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EJERCICIOS Y SOLUCIONES              Distribuciones comúnmente usadas                1. 1 Distribución de BernoulliPara cu...
A continuación otra forma de interpretarlo:X                    P                  (X)(p)1                    0.55        ...
Ejercicio 1.2 En un restaurante de comida rápida, 25% de lasórdenes para beber es una bebida pequeña, 35% una mediana y 40...
d) Sea Pz la probabilidad de éxito de X. Determine Pz.         e) ¿Es Pz= PxPy?         f) ¿Es Z= XY? Explique.         SO...
Ejercicio 1.5 Sean X y Y aleatorias de Bernoulli. Sea Z=X+Y   a) Demuestre que si X y Y no pueden ser iguales a 1, entonce...
2 . ¿Y có mo m á xim o 2 ?2 . 2 Un a ge nte de s e guros ve nde pól i za s a c i nc o pers ona sde l a mi sma e dad y que ...
2 . 3 S i de s ei s a si e te de l a ta rde se a dmi te que un núme rode te l é fono de ca da ci nc o e s tá comuni c a nd...
1 . De te rm ina r la p ro b ab ilid a d a d e qu e e xa ct am en t e   t re s    co n du ct o re s   h a ya n   co me t i...
3.2 La producción de televisores en SAMSUNG trae asociada una   probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muest...
3.5 El 8% de los registros contables de una empresa presentan algúnproblema, si un auditor toma una muestra de 40 registro...
4 . 2 E n una c i uda d s e e s ti ma que l a te mpe ra turam á x i ma e n e l mes de juni o s i una di s tri buc i ón nor...
3 . S i se sa be qu e la ca lif ica ción d e u n e st u d ia n t e e s m a yo r   qu e 7 2 ¿cu á l e s la p rio rid a d de...
2 . ¿Q u é int e rva lo ce n t ra do e n 1 00 co n t ien e a l 50 % de    la p ob la ció n?    3 . E n u na po b la ción d...
5.0 Distribución gamma
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Ejercicios de distribuciones de probabilidad

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Ejercicios de distribuciones de probabilidad

  1. 1. UTT Universidad Tecnológica de Torreón ESTADÍSTICA PROCESOS INDUSTRIALESDISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD EJERCICIOS Y SOLUCIONES GRUPO 2 ´´A´´ROSALVA GUERRERO HERNANDEZ 18 DE MARZO DEL 2012
  2. 2. EJERCICIOS Y SOLUCIONES Distribuciones comúnmente usadas 1. 1 Distribución de BernoulliPara cualquier ensayo de Bernoulli se define a la variable aleatoria X así:Si el experimento “éxito”, entonces X =1. De lo contrario, X=0. De ahí queX sea una variable aleatoria discreta, con función de masa deprobabilidad p(x) definida por P (0)=P(X=0) = 1-p FRACASO P (1)= P(X=1)=p ÉXITOMedia y varianza de una variable aleatoria de BernoulliEs fácil calcular la media y la varianza de una variable aleatoria deBernoulli.ResumenSi X Bernoulli (p), entoncesMedia = (0) (1-p) + (1) (p)= P Media = pVarianza = (0 -p)2 (1 – p) + (1 – p)2(p) = P (1-p) Varianza = p (1 – p)Ejercicio 1.1 Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la partesuperior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55. a) Sea X = 1. Si anota el tiro, si no lo hace, X = 0. Determine la media y la varianza de X.Solución M = (0) (1 - 0.55) + (1) (0.55) = .55 V = (0 - 55)2 (1-.55) + (1 -0.55)2(0.55) =0.2575
  3. 3. A continuación otra forma de interpretarlo:X P (X)(p)1 0.55 1(0.55) = 0.550 0.45 0(0.45) =0 M = 0.55Media(X – M)2 (P) (1- 0.55)2 (0.55) = 0.111375 (0-0.55)2 (0.45) = 0.136125 V = 0.2475b) Si anota el tiro su equipo obtiene dos puntos; si lo falla, su equipo no recibepuntos. Sea Y el número de puntos anotados. ¿Tiene una distribución deBernoulli? Si es así, encuentre la probabilidad de éxito si no explique por qué. Solución: no es una distribución de Bernoulli, ya que una distribuciónde Bernoulli sus resultados siempre son X = 1, X = 0C) Determine la media y la varianza de Y Solución:y p (y)(P) Media2 .55 1.1 (Y-M) (P)0 .45 0 (2-1.1)2(0.55) =0.4455 M= 1.1 (0-1.1)2(0.45) =0.5445 Y=0.99 Varianza
  4. 4. Ejercicio 1.2 En un restaurante de comida rápida, 25% de lasórdenes para beber es una bebida pequeña, 35% una mediana y 40% unagrande. Sea X=1 si se escoge aleatoriamente una orden de una bebidapequeña y X=0 en cualquier otro caso Sea Y=1 si la orden es una bebidamediana y Y= 0 en cualquier otro caso. Sea Z=0 si la orden es una bebidapequeña o mediana y Z=0 para cualquier otro caso. a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. Determine Px b) Sea Py la probabilidad de éxito de Y. Determine Py. c) Sea Pz la probabilidad de éxito de Z. Determine Pz. d) ¿Es posible que X y Y sean iguales a 1? e) ¿Es Pz = Px + Py? f) ¿Es Z =X + Y? Explique. SOLUCION: a) X-( y + z) Y=35%=0.35 Z=40%=0.40 1-(0.35+0.40) 1-(0.75)=0.25 por lo tanto Px=25 b) Y- ( X + Z ) X=25%=.25 Z=40%=.40 1-(0.25+.40) 1-(0.65)=0.35 Py=35% c) Z – (X+ Y) X=25%=0.25 Y=35%=0.35 1 – (0.25+.35) 1- ( 0.6)= 0.4 Pz= 40% d) No porque la suma de sus porcentajes es menor a 1 e) No porque Pz= 40% y Py = 35% f) No. Ejercicio 1.3 Se lanza una moneda de 1 y de 5 centavos. Sea X = 1 si sale cara en la moneda de 1 centavo y X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si sale cara en la moneda de 5 centavos y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z =1 si sale cara en ambas monedas y Z=0 en cualquier otro caso. a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. Determine Px. c) Sea Py la probabilidad de éxito de X. Determine Px.
  5. 5. d) Sea Pz la probabilidad de éxito de X. Determine Pz. e) ¿Es Pz= PxPy? f) ¿Es Z= XY? Explique. SOLUCION: a) X=0.5 X P (x)(P) 1 .5 1(0.5) =0.5 0 .5 0(0.5) =0 .5 0.5 b) Y=0 c) Z=.33 Z P (Z)(P) 1 0.33 1(.33) =0.33 0 0.66 0(.66) =0 d) Si porque aun teniendo el mismo resultado no depende uno del otro. e) No, porque los tres resultados son independientes. f) Si porque Z=1, X=1, Y=1, por lo tanto 1=1 x1 =1=1 Ejercicio 1.4 Sean X y Y variables aleatorias de Bernoulli. Sea Z =XY. a) Demuestre que Z es una variable aleatoria de Bernoulli. b) Demuestre que si X y Y son independientes, entonces Pz= PxPy. SOLUCION: a) Si. X y Y son variables de Bernoulli ya que X = 1 y Y = 1 Sea Z= XY = Z = (1) (1)=1 b) X=1, Y=1, Z=1 Pz = 1= Px =1=Py=1 Pz=Pxpy 1= (1) (1) = 1=1
  6. 6. Ejercicio 1.5 Sean X y Y aleatorias de Bernoulli. Sea Z=X+Y a) Demuestre que si X y Y no pueden ser iguales a 1, entonces Z es variable aleatoria de Bernoulli. b) Demuestre que si X y Y no pueden ser iguales a 1 , entonces Pz= Px +Py c) Demuestre que si X y Y pueden ser iguales a 1, entonces Z no es una variable aleatoria de Bernoulli. SOLUCION. a) X=1 X=0 Y=1 Y=0 Z=0+0 Z=0 no es una variable de Bernoulli. b) Px=Px+Py 1=0+0 1=0 no son iguales c) X=1, Y=1 Z=X+ Y Z=2 no es una variable de Bernoulli. 2.0 Distribución Binomial Ejercicios 2 . 1 La úl ti ma nove l a de un a utor ha te ni do un grané x i to, ha s ta e l punto de que e l 8 0% de l os l e c tore s ya l aha n l e í do . Un grupo de 4 a mi gos s on a fi c i ona dos a l al e c tura: 1 . ¿Cuá l e s l a proba bi l i da d de que e n e l grupoha ya n l e í do l a nove l a 2 pe rs ona s ? B (4 , 0. 8 ) p = 0 . 8 q = 0 . 2
  7. 7. 2 . ¿Y có mo m á xim o 2 ?2 . 2 Un a ge nte de s e guros ve nde pól i za s a c i nc o pers ona sde l a mi sma e dad y que di s fruta n de bue na s al ud. S e gúnl a s ta bl as a c tua les , l a pr oba bi l i da d de que una pe rsona e ne s ta s c ondi ci ones vi va 3 0 a ños o má s e s 2 /3 . Háll e s e l apr oba bi l i da d de que , tra nsc urri dos 3 0 a ños , vi va n: 1 . La s cin co p e rson a s. B (5 , 2/ 3 ) p = 2 / 3 q = 1 / 3 2 . A l m en o s t re s pe rso n a s. 3 . E xa ct am en t e d os p e rso na s.
  8. 8. 2 . 3 S i de s ei s a si e te de l a ta rde se a dmi te que un núme rode te l é fono de ca da ci nc o e s tá comuni c a ndo, ¿c uá l es lapr oba bi l i da d de que , c ua ndo s e ma rque n 10 núme ros dete l é fono e l e gi dos a l a za r, s ól o c omuni que n dos ? B (1 0 , 1 / 5 ) p = 1 /5q = 4 / 52 . 4 La proba bi l i da d de que un ho mbre a c i erte e n el bl a nc oe s 1 /4 . Si di s pa ra 1 0 ve c e s ¿c uál es l a proba bil i da d de quea c i e r te e xa c ta me nte en tre s oc a s i one s ? ¿Cuá l es lapr oba bi l i da d de que a c ie rte por l o me nos e n una oca s i ón? B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/42 . 5 E n una s prueba s de a lc ohol e mi a s e ha obse rva do quee l 5 % de l os c onduc tore s c ontrola dos da n pos i ti vo e n l apr ue ba y q ue e l 1 0 % de l os c onduc tore s c ontrol ados nol l e va n a pro ve c ha do e l c i nturón de s e guri da d. Ta mbi é n s eha obs e rva do que las dos i nfra c c i one s s oni nde pe ndi e nte s. Un gua rdi a de trá fi c o pa ra c i nc oc onduc tore s a l aza r. S i te ne mos en c ue nta que e l núme rode c onduc tore s es s ufi c ie nte me nte i mporta nte c omo pa rae s ti m a r que l a proporc i ón de i nfrac tore s no va rí a al ha c e rl a se l ec c i ón.
  9. 9. 1 . De te rm ina r la p ro b ab ilid a d a d e qu e e xa ct am en t e t re s co n du ct o re s h a ya n co me t ido a lgu n a de la s dos in f ra ccio n e s . 2 . De t e rm in e la p ro b ab ilid a d de qu e a l m e no s u no d e lo s co n du ct o re s co n t ro lad o s ha ya co m et id o a lgu na de la s d o s inf ra ccio n e s . 3.0 Distribución PoissonEjercicios3.1 Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de Contabilidad sonmuy inteligentes ¿Calcular la probabilidad de que si tomamos 100alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes.n = 100P = 0.03Lambda = 100 * 0.03 = 3x=5e = 2.718281828
  10. 10. 3.2 La producción de televisores en SAMSUNG trae asociada una probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores, obtener la probabilidad de que existan 4 televisores con defectos.n = 85P = 0.02X=4Lambda = 1.73.3 En una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular laprobabilidad de que si tomamos 20 pericos al azar 3 de ellos hablen ruso.n = 20p = 0.15X=3Lambda =33.4 Se calcula que en la ciudad el 20% de las personas tienen defecto dela vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿ Calcular laprobabilidad de que 10 de ellos tengan defecto en la vista.n = 50p = 0.2Lambda =10
  11. 11. 3.5 El 8% de los registros contables de una empresa presentan algúnproblema, si un auditor toma una muestra de 40 registros ¿Calcularprobabilidad de que existan 5 registros con problemas?n = 40p = 0.08Lambda =3.2X=5 4.0 Distribución NormalEjercicios 4 . 1 La me dia y l os que de l os pe s os de 5 00 e s tudi a nte s de un c ol e gi o e s 70 k g y l a de s vi a c i ón tí pi c a 3 k g. S uponi e ndo que l os pe s os s e di s tribu ye n nor ma l me nte , ha ll a r c uá ntos e s tudi a nte s pes a n: 1 . E nt re 60 kg y 6 5 kg. 2 . Má s de 90 kg. 3 . Me no s de 64 kg. 4 . 64 kg. 5 . 6 4 kg o me no s.
  12. 12. 4 . 2 E n una c i uda d s e e s ti ma que l a te mpe ra turam á x i ma e n e l mes de juni o s i una di s tri buc i ón norma l ,c on me di a 2 3 ° y d e s vi a c i ón tí pi c a 5°. Ca l c ul ar e l núme rode dí a s de l mes en l os que se e s pe ra al c a nza r máx ima se ntre 2 1 ° y 2 7 °. 4 . 3 Se s upone que l os re s ul ta dos de un e x a me ns i gue n una di stri buc i ón normal c on me di a 78 yde s vi a c i ón tí pi c a 3 6 . Se pi de: 1 . ¿Cu á l e s la p ro b a b ilid ad d e qu e un a p e rson a qu e sep re se n ta e l e xa m en o bt e n ga u n a ca lif ica ció n sup e rio r a 7 2 ?2 . Ca lcu la r la p ropo rció n de e stu d ia n t e s qu e t ien en p u n tu a cion e s qu e e xce d e n p o r lo men o s e n cin co p u nto s d e la p un t ua ció n qu e ma rca la f ro n tera e n t re e l A p to y e l No -A p t o (son decla ra d o s No -Ap t os el 25% de lo s e st u d ia n t e s qu e ob t u vie ro n la s p u ntu a cio ne s m á s b a jas).
  13. 13. 3 . S i se sa be qu e la ca lif ica ción d e u n e st u d ia n t e e s m a yo r qu e 7 2 ¿cu á l e s la p rio rid a d de qu e su ca lif ica ció n sea , d e he ch o, sup e rio r a 84 ? 4 . 4 Va ri os te s t de i nte l i ge nc i a die ron unapuntua c i ón que si gue una l e y nor ma l c on me di a 10 0 yde s vi a c i ón tí pi c a 1 5 . 1. De te rm in a r el p o rce n ta je de p o b la ció n qu eo b t en d ría u n co ef icie n t e e n t re 9 5 y 1 1 0 .
  14. 14. 2 . ¿Q u é int e rva lo ce n t ra do e n 1 00 co n t ien e a l 50 % de la p ob la ció n? 3 . E n u na po b la ción d e 2 50 0 ind ivid u o s ¿cu án t o s in d ivid u o s se e spe ra n que t en ga n u n co ef icie n te su pe rio r a 12 5?4 . 5 E n un ex a me n ti po te s t de 2 0 0 pre gunta s de e le c c i ónm úl ti pl e , c a da pre gunta ti e ne una re s pue s ta c orre c ta y unai nc or r e c ta. S e aprue ba si se conte s ta a más de 110r e s pue s tas c orrec ta s . S uponi e ndo que s e c onte s ta a l a za r,c a l c ula r la probabi l i da d de a probar e l ex a me n .
  15. 15. 5.0 Distribución gamma

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