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SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................
1....
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 1
Profº Rodrigo da Mata
1 – INTRODUÇÃO
1.1 - Parâmetros que influenciam a concepção de sistemas estr...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 2
Profº Rodrigo da Mata
Barra: duas dimensões da mesma ordem de grandeza e uma terceira maior que as...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 3
Profº Rodrigo da Mata
Mz=0
x
y
Ry
Rx
1.3 – Tipos de Vínculos
Vínculos são elementos que impedem o ...
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Vínculos no Plano
Tipo de vínculo Símbolo Reações
Cabo
Ligação esbelta______...
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Apoio
deslizante
Luva rígida ______________________________________________
...
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

M
K
Rigidez de uma Ligação
Rigidez à Rotação
 Ligação Articulada
K  0
...
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Exemplos de Vínculos
Apoio rotulado em viga de ponte Apoio com material de b...
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1.4 –Estaticidade e Estabilidade:
a) Estrutura é restringida e número de inc...
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Profº Rodrigo da Mata
Exemplos: Estruturas Planas
Vigas
g = número de incógnitas – número de equaç...
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MC = 0 (Parte da direita ou da esquerda da viga)
Ex.: À Direita
 Mo = 0
MC...
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Exemplos: Pórticos, Arcos, Quadros.
Pórticos:
(Triarticulado)
g = ge = 3 – ...
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g = 1 g = 2
Momento
fletor é nulo
Arcos:
g = ge = 3 – 3 = 0 g = ge = 4 – 3 ...
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1.50m1.50m
2.00m 2.00m 3.00m





2.50m


1.4 – Reações de apoio em ...
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4.00m 4.00m
3.00m3.00m
1.50m 1.50m
2.00m2.00m
2) Pórtico Isostático
i) FX ...
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4) Pórtico Triarticulado Isostático
2.00m2.00m
4.00m
2.00m
i) FX = 0 HA + ...
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45°
Exercícios: Determinar a reação de apoio.
a)
2.00m 6.00m
6.00m
FX = 0 ...
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3.00m3.00m6.00m3.00m
b)
12.00m 3.00m
6.00m6.00m
i) FX = 0 RAX = RBX
ii) F...
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kN210
Balanço
d) Determinar as reações de apoio para a viga:
3.00m3.00m3.00...
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r = 3x3 = 9
b = 3
n = 4
r + b = 3n
9 + 3 = 3x4
12 = 12
3 incógnitas
N1, N2,...
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3.00m
4.00m
5.00m
2) Pórtico Espacial
Isostática 6 reações
6 equações de eq...
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Profº Rodrigo da Mata
2 – ESFORÇOS INTERNOS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
2.1 – Treliças
Treliças - E...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 22
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Treliças Planas
Fonte: Engel, Heino, 1981
Sentido dos Esforços
Treliça com ...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 23
Profº Rodrigo da Mata
Transmissão de Cargas para as Treliças
Treliça de Cobertura
Treliça de Pont...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 24
Profº Rodrigo da Mata
Mecanismo de Treliças Aplicado a Outros Sistemas Estruturais
Pórtico de Tre...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 25
Profº Rodrigo da Mata
Treliças com Diferentes Condições de Apoios
Treliças apoiadas nas duas extr...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 26
Profº Rodrigo da Mata
Lei de Formação de Treliças Isostáticas:
Treliça Hiperestática:
Treliça Hip...
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Profº Rodrigo da Mata
2.1.1 – Método de Ritter
Seja a seguinte treliça:
Suponhamos que deseja-se ...
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É indiferente considerar a parte da esquerda ou a da direita:
Os esforços i...
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Exemplos:
1. Obter os esforços nas barras 2, 3, 9 e 10.
I. Obter as reações...
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III. Seção S2S2
Fx = 0  N3 + N10 cos45º = 14 tf;
Fy = 0  N10 sen45º + 4...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 31
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2. Obter os esforços nas barras 2, 10, 19, 3 e 13.
I. Seção S1S1
MD = 0  ...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 32
Profº Rodrigo da Mata
II. Seção S2S2
MJ = 0  N3 x 2 + 6 x 2 - 5 x 6 - 6 x 2 = 0 N3 = 15 tf (tra...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 33
Profº Rodrigo da Mata
2.1.2 – Método de Cremona
Seja a seguinte treliça para a qual se obtiveram ...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 34
Profº Rodrigo da Mata
Nó C:
A soma vetorial das forças externas e internas atuantes forma sempre ...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 35
Profº Rodrigo da Mata
2.1.2.1 – Notação de Bow
Marcar com letras todos espaços compreendidos entr...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 36
Profº Rodrigo da Mata
Fonte: Süssekind, José Carlos, 1979, vol.1
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 37
Profº Rodrigo da Mata
Nó A:
Medir em escala N2 e N7
Nó E:
N2 conhecido - N3,N1 incógnitas:
mede-s...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 38
Profº Rodrigo da Mata
Exemplos:
1.
Nó A:
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 39
Profº Rodrigo da Mata
Nó D:
Nó B:
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 40
Profº Rodrigo da Mata
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 41
Profº Rodrigo da Mata
2.
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 42
Profº Rodrigo da Mata
3.
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 43
Profº Rodrigo da Mata
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 42
Profº Rodrigo da Mata
2.2 – Vigas
2.2.1 - Vigas simples - método direto para diagramas
Convenção ...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 43
Profº Rodrigo da Mata
 Traçar DMF vindo pela esquerda, calculando M nos pontos de aplicação de f...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 44
Profº Rodrigo da Mata
1. (Obs.: dimensões em metros)
MC = 60.4 = 240 kN;
MD = 60.8 – 50.4 = 280 k...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 45
Profº Rodrigo da Mata
2. (Obs.: dimensões em metros)
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 46
Profº Rodrigo da Mata
3. (Obs.: dimensões em metros)
MMÁX = q.a2
/2 = 12.32
/8 = 13,5
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 47
Profº Rodrigo da Mata
4. (Obs.: dimensões em metros)
(q . a 2
) / 8 = (20 . 2 2
) / 8 = 10
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 48
Profº Rodrigo da Mata
2.2.2 – Vigas Gerber
 Aplicações principais – Pontes;
 Surgiram por motiv...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 49
Profº Rodrigo da Mata
I
II
III
IV
II
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 50
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Esforços Internos – Diagramas – Exemplos:
1.
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 51
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MA = 0
MB = -6 x 2 = -12
MC = -6 x 5 + 9,33 x 3 – 12 x 1,5 = -20
MD = -6 x ...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 52
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2.
12
6
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 53
Profº Rodrigo da Mata
MD = -4+ (2.42
)/8 + (4.4)/4 = 4 MI = 1.2 = 2
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 54
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2.2.3 – Vigas Inclinadas
Independente do valor de b, as reações verticais s...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 55
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





 cos.x.q
2
a.q
V 





 sen.x.q
2
a.q
N





...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 56
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(+)
q.a²/8
(-)
DMF
- q.a(cos /2
(-)
- q.a.(sen /2
q.a.(cos /2
DEC
(+) DEN
q...
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2.
A
VA
VB
S
B
q
HA
a
x
b
I. Fx = 0
HA = q.b
Esforços Internos:
II. Fy = ...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 57
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Diagramas:
/ ]
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 58
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3. R = q . (a2
+ b2
) 0,5
A
a
q.b
A
q
B
q.a
B
q
A
b
B
q
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 59
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Logo, o diagrama de momento fletor fica:
Se tivermos, por exemplo, as estru...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 60
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52,5
4 m
10
(+)
DMF
-20
(-)
A
20 kN/m
3m
20 kN.m
B
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 61
Profº Rodrigo da Mata
2.3 – Pórticos
2.3.1 – Estruturas Aporticadas
Seção S1:
Fx = 0
N – 6.cos ...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 62
Profº Rodrigo da Mata
Seção S2:
N = -1,72 kN (const.)
V = 12,29 - 10 = 2,29 kN (const.)
M = 15,36...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 63
Profº Rodrigo da Mata
Diagramas:
x = 10 x 3 2
/ 8
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 64
Profº Rodrigo da Mata
Não havendo barras inclinadas, recomeça-se o traçado de diagramas pelo méto...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 65
Profº Rodrigo da Mata
Considerações Sobre os Sinais dos Diagramas:
As fibras inferiores serão tra...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 66
Profº Rodrigo da Mata
Exemplos: 01.
Fy = 0  N = P
Fx = 0  V = 0
Mz = 0  M = -P.a + P.2a = P...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 67
Profº Rodrigo da Mata
02.
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 69
Profº Rodrigo da Mata
2.3.2 – Pórticos Simples
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 70
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Pelo Método Direto:
Obter os diagramas solicitantes para o quadro abaixo:
R...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 71
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Seção S5: trecho AB
N = -8 tf
V = -1 tf
M = -1 – 1 . x
Para x = 0; M = -1 t...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 72
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Reações:
Fy = 0  1 + 6 – 4.5 + VA + VB = 0
VA + VB = 13
MA = 0  1.2,5 –...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 73
Profº Rodrigo da Mata
Seção S4: [0  x  5,0]
tg = 4/5 sen = 4/41
N + 1,75.cos + 1,4 sen = 0...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 74
Profº Rodrigo da Mata
Reações:
Fx = 0  HA + HB + 12 – 3,33 = 0
HA + HB = - 8,67 tf
Fy = 0  -1...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 75
Profº Rodrigo da Mata
Determinar os diagramas de esforços solicitantes:
N = - 4,42 kN
V = - 2,55 ...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 76
Profº Rodrigo da Mata

2.3.3 – Pórtico com Articulação e Tirante
Análise da estaticidade:
4 incó...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 77
Profº Rodrigo da Mata
Diagramas:
x = 2 x 42
/ 8 = 4
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 78
Profº Rodrigo da Mata
2.3.4 – Pórticos Compostos
Pórticos Compostos são uma associação de pórtico...
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 79
Profº Rodrigo da Mata
2.
3.
4.
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 80
Profº Rodrigo da Mata
5.
Decompondo:
Fx = 0  HC = 30 kN;
Fy = 0  VA + VC = 80 kN;
MA = 0 8....
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 81
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Diagramas:
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Apostila eng2031

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Reações de apoio e várias outras.

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Apostila eng2031

  1. 1. SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO ................................................................................................. 1.1 Parâmetros que influenciam a concepção de sistemas estruturais .............. 1.2 Classificação das peças estruturais quanto à geometria............................... 1.3 Tipos de Vínculos ........................................................................................ 1.4 Estaticidade e Estabilidade .......................................................................... 1.5 Reações de apoio em estruturas planas ....................................................... 1.6 Reações de Apoio no Espaço ...................................................................... 2. ESFORÇOS INTERNOS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS ...................... 2.1 Treliças ........................................................................................................ 2.1.1 Método de Ritter .................................................................................... 2.1.2 Método Cremona ................................................................................... 2.2 Vigas ............................................................................................................ 2.2.1 Método Direto para Diagramas ............................................................. 2.2.2 Vigas Gerber ......................................................................................... 2.2.3 Vigas Inclinadas .................................................................................... 2.3 Pórticos ........................................................................................................ 2.3.1 Estruturas Aporticadas .......................................................................... 2.3.2 Pórtico Simples ..................................................................................... 2.3.3 Pórtico com Articulação e Tirante ........................................................ 2.3.4 Pórticos Compostos ............................................................................... 2.3 Cabos ........................................................................................................... 2.4.1 Reações de Apoio para Cabos ............................................................... 2.4.2 Esforços Normais de Tração Atuantes em Cabos ................................. 2.4.3 Conformação Geométrica Final do Cabo .............................................. 2.5 Arcos ........................................................................................................... 2.5.1 Arcos Biapoiados ................................................................................... 2.5.2 Pórticos com Arcos ............................................................................... 2.5.3 Arcos Triarticulados .............................................................................. 1 1 1 3 8 13 19 21 21 27 33 42 42 48 54 61 61 69 76 78 82 87 92 97 106 109 112 114
  2. 2. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 1 Profº Rodrigo da Mata 1 – INTRODUÇÃO 1.1 - Parâmetros que influenciam a concepção de sistemas estruturais A estrutura é conjunto formado pelas partes resistentes que garantem a estabilidade de um objeto de projeto, por exemplo, uma edificação. Quando se projeta uma estrutura, a análise do comportamento estrutural exige que sejam feitas algumas simplificações que conduzem a modelos estruturais. Para que se defina o sistema estrutural mais adequado, para uma determinada situação de projeto, devem ser considerados vários fatores. Os principais são:  Projeto arquitetônico: -Aspectos funcionais (dimensão do espaço interno, iluminação, limitações do espaço exterior,...) -Aspectos estéticos (sistemas diferentes geram formas diferentes)  Carregamento atuante: -Permanente -Variável Acidental Efeito do vento  Condições de fabricação, transporte e montagem da estrutura (vias de acesso, içamento)  Material estrutural a ser utilizado (cada material possui características mecânicas peculiares): o material deve estar adequado ao tipo de esforços solicitantes as estrutura Para identificação do sistema estrutural mais adequado deve-se: 1º.) Identificar as possíveis opções; 2º.) Analisar e comparar as vantagens e inconvenientes de cada um ; 1.2 - Classificação das peças estruturais quanto à geometria Os sistemas estruturais são modelos de comportamento idealizados para representação e análise de uma estrutura tridimensional. Estes modelos obedecem a uma convenção. Esta convenção pode ser feita em função da geometria das peças estruturais que compõem o conjunto denominado sistema estrutural. Quanto à geometria, um corpo pode ser identificado por três dimensões principais que definem seu volume. Conforme as relações entre estas dimensões, surgem quatro tipos de peças estruturais:
  3. 3. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 2 Profº Rodrigo da Mata Barra: duas dimensões da mesma ordem de grandeza e uma terceira maior que as outras duas. Barra de elementos delgados: as três dimensões principais são de diferentes ordens de grandeza. É o caso dos perfis metálicos, onde a espessura é muito menor que as dimensões da seção transversal, que é menor que o comprimento da peça. As barras de elementos delgados são tratadas, sob o ponto de vista estrutural, da mesma forma que as barras, exceção feita à solicitação por torção. Folhas ou lâminas: duas dimensões de mesma ordem de grandeza, maiores que a terceira dimensão. Subdividem-se em: Placas: carregamento perpendicular ao plano médio. Chapas: carregamento contido no plano médio. Cascas: superfície média curva. Bloco: as três dimensões são da mesma ordem de grandeza.
  4. 4. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 3 Profº Rodrigo da Mata Mz=0 x y Ry Rx 1.3 – Tipos de Vínculos Vínculos são elementos que impedem o deslocamento de pontos das peças, introduzindo esforços nesses pontos correspondentes aos deslocamentos impedidos. Os deslocamentos podem ser de translação ou de rotação. 1.3.1 – Vínculos no plano: No plano, um corpo rígido qualquer tem três graus de liberdade de movimento: deslocamento em duas direções e rotação. a)Apoio simples ou de primeiro gênero: Reação na direção do movimento impedido. Exemplo de movimento: rolete do skate. b)Articulação, rótula ou apoio do segundo gênero: Exemplo de movimento: dobradiça. c)Engaste: ou apoio de terceiro gênero: Exemplo de movimento: poste enterrado no solo. Rx Ry=0 Mz=0 x y Ry Rx=0 y z x x y z y x Mz Rx Ry z
  5. 5. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 4 Profº Rodrigo da Mata Vínculos no Plano Tipo de vínculo Símbolo Reações Cabo Ligação esbelta_________________________________________________ Roletes Rótula_________________________________________________ luva com articulação__________________________________________ Articulação ________________________________
  6. 6. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 5 Profº Rodrigo da Mata Apoio deslizante Luva rígida ______________________________________________ Apoio rígido, engaste______________________________________________
  7. 7. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 6 Profº Rodrigo da Mata   M K Rigidez de uma Ligação Rigidez à Rotação  Ligação Articulada K  0  Ligação Rígida K     0o  Ligação Semi-Rígida 0 < K <  K = M / M  M geometria indeformada geometria deformada
  8. 8. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 7 Profº Rodrigo da Mata Exemplos de Vínculos Apoio rotulado em viga de ponte Apoio com material de baixo coeficiente de atrito, funcionando como roletes Roletes nos apoios de vigas de Rolete nos apoios de vigas de concreto protendido de uma ponte rodoviária Ligação de canto rígida de um pórtico de aço. Observam-se as chapas formando uma ligação rígida com os pilares. A inclinação da rótula de apoio entre as duas vigas indica a expansão térmica do tabuleiro da ponte. Os enrijecedores verticais na região de apoio previnem a flambagem local causadas pelas altas reações de apoio
  9. 9. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 8 Profº Rodrigo da Mata 1.4 –Estaticidade e Estabilidade: a) Estrutura é restringida e número de incógnitas é igual ao número de equações de equilíbrio: ISOSTÁTICA. b) Estrutura é restringida e o número de incógnitas é maior que o número de equações de equilíbrio: HIPERESTÁTICA. c) Estrutura não é restringida ou número de incógnitas é menor que o número de equações de equilíbrio: HIPOSTÁTICA. Uma estrutura está restringida quando possui vínculos para restringir todos os movimentos possíveis da estrutura (translação e rotação) como um corpo rígido. Número de incógnitas: - Externas: reações de apoio ou vinculares - Internas: esforços internos necessários ao traçado dos diagramas (conhecidas as reações de apoio) – estruturas fechadas. Número de equações de equilíbrio: - Externo: equações de equilíbrio estático para a estrutura como um todo (seis no espaço e três no plano). - Interno: equações de equilíbrio estático para parte da estrutura conhecido um ou mais esforços internos (ex.: rótula). g: grau de estaticidade ou hiperestaticidade = número de incógnitas – número de equações. Sussekind: g = ge + gi, sendo ge = número de incógnitas externas – número de equações de equilíbrio externo e interno e gi, = número de incógnitas internas, ou também ge = grau de hiperestaticidade externa gi = grau de hiperestaticidade interna Tipos de Equilíbrio: Estável Instável Indiferente
  10. 10. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 9 Profº Rodrigo da Mata Exemplos: Estruturas Planas Vigas g = número de incógnitas – número de equações = 4 – ( 3+1 ) = 4 – 4 = 0 ou g = ge + gi ge = 4 – 4 = 0 gi = 0 Como resolver: 4 incógnitas: VA, HA, VB, VD . i)  FX = 0 HA + ... = 0  FY = 0 VA + VB + VD = 0 3 Equações  MA = 0 d1.VB + d2.VD - ... - ... = 0 (qualquer ponto) Uma equação adicional:
  11. 11. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 10 Profº Rodrigo da Mata MC = 0 (Parte da direita ou da esquerda da viga) Ex.: À Direita  Mo = 0 MC + Rxd + F1Yx(d/2) - VDxd = 0 VD= 0 ii) Separar em diversas vigas isostáticas Nº de Equações adicionais = Nº de barras ligadas pela rótula - 1 Estrutura Isostática g = 0 Restringida a movimentação de corpo rígido
  12. 12. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 11 Profº Rodrigo da Mata Exemplos: Pórticos, Arcos, Quadros. Pórticos: (Triarticulado) g = ge = 3 – 3 = 0 g = ge = 3 – 3 = 0 g = ge = 4 – (3 + 1) = 0 (Triarticulado) Hiperestática Hiperestática g = ge = 4 – (3 + 1) = 0 g = ge = 4 – 3 = 1 g = ge = 4 – 3 = 1 4 Incóg.: VA, HA, VB (Ext) Incog(Ext) = 3 g = ge + gi NF10 (Int) Incog(Int) = 1 ge = 3 – 3 = 0 ge = 3 – 3 = 0 Eq(Ext) = 3 gi = 1 gi = 1 Eq(Int) = 1 g = 0 g = ge + gi = 1 g =(3+1)-(3+1)=0 Isostática Hiperestática ou ge = 3 - 4= -1 Restringida g =0 gi = 1 Isostática MC = 0 (À direita ou à esquerda) MC D = MC E = 0
  13. 13. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 12 Profº Rodrigo da Mata g = 1 g = 2 Momento fletor é nulo Arcos: g = ge = 3 – 3 = 0 g = ge = 4 – 3 = 1 ge = 4 – (3 + 1) = 0 Isostática Hiperestática Isostática g = ge = ((3 + 2) – 3)= 2 ge = 3 – 3 = 0 ge = 4 – 3 = 1 gi = 1 gi = 1 Hiperestática Hiperestática Quadros: Conhecidos N1, V1 e M1, obtem-se os esforços N2, V2 e M2 ou em qualquer seção. ge = 3 – 3 = 0 gi = 3 Não é possível traçar os g = ge + gi = 0 + 3 = 3 diagramas, só conhecidas Hiperestática internamente as reações de apoio HA, VA, VB. g = ge + gi = 0 + 6 = 6 Hiperestática internamente
  14. 14. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 13 Profº Rodrigo da Mata 1.50m1.50m 2.00m 2.00m 3.00m      2.50m   1.4 – Reações de apoio em estruturas planas: 1) Estrutura Aporticada Cos  =4/5 Sen  =3/5 Decompor a força de 10kN nas direções x e y: i) FX = 0 HA + 6kN = 0 HA = - 6kN ii) FY = 0 VA + VB = (10x3) + 8 = 38kN iii) MA = 0 7xVB – (30x 5,5)- (8x2) – (6x1,5) = 0 7VB = 190  VB = 27,14N Logo, VA = 38kN – 27,14kN = 10,86kN Outra maneira seria: MA = 0 7VB – (30x 5,5)- (10x2,5) = 0 7VB = 165+25 = 190 VB = 27,14kN Verificação: MB = 0 (10,86x7) + (6x3) – (30x1,5) – (8x5) = 0 76 + 18 – 45 – 40 – 9 = 0 Y X 10x(3/5)=6kN 10x(4/5)=8kN 10kN
  15. 15. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 14 Profº Rodrigo da Mata 4.00m 4.00m 3.00m3.00m 1.50m 1.50m 2.00m2.00m 2) Pórtico Isostático i) FX = 0 -HA + 40 = 0 HA = 40kN ii) FY = 0 VA + VB = 60kN iii) MA = 0 8VB + 80 - (40x6) – (60x4) = 0 8VB = 400  VB = 50kN VA = 60 – 50 = 10kN Verificação: MB = 0 (10x8) + (40x3) – 80 – (60x4) + (40x3) = 0 120 + 120 – 240 = 0 3) Treliça Isostática i) FX = 0 HB + 4 -12 = 0 HB = 8kN ii) FY = 0 VA + VB = 6 + 8 = 14kN iii) MB = 0 (4x4) + (8x1,5) – (12x2) – 3VA = 0 3VA = 16 + 12 – 24 = 4 VA = (4/3) = 1,33kN VB = 12,67kN Verificação: MA = 0 r=3; b=5; n=4. r + b = 2n 5 + 3= 2x4
  16. 16. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 15 Profº Rodrigo da Mata 4) Pórtico Triarticulado Isostático 2.00m2.00m 4.00m 2.00m i) FX = 0 HA + HB +20 -12 = 0 HA+ HB = -8kN ii) FY = 0 VA + VB = 10x4 = 40kN iii) MA = 0 4VB - (40x2) + (12x2) – (20x4) = 0 4VB = 80 – 24 + 80  VB = 34kN VA = 40 – 34 = 6kN iv) Momento Fletor em C é nulo (Esq. Ou Dir.) 2.00m 4.00m Verif. MD = 0 (6 + 2)x4 + (12x2) + (6x4) – (40x2) = 0 48 + 24 +24 – 80 = 0  4 Incógnitas (Reação)  3 Equações Estáticas  1 Equação interna  MC D = MC E = 0  Estrutura restringida Isostática MC – (6x2) + (20x1) + (HAx4) = 0 Ou MC =(6x2) – (20x1) – (4HA) Mas MC=0  4HA= 12 – 20 = -8 HA = – 2kN HB = –8 + 2 = -6kN
  17. 17. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 16 Profº Rodrigo da Mata 45° Exercícios: Determinar a reação de apoio. a) 2.00m 6.00m 6.00m FX = 0 (+ ) RAX - RBX = 0  RAX = RBX (I) FY = 0 (+ ) RAY - RBY - 20 - 112= 0  RAY + RBY = 132 MA = 0 (20x8) + (112x4) – (6xRBX) = 0 RBX = 160 + 448  RBX=101,33kN 6 RAX = RBX (I)  RAX=101,33kN RAX = RBY (45º)  RAY=101,33kN RBY = 132 - RAY  RBY=30,67kN RA = RAX/cos 45º  RA= (RAX)x2 =143,30kN 2 Conferindo MC = 0 (20x2) - (112x2) + (6xRBY) – (6xRAX) + (6xRAY) = 0 10 – 224 + (30,67x6) – (101,33x6) + (101,33x6) = 0 -184 + 184 – 608 + 608 =0 184 – 184 = 0
  18. 18. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 17 Profº Rodrigo da Mata 3.00m3.00m6.00m3.00m b) 12.00m 3.00m 6.00m6.00m i) FX = 0 RAX = RBX ii) FY = 0 RAY – 12(12) – 30 RAY = 174kN iii) MA = 0 12xRBX – 30x20 – 144x6 = 0 RBX = 600 + 864 RBX = 122kN RAX = 122kN 12 Conferindo MB = 0 12xRAX – 144x6 – 30x20 = 0 1464 – 864 – 600 = 0 MC = 0 6xRBX – 144x14 + 6xRAX – 20xRAY = 0 122x6 + 2016 + 122x6 – 174x20 = 0 732 + 2016 + 732 – 3480 = 0 c) Achar as reações de apoio para a viga abaixo : kN210kN210
  19. 19. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 18 Profº Rodrigo da Mata kN210 Balanço d) Determinar as reações de apoio para a viga: 3.00m3.00m3.00m 2.00m2.00m 72   (144/2) = 72 34   10 + 24 = 34 (8x3)/9 = 2,67   (8x6)/9 = 5,33 108,67   111,33 6   (12/2) = 6 6   6 + 8 = 14 2,67   (20-12)/3=2,67
  20. 20. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 19 Profº Rodrigo da Mata r = 3x3 = 9 b = 3 n = 4 r + b = 3n 9 + 3 = 3x4 12 = 12 3 incógnitas N1, N2, N3 3 equações: FX = 0, FY = 0, FZ = 0 1.5 – Reações de apoio no espaço: 6 Equações de Equilíbrio: FX = 0; FY = 0; FZ = 0; MX = 0; MY = 0; MZ = 0 1) Treliça Isostática r + b = 3n Restringida Inicia-se pelo equilíbrio do nó D: Em seguida passa-se aos nós com apoios: Conhecidos agora os esforços N1, N2 e N3, para cada nó A, B ou C existem 3 incógnitas (Reações) e 3 equações de equilíbrio.
  21. 21. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 20 Profº Rodrigo da Mata 3.00m 4.00m 5.00m 2) Pórtico Espacial Isostática 6 reações 6 equações de equilíbrio Restringida i) FX = 0 RAX – 2tf = 0 RAX = 2tf ii) FY = 0 RAY – 4tf = 0 RAY = 4tf iii) FZ = 0 RAZ – 1tf = 0 RAZ = 1tf iv) MX = 0 MAX – (4x3) – (1x5) = 0 MAX = 17tfm v) MY = 0 MAY + (2x3) - (1x4) = 0 MAY = - 2tfm vi) MZ = 0 MAZ + (2x5) – (4x4) = 0 MAZ = 6tfm
  22. 22. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 21 Profº Rodrigo da Mata 2 – ESFORÇOS INTERNOS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 2.1 – Treliças Treliças - Estruturas reticuladas, ou seja, formadas por barras (em que uma direção é predominante) de eixo reto, ligadas por rótulas ou articulações (nós). Quando submetidas a cargas aplicadas nos nós apenas, as barras estão submetidas somente a esforços axiais. Estaticidade e Estabilidade: Condições para obtenção de uma treliça isostática: 1. equilíbrio Estável (Restringida, nós indeslocáveis); 2. número de incógnitas (*) igual ao número de equações de equilíbrio da estática (**). * O número de incógnitas é dados por: - número de reações (r) + número de barras (b). (Incógnitas Externas) (Incógnitas Internas) ** Número de equações de equilíbrio é o resultado do: - número de nós (n) x 2 (o valor é multiplicado devido a existência de uma equação no eixo x e outra no y). Desta forma, podemos classificá-las da seguinte maneira: 1a . Condição 2a . Condição Classificação indeslocável e r + b = 2n Isostática indeslocável e r + b > 2n Hiperestática deslocável ou r + b < 2n Hipostática Os métodos de obtenção de esforços em treliças são: 1. Equilíbrio dos Nós; 2. Ritter; 3. Cremona (Maxwell).
  23. 23. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 22 Profº Rodrigo da Mata Treliças Planas Fonte: Engel, Heino, 1981 Sentido dos Esforços Treliça com diagonais tracionadas Treliça com diagonais comprimidas Fonte: Salvadori, Heller, 1975
  24. 24. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 23 Profº Rodrigo da Mata Transmissão de Cargas para as Treliças Treliça de Cobertura Treliça de Ponte Fonte: Süssekind, José Carlos, 1979, vol.1 Ligações das Extremidades das Barras Fonte: Salvadori, Heller, 1975 Fonte: Süssekind, José Carlos, 1979, vol.1
  25. 25. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 24 Profº Rodrigo da Mata Mecanismo de Treliças Aplicado a Outros Sistemas Estruturais Pórtico de Treliça Biarticulado Pórticos de Treliça Triarticulado com Balanços Arco de Treliça Triarticulado
  26. 26. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 25 Profº Rodrigo da Mata Treliças com Diferentes Condições de Apoios Treliças apoiadas nas duas extremidades: Estrutura de vão livre Treliças com Apoio Duplo no Centro: Estruturas em Balanço Treliças com Extremidades em Balanço: Estrutura com Vão Livre e Balanço Fonte: Engel, Heino, 1981
  27. 27. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 26 Profº Rodrigo da Mata Lei de Formação de Treliças Isostáticas: Treliça Hiperestática: Treliça Hipostática:
  28. 28. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 27 Profº Rodrigo da Mata 2.1.1 – Método de Ritter Seja a seguinte treliça: Suponhamos que deseja-se determinar os esforços axiais nas barras 3, 6 e 10. Parte-se a estrutura em duas partes, de forma a partir estas barras, através da seção SS indicada. Considerando a parte da direita, deve-se colocar os esforços internos axiais que surgem nas barras para estabelecer o equilíbrio: As forças N3, N6 e N10 representam a ação da parte da direita da treliça sobre a parte da esquerda.
  29. 29. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 28 Profº Rodrigo da Mata É indiferente considerar a parte da esquerda ou a da direita: Os esforços indicados N3, N6 e N10 são iguais em módulo e direção, mas têm os sentidos opostos dos que aparecem na parte esquerda. Representam a ação da parte esquerda sobre a parte da direita. Para obter os esforços N3, N6 e N10 utilizam-se as equações da estática, devendo ser escolhidas e usadas numa ordem tal que permita determinar cada incógnita diretamente. Para o exemplo, pode-se resolver utilizando: MC = 0  Obtém-se N3; MD = 0  Obtém-se N6; Fy = 0  Obtém-se N10. (tanto faz pela esquerda ou direita) Se os esforços forem positivos terão o sentido indicado (tração) senão terão sentido inverso (compressão). Observações: 1. seções de Ritter não podem interceptar 3 barrras paralelas, nem 3 barras concorrentes no mesmo ponto; 2. as seções podem ter forma qualquer (não necessitando ser retas); 3. para barras próximas às extremidades da treliça (no exemplo, barras 1, 5, 4 e 7), pode ocorrer que a seção de Ritter só intercepte 2 barras  neste caso obter os esforços fazendo equilíbrio dos nós (conforme vimos anteriormente).
  30. 30. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 29 Profº Rodrigo da Mata Exemplos: 1. Obter os esforços nas barras 2, 3, 9 e 10. I. Obter as reações de apoio: Fx = 0  HB = -6 tf; Fy = 0  VA + VB = 10 tf; MA = 0  VB . 10 - 6 x 4 - 4 x 6 - 6 x 2 = 0; VB = 6 tf e VA = 4 tf. II. Seção S1S1 MH = 0  N2 x 2 - 6 x 2 - 4 x 4 = 0 N2 = 14 tf (tração); MD = 0  -N16 x 2 - 6 x 2 - 4 x 4 = 0 N16 = -14 tf (compressão); Fy = 0  N9 + 6 = 4 N9 = -2 tf (compressão).
  31. 31. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 30 Profº Rodrigo da Mata III. Seção S2S2 Fx = 0  N3 + N10 cos45º = 14 tf; Fy = 0  N10 sen45º + 4 - 6 = 0; N10 = 2,83 tf e N3 = 12 tf.
  32. 32. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 31 Profº Rodrigo da Mata 2. Obter os esforços nas barras 2, 10, 19, 3 e 13. I. Seção S1S1 MD = 0  N19 x 2 + 6 x 2 + 5 x 4 = 0 N19 = -16 tf (compressão); Fx = 0  N19 + N2 = 0 N2 = 16 tf (tração); Fy = 0  N10 + 6 - 5 = 0 N10 = -1 tf (compressão);
  33. 33. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 32 Profº Rodrigo da Mata II. Seção S2S2 MJ = 0  N3 x 2 + 6 x 2 - 5 x 6 - 6 x 2 = 0 N3 = 15 tf (tração); III. Seção S3S3 Fy = 0  N13 cos45º + 5 = 0; N13 = -7,1 tf (compressão);
  34. 34. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 33 Profº Rodrigo da Mata 2.1.2 – Método de Cremona Seja a seguinte treliça para a qual se obtiveram as reações e esforços indicados: Se um nó está em equilíbrio, a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre ele será nula: Nó A: Nó B:
  35. 35. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 34 Profº Rodrigo da Mata Nó C: A soma vetorial das forças externas e internas atuantes forma sempre um polígono fechado. O método de Cremona consiste em encontrar os esforços internos graficamente, a partir do equilíbrio dos nós da treliça, seguem-se os seguintes passos:  inicia-se por um nó com apenas duas incógnitas;  marca-se em escala as forças externas atuantes, formando um polígono aberto;  pelas extremidades deste polígono traçam-se paralelas às barras que concorrem no nó, cujos esforços desejamos conhecer;  a interseção destas paralelas determinará o polígono fechado de equilíbrio; obtêm-se assim os módulos e sinais dos esforços nas barras;  Os sinais dos esforços são obtidos verificando-se: - se o esforço normal aponta para o nó  negativo (compressão); - se o esforço normal foge do nó  positivo (tração);  O sentido do percurso de traçado de forças é arbitrário, adotaremos o sentido horário;  Obtém-se 2 a 2 incógnitas na análise  sobrarão 3 equações de equilíbrio, já usadas para as reações.
  36. 36. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 35 Profº Rodrigo da Mata 2.1.2.1 – Notação de Bow Marcar com letras todos espaços compreendidos entre as forças (exteriores e interiores), que serão identificadas pelas duas letras adjacentes. No exemplo:  reação Vertical no nó A : ab;  reação Horizontal no nó A: bc;  esforço Normal na Barra2: cf (ou fc);  esforço Normal na Barra2: cf (ou fc). Roteiro do Método: 1. Iniciar o traçado do Cremona pelo equilíbrio de um nó que contém somente duas barras com esforços normais desconhecidos (incógnitas); 2. Começar com as forças conhecidas, deixando as incógnitas como forças finais; 3. Todos os nós são percorridos no mesmo sentido (horário ou anti-horário), para o exemplo escolheu-se o horário; 4. Prosseguir o traçado do Cremona pelos nós onde só haja 2 incógnitas a determina, até esgotar todos os nós, encerrando-se a resolução da treliça. 5. Os valores dos esforços nas barras são medidos no gráfico em escala; 6. Os sinais dos esforços são obtidos verificando-se: - se o esforço normal aponta para o nó: COMPRESSÃO (-); - se o esforço normal sai do nó: TRAÇÃO (+). O polígono resultante do traçado do Cremona deverá resultar num polígono fechado para que a treliça esteja em equilíbrio.
  37. 37. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 36 Profº Rodrigo da Mata Fonte: Süssekind, José Carlos, 1979, vol.1
  38. 38. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 37 Profº Rodrigo da Mata Nó A: Medir em escala N2 e N7 Nó E: N2 conhecido - N3,N1 incógnitas: mede-se em escala
  39. 39. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 38 Profº Rodrigo da Mata Exemplos: 1. Nó A:
  40. 40. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 39 Profº Rodrigo da Mata Nó D: Nó B:
  41. 41. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 40 Profº Rodrigo da Mata
  42. 42. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 41 Profº Rodrigo da Mata 2.
  43. 43. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 42 Profº Rodrigo da Mata 3.
  44. 44. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 43 Profº Rodrigo da Mata
  45. 45. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 42 Profº Rodrigo da Mata 2.2 – Vigas 2.2.1 - Vigas simples - método direto para diagramas Convenção de sinais: Revisão: Esquerda com carga para cima Esquerda com carga para baixo V – F = 0  V = +F positivo. V + F = 0  V = - F negativo. M – F.a = 0  M = +F.a positivo. M + F.a = 0  M = - F.a negativo. Direita com carga para cima Direita com carga para baixo V + F = 0  V = - F negativo. V – F = 0  V = +F positivo. M - F.a = 0  M = +F.a positivo. M + F.a = 0  M = - F.a negativo.  Traçar DEC diretamente vindo pela esquerda.
  46. 46. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 43 Profº Rodrigo da Mata  Traçar DMF vindo pela esquerda, calculando M nos pontos de aplicação de força concentrada. Lembrando:  Força Concentrada: Descontinuidade no DEC  Binário Aplicado: Descontinuidade no DMF q=0 ; (entre cargas conc.)  V Constante  M Varia Linearmente em x q= k ;  V Varia Linearmente em x  M Varia Parabolicamente em x Integrando q  V; Integrando V  M. Exemplos: dx dV =q dx dM =V dx Md =q 2 2
  47. 47. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 44 Profº Rodrigo da Mata 1. (Obs.: dimensões em metros) MC = 60.4 = 240 kN; MD = 60.8 – 50.4 = 280 kN; ME Dir. = 110.2 = 220 kN ou ME Esq. = 60.11 – 50.7 – 30.3 = 220 kN
  48. 48. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 45 Profº Rodrigo da Mata 2. (Obs.: dimensões em metros)
  49. 49. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 46 Profº Rodrigo da Mata 3. (Obs.: dimensões em metros) MMÁX = q.a2 /2 = 12.32 /8 = 13,5
  50. 50. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 47 Profº Rodrigo da Mata 4. (Obs.: dimensões em metros) (q . a 2 ) / 8 = (20 . 2 2 ) / 8 = 10
  51. 51. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 48 Profº Rodrigo da Mata 2.2.2 – Vigas Gerber  Aplicações principais – Pontes;  Surgiram por motivos de ordem estrutural e de ordem construtiva;  Vigas Gerber Isostáticas serão decompostas nas diversas vigas isostáticas que as constituem: - Vigas com estabilidade própria; - Vigas que se apóiam sobre as demais; Exemplos de Decomposição: Os algarismos romanos I, II, III e IV indicam a ordem de resolução, para obtenção das reações de apoio.  Os diagramas podem ser traçados separadamente, juntando-os em seguida;  As rótulas transmitem forças verticais e horizontais, mas não transmitem momento;  Basta que um dos apoios resista a forças horizontais na viga Gerber. Apenas as cargas verticais provocam esforço cortante e momento fletor nas vigas, portanto, na decomposição não é necessário distinguir apoios do 1o ou 2o gênero. Usaremos apenas:  II I II I II
  52. 52. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 49 Profº Rodrigo da Mata I II III IV II
  53. 53. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 50 Profº Rodrigo da Mata Esforços Internos – Diagramas – Exemplos: 1.
  54. 54. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 51 Profº Rodrigo da Mata MA = 0 MB = -6 x 2 = -12 MC = -6 x 5 + 9,33 x 3 – 12 x 1,5 = -20 MD = -6 x 7 + 9,33 x 5 – 20 x 2,5 + 22,67 x 2 = -0,01  0  OK (o momento fletor na rótula é sempre nulo, a não ser que haja um binário aplicado na rótula.) ME = -36 + 18 x 3 – 12 x 1,5 = 0  OK MF = -36 Quando na rótula não há força concentrada: Vd esq = Vd dir Ve esq = Ve dir
  55. 55. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 52 Profº Rodrigo da Mata 2. 12 6
  56. 56. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 53 Profº Rodrigo da Mata MD = -4+ (2.42 )/8 + (4.4)/4 = 4 MI = 1.2 = 2
  57. 57. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 54 Profº Rodrigo da Mata 2.2.3 – Vigas Inclinadas Independente do valor de b, as reações verticais serão iguais (= q.a / 2) 1. x x/2 90 - (q.a)/2 S V b a x A (q.a)/2 q.x M N S (q.a)/2 B q Esforços Internos: Seção S (a x do apoio A)
  58. 58. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 55 Profº Rodrigo da Mata        cos.x.q 2 a.q V        sen.x.q 2 a.q N          2 x.q x. 2 a.q M 2 (para fins de momento fletor a viga se comporta como se fosse horizontal) Diagramas:
  59. 59. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 56 Profº Rodrigo da Mata (+) q.a²/8 (-) DMF - q.a(cos /2 (-) - q.a.(sen /2 q.a.(cos /2 DEC (+) DEN q.a.(sen /2
  60. 60. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 57 Profº Rodrigo da Mata 2. A VA VB S B q HA a x b I. Fx = 0 HA = q.b Esforços Internos: II. Fy = 0 HA = q.b III. MA = 0 a.VB – qb.b/2 = 0 VB = qb2 /2a = VA x V q.x (q.b²)/2.a x/2 q.b M N S N = (qb – qx)cos + (qb2 /2.a) . sen V = (qb – qx)sen - (qb2 /2.a) . cos M = x.qb – qx2 /2 – y.(qb2 /2.a) M = x.qb – qx2 /2 – x.(a/b).(qb2 /2.a) M = qbx/2 – qx2 /2
  61. 61. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 57 Profº Rodrigo da Mata Diagramas: / ]
  62. 62. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 58 Profº Rodrigo da Mata 3. R = q . (a2 + b2 ) 0,5 A a q.b A q B q.a B q A b B q
  63. 63. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 59 Profº Rodrigo da Mata Logo, o diagrama de momento fletor fica: Se tivermos, por exemplo, as estruturas: 8 m 2 -6 6 DMF 2 6m 6 tf.m A 1 tf/m B 2 tf.m DMF q.(a²+b²)/8
  64. 64. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 60 Profº Rodrigo da Mata 52,5 4 m 10 (+) DMF -20 (-) A 20 kN/m 3m 20 kN.m B
  65. 65. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 61 Profº Rodrigo da Mata 2.3 – Pórticos 2.3.1 – Estruturas Aporticadas Seção S1: Fx = 0 N – 6.cos + 10,86.sen = 0 N = 6.cos - 10,86.sen N = -1,72 kN (const.) Ft = 0 V = 6.sen + 10,86.cos = 12,2 kN (const.) Mz = 0 M = 10,86.x + 6.y  y = x.tg M = 10,86.x + 4,5.x = 15,36.x Para x=0, M=0; x=2, M=30,72 kN.m;
  66. 66. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 62 Profº Rodrigo da Mata Seção S2: N = -1,72 kN (const.) V = 12,29 - 10 = 2,29 kN (const.) M = 15,36.x –8(x-2) –6(y-1,5) = 2,86.x + 25 – 0,75.x  y = x.tg Para x=2, M=30,72 kN.m; x=4, M=36,44 kN.m; Seção S3: (direita) V = 10.x’ – 27,14 Para x’=0, V=-27,14 kN; x’=3, V=2,86 kN; M = 27,14.x’ – 10.x’2 /2 Para x’=0, M=0 kN.m; x’=3, M=36,42 kN.m;
  67. 67. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 63 Profº Rodrigo da Mata Diagramas: x = 10 x 3 2 / 8
  68. 68. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 64 Profº Rodrigo da Mata Não havendo barras inclinadas, recomeça-se o traçado de diagramas pelo método direto. x = 10 x 4 2 / 8
  69. 69. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 65 Profº Rodrigo da Mata Considerações Sobre os Sinais dos Diagramas: As fibras inferiores serão tracejadas, definindo portanto a parte à esquerda e à direita da seção. Exemplos: S1 S3 S2 S3 N V S1 M V M N
  70. 70. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 66 Profº Rodrigo da Mata Exemplos: 01. Fy = 0  N = P Fx = 0  V = 0 Mz = 0  M = -P.a + P.2a = P.a (constante)
  71. 71. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 67 Profº Rodrigo da Mata 02.
  72. 72. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 69 Profº Rodrigo da Mata 2.3.2 – Pórticos Simples
  73. 73. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 70 Profº Rodrigo da Mata Pelo Método Direto: Obter os diagramas solicitantes para o quadro abaixo: Reações: Fx = 0  RAx = 1 tf Fy = 0  RAy = 3 + 1.4 + 1 RAy = 8 tf MA = 0  3.2 – 1.4.2 – 1.1 + 1.2 + MA = 0 MA = 1 tf.m Seção S1: trecho DC N = 0; V = -3 tf MC = -6 tf.m Seção S2: trecho CE N = 0; V = 1.x Para x = 0; V = 0; x = 4; V = 4 tf; M = -1.x2 /2 Para x = 0; M = 0; x = 4; M = -8 tf.m; Seção S3: trecho FB N = -1 tf V = 1 tf M = -1.x Para x = 0; M = 0; x = 1; M = -1 tf.m; Seção S4: trecho BC N = -7 tf V = 0 M = -2 tf.m
  74. 74. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 71 Profº Rodrigo da Mata Seção S5: trecho AB N = -8 tf V = -1 tf M = -1 – 1 . x Para x = 0; M = -1 tf.m; x = 2; M = -3 tf.m; Diagramas:
  75. 75. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 72 Profº Rodrigo da Mata Reações: Fy = 0  1 + 6 – 4.5 + VA + VB = 0 VA + VB = 13 MA = 0  1.2,5 – 4.5.2,5 + 6.5 + HB.10 = 0 HB = 1,75 tf Fx = 0  HB = - HA  HA = - 1,75 tf ME Dir = 0  HB.4 - VB.5 = 0 (embaixo) VB = 1,4 tf  VA = 11,6 tf Seção S1: [0  x  2,5] N = + 1,75 tf; V = 11,6 - 4.x Para x = 0; V = 11,6; x = 2,5; V = 1,6 tf; M = 11,6.x - 2.x2 Para x = 0; M = 0; x = 2,5; M = 16,5 tf.m; Seção S2: [2,5  x  5,0] N = + 1,75 tf; V = 12,6 - 4.x Para x = 2,5; V = 2,6 tf; x = 5; V = -7,4 tf; M = 12,6.x - 2.x2 – 2,5 Para x = 2,5; M = 16,5 tf.m; x = 5; M = 10,5 tf.m;
  76. 76. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 73 Profº Rodrigo da Mata Seção S4: [0  x  5,0] tg = 4/5 sen = 4/41 N + 1,75.cos + 1,4 sen = 0  N = - 2,24 tf; V + 1,75.sen - 1,4.cos = 0  V = 0; M = 1,4.x – 1,75.y  M = 0; Seção S3: [0  x’  6,0] N = - 7,4 tf; V = -1,75 tf; M = 1,75.x’ Para x’ = 0; M = 0; x’ = 6; M = 10,5 tf.m;
  77. 77. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 74 Profº Rodrigo da Mata Reações: Fx = 0  HA + HB + 12 – 3,33 = 0 HA + HB = - 8,67 tf Fy = 0  -10 + 4,99 + VA + VB = 0 VA + VB = 5,01 tf MB = 0  6.1 + 10.4 – 12.3 – 9.VA = 0 VA = 1,11 tf  VB = 3,9 tf; ME Esq = 0  - HA.6 + VA.2,5 – 12.3 = 0 HA = -5,54 tf  HB = -3,13 tf Diagramas:
  78. 78. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 75 Profº Rodrigo da Mata Determinar os diagramas de esforços solicitantes: N = - 4,42 kN V = - 2,55 kN 0 = M + 3,2.(x - 0,3) + 1,9.x M = -5,1.x + 2,56 Para x = 1,6; M = -5,6 kN.m; x = 3,2; M = -15,8 kN.m;
  79. 79. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 76 Profº Rodrigo da Mata  2.3.3 – Pórtico com Articulação e Tirante Análise da estaticidade: 4 incógnitas: 3 inc. ext.; 1 inc. int.; 4 equações: 3 eqs estática; 1 eq. MF D = MF E ; g = (3+1) – (3+1) = 0 Substitui-se a barra CD pelo par de esforços N: Reações e N: Fx = 0  HA = 0; Fy = 0  VA + VB = 8 tf Mz = 0 (A) VB.4 – 8.2 = 0 VB = 4 tf.m  VA = 4 tf.m Momento Fletor em F, pela direita: MF D = 0  4 – 2.N = 0  + N = 2 tf.
  80. 80. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 77 Profº Rodrigo da Mata Diagramas: x = 2 x 42 / 8 = 4
  81. 81. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 78 Profº Rodrigo da Mata 2.3.4 – Pórticos Compostos Pórticos Compostos são uma associação de pórticos simples. Assim como a viga Gerber é uma associação de vigas simples. Se forem isostáticos, o resultado será uma Associação de Pórticos Simples Isostáticos. 1. A D B J K IH GE C F E BA C J HD K I F G Hy Hx HHDx Dy Dy Dx Hx Hy
  82. 82. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 79 Profº Rodrigo da Mata 2. 3. 4.
  83. 83. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 80 Profº Rodrigo da Mata 5. Decompondo: Fx = 0  HC = 30 kN; Fy = 0  VA + VC = 80 kN; MA = 0 8.VC + 4.HC –80.4 – 30.2 = 0 VC = 32,5 kN  VA = 47,5 kN Fx = 0  HD + HG +30 = 0 Fy = 0  VD + VG = 20 + 32,5 + 80 VD + VG = 132,5 kN MD = 0  8.VG – 20.5 – 80.4 – 30.4 = 0 VG = 67,5 kN  VD = 65 kN MC D = 0  4.HD = 0 HD = 0  HG = - 30 kN
  84. 84. ENG 2031 - ISOSTÁTICA 81 Profº Rodrigo da Mata Diagramas:

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