Unidad 2 polinomios_algebra superior_rosa_depena

Polinomios
UNIDAD 2
Prof. Rosa De Peña

1
Algebra Superior Rosa De Peña & Tulio Mateo
Polinomios Unidad 2
Índice
2.1 Definición de polinomio. Grado, termino principal y coeficiente principal de un
polinomio…………………………………………………………………………………… 2
2.2 Polinomio: Nulo o sin grado, ordenado, mónico o normal,
constante o de grado cero, completo e incompleto..................................................... 3
2.3 Forma vectorial de un polinomio…………………………………………….................... 4
2.4 Evaluación de polinomios…………………………………………………………………..4
2.5 Raíz o cero de un polinomio……………………………………………………………... 5
2.6 Grafica de un polinomio. Interpretación de la gráfica…………………………… ……...6
2.7 Espacio vectorial de los polinomios de grado n ……………………………………. 7
2.8 Igualdad de polinomios. Identidad de polinomios……………………….....................8
2.9 Operaciones con polinomios:……………………………………………………………… 8
2.9.1 Producto de un escalar por un polinomio……………………………………………..8
2.9.2 Suma o adición. Propiedades…………………………………………………………...9
2.9.3 Resta o Sustracción……………………………………………………………………..9
2.9.4 Multiplicación. Propiedades…………………………………………………………….10
2.9.5 División: Tradicional, coeficientes separados y coeficientes
Indeterminados…………………………………………………………………………..11
2.10 Algoritmo de la división………………………………………………………………….11
2.11 Teorema del resto. Demostración………………………………………………………15
2.12 Teorema del factor. Demostración……………………………………………………...17
2.13 Teorema recíproco del teorema del factor……………………………………………...17
2.14 División sintética o regla de Ruffini. División por (ax-b)……………………………..18
2.15 Divisibilidad de polinomios. Principio fundamental de la divisibilidad.
Divisores triviales y no triviales. Polinomio irreducible en un campo……………....20
2.16 Polinomios asociados…………………………………………………………………… 21
2.17 Fracciones Parciales…………………………………………………………………… …24
2.18 Aspectos complementarios: Números primos. Descomposición de un
número entero en sus factores primos. Mínimo común múltiplo (MCM).
Máximo común Divisor(MCD)………………………………………………………….. 31
2.19 Máximo común divisor de los polinomios. Algoritmo de Euclides............................ 34
2.20 Polinomio primo............................................................................................................37
2.21 Factorial de un número natural…………………………………………………………... 37
2.22 Numero combinatorio. Propiedades………………………………………………….. ... 39
2.23 Binomio de Newton. Propiedades del desarrollo de  m
ba  …………………………39
2.24 Derivada de un polinomio. Propiedades…………………………………………………40
2.25 Derivadas sucesivas……………………………………………………………………….40
2.26 Formula de Taylor. Desarrollo en Serie de las Funciones………………………... 41
2.27 Aplicaciones………………………………………………………………………………...43
Practica Propuesta No. 1. Unidad 2 ……………………………………………………… ….47
Practica Propuesta No. 2. Unidad 2…………………………………………………………..50
Cuestionario Unidad 2 …………………………………………………………………………..61
Bibliografía Consultada ………………………………………………………………………..62

2
Polinomios Unidad 2
POLINOMIOS
Vamos a iniciar repasando lo que hemos aprendido en cursos anteriores sobre polinomios. Analizaremos
las graficas que podemos hacer con estos espacios vectoriales, de modo que luego podamos establecer
su relación con las ecuaciones algebraicas. Los polinomios se utilizan en diferentes áreas tales como
física, química, biología, economía, entre otras.
2.1 Definición. Sea K un campo. Definimos un polinomio sobre K como una función de K en el mismo,
tal que existen elementos naaa ,...,, 10 K , tales que:
n
n
i
n
i
i xaxaxaxaxaxP  
...)( 2
2
1
1
0
0
0
para todo Kx
Un polinomio es la suma de un número finito de términos, cada uno de los cuales es el producto de una
colección finita de números y variables.
Un polinomio P(x) en la variable x viene dado por una suma algebraica de términos, cada uno de los
cuales consta de un número o constante, multiplicado por una potencia entera no negativa de la variable.
En cada término i
i xa de un polinomio, a la constante ia se le llama coeficiente; siendo ese término de grado
”i” (el exponente de la variable). Los términos se obtienen dando a “i” los valores naturales desde cero
hasta n.
El Grado de un polinomio se define por el más alto de los grados de sus términos.
Polinomios tales como:
  2
8xxPa  que contienen un solo término, se llaman monomios;
  xxxPb 74 2
 los que contienen dos términos, se llaman binomios;
  577 2
 xxxPc los que tienen tres términos, se llaman trinomios.
No se le da ningún nombre especial a los que contienen más de tres(3) términos.

3
Polinomios Unidad 2
Cuando todos los coeficientes de un polinomio pertenecen a un cierto campo numérico C, se dice que f(x) es
un polinomio que está definido sobre C, o que pertenece a C[x]
El símbolo C[x] designa, pues, el conjunto de todos los polinomios posibles con coeficientes del campo
numérico C.
Por ejemplo:
 
2
1
52
4
3 23
1 





 xxxxP es un polinomio sobre el cuerpo de los números racionales(Q ), puesto que
sus coeficientes ia son números racionales(Q).
  325 4
2  xxxP Z
  12)35(4 23
3  xxixxP C
  822 3
4  xxxP  R
2.2 Polinomio nulo es aquel que tiene todos sus coeficientes iguales a cero. El polinomio nulo no tiene
grado.
Dos polinomios son iguales cuando tienen iguales los coeficientes correspondientes.
Un polinomio se dice ordenado, cuando sus términos están escritos de modo que aparezcan ordenadas las
potencias de la variable; tal ordenación podrá ser creciente o decreciente.
En orden creciente:   5432
5 7322 xxxxxxP 
En orden decreciente:   1)2(log)3(23 234
6  xxixxxP
Un polinomio puede llamarse completo cuando aparecen (con coeficientes no nulos) todas las potencias de
la variable, desde la de exponente cero, hasta la que determina el grado del mismo. Por ejemplo, el polinomio
anterior  xP6 es completo de grado cuatro , en cambio:
  32
7
4
3
31 xxxP 





 es un polinomio incompleto de tercer grado.
El término que contiene la potencia más alta de la variable se llama Término Principal, y su coeficiente se
denomina Coeficiente Principal del polinomio.
En resumen, un polinomio estará representado por una suma de términos no semejantes, cada uno de los cuales
o es un número, o es el conjunto de un coeficiente numérico que multiplica a la variable afectada de un
exponente entero y positivo.
ia
ia
ia

4
Polinomios Unidad 2
Ejemplos:
1)   32
5648 xxxxF  . Representa un polinomio de grado tres.
2)   32
564
8
xxx
xF  . No representa un polinomio.
Polinomio Mónico o Normal
Es aquel cuyo coeficiente principal es la unidad.
  102
2
1 234






 xxxxP
Polinomio Constante
Es aquel polinomio que consta sólo de un numero distinto de cero. Posee grado cero.
  43xP es un polinomio de grado cero pues 43= 43 x0
2.3 Forma Vectorial de un Polinomio
A partir de:
  n
n xaxaxaxaxP  ...2
2
1
1
0
0 , podemos escribir:
   naaaaxP ,...,,, 210 donde los ia se ordenan en forma creciente.
Esta última expresión corresponde a la forma vectorial de P(x).
Ejemplo:
Para   5
821 xxxP 
Podemos escribir   54320
800021 xxxxxxxP 
Lo cual en forma vectorial pasa a ser:    8,0,0,0,2,1xP
2.4 Evaluación de Polinomios
A partir de un polinomio P(x) conocido, la evaluación de P(x) consiste en la determinación del valor
numérico que toma éste, correspondiente a un valor de x especificado, mediante la realización de las
operaciones algebraicas que envuelven los términos del mismo.

5
Polinomios Unidad 2
Ejemplos:
Si   423 24
 xxxxP
Evaluar el polinomio P(x) en los valores de x que se indican :
1)  0P , 2)  2P , 3) 





2
1
P , 4)  3P
1)         44020030
24
P
2)         364222232
24
P
3)
16
49
4
2
1
2
2
1
2
1
3
2
1
24
























P
4)         2364323333
24
P
2.5 Raíz o Cero de un Polinomio P(x)
Es el valor de “x” que hace cero el valor correspondiente a la evaluación de P(x).
Por ejemplo: a) -1 es un cero del polinomio   22  xxP
    02121 P
b) -2 es un cero del polinomio   xxxxP 623

        026222
23
P
Consideremos un polinomio  xP en una sola variable “x” y una función  xPy  que establece que la
variable “y” depende de la variable independiente “x”. Esto significa que para cada valor asignado a “x” ,
pueden ser determinados valores correspondientes de “y”. Cada par de valores correspondientes de “x” e
“y” satisfacen la ecuación  xPy 
El conjunto de todos los puntos , y sólo ellos, cuyas coordenadas satisfacen la ecuación  xPy  se
llama el Lugar Geométrico o Gráfica del Polinomio ( o de la ecuación ). Gráficamente, los ceros reales
de  xP son las abscisas de los puntos en donde la gráfica corta al eje x.

6
Polinomios Unidad 2
2.6 Gráfica de un Polinomio
Trazar la gráfica del polinomio   xxxxP 623
 en el intervalo -3 < x < 4
Asignando valores a “x” y calculando los valores correspondientes de P(x), obtenemos las coordenadas de
un número adecuado de puntos. Localizando estos puntos y trazando una curva que los una, obtenemos la
gráfica del polinomio. La gráfica de un polinomio de una sola variable es siempre una curva continua.
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
P(x)
P(x)
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
P(x) -18 0 4 0 -6 -8 0 24

7
Polinomios Unidad 2
2.7 Espacio Vectorial de los Polinomios de Grado  n
Comprobar que el conjunto ""V compuesto de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual
que ""n define un Espacio Vectorial en R .
Considerando:
 xP ,  xM ,  xN polinomios V
donde Rcba iii ,, , y 21,, kkk son escalares R
  n
n xaxaxaxP  ...1
1
0
0 ,   n
n xbxbxbxM  ...1
1
0
0
  n
n xcxcxcxN  ...1
1
0
0
Debe verificarse:
1)               n
nn xbaxbaxbaxbaxMxP  ...2
22
1
11
0
00
Siendo     xMxP  un polinomio V . Ley Uniforme.
2)      xMxP  =     xPxM  Propiedad Conmutativa
3)              xNxMxPxNxMxP  Propiedad Asociativa
4)    xPxP 0 Ley de Identidad. Existencia del
neutro aditivo
5)      0 xPxP Ley del Opuesto. Existencia del
opuesto aditivo.
6)   VxkP  Ley Uniforme
7)       xPkkxPkk 2121  Propiedad Asociativa del producto
de un polinomio respecto al producto
de escalares
8)          xkMxkPxMxPk  Propiedad Distributiva del producto de
un escalar respecto a la adición de
polinomios
9)        xPkxPkxPkk 2121  Propiedad Distributiva del producto de
un polinomio respecto a la adición de
escalares
10)    xPxP .1 Ley Identidad. Existencia del neutro
multiplicativo.
Al cumplirse las propiedades anteriores, entonces ""V define un espacio vectorial para los polinomios de
grado n

8
Polinomios Unidad 2
2.8 Polinomios Iguales
Decimos que    xMxP  si para   n
1
0
0 y   n
1
0
0 ocurre
que 00 ba  , 11 ba  , …, nn ba 
2.9 Operaciones con Polinomios
2.9.1 Producto de un Escalar por un Polinomio
Sea   n
n xaxaxaxaxP  ...2
2
1
1
0
0
   
 
 
  0
01
2
2
2
2
1
1 ... xaxaxaxaxaxaxP n
n
n
n
n
n  


 un polinomio definido sobre el campo
numérico C y sea K un escalar C , entonces el producto del escalar K por el polinomio  xP viene
dado por:
   
 
 
  0
01
2
2
2
2
1
1 ... xkaxkaxkaxkaxkaxkaxkP n
n
n
n
n
n  



Este nuevo polinomio  xkP también estará definido sobre C .
Polinomios Asociados
Sean  xP y  xM polinomios definidos sobre C entonces diremos que  xM es un polinomio asociado
a  xP si se cumple que    xaPxM  , siendo
un elemento no nulo del conjunto C
Cuando 1a entonces decimos que  xM es el Polinomio Opuesto de  xP .
 xM    xP1
Ejemplos:
  51236 234
 xxxxP
    10246122 234
 xxxxPxM
   
3
5
42
3
1 234






 xxxxPxN
      512361 234
 xxxxPxH
 xP ,  xM ,  xN ,  xH Son polinomios asociados en R .
 xH es el opuesto de  xP .

9
Polinomios Unidad 2
2.9.2 Suma de Polinomios
Dados dos polinomios  xP ,  xM , definidos sobre C , se llama suma de los mismos y se indica como:
     xMxP  , al polinomio que resulta de sumar los términos semejantes de  xP y  xM . La manera
práctica de sumar polinomios es colocarlos de modo que aparezcan en columna los coeficientes de una misma
potencia de la variable, con lo cual basta sumar dichos coeficientes.
2.9.3 La resta de los polinomios
     xMxP  la planteamos como la suma a  xP del opuesto de  xM .
          xMxPxMxP 
Dados:
  n
1
0
0
  n
1
0
0
Entonces:
            n
nn xbaxbaxbaxMxP  ...1
11
0
00
            n
nn xbaxbaxbaxMxP  ...1
11
0
00
Ejemplos
Sean:
5
3
3)( 4
 xxxP y 125
3
2
)( 245






 xxxxxM
a)    
5
8
426
3
2 245






 xxxxxMxP
b)    
5
2
224
3
2 245






 xxxxxMxP
En los ejemplos vistos, los coeficientes pertenecen al conjunto de los números racionales; esto es  xP y
 xM son polinomios sobre dicho conjunto. Naturalmente, para poder sumar (o restar) dos polinomios, debe
suponerse que ellos estén definidos sobre un mismo conjunto numérico, en el cual esté definida la suma (o
resta). Es evidente entonces que valen para los polinomios las propiedades ordinarias de la suma y resta:
propiedades asociativa, conmutativa, la del cero (aquí el cero es el polinomio nulo), la del opuesto, la de que
la resta es la operación opuesta de la suma y viceversa, etc.
Obsérvese que el grado de una suma de polinomios no supera el mayor de los grados de los sumandos.

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Polinomios Unidad 2
2.9.4 Multiplicación de Polinomios
El proceso para multiplicar polinomios está basado en el método de multiplicar monomios, junto con la
repetida utilización de la ley distributiva. La multiplicación de polinomios se efectúa, pues, término a
término, teniendo en cuenta que para el producto de dos términos i
i xa , j
j xb vale la fórmula:
    ji
ji
j
j
i
i xbaxbxa 
 ..
El producto de todo el multiplicando por un término del multiplicador nos dará un producto parcial, y como
todos estos productos parciales deben sumarse, convendrá ya irlos disponiendo en la forma usada en la suma
de polinomios.
Ejemplo:
Sean   7326 345
 xxxxxP   233
 xxxM
       23.7326. 3345
xxxxxxxMxP
345678
07010300026 xxxxxx 
xxxxxx 210309000618 23456

140206000412 2345
 xxxxx
________________________________________________
14230302050918026 2345678
 xxxxxxxx
Es claro que para las multiplicaciones de polinomios son válidas las propiedades ordinarias de la
multiplicación:
1) Asociativa              xNxMxPxNxMxP 
2) Conmutativa      xMxP =     xPxM
3) Distributiva               xNxPxMxPxNxMxP 
4) La Propiedad del Cero    00 xP
5) La Propiedad de la unidad    xPxP .1
El grado de un producto de polinomios es igual a la suma de los grados de los factores.

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Polinomios Unidad 2
2.9.5 División de Polinomios
Siendo  xF el polinomio dividendo y  xf el polinomio divisor, la división entre  xF y  xf se
define como:
2.10 Algoritmo de la división:
 
 
   
 xf
xr
xq
xf
xF

Donde:
 xq corresponde al polinomio cociente.
 xr corresponde al polinomio que identificamos como residuo.
Siendo:
n grado de  xF donde mn 
m grado de  xf
s grado de   mnxq 
t grado de  xr de modo que mt 
Multiplicando la expresión por  xf obtenemos la expresión:
       xrxfxqxF   2
La división entre polinomios se puede realizar mediante:
1) División Tradicional.
2) Método de Coeficientes Separados.
3) Método de Coeficientes Indeterminados.
 1

12
Polinomios Unidad 2
Ejemplos
1) División Tradicional
Este método consiste en ordenar los polinomios dividendo  xF y divisor  xf en forma decreciente,
pero manteniendo la variable que acompaña a cada término. Dividimos el primer término del dividendo
entre el primer término del divisor y así obtenemos el primer término del cociente. Este valor se multiplica por
el divisor y se adiciona cambiado de signo al dividendo. Este proceso se repite hasta que el dividendo posea
un grado menor que el divisor.
Dividir   2234 346
 xxxxF entre   12 23
 xxxxf
2002304 23456
 xxxxxx 12 23
 xxx
3456
4484 xxxx  441784 23
 xxx
20028 2345
 xxxxx
2345
88168 xxxx 
___________________________
2081017 234
 xxxx
xxxx 17173417 234

____________________
2172544 23
 xxx
44448844 23
 xxx
______________________
4661113 2
 xx
De la división anterior tenemos que:
El polinomio cociente es:   441784 23
 xxxxq
El resto es:   4661113 2
 xxxr

13
Polinomios Unidad 2
2) Método de coeficientes separados
En éste caso, tomamos los coeficientes con sus signos correspondientes de los polinomios dividendo
 xF y divisor  xf y los ordenamos ambos en forma decreciente.
Dividimos el primer coeficiente del dividendo entre el primer coeficiente del divisor para obtener el
coeficiente del primer término del cociente. Este valor lo multiplicamos por el divisor, le cambiamos de signo
y sumamos algebraicamente con el dividendo. En este nuevo dividendo tomamos el primer coeficiente que
dividimos entre el divisor, repitiendo este procedimiento tantas veces como sea necesario hasta lograr que
se reduzca el grado del dividendo a uno menor que el del divisor .
4 0 3 2 0 0 2 1121 
4 8 4 4 441784 
8 1 2
8 16 8 8
_________________________________
17 10 8 0 2
17 34 17 17
_________________________________
44 25 17 2
44 88 44 44
_________________________
113 61 46
Así
El cociente es:   441784 23
 xxxxq
El resto es:   4661113 2
 xxxr
3) Método de los Coeficientes Indeterminados para la realización de la división de polinomios.
Para la utilización de este método de división, formaremos una expresión general para el cociente  xq
y otra para el resto  xr , tomando en cuenta para ello los grados del dividendo  xF y del divisor
 xf .
¿De qué grado es el coeficiente y resto de la siguiente división?
 
 
   
 xf
xr
xq
xxx
xxx
xf
xF




12
2234
23
346
6n 3m 336  mns s grado de  xq
mt  , luego: 0t , 1t ó 2t será el grado de  xr
Usaremos 2t como el grado de  xr

14
Polinomios Unidad 2
Luego de lo anterior, podemos decir que  xq y  xr son polinomios que tendrán las siguientes
expresiones generales:
  01
2
2
3
3 AxAxAxAxq 
  01
2
2 BxBxBxr 
Donde 2103210 ,,,,,, BBBAAAA son los llamados coeficientes indeterminados.
El método de los coeficientes indeterminados, empleado para obtener el coeficiente y el resto de una división
de polinomios, lo esbozaremos aplicándoselo al ejemplo anterior. Este se apoya básicamente en la igualdad
de polinomios.
Al utilizar la ecuación  2 :
       xrxfxqxF 
Podemos determinar el cociente y el resto de la división, empleado la igualdad de polinomios:
2234 346
 xxx =     01
2
2
23
01
2
2
3
3 12 BxBxBxxxAxAxAxA 
 2002304 23456
xxxxxx
    01
2
2
23
01
2
2
3
3 12 BxBxBxxxAxAxAxA  =
      3
0123
4
123
5
23
6
3 222 xAAAAxAAAxAAxA 
     00101
2
2012 2 BAxBAAxBAAA 
Si éstos dos polinomios son iguales, podemos igualar los coeficientes de los términos semejantes, así:
Dividiendo entre tenemos que entonces
6
3
6
4 xAx  6
x 34 A 43 A
  5
23
5
20 xAAx  5
x 2320 AA  82 A
  4
123
4
23 xAAAx  4
x 123 23 AAA  171 A
  3
0123
3
22 xAAAAx  3
x 0123 22 AAAA  440 A
  2
2012
2
20 xBAAAx  2
x 2012 20 BAAA  1132 B
 xBAAx 1010  x 1100 BAA  611 B
002 BA  460 B
Luego los polinomios son:
Cociente:   01
2
2
3
3 AxAxAxAxq    441784 23
 xxxxq
Resto:   01
2
2 BxBxBxr    4661113 2
 xxxr

15
Polinomios Unidad 2
2.11 Teorema del Resto
División de un Polinomio Racional Entero entre un Binomio  ax 
Si se divide un polinomio racional entero  xF [ en este tipo de polinomios la variable sólo está sometida a
las operaciones racionales enteras: suma, resta, multiplicación y potenciación con exponentes enteros no
negativos] entre un binomio  ax  el resto que se obtiene es igual a  aF o sea el valor que toma  xF
para ax  .
Demostración:
1)
   
ax
r
xq
ax
xF



2)      raxxqxF 
Debemos señalar primero que r es independiente de x , y ello es evidente, pues si fuera una función de x
su grado deberá ser menor que el del divisor, es decir de grado cero; esto comprueba que r es independiente
de x
Para demostrar el teorema, reemplacemos en  2 a ""x por a:
3)      rraaaqaF 
o sea que, de  3
 aFr 
L.C.Q.D.
Observación: Si el divisor es  ax  entonces, como    axax  resulta que:
 aFr 
Esto es, el resto se obtiene reemplazando a ""x por el término independiente del binomio con signo
contrario.
Ejemplo
a) ¿Cuál es el resto de la división
2
122 4


x
xx
?
  122 4
 xxxF    2 xax
Luego:
        371432122222
4
 FaF
37r

16
Polinomios Unidad 2
Observación:
Conviene que el elector tenga presente que en todo lo que se ha dicho y hecho sobre el teorema del resto el
coeficiente de x en el binomio es la unidad, esto es, que si se ofreciera el caso de la división por un binomio
con coeficiente de ""x diferente de 1, entonces el resto se obtiene reemplazando por el término independiente
dividido por ese coeficiente, o sea, evaluando a  xF para el valor de x que es raíz del divisor.
Si se tiene
 
abx
xF

; entonces 






b
a
Fr
Ejemplos
1) El resto del cociente
22
2322 23


x
xxx
es  1
2
2





 






 FF
b
a
Fr
        521312121
23
 Fr
2) Halle el valor de k de modo que el resto de dividir el polinomio
  kxxxxf  1023
entre  4x sea igual al resto de dividir el polinomio
  20223
 kxkxxxg entre  2x más tres  3 unidades.
De:   kxxxxf  1023
        kkkf  40401664410444
23
 a
Para   20223
 kxkxxxg
        128204482022222
23
 kkkkkg
  98312832  kkg  b
Igualando  a y  b
9840  kk
Despejando: kk  849 luego: 7k

17
Polinomios Unidad 2
3) Halle el resto de dividir:
  2464541062 2345
 xxxxxxF
Entre:
a)   3 xxf   483 F
b)   2 xxf   2882 F
c)  
3
2
 xxf
243
352
3
2






F
2.12 Teorema del Factor
Si un polinomio racional entero  xF se anula cuando se sustituye en él a ""x por a, entonces  ax  es
factor de  xF o lo que es lo mismo  xF es divisible entre ax  .
Hemos visto que :
   
ax
r
xq
ax
xF



Si r = 0 entonces
   xq
ax
xF


Por tanto:     axxqxF  si reemplazamos ""x por a
    aaaqaF 
  0aF
L.C.Q.D.
2.13 Teorema Recíproco del Teorema del Factor
Si  ax  es un factor del polinomio racional entero  xF , entonces “a” es un valor que anula a  xF
    axxqxF  Reemplazando x por       aaaqaF  .
  0aF
Ejemplos
a) ¿ Son divisibles por  2x las funciones:
1)   2322 23
1  xxxxF
2)   1225 34
2  xxxxF ?
Soluciones: 1)         02681622322222
23
1 F
Luego:  xF1 es divisible por  2x
2)       69141680122252
4
2 F
Luego:  xF2 no es divisible por  2x
b) ¿Cuál es el cociente Q(x) y el resto R(x) de dividir:
2𝑥4−2𝑥+1
3𝑥+2
?

18
Polinomios Unidad 2
2.14 Método de la División Sintética o de Ruffini
Este método es un proceso abreviado para efectuar la división de un polinomio  xF entre un binomio de la
forma  ax  basado en los coeficientes indeterminados. Veamos:
Sea   01
2
2
3
3
4
4 AxAxAxAxAxF 
Al dividir  xF entre  ax  se tiene:
     raxxqxF   1
Sabemos que  aFr  y que ""r es independiente de x ; luego el grado del miembro a la derecha de  1
debe ser cuatro  4 y depende del producto   axxq  y puesto que  ax  es de primer grado entonces
 xq será de tercer grado.
Supongamos entonces que:   01
2
2
3
3 BxBxBxBxq   2
Donde 3210 ,,, BBBB son coeficientes indeterminados. Reemplazando  2 en  1 :
     raxBxBxBxBxF  01
2
2
3
3  3
Efectuando el producto en y asociando términos semejantes se tiene:
         010
2
21
3
32
4
3 aBrxaBBxaBBxaBBxBxF   4
Recordemos que también:
  01
2
2
3
3
4
4 AxAxAxAxAxF   5
Tenemos que comparando 4 con  5 tienen que ser iguales los coeficientes de una misma potencia a x,
esto es:
Dividiendo entre tenemos que entonces
4
3
4
4 xBxA  4
x 34 BA  43 AB 
  3
32
3
3 xaBBxA  3
x 323 aBBA  332 aBAB 
  2
21
2
2 xaBBxA  2
x 212 aBBA   6 221 aBAB   7
 xaBBxA 101  x 101 aBBA  110 aBAB 
00 aBrA  00 aBAr 
Si tomamos sólo los coeficientes de  xF y lo disponemos horizontalmente como aparecen en el cuadro
siguiente (1ra. fila) podemos ver con claridad que las operaciones indicadas en el mismo, satisfacen las
igualdades dadas en (7). La manera de proceder se explica en el cuadro a continuación:
4A + 3A + 2A + 1A + 0A
a 3aB + 2aB + 1aB + 0aB
4A + 2B + 1B + 0B + r

19
Polinomios Unidad 2
Explicación del cuadro:
Para dividir un polinomio  xF por  ax  organícelo en potencias decrecientes de x poniendo cero en los
lugares donde falten términos. Luego disponga el conjunto de la siguiente manera:
a) Escriba los coeficientes con sus signos (incluyendo ceros) en sucesión horizontal y tal como aparecen en
el polinomio ya organizado.
b) Deje un espacio y pase una raya de suma y debajo de esta raya repita el coeficiente
34 BA  (1er coeficiente del cociente)
c) Multiplique 4A por a y sume ese producto con 3A el resultado de esa suma es el coeficiente 2B
(2do coeficiente del cociente).
d) Multiplique 2B por a , sume este producto con 2A , el resultado es el coeficiente 1B (3er
coeficiente del cociente).
e) Multiplique 1B por a, sume este producto con 1
A , el resultado es el coeficiente
0B (4to coeficiente del cociente)
f) Multiplique 1B por a , sume este producto con 0A A0 , el resultado es el resto r
(5to coeficiente del cociente)
g) Aféctese cada coeficiente 3B , 2B , 1B , 0B de las potencias
   
0
21
,,...,, xxxx nn 
Y ese será el cociente buscado. El valor ""r es el residuo de la división.
Ejemplo
Dividir  232 45
 xxx entre  2x
El polinomio organizado en potencias decrecientes es: 23002 2345
 xxxxx
Efectuando la disposición indicada:
1 2 0 0 3 2
2 2 8 16 32 70
__________________________________________
1 4 8 16 35 72
Luego: 72r Resto.
El cociente es:   351684 234
 xxxxxq
Recordemos que:
El método de división sintética o de Ruffini se usa para dividir polinomios de modo que el divisor sea de
primer grado, en caso de no ser de primer grado, debemos descomponerlo en factores lineales, para repetir
el proceso con cada uno de los factores determinados , tomando en cuenta el nuevo dividendo.

20
Polinomios Unidad 2
2.15 Divisibilidad de Polinomios
Supondremos que los coeficientes de los polinomios pertenecen a un cierto campo numérico; es decir, que
con ellos pueden efectuarse las cuatro operaciones fundamentales, salvo la división por cero.
Un polinomio  xf sobre un campo numérico admite como divisores triviales a todos los elementos 0a
del campo y a todos los elementos de la forma a  xf Todo otro divisor (no trivial) se llama divisor
propio.
Ejemplos:
1) Divisores Triviales de   12164 2
 xxxP son: 2 , 4 ,  682 2
 xx ,  342
 xx
Divisores Propios de  xP son  3x   1x
2) Para   1003010 2
 xxxM
Los divisores Triviales son: 10, 5, 2 ,  50155 2
 xx , )103( 2
 xx ,  2062 2
 xx
Los divisores Propios son :  5x ,  2x
3) Para   72426 2
 xxxH definido en R .
Los divisores triviales son:      36213,127,24142,6,3,2 222
 xxxxxx
Los divisores propios son:  3x ,  4x
Un polinomio que, aparte de los divisores triviales no tiene ningún otro, o sea que no tiene divisores
propios se llama polinomio irreducible debiendo agregarse sobre el campo que se considera. Esta última
frase es imprescindible, pues un polinomio irreducible sobre un cuerpo puede muy bien ser reducible sobre un
cuerpo más extendido.
Por ejemplo:
  32
 xxf Es irreducible sobre el campo de los números racionales; pero si se amplía el cuerpo de los
números reales, ya el polinomio se hace reducible:
  32
 xxf   3x  3x
Como:
Z3 entonces  3x   3x no son divisores propios en Z para  xf
Q3 Entonces  3x   3x no son divisores propios en Q para  xf
√3 ∈ 𝑅 Entonces  3x   3x son divisores propios en R para  xf

21
Polinomios Unidad 2
2.16 Polinomios Asociados
Dos polinomios f(x) y g(x) no nulos sobre un Campo Numérico, son o se llaman asociados
si y sólo si cada uno de ellos divide al otro, o sea,
g(x) = a f(x) o f(x) = b g(x), siendo a, b elementos no nulos del campo, inversos
uno del otro 1
 ab  1
 ba recíprocamente, si “a” es un elemento no nulo del campo,
b g(x) está asociado con  xf
Ejemplos de polinomios asociados:
  101236 234
 xxxxf
   
3
10
42
3
1 234






 xxxxfxg
    20246122 234
 xxxxfxh
     xhxgxf ,, son polinomios asociados.
Todo polinomio no nulo sobre un campo es asociado con otro cuyo coeficiente principal es la unidad. Esto es
así, ya que si el coeficiente principal de f(x) es 0na , es evidente que el polinomio asociado  xf
an





 1
tendrá como coeficiente principal a la unidad.
Ejemplo
Si   101236 234
 xxxxf
   
6
10
2
2
1
6
1 234






 xxxxfxp
Para el estudio de la divisibilidad, en lugar de un polinomio f(x) puede considerarse cualquiera de sus
asociados g(x), puesto que f(x) y g(x) tienen exactamente los mismos divisores y exactamente los mismos
múltiplos. En particular, bastará considerar aquellos polinomios cuyo coeficiente principal sea la unidad. A
los polinomios que tienen esta propiedad (coeficiente principal igual a uno) se les llama mónicos o normales.
Un polinomio que sea a la vez irreducible (sobre un campo numérico) y mónico se llamará polinomio primo
sobre el campo dado.
Podemos decir que para:
    213253 2
 xxxxxM
donde (3x+1) no es un polinomio primo
(x-2) es un polinomio primo
  12
 xxxP es un polinomio primo

22
Polinomios Unidad 2
Principio Fundamental de la Divisibilidad
Todo polinomio f(x) puede descomponerse de una única manera en un producto de polinomios primos (iguales
o diferentes).
Podemos definir el máximo común divisor (MCD) de dos o más polinomios f(x), g(x)como el polinomio (si
existe) d(x) de mayor grado que divide exactamente a los polinomios datos.
Análogamente, el mínimo común múltiplo (MCM) de f(x), g(x) es el polinomio m(x) de menor grado que
contiene exactamente a los polinomios dados.
El llamado Algoritmo de Euclides o de las Divisiones Sucesivas sirve para calcular el MCD de dos
polinomios. Para mostrar su fundamento, veremos primero dos principios en los cuales éste se basa.
I) Si d(x) es un divisor común de dos polinomios u(x),v(x) también d(x) es divisor de toda combinación
lineal
       xvxkxuxh .. 
Siendo h(x), k(x) otros dos polinomios cualesquiera.
Demostración:
Como d es divisor de u (d/u) y además divisor de v(d/v) por hipótesis, existen polinomios u’(x) y v’(x)
tales que:
 
 
       xuxdxuxu
xd
xu
'.' 
 
 
       xvxdxvxv
xd
xv
'.' 
Pero entonces:
                   xvxdxkxuxdxhxvxkxuxh ''..            xvxkxuxhxd '.'. 
O sea '.'.
..
vkuh
d
vkuh


Y por consiguiente:
 kvhu
d

d es divisor de ( hu + kv ) LCQD

23
Polinomios Unidad 2
II) Si f(x), h(x) son dos polinomios, de los cuales el último polinomio h(x) es al menos no nulo, q(x)
el cociente y r(x) el resto de la división de f(x) por h(x), entonces el MCD de f(x) y h(x) es también
el MCD de h(x) y r(x).
 
 
   
 xh
xr
xq
xh
xf
 f(x) = h(x).q(x) + r(x)
Abreviando f = h q+r → “ f ” es una combinación lineal de “ h ” y “ r ”
qhfr . → “ r ” es una combinación lineal de “ f ” y “ h ”
Supongamos que “ d ” sea el MCD de (f, h) y d’ el MCD de (h, r). Al ser “ d ” divisor
común de f y h , por la demostración anterior “ d ” es divisor de “h” y también será divisor de
“ r ” (por ser “ r ” una combinación lineal de f y h); de donde se concluye que d es divisor de d’ (
d/d’).
Análogamente, al ser d’ divisor común de h y r , por la demostración anterior d es divisor de h y
también será divisor de f (por ser f una combinación lineal de h y r); de donde se concluye que d es
divisor de d ( d’/d); y siendo d y d’ cada uno divisor del otro, entonces, ambos polinomios, coincidirán.

24
Polinomios Unidad 2
2.17 Fracciones parciales
Una función racional
 
 xQ
xP
puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del divisor  xQ 0 de la
misma, de tal modo que el divisor puede presentar términos que permitan factorizarlo atendiendo a:
a) Factores lineales distintos.
b) Factores lineales repetidos o iguales.
c) Factores cuadráticos distintos.
d) Factores cuadráticos repetidos.
Cada caso de los indicados permite formar una fracción racional equivalente a la dada del modo
siguiente:
a) Factores lineales distintos.
 
 xQ
xP
=
 
     nn bxabxabxabxa
xP
 ...332211
O sea que:  xQ =      nn bxabxabxabxa  .... 332211
Vamos a formar varias fracciones, una para cada factor distinto de  xQ . El numerador de la fracción
tendrá una constante a determinar: A,B,C,…,N
 
 xQ
xP
nn bxa
N
bxa
C
bxa
B
bxa
A







 ...
332211
I
Multiplicando la expresión anterior por el mínimo común múltiplo
 xQ =      nn bxabxabxabxa  .... 332211 formamos una expresión sin denominadores:
            nnnn bxabxabxaBbxabxabxaAxP ...... 33113322
     nn bxabxabxaC ...2211 …+         11332211 ....   nn bxabxabxabxaN
En éste caso, determinamos A, B, C,…, N mediante igualdad de polinomios,
previa multiplicación de los binomios indicados. Podemos utilizar la parte derecha de la función racional
I :
nn bxa
N
bxa
C
bxa
B
bxa
A







...
332211
como equivalente de la dada
 
 xQ
xP
.

25
Polinomios Unidad 2
b) Factores lineales repetidos.
 
 xQ
xP
=
 
     baxbaxbaxbax
xP
 ...
Es decir:  xQ       baxbaxbaxbax ...  n
bax 
Formamos varias fracciones, una para cada factor de  xQ . El numerador de la fracción tendrá una
constante a determinar: A,B,C,…,N
 
 xQ
xP
n
bax
N
bax
C
bax
B
bax
A
)(
...
)()( 32







 I
Multiplicando la expresión anterior por el mínimo común múltiplo  xQ  n
bax  formamos una
expresión sin denominadores:
    
  
  
NbaxCbaxBbaxAxP
nnn


...
321
En la expresión anterior, determinamos A,B, C,…, N mediante igualdad de polinomios, previo desarrollo
de los binomios. Ahora podemos utilizar la parte derecha de la función racional I como equivalente de
la dada
 
 xQ
xP
.
c) Factores cuadráticos distintos.
 
 xQ
xP
=
 
     nnn cxbxacxbxacxbxacxbxa
xP
 2
33
2
322
2
211
2
1 ...
Ahora:  xQ      nnn cxbxacxbxacxbxacxbxa  2
33
2
322
2
211
2
1 ...
Formamos varias fracciones, una para cada factor de  xQ . El numerador de la fracción tendrá dos
constantes a determinar: A,B,C,…,N, M
 
 xQ
xP
=
 


11
2
1 cxbxa
BAx
 


22
2
2 cxbxa
DCx
  


...
33
2
3 cxbxa
FEx
 nnn cxbxa
MNx


2

26
Polinomios Unidad 2
 xQ =      nnn cxbxacxbxacxbxacxbxa  2
33
2
322
2
211
2
1 ... formamos una expresión sin
denominadores:
        nnn cxbxacxbxacxbxaBAxxP 2
33
2
322
2
2 ...
      nnn cxbxacxbxacxbxaDCx 2
33
2
311
2
1 ...
      nnn cxbxacxbxacxbxaFEx 2
22
2
211
2
1 ... …+
      1)1(
2
)1(22
2
211
2
1 ...   nnn cxbxacxbxacxbxaMNx
Encontramos A,B, C,…, N,M mediante igualdad de polinomios, previa multiplicación de los factores
planteados en P(x) . Ahora podemos utilizar la parte derecha de la función racional I como equivalente
de la dada
 
 xQ
xP
.
d) Factores cuadráticos repetidos.
 
 xQ
xP
=
 
     
 cbxaxcbxaxcbxaxcbxax
xP
2222
...
Siendo:  xQ        n
cbxaxcbxaxcbxaxcbxaxcbxax  22222
...
Formamos varias fracciones, una para cada factor de  xQ . El numerador de la fracción tendrá dos
constantes a determinar: A,B,C,…,N, M
 
 xQ
xP
=
 


cbxax
BAx
2
 



22
cbxax
DCx
 



...32
cbxax
FEx
 n
cbxax
MNx


2
I
 xQ        n
cbxaxcbxaxcbxaxcbxaxcbxax  22222
...
formamos una expresión sin denominadores:
P(x) = (Ax+B)   

12 n
cbxax (Cx+D)   

22 n
cbxax (Ex+F)  

32 n
cbxax
+…+ (Nx+M)
Hallamos A,B, C,…, N,M mediante igualdad de polinomios, previo desarrollo de los factores indicados.
Utilizamos la parte derecha de la función racional I como equivalente de la expresión dada
 
 xQ
xP
.

27
Polinomios Unidad 2
Ejemplos de Fracciones Parciales
Primer Caso. Factores de primer grado distintos.
Sea la función racional
 
 xQ
xP
=
  31
35


xx
x
Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente, dependiendo del divisor
 xQ 0 de la misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores lineales
distintos  1x y  3x .
A partir de la fracción dada
  31
35


xx
x
podemos construir dos fracciones cuya suma
sea equivalente a la fracción conocida:
31 

 x
B
x
A
Es decir:
   3131
35






x
B
x
A
xx
x
Multiplicando ésta ecuación por el mínimo
común múltiplo  1x  3x , tenemos:    1335  xBxAx
Multiplicando a la derecha de la igualdad nos queda: BBxAAxx  335
Asociando en la derecha los términos semejantes:    BAxBAx  335
Igualando los términos semejantes:
En x:  xBAx 5 ( I )
Términos independientes: -3 = -3 A + B ( II )
De I Dividiendo entre x la expresión: 5 = A + B ( I )
-3 = -3 A + B ( II )
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones I y II mediante reducción:
Multiplicando la ecuación I por 3: 15 = 3A+ 3B
-3 = -3A+ B
Sumando las dos ecuaciones anteriores 12 = 4B  B = 3
4
12
  B = 3
Sustituyendo B en la ecuación I: 5 = A + 3  A= 5-3= 2 A = 2
Con los valores de A, B encontrados tenemos:
   3
3
1
2
31
35






xxxx
x
La suma de las dos fracciones de la derecha son equivalentes a la fracción inicial conocida.

28
Polinomios Unidad 2
Segundo Caso. Factores de primer grado repetidos.
 
   2
2
76



x
x
xQ
xP
Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del divisor
 xQ 0 de la misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores lineales iguales   22  xx .
 2
2
76


x
x
podemos construir dos fracciones cuya suma sea equivalente a la
fracción conocida :
 2
22 

 x
B
x
A
Es decir:
   22
222
76






x
B
x
A
x
x
común múltiplo  2
2x , tenemos:
  BxAx  276
Multiplicando a la derecha de la igualdad nos queda:
)2(76 BAAxx 
Igualando términos semejantes:
En x : 6 x = A x Dividiendo entre x, tenemos que : A = 6
Términos independientes: BA 27  7= 2(6) +B
Despejando B: B = 7-12 = -5 5B
Sustituyendo los valores de A y B en la fracción inicial:
   22
2
5
2
6
2
76






xxx
x

29
Polinomios Unidad 2
Tercer Caso. Factores de segundo grado distintos.
 
 

xQ
xP
  21
12
22
23


xx
xxx
Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del divisor  xQ 0 de la
misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores de segundo grado diferentes   21 22
 xx .
  21
12
22
23


xx
xxx
podemos construir dos fracciones cuya suma sea
equivalente a la fracción conocida :
21 22





x
DCx
x
BAx
Es decir:
   2121
12
2222
23








x
DCx
x
BAx
xx
xxx
común múltiplo   21 22
 xx ,
Tenemos:      1212 2223
 xDCxxBAxxxx
Multiplicando a la derecha de la igualdad nos queda:
DDxCxCxBBxAxAxxxx  232323
2212
Factorizando a la derecha de la igualdad:
)2()2()()(12 2323
DBxCAxDBxCAxxx 
Igualando términos semejantes:
En 3
x : 33
)( xCAx  Dividiendo entre 3
x , tenemos que : 1 = A + C (I)
En 2
x : 22
)( xDBx  Dividiendo entre 2
x , tenemos que : 1 = B + D (II)
En x : xCAx )2(2  Dividiendo entre x , tenemos que : 2 = 2A + C (III)
Términos independientes: )2(1 DB  o sea que: 1= 2B + D (IV)
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones I , II , III, IV :
De I: 1 = A + C multiplicando por -1  -1 = -A - C
Sumando con III: 2 = 2A + C
1= A  A = 1
Sustituyendo A en I tenemos que 1 = 1 + C por tanto C = 0

30
Polinomios Unidad 2
Seleccionando ahora las ecuaciones II y IV
1 = B + D multiplicando por -1  -1 = -B - D
Sumando con IV: 1= 2B + D
0 = B por tanto B = 0
En la Ecuación II encontramos a D: 1 = B+ D  1 = 0 + D  D = 1
Sustituyendo los valores de A, B, C, D en la fracción inicial:
   2
1)0(
1
0)1(
21
12
2222
23








x
x
x
x
xx
xxx
Efectuando la operación en la expresión de la derecha nos queda:
   2
1
121
12
2222
23






xx
x
xx
xxx
Cuarto Caso. Factores de segundo grado repetidos.
 
 

xQ
xP
 22
2
9
9


x
xx
Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del divisor
 xQ 0 de la misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores de segundo grado repetidos
  99 22
 xx .
 22
2
9
9


x
xx
podemos construir dos fracciones cuya suma sea equivalente a la
fracción conocida :
 222
99 




x
DCx
x
BAx
Es decir:
   22222
2
999
9








x
DCx
x
BAx
x
xx
Multiplicando la ecuación anterior por el mínimo común múltiplo  22
9x tenemos:
   DCxxBAxxx  99 22
DCxBBxAxAxxx  999 232
Completando el polinomio de tercer grado en la derecha y factorizando los términos semejantes a la
izquierda:
)9()9(90 2323
DBxCABxAxxxx 

31
Polinomios Unidad 2
Igualando términos semejantes.
En 3
x : 33
0 Axx   A = 0
En 2
x : 22
Bxx   B = 1
En x : xCAx )9(   -1= 9 A + C  -1 = 9(0) + C  C = -1
Términos independientes: 9 = 9B + D  9 = 9(1) + D  D = 0
En la expresión:
 22
2
9
9


x
xx
=
 222
99 




x
DCx
x
BAx
Sustituyendo A, B, C y D tenemos:
 22
2
9
9


x
xx
=
 222
9
0)1(
9
1)0(





x
x
x
x
Efectuando la operación en la expresión de la derecha nos queda:
 22
2
9
9


x
xx
=
 222
99
1



 x
x
x
2.18 Aspectos Complementarios
Números Primos
Son todos aquellos números enteros positivos que solo admiten como divisores así mismo y a la unidad.
Ejemplos: ,...23,19,17,13,11,7,5,3,2
Descomposición de un Número Entero en sus Factores Primos
Esto se hace por sucesivas divisiones del número entre los factores primos que éste posea, hasta llegar
como último cociente a la unidad.
Ejemplo:
Descomponer en sus factores primos a y .
Podemos expresar los números conocidos como:
 2
3218 
   22
532450 

32
Polinomios Unidad 2
Mínimo Común Múltiplo (MCM)
El de dos o más números es el menor número que los contiene a todos exactamente.
Esto se hace descomponiendo cada número en sus factores primos y luego multiplicando los factores
primos comunes y no comunes de ambos, tomando los factores primos comunes con su mayor
exponente.
El entre a) 18  450
 2
3218 
   22
532450 
MCM =     450532
22

b) 54  90
 3
3254     53290
2

MCM=     270532
3

c)
Máximo Común Divisor (MCD)
El de dos o más números es el mayor número que los divide a todos exactamente. Esto se hace
descomponiendo cada número entero en sus factores primos y luego multiplicando los factores comunes
afectados de su menor exponente.
A) Hallar el entre y 270
   732126
2

   532270
3

MCD =   1832
2

B) Buscar MCD entre 18  450
 2
3218 
   22
532450 
MCD =   1832
2


33
Polinomios Unidad 2
C) Determinar el entre
Otra forma para hallar el entre dos números enteros es usando la división mediante el Algoritmo de
Euclides. Según este procedimiento el entre dos números enteros y se determina
como sigue:
Se divide entre , encontraremos un cociente y un resto , tal que si el resto es
cero, es el entre y Pero si el resto es diferente de cero, se hace otra división, que será
entre y Si el resto es cero, el último divisor usado es el . En caso contrario se sigue
dividiendo, siempre el divisor entre el resto de la división anterior. Este proceso terminará cuando el resto
sea cero. El es el último divisor usado.
Cuando los números conocidos sean primos, entonces el no existe.
Hallar el entre y
Cuando dividimos
126
154

b
a
se origina un cociente q = 1 y un resto = r = 28
Luego al dividir
28
126

r
b
el cociente encontrado es q = 4 y el resto = 1r = 14
Al dividir
14
28
1

r
r
el cociente es q =2 y el resto = 02 r
Como 02 r el MCD corresponde al último resto distinto de cero que es 1r .
MCD = 14

34
Polinomios Unidad 2
2.19 Algoritmo de Euclides
Dados dos polinomios su puede obtenerse así:
Efectúese la división de por , obteniéndose un cociente y un resto . Si no es
nulo; efectúese la división de por , obteniéndose un cociente y un resto . Si
no es nulo; divídase por , obteniéndose un cociente y un resto . Si
no es nulo; continúe dividiendo continuamente hasta llegar a un resto nulo. Cuando esto ocurra, entonces
el resto anterior al nulo (o sea, el último divisor usado) es el entre y
En símbolos:
+
+
. .
Al ser entonces
Como las sucesivos restos son polinomios de grados decrecientes, llegara un momento en
que cierto residuo sea cero.
Aplicando la demostración anterior a las sucesivas divisiones tendremos:
lo cual se lee
es igual al de y de y de y
Pero como, según lo explicado  1nr es múltiplo de rn, es claro que el último
es .
Así queda finalmente la tesis de que el es .
L.C.Q.D

35
Polinomios Unidad 2
Ejemplo:
Sea
Hallar el entre y
Las divisiones sucesivas son:
15357892254235 2345678
 xxxxxxxx
10252705 2345
 xxxxx
2345
1553 xxxx 
1052 23
 xxx
1553 23
 xxx
De ahí que el sea :
normal:

36
Polinomios Unidad 2
2) Hallar el MCD normal entre
El normal o se determina como sigue:


9
6399 2
xx
72
 xx
normal es
3)

37
Polinomios Unidad 2
302
 xx 13 x
xx 






3
12
9
1
3
1
x
3
3
1






x
-
9
1
3
1
x
9
28
Polinomio asociado: 1
Polinomio constante , su polinomio asociado es
No hay .
Los polinomios dados son primos entre si.
2.20 Polinomios Primos
Son aquellos que no tienen MCD. Es decir, el único divisor común entre ellos es la unidad.
2.21 Factorial de un Número Natural
Si n es un número natural, se llama factorial de y se designa , al producto de todos los números
naturales consecutivos desde hasta
Ejemplos

38
Polinomios Unidad 2
El análisis combinatorio estudia las diferentes formaciones que pueden hacerse con un número limitado de
elementos.
Se llaman combinaciones a las diferentes formaciones que podemos hacer con elementos diferentes
entrando de en , pudiendo ser , de modo tal que dos formaciones sólo se diferencien en la
naturaleza de por lo menos uno de sus elementos.
Las combinaciones sin repetición son aquellas en las que en una formación ningún elemento participa más
de una vez.
Ejemplo
Sean elementos
Formemos las combinaciones, tomando los elementos de en : .
Es usual calcular el número de combinaciones sin repetición de elementos, tomados de en ,
usando la expresión del número combinatorio:
  








n
m
nmn
m
C nm
!!
!
,
base
orden
Ejemplos:
 
3
!2
!3
!23!2
!3
2,3 

C
 
126
!59!5
!9
5,9 

C
Propiedades del Número Combinatorio
a)
b)
c)
d) N
e)

39
Polinomios Unidad 2
2.22 Binomio de Newton
El desarrollo de las segunda y tercera potencias enteras positivas de un binomio, se resuelve con un par de
reglas fijas del álgebra elemental.
Asi :
A partir de la cuarta potencia se aplica un conjunto de reglas fijas llamadas propiedades del desarrollo del
Binomio de Newton.
(𝑎 + 𝑏)4
= (
4
0
) 𝑎4
𝑏0
+ (
4
1
) 𝑎3
𝑏1
+ (
4
2
) 𝑎2
𝑏2
+ (
4
3
) 𝑎1
𝑏3
+ (
4
4
) 𝑎0
𝑏4
(𝑎 + 𝑏)5
= (
5
0
) 𝑎5
𝑏0
+ (
5
1
) 𝑎4
𝑏1
+ (
5
2
) 𝑎3
𝑏2
+ (
5
3
) 𝑎2
𝑏3
+ (
5
4
) 𝑎1
𝑏4
+ (
5
5
) 𝑎0
𝑏5
En general:
     
 
    
  
  mmmmmm
bba
mmm
ba
mm
ba
m
aba 



 
...
321
21
21
1
1
33221
Si en esta expresión general observamos el coeficiente de cada término, podemos comprobar que éstos son
números combinatorios de base y orden igual en cada caso, al lugar que ocupa el término en cuestión
disminuido en 1.
Así, si llamamos al lugar que ocupa un término , en el desarrollo de podemos decir que:
Ejemplo: 1) Desarrollar (2𝑥 + 3𝑦)6
2)Hallar del binomio (2𝑥 + 3𝑦)6
: 𝑇𝑟 = 𝑇3
2.23 Propiedades del Desarrollo de  m
ba 
a) La igualdad entre los coeficientes simétricamente dispuestos respecto del centro obedece a que éstos,
en cada caso, son números combinatorios de órdenes complementarios.
b) El número de términos del desarrollo es
c) El desarrollo es un polinomio homogéneo (todos sus términos son del mismo grado absoluto) de
grado
d) El desarrollo es un polinomio completo en (posee todas las potencias de y desde m
hasta uno, y además un término independiente respecto de cada una de estas letras).

40
Polinomios Unidad 2
2.24 Derivada de un Polinomio
Dado un polinomio   r
n
r
r xaxP 

0
siendo
Se define el polinomio derivado o simplemente la derivada , como el polinomio que se obtiene al
multiplicar cada término por el exponente de y por la potencia de disminuida en la unidad, o sea:
Ejemplo. Hallar la primera derivada de P(x)
  10937 23
 xxxxP
Propiedades de las Derivadas
a) La derivada de una constante es cero. Recíprocamente, si la derivada de un polinomio es cero, tal
polinomio se reduce a una constante, nula o no.
b) La derivada de una suma de polinomios es la suma de las derivadas de esos polinomios.
  ''' gfgf 
c) La derivada de una diferencia de polinomios es igual a la diferencia de las derivadas de dichos
polinomios.
  ''' gfgf 
d) La derivada de un producto de dos polinomios f, g está dada por la fórmula:
  '.'.'. fggfgf 
e) La derivada del producto , siendo una constante es
2.25 Derivadas Sucesivas
La derivada de un polinomio es a su vez un polinomio, de un grado una unidad menor que
Por consiguiente, tiene a su vez una derivada, que se llama la de y
se indica con la notación ó Y así sucesivamente, puede definirse la derivada tercera o derivada
de la derivada segunda, la derivada cuarta .

41
Polinomios Unidad 2
Ejemplos:
Si , hallar
2.26 Fórmula de Taylor. Desarrollo en Serie de las Funciones
La llamada Fórmula de permite el desarrollo de una función cuando se incrementa en
una cantidad o sea el desarrollo de la función
Tomemos un polinomio entero en y de
Reemplacemos a por
Desarrollando los binomios de la derecha tenemos:
 hyf  



































 40322304
4
0
4
3
4
2
4
1
4
0
4
hyyhhyhyhyA 





























 302203
3
3
3
2
3
1
3
0
3
hyyhhyhyA 
  01
2002
2
2
2
1
2
0
2
AhyAhyyhhyA 























Asociando los términos que tienen una misma potencia de y resolviendo parcialmente los números
combinatorios indicados, tenemos:
    01
2
2
3
3
4
4 AyAyAyAyAhyf  a
 





 12
2
3
3
4 234
!1
AyAyAyA
h
 b
      





 23
2
4
2
2334
!2
AyAyA
h
 c
       





 34
3
23234
!3
AyA
h
 d
    4
4
234
!4
A
h






  e

42
Polinomios Unidad 2
Si observamos lo que encierra el paréntesis de cada sumando, vemos que:
1) El del sumando es la misma función dada.
2) El del sumando es la primera derivada de esa función.
3) El del sumando es la segunda derivada de la función.
4) El del sumando es la tercera derivada de la función.
5) El del sumando es la cuarta derivada de la función.
Todo lo anterior lo podemos resumir en la siguiente expresión:
Donde son los símbolos que indican las derivadas sucesivas de la función.
Si hubiéramos elegido un polinomio de un grado mayor, la expresión anterior sólo hubiera diferido en el
número de términos, porque las derivadas son tantas como el grado. Entonces, generalizando la expresión,
tendremos:
Resumiendo:    
 yf
i
h
hyf i
n
i
i








0 !
Si en la expresión permutamos por tenemos:
Reordenando tenemos:
            n
n
y
n
hf
y
hf
y
hf
y
hf
hfhyf .
!
....
!3
'''
.
!2
''
.
!1
' 32
  2
=
 
   hyfy
i
hf i
n
i
i
0 !
Esta expresión es la Fórmula de Taylor para el desarrollo de cualquier polinomio algebraico
cuando se incrementa la variable en una cantidad .
Si en la expresión hacemos , de donde , resulta:
 
 
  i
n
i
i
hx
i
hf
xf  
.
!0

43
Polinomios Unidad 2
Esta es la expresión de que permite el desarrollo de un polinomio algebraico en
función de las potencias del binomio la cual tiene gran aplicación en la .
Los coeficientes de las potencias en la Fórmula de Taylor son los restos que se
obtienen dividiendo por dividiendo nuevamente el cociente obtenido entre y así
sucesivamente.
Para el cálculo de la Fórmula de Taylor podemos, en consecuencia, aplicar la técnica de la división
sintética ya estudiada. Las sucesivas divisiones se pueden reunir en un sólo esquema de cálculo, que se
identifica como .
2.27 Aplicaciones
Ejemplos
1) Desarrollar el polinomio por la fórmula de Taylor alrededor del
punto
    121  fhf
    01''
 fhf
    181  IIII
fhf
    01  IIIIII
fhf
    1201  IVIV
fhf
    2401  VV
fhf
Desarrollo:
Según  
 
  i
n
i
i
hx
i
hf
xf  
.
!0
                543
'''
2
'''
!5!4!3!2!1
)( hx
hf
hx
hf
hx
hf
hx
hf
hx
hf
hfxf
VIV

Sustituyendo en la ecuación anterior cada término:
Ordenando en forma decreciente, la expresión es:

44
Polinomios Unidad 2
2) Desarrollar el polinomio alrededor del punto
usando el
2 5 0 1 8 6
2 3 3 2 6 12  hf
2 -1 4 -6
2 1 4 6 0
 
!1
'
hf

2 1 3
________________________________________
2 1 3 9
 
!2
hf II

2 3 0
 
!3
hf III

2
_______________
 
!4
hf IV

2
 
!5
hf V

Desarrollo usando Horner:
Y = x-h = x-(-1) = x+1
𝑓(𝑥) = ∑
(𝑓(ℎ))
𝑖
𝑖!
5
𝑖=0
(𝑥 − ℎ)𝑖
𝑓(𝑥) =
(𝑓(ℎ))
0
0!
(𝑥 − ℎ)0
+
(𝑓(ℎ))
′
1!
(𝑥 − ℎ)1
+
(𝑓(ℎ))
′′
2!
(𝑥 − ℎ)2
+
(𝑓(ℎ))
′′′
3!
(𝑥 − ℎ)3
+
(𝑓(ℎ))
𝐼𝑉
4!
(𝑥 − ℎ)4
+
(𝑓(ℎ))
𝑉
5!
(𝑥 − ℎ)5
.
Si se quiere verificar la exactitud de este resultado, no hay más que desarrollar las potencias de
indicadas, y sumar algebraicamente.

45
Polinomios Unidad 2
3) Desarrollar el polinomio según potencias de
Comprobar el resultado.
𝑓(𝑦 − 4) = 𝑓(4) +
𝑓′(−4)
1!
𝑦 +
𝑓′′(−4)
2!
𝑦2
+
𝑓′′′(−4)
3!
𝑦3
Usando esquema de
2 5 7 1
4 8 52 236
__________________________
2 13 59 237   2374  f
8 84
__________________________
2 21 143
  143
!1
4'



f
__ -8_____________________
2 29
  29
!2
4



II
f
__________
2
  2
!3
4



III
f
Comprobación:

46
Polinomios Unidad 2
4) Exprese a en potencias de usando el
.
1 1 0 2 5
2 2 6 12 28
____________________________________
1 3 6 14 23   232  f
2 10 32
______________________________
1 5 16 46
  46
!1
2'

f
2 14
________________________
1 7 30
  30
!2
2

II
f
2
___________________
1 9
  9
!3
2

III
f
______________
1
Hágase la comprobación sustituyendo:

47
Polinomios Unidad 2
AUTONOMA DE SANTO DOMINGO
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
ALGEBRA SUPERIOR. MAT– 230
PRACTICA PROPUESTA No. 1 . UNIDAD 2
Preparado por: Prof. Rosa Cristina De Pena Olivares
Matricula ________________ Nombres-Apellidos ______________________________________
Grupo No. ______ Sección No. ______ Fecha de entrega_____________________
I. Exprese en forma vectorial el polinomio dado
a) f(x) = 2x4
– 5x 3
+ 7x2
+ x-6
b) g(x) = x7
– 3x5
+ 2x3
– x + 10
c) h(x) = 2x4
– 7x2
– 1
d) w(x) = x8
– x
II. Halle los valores numéricos indicados, a partir del polinomio
f(x) = 2x4
– 5x 3
+ 7x2
+ x-6
a) f (-1) =
b) f (3) =
c) f (0) =
d) 𝑓 (
1
2
) =
III. Construir la gráfica de
1) f(x) = x 2
– 4x + 4. Usar I : -1  x  3
f(x) = (x – 2) 2
2) f(x) = x 3
– 6x 2
+ 12x – 8 Usar I : -1  x  4
f(x) = (x – 2) 3
3) f(x) = x 2
– 3x + 2 = 0 Usar I : 0  x  3
f(x) = (x – 1) (x – 2) = 0

48
Polinomios Unidad 2
IV. Indique en cada caso, si el valor dado de “ a” es raíz de f(x)
1) f(x) = 4x2
– 10x + 6 si a = 2
2) f(x) = 15x3
+ 17x2
– 30 si a = 1/5
3) f(x) = 14x4
– 60x3
+ 49x2
– 21x + 19 si a = 1
4) f(x) = x7
– 3x5
+ 2x3
– x + 10 si a = -1
V. Determine si:
1) (x –1) es factor de x 3
+ 3x2
– 25x +21
2) (x + 7) es factor de x3
+ 8x2
+ 5x – 14
3) (4x – 3) es factor de 4x3
+ 9x2
– x – 6
VI. a) Demuestre que (x-4) es un factor de f(x) = x3
–18 x + 8
Factorice f(x) en factores lineales.
b) Pruebe si (x-3) es un factor del polinomio
f(x) = x 4
– 4x3
– 7x2
+ 22x + 24 , y si lo es factorícelo.
c)Comprobar que x5
+ a5
es divisible por (x+a)
d) ¿Cuál es el resto de la división de y6
+ a6
entre (y+a)
VII. Halle los valores de ”k” de modo que:
1) (x-2) sea un factor de f(x) = 2 x2
+ kx - 3
2) (x+1) sea un factor de f(x) = x3
–2kx2
+ x - 7
3) El resto de la división de 3x2
– 4kx + 1 entre (x+3 ) sea igual a -20
4) El resto de la división de x3
– k2
x + 4 entre (x-1) sea igual a la unidad
VIII. Hallar los valores de “K” para los cuales:
1.f(x) = 4x3
+ 3x2
– Kx + 6K es divisible por (x+3)
2.f(x) = x5
+ 4Kx – 4K2
al dividirse por (x-2) tiene por resto cero.
3.f(x) = 3x5
– 2Kx4
– 5x3
– 4Kx + 10K + 5 al dividirse por (x-2) tiene por resto la
unidad.
4.g(x) = K2
x5
– 3x2
+ 2K es divisible por (x-1)

49
Polinomios Unidad 2
IX. Efectúe las siguientes divisiones mediante el proceso de los coeficientes indeterminados.
a) 2x5
- 7x4
- 6x3
- 6x2
- 7x + 3
x2
+ 2x – 1
b) 3x7
- 3x6
+ 4x3
- x2
- 3x + 1
x3
- x2
+ 1
c) 2x4
- 3x2
+ 2x - 1
2x – 3
X. Utilizar la igualdad de Polinomios para determinar los literales en:
a) 2 x4
– 4x3
– 5x2
– Cx + 2D = (x – B) (Ax3
– 5x – 12)
b) 5x2
– 2x + 3 = Ax2
+ (B+C)x + 7 (B-C)
c) A(2x-3) + B(x-2) = x
d) A(x2
- 4x+3) + B(x2
– 1) + C(x2
-2x-3) = 6x – 10

50
Polinomios Unidad 2
PRACTICA PROPUESTA No. 2. UNIDAD 2
I. a) Aplicando el teorema del resto y por medio de Ruffini, determina si:
f(x) = 2x5
– 3x3
+ 2x2
– x, es divisible entre (2x-3)
b) Determine el valor de “a” de modo que el resto de la división de
f(x) = x2
–3x –1 entre (x-a) sea igual a 3.
II.a) Suponga que f(x) = 36 x 98
–40 x 25
+ 18 x14
– 3 x7
+ 40 x 4
+ 5x 2
–x - 2
se divide por (x-1). ¿Cuál es el resto?
b) Mediante la división sintética, pruebe que:
X4
+9X3
+13X2
-9X-14 = (X-1)(X+1)(X+2)(X+7 )
III. Efectuar la operación indicada entre los polinomios conocidos.
𝑃(𝑥) = 12𝑥2
− 23𝑥 + 5 𝑀(𝑥) = 9𝑥2
− 13𝑥 + 3 𝑁(𝑥) = 4𝑥 − 1
a) P(x)+2M(x) –N(x) b) P(x) [ N(x)] c)
𝑃(𝑥)
𝑁(𝑥)
d) M(x)-2[N(x)] e)2M(x)-[3 P(x)-N(x)]
IV. a) ¿Que polinomio se debe sumar a 3𝑥2
− 4𝑥 − 2 de tal modo que la suma
sea 𝑥2
+ 𝑥 + 3?
b) ¿Que polinomio se debe restar a 6𝑥2
− 4𝑥 − 2 de tal modo que la suma
sea 4 𝑥2
+ 𝑥 − 4?
V. Aplicando Ruffini , determine el cociente y el resto al dividir los
polinomios:
1)f(x) = 3x4
+ 19x3
+ 19 x2
–7x –10 entre (x+5)
2)f(x) = x4
+ 3x3
–19x2
–27x +90 entre (x-3 )
3) f(x) = x4
+ 9x3
+ 13x2
–9x –14 entre (x+7)
4) f(x) = 2x4
– 3x3
+ 4x2
+ x – 6 entre (x-3)
5) f(x) = x5
– 4x4
– 5x3
+ 4x2
+ x – 18 entre (x+2)

51
Polinomios Unidad 2
VI. Hallar “r” utilizando el teorema del resto al dividir los polinomios.
1) f(x) = 2x2
– 4x + 6 entre x – 2
2) f(x) = 3x2
+ 7x – 1 entre x + 3
3) f(x) = x4
– x3
+ 2x2
+ 3x + 5 entre x – 3
4) f(x) = 2x4
– 7x2
+ x – 1 entre x + 3/2
VII. Utilice el teorema del resto para hallar f(a)
1) f(x) = 4x2
– 10x + 6 si a = 2
2) f(x) = 15x3
+ 17x2
– 30 si a = 1/5
3) f(x) = 14x4
– 60x3
+ 49x2
– 21x + 19 si a = 1
4) f(x) = x7
– 3x5
+ 2x3
– x + 10 si a = 5
VIII. Determine si el polinomio lineal g(x), es un factor de f(x)
1) f(x) = 2x2
+ 6x – 25 g(x) = x – 5
2) f(x) = 10x2
– 27x + 1 g(x)= x + ½
3) f(x) = 2x 3
– 4x + 7 g(x)= x+ 1
4) f(x) = x 5
– 2x4
+ 4x2
– x + 2 g(x)= x + 2
IX. a) Factorice el polinomio cuadrático
1) f(x) = x2
– x – 1 =
2) f(x) = 3x2
+ 2x – 1=
3) f(x) = -5x2
+ x + 6 =

52
Polinomios Unidad 2
I. Resuelva:
1) Determine un polinomio de tercer grado cuyas raíces sean: 1, -1, 2.
2) Halle un polinomio de cuarto grado cuyas raíces sean: – ½, ½, 2, -5.
3) Demuestre que x+1 es un factor de f(x) = x3
+ 4x2
– 7x – 10.
Factorice f(x) en factores lineales.
II. A) Encontrar el cuarto término del desarrollo de ( 2x -5 y )7
B) Desarrollar (2x - y )5
III. Sea la expresión dada una fracción racional propia, descomponga atendiendo a
cada uno de los casos que corresponden a fracciones parciales.
1.
5
𝑥2+ 𝑥−2
2.
𝑥−1
2𝑥(𝑥−3)
3.
𝑥+3
(𝑥−1)(𝑥+2)
4.
5𝑥+1
(𝑥−1)(𝑥+1)(𝑥+2)
5.
5𝑥2+ 4𝑥+2
(𝑥−4)(𝑥+3)2
6.
𝑥−9
𝑥2−9
7.
3𝑥2−5𝑥−52
(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+5)
8.
5𝑥3+𝑥+2
(𝑥2−1)(𝑥2+1)
9.
3𝑥3−𝑥2+4𝑥
(𝑥2−𝑥+1)(𝑥2+1)
10.
4𝑥2+2𝑥−1
𝑥3+𝑥2 11.
𝑥2+3𝑥−4
𝑥3−4𝑥2+4𝑥
12.
𝑥2+5
𝑥3−𝑥2+𝑥+3
13.
𝑥
16𝑥4−1
14.
3𝑥2−4𝑥+5
(𝑥−1)(𝑥2+1)
15.
−2𝑥2+14𝑥+18
(𝑥−3)(2𝑥2−𝑥−1)
16.
4𝑥4+13𝑥2−4𝑥+14
(𝑥−1) (𝑥2+2)2
IV. Aplicando el algoritmo de Euclides, determine el M.C.D. de los siguientes
pares de polinomios.
1) f(x) = x4
+ 3x3
– x2
– 4x – 3 , g(x) = 3x3
+ 10x2
– 2x – 3
2) f(x) = x3
– 3x2
– 2x + 6 , g(x) = x3
+ x2
– 2x – 2
3) f(x) = x6
+ 2x5
+ x3
+ 3x2
+ 3x + 2 , g(x) = x4
+ 4x3
+ 4x2
– x – 2
4) f(x) = x5
– x4
– 2x3
+ 2x2
+ x –1 , g(x) = 5x4
+ 4x3
– 6x2
+ 4x + 1

53
Polinomios Unidad 2
V. a) Desarrollar el polinomio P(x) = 2 x3
–5x2
+ 7x -1
alrededor del punto h = 2 . Haga la comprobación.
Recuerde que : y = x – h
x = y + h = y + 2
b) Exprese en potencias de (y-2) el polinomio P(x) = 5x2
+ 4x +1
Haga la comprobación.
x = y + h = y + (-2)
c) Expresar el polinomio P(x) = x4
–2x3
–x2
+ 5 en potencias de (x- 4)
aplicando la Fórmula de Taylor.
y = x – 4 = x + (-4)
VI. a) Dada f(x) = x4
+ 4x 3
– 10x2
– 28x – 15, hallar :
1) f ’(x)
2) El MCD de f(x) y f ’(x)
b) Determina f(a) y las derivadas sucesivas del polinomio dado para el punto
a = -3 f(x) = 3x5
- 4x4
+ x2
- 6x + 8
c) Dado f(x) = 3x4
– 2x3
+ 4x2
– 3x + 5.
Hallar: f ’’ ( 2b –1) + f ’’’(b + 2)
d) Desarrolla por Taylor los siguientes polinomios alrededor de los puntos que
Aparecen a su derecha.
1) P(x) = 2x5
- 3x4
+ 6x3
- x2
- 5x + 3 para a = -2
2 ) M(x) = x6
– 2x4
+ 3x3
– 5x2
+ 8x para a = 1
e) Desarrolle por Taylor la función f(x) en términos de las potencias de (x-2)
f(x) = x3
– 2x2
– x + 2

54
Polinomios Unidad 2
Grupo No. ______ Sección No. ______ Fecha de entrega____________________
Encierre en un círculo la expresión que haga cierto lo que se
plantea en cada caso.
1. La determinación del valor numérico correspondiente al valor de x en un polinomio P(x) se
identifica como:
a) Polinomios Iguales b) Forma vectorial de un polinomio.
c) Evaluación del polinomio. d) Raíz o cero de un polinomio
2. El método más general usado para dividir polinomios, manteniendo siempre la variable que
acompaña cada termino es:
a) Método de Ruffini. b) Método de coeficientes separados.
c) División tradicional. d) Algoritmo de la división.
3. El método que requiere formar una expresión general para el cociente q(x) y otra para el resto
r(x) tomando en cuenta su grado es:
a) Teorema de resto. b) División irracional.
c) Espacio Vectorial. d) Método de los coeficientes indeterminados.
4. La suma de números finitos de términos cada uno de los cuales que es el producto de una
colección finita de números y variables se identifica como:
a) Polinomio Nulo b) Polinomio
c) Polinomio Incompleto d) Constante
5. El proceso abreviado para efectuar la división de un polinomio entre un binomio de la forma
(x-a) es:
a) Polinomio primo. b) Polinomios asociados.
c) Divisibilidad de polinomios. d) División sintética o de Ruffini.

55
Polinomios Unidad 2
6. Es un polinomio constante de coeficiente irracional.
a) 32 b) √9 c)2 d)√3
7. El resto de dividir el polinomio 15𝑥5
+ 3𝑥4
+ 2𝑥3
+ 30 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥3
− 1 es:
a) 0 b) x-3 c) 15𝑥2
+ 3𝑥 + 32 d) ninguna de las anteriores
8. El producto de (5𝑥4
+ 3𝑥3
− 6𝑥2
+ 𝑥 − 3) (2𝑥2
− 3𝑥 + 4) es:
a) 6𝑥7
− 9𝑥4
− 33𝑥2
+ 13𝑥 b) 10𝑥6
− 9𝑥5
− 𝑥4
+ 32𝑥3
− 33𝑥2
+ 13𝑥 − 12
c) 10𝑥6
− 9𝑥5
+ 𝑥4
− 32𝑥3
+ 33𝑥2
− 13𝑥 + 12
d) 10𝑥6
+ 9𝑥5
+ 𝑥4
+ 32𝑥3
− 33𝑥2
+ 13𝑥 + 12
9. El resultado de restar los polinomios P(x) – G(x) siendo P(x) = 4𝑥4
− 5𝑥3
+ 2𝑥2
− 6𝑥 + 7
Y G(x)= 𝑥3
+ 2𝑥2
− 3𝑥 + 4 es:
a)4𝑥4
+ 5𝑥3
− 2𝑥2
− 9𝑥 + 11 b) 2𝑥4
− 3𝑥3
− 5𝑥2
+ 3𝑥 + 4
c)4𝑥4
− 4𝑥3
− 3𝑥 + 4 d) 4𝑥4
− 6𝑥3
− 3𝑥 + 3
10. Si restamos los polinomios P(x) =5𝑥4
+ 2𝑥3
− 7𝑥2
− 3𝑥 + 5 y M(x) = 2𝑥3
− 9𝑥2
+
3𝑥 + 4 su resultado es:
a)5𝑥4
+ 3𝑥3
+ 16𝑥2
+ 6𝑥 − 9 b) 2𝑥3
+ 5𝑥2
− 12𝑥 + 7
c) 5𝑥4
+ 4𝑥3
− 16𝑥 − 6𝑥 + 9 d) 5𝑥4
+ 2𝑥2
− 6𝑥 + 1
11. Al dividir (𝑥5
− 2𝑥4
+ 3𝑥 − 2) 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 (𝑥 − 2) usando la división sintética , el resto es igual a:
a) -7 b) 0 c) -8 d) 4
12. El polinomio que tiene todos sus coeficientes iguales a cero y no tiene grado se identifica
como:
a) Incompleto b) Constante c)Nulo d) Normal
13. ¿Qué tipo de grafico resulta al graficar una función polinómica de segundo grado?
a) Línea recta b) Hipérbola c) Parábola d) Una elipse
14. ¿Qué tipo de grafico resulta al graficar una función polinómica de primer grado?
15. ¿Qué tipo de grafico resulta al graficar una función polinómica de tercer grado?
16. A partir de P(x) = 2𝑥3
+2𝑥2
-3x+2 , ¿Cuál de los siguientes binomios es factor del
polinomio dado?
a) X-2 b) X+5 c) X+15 d) X+2

56
Polinomios Unidad 2
17. El polinomio cuyo coeficiente principal es la unidad se llama polinomio:
a) Nulo b) Mónico c) Constante d) Completo
18. P(x)+(-P(x))=0 es una representación de:
a) La propiedad distributiva b) Ley de identidad c) Ley uniforme d) Ley del opuesto
19. Un polinomio donde la variable posea solo coeficientes racionales enteros se identifica como
polinomio:
a) Nulo b) Racional entero c) Irracional d) Completo
20. Mediante el Teorema del resto, que obtenemos al reemplazar a “x” por el término
independiente del binomio con signo contrario:
a) El residuo b) El cociente c)Un término d) El grado
21. Un polinomio está representado por:
a) Una suma de términos semejantes.
b) Una suma de términos ordenados en forma creciente.
c) Una suma de términos no semejantes que pueden estar ordenados en forma creciente o decreciente
d) Una suma de términos no semejantes ordenados solo de manera decreciente.
22. La forma vectorial del polinomio 𝑃(𝑥) = 14𝑥4
− 60𝑥3
+ 49𝑥2
− 21𝑥 + 19 es:
a) (14,49,-21,19) b) (14,0,-60,49,-21,19) c) (19,-21,49,-60,14,0) d)(19,-21,49,-60,14)
23. Al evaluar el polinomio 𝑃(𝑥) = 3𝑥4
− 𝑥2
+ 2𝑥 − 4 en 𝑃 (
1
2
) su resultado es:
a) 3.0625 b) -7/8 c) - 49/16 d) - 3
24. Es un factor de 𝑃(𝑥) = 𝑥3
− 6𝑥2
+ 12𝑥 − 8
a) (x+2) b) (x-1/2) c)(x-2) d) (x-4)
25. El grado de un polinomio se define por:
a) La cantidad de términos que contiene. b) El más alto de los grados de sus términos.
c) El coeficiente más alto de sus términos. d) El menor grado de sus términos.
26. Cuando los coeficientes de un polinomio pertenecen a un cierto campo numérico C, se dice que F(x)
es:
a) Un polinomio que no está definido sobre C o que no pertenece a C (x).
b) Es un número natural que muestra el grado del polinomio.
c) Es un polinomio que está dividido por C
d) Es un polinomio que está definido sobre C.

57
Polinomios Unidad 2
27. El valor de “X” que hace cero la evaluación de P(x) se identifica como:
a) Raíz de un polinomio P(x) b) Polinomios Asociados
c) Polinomio nulo d) Ninguna de las anteriores
28. La operación entre polinomios P(x), M(x), N(x) que se plantea como P(x) + [-M(x)-N(x)]
es:
a) División de Polinomios b) Multiplicación de Polinomios
c) Resta de polinomios d) ninguna de las anteriores
29. Es la suma de un número finito de términos cada uno de los cuales es el producto de una colección
finita de números y variables.
a) Vector b) Polinomio c) Matriz d) Ecuación
30. Un polinomio nulo es:
a) El que tiene todos sus coeficientes iguales a cero. b) Aquel cuyo coeficiente principal es la unidad.
c) Polinomio que consta de un número distinto de cero d) b y c son correctas
31. La división sintética se puede utilizar para dividir una función polinómica por un:
a) Binomio b) Monomio y binomio c) Trinomio d) Monomio
32. ¿Cuál es el producto de multiplicar 𝑃(𝑥) = 𝑥4
+ 5𝑥3
+ 2𝑥2
− 𝑥 − 7 por 𝑀(𝑥) = 𝑥 + 1
a) 𝑥5
+3𝑥4
+ 5𝑥3
+ 𝑥2
− 8𝑥 − 7 b) 𝑥5
−4𝑥4
+ 5𝑥3
− 𝑥2
+ 8𝑥 − 7
c) 𝑥5
+4𝑥4
+ 5𝑥3
+ 𝑥2
− 8𝑥 − 7 d) 𝑥5
−4𝑥4
− 5𝑥3
− 𝑥2
− 8𝑥 − 7
33. El resto de dividir 𝑃(𝑥) = 𝑥4
+ 5𝑥3
+ 2𝑥2
− 𝑥 − 7 entre x+1 es igual a:
a) 16 b) 8 c) -8 d) -7
34. A partir de 𝑃(𝑥) = 4𝑥4
+ 3𝑥3
+ 5𝑥2
− 2𝑥 + 3; 𝑀(𝑥) = 5𝑥3
− 3𝑥2
+ 7𝑥 − 3
P(x)-M(x) es igual:
a) 4𝑥4
+ 2𝑥3
+ 8𝑥2
− 9𝑥 + 6 b) 4𝑥4
− 8𝑥3
− 8𝑥2
+ 9𝑥 − 6
c) 4𝑥4
− 2𝑥3
+ 8𝑥2
− 9𝑥 + 6 d) 4𝑥4
+ 8𝑥3
+ 8𝑥2
+ 9𝑥
35. ¿Cuál de estos polinomios es de tercer grado, creciente, completo y de coeficientes enteros
positivos?
a) 8𝑥3
− 8𝑥2
+ 9𝑥 − 6 b) −𝑥3
+ 2 c) 18 + 10𝑥 + 2𝑥2
+ 𝑥3
d) 18 + 10𝑥 − 2𝑥2
− 𝑥3

58
Polinomios Unidad 2
36. El polinomio opuesto de 𝑀(𝑥) = 𝑥3
+ 2𝑥2
− 5𝑥 + 6 es:
a) 𝑥3
+ 2𝑥2
− 5𝑥 − 6 b) −𝑥3
+ 2𝑥2
+ 5𝑥 + 6 c) 𝑥3
− 2𝑥2
− 5𝑥 + 6 d)− 𝑥3
− 2𝑥2 +
5𝑥 − 6
37. ¿Cuantos términos debe tener el polinomio para estar completo: 𝑃(𝑥) = 𝑥4
+ 2𝑥 + 1
a) 4 b) 3 c) 5 d) 6
38. ¿Cuantos términos le faltan al polinomio para estar completo: 𝑃(𝑥) = 𝑥4
+ 2𝑥 + 1
a) Ninguno b) 3 c) 1 d) 2
39. Cuál de estos polinomios esta ordenado en forma decreciente y es completo?
a) 𝑀(𝑥) = 𝑥 − √2𝑥2
+ 2𝑥3
+ 3𝑥4
− 7𝑥5
b) 𝑃(𝑥) = 1 + 3𝑥2
−
3
4
𝑥3
c) 𝑊( 𝑥) = 3𝑥4 − 2𝑥3 + (2 + 3𝑖) 𝑥2 − [log 2]𝑥 + 3 d) 𝑁(𝑥) = 8 + 4𝑥 + 6𝑥2
+ 5𝑥3
40. Cuál de estos polinomios esta ordenado en forma creciente y es completo?
a) 𝑀(𝑥) = 𝑥 − √2𝑥2
+ 2𝑥3
+ 3𝑥4
− 7𝑥5
b) 𝑃(𝑥) = 1 + 3𝑥2
−
3
4
𝑥3
c) 𝑊( 𝑥) = 3𝑥4 − 2𝑥3 + (2 + 3𝑖) 𝑥2 − [log 2]𝑥 + 3 d) 𝑃(𝑥) = 8 + 4𝑥 + 6𝑥2
+ 5𝑥3
41. Cuál de estos polinomios esta ordenado en forma creciente e incompleto?
a) 𝑀(𝑥) = 6 + 𝑥 − √2𝑥2
+ 2𝑥3
+ 3𝑥4
− 7𝑥5
b) 𝑃(𝑥) = 1 + 3𝑥2
−
3
4
𝑥3
c) 𝑊( 𝑥) = 3𝑥4 − 2𝑥3 + (2 + 3𝑖) 𝑥2 − [log 2]𝑥 + 3 d) 𝑃(𝑥) = 8 + 4𝑥 + 6𝑥2
+ 5𝑥3
42. Cuando decimos que un polinomio es nulo si:
a) Se escribe en orden creciente. b) Se escribe en orden decreciente
c) Posee todos sus coeficientes cero d) a y b son correctas
43. La propiedad distributiva del producto de un polinomio respecto a la adición de escalares es:
a) P(x) + (-P(x)) = 0 b) (K+L) P(x) = K P(x) + L P(x) c) P(x) + 0 = P(x) d) 1P(x) = P(x)
44. Para realizar una división de polinomios por el método de Ruffini el cociente debe ser:
a) Un trinomio cuadrado perfecto b) Un polinomio Mónico
c) Un binomio de primer grado d) La raíz cubica de un número imaginario
45. Es un polinomio de quinto grado, ordenado en forma creciente y completo
a) 𝑀(𝑥) = 1 + 2𝑥2
+ 7𝑥5
b) 𝑁( 𝑥) = 8 + 3𝑥 − 2𝑥2 − 2𝑥3 + 8𝑥4 + 4𝑥5
c) 𝑊( 𝑥) = 3𝑥5 − 2𝑥4 + 8𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 + 8 d) 𝑃(𝑥) = 9 + 3𝑥 − 2𝑥2
− 2𝑥3
− 5𝑥5
46. Es un polinomio de quinto grado, ordenado en forma creciente e incompleto?
a) 𝑀(𝑥) = 1 + 2𝑥2
+ 7𝑥5
b) ) 𝑁( 𝑥) = 8 + 3𝑥 − 2𝑥2 − 2𝑥3 + 8𝑥4 + 4𝑥5
c) 𝑊( 𝑥) = 3𝑥5 − 2𝑥4 + 8𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 + 8 d) 𝑃(𝑥) = 1 + 3𝑥 − 2𝑥2
− 2𝑥3
+ 𝑥4
− 𝑥5

59
Polinomios Unidad 2
47. Es un polinomio de quinto grado, ordenado en forma creciente, completo y mónico?
a) 𝑁( 𝑥) = 8 + 3𝑥 − 2𝑥2 − 2𝑥3 + 8𝑥4 + 𝑥5 b) 𝑀(𝑥) = 1 + 2𝑥2
+ 𝑥5
c) 𝑊( 𝑥) = 𝑥5 − 2𝑥4 + 8𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 + 8 d) 𝑃(𝑥) = 9 + 3𝑥 − 2𝑥2
− 2𝑥3
− 𝑥5
48. Es un polinomio de quinto grado, ordenado en forma creciente e incompleto y Mónico?
a) 𝑁( 𝑥) = 8 + 3𝑥 − 2𝑥2 − 2𝑥3 + 8𝑥4 + 𝑥5 b) 𝑊( 𝑥) = 𝑥5 − 2𝑥4 + 8𝑥3 + 3𝑥 + 8
c) 𝑃(𝑥) = 1 + 3𝑥 − 2𝑥2
+ 𝑥4
+ 9𝑥5
d) 𝑀(𝑥) = 1 + 2𝑥2
+ 𝑥5
49. Los números que solo admiten como divisores el mismo número y la unidad se identifican
como números:
a) Enteros b) Naturales c) Imaginarios d) Primos
50. Un polinomio es factor de otro cuando al hacer la división tenemos que:
a) El cociente es uno b) El residuo es cero c) La división es exacta d) b y c son correctas
51. Si P(x) = 𝑥5
− 5𝑥4
+ 6𝑥3
; M(𝑥) = 5𝑥3
− 12𝑥2
+ 2𝑥 ; 𝑊( 𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥 + 1
El resultado de sumar P(x) + M(x) + W(x) es:
a)5𝑥5
+ 12𝑥4
− 6𝑥3
+ 2𝑥 + 1 b) 𝑥5
− 5𝑥4
+ 12𝑥3
− 17𝑥2
+ 8𝑥 − 1
c) 2𝑥5
− 8𝑥4
+ 5𝑥3
− 𝑥2
+ 6𝑥 + 1 d) 𝑥5
− 5𝑥4
+ 12𝑥3
+ 8𝑥 − 1
52. Polinomio constante es el que posee:
a) Un término de cualquier grado b) Un término de grado cero
c) Término de coeficiente uno d) Término de coeficiente dos y cualquier grado
53. Un Binomio es un polinomio que posee:
a) Grado tres b) Dos términos c) Un término d) Grado cero
54. El polinomio 𝑀(𝑥) = 𝑥2
− 5𝑥 + 6 factorizado es:
a) M(x)= (x + 6)(x-1) b)M(x)= (x-5)(x-1) c) M(x)=(x-3)(x-2) d)M(x)= (x-3)(x+2)
55. Las raíces del polinomio 𝑀(𝑥) = 𝑥2
− 5𝑥 + 6 son:
a) x= -6; x=1 b) x=5; x = 1 c) x = 3; x = 2 d) x= 3; x = -2
56. La evaluación del polinomio 𝑀(𝑥) = 𝑥2
− 5𝑥 + 6 en x= 3 es:
a) M(3)= 6 b) M(3)= 5 c) M(3)= -5 d) M(3)= 0
57. El polinomio de cuarto grado de coeficientes literales y ordenado de forma decreciente es:
a) −e + dx + 𝑐𝑥2
− 𝑏𝑥3
+ 𝑎𝑥4
b) 2𝑥4
+ 4𝑥3
+ 5𝑥2
+ 3x − 2
c) −2 +3x +5𝑥2
4𝑥3
+ 2𝑥4
𝑑) 𝑎𝑥4
+ 𝑏𝑥3
− 𝑐𝑥2
+ dx − e

60
Polinomios Unidad 2
58. Si P(x) =3𝑥2
+ 4x + 3 y Q(x) = 𝑥2
− 2x + 3 entonces P(x)+Q(x) es igual a:
a) 3𝑥2
− 2x + 6 b) 4𝑥2
− 6x c) 4𝑥4
+ 2𝑥2
+ 6 d) 4𝑥2
+ 2x + 6
59. Las raíces del polinomio 𝑀(𝑥) = 𝑥2
− 3𝑥 + 2 son:
a) x= 2; x= -1 b) x= -2; x = 1 c) x = 1; x = 2 d) x= -1; x = -2
60. La evaluación del polinomio 𝑀(𝑥) = 𝑥2
− 5𝑥 + 6 en x= 0 es:
a) M(0)= 2 b) M(0)= 6 c) M(0)= 12 d) M(0)= -2

61
Polinomios Unidad 2
Cuestionario Unidad No. 2
Después de leer cada pregunta planteada, indique correctamente la respuesta que
corresponde a cada una.
1. Al evaluar un polinomio y = P(x) que representan x, y?
2. ¿Qué significado tiene que y = P(x) = 0?
3. ¿Cómo es la gráfica de un polinomio de una sola variable?
4. ¿Cuándo decimos que un polinomio está asociado a otro?
5. ¿Cuáles operaciones podemos hacer con polinomios?
6. ¿Por qué un polinomio define un espacio vectorial?
7. ¿Cuáles métodos podemos utilizar para realizar la división de polinomios?
8. ¿Al utilizar el Teorema del resto en la división de polinomios, qué grado posee el divisor?
9. El método de división sintética o de Ruffini se usa para dividir polinomios. ¿Qué grado debe
tener el divisor en éste caso?
10. ¿Cuál es la diferencia entre un divisor trivial y un divisor propio?
11. ¿Cuándo tenemos un polinomio Mónico o normal?
12. ¿Para qué se utiliza el Algoritmo de Euclides?
13. ¿Qué nos permite la Formula de Taylor en una función?
14. ¿Cómo se llama la forma abreviada que usamos para el desarrollo de un polinomio
atendiendo a la fórmula de Taylor?

62
Polinomios Unidad 2
BILIOGRAFIA CONSULTADA
Poole, David (2006). Algebra Lineal. Una introducción moderna. (Segunda edición).
México: Thomson Learning Iberoamérica.
Grossman, Stanley I. ( 1996). Algebra Lineal. (Quinta edición). México: MacGraw-Hill Interamericana.
Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (1999). Algebra y Trigonometria. (Segunda edición actualizada).
Colombia: McGraw-Hill. Interamericana S. A.
Millar, Charles-Heeren; CERN-Homsby,John. (2006). Matemática. (Décima edición).
México: Pearson.
Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (2008). Precálculo con avances de Cálculo. (Cuarta edición). México:
McGraw-Hill. Interamericana Editores S. A.
Báez Veras, José Justo; De Peña Olivares, Rosa Cristina.(2010). Manual de Prácticas.
(Décima edición). República Dominicana: Editora Universitaria UASD.
Notas de Cátedra de:
Mateo, Tulio; De Peña, Rosa. (2007). Curso de Algebra Superior.
Navarro Peña, Tomás Darío. (2008).Apuntes de Algebra Superior.
Direcciones Electrónicas:
http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio
http://www.ematematicas.net/polinomios.php
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Polinomios/polinomios1.h

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