Concepto De Matriz, Tabla de verdad y logica matematicas

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Concepto De Matriz, Tabla de verdad y logica matematicas

  1. 2. MATRICES
  2. 3. CONCEPTO DE MATRIZ <ul><li>Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas. </li></ul><ul><li>Se llama matriz de orden &quot;m × n&quot;   a un conjunto rectangular de elementos a ij   dispuestos en   m  filas y en n  columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño , siendo m  y  n  números naturales. </li></ul>
  3. 4. <ul><li>Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc... </li></ul><ul><li>La utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial donde los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos,... </li></ul>
  4. 5. <ul><li>Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento genérico que ocupe la fila i  y la columna j   se escribe a ij . Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz : A = (a ij ) </li></ul>
  5. 6. <ul><li>Cuando nos referimos indistintamente a filas o columnas hablamos de líneas. El número total de elementos de una matriz Am×n  es   m·n En matemáticas, tanto las Listas como las Tablas reciben el nombre genérico de matrices. </li></ul>
  6. 7. <ul><li>Una lista numérica es un conjunto de números dispuestos uno a continuación del otro. </li></ul><ul><li>MATRICES IGUALES </li></ul><ul><ul><li>Dos matrices A = (a ij )m×n  y  B = (b ij )p×q  son iguales, sí y solo si, tienen en los mismo lugares elementos iguales, es decir : </li></ul></ul><ul><li>ALGUNOS TIPOS DE MATRICES </li></ul><ul><ul><li>Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma, sus elementos, ... reciben nombres diferentes : </li></ul></ul>
  7. 12. <ul><li>Para establecer las reglas que rigen el cálculo con matrices se desarrolla un álgebra semejante al álgebra ordinaria, pero en lugar de operar con números lo hacemos con matrices. </li></ul>
  8. 13. <ul><li>OPERACIONES CON MATRICES </li></ul><ul><li>SUMA DE MATRICES </li></ul><ul><ul><li>La suma de dos matrices  A = (a ij )m×n  y  B = (b ij )p×q  de la misma dimensión (equidimensionales) : m = p  y  n = q  es otra matriz  C = A+B = (c ij )m×n = (a ij +b ij ) </li></ul></ul>
  9. 14. <ul><li>Es una ley de composición interna con las siguientes PROPIEDADES : </li></ul><ul><li>· Asociativa : A+(B+C) = (A+B)+C · Conmutativa : A+B = B+A · Elem. neutro : ( matriz cero 0 m×n ) , 0+A = A+0 = A · Elem. simétrico : ( matriz opuesta -A ) , A + (-A) = (-A) + A = 0 </li></ul><ul><li>Al conjunto de las matrices de dimensión  m×n cuyos elementos son números reales lo vamos a representar por  M m×n   y como hemos visto, por cumplir las propiedades anteriores,  ( M, + ) es un grupo abeliano. </li></ul>
  10. 15. <ul><li>PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ </li></ul><ul><ul><li>Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por todos los elementos de la matriz, obteniéndose otra matriz del mismo orden. </li></ul></ul>
  11. 16. <ul><li>Es una ley de composición externa con las siguientes PROPIEDADES : </li></ul>
  12. 17. <ul><li>PRODUCTO DE MATRICES </li></ul><ul><ul><li>Dadas dos matrices  A = (a ij )m×n  y  B = (b ij )p×q  donde n = p, es decir, el número de columnas de la primera matriz  A  es igual al número de filas de la matriz  B , se define el producto A·B de la siguiente forma : </li></ul></ul><ul><ul><li>El elemento a que ocupa el lugar (i, j)  en la matriz producto se obtiene sumando los productos de cada elemento de la fila  i  de la matriz  A por el correspondiente de la columna  j  de la matriz B. </li></ul></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>MATRIZ INVERSA </li></ul><ul><ul><li>Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada An  y la representamos por  A -1   , a la matriz que verifica la siguiente propiedad : A -1 ·A = A·A -1 = I </li></ul></ul><ul><ul><li>Decimos que una matriz cuadrada es  &quot;regular&quot;  si su determinante es distinto de cero, y es  &quot;singular&quot;  si su determinante es igual a cero. </li></ul></ul>
  13. 18. <ul><li>PROPIEDADES : </li></ul><ul><li>Sólo existe matriz inversa de una matriz cuadrada si ésta es regular. </li></ul><ul><li>La matriz inversa de una matriz cuadrada, si existe, es única. </li></ul><ul><li>Entre matrices NO existe la operación de división, la matriz inversa realiza funciones análogas . </li></ul>
  14. 19. TABLA DE VERDAD
  15. 20. TABLA DE VERDAD <ul><li>es una tabla que despliega el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes. </li></ul><ul><li>Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractitos logico-philosophicus , publicado en 1921. </li></ul>
  16. 21. Definición y algoritmo fundamental <ul><li>Considérese dos proposiciones A y B . Cada una puede tomar uno de dos valores de verdad : o 1 (verdadero), o 0 (falso). Por lo tanto, los valores de verdad de A y de B pueden combinarse de cuatro maneras distintas: o ambas son verdaderas; o A es verdadera y B falsa, o A es falsa y B verdadera, o ambas son falsas. Esto puede expresarse con una tabla simple: </li></ul>1 2 3   4 5 A B C B/C A/(B/C) V V V V V V V F V V V F V V V V F F F F F V V V F F V F V F F F V V F F F F F F
  17. 22. <ul><li>Considérese además a &quot; &quot; como una operación o conjunción lógica que realiza una función de verdad al tomar los valores de verdad de A y de B , y devolver un único valor de verdad. Entonces, existen 16 funciones distintas posibles, y es fácil construir una tabla que muestre qué devuelve cada función frente a las distintas combinaciones de valores de verdad de A y de B . </li></ul>
  18. 23. Contradicción <ul><li>Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones de unas con otras. Sea el caso: [(A/B)/¬(A/B)]/C </li></ul>1 2 3 4 5 6 7 8 A B C A/B A/B ¬(A/B) (A/B)/¬(A/B) [(A/B)/¬(A/B)]/C V V V V V F F F V V F V V F F F V F V F V F F F V F F F V F F F F V V F V F F F F V F F V F F F F F V F F V F F F F F F F V F F
  19. 24. Tautologías <ul><li>Se entiende por proposición tautológica, o tautología, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es V. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso: [(A->B)/(B->C)] ->(A->C) </li></ul><ul><li>Siguiendo la mecánica algorítmica de la tabla anterior construiremos su tabla de verdad: </li></ul>A B C A->B B->C (A->B)/(B->C) (A->C) [(A->B)/(B->C)] ->(A->C) V V V V V V V V V V F V F F F V V F V F V F V V V F F F V F F V F V V V V V V V F V F V F F V V F F V V V V V V F F F V V V V V
  20. 25. Tablas de verdad, proposiciones lógicas y argumentos deductivos <ul><li>En realidad toda la lógica está contenida en las tablas de verdad, en ellas se nos manifestó todo lo que implican las relaciones sintácticas entre las diversas proposiciones. </li></ul><ul><li>No obstante la sencillez del algoritmo, aparecen dos dificultades. </li></ul><ul><li>La gran cantidad de operaciones que hay que hacer para una proposición con más de 4 variables. </li></ul><ul><li>Esta dificultad ha sido magníficamente superada por la rapidez de los ordenadores, y no presenta dificultad alguna. </li></ul><ul><li>Que únicamente será aplicable a un esquema de inferencia , o argumento cuando la proposición condicionada, como conclusión, sea previamente conocida, al menos como hipótesis, hasta comprobar que su tabla de verdad manifiesta una tautología. </li></ul>
  21. 26. LÓGICA MATEMÁTICA
  22. 27. Desarrollo. <ul><li>La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas ; en las ciencias física y  naturales, para sacar conclusiones de experimentos ; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad. </li></ul>
  23. 28. Proposiciones y operaciones lógicas. <ul><li>Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática. </li></ul><ul><li>A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Ejemplo. </li></ul>
  24. 29. <ul><li>  </li></ul><ul><li>p:         La tierra es plana. </li></ul><ul><li>q:         -17 + 38 = 21 </li></ul><ul><li>r:          x > y-9 </li></ul><ul><li>s:         El Morelia será campeón en la presente </li></ul><ul><li>temporada de Fut-Bol. </li></ul><ul><li>t:          Hola ¿como estas? </li></ul><ul><li>w:         Lava el coche por favor. </li></ul>
  25. 30. Conectivos lógicos y proposiciones compuestas. <ul><li>Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son: </li></ul><ul><li>Operador and (y) : Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Si símbolo es: {Ù, un punto (.), un paréntesis}. Se le conoce como la multiplicación lógica </li></ul>
  26. 31. <ul><li>Ejemplo. </li></ul><ul><li>Sea el siguiente enunciado “El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería” </li></ul><ul><li>Sean: </li></ul><ul><li>p: El coche enciende. </li></ul><ul><li>q: Tiene gasolina el tanque. </li></ul><ul><li>r: Tiene corriente la batería. </li></ul>
  27. 32.   Proposiciones condicionales. <ul><li>Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera: </li></ul><ul><li>p ® q                Se lee “Si p entonces q” </li></ul><ul><li>Ejemplo. El candidato del PRI dice “Si salgo electo presidente de la República recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año”. Una declaración como esta se conoce como condicional. Su tabla de verdad es la siguiente: </li></ul><ul><li>Sean </li></ul><ul><li>p: Salió electo Presidente de la República. </li></ul><ul><li>q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año. </li></ul>
  28. 33.   Proposición bicondicional. <ul><li>Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicinal de la siguiente manera: </li></ul><ul><li>p « q                Se lee “p si solo si q” </li></ul><ul><li>Esto significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es falsa si y solo si q también lo es. Ejemplo; el enunciado siguiente es una proposición bicondicional </li></ul><ul><li>“ Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez” </li></ul><ul><li>Donde: </li></ul><ul><li>p: Es buen estudiante. </li></ul><ul><li>q: Tiene promedio de diez. </li></ul>
  29. 34.   Equivalencia lógica. <ul><li>Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o simplemente equivalentes . Si coinciden sus resultados para los mismo valores de verdad. Se indican como p º q. </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>Considero que un buen ejemplo es el que se estableció para ilustrar la tautología en donde se puede observar que las columnas de (p®q)  y  (q’®p’) para los mismo valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que (p®q)  º (q’®p’) </li></ul>
  30. 35. Reglas de inferencia <ul><li>Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llama reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una demostración. </li></ul>
  31. 36.   Bibliografía. Libro Autor Editorial Estructuras de Matemáticas Discretas Bernard Kolman, Robert C. Bisby, Sharon Ross Prentice Hall Elements of Discrete Mathematics C.L.Liu Mc graw Hill Matemáticas Discreta y Combinatoria Ralph P. Grimaldi Addiso Wesley Matemáticas Discretas con aplicación a las ciencias de la computación Jean Paul Tremblay, Ram Manohar CECSA Matemáticas Discretas Kenneth A. Ross, Charles R.B. Wright Prentice Hall Matemática Discreta y Lógica Winfried Karl, Jean Paul Tremblay Prentice Hall Matemáticas Discretas Richard Johnsonbaugh Gpo. Editorial Iberoamerica

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