1. Regla de la cadena para la anti-derivada:
INTEGRALES:
Se entiende por métodos de integración cualquiera de las
diferentes técnicas elementales usadas para calcular
una antiderivada o integral indefinida de una función.
Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas
cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una
función F(x) tal que
,
REGLA DE LA CADENA
En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de
la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo
algebraico de derivadas cuando existecomposición de funciones.
Descripción algebraica
En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de
una variable) afirma que si es diferenciable en y es una
función diferenciable en , entonces la función
compuesta es diferenciable en y
REGLA DE LA CADENA PARA LA ANTIDERIVACIÓN
Sea una función derivable en un intervalo .
Sea una función definida en una
2. antiderivadade .
Entonces:
Note que , como
es una primitiva de entonces por lo que:
.
INTEGRACIÓN POR PARTES
Toda regla de derivación tiene una correspondiente de
integración. La regla de sustitución de la integración
corresponde a la regla de la cadena en la derivación. La
regla que corresponde a la regla del producto de la
derivación se llama regla de la integración por partes. La
regla del producto expresa que si f y g son funciones
diferenciables entonces
= f(x)g' (x) + f' (x)g(x)
Si hallamos la integral indefinida
= +
f(x) . g(x) = +
= f(x) .g(x) - .
Esta es la fórmula de integración por partes.
Para que resulte más fácil de recordar se puede utilizar la
siguiente notación: sea u = f(x) y v = g(x). Entonces du = f'
3. (x)dx y dv = g' (x)dx. Por la regla de sustitución resulta:
.
El objetivo al aplicar la integración por partes es obtener
una integral más sencilla que la inicial. Al decidir una
selección par u y dv se trata que u = f(x) sea una función
que se simplifique cuando se derive (o al menos no se
complique) mientras que dv = g' (x)dx se pueda integrar
fácilmente para encontrar v.
Para integrales definidas, si f' y g' son continuas
.
Ejercicios
1.
2.
3.
4.
5.
6.
