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Doc...metodos ejercicios

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metodos numericos

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  1. 1. EJERCICIO 2: La ecuación 𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 2−𝑋 tiene infinitas soluciones positivas que se denotarán por 𝑟1 < 𝑟2 < 𝑟3 < ⋯ < 𝑟𝑛 < 𝑟𝑛+1 < ⋯ se pide: a) Mediante el método de Bisección, calcular la raíz 𝑟1 є [1,1.5] con una cota de error absoluto ∆ 𝑟= 0.5 ∗ 10−2 . ¿Cuántas iteraciones son suficientes?. SOLUCIÓN DATOS: Función que da origen a la ecuación 𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 2−𝑋 Intervalo para realizar el proceso iterativo [1,1.5] Número de cifras significativas 𝑛 = 4 Error prefijado 𝐸𝑃 = 0.5 ∗ 102−𝑛 = 0.005 PROGRAMA DE GEOGEBRA Mediante el programa GeoGebra determinamos la raíz aproximada y el intervalo [𝐴0, 𝐵0]
  2. 2. La raíz aproximada 𝑅∗ = 1.076925048 El intervalo para realizar el proceso iterativo [1,1.5] PROGRAMA EXCEL
  3. 3. La raíz buscada de la ecuación con una cota de error absoluto ∆ 𝑟= 0.5 ∗ 10−2 es 𝑟∗ = 1.07693481 PROGRAMA MAPLE 18
  4. 4. b) Aplicar el método de Newton-Raphson para hallar la raíz 𝑟3 partiendo de la aproximación inicial 𝒙 𝟎 = 𝟓. 𝟓 .Iterar hasta alcanzar una precisión de 7 cifras significativas. SOLUCIÓN DATOS: Función que da origen a la ecuación 𝐹( 𝑥) = 𝑐𝑜𝑠( 𝑥) − 2−𝑋 = 0 Raíz en la cero iteración 𝒙 𝟎 = 𝟓. 𝟓 Número de cifras significativas 𝐧 = 𝟕 Error prefijado 𝐸𝑃 = 0.5 ∗ 102−𝑛 = 0.000005 Derivada de la función 𝑭´( 𝒙) = −𝒔𝒆𝒏( 𝒙) + ( 𝟐−𝒙) ∗ 𝑳𝑵( 𝟐) Segunda derivada de la función 𝑭"(𝒙) = −𝒄𝒐𝒔(𝒙) − (𝟐−𝒙 ) ∗ 𝒍𝒏𝟒 Controlador | 𝐹(5.5)∗𝐹"(5.5) (𝐹´(5.5)2 | = 0.9503646919 < 1 PROGRAMA DE GEOGEBRA Mediante el programa GeoGebra determinamos la raíz aproximada.
  5. 5. La raíz aproximada 𝑅∗ = 4.749571314 PROGRAMA EXCEL PROGRAMA MAPLE 18
  6. 6. EJERCICIO 6: Aplicando el método de Newton encontrar el cero de la función 𝐹( 𝑥) = −𝑙𝑛𝑥 2 + 𝑒−𝑥 − 1 5 Más próximo al valor 𝑥0 = 1.5 hasta lograr 4 cifras significativas exactas de precisión. SOLUCIÓN DATOS: Función que da origen a la ecuación 𝐹( 𝑥) = −𝑙𝑛𝑥 2 + 𝑒−𝑥 − 1 5 Raíz en la cero iteración 𝒙 𝟎 = 𝟏. 𝟓 Número de cifras significativas 𝐧 = 𝟒 Error prefijado 𝐸𝑃 = 0.5 ∗ 102−𝑛 = 0.005 Derivada de la función 𝑭´( 𝒙) = (−𝟐𝒙 𝒆−𝒙 − 𝟏) 𝟐𝒙 Segunda derivada de la función 𝑭"(𝒙) = (𝟐𝒙²𝒆−𝒙 + 𝟏) 𝟐𝒙 𝟐 Controlador | 𝐹(1.5)∗𝐹"(1.5) 𝐹´(1.5)2 | = 0.2583107885 < 1 PROGRAMA DE GEOGEBRA
  7. 7. Mediante el programa GeoGebra determinamos la raíz aproximada. La raíz aproximada 𝑅∗ = 1.2140656367 PROGRAMA EXCEL PROGRAMA MAPLE 18
  8. 8. EJERCICIO 7: Utilizando el método de la Bisección para la solución aproximada de raíces, hallar la solución aproximada para la ecuación 1 2 − 𝑒−𝑥 = 0 en el intervalo [0.5,1] con una exactitud de 4 dígitos significativos exactos. SOLUCIÓN DATOS: Función que da origen a la ecuación 1 2 − 𝑒−𝑥 = 0 Intervalo para realizar el proceso iterativo [0.5,1] Número de cifras significativas 𝑛 = 4 Error prefijado 𝐸𝑃 = 0.5 ∗ 102−𝑛 = 0.005 PROGRAMA DE GEOGEBRA Mediante el programa GeoGebra determinamos la raíz aproximada y el intervalo [𝐴0, 𝐵0]
  9. 9. La raíz aproximada 𝑅∗ = 1.076925048 El intervalo para realizar el proceso iterativo [0.5,1] PROGRAMA EXCEL
  10. 10. La raíz buscada de la ecuación con 4 cifras significativas 𝑟∗ = 0.6931 PROGRAMA MAPLE 18
  11. 11. EJERCICIO 11: La función 𝑭(𝒙) = 𝒍𝒏(𝒙² + 𝟏) − 𝒆 𝒙 𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝝅 𝒙) Tiene una cantidad infinita de raíces. a) Se quiere emplear el método de Bisección para encontrar una solución aproximada de la primera raíz de la ecuación 𝑓(𝑥) = 0 en el intervalo [0.1,1], para alcanzar una precisión de 7 cifras significativas exactas. ¿Cuántas iteraciones son suficientes realizar?. SOLUCIÓN DATOS: Función que da origen a la ecuación 𝑭(𝒙) = 𝒍𝒏(𝒙² + 𝟏) − 𝒆 𝒙 𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝝅 𝒙) Intervalo para realizar el proceso iterativo [0.1,1] Número de cifras significativas 𝑛 = 7 Error prefijado 𝐸𝑃 = 0.5 ∗ 102−𝑛 = 0.000005 PROGRAMA DE GEOGEBRA Mediante el programa GeoGebra determinamos la raíz aproximada y el intervalo [𝐴0, 𝐵0]
  12. 12. La raíz aproximada 𝑅∗ = 0.4525310704 El intervalo para realizar el proceso iterativo [0.1,1]
  13. 13. PROGRAMA EXCEL La raíz buscada de la ecuación con 7 cifras significativas 𝑟∗ = 0.45253107 PROGRAMA MAPLE 18
  14. 14. b) Aproximar mediante el método de Newton-Raphson la raíz de 𝑓(𝑥) = 0 tomando como valor inicial 𝑥0 = 0.6 con una exactitud de 0.5 ∗ 10−3 SOLUCIÓN DATOS: Función que da origen a la ecuación 𝑭(𝒙) = 𝒍𝒏(𝒙² + 𝟏) − 𝒆 𝒙 𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝝅 𝒙) Raíz en la cero iteración 𝒙 𝟎 = 𝟎. 𝟔 Error prefijado 𝐸𝑃 = 0.5 ∗ 10−3 = 0.0005 Derivada de la función 𝐹´(𝑥) = (−ℯ^(1 / 2 𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝜋 𝑥) + 2𝜋 ℯ^(1 / 2 𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝜋 𝑥) − 𝑥² ℯ^(1 / 2 𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝜋 𝑥) + 2𝜋 𝑥² ℯ^(1 / 2 𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝜋 𝑥) + 4𝑥) / (2𝑥² + 2)
  15. 15. Segunda derivada de la función 𝐹"(𝑥) = (−8𝑥² − ℯ^(1 / 2 𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝜋 𝑥) + 4𝜋 ℯ^(1 / 2 𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝜋 𝑥) + 4𝜋² ℯ^(1 / 2 𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝜋 𝑥) − 2𝑥² ℯ^(1 / 2 𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝜋 𝑥) − 𝑥⁴ ℯ^(1 / 2 𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝜋 𝑥) + 8𝜋 𝑥² ℯ^(1 / 2 𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝜋 𝑥) + 4𝜋 𝑥⁴ ℯ^(1 / 2 𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝜋 𝑥) + 8𝜋² 𝑥² ℯ^(1 / 2 𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝜋 𝑥) + 4𝜋² 𝑥⁴ ℯ^(1 / 2 𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝜋 𝑥) + 8) / (4𝑥⁴ + 8𝑥² + 4) Controlador | 𝐹(0.6)∗𝐹"(0.6) (𝐹´(0.6)2 | = 0.019665582 < 1 PROGRAMA DE GEOGEBRA Mediante el programa GeoGebra determinamos la raíz aproximada. La raíz aproximada 𝑅∗ = 0.4525310704
  16. 16. PROGRAMA EXCEL PROGRAMA MAPLE

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