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Repaso matrices

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ANEXO ECO1 - REPASO DE MATRICES DEL CURSO ECONOMETRIA 1

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  • una sugerencia lic. no seria bueno poner también algunas propiedades de matriz adjunta, y otra consulta como puedo solucionar un modelo econometrico con problemas de heteroscedasticidad con variables dumis en la variable regrosora? plis una ayudita le estare muy agrecido. atte Jhonny zegarra.
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Repaso matrices

  1. 1. Apuntes de Econometría EMI – Ingeniería ComercialREPASO DE MATRICESMediante el uso del álgebra matricial, los resultados fundamentales en econometría sepresentan de manera compacta y clara.Una matriz es una colección de números ordenados rectangularmente, ⎡ a11 a12 ... a1k ⎤ ⎢a a 22 ... a 2 k ⎥ A = [aik ] = [A]ik = ⎢ 21 ⎥ ⎢ ... ... ... ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎣a n1 an2 ... a nk ⎦Un vector es un conjunto ordenado de números dispuestos en una fila o en una columna.Una matriz puede ser también interpretada como un conjunto de vectores columna. Ladimensión de una matriz indica el número de filas y el número de columnas que contiene: “Aes una matriz nxk”, que indica que A tiene n filas y k columnas. Si n es igual a k, entonces Aes una matriz cuadrada.Una matriz simétrica A, es aquella en la cual aik = aki , para todo i.Una matriz diagonal, es una matriz cuadrada cuyos únicos elementos distintos de cero,aparecen en su diagonal principal.Una matriz escalar es una matriz diagonal, con el mismo valor en todos los elementos de ladiagonal.Una matriz identidad es una matriz escalar con unos en la diagonal.Una matriz triangular es aquella que contiene ceros encima, o bien debajo de la diagonalprincipal.1. OPERACIONES CON MATRICES.-Igualdad: A = B ⇔ aik = bik ∀ikTranspuesta: B = A ⇔ bik = aki ∀ik A = ( A )Suma: C = A ± B = [aik + bik ] Conmutativa: A + B = B + A ( A + B) = A+ B Asociativa: ( A + B) + C = A + ( B + C ) 1
  2. 2. Apuntes de Econometría EMI – Ingeniería ComercialProducto: De dos vectores es un escalar. C = AB ⇔ Ank BkT ⇒ CnT AB ≠ BA No es conmutativa ( AB)C = A( BC ) Asociativa A( B + C ) = AB + AC Distributiva ( AB) = B A Transpuesta.2. SUMA DE ELEMENTOS:i matriz escalar de “1”. ∑x i = x1 + x2 + ... + xn = iXSi xi = a : = i (ai ) = a(i i) = na ∑ ax i = ai XSi a = 1 n : = 1 n ∑ xi = 1 n i X = x ∑x i = i X = nxSuma de cuadrados de los elementos de un vector: 2 ∑x i = x xSuma de los productos de los vectores X e Y: ∑x y i i = x yMatriz idempotente.-Es la que se emplea para transformar datos en desviaciones de la media. 1 1 1 ix = x = i i x = ii x donde 1 n ii es nxn con cada elemento 1 n n n nEntonces, [ x − ix ] = [ x − 1 n ii x] y puesto que x = Ix = [ Ix − 1 n ii x] = [ I − 1 n ii ]x = M o xTodos los elementos de la diagonal de Mº son 1 − 1 n y los demás son − 1 n.Suma de desviaciones respecto a la media: ∑(x i − x ) = i[M º x] = 0 x = 0Suma de desviaciones al cuadrado: 2
  3. 3. Apuntes de Econometría EMI – Ingeniería Comercial ∑(x i − x ) 2 = ( x − ix ) ( x − ix ) = (M º x) (M º x) = x M º M º x = x M º xDado que Mº es una matriz idempotente.Suma de cuadrados y productos cruzados de desviaciones respecto a las medias: ∑( x − x )( y − y) = (M º x)(M º y) i iPero si Z = [ xy ] ⇒ M º zProducto escalar: un escalar múltiplo de un vector “a” es otro vector “a” cuyas coordenadasson el múltiplo escalar de las coordenadas de “a”. Cualquier escalar múltiplo de a es unsegmento de esta línea.Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si cualquiera de los vectores en elconjunto puede ser escrito como una combinación lineal de los otros.Un conjunto de vectores es linealmente independiente si y solo si, la única solución a laecuación x1a1 + x2 a2 + ... + xk ak = 0 es: x1 = x2 = ... = xk = 0El rango columna de una matriz es la dimensión del vector espacio generados por sus columnas: Rango de una Matriz: r ( A) = r ( A ) ≤ min( N º filas , N º columnas ) Para cualquier matriz, r ( A) = r ( AA ) = r ( A A)Dos vectores a y b son ortogonales, si a b = b a = 0 “a ⊥b”Un sistema de ecuaciones es homogéneo si adopta la forma Ax=0.Un sistema de ecuaciones es No Homogéneo si Ax=b. Donde b es un vector no nulo y A debetener rango completo.Una matriz cuya inversa existe es No singular.La traza de una matriz cuadrada kxk es la suma de los elementos de la diagonal principal.Todas las matrices simétricas idempotentes, excepto I, son singulares. 3

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