Ronald camacho C.I 24567505

736 views

Published on

Trabajo de conjuntos binarios

Published in: Education
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
736
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
15
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Ronald camacho C.I 24567505

  1. 1. Sea R una relación binaria R en A, (A ). Definición:Diremos que R es reflexiva si a A, a R a Ejemplo: 1) En N la relación R definida por: “x R y x divide a y” es reflexiva ya que x N, x R x porque x divide a x 2) En N la relación R definida por: “a R b a es el doble de b”. no es reflexiva ya que (1, 1) R puesto que 1 no es el doble de 1
  2. 2. Representación Cartesiana A Si la relación R es reflexiva entonces la diagonal pertenece a la relación. ARepresentación Sagital: Si la relación R es reflexiva entonces A todo elemento tiene una flecha que comienza y termina en sí mismo (un bucle).
  3. 3. Definición: Diremos que R es simétrica si a, b A: a R b bRa Ejemplo:1) En Z la relación R definida por: “a R b a – b es múltiplo de 2”. es simétrica ya que si a R b hay p Z tal que a – b = 2p b – a = 2(-p) con -p Z bRa2) En N la relación R definida por: “x R y x divide a y” no es simétrica ya que 2 R 4 porque 2 divide a 4 pero 4 no divide a 2 por lo tanto (4,2) R
  4. 4. Representación Cartesiana A Si la relación R es simétrica sobre A entonces los pares relacionados se reflejan respecto a la diagonal principal. ARepresentación Sagital: Si la relación R es simétrica entonces todo par de elementos que tiene una flecha A la tiene en las dos direcciones
  5. 5. Definición:Diremos que R es antisimétrica si a, b A: [a R b b R a] a=bOtra manera de expresarlo: Si a b [ (a,b) R (b,a) R] Ejemplo:1) En N la relación R definida por: “x R y x divide a y” es antisimétricaYa que si a R b y b R a entonces existen n, m N tales que:b = an y a = bm. Combinándolas, a = bm = (a.n).m n.m = 1n=m=1 a = b.2) En Z la relación R definida por: “a R b a – b es múltiplo de 2”. no es antisimétrica ya que 2R4 y 4R2, pero 2 4
  6. 6. Representación Cartesiana ASi la relación R es antisimétricapueden existir pares por encima o pordebajo de la diagonal pero ningún partiene reflejo respecto a la diagonalprincipal excepto la diagonal misma. ARepresentación Sagital: La relación R es antisimétrica si para cada par de elementos distintos A relacionados la flecha está solo en un sentido
  7. 7. Definición:Diremos que R es transitiva si a, b, c A: [a R b b R c] aRcEjemplo:1) En N la relación R definida por: “x R y x divide a y”es transitiva ya que si a R b y b R c entonces existen n, m N tales que:b = an y c = bm. Combinándolas, c = bm = (a.n).m= a(n.m) con n.m N b R c.2) En N la relación R definida por: “a R b a es el doble de b”.no es transitiva ya que (4, 2) R y (2, 1) R puesto que 4 es el doble de 2y 2 es el doble de 1, sin embargo 4 no es el doble de 1, de donde (4,1) R
  8. 8. Representación Sagital: La relación R es transitiva si cada vez que hay un camino entre tres elementos, también está la flecha que comienza en el principio del camino y va al elemento que es final del camino. A
  9. 9. Completa la siguiente tabla:Propiedad Se satisface sii No se satisface sii RReflexiva a A aRaSimétrica a, b A: aRb bRaAntisimétrica a, b A: [a R b b R a] a=bTransitiva a, b, c A: [a R b b R c] aRc
  10. 10. Verifique:Propiedad Se satisface sii No se satisface sii RReflexiva a A aRa a A (a,a) RSimétrica a, b A: a, b A: aRb bRa (a, b) R (b, a) RAntisimétrica a, b A: a, b A: [a R b b R a] a=b (a, b) R (b, a) R a bTransitiva a, b, c A: a, b, c A: [a R b b R c] aRc (a, b) R (b, c) R (a, c) R
  11. 11. Relaciones reflexivasContemos la cantidad de relaciones reflexivas en A, con A =nTenemos n pares de la forma (ai,ai); como AxA =n2, nos quedan n2-n parescon componentes distintas. Tenemos la opción de incluirlos o no......por lo tantohay 2 2n n relaciones reflexivas en ARelaciones simétricas n2 n (ai , a j ), (a j , ai ), j i, ai , a j ATenemos subconjuntos de la forma 2y n subconjuntos de la forma (ai , ai ), ai ATenemos la opción de incluirlos o no......por lo tanto hay 2 n n 2n2 2 relaciones simétricas en A y.... 2 n n 2 2 relaciones reflexivas y simétricas en A.
  12. 12. Relaciones antisimétricas n2 n (ai , a j ), (a j , ai ), j i, ai , a j ATenemos subconjuntos de la forma 2 y n subconjuntos de la forma (ai , ai ), ai ATenemos la opción de incluirlos o no cada par de la forma (ai,ai) y conrespecto a los pares (ai,aj), tenemos tres opciones: (1) incluir (ai,aj) (2) Incluir (aj,ai) y (3) no incluir niguno de los dos.Por lo tanto, hay n2 n 2n3 2 relaciones antisimétricas en A..
  13. 13. Relación de equivalenciaDiremos que una relación binaria sobre A, es una relación de equivalenciasi satisface las tres propiedades: R es reflexiva R es simétrica R es transitivaEjemplos:1) En Z la relación R definida por: a R b a – b es múltiplo de 3.2) Dado un conjunto D U, la relación: ARB A D=B DDemuestra que estas son relaciones de equivalencia
  14. 14. Relación de ordenDiremos que una relación binaria sobre A, es una relación de orden parcialsi satisface las tres propiedades: R es reflexiva R es antisimétrica R es transitivaEn este caso diremos que el conjunto A está parcialmente ordenado Ejemplos:1) En D60 , el conjunto de todos los divisores de 60, la relación R definida por: a R b a divide a b.2) En R, la relación definida por a R b a b.Demuestra que estas son relaciones de orden.
  15. 15. Relación de ordenDiremos que una relación binaria R sobre A, es una relación de orden totalsi es una relación de orden parcial y además se satisface que: a, b A: [a R b b R a]En este caso diremos que el conjunto A está totalmente ordenado Ejercicio:1) En las relaciones anteriores decida cuáles son de orden parcial o de orden total2) Para pensar: Considere la relación en R2, definida por por: (x,y) R (a,b) x a y b.

×