Sistemas de coordenadas

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El documento contiene información sobre coordenadas rectangulares, cilíndricas, esféricas

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Sistemas de coordenadas

  1. 1. Coordenadas Rectangulares En es un sistema de referencia respecto a un eje (recta), dos ejesperpendiculares (plano), o tres ejes perpendiculares entre si (en elespacio)Sistema de coordenadas lineal Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarsecon un número real, positivo si está situado a la derecha de un Punto O,y negativo si esta a la izquierda. Dicho punto se llama centro decoordenadas O (letra O) y se asocia al valor 0 (cero). Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensiónuno, y se le pueden aplicar todas las operaciones correspondientes aespacios vectoriales; en ocasiones también se llama recta real.Sistema de coordenadas plano Con un sistema de referencia conformado por dos rectasperpendiculares que se cortan en el origen, cada punto del plano puedenombrarse mediante dos números: (x, y) las coordenadas del punto,llamadas abscisa y ordenada, las distancias ortogonales a los ejescartesianos. La ecuación del eje x es y = 0, y la del eje y es x = 0, rectas quese cortan en el origen O, cuyas coordenadas son, obviamente, (0, 0).
  2. 2. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que lossignos de las coordenadas alternan de positivo a negativo (por ejemplo,las dos coordenadas del punto A serán positivas, mientras que las delpunto B serán ambas negativas). Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por lasproyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno delos ejes.Sistema de coordenadas espacialSi tenemos un sistema de referencia formado por tres rectasperpendiculares entre sí (X, Y, Z), que se cortan en el origen (0, 0, 0),cada punto del espacio puede nombrarse mediante tres números: (x, y,z) denominados coordenadas del punto, que son las distanciasortogonales a los tres planos principales: los que contienen las parejasde ejes YZ, XZ e YX, respectivamente.Los planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen elespacio en ocho cuadrantes en los que como en el caso del plano lossignos de las coordenadas pueden ser positivos o negativos. Las leyes del electromagnetismo son independientes del sistemade coordenadas, para la resolución de problemas prácticos se requierequé las expresiones derivadas de esta leyes se expresen en un sistemade coordenadas apropiado para la geometría del problema Coordenadas Rectangulares Un punto P(x,y,z) en coordenadas Cartesianas( Rectangulares) esla intersección de tres planos especificando por x= , y= , z= ,como se ilustra en la figura 1
  3. 3. Figura 1 Los tres vectores mutuamente perpendiculares, , y endirección de las tres coordenadas, se denominan vectores base. En elcaso de un sistema de mano derecha (Ver Figura 2) tenemos lassiguientes propiedades cíclicas. x = x = x =Las siguientes relaciones se deducen directamente . = x = x =0 . = x = x =1
  4. 4. Figura 2El vector de posición del punto P ( , , ) es el vector trazado desdeel origen O hasta P y sus componentes en las direcciones , ,son, y sus magnitudes respectivamente , , = + +Podemos escribir un vector A en coordenadas cartesianas concomponentes , ,yVector en coordenadas A= + +CartesianasLongitud diferencial vectorial dl = + +Diferencial de Volumen dv =
  5. 5. Producto escalar de A y B A.B= + +Producto vectorial de A y B AXB= Coordenadas Cilíndricas En coordenadas Cilíndricas, un punto P(ri, Φ1, z1), es laintersección de una superficie cilíndrica circular r= r1, un plano con eleje z como arista y que forma un ángulo Φ = Φ1, con el plano xy, y unparalelo al plano xy en z =z1. Tenemos que:(u1, u2, u3) = (r, Φ, z)Como se ilustra en la figura 3, r es la distancia radial medida desde eleje z y el ángulo Φ se mide a partir del eje x positivo. El vector estangente a la superficie cilíndrica. Las direcciones y cambian deacuerdo con las posiciones del plano P. La siguiente relación de la manoderecha se aplica a , , x = x = x = Figura 3.a
  6. 6. Figura 3.b Dos de los tres coordenadas r y z (u1, u3) son longitudinales,pero Φ (u2) es un ángulo, por lo que se requiere de un coeficiente demultiplicación (un coeficiente métrico) r para convertir un cambiodiferencial de ángulo en un cambio diferenciar de longitud como seilustra en la figura 4 Los coeficientes métricos para y son unitarios. Si denotamoslos coeficientes métricos en tres direcciones , , con h1, h2, h3,respectivamente tenemos que para las coordenadas cilíndricas h1= 1,h2= r, h3= 1, esto se indica en la tabla. Los coeficientes métricos encoordenadas cartesianas en los tres direcciones de coordenadasunitarias (h1 = h2= h3 = 1), ya que las tres coordenadas (x, y, z) sonlongitudinales.La expresión general para una longitud diferencial vectorial encoordenadas cilíndricas es la suma vectorial de los cambiosdiferenciales en longitud en las tres direcciones de coordenadas
  7. 7. Figura 4Longitud diferencial vectorial en coordenadas cilíndricas =Diferencia de volumen en coordenadas cilíndricas Un volumen es el producto de los cambios diferenciales enlongitud en las tres Direcciones de coordenadas. = r .Vector A en coordenadas cilíndricas Las coordenadas cilíndricas son importantes con corrientes o conlargas líneas de carga y en lugares donde existen contornos cilíndricoso circulares.A=
  8. 8. Los vectores expresados en coordenadas cilíndricas puedentransformarse y expresarse en coordenadas cartesianas, y viceversa.Supongamos que queremos expresar A = , encoordenadas cartesianas; es decir queremos escribir A comoA = + + y determinar , , . En primerlugar, observamos que la componente de z de A, no cambia con latransformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas. Para encontrar , igualamos los productos punto de ambas expresiones de A con ,Así, =A∙ = + (1) El término que contiene desaparece por que = 0.Remitiéndonos a la figura 5 donde se muestran las posiciones relativasde los vectores base , , en el plano xy Figura 5
  9. 9. = (2)Y que = =- (3)Al sustituir la ecuación 2,3 en 1, obtenemos = - En forma similar, para hallar A, tomamos los puntos de ambasexpresiones de A con =A∙ = +A partir de la figura tenemos que = = (4)Y = (5)De 4, 5 obtenemos =Transformación de las componentes de un vector de coordenadascilíndricas a coordenadas cartesianasx= ry= rz=z Coordenadas Esféricas Un punto p ( , , ) en coordenadas esféricas se especificacomo la intersección de las tres superficies siguiente: una esférica en elorigen con radio R = ; Un cono circular recto con vértice en el origen,
  10. 10. su eje coincidente con el eje +z y con un ángulo θ = y un semiplanocon el eje z como arista y que forma un ángulo Φ = , con el plan zx.Tenemos( , , ) = (R, θ, Φ) Las tres superficies se ilustran en la figura 6. Observe que elvector base en P es radial desde el origen y bastante diferente de ,en coordenadas cilíndricas, ya que este último es perpendicular al eje z. El vector base está en el plano Φ = y es tangencial a lasuperficie esférica, mientras que el vector base es el mismo que enlas coordenadas cilíndricas. Los vectores base se ilustra en la figura 4.En un sistema de la mano derecha tenemos x = x = x = Las coordenadas esféricas son importantes en problemas quecomprenden fuentes puntuales y regiones con contornos esféricos.Cuando un observador está muy lejos de una región fuente puedeconsiderarse aproximadamente como un punto. Por lo tanto, podríaelegirse como origen de un sistema de coordenadas esféricas para quese pueda efectuar aproximaciones apropiadas que simplifiquen elproblema. Es por esto que se usan coordenadas esféricas para resolverproblemas de antenas en el campo lejano.Vector en coordenadas esféricasA=Longitud diferenciar vectorial en coordenadas esféricas =
  11. 11. Figura 6 En coordenadas esféricas R es una longitud. Las otras doscoordenadas θ y Φ son ángulos, en la figura 7 se muestra un elementovolumen diferencial típico, vemos que se requieren los coeficientesmétricos = R y = R para convertir , respectivamente,longitudes diferenciales (R) y (R ) la expresión general es: =Diferencia en volumen en coordenadas esféricas Un volumen diferenciar es el producto de los cambios diferencialesen longitud en las tres direcciones de coordenadas =
  12. 12. Figura 7 En la tabla 1, se presenta los vectores base, los coeficientesmétricos y las expresiones para un volumen diferenciar en los tressistemas básicos de coordenadas ortogonales.Transformación de un punto en coordenadas esféricas acoordenadas cartesianas. En la figura 8 se muestra la interrelación de las variablesespaciales (x,y,z), (r,Φ,z) y (R,θ,Φ) que especifican la situación de unpunto Px= Ry= Rz=R
  13. 13. Figura 8 Tabla 1: Sistema Básico de Coordenadas Ortogonales Coordenadas Coordenadas Coordenadas Cartesianas Cilíndricas Esféricas (x,y,z) (r, Φ, z) (R, θ,Φ) Vector baseCoeficientemétricoDiferencialde = = r =volumen .

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