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Apostila Algebra Linear

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  1. 1. Sistemas Lineares Prof. Alexandre Trofino Departamento de Automa¸˜o e Sistemas ca Centro Tecnol´gico o Universidade Federal de Santa Catarina cep 88040-900 , Florian´polis-SC o email: trofino@lcmi.ufsc.br Internet: http://www.das.ufsc.br/˜trofino Esta apostila bem como as experiˆncias de laborat´rio no site www.das.ufsc.br/labsil e o s˜o de responsabilidade do professor Alexandre Trofino. Este material pode ser a livremente utilizado para fins did´ticos, respeitando-se os direitos autorais. Fica aproibido o uso para fins comerciais. Todos os resultados de c´lculos e simula¸oes foram a c˜ obtidos com o pacote scilab que ´ distribu´ gratuitamente no site e ıdo http://www-rocq.inria.fr/scilab .
  2. 2. www.das.ufsc.br/labsil 2
  3. 3. Conte´ do u1 Introdu¸˜o Geral ca 15 1.1 Termos usuais em controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Sistemas de Malha Aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Sistemas de Malha Fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Sinais de Tempo Cont´ ınuo e Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Defini¸ao de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 182 Transformada de Laplace 19 2.1 Introdu¸ao e No¸oes de Fun¸oes Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ c˜ c˜ 19 2.2 Defini¸ao e Regi˜o de Convergˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ a e 22 2.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.1 Opera¸˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 24 2.3.2 Fun¸˜o Transladada em Atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 25 2.3.3 Fun¸˜es Porta-deslocada e Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . co 25 2.3.4 Multiplica¸ao de f (t) por e−αt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 27 2.3.5 Mudan¸a na Escala de Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 28 2.3.6 Teorema da Diferencia¸˜o Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 28 2.3.7 Teorema do Valor Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.8 Teorema do Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.9 Teorema da Integra¸ao Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 31 2.3.10 Teorema da Diferencia¸ao Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 31
  4. 4. Conte´do u www.das.ufsc.br/labsil 4 2.3.11 Integral de Convolu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 32 2.4 Transformada Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.1 Fra¸˜es parciais para p´los distintos . . . . . . . . . . . . . . . . . co o 35 2.4.2 Fra¸˜es Parciais para p´los repetidos . . . . . . . . . . . . . . . . co o 37 2.4.3 Fra¸˜es Parciais para casos especiais . . . . . . . . . . . . . . . . co 39 2.5 Sinais com energia limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.6 Resolu¸ao de Equa¸oes Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ c˜ 40 2.7 Respostas de Estado Zero e Entrada Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.8 Fun¸ao de Transferˆncia e Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ e 46 2.9 Diagrama de Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.10 Sistemas Realimentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.10.1 Estabilidade de Conex˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 52 2.10.2 Sistemas Realimentados em presen¸a de dist´rbios . . . . . . . . . c u 53 2.11 Problemas complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543 Resposta ao Degrau 55 3.1 Introdu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 55 3.2 An´lise de Sistemas de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 57 3.3 An´lise de Sistemas de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 59 3.3.1 Caso sem amortecimento (ξ = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.2 Caso Subamortecido (0 < ξ < 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.3 Caso Superamortecido (ξ ≥ 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3.4 Caso inst´vel (ξ < 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 61 3.4 ´ Indices de desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.5 Servomecanismo para controle de posi¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 65 3.6 Problemas complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734 Resposta em frequˆncia e 77
  5. 5. Conte´do u www.das.ufsc.br/labsil 5 4.1 Resposta Senoidal em Regime Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2 Gr´ficos Logar´ a ıtmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.3 Constru¸ao do Diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 84 4.4 Sistemas de Fase M´ ınima e N˜o-M´ a ınima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.5 Gr´ficos de Nyquist (ou polares) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 97 4.6 Problemas Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995 Sinais e a Transformada de Fourier 101 5.1 Conex˜es entre Fourier e Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 102 5.2 Energia de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.3 C´lculo de algumas transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 104 5.3.1 Sinal Exponencial Unilateral (t ≥ 0) . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.3.2 Sinal Porta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.3.3 Sinal Impulso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.3.4 Fun¸˜es Constante, Sinal e Degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . co 106 5.3.5 Sinais Senoidais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.3.6 Exponencial Eterna ejω0 t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.3.7 Fun¸˜es Peri´dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co o 109 5.4 Propriedades da transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.4.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.4.2 Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.4.3 Escalonamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.4.4 Deslocamento em Frequˆncia e Modula¸ao . . . . . . . . . . . . . e c˜ 113 5.4.5 Deslocamento no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.4.6 Diferencia¸ao e Integra¸ao no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ c˜ 115 5.4.7 Diferencia¸ao em Frequˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ e 116 5.4.8 Convolu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 116
  6. 6. Conte´do u www.das.ufsc.br/labsil 6 5.4.9 Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.5 Problemas complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236 Sistemas Discretos e Amostrados 125 6.1 Introdu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 125 6.1.1 Convers˜o A/D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 125 6.1.2 Convers˜o D/A e Sample-and-Hold . . . . . . . . . . . . . . . . . a 126 6.2 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.3 Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.3.1 Defini¸ao e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 135 6.3.2 Rela¸ao com a transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . c˜ 137 6.4 Propriedades da Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.4.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.4.2 Teorema do Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.4.3 Teorema do Valor Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.4.4 Obten¸ao de F (z) a partir de F (s) . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 143 6.4.5 Convolu¸ao Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 144 6.5 Transformada Z Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.5.1 M´todo da divis˜o polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e a 146 6.5.2 M´todo das fra¸˜es parciais de X(z)/z . . . . . . . . . . . . . . . e co 147 6.6 Solu¸ao de Equa¸oes recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ c˜ 147 6.7 Fun¸ao de Transferˆncia Discreta e Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . c˜ e 151 6.7.1 Respostas de Estado Zero e Entrada Zero . . . . . . . . . . . . . 151 6.7.2 Resposta ao Pulso e Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.8 Sistemas Amostrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.9 Sistemas Realimentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.10 Escolha do Per´ ıodo de Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
  7. 7. Conte´do u www.das.ufsc.br/labsil 7 6.11 Resposta em Frequˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 166 6.12 Problemas Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
  8. 8. Conte´do u www.das.ufsc.br/labsil 8
  9. 9. Lista de Figuras 1.1 Sistema de malha aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2 Sistema de controle de malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Sistema realimentado de controle por computador . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Servomotor para posicionamento de uma antena . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Vari´vel de tempo cont´ a ınuo (sinal anal´gico) . . . . . . . . . . . . . . . . o 17 1.6 Vari´vel de tempo discreto (sequˆncia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a e 18 2.1 Circuito RLC s´rie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 19 2.2 Transformada direta e inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Representa¸˜o gr´fica de uma fun¸ao complexa ca a c˜ . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Rela¸ao entre f (t) e sua transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . c˜ 22 2.5 Fun¸ao deslocada em atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 25 2.6 Fun¸ao Porta de ´rea unit´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ a a 26 2.7 Derivada de fun¸oes descont´ c˜ ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.8 Fun¸ao dente de serra e sua derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 33 2.9 Fun¸ao onda quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 33 2.10 Rela¸ao entre f (t) e sua transformada F (s) c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.11 Diagrama de simula¸ao anal´gica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ o 42 2.12 Respostas x(t) do diagrama de simula¸ao anal´gica . . . . . . . . . . . . c˜ o 43 2.13 Respostas de Estado Zero e Entrada Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.14 Circuito RLC s´rie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 45
  10. 10. Lista de Figuras www.das.ufsc.br/labsil 10 2.15 Diagrama entrada/sa´ de um circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıda 49 2.16 Diagrama de blocos simplificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.17 Diagrama de blocos detalhado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.18 Sistema realimentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.19 Sistema realimentado simplificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.20 Diagrama de blocos de um circuito RLC-s´rie . . . . . . . . . . . . . . . e 51 2.21 Conex˜o de dois sistemas em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 52 2.22 Conex˜o de dois sistemas em realimenta¸˜o a ca . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.23 Sistema realimentado perturbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.24 Diagrama para referˆncia nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 53 2.25 Diagrama para dist´rbio nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 54 2.26 Sistema para controle de posi¸ao c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.1 Curvas t´ ıpicas da resposta ao degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2 Diagrama de bloco entrada/sa´ ıda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3 Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.4 Sistema de primeira ordem padr˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 57 3.5 Resposta ao degrau de um sistema de primeira ordem padr˜o . . . . . . . a 58 3.6 Sistema de segunda ordem padr˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 59 3.7 ´ Indices de desempenho para resposta ao degrau . . . . . . . . . . . . . . 62 3.8 Resposta ao degrau do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.9 Diagrama funcional do sistema de posicionamento . . . . . . . . . . . . . 65 3.10 Diagrama de blocos do comparador e potenciˆmetro . . . . . . . . . . . . o 66 3.11 Diagrama de blocos com adi¸ao do amplificador . . . . . . . . . . . . . . c˜ 66 3.12 Motor DC controlado pela armadura (rotor) . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.13 Diagrama de blocos com adi¸ao do motor DC . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 67 3.14 Diagrama de blocos com adi¸ao da engrenagem . . . . . . . . . . . . . . c˜ 68
  11. 11. Lista de Figuras www.das.ufsc.br/labsil 11 3.15 Sistema mecˆnico da plataforma e antena . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 68 3.16 Diagrama completo do sistema de posicionamento . . . . . . . . . . . . . 68 3.17 Diagrama simplificado de posicionamento da antena . . . . . . . . . . . . 69 3.18 Diagrama de posicionamento na forma padr˜o . . . . . . . . . . . . . . . a 70 3.19 Resposta ao degrau do sistema de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.20 Diagrama funcional para realimenta¸ao de velocidade . . . . . . . . . . . c˜ 72 3.21 Sistema de controle com realimenta¸˜o de velocidade . . . . . . . . . . . ca 72 3.22 Resposta ao degrau do sistema de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.23 Sistema com realimenta¸ao de velocidade e posi¸ao . . . . . . . . . . . . c˜ c˜ 74 3.24 Sistema de controle de velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.25 Resposta ao degrau unit´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 75 4.1 Resposta temporal para sen(ω t) com ω = {0, 2; 2; 20; 100} rd/s . . . . . 78 4.2 Resposta de regime ao seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.3 Resposta de regime ao cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.4 Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.5 Resposta em frequˆncia (Bode) do circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . e 82 4.6 Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.7 Resposta em frequˆncia (Bode) do circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . e 83 4.8 Resposta em frequˆncia (Nyquist) do circuito RLC . . . . . . . . . . . . e 85 4.9 Resposta em frequˆncia (Black) do circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . e 85 4.10 Resposta em frequˆncia com G(s) inst´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . e a 87 1 4.11 Diagrama de Bode dos termos 2 e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1 4.12 Diagrama de Bode do termo 4s+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2 4.13 Diagrama de Bode de G(s) = s(4s+1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 1 4.14 Diagrama de Bode dos termos s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 1 4.15 Diagrama de Bode do termo T s+1 e ass´ ıntotas . . . . . . . . . . . . . . . 91
  12. 12. Lista de Figuras www.das.ufsc.br/labsil 12 2 ωn 4.16 Diagrama de Bode do termo s2 +2ξωn s+ωn 2 e ass´ ıntotas . . . . . . . . . . . . 92 0.01(0.1s+1) 4.17 Diagrama de Bode do termo G1 (s) = s e ass´ ıntotas . . . . . . . 94 1 4.18 Diagrama de Bode do termo G2 (s) = G1 (s) s+1 e ass´ ıntotas . . . . . . . . 94 1 4.19 Diagrama de Bode do termo G(s) = G2 (s) 10−4 s2 +10−2 s+1 e ass´ ıntotas . . . 95 4.20 Circuito de fase n˜o m´ a ınima (r2 > r1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.21 Caso (a): Sistema de fase n˜o m´ a ınima (r2 > r1 ) . . . . . . . . . . . . . . 96 4.22 Caso (b): Sistema de fase m´ ınima (r2 < r1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.23 Diagrama de Nyquist de G1 (2πf ), G2 (2πf ), G3 (2πf ), G4 (2πf ) . . . . . 98 4.24 Diagrama de Nyquist de H1 (2πf ), H2 (2πf ), H3 (2πf ), H4 (2πf ) . . . . 99 4.25 Diagrama de Bode de um sistema linear invariante . . . . . . . . . . . . . 100 4.26 Resposta em frequˆncia de um sistema linear invariante . . . . . . . . . . e 100 5.1 Operador Transformada de Fourier e seu inverso . . . . . . . . . . . . . . 101 5.2 Sinal Porta de largura τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 sen(x) 5.3 Fun¸ao Sa(x) = c˜ x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.4 Fun¸ao Sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 107 5.5 Fun¸ao onda quadrada de per´ c˜ ıodo 2π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.6 Aproxima¸˜o de sinais pela s´rie trigonom´trica de Fourier. . . . . . . . . ca e e 111 5.7 Trem de impulsos e sua transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.8 Transformada de Fourier do sinal porta de largura unit´ria G1 (t). . . . . a 113 5.9 Transformada de Fourier do sinal cos(100t)G1 (t). . . . . . . . . . . . . . 114 5.10 Demodula¸˜o de um sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 114 5.11 Sinal linear por trechos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.12 Derivada do sinal linear por trechos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.13 Derivada segunda do sinal linear por trechos . . . . . . . . . . . . . . . . 116 1 5.14 Filtro de primeira ordem com F (s) = s+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.15 Transmiss˜o e recupera¸ao de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a c˜ 119
  13. 13. Lista de Figuras www.das.ufsc.br/labsil 13 5.16 Espectro do sinal antes e ap´s amostragem: Caso ωa > 2¯ . . . . . . . . o ω 120 5.17 Filtro ideal para recupera¸˜o do sinal: Caso ωa > 2¯ . . . . . . . . . . . ca ω 120 5.18 Espectro do sinal antes e ap´s amostragem: Caso ωa < 2¯ . . . . . . . . o ω 121 5.19 Espectro do sinal f (t) = cos(100πt) + sen(10πt). . . . . . . . . . . . . . . 122 5.20 Sistema de amostragem e recupera¸ao de sinais . . . . . . . . . . . . . . c˜ 123 5.21 Espectro dos sinais x(t), r(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.22 Espectro do sinal amostrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.23 Sistema com modula¸ao e discretiza¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ c˜ 124 6.1 Representa¸˜o de um sinal de tens˜o anal´gico n˜o negativo em c´digo ca a o a o bin´rio de 4 bits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 127 6.2 Esquema simplificado de um circuito sample-and-hold e seu diagrama de blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.3 (a) Diagrama de blocos de um conversor A/D com sample-and-hold e (b) funcionamento do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.4 (a) Conversor D/A com S/H e (b) Sinais de entrada e sa´ ıda . . . . . . . 129 6.5 Amostrador ideal: produto por um trem de impulsos . . . . . . . . . . . 129 6.6 Segurador de ordem zero: a sa´ ´ constante por trechos . . . . . . . . . ıda e 130 6.7 Sample-and-Hold visto como um amostrador ideal em cascata com um segurador de ordem zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.8 Circuito RC: resposta livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.9 Valor da corrente no capacitor nos instantes t = kT . . . . . . . . . . . . 131 6.10 Circuito RC com entrada constante por trechos . . . . . . . . . . . . . . 132 6.11 Representa¸ao de um sistema discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 133 6.12 Sistema controlado por computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.13 Regi˜o de convergˆncia das transformadas do degrau unit´rio . . . . . . . a e a 136 6.14 Rela¸ao biun´ c˜ ıvoca entre a sequˆncia x(kT ) e sua transformada Z . . . . . e 136 6.15 Rela¸ao entre localiza¸ao p´los e evolu¸ao temporal . . . . . . . . . . . . c˜ c˜ o c˜ 139 6.16 Rela¸ao entre localiza¸ao p´los e evolu¸ao temporal . . . . . . . . . . . . c˜ c˜ o c˜ 140
  14. 14. Lista de Figuras www.das.ufsc.br/labsil 14 6.17 Rela¸ao entre localiza¸ao p´los e evolu¸ao temporal . . . . . . . . . . . . c˜ c˜ o c˜ 141 6.18 Obten¸ao de F (z) a partir de F (s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 143 6.19 Sequˆncias convergentes e a localiza¸ao dos p´los no plano z . . . . . . . e c˜ o 149 6.20 Sistema discreto gen´rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 151 6.21 Sistema amostrado e seu discreto equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.22 Resumo dos resultados de convers˜o de Laplace para Z . . . . . . . . . . a 157 6.23 Sistema amostrado com conversor D/A e S/H . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.24 Circuito com entrada constante por trechos . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.25 (a) Dois sistemas amostrados em cascata; (b) Dois sistemas cont´ ınuos em cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.26 Sistema de controle digital e seu modelo discreto . . . . . . . . . . . . . . 163 6.27 Sistema de controle digital com medidor anal´gico (a) e digital (b) . . . . o 164 6.28 Controle digital de posi¸˜o angular atrav´s de um motor DC . . . . . . . ca e 165 6.29 Sistema discreto est´vel a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.30 Resposta frequencial de um sistema discreto . . . . . . . . . . . . . . . . 168 6.31 Circuito RLC com entrada constante por trechos . . . . . . . . . . . . . . 169 6.32 Sistema de controle de velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.33 Caracteriza¸ao entrada/sa´ dos sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ ıda 170 6.34 Entrada: tens˜o x(t) ; sa´ a ıda: tens˜o v(t) ; R=1 Ω, C=1 F a . . . . . . . . 170 6.35 Sistema de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
  15. 15. Cap´ ıtulo 1Introdu¸˜o Geral ca1.1 Termos usuais em controlePlanta Equipamento (ou parte dele) destinado ` realizar uma dada opera¸˜o. (Objeto a ca f´ ısico a ser controlado: caldeira, motor, reator qu´ ımico, ...).Processo Fenˆmenos (naturais ou criados artificialmente) que evoluem progressivamente o segundo dinˆmicas que lhe s˜o pr´prias. (Fenˆmeno a ser controlado: processos a a o o qu´ımicos, econˆmicos, biol´gicos,...). o oSistema Equipamento ou fenˆmeno f´ o ısico.Dist´ rbio Sinal indesejado (interno ou externo). uControle Realimentado Opera¸ao que visa corrigir (automaticamente ou manualmente) c˜ certas vari´veis (grandezas f´ a ısicas) de um sistema. Diminui o efeito de fenˆmenos o indesej´veis. a ´Servomecanismo E um sistema de controle realimentado para controle autom´tico de a posi¸˜o, velocidade ou acelera¸ao. Muito frequente na ind´stria. ca c˜ uSistemas Reguladores Autom´ticos Sistema de controle cujo principal objetivo ´ a e manter constante algumas vari´veis do mesmo. (Controle de n´ constante, posi¸ao a ıvel c˜ constante, velocidade, acelera¸ao, ...). Exemplos: robos, elevadores, estufas,... c˜1.2 Sistemas de Malha Aberta Sistemas onde a vari´vel a ser controlada (sa´ a ıda) n˜o interfere na a¸ao de controle a c˜(vari´vel de entrada) s˜o conhecidos como Sistemas de malha aberta. a a A sa´ ´ sens´ ` fenˆmenos indesej´veis sobre o processo (perturba¸oes, varia¸oes ıda e ıvel a o a c˜ c˜nos parˆmetros,...). Possui pouca performance na pr´tica quando existem perturba¸˜es. a a coNo entanto possui custo menor em geral.
  16. 16. 1.3. Sistemas de Malha Fechada www.das.ufsc.br/labsil 16 Perturba¸oes c˜ Entrada Sa´ ıda SISTEMA Figura 1.1: Sistema de malha aberta1.3 Sistemas de Malha Fechada Sistemas onde a vari´vel de controle (Entrada) depende (Direta ou indiretamente) da avari´vel a ser controlada (Sa´ a ıda) recebem o nome de sistemas de malha fechada. Nessecaso poss´ıveis distor¸˜es na vari´vel controlada provocadas por dist´rbios no sistema s˜o co a u aautomaticamente (on line) corrigidas. perturba¸ao c˜ Ref. Vari´vel a Comparador Controlador Atuador SISTEMA Observada sinal de medi¸˜o ca Medidor ru´ de medi¸ao ıdo c˜ Figura 1.2: Sistema de controle de malha fechada ControladorRef. Sa´ ıda Comparador A/D Computador D/A Atuador SISTEMA Medidor Figura 1.3: Sistema realimentado de controle por computadorExemplo 1.1 Considere o servomecanismo para controle de posi¸˜o da antena indicado cana Figura 1.4. Comparando com o diagrama da figura 1.2 podemos identificar os seguinteselementos:Sistema: Antena + plataforma + engrenagensPerturba¸˜es: Grandezas externas que atuam de forma indesejada no sistema. Por co exemplo, ventos que provocam torques de perturba¸˜o na posi¸˜o da antena. ca caVari´vel observada: Posi¸˜o angular da antena a ca
  17. 17. 1.4. Sinais de Tempo Cont´ ınuo e Discreto www.das.ufsc.br/labsil 17 posi¸ao c˜ da antena c(t) potenciˆmetro o comparador potenciˆmetro o Vr (t) Vc (t) referˆncia e r(t) erro e(t) amplificador engrenagem de potˆncia e motor DC Ea (t) Figura 1.4: Servomotor para posicionamento de uma antenaVari´vel medida: Sinal de medi¸˜o gerado pelo potenciˆmetro. Note que a vari´vel a ca o a medida pode ser diferente da vari´vel observada quando existem ru´ a ıdos de medi¸˜o. caMedidor: Potenciˆmetro oReferˆncia: Valor desejado da grandeza observada eComparador: somador de tens˜es oControlador: Nesse exemplo o controlador ´ um elemento unit´rio entre o comparador e a e o amplificador. Em geral, o controlador ´ um filtro que manipula o sinal de erro e antes do amplificador de potˆncia. Em sistemas mais complexos o controlador pode e ser um algor´timo implementado num computador. ıAtuador: Amplificador de Potˆncia + motor e1.4 Sinais de Tempo Cont´ ınuo e Discreto TEMPO CONT´ INUO: t ´ uma vari´vel cont´ e a ınua. Nesse caso um sinal f (t) ser´ um asinal anal´gico, isto ´, um sinal de tempo cont´ o e ınuo. f(t) Ref. 0 t Figura 1.5: Vari´vel de tempo cont´ a ınuo (sinal anal´gico) o TEMPO DISCRETO: t ´ uma vari´vel discreta que assume valores apenas em instantes e adiscretos do tempo. Por exemplo, t = kT onde k ´ uma vari´vel k = 0, 1, 2, . . . e T ´ e a euma constante. Nesse caso um sinal f (kT ) ser´ uma sequˆncia, isto ´, um sinal de tempo a e ediscreto.
  18. 18. 1.5. Defini¸˜o de Sistemas Lineares ca www.das.ufsc.br/labsil 18 f(kT) Ref. 0 t = kT Figura 1.6: Vari´vel de tempo discreto (sequˆncia) a e1.5 Defini¸˜o de Sistemas Lineares ca SISTEMAS LINEARES: S˜o fenˆmenos ou dispositivos cujo comportamento dinˆmico a o apode ser descrito por equa¸˜es diferenciais (ou recursivas) lineares. co SISTEMAS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO: S˜o sistemas lineares adescritos por equa¸˜es diferenciais (ou recursivas) com coeficientes constantes. co
  19. 19. Cap´ ıtulo 2Transformada de Laplace2.1 Introdu¸˜o e No¸˜es de Fun¸oes Complexas ca co c˜ O comportamento da maioria dos sistemas f´ ısicos pode ser representado atrav´s de eequa¸˜es diferenciais. Neste curso vamos nos restringir ` sistemas que podem ser rep- co aresentados por equa¸˜es diferenciais ordin´rias, lineares, ` parˆmetros invariantes no co a a atempo. R L + + V(t) C Vc (t) - - Figura 2.1: Circuito RLC s´rie eExemplo 2.1 Condidere o circuito da figura 2.1. A rela¸˜o de causa-efeito da tens˜o ca av(t) (Entrada) sobre a tens˜o vC (t) (Sa´da) no capacitor ´ um sistema descrito pela a ı eequa¸˜o diferencial seguinte: ca dv(t) v(t) = RC vC (t) + LC vC (t) + vC (t), ˙ ¨ = v(t) ˙ dt • Equa¸ao diferencial ordin´ria linear c˜ a • Parˆmetros invariantes no tempo a Sistemas mais complicados s˜o muitas vezes modelados por equa¸oes diferenciais n˜o a c˜ alineares e muito frequentemente os parˆmetros variam com o tempo. No entanto, o acomportamento desses sistemas pode ser aproximado por equa¸˜es diferenciais lineares coinvariantes no tempo, nas vizinhan¸as de um ponto de opera¸˜o. As t´cnicas para a c ca e
  20. 20. 2.1. Introdu¸˜o e No¸oes de Fun¸oes Complexas ca c˜ c˜ www.das.ufsc.br/labsil 20obten¸˜o desses modelos lineares invariantes no tempo consistem em expandir os termos can˜o lineares pela S´rie de Taylor e aproxim´-los pela parte linear da s´rie. Por exemplo, a e a epara a fun¸ao y(t) = sen(t) obter´ c˜ ıamos uma aproxima¸˜o linear nas vizinhan¸as da ca corigem que ´ dada por ylin (t) = t e ´ f´cil de verificar que a fun¸ao y(t) = sen(t) se e e a c˜comporta aproximadamente como ylin (t) = t para pequenos valores da vari´vel t. a A Transformada de Laplace ´ uma t´cnica extremamente util na solu¸ao de equa¸˜es e e ´ c˜ co ´ atrav´s da Transformada de Laplace quediferenciais lineares invariantes no tempo. E ese obt´m a no¸ao de “Fun¸˜o de Transferˆncia ” de um sistema. e c˜ ca e A Transformada de Laplace transforma um fun¸ao da vari´vel tempo, digamos f (t), c˜ anuma outra fun¸˜o F (s) onde s = σ + jω ´ uma vari´vel complexa. Em determi- ca e anadas condi¸˜es, as fun¸˜es f (t) e sua transformada F (s) est˜o relacionadas de forma co co abi-un´ ıvoca: Transf. Direta f(t) LAPLACE F(s) Transf. Inversa Figura 2.2: Transformada direta e inversa de Laplace ¸˜ PROPRIEDADES DE FUNCOES COMPLEXAS: Neste curso vamos nos restringir, com poucas excess˜es, ` fun¸oes complexas racionais. o a c˜Defini¸˜o 2.1 (Fun¸˜o Racional) Uma fun¸˜o G(s) da vari´vel complexa s = σ+jω ´ ca ca ca a eracional se G(s) pode ser expressa como a divis˜o de dois polinˆmios da vari´vel complexa a o as. A figura abaixo ilustra uma fun¸˜o complexa G(s) em termos de suas coordenadas caretangular e polar. onde |G(s)| = G2 + G2 e ∠G(s) = tan−1 Gy /Gx . x y Im[G(s)] G(s) = Gx + jGy = |G(s)| ej∠G(s) Gy Re[G(s)] Gx Figura 2.3: Representa¸ao gr´fica de uma fun¸ao complexa c˜ a c˜ • Complexo conjugado: A conjuga¸˜o complexa ´ uma opera¸ao que consiste em trocar ca e c˜o sinal da parte imagin´ria, se o n´mero estiver representado nas coordenadas retangu- a ulares, ou de forma equivalente, trocar o sinal da fase, se o n´mero estiver representado u
  21. 21. 2.1. Introdu¸˜o e No¸oes de Fun¸oes Complexas ca c˜ c˜ www.das.ufsc.br/labsil 21nas coordenadas polares. Representaremos o complexo conjugado do n´mero complexo u −j∠G(s)G(s), indicado na figura 2.3, por G(s) = Gx − jGy = |G(s)|e . Duas propriedades importantes da conjuga¸ao complexa s˜o indicadas a seguir. Se c˜ aA, B s˜o dois n´meros complexos ent˜o AB = A B e A + B = A + B. a u aDefini¸˜o 2.2 (P´los e Zeros) Seja G(s) = N (s) onde N (s) e D(s) s˜o dois polinˆmios ca o D(s) a ocom coeficientes reais. Define-se p´los e zeros de G(s) como sendo os valores de s tais oque: - Zeros de G(s): s tal que N (s) = 0 - P´los de G(s): s tal que D(s) = 0 oExemplo 2.2 A transformada de Laplace da fun¸˜o g(t) = −0, 5 + 1, 5e2t , t ≥ 0 ´ a ca e s+1fun¸˜o complexa G(s) = s(s−2) que possui os seguintes p´los e zeros: ca o - Zeros de G(s): s = −1 - P´los de G(s): s = 0, s = 2 o Note que cada p´lo da fun¸˜o G(s) est´ associado ` uma exponencial da fun¸˜o g(t). o ca a a caNa realidade os p´los s˜o os expoentes das exponenciais. o a • O n´mero complexo: u ejθ = cosθ + jsenθpossui m´dulo unit´rio e fase θ, como indicado a seguir. o a √ |ejθ | = cos2 θ + sen2 θ = 1 senθ ∠ejθ = tan−1 =θ cosθDefini¸˜o 2.3 (Fun¸˜o Anal´ ca ca ıtica) Uma fun¸˜o G(s) ´ anal´ ca e ıtica numa regi˜o se G(s) ae todas as suas derivadas existem nessa regi˜o. a 1Exemplo 2.3 A fun¸˜o G(s) = ca s+1 ´ anal´tica fora do ponto s = −1 (P´lo de G(s)). e ı o As opera¸oes de derivada e integral envolvendo fun¸oes complexas anal´ c˜ c˜ ıticas se fazemde maneira habitual, isto ´, as regras usuais de derivada e integral se aplicam diretamente. e
  22. 22. 2.2. Defini¸˜o e Regi˜o de Convergˆncia ca a e www.das.ufsc.br/labsil 222.2 Defini¸˜o e Regi˜o de Convergˆncia ca a e Para uma fun¸ao f (t) com t ≥ 0, define-se Transformada de Laplace de f (t) como c˜sendo a fun¸˜o complexa F (s) obtida atrav´s da integral: ca e ∞ F (s) = L[f (t)] = f (t)e−st dt (2.1) 0− onde s = σ + jω ´ a vari´vel complexa introduzida pela transformada. Sob certas e acondi¸˜es (que veremos a seguir) podemos tamb´m definir a Transformada Inversa de co eLaplace da seguinte forma: c+j∞ 1 f (t) = L−1 [F (s)] = F (s)est ds (2.2) 2πj c−j∞ onde t ≥ 0 e c ´ um n´mero real associado ` regi˜o do plano s = σ + jω onde a fun¸˜o e u a a caF (s) est´ definida. Esta regi˜o ´ chamada regi˜o de convergˆncia da Transformada de a a e a eLaplace . Dentro dessa regi˜o as fun¸˜es f (t) para t ≥ 0 e F (s) est˜o ligadas de maneira a co abiun´ıvoca, como ilustra a figura a seguir. Trans. Direta f (t) F (s) t≥0 Re[s] > c Tranf. Inversa Figura 2.4: Rela¸ao entre f (t) e sua transformada de Laplace c˜Exemplo 2.4 Seja f (t) = e2t , para t ≥ 0. ∞ −1 −(s−2)t ∞ F (s) = L[f (t)] = e2t e−st dt = e |0 − 0− s−2 −1 1 1 = [ lim e−(s−2)t − lim e−(s−2)t ] = − lim e−(s−2)t s − 2 t→∞ t→0− s − 2 s − 2 t→∞ Note que s = σ + jω e |e−jωt | = |cosωt + jsenωt| = 1.Assim,   ±∞ para Re[s] = σ < 2 lim e−(s−2)t = indefinido para Re[s] = σ = 2 t→∞  0 para Re[s] = σ > 2.
  23. 23. 2.2. Defini¸˜o e Regi˜o de Convergˆncia ca a e www.das.ufsc.br/labsil 23 Logo, a Transformada de Laplace da fun¸˜o e2t , t ≥ 0 s´ est´ definida na regi˜o do ca o a aplano complexo definida por Re[s] > 2 e nessa regi˜o obtemos: a 1 F (s) = L[e2t ] = s−2 A regi˜o do plano complexo onde a Integral de Laplace est´ definida e ´ finita re- a a ecebe o nome de regi˜o de convergˆncia da Transformada de Laplace . Mostra-se que ao a eescolhermos um contorno para a integral: c+j∞ 1 F (s)est ds 2πj c−j∞de tal forma que c > 2 (contorno dentro da regi˜o de convergˆncia) ent˜o o resultado da a e aintegral acima ´ e2t para t ≥ 0. e 2 Existem fun¸oes, como por exemplo et , t ≥ 0, para as quais a Transformada de Laplace c˜n˜o existe, isto ´, n˜o existe regi˜o de convergˆncia da Integral de Laplace. No entanto, a e a a etodos os sinais de interesse pr´tico s˜o transform´veis por Laplace. a a a A regi˜o de convergˆncia da Transformada de Laplace ´ um formalismo matem´tico a e e aque normalmente ´ omitido no c´lculo da transformada. No entanto ´ importante lembrar e a eque qualquer que seja a regi˜o de convergˆncia, as fun¸oes f (t) para t ≥ 0 e F (s) para a e c˜Re[s] > c est˜o relacionados de maneira biun´ a ıvoca. Os casos em que f (t) = 0 para t < 0s˜o de interesse marginal no c´lculo da Transformada de Laplace e n˜o ser˜o considerados a a a anesse curso. Uma vez obtida a transformada de Laplace F (s) podemos deduzir sua regi˜o ade convergˆncia. Ela ´ dada pela regi˜o do plano complexo ` direita do p´lo mais ` direita e e a a o ada fun¸ao F (s). c˜Exemplo 2.5 (Exponencial real) f (t) = eat , t ≥ 0 ∞ −1 −(s−a)t ∞ 1 F (s) = L[eat ] = eat e−st dt = e |0 = 0 s−a s−a 0, t < 0Exemplo 2.6 (Degrau Unit´rio) Fun¸˜o Degrau Unit´rio u(t) = a ca a 1, t ≥ 0 ∞ −1 −st ∞ 1 L[u(t)] = 1e−st dt = e |0 = . 0 s s(Regi˜o de Convergˆncia Re[s] > 0) a e 0, t < 0Exemplo 2.7 (Rampa) Fun¸˜o Rampa f (t) = ca At, t ≥ 0, A constante ∞ ∞ ∞ e−st ∞ Ae−st A A L[f (t)] = A te−st dt = At | − dt = e−st dt = . 0 −s 0 0 −s s 0 s2( udv = uv − vdu)
  24. 24. 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 24 0, t<0Exemplo 2.8 (Sen´ide) Fun¸˜o Senoidal f (t) = o ca sen(ω0 t), t ≥ 0, ω0 cte ∞ ∞ ejω0 t − e−jω0 t −st L[f (t)] = sen(ω0 t)e−st dt = e dt 0 0 2j 1 1 1 ω0 = − = 2 2 2j s − jω0 s + jω0 s + ω0 RESUMOu(t) ↔ 1 : P´lo simples na origem. Fun¸˜o Constante no tempo. s o ca 1tu(t) ↔ s2 : P´lo duplo na origem. Fun¸˜o cresce linearmente no tempo. o ca 1e−αt u(t) ↔ s+α : P´lo em s = −α. Cresce exponencialmente no tempo se p´lo for positivo o o (α < 0). Decresce exponecialmente no tempo se p´lo for negativo (α > 0). Valor o constante no tempo se o p´lo for na origem. osen(ω0 t)u(t) ↔ s2ω0 2 : P´los complexos conjugados sobre o eixo imagin´rio (s = ±jω0 ). +ω0 o a Fun¸˜o oscila no tempo sem amortecimento. ca2.3 Propriedades A Transformada de Laplace possui v´rias propriedades que, em geral, simplificam o ac´lculo da transformada se comparado com a aplica¸ao direta da defini¸ao (2.1). To- a c˜ c˜das as propriedades apresentadas nessa se¸˜o est˜o provadas em [1]. Por conveniˆncia ca a erepetiremos algumas das provas a t´ ıtulo de exerc´ ıcio.2.3.1 Opera¸˜o Linear ca Sejam f1 (t) e f2 (t) duas fun¸˜es e α1 e α2 duas constantes. Ent˜o: co a L[α1 f1 (t) + α2 f2 (t)] = α1 L[f1 (t)] + α2 L[f2 (t)] Prova: Utilizando a defini¸˜o (2.1) temos: ca ∞ L[α1 f1 (t) + α2 f2 (t)] = (α1 f1 (t) + α2 f2 (t))e−st dt 0 ∞ ∞ = α1 f1 (t)e−st dt + α2 f2 (t)e−st dt 0 0 = α1 L[f1 (t)] + α2 L[f2 (t)] 2
  25. 25. 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 252.3.2 Fun¸˜o Transladada em Atraso ca Seja f (t) uma fun¸˜o, u(t) o degrau unit´rio e α uma constante. Ent˜o: ca a a L[f (t − α)u(t − α)] = e−αs L[f (t)] f (t) f (t − α)u(t − α) t t0 0 α Figura 2.5: Fun¸ao deslocada em atraso c˜ Prova: Aplicando a defini¸˜o temos: ca ∞ L[f (t − α)u(t − α)] = f (t − α)u(t − α)e−st dt 0Definindo τ = t − α podemos rescrever a integral acima como ∞ L[f (t − α)u(t − α)] = f (τ )u(τ )e−s(τ +α) dτ −α ∞ = e−sα f (τ )u(τ )e−sτ dτ −α como f (τ )u(τ ) = 0 para −α ≤ τ < 0 temos: ∞ = e−sα f (τ )u(τ )e−sτ dτ 0 ∞ = e−sα f (τ )e−sτ dτ 0 = e−sα L[f (t)] 22.3.3 Fun¸oes Porta-deslocada e Impulso c˜ As fun¸oes Porta-deslocada e Impulso possuem propriedades importantes no contexto c˜da Transformada de Laplace . Fun¸˜o Porta-deslocada: Usaremos a nota¸ao fp (t) para representar a fun¸˜o porta- ca c˜ cadeslocada de ´rea unit´ria. a a 1 t0 , 0 < t < t0 fp (t) = 0, 0 > t > t0 sendo tO uma constante
  26. 26. 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 26 fp (t) 1 t0 t t0 0 Figura 2.6: Fun¸˜o Porta de ´rea unit´ria ca a a 1 1 Note que fp (t) = t0 u(t) − t0 u(t − t0 ). Utilizando as propriedades de Linearidade e Transla¸˜o obtemos: ca 1 1 L[fp (t)] = L u(t) − u(t − t0 ) t0 t0 1 1 = L[u(t)] − L[u(t − t0 )] t0 t0 −t0 s 1 1 1 e = − t0 s t0 s 1 = (1 − e−t0 s ) 2 t0 s Fun¸˜o Impulso: A Fun¸˜o Impulso Unit´rio que ocorre no instante t = t0 ´ repre- ca ca a esentada por δ(t − t0 ) e satisfaz as seguintes condi¸˜es: co ∞ 0, ∀t = t0 δ(t − t0 ) = e δ(t − t0 )dt = 1 ∞, t = t0 −∞ A Fun¸ao Impulso ´ uma abstra¸ao matem´tica e n˜o existe na pr´tica. Por´m, c˜ e c˜ a a a evaria¸oes bruscas de energia podem ser aproximadas pela fun¸˜o impulso. Al´m disso, c˜ ca eo conceito da fun¸˜o impulso ´ bastante util na diferencia¸ao de fun¸˜es descont´ ca e ´ c˜ co ınuas,como veremos na sequˆncia. e Para calcular a transformada da fun¸ao impulso devemos notar que o impulso na origem c˜´ o caso limite da fun¸˜o porta quando t0 → 0, isto ´:e ca e 1 δ(t) = lim [u(t) − u(t − t0 )] t0 →0 t0
  27. 27. 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 27Assim temos: 1 L[δ(t)] = L lim (u(t) − u(t − t0 )) t0 →0 t0 1 = lim L (u(t) − u(t − t0 )) t0 →0 t0 1 = lim (1 − e−t0 s ) t0 →0 t0 s d dt0 (1 − e−t0 s ) = d (t s) dt0 0 = 1 2 A Transformada do Impulso ´ uma fun¸ao constante numericamente igual a ´rea do e c˜ aimpulso (Energia Instantˆnea). O exemplo a seguir mostra como podemos utilizar a afun¸˜o impulso para representar a derivada de fun¸oes descont´ ca c˜ ınuas.Exemplo 2.9 Seja a fun¸˜o f (t) = A para 0 < t < t0 (t0 ) dado) e nula fora desse caintervalo. A derivada sessa fun¸˜o est´ definida em todos os pontos exceto em t = 0 e ca at = t0 . Nesses pontos existem descontinuidades. A varia¸˜o da fun¸˜o no entorno de ca cauma descontinuidade pode ser representada por um impulso de ´rea igual ao tamanho da adescontinuidade. A derivada de f (t) est´ indicada na figura 2.7. a f(t) f˙(t) A A δ(t) t0 t t 0 0 t0 −A δ(t − t0 ) Figura 2.7: Derivada de fun¸˜es descont´ co ınuas .2.3.4 Multiplica¸˜o de f (t) por e−αt ca Se L[f (t)] = F (s) ent˜o: a ∞ −αt L[e f (t)] = f (t)e−αt e−st dt = F (s + α) 0Exemplo 2.10 J´ vimos que: a ω0 L[sen(ω0 t)u(t)] = 2 = F (s) s2 + ω0
  28. 28. 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 28Logo: ω0 L[e−αt sen(ω0 t)u(t)] = 2 = F (s + α) (s + α)2 + ω0 Note que os p´los de F (s + α) s˜o p1,2 = −α ± jω0 , onde Re[p´lo] = −α define o o a odecaimento exponencial do sinal f (t) e Im[p´lo] = ±ω0 define a frequˆncia de oscila¸˜o o e cado sinal f (t).2.3.5 Mudan¸a na Escala de Tempo c Se L[f (t)] = F (s) ent˜o: a L[f (t/α)] = αF (αs) Este resultado ´ util quando se deseja analisar sinais numa escala de tempo diferente e´daquela em que ele ocorre na pr´tica. Pode ser o caso por exemplo de sinais muito lentos aou muito r´pidos. a 1 5Exemplo 2.11 Dado que L[e−t u(t)] = s+1 tem-se que L[e−0,2t u(t)] = 5s+1 .2.3.6 Teorema da Diferencia¸˜o Real ca De agora em diante usaremos as seguintes nota¸oes para representar derivada temporal c˜de uma fun¸˜o f (t): ca df (t) def df (t) def ˙ = ∂f (t) ou de forma equivalente = f (t) (2.3) dt dt d defA nota¸ao que emprega o operador ∂ = dt ´ util no caso de derivadas de ordem ≥ 3 c˜ e ´como a derivada de ordem 5: ∂ f (t). J´ a nota¸ao f˙(t) e f (t) s˜o comuns em livros de 5 a c˜ ¨ acontrole para expressar derivadas de ordem 1 e 2. Com a nota¸˜o acima temos o seguinte resultado: ca L f˙(t) = sF (s) − f (0)onde L[f (t)] = F (s) e f (0) = f (t)|t=0 .Problema 2.1 Prove que L f˙(t) = sF (s) − f (0). Dica: use a integral por partes ∞ ∞ 0 udv = uv|∞ − 0 0 vdu . Quando uma fun¸ao possui descontinuidade na origem, a sua derivada temporal ir´ c˜ apossuir um impulso na origem. Nesses casos precisamos tomar cuidado com o limiteinferior da transformada da derivada. Vamos ent˜o definir: a
  29. 29. 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 29 ∞ L+ [f (t)] = f (t)e−st dt 0+ ∞ L− [f (t)] = f (t)e−st dt 0− Note que se f (t) envolve um impulso na origem ent˜o L+ [f (t)] = L− [f (t)]. Quando af (t) n˜o possui impulso na origem teremos L+ [f (t)] = L− [f (t)] = L[f (t)]. a Para o caso em que f˙(t) possui impulso na origem (f (t) possui descontinuidade naorigem) ficamos com: L+ f˙(t) = sF (s) − f (0+ ) L− f˙(t) = sF (s) − f (0− ) Note que na defini¸˜o L+ o tempo come¸a em t = 0+ e portanto o impulso na origem ca cfica fora do intervalo considerado, oque n˜o nos interessa. Assim apenas a defini¸ao L− , a c˜por come¸ar a contagem dos tempos em t = 0− , nos ser´ util para tratar impulsos na c a ´origem.Exemplo 2.12 Seja f (t) = e−αt , para t ≥ 0. Calcule L[f˙(t)]. Solu¸˜o: ca f˙(t) = δ(t) − αe−αt , t ≥ 0 α s L[f˙(t)] = 1 − = s+α s+α Pelo teorema da diferencia¸˜o real obtemos o mesmo resultado acima: ca s s L− [f˙(t)] = sF (s) − f (0− ) = −0= s+α s+α Para uma derivada de ordem n temos: L [∂ n f (t)] = sn F (s) − sn−1 f (0) − sn−2 ∂f (t)|t=0 − · · · − s∂ n−2 f (t)|t=0 − ∂ n−1 f (t)|t=0 ¸˜ OBSERVACOES: • Se a distin¸˜o entre L+ e L− for necess´ria basta substituir t = 0 por t = 0+ ou ca a − t = 0 respectivamente. • Para que L[∂ n f (t)] exista ´ preciso que todas as derivadas de f (t) de ordem inferior e ` n existam e sejam transform´veis por Laplace. a a • Quando todas as condi¸˜es iniciais forem nulas ent˜o: co a L [∂ n f (t)] = sn F (s)
  30. 30. 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 30 ω0Exemplo 2.13 Sabendo que L[sen(ω0 t)u(t)] = 2 s2 +ω0 podemos obter: d sen(ω0 t) L[cos(ω0 t)u(t)] = L u(t) dt ω0 1 d = L (sen(ω0 t)u(t)) ω0 dt 1 = (sF (s) − f (0)) ω0 1 s ω0 = ( 2 2 − 0) ω0 s + ω0 s = 2 + ω2 s 02.3.7 Teorema do Valor Final Quando uma fun¸ao f (t) tende ` um valor constante em regime estacion´rio, isto ´ c˜ a a equando t → ∞, este valor constante pode ser diretamente obtido atrav´s do limite: e lim f (t) = lim sF (s) t→∞ s→0onde L[f (t)] = F (s). Note que quando f (t) tende ` um valor constante em regime ent˜o a af˙(t) tende a zero em regime. Como toda fun¸˜o que tende a zero em regime deve possuir catransformada com todos os p´los no semi-plano esquerdo conclu´ o ımos que todos os p´los ode L[f ˙(t)] = sF (s) devem estar no semi-plano esquerdo para que o limite acima possa teralgum sentido. Caso contr´rio, se algum p´lo de sF (s) tem parte real nula ou positiva a a ofun¸˜o f (t) n˜o tende a um valor constante em regime e portanto a igualdade acima n˜o ca a amais se verifica.Exemplo 2.14 Qual ´ o valor de regime (se ele existe) da fun¸˜o f (t) cuja transformada e ca 1´ F (s) = s(s+1) ?e Solu¸˜o: Como os p´los de sF (s) n˜o possuem parte real nula nem positiva (os p´los ca o a os˜o s = −1) ent˜o f (t) tende ` um valor constante em regime. E esse valor ´ dado por: a a a e lim f (t) = lim sF (s) = 1 t→∞ s→0 1Para conferir o resultado note que L[(1 − e−t )u(t)] = s(s+1) .Problema 2.2 Calcule o valor de regime da fun¸˜o no tempo cuja transformada ´ F (s) = ca e 1(s−2) . Diga se o teorema do valor final pode ser aplicado e qual ´ a fun¸˜o no tempo. e ca2.3.8 Teorema do Valor Inicial Usando este teorema somos capazes de achar o valor de f (t) em t = 0+ conhecendoapenas a transformada de f (t). Se f (t) e f˙(t) s˜o ambas transform´veis por Laplace e se a a
  31. 31. 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 31lims→∞ sF (s) existir ent˜o: a f (0+ ) = lim sF (s) s→∞ Quando f (t) n˜o possui descontinuidade na origem f (0+ ) = f (0). aProblema 2.3 Encontre o valor inicial de f˙(t) dado que L[f (t)] = 2s+1 s2 +s+1 .2.3.9 Teorema da Integra¸˜o Real ca Se a fun¸ao que resulta da integral c˜ f (t)dt ´ transform´vel por Laplace ent˜o sua e a atransformada ´ dada por: e F (s) f (t)dt L f (t)dt = + |t=0 (2.4) s s ¸˜ OBSERVACOES: • Se o valor inicial da integral for zero ent˜o: a F (s) L f (t)dt = s Assim, integrar no dom´ınio do tempo ´ dividir por s no dom´ e ınio da frequˆncia. e Lembre que derivar no tempo ´ multiplicar por s na frequˆncia. e e • Quando a integral for definida note que: t f (t)dt = f (t)dt − f (t)dt|t=0 . 0 Sendo f (t)dt|t=0 uma constante temos com (2.4) que: t F (s) L f (t)dt = 0 s Se f (t) possui impulso na origem ent˜o deve-se especificar que a integral come¸a a c − em t = 0 .2.3.10 Teorema da Diferencia¸˜o Complexa ca Se f (t) ´ transform´vel por Laplace, ent˜o, exceto nos p´los de F (s) vale a seguinte e a a orela¸˜o: ca d L[tf (t)] = − F (s). dsNo caso geral: n n n d L[t f (t)] = (−1) F (s), n = 1, 2, . . . . dsn
  32. 32. 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 322.3.11 Integral de Convolu¸˜o ca Sejam f1 (t) e f2 (t) duas fun¸˜es nulas para t < 0. A Convolu¸ao dessas duas fun¸oes co c˜ c˜f1 (t) e f2 (t) ser´ representada pela nota¸ao f1 (t) ∗ f2 (t) e ´ definida pela integral: a c˜ e t f1 (t) ∗ f2 (t) = f1 (t − τ )f2 (τ )dτ 0 Propriedades: • f1 (t) ∗ f2 (t) = f2 (t) ∗ f1 (t) • f1 (t) ∗ (f2 (t) + f3 (t)) = f1 (t) ∗ f2 (t) + f1 (t) ∗ f3 (t) • L[f1 (t) ∗ f2 (t)] = L[f1 (t)]L[f2 (t)] A ultima propriedade ´ muito importante e mostra que fazer a convolu¸ao no tempo ´ ´ e c˜ efazer o produto das transformadas na frequˆncia. e Prova: ∞ t L[f1 (t) ∗ f2 (t)] = f1 (t − τ )f2 (τ )dτ e−st dt 0 0como f1 (t − τ ) = 0 para τ > t podemos extender o limite de integra¸ao de t para infinito. c˜Como t e τ s˜o vari´veis independentes podemos trocar a ordem de integra¸ao. a a c˜ ∞ ∞ = f1 (t − τ )e−s(t−τ ) dtf2 (τ )e−sτ dτ 0 0Note que a integral interna ´ simplesmente a transformada de f1 (t) com a mudan¸a de e cvari´vel ξ = t − τ : a ∞ ∞ ∞ −s(t−τ ) −sξ f1 (t − τ )e dt = f1 (ξ)e dξ = f1 (ξ)e−sξ dξ = L[f1 (t)] 0 −τ 0Note ainda que L[f1 (t)] ´ uma fun¸˜o complexa da vari´vel s e n˜o depende de τ . Logo e ca a aobtemos: ∞ L[f1 (t) ∗ f2 (t)] = L[f1 (t)]f2 (τ )e−sτ dτ 0 ∞ = L[f1 (t)] f2 (τ )e−sτ dτ 0 = L[f1 (t)]L[f2 (t)] 2 Veremos mais adiante que o comportamento de todo sistema linear invariante no tempopode ser representado por uma integral de convolu¸ao, ou equivalentemente, pelo produto c˜de duas transformadas.

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