcional ao o e an´mero de bact´rias presente. Se o n´mero duplica a cada 24 ho- u e uras, quantas horas ser˜o necess´rias para que o n´mero de bact´rias a a u eaumente cem vezes sua quantidade original? 4) Um tanque de 200 litros de capacidade, cont´m inicialmente 40 elitros de agua pura. A partir do instante t = 0, adiciona-se ao tanqueuma solu¸ao de salmoura com 250 gramas de sal por litro, ` raz˜o de c˜ a a12 /min. A mistura, suposta uniforme, escoa do tanque ` raz˜o de 8 a a /min. Determinar a) o tempo necess´rio para que ocorra o transbordamento; a b) a concentra¸ao de sal na mistura presente no tanque no instante c˜do transbordamento.
  39. 39. Cap´ ıtulo 3Equa¸˜es Lineares de coSegunda Ordem As equa¸oes diferenciais de 2a ordem podem, geralmente, ser es- c˜ ¯critas sob a forma y = f (t, y, y), ¨ ˙ (3.1)em que f ´ uma fun¸ao definida em um subconjunto A ⊂ R3 . e c˜ Dizemos que uma fun¸ao y = y(t) ´ uma solu¸˜o de (3.1) no inter- c˜ e ca a ordem em I e y (t) = f (t, y(t), y(t))valo I se y(t) tiver derivada de 2¯ ¨ ˙para todo t ∈ I. Por exemplo, as fun¸oes y1 (t) = e2 t e y2 (t) = e−2 t s˜o solu¸oes da c˜ a c˜equa¸ao y = 4 y, pois: c˜ ¨ d2 (e2t ) d2 (e−2t )y1 (t) =¨ 2 = 4e2t = 4y1 (t) e y2 (t) = ¨ 2 = 4e−2t = 4y2 (t). dt dtEqua¸oes diferenciais surgem com freq¨ˆncia em problemas da F´ c˜ ue ısica,especialmente em Mecˆnica, em virtude da 2a lei de Newton, e em a ¯Eletricidade, como aplica¸ao das leis de Kirchhoff. Por exemplo, o c˜movimento de um pˆndulo simples sem atrito (como figura abaixo) ´ e e 31
  40. 40. Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Teoria Geral 32descrito pela equa¸˜o ca ¨ g θ + sen θ = 0. (3.2) x E θ T s } y c cm g ˙ Se levarmos em conta o atrito (que geralmente ´ dado por k θ), e ese o movimento estiver sujeito a uma for¸a externa F (t), a equa¸ao c c˜do pˆndulo fica e ¨ ˙ g θ + k θ + sen θ = F (t). (3.3) Consideremos agora a equa¸˜o: y = 3. ca ¨ Para obtermos a solu¸ao dessa equa¸ao basta integrarmos duas c˜ c˜vezes, ou seja, 3 2y=˙ 3 dt = 3 t + c1 =⇒ y(t) = (3t + c1 ) dt = t + c1 t + c2 . 2Note que temos o surgimento de duas constantes arbitr´rias: c1 e c2 a(lembremos que para a equa¸˜o de 1¯ ca a ordem somente aparecia umaconstante arbitr´ria). Logo, para termos unicidade de solu¸ao, pre- a c˜cisamos impor duas condi¸˜es: uma sobre a fun¸ao y(t) e outra sobre co c˜sua a derivada y(t) no instante t0 . Observamos que este fato est´ em ˙ aconcordˆncia com os problemas de Mecˆnica pois, para se caracterizar a ao movimento de um corpo, ´ preciso que sejam conhecidas sua posi¸ao e c˜inicial e sua velocidade inicial. Isto sugere que o problema de valorinicial associado a equa¸˜o (3.1) seja dado por ` ca   y = f (t, y, y) ¨ ˙ y(t0 ) = y0 (3.4) y(t0 ) = z0 . ˙ 
  41. 41. Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Teoria Geral 33 Em geral ´ muito dif´ resolver a equa¸ao (3.1). Por esta raz˜o, e ıcil c˜ a´ usual, nas aplica-¸˜es, recorrer ao estudo de equa¸oes mais simples;e co c˜as lineares que s˜o modelos aproximados de muitas equa¸oes diferen- a c˜ciais n˜o lineares. Por exemplo, a equa¸ao (3.2), do pˆndulo, n˜o ´ a c˜ e a elinear, mas para o estudo de pequenas oscila¸oes, costuma-se usar a c˜aproxima¸˜o sen θ ∼ θ e considerar a equa¸ao ca = c˜ ¨ g θ + θ = 0,que ´, claramente, mais simples do que (3.2). Analogamente, no lugar ede (3.3) costuma-se estudar a equa¸˜o ca ¨ ˙ g θ + k θ + θ = F (t).3.1 ¸˜ Teoria Geral para Equacoes de Se- gunda Ordem A partir de agora, nossa aten¸ao estar´ voltada para as equa¸oes c˜ a c˜lineares, cuja forma padr˜o ´ a e y + a(t) y + b(t) y = g(t). ¨ ˙ [L.N.H.]Esta equa¸˜o ´ chamada linear n˜o homogˆnea. Quando g(t) ≡ 0, ela ca e a etorna-se y + a(t) y + b(t) y = 0. ¨ ˙ [L.H.]Teorema 3.1 (Existˆncia e unicidade). Se as fun¸˜es a(t), b(t) e g(t) e coforem cont´nuas num intervalo I, ent˜o dados t0 ∈ I e y0 , z0 ∈ R, o ı aP.V.I.   y + a(t) y + b(t) y = g(t) ¨ ˙ y(t0 ) = y0 (3.5) y(t0 ) = z0 ˙ possui uma unica solu¸˜o y = y(t), a qual est´ definida para todo ´ ca at ∈ I.
  42. 42. Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Teoria Geral 34 Observacao 3.1. Pelo Teorema 3.1, a unica solu¸˜o de [L.H.] tal ¸˜ ´ caque y(t0 ) = y(t0 ) = 0 ´ a fun¸ao y(t) = 0. ˙ e c˜ Observacao 3.2. Este teorema ´ uma consequˆncia da forma veto- ¸˜ e erial do Teorema 1.4 (veja Observa¸ao 1.2). c˜ ∂F De fato: Do Teorema 1.4, temos que se F e s˜o fun¸oes a c˜ ∂xcont´ ınuas, ent˜o o P.V.I. a x = F (t, x) ˙ x(t0 ) = x0possui uma unica solu¸ao. Aqui temos a equa¸ao y = g(t) − a(t) y − ´ c˜ c˜ ¨ ˙b(t) y que pode ser escrita na forma x = F (t, x), fazendo ˙ y = x1 y = x1 = x2 . ˙ ˙Assim, temos que y = x2 = −a(t) x2 − b(t) x1 + g(t). Chamando ¨ ˙ x1 x2 F1 (t, x)x= , temos x = ˙ = . x2 −a(t) x2 − b(t) x1 + g(t) F2 (t, x) ∂FAqui, representa a matriz jacobiana de F (t, x1 , x2 ) em rela¸˜o a ca ∂xx1 , x2 , isto ´ e ∂F1 ∂F1   ∂(F1 , F2 )  ∂x1 ∂x2  0 1 JF (t, x1 , x2 ) = = = .   ∂(x1 , x2 )  ∂F ∂F  −b(t) −a(t) 2 2 ∂x1 ∂x2Logo, se a(t), b(t) e g(t) s˜o fun¸oes cont´ a c˜ ınuas em I, ent˜o o P.V.I. a   y + a(t) y + b(t) y = g(t) ¨ ˙ y(t0 ) = y0 y(t0 ) = z0 ˙ possui unica solu¸ao em I. ´ c˜
  43. 43. Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Teoria Geral 35 Antes de darmos um m´todo geral que permitir´ descrever o con- e ajunto de todas as solu¸oes de [L.H.], vamos analisar a equa¸ao c˜ c˜ y + ω2 y = 0 ¨ (3.6)(esta ´ a equa¸˜o do pˆndulo, em que escrevemos ω = g/ ). E f´cil e ca e ´ averificar que as fun¸oes ϕ1 (t) = cos ωt e ϕ2 (t) = sen ω t s˜o solu¸oes. c˜ a c˜Observamos que, quaisquer que sejam as constantes c1 , c2 ∈ R, afun¸ao c˜ ϕ(t) = c1 cos ω t + c2 sen ω t (3.7)tamb´m ´ solu¸ao de (3.6). De fato, calculando ϕ e ϕ temos e e c˜ ˙ ¨ ϕ(t) = −ω c1 sen ω t + ω c2 cos ω t ˙ ϕ(t) = −ω 2 c1 cos ω t − ω 2 c2 sen ω t = −ω 2 ϕ(t). ¨Donde, ϕ(t) + ω 2 ϕ(t) = 0. ¨ Usando a express˜o (3.7), podemos resolver qualquer P.V.I. asso- aciado ` equa¸ao(3.6). Por exemplo, se procurarmos a solu¸˜o de a c˜ ca   y + ω2 y = 0 ¨ y(0) = 1 y(0) = 2 ˙ sob a forma ϕ(t) = c1 cos ω t + c2 sen ω t, chegaremos a 1 = ϕ(0) = c1 2 = ϕ(0) = c2 ω. ˙ 2Portanto, a solu¸ao procurada ´ ϕ(t) = cos ω t + c˜ e sen ω t. ω De modo an´logo, ao procurarmos a solu¸˜o do P.V.I. a ca   y + ω2 y = 0 ¨ y(0) = y0 (3.8) y(0) = z0 ˙ 
  44. 44. Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Teoria Geral 36sob a forma (3.7), chegamos a z0 ϕ(t) = y0 cos ω t + sen ω t. (3.9) ω Agora, dada qualquer solu¸˜o y(t) de (3.6), chamando y0 = y(0) cae z0 = y(0) vemos que y(t) ´ solu¸ao do P.V.I. (3.8). Como, pelo ˙ e c˜Teorema 3.1, este problema possui uma unica solu¸ao, segue que ´ c˜y(t) ≡ ϕ(t), isto ´, y ´ dada por (3.9). Logo, toda solu¸ao de (3.6) e e c˜´ da forma (3.7), para uma conveniente escolha de c1 e c2 . Assim,ese denotarmos por S o conjunto de todas as solu¸oes de (3.6), o que c˜acabamos de mostrar ´ que S coincide com o conjunto de todas as ecombina¸˜es lineares de cos ω t e sen ω t (o qual ´ um espa¸o vetorial co e cde dimens˜o 2. Por quˆ?). a e Consideremos agora a equa¸˜o [L.H.] com a(t) e b(t) cont´ ca ınuas nointervalo I. Pelo Teorema 3.1, temos que toda solu¸ao y(t) de [L.H.] c˜est´ definida para todo t ∈ I (al´m disso, ´ claro que y(t) ´ duas vezes a e e econt´ınuamente diferenci´vel). Vamos repetir o procedimento acima e amostrar que se duas solu¸oes y1 (t) e y2 (t), forem convenientemente c˜escolhidas, ent˜o toda solu¸ao y(t) de [L.H.] ser´ dada por a c˜ a y(t) = c1 y1 (t) + c2 y2 (t), (3.10)onde c1 e c2 s˜o constantes. Primeiramente, notemos que toda fun¸˜o a cada forma (3.10) ´ uma solu¸˜o de [L.H.], como mostra o pr´ximo e ca oteorema, conhecido como Princıpio de Superposica ´ ¸ ˜ o:Teorema 3.2. Se ϕ1 (t) e ϕ2 (t) s˜o solu¸˜es de [L.H.] e se c1 , c2 s˜o a co aconstantes reais, ent˜o a fun¸˜o ϕ(t) = c1 ϕ1 (t) + c2 ϕ2 (t) tamb´m ´ a ca e esolu¸˜o de [L.H.]. ca Demonstracao. Note que ¸˜ ϕ(t) + a(t) ϕ(t) + b(t) ϕ(t) = c1 [ϕ1 (t) + a(t) ϕ1 (t) + b(t) ϕ1 (t)] ¨ ˙ ¨ ˙ + c2 [ϕ2 (t) + a(t) ϕ2 (t) + b(t) ϕ2 (t)] = 0, ¨ ˙
  45. 45. Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Teoria Geral 37pois, ϕ1 e ϕ2 s˜o solu¸˜es de [L.H.]. Logo, ϕ tamb´m ´ solu¸˜o de a co e e ca[L.H.]. Seja y(t) uma solu¸ao de [L.H.] e sejam y0 = y(t0 ), z0 = y(t0 ) e c˜ ˙t0 ∈ I fixados. Para que y(t) seja dada por (3.10) devemos ter c1 y1 (t0 ) + c2 y2 (t0 ) = y0 (3.11) c1 y1 (t0 ) + c2 y2 (t0 ) = z0 . ˙ ˙Podemos considerar (3.11) como um sistema de duas equa¸oes nasc˜inc´gnitas c1 e c2 . Para que este sistema tenha solu¸ao quaisquer que o c˜sejam y0 e z0 ´ necess´rio e suficiente que e a y1 (t0 ) y2 (t0 ) D = det = 0. y1 (t0 ) y2 (t0 ) ˙ ˙ y0 y2 (t0 ) − z0 y2 (t0 ) ˙Neste caso, a solu¸ao do sistema (3.11) ´ c1 = c˜ e e D z0 y1 (t0 ) − y0 y1 (t0 ) ˙c2 = . Assim, provamos o seguinte DTeorema 3.3. Sejam y1 (t) e y2 (t) solu¸˜es de [L.H.] tais que co y1 (t) y2 (t) det =0 (3.12) y1 (t) y2 (t) ˙ ˙para todo t ∈ I. Ent˜o toda solu¸˜o de [L.H.] ´ dada por (3.10). a ca e Observacao 3.3. Em vista do Teorema 3.3, costuma-se dizer que ¸˜(3.10) ´ a solu¸˜o geral de [L.H.], ou que y1 (t) e y2 (t) constituem e caum conjunto fundamental de solu¸˜es, ou que y1 (t) e y2 (t) s˜o co asolu¸oes linearmente independentes de [L.H.]. c˜ Observacao 3.4. O determinante (3.12) desempenha um papel im- ¸˜portante no estudo da equa¸˜o [L.H.]. Ele ´ chamado Wronskiano ca ede y1 (t) e y2 (t) e denotado por W [y1 , y2 ](t), ou simplesmente W (t). Observacao 3.5. O Teorema 3.3 reduz o problema de obter a solu¸ao ¸˜ c˜geral de [L.H.] ao problema de encontrar duas solu¸oes convenientes c˜y1 e y2 (isto ´, tais que W [y1 , y2 ](t) = 0). e
  46. 46. Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Teoria Geral 38 Observacao 3.6. Se W [y1 , y2 ](t) ≡ 0 podem existir solu¸oes de ¸˜ c˜[L.H.] que n˜o sejam dadas por (3.10). Por exemplo, tomando como asolu¸oes da equa¸˜o (3.6) y1 (t) = cos ω t e y2 (t) = 5 cos ω t, temos c˜ caW [y1 , y2 ](t) ≡ 0. Notemos que a solu¸ao y(t) = sen ωt n˜o pode ser c˜ aescrita como c1 cos ω t + 5c2 cos ω t. Observacao 3.7. Dadas duas fun¸˜es quaisquer ϕ1 e ϕ2 (que n˜o ¸˜ co asejam solu¸˜es de [L.H.]), podem existir valores de t para os quais o cowronskiano de ϕ1 e ϕ2 seja nulo e outros valores de t para os quaiso wronskiano n˜o se anule. Por exemplo, se ϕ1 (t) = t e ϕ2 (t) = t2 , atemos t t2 W (t) = det = t2 . 1 2tPortanto, W (0) = 0 e W (1) = 1. O pr´ximo teorema mostra que a situa¸˜o descrita na Observa¸ao o ca c˜3.7 n˜o ocorre se ϕ1 e ϕ2 forem solu¸˜es de [L.H.]. a coTeorema 3.4. Sejam y1 (t), y2 (t), t ∈ I, solu¸˜es de [L.H.] e t0 ∈ I cofixado. Seja W (t) o wronskiano de y1 e y2 . Ent˜o a t − a(s) ds W (t) = W (t0 ) e t0 , para todo t ∈ I. (3.13)Em particular, como a fun¸˜o exponencial nunca se anula, segue-se caque se W (t0 ) = 0, ent˜o W (t) = 0 para todo t ∈ I. a Demonstracao. Temos que ¸˜ W (t) = y1 (t) y2 (t) − y1 (t) y2 (t). ˙ ˙Derivando, obtemos˙W (t) = y1 (t) [−a(t) y2 (t) − b(t) y2 (t)] − y2 (t) [−a(t) y1 (t) − b(t) y1 (t)] ˙ ˙ = −a(t) [y1 (t) y2 (t) − y1 (t) y2 (t)] = −a(t) W (t). ˙ ˙

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