ESPACIO METRICO

1. Espacios M´etricos
El concepto de (norma) nos da una noci´on de distancia, el tener una noci´on de distancia en
R o m´as generalmente en Rn
, es lo que nos permite hablar de limite o de convergencia.
Consideremos la noci´on com´un de distancia entre dos puntos en R3
.
Si ¯x = (x1, x2, x3) ¯y = (y1, y2, y3)
¯x − ¯y = (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2
Esta distancia la denominamos m´etrica euclidiana y la generalizamos en Rn
en la siguiente
definici´on.
Definici´on: Sean ¯x = (x1, . . . , xn) y ¯y = (y1, . . . , yn) elementos cualesquiera de Rn
definimos la
distancia euclidiana entre ellos como
d(¯x, ¯y) = ¯x − ¯y = (x1 − y1)2 + . . . + (xn − yn)2
La funci´on d : Rn
× Rn
→ R se denomina distancia o m´etrica euclidiana.
Proposici´on: Para cualequiera vectores ¯x, ¯y, ¯z Rn
se tiene:
i. d(¯x, ¯y) ≥ 0
ii. d(¯x, ¯y) = d(¯y, ¯x)
iii. d(¯x, ¯y) ≤ d(¯x, ¯z) + d(¯z, ¯y)
iv. d(¯x, ¯y) = 0 ⇒ ¯x = ¯y
Demostraci´on :
1. Como d(x, y) = ¯x − ¯y ≥ 0 entonces d(¯x, ¯y) ≥ 0 tambien si d(x, y) = 0 ⇒
¯x − ¯y = 0 ⇒ ¯x = ¯y
2. d(¯x, ¯y) = ¯x − ¯y = ¯x − ¯y = ¯y − ¯x = d(¯y, ¯x)
1

2. 3. d(¯x, ¯y) = ¯x − ¯y = ¯x − ¯z + ¯z − ¯y ≤ ¯x − ¯z + ¯z − ¯y = d(¯x, ¯z) + d(¯z, ¯y)
M´etrica discreta.- Demostrar que la metrica definida por d(a, b) =



0 a = b
1 a = b
satisface los
axiomas de m´etrica
Demostraci´on :
1. Sean a, b Rn
entonces d(a, b) = 1 ´o d(a, b) = 0 ∴ d(a, b) ≥ 0
2. Sean a, b Rn
Si ¯a = ¯b d(¯a,¯b) = 1 y si ¯b = ¯a d(b, a) = 1 ∴ d(a, b) = 1 =
d(b, a)
Ahora bien si a = b entonces d(a, b) = 0 =
∗
d(b, a)
* Si a = b entonces b = a por lo tanto d(b, a) = 0
3. Sean ¯a, ¯b, ¯c Rn ¯a = ¯b = ¯c
d(¯a,¯b) = 1, d(¯b, ¯c) = 1 y
d(¯a,¯b) = 1
∴ d(a, c) = 1 ≤ 1 + 1 = d(a, b) + d(b, c)
M´etrica C[a, b].- Sea C[a, b] el conjunto de las funciones reales contunias en el intervalo cerrado
[a, b]. Sean f, g C[a, b] definimos
d(f, g) = m´ax
x [a,b]
{|f(x) − g(x)|}
demostrar que d es una m´etrica.
Demostraci´on :
1. Como |f(x) − g(x)| ≥ 0 para todo x [a, b] entonces m´ax{|f(x) − g(x)|} ≥ 0
por lo tanto d(f, g) ≥ 0
2. d(f, g) = 0
⇒ m´ax
x [a,b]
{|f(x) − g(x)|} = 0
⇒ |f(x) − g(x)| = 0
⇒ f(x) = g(x) ∀ x [a, b]
2

3. 3. d(f, g) = m´ax
x [a,b]
{|f(x) − g(x)|} =
∗
m´ax
x [a,b]
{|g(x) − g(x)|} = d(g, f)
* |f(x) − g(x)| = |g(x) − f(x)| ∀ x
4. d(f, g) = m´ax
x [a,b]
{|f(x) − g(x)|}
m´ax
x [a,b]
{|f(x) − g(x)|} = m´ax
x [a,b]
{|f(x) − h(x) + h(x) − g(x)|}
≤ m´ax
x [a,b]
{|f(x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|}
≤ m´ax
x [a,b]
{|f(x) − h(x)|} + m´ax
x [a,b]
{|h(x) − g(x)|}
∴ d(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g)
Probar que en el espacio de sucesiones {an} de n´umeros reales tales que
∞
1
|an| < ∞.
La aplicaci´on d(xn, yn) =
∞
1
|xn − yn| es una distancia.
Prueba :
1. Como |xn − yn| ≥ 0 ∀ n N entonces
∞
1
|xn − yn| ≥ 0
por lo tanto d(xn, yn) ≥ 0
2. d(xn, yn) = 0
⇒
∞
1
|xn − yn| = 0
⇒ |xn − yn| = 0 ∀ n N
⇒ xn − yn = 0 ∀ n N
⇒ xn = yn
3. d(xn, yn) =
∞
1
|xn − zn|
∞
1
|xn − zn| ≤
∞
1
|xn − yn| + |yn − zn|
=
∞
1
|xn − yn| +
∞
1
|yn − zn|
= d(xn, yn) + d(yn, zn)
3

4. Ejercicio: Sea d una m´etrica de un conjunto no vacio X. Demostrar que la funci´on e definida
por e(a, b) = m´ın(1, d(a, b)) donde a, b X tambien es una m´etrica de X.
Soluci´on :
1. Sean a, b X. Puesto que d es una m´etrica d(a, b) ≥ 0 entonces e(a, b) = 1
´o e(a, b) = d(a, b) ≥ 0, en cualquier caso e(a, b) ≥ 0
2. Si a = b entonces e(a, b) = m´ın(1, d(a, b)) = m´ın(1, 0) = 0
3. Sea a, b X. Por definici´on e(a, b) = d(a, b) ´o e(a, b) = 1
Supongamos e(a, b) = d(a, b)) entonces d(a, b) < 1.
Puesto que d(a, b) es una m´etrica d(a, b) = d(b, a) < 1. En consecuencia e(b, a) =
d(a, b) = e(a, b), por otro lado sup´ongase que e(a, b) = 1, entonces d(a, b) ≥ 1
∴ d(b, a) ≥ 1
por lo tanto e(a, b) = 1 = e(b, a)
Sean ahora a, b, c X. Demostremos la desigualdad triangular. Por demostrar e(a, c) ≤
e(a, b) + e(b, c)
Observese que e(a, c) = m´ın{1, d(a, c)} ≤ 1 de donde e(a, b) = 1 ´o e(b, c) = 1
∴ e(a, c) ≤ e(a, b) + e(b, c) pero puede ocurrir e(a, b) < 1 y e(b, c) < 1
∴ e(a, b) = d(a, b) e(b, c) = d(b, c)
por lo tanto e(a, c) = m´ın(1, d(a, c)) ≤ d(a, c) ≤ d(a, b) + d(b, c) = e(a, b) + e(b, c).
Sea d(f, g) =
1
0
|f(x) − g(x)| ¿Es d una m´etrica?
Soluci´on: No, ya que si consideramos f(x) = 0 ∀ x, g(x) =



0 0 ≤ x ≤ 1
1 x = 1
entonces
f(x) − g(x) = 0 pero f = g
∴ d no es una m´etrica.
4

5. CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
TAREA 5
Profa. Ana Belem Zavaleta Ramos, Profa. Pamela Villamil Sapi´en, Prof. Esteban Rub´en Hurtado Cruz
1.- Demostrar la f´ormula para calcular la torsi´on de una funcion vectorial f(t)
τ =
[f (t)xf (t)] · f (t)
f (t)xf (t) 2
2.- Si f(s) es la reparametrizaci´on por longitud de arco de una funci´on f(t), demostar que
τ =
[f (t)xf (t)] · f (t)
f (t)xf (t) 2
3.- Calcular la torsi´on de la h´elice f(t) =
1
√
2
(cos(t) sin(t), t)
4.- Mostar que si una trayectoria est´a en un plano, entonces su torsi´on es cero.
5.- Demostrar la desigualdad de Minkowski: Dados un par de puntos cualesquiera p = (a1, . . . , an)
y q = (b1, . . . , bn) de Rn
, p+q ≤ p + q es decir |ai + bi|2 ≤ |ai|2 + |bi|2
(Sugerencia: Desarrolle p + q 2
y use la desigualdad de Schwarz demostrada en clase)
6.- Demostar la desigualdad de Minkowski para sumas infinitas: Si {an}, {bn} son sucesiones
tales que
∞
1
|an| < ∞,
∞
1
|bn| < ∞, entonces an+bn ≤ an + bn es decir
∞
1
|an + bn|2 ≤
∞
1
|an|2 +
∞
1
|bn|2
7.- Sea d una m´etrica de un conjunto no vacio X. Demostrar que la funci´on e definida por
e(a, b) =
d(a, b)
1 + d(a, b)
, donde a, b ∈ X, es una m´etrica de X.
fecha de entrega 22 de marzo.
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