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Bertrand Russell

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Bertrand Russell

  1. 1. Bertrand Russell(Trellech, 1872 – Penrhyndeudraeth, 1970)
  2. 2. « Il problema dellumanità è chegli sciocchi e i fanatici sonoestremamente sicuri di lorostessi, mentre le persone piùsagge sono piene di dubbi. »
  3. 3. Uno dei tratti caratterizzanti laseconda rivoluzione scientifica èl’indagine sui fondamenti dellamatematica, indagine che ha neltedesco Frege e nel britannicoRussell i massimi esponenti.
  4. 4. Russell Frege
  5. 5. Per Frege tutti i concetti aritmeticisono definibili da un punto di vistalogico, in termini di classi o insiemi.La logica viene quindi vista come labase della matematica.
  6. 6. Il logicismo viene però messoin crisi da Bertrand Russell chedetermina la cosiddetta crisi deifondamenti della matematica.
  7. 7. Nello sviluppo del pensiero diRussell fondamentale è l’incontrocon Peano, autore di un sistema dinotazione simbolica ancor oggi inuso, che ha mostrato la possibilità diridurre algebra e aritmetica classichea pochi fondamentali principi.
  8. 8. Peano
  9. 9. Secondo Peano aritmetica e algebrapossono essere derivate da cinqueenunciati fondamentali e da tre ideeprimitive.
  10. 10. Idee primitive Enunciati fondamentali Zero è un numero Il successore di ogni numero è un numero Non esistono due Zero numeri con lo stesso successore Zero non è il successore Numero di alcun numero Ogni proprietà di cui gode lo zero e il successore di ciascunSuccessore numero che gode di queste proprietà, appartiene a tutti i numeri
  11. 11. Alla luce delle ricerche di Peano,Russell tenta di dimostrare chequalsiasi asserzione sui numerinaturali è sostituibile da un’altraasserzione che non nomina numerinaturali ma classi.
  12. 12. In questo suo tentativo Russellfinisce per incontrare lariflessione di Frege che avevadefinito i numeri naturali comeclasse di classi, per cui il numero2 altro non sarebbe che la classedi tutte le coppie.
  13. 13. Proprio sull’ipotesi fregeanadi classe Russell, che pureconcorda con molte delle tesidel logico tedesco, si imbattein un’antinomia.
  14. 14. Esistono classi,osserva Russell, chenon contengono sestesse come elementoe classi invece checontengono se stesse.Le prime possonodefinirsi irregolari, leseconde regolari.
  15. 15. Siamo di fronte alfamoso paradosso delbarbiere o, è la stessacosa, al più anticoparadosso del mentitore.
  16. 16. “ In un villaggio c’è un solo barbiereche rade tutti, e soltanto, gli uominiche non si radono da soli. Chi rade ilbarbiere?”
  17. 17. Il barbiere rade se stesso, ma ciònon è possibile poiché il barbiererade solo quelli che non si radono dasoli.
  18. 18. Il barbiere non rade se stesso, maciò non è possibile poiché il barbiererade tutti quelli che non si radono dasé e quindi dovrebbe radere anchese stesso.
  19. 19. Comunque si affronti la questione ci sitrova di fronte ad una contraddizione.Il problema è identico nel paradossodel mentitore: “Epimenide cretesedice che tutti i cretesi mentono”.Non è difficile realizzare che seEpimenide dice il vero mente, eviceversa se mente dice la verità.
  20. 20. Detto in altri termini:la classe A di tutte e soloquelle classi che non sonoelemento di se stesse(ovvero la classe di tutte leclassi regolari) è una classeregolare o irregolare?Ovvero appartiene o meno ase stessa?
  21. 21. Se la classe A non appartiene a sestessa deve necessariamenteappartenervi in quanto è la classe ditutte le classi che non contengono sestesse. Se A appartiene invece a se tessa, allora non può assolutamente appartenervi, in quanto è la classe che comprende solo le classi che non hanno se stesse come elemento. Quindi appartiene a se stessa solo se non appartiene a se stessa.
  22. 22. Comunque si voglia girare laquestione ci troviamo di fronte adun’evidente contraddizione (comecomprese subito Frege che cambiò ladirezione dei suoi studi).Tuttavia Russell ritiene sia possibiletrovare una soluzione logicamentevalida.
  23. 23. Insieme a Whitehead,Russell propone lacosiddetta teoria dei tipi,partendo dal presuppostoche si possa costruire unsistema esente dacontraddizioni eliminandole classi che comprendonose stesse come elementi.
  24. 24. Whitehead
  25. 25. Questa teoria prevede che vi siano vari tipi di oggetti Individui Oggetti di tipo 0 Classi di oggetti di tipo 0 Oggetti di tipo 1 Classi di oggetti di tipo 1 Oggetti di tipo 2Classi di oggetti di tipo n-1 Oggetti di tipo n
  26. 26. Gli studenti, per esempio, essendoindividui sono elementi di tipo 0.La classe scolastica è un oggetto ditipo 1, in quanto costituita dielementi di tipo 0.La scuola è un oggetto di tipo 2, inquanto comprende elementi di tipo1.
  27. 27. Infatti, per continuare con l’esempio, un insiemedi studenti non è uno studente; un insieme diclassi non è una classe; un insieme di scuolenon è una scuola.
  28. 28. RussellLa regola può anche essere espressa così:un oggetto di tipo n è compostoesclusivamente di elementi di tipo n-1 equindi non può contenere se stesso.In tal modo l’antinomia sarebbe eliminata.
  29. 29. Sulla base della teoria dei tipi, Russell eWhitehead ritengono di poter riprendere ilprogetto logicista.In realtà il problema resta aperto, perchése da un lato vengono introdotti nuoviprincipi logici, come l’assioma dell’infinitoche tuttavia rinvia a elementi extralogici,dall’altro non si può escludere la comparsadi nuove antinomie.Spetterà a Kurt Godel suggerire nuovesoluzioni, che tuttavia sembranoridimensionare in via definitiva lepretese di autoconsistenza deisistemi formalizzati.
  30. 30. Pietro Volpones - 2011

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