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Algebra linear boldrini

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Algebra linear

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Algebra linear boldrini

  1. 1. -"—'= '-'“ — —' ~jfi— 1.2%-¢——'*—— f‘ - I ‘ ' 31:. __‘; "*x: i‘. L~1*; .'z. - “- x LDRINI/ COSTA _ UEIREDO/ WETZLER
  2. 2. U Illllllllillllllllllllll ” 241600 "H ALGEBRA LINEAR 3.‘ edicéo ampliada e revista CIP-Brasil. Catalogagao-na-Fonte Cémara Brasileira do Uvro, SP Algebra linear / José Luiz Boldrini [et al. ]. — 3. ed. # _ A383 S50 Paulo : Harper & Row do Brasil, 1980. LU| z 3'°d' Biblivsrafim SUELI | ._RODRIGUES COSTA 1. Algebra linear I. Boldxini, Jose’ Luis. HENRY G. WETZLEH Depto. do Matemética da 17. CDD—S12.897 Universidade Estadual de Campinas — UNICAMP 80-0969 18. -512.5 fndices para catflogo sistemélico: 1. Algebra linear 512.897 (17.) 512.5 (18,) A > —)”l/ V _ Biblioteca HI edltora HA RB RA Itda. °‘°"°‘a 5 T-= r-cg-’a U F Pel
  3. 3. Estante 512.5 IA394 / 3.50. Obra 51280 C, Tegngj, Ragistro 0102454 Ree lllllll lllllllllllllllllflllll Diregdn Geral: Julio E. Emiid Su]1en= i,'dn Edilnrial. ‘ Maria Pia Casliglia Coordenagfio Editorial: Maria Elizabeth Santa Comporicfio 2 Arm: AM Produqées Gnificas Ltda. ‘ Fl7I(Il1l(). Y.' Ferrari Studio e Anes Gréficas Lida. Capa: Maria Paula Santo lmprei-m'o e A<'ubamenrn. - Donnellcy Cochrane Grafica Editora do Brasil Ltda. Fotografin (la Capa: Néstor E. Massa A fotngrafia da capa ilustra a sengao 5.5. Para obté-la, utilizou-se o laser de argonio do Depart. -imento de Eletrénica Qufintica do Instiluto de Fisica da UNICAMP-SP. ALGEBRA LINEAR — 3! ediqio Copyright © I986 por editor: HARBRA ltdn. Copyright © I984. I980, 1978 por Editora Harper & Row do Brasil Ltda. Rua Joaquim Tavern. 629 — Vila Mariana — 04015-001 — S50 Paulo — SP Promopfio: (011) 5084-2482 e 571-1122. Fax: (01 I) 575-6876 Vendarz (011) 5492244 e 571-0276. Fax: (011)571-9777 Reservados todos os direims. E renninantemenle proibido reproduzir esta obra, total on parcialmentc, por quaisquer meios, sem a permissao exprcssa dus edirores. Impresw no Bmsil Printed in Brazil CONTEUDO Prefa'cio ti terceira edipdo CAl’l'l'ULO 1 MATRIZES 1 1.1 Introdugio 1 1.2 Tipos especiais de matrizes 3 1.3 Operagfies com matrizes 5 1.4 Exerctcios 11 *1.5 Processos aleatoriosz cadeias dc Markov 14 *1.6 Exercfcios 26 1.7 Respostas 28 CAPITULO 2 SISTEMAS DE EQUACOES LINEARES 29 2.1 Introdugao 29 2.2 Sistemas e matrizes 33 2.3 Operaoées elementares 35 2,4 Fonna escada 37 2.5 Solugoes de um sistema de equaqfies lineares 41 2,6 Exercicios 49 2.7 Demonstragoes 60 CAPITULO 3 DETERMINANTE E MATRIZ INVERSA 64 3.1 Introdugzio 64 3.2 Conceitos preliminares 65 3,3 Determinante 66 3.4 ‘ Desenvolvimento de Laplace 69 3.5 Matriz adjunta — matriz inversa 72 3.6 Regra de Ctamer 77 3.7 Calculo do posto de uma matriz através dc detenninantes 80 *3.8 Matrizes elementares Um processo dc inversio de matrizes 82 *3.9 Procedimento para a inversio de matrizes 86 3.10 Exercrcios 90
  4. 4. carrruno 4 I-: s1>A(; o verormu. 97 4. 1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 Vetore: no piano e no espaqo 97 Espaoos vetoriais 103 Subespagos vetoriais 105 Oombimcio linear 112 Dependéncia e independéncia linear 114 Base de um espago vetorial I16 Mudanga do bae 123 Exercfcioe 129 Resposus 135 CAPITUID 5 TRANSFORMACOES LINEARES 142 5.1 5.2 5.3 5.4 ‘ 5.5 5.6 Introduqio 142 Trarlsfonnnqflcs do plano no piano 147 Conceitos e teoremas 150 Aplicagoes linear-es e matrizes 157 Apllcngfies in optic: 167 Exercfcios 171 CAP1'I'U1.0 6 AUTOVALORES E AUIDVETORES 178 6.1 6.2 6.3 Introdugio 178 Polinbmio cancterfstieo 185 Exercfcios 194 CAPITULD 7 DIAGONAIJZACKO DE OPERADORES 199 7.1 7.2 *73 7.4 7.5 Base de autovetores 199 Polinémio minimal 206 Diag0na. liza§§'0 sirnultanea de dois operadores 210 Forma de Jordan 211 Exerercios 213 CAPfl"Ul.0 8 PRODUTO INT ERNO 219 8.1 8.2 83 8.4 8.5 8.6 8.7 ’ 8.8 8.9 Introduqio 219 Coeticlentes de Fourier 225 Norma 226 Processo de onogonalizagio de Gram-Schrrridt 230 Complemento urtogonal 234 Fspagos vetoriais complexes — produto intemo 235 Produto interno e estntfstica 236 O ajuste de curves e o metodo dos mrnimos quadrados 239 Exercfcios 247 CAPITULD 9 TIPOS ESPECIAIS DE OPERADORES LINEARES 253 9.1 9.2 9.3 9 .4 1.ntrndu¢; io 253 Operadores auto-adjuntos e orlogonais 258 Dlagonalizaqio de operadores auto-adjuntos e carmcterizas, -io dos operadores orlogomi: 261 Exercfcios 264 CAPITULO 10 FORMAS LINEARES, BILINEARES E QUADRATICAS 269 10.1 Formas lineates 269 10.2 Forum bilineares 270 10.3 Matriz de uma for-ma bilinear 272 10.4 Forms bilinear simétrica 274 10.5 Forrnas quadrfiticas 274 10.6 Diagonalizagio da for-ma quadrfitica 277 10.7 Exerctcios 278 cA1>1‘rUI. o 11 cLAssI1=rcAcAo DE CONICAS 12 QUADRICAS 285 11.1 lntmdugio 285 11.2 Retas no plane 287
  5. 5. 113 Pianos no espago 288 11.4 Cénicas no plane 289 11.5 Quédricas em R3 298 11.6 Exercicios 305 ‘ 11.7 Propriedades geoméuicas das cénicas 308 cAr>r“rUr. o 12 R1-: soLu(; Ao DE srsrrsmrs or: EQUACOES DIFERENCIAIS LINEARES 315 12.1 Introduqio 316 12.2 Equagoes diferenclais 317 12.3 Resolugao de sistemas de rr equagoes Iineares homogéneas de 1? ordem e coeticientes constantes 327 12.4 Exercfcios 346 CAP1'1' U11) 13 PROCESSOS FFERATIVOS E KLGEBRA LINEAR 332 13.1 Introduqio 332 13.2 Seqiiéncias de matrizes 333 133 Resolugio de sislemas Iineares — processo iterative 337 13.4 Método de Jacobi 344 13.5 Processo de Gauss-Seidel 345 13.6 Estimativa de erro 345 13.7 Exercfcios 348 CAPITULO 14 CONJUNTOS CONVEXOS E PROGRAMACKO LINEAR 31) 14.1 lntrodugio 350 14.2 Conjuntos convexos 351 14.3 Introduqio .31 programaqio linear (PL) 362 ’l4.4 Exercfcios 371 14.5 Método simplex "374 14.6 Exercfcios 398 14.7 Respostas 402 Bibliografia gem! 406 Iridice remissivo 407 r3REr/ ircro _ A TERCEIRA EDICAO Este livro teve como origem o texto de um eurso de Algebra Linear, oferecido para alunos de Engcnharia, Fisica, Matematica, Estat isiica e Computa(; ‘a‘o da Universidade Estadual de Campinas. 0 programa foi estabelecido tendo em vista que seria o fmico curso de Algebra Linear que a maioria dos alunos receberia. For isso. procuramos englobar os assuntos que seriam irrdispenséveis aos cursos que estes alunos seguissem posterionnente. Ele foi ministrado numa disciplina de segundo semestre que é seqiiéncia de um curso, também semestral, de Geometria Analitica. Os pré—requisitos para a leitura deste texto sio os topicos de Matemética, normalmente vistos ate 0 curse Colegial. A partir destes, introduzimos e desenvolvemos razoavelmente os conoeitos bésicos de Algebra 1.1'near, procurando sempre indicar aos alunos as fontes as quais cles podem recorrer para aprofundar seus conhecirnentos. Alunos que cursarn pela primeira vez esta discipline. freqiientemente julgam-na muito abstrata e nfio véem como podem utilizar os conceitos bésicos. E, nonnalmeme, muitos cursos tenninam sem que se mostre aos alunos uma aplicagio concreta de tudo o que aprenderam. Procuramos, entio, dar aos tépicos uma abordagem com dois objetivos: 1. Conseguir uma exposigao da matéria, de ta] forma que a énfase seja oolocada no use dos conceitos. Neste sentido, optamos por uma exposigfio em que estes sejam introduzidos, na medida do possivel, dentro de um contexto onde surja a neoessidade de sua apresentagao. Algumas demonstragées sac propostas na forma de exercicios, o que permite uma maior fluéncia do texto e possibilita ao aluno desenvolvé-Ias dentro do seu raciocinio légico. 2. Encaminhar os conceitos para a solugfio de problemas nos quais os alunos jé teriham sentido dificuldade. Desta forma, e’ conveniente fixar qualquer um dos cap itulos (Cap. 1 1 : Classrflazprio de Cénicas e Quddricas; Cap. 12: Resolugrio de Sistemas de Equapfies D1ferencr'a1's; Cap. 13: Processes Iterarivos; Cap. 14: Carrfuntos Canvexos eProgramapa"0 Linear), como chave, on seja, um capitulo que englobe os diversos conceitos apresentados no livro. Na busca das solugfies para os problemas que colocanros nestes capitulos recorremos a maioria dos conceitos incorporados em um curso tradicional de Algebra Linear (nogoes de espago vetorial, autovalores e autovetores, diagonalizaqio de operadores), de modo que os alunos possam perceber a inter-relagio entre eles e a aplicag-an conjunta dos mesmos.
  6. 6. Dentro desta perspectiva, poderiarnos sugerir algumas seqiléncias para o desenvolvimento de um curso de Algebra Linear: 1. Capitulos 1 all; 2. Capitulus 1 a8e l2; 3. Capitulos I 2: 8e 13; 4. Capitulos la 8 e 14. Uma ourra sugestio é a de que o contefido deste livro seja desenvolvido, como jé vem sendo feito, em disciplinas que integrem os tradicionais cursos dc Célculo, Algebra Linear e Equagoes Diferenciais. Quanto aos aspectos didalticos, gostariamos de ressaltar que os exercicios séo importames inclusive como extensio de cada capltulo. 0 contcfido {oi elaborado de mode a se enquadrar em diversos programas, podendo-se delxar de estudar as segbes assinaladas com asterisco sem prejuizo do entendimento dos tépicos abordados. Por exemplo, segues coma Cadeia de Markov (segio 1.5) e Ajuste de Cfirrvas (8.8), que S50 tépicos especiais, podem ou nio ser lncluldas de acordo com o interesse de cada aluno, grupo ou classe. Nesta teroeira edipio, a antiga segxo 4.9 foi ampliada e transforrnada no atual Capitulo 14: Conjuntos Convexos e Programaqio Linear. A relativa simplicidade deste assunto e seu grande mimero de aplicagées préticas S50 responséveis por sua difuszo e interesse nos filtimos anus. Anexamos a esle nova capitulo uma segio dc autoria do Prof. Antonio Carlos More tti, que descreve 0 algoritmo do método simplex para programagio linear e indica as etapas para a programaefio por microcomputadores deste método. A nossa experiéncia, assim como a de outros professores, tem mostrado que o nficleo de um curso introdutoxio de Algebra Linear e, portanto, o deste livro, corresponde a matéria exposts nos Capitulos de 1 a 8, podendo ser excluldas as segfies 7.2 a 7.4, dependendo dos objetivos a atingir. Recomendamos especial ateneio aos capitulos introdutbrios, principalmente ao que trata de Sistemas Lineares, e que fomecerio a base técnica indjspensével para a boa compreensio dos demais capitulos, além de conterem em si métodos fundnrnentais aplicéveis amuitas situagées. Acreditamos que as se§6es e capitulos alternatives permitam opgfies para trabalhar com os canceilos de Algebra Linear em diferentes fireas. Queremos agradecer a todas as pessoas que lemn e utilizaram o livro, enviando sugestoes, e de modo especial aos professores Antonio Carlos Gilli Martins e I050 Frederico C. A. Meyer. Os Autores MATRIZES 1.1 INTRODUC/10 Nesta segio, apresentamos os conceitos bfisicos sobrc matrlzes. Estes conceitos aparecem naturalmente na resolugio de muitos tipos de problemas e sic essen- ciais, nio apenas porque eles “ordenam e simplificam” 0 problem, mas tam- bém porque fornecem novos métodos de resoluqior Chamamos de mam’: uma tabela de elementos dispostcs em linhas e co- lunas. For exemplo, ao recolhermos os dados references a altura, peso e idade de um grupo de quatro pessoas, podemos dispé-los na tabela: Almra (m) Peso (kg) Idade (arm) 1,70 1,75 1,60 1,81
  7. 7. 2 ALGEBRA LINEAR Ac abstrairmos os sigrlificados das linhas e colunas, temos a matriz: 1,70 70 23 1,75 60 45 1,60 52 25 1,81 72 30 Observe que em um problems em que o nfimero de variaveis e de observagfies é muito grands, essa disposigao ordenada dos dados em fomra de matriz torna-se abso- lutamente indispensével. Outros exemplos de matrizes sac: 2x -1 2 3 [3 o 1] [1] O x Os elementos de uma matriz podem ser mlmeros (real: on complexes). funqbes, ou ainda outras matrizes. Representaremos uma matriz de m linhas e n colunas por: an ‘In "In I121 022 flzn Amxn = ; 3 ; = 191'/ ‘lmxn 11,, “ am; am” Usaremos sempre leuas mailisculas para denotar matrizes, e quando quisermos especificar a ordem de uma matriz A (isto 6, 0 mimero de linhas e colunas), escreveremos A, ,,x, ,. Também sac utiliudas outras notaqfies para matriz, ale’m de colchetes, como parénteses ou duas barras. Por exemplo: 2 -1 e 2 -1 0 4 0 4 N50 obstame, neste livro as matrizes aparecerao sempre entre colchetes. Para localizar um elemento de uma matriz, rlizemos a linha e a coluna (nesta ordem) em que ele esta. Por exemplo, na matriz: 1 0 -4 A”"= [4 -3 2] 0 elements que esté na primeira linha e terceira coluna e -4, isto é, an = -4, Ainda neste exemplo, temos an = 1. an = 0, 112, = 4. an = -3 e 4,, = 2. Man-izes3 1.1.1 Definipfio: Duas matrizes A, ,,)(, , = [a, -,-], ,,)(, , e B, x, = lb; ;], x, sao iguais, A = B, s: elas tém o mesmo mimero dc linhas (m = r) e colunas (n = = s), e todos os seus elementos correspondentes sic iguais (4,, = by). E I : xemp 0 3’ 1 log 1 _ 9 sen 90° 0 Z 22 5 - 2 4 5 1.2 TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES Ao trabalhar com matrizes, observamos que existem algumas que, seja pela quantidade de linhas ou colunas, ou ainda, pela natureza de seus elementos, tém propriedades que as diferenciam de uma matriz qualquer. Além disso, estes tipos de matrizes apareoem [requentemenle na pratica e, per isso, recebem no- mes especiais. Consideremos uma matriz com m linhas e n colunas que denotamos por Amxrfi 1.2.1 Matriz Ouadrada é aquela cujo mimero de linhas é igual ao mimero de colunas (m 2 n). Exemplos : 1 -2 0 3 O 1 e [8] 4 5 6 No caso de matrizes quadradas Amxm, costumamos dizer que A e’ uma matriz de ordem m. 1.2.2 Matriz Nula é aquela em que 111; = 0, para todo i e 1‘. Ex emplor : A: ><2=[3 5B3xs= 1.2.3 Matriz-Coluua é aquela que possui uma finica coluna (n = 1). 0 0 0 O00 O00 GOO GOO Exemplos : 1 _; ° [E] Analogamente, temos:
  8. 8. 4 ALGEBM LINEAR 1.2.4 Matriz-Linna é aquela onde m = 1. Exemplar: [3 0 -1] C [0 0] 1.2.5 Matrix Diagonal é uma matriz quadrada (m = n) onde ail. = 0, pm, i ae / , isto é, os elemenlos que nio estio na "d‘1agonal“ sio nulos. Exemplar : CON Or-O ‘"00 OCCU2 OOUDO Ola-‘GO WOOD Um exemplo importante de matriz diagonal vem a seguir. 1.2.6 Matriz ldentidade Oundrada 6 aquela em que a, -1 = 1 e my = 0, para ieé/ . l U 0 la= [0 1 0 e11: (1) (1) 0 0 l Exemplar. - 1.2.7 Mntriz Triangular Superior é uma malriz quadrada onde todos os elernemos abajxo da diagonal sac nulos, isto é, m = n e n, -i = 0, pan; 1' > j_ 2 -10 o -14 e[; b] 0 o 3 ° I < . 1.2.8 Matriz Triangular Inferior é aquela em que m = n 9 M]. = 0, para 1 / . Exemplar: Ex emplos : 2 0 0 0 1 -1 0 0 5 ° ° 1 2 2 0 e 7 0 0 1 0 5 4 2 1 3 Matrlzes 1.2.9 Matrix Simétrica é aquela onde m = n e :11, = a, -,-. Exemplos: 4 3 _1 a b c d 3 2 o e " e f 3 _1 0 5 c f h i d g i k Observe que, no case de uma matriz simétrica, a pane superior é uma “refle- xio" da pane inferior, em relaqio a diagonal. 1.3 OPERACOES COM MATRIZES Ao utilize: matrlzes, surge naturalmente a necessidade de efetuarmos certas ope- raeoes. Por exemplo, consideremos as tabelas, que deserevem a produeio de grios em dois anos consecutivos. Produgfia de grfiar ( em millmrer de taneladns) dumnte 0 primeim ano B’0du§a'0 de gnios (em milhares de toneladar) durante 0 Jegundo mo Se quisermos montax uma tabela que d6 :1 produqio por pmduto e por X98150 nos dois anos conjuntarnente, teiemos que somar os elememos corresponden- tes das duas tabelas ameriores: 5
  9. 9. 6 ALGEBRA LINEAR 3000 200 400 600 5000 50 200 0 8000 250 600 600 700 350 700 100 + 2000 100 300 300 = 2700 450 1000 400 1000 100 500 800 2000 100 600 600 3000 200 1100 1400 On seja: Pmducfio de gnior (em milhares de toneladas) dumnte or dois mos Podemos considerar agora a seguinte situagdo. Existem muitos inceniivos para se incrementar a produgao, condieoes climaticas favoraveis etc. , de tal forma que a previsao para a safra do terceiro ano sera 0 triple da producao do primeiro. Assim, a matnz de estimativa de produqao deste ultimo sera: soja feijio arroz milho 3000 200 400 600 9000 600 1200 1800 Regina A 3 - 700 350 700 100 = 2100 1050 2100 300 Rcgiio B 1000 100 500 800 3000 300 1500 2400 Regiio C Acabamos de efetuar, neste exemplo, duas operacfies com matrizes: soma e multiplicaeio por um numero, que serio definidas fonnalmente, a seguir. 1.3.1 Adipioz A sum de duas matrizes de mesma ordem, A, ,,x, , = = [a, »,-I e B, ,,x, , = [b, -,-], é uma matriz m x n, que denotarernos A + B, cujos elementos sac somas dos elementos oorrespondentes de A e B. Isto e, A 1' B = [Eff + b, -ilmxn 1 -1 0 4 1 3 4 0 + -2 5 = 2 5 2 5 1 0 3 5 Observe que, pela forma com que loi definida, a adicao de matrizes tem as mesmas propriedades que a adicio de mimeros reais. Ex emplo : Malrlzes 7 Propriedad: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m x n, temos: 1‘) A + B = B + A (comutatividade) ii) A + (B + C) = (A + B) f C (associatividade) iii) A + 0 = A, onde 0 denota a matriz nula m x n. Podera’ ser usada a notacao 0,, , X , , para a rnatriz nula, quando houver perigo de confusio com o nfimero zero. A operaeio que definiremos a seguir e 11 multiplicacio de uma matriz por um numero (real on complexo), também charnada multiplicaqlo por esca- lar. 1.3.2 Mulriplicacln por Escalar: Seja A = [a, ,], ,,x, , e k um nllmero, entio definimos uma nova matriz k ' A = lkalilrnxn ~21? 1‘;1=[: : *2] Pmpriedades: Dadas matrizes A e B de mesma ordem m x n e niimeros k, k. c kg, temos: 1‘) k(A+n)= kA+kB ii) (k, + k; )A = k1A + k, A iii) 0 - A = 0, isto 6, se multiplicarmos o niimero zero por qualquer matriz A. leremos a matriz nula. iv) k1(k2A) = (k1kz)A As vezes, é conveniente considerarmos as linhas de uma dada matriz como colunas de uma nova matriz. Exemplo : 1.3.3 Transposicio: Dada uma matriz A = [a, -,-], ,,)(, ,, podemos obter uma outra matriz A’ = [b, -,-], ,x, ,,, cujas linhas sao as colunas de A, isto é, bi, =a, ,-. A’ é denominada tmnspartu de A. 1.3.4 Examples Exemplol: 2 I as ~=1f§"11.. . -1 43x:
  10. 10. 8 ALGEBRA LINEAR Exemplo 2: _ 1 3 . _ 1 3 “[3 2] "‘[3 2] Exempla 3: 1 . I2] ‘ D 2] Propriedades: 1') Uma matriz é simétrica se, e somente se ela é igual :1 sua transposta, isto é, se, a sumente se A = A’. (Observe a matriz B acima. ) ii) A" = A. Isto é, a transposta da transposta de uma matriz é ela mesma. 57) (A + B)’ : A' + B’. Em palavras, a transposta de uma soma é igual 5 so- ma das transposlas. iv) (kA)' = kA', onde k é qualquer escalar. Antes de definir uma outra uperagio, a multiplicaqio dc matrizes, veja- mos um exemplo do que pode ocorrer na prfitica. Suponhamos que a seguinte matrizfornega as quantidades das vitaminas A. B e C obtidas em cada unidade dos alirnentos I e II. A B C Alimento I [4 3 0 Alimento II S 0 1 Se ingerirmos 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II, quamo consumiremos de cada tipo de vitamina? Podemos representar o consumo dos alimemos I e II (nesta ordem) pela matriz ‘‘consumo": [5 21 A operagio que vai nos fomecer a quantidade ingerida de cada vitamina é o “produto": (*1 [5 21[‘5' 3 = l5.4+2-5 5-3+2.o 5.o+z.1] = [30 15 2] Isto e’, serio ingeridas 30 unidades de vitamina A, I5 de B e 2 dc C. Mm-izes 9 Outro problema que poderemos considerar em relagio aos dados ameriores é o seguinte: Se 0 custo dos alimentos depender somente do seu cuntéudo vitamfnico e soubermos que os pregos por unidade de vitamin A, B e C 550, respectivamente, 1,5, 3 e 5 u. c.p. , quanto pagariamos pela porqio ile alimentos indicada anterior- meme? 1,5 ("‘) [30 15 2] - 3 5 = [30(l,5) + 15(3) +2(5)] = [100] On seja, pagariamos 100 u. c.p. Observamos que nos “produtos" de malrizes efetuados em (*) e (**), cada um dos elementos da matriz-resultado é obtido a partir de uma linha da primeira matriz e uma coluna da segunda. Além disso, com relaqfio is ordcns das matrizes en- vulvidas, temos: Em“) II1><2 'II2><a = II1><3 Em (H) II1x3 ' I Iax1 = I I1><1 O exemplo anterior esboga uma def1ni<;5o de multiplicagio de matrizes A e B, quando Ac’ uma matriz Iinha. Esta noqio de produto pode ser estendida para 0 case mais geral, e as elementos da matriz~produto serio obtidos pela soma de produ- tos dos elemcnlos de uma Iinha da primeira matriz pelos elememos de uma coluna da segunda matriz. Por exemplo, Sejam a a a An“ = 11 12 13 521 522 52:1 511 512 9 Bax: = 521 522 5:1 532 A matriz. —produto AB é a matriz 2 X 2 definida como: bl] bli n 11 a An: 11 12 13 _ bnbfi 521522 523 531 532 _ 511511 * 512521 * 513531 511512 * "1152! + "13b3’: | — 521511 ‘I’ 522521 + 523531 521512 + "1217" '5 dub" Agora, passemos para a definis, -zio geral.
  11. 11. 10 AIJGEBRA LINEAR 1.3.5 Multiplicagio do Matrizes: Sejam A = [u, /], ,,, (,, e B = [b, ,], ,xp. Definimos AB = [c, ,,. ],, ,x, , onde 21 914v = Z “ukblrv = “ulblv + ‘I’ aunbnv k= I Obxenmpéesz 1') S6 podemos efetuar o produto de duas matrizes A, ,,x, , e BM, se a na- ‘ mero de colunas da primeira for igual ao mimero dc linhas da segunda, isto 6, r1 = I. Além disso, a matriz-resultado C = AB ser: dc ordem m X p. ii) 0 elements c, ~, (1-ésima linha e / -ésima coluna da matriz-produto) é obti- do, multiplicando as elementos da 1'-ésima linha da primeira matrix pslos elementos correspondentes ‘da i-ésima coluna da segunda matriz, e soman- do estes produtos. 1.3.6 Examples Exemplo I : 21 -1+ 4 2 11:] = -1+ 5 33x, 1“ -1+ -0 2(-1)+1-4 -0 4(-1)+2.4] = -0 5(-1)+3-4 3x; Exemplo 2: [1-1 .2: ° “W s 33x: N50 6 poss1'vel efetuar esta multiplicaqio, porque o nfimero de colunas da primeira é djferenoe do n1‘1mero de linhas da segunda. Exemplo 3: 1 0 O 6 1 -2 3 ' 0 6 1 2 9 12 -8 5 4 3 8 -2 , x3 12 62 -3 0 1 4x: 3 8 -2 ‘X, Mnuizes ll Proptiedades: 1') Em geral AB at BA (podendo mesmo um dos membros estar deflnido e o outru nio). Example: 1 -1 1 1 Sejam A= -3 2 -1eBé 2 -2 1 o 1 -11 6 -1 0 0 0 Entfio AB = 0 0 0 e BA = -22 12 -2 O 0 0 -11 6 -1 Note, ainda, que AB = 0, sem que A = 0 ou B = 0. Desde que sejam possiveis as operagbes, as seguintes propriedades sio vaflidasz 1.‘) A] = [A = A (lsto justifica o nome da mntriz identidade. ) iii) A(B + C) = AB + AC (distribufividade 1 esquerda da multiplicaqfio, em re- Iagio 5 some) iv) (A + B)C = AC + BC (distributividade é direita da multiplicaqfio, em relagio Ii soma) v) (AB)C = A(BC) (associatividade) vi) (AB)' = B'A’ (Observe I ordem! ) 111) 0-A=0eA-0=0 1.4 EXERCTCIOS I. Sejam -1 1 2 3 -2 o 1 A= l:2 1 _J, n-[3 0 Jo- ieD—[2 -1] Encontre: a)A+B b)A-C c)B-C d)C«D e)D-A / )1)-13 1')-A h)-D
  12. 12. I2 ADGEBRA LINEAR . 2 X’ : _ = 2.Se1aA= [2x_1 0]. SeA —A, ent§ox 3. Se A e um tmtriz simétrica, entio A - A’ = 4. Se A é uma matriz triangular superior, ent§o A’ e 5. Se A 6 mm matriz diagonal, entio A’ = 6. Verdadeiro ou falso‘? 0) (-A)’ = -(A') b)(A+B)'= B' +A’ c)SeAB=0,ent§oA=0ouB=0. .1) (k, A) (kin) = (k1k2)AB 2) (-A) (-3) = -(AB) 1) Se A e B sio matrizes sirnétricas, entao AB = BA. 3) s¢A.3= 0,ent5oB-A =0. I1) Se podemos efetuar o produto A o A, entio A é uma matriz quadrada. 7 SeA’-A-Aentio '2 '2 = - ' I 3 2 8.. Se A é uma matriz triangular superior, ent§o A’ é 2 3 1 0 9 Achex, y,z, wse 4:| =|: b 1]. I-32 4 4 -3 -1 -21 2-5 -1 mostre que AB = AC. 1 11. Suponha que A ¢ 0 e AB = AC onde A, B, C sio matrizes tais que a multiplica- gio estaja definida. ) B= C? '11:) Se existir uma matriz Y, tsl que YA = 1, onde I 6 a matriz identidade, entio B= C‘7 12. Explique por que, em gelal. (A + B)‘ 9" A1 ‘I’ 253 + 32 9 (A + 3) (A ' 3) 7* A’ - B’. 2-3-5 -135 2-2-4 13. DadasA= -1 4 S, B= 1-3 -5 eC= -1 3 4 1 1 -3 -4 -1 3 5 1 -2 -3 1 0 2 1 -1 -2 1o_ngda5_A= 2 1-3 , B= 2 1 1 1' eC= 3 -2 -1-1 1 2 0 14. 15. 16. Mattias 13 11) MostrequeAB= BA= 0,AC= AeCA= C. b) Use as resultados de (a) para mostrar que ACB = CBA, A’ - B’ = = (A-B)(A4-B) e (AtB)’ = A’ +13’. Se A = |: _i -fl, ache B, d: modo que B’ = A. Um oonstrutor tem contratos para construir 3 estilos de casa: modemo, medi- terraneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz: Ferro Madeira Vidro Tints Tijolo Moderno 5 20 16 7 17 Mediterraneo 7 18 12 9 21 Colonial 6 25 8 S 13 (Qualquer semelhanga dos nfimeros com 21 realidade é mera coincidéncia. ) 41) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrineo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serao empregadas? b) Suponlia agora que os precos por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e ti- jolo sejam, respectlvamente. 15, B, 5, 1 e 10 u. c.p. Qual é o preoo unltsrlo de cada tipo de casa? c) Qual o custo total do material empregado? Uma rede de comunicacio tem cinco locals com transmissores de poténcias distintas. Estabelecemos que 111,- = 1, na matriz abaixo, signifies que a estaqio 1' pode transmitir diretamente 5 estacio i, 411, = 0 signltlca que a transmissio da 95135350 1' nio alcanoa a estagio 1‘. Observe que a diagonal principal é nula significando que uma esta1;§o nio transmite diretamente para si mesma. 0 I I I I I U I I 0 A = 0 1 0 I 0 0 0 I 0 I 0 U 0 I 0 Qua] seria o significado da matriz A’ = A - A7 5 Seja A7 - [cg]. Calculemos o elemento C4, = 2 aka, ” = 0+0+l+0+0=1- Ic=1 Note que a (mica paroela nio nula veio de 24,- a3, = 1 - 1. Isto significl que a estagio 4 transrnite para a estagio 2 através de uma retransmissfio pela estagso 3, embora nao exista uma transrnissao direta de 4 para 2.
  13. 13. 14 ALGEBRA LINEAR a) Calcule A’. b) Qua] o significado de cn = 2? c) Discuta o signiflcado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 de mode a justificar a afirmagao: “A mam‘: A’ representa o nfimero de carninhos disponfveis para se ir de uma estagao a outta com uma finica retransmissio“. .1) Qual 0 significado das matrizes A + A‘, A’ e A + A’ + A’? e) Se A fosse simétrica, o que significaria? 17. Existem trés marcas de automoveis disponiveis no mercado: o Jacaré, o Piranha e o Urubu. O termo a, -1 da matriz A abaixo 6 a probabilidade de que um dono de carro da linha 1' mude para 0 cam: da coluna 1', quando comprar um carro novo. Para J P U J 0,7 0,2 0,] De F 0,3 0,5 0,2 U 0.4 0,4 0,2 Os termos da diagonal die a probabilidade an de se comprar um carro novo dz mesma marca. A’ representa as probabilidades de se mudar de uma rnarca para outra depois de duas compras. Vocé pode veriflcar isto a partir dos conceitos basicos de probabilidade (consulte 1.5) e produto dc matrizes. Calcule A’ e intarprete. 18. Tente descobrir outras situagées concretas que possam ser analisadas de modo similar an de cada um dos problems 15, 16 e 17. * 1.5 PROCESSOS ALEATORIOS: CADEIAS DE MARKOV Muitos dos prooessos que ocorrem na natureza e na sociedadc podem ser estu- dados (pela menos em primeira aproximgao) como se 0 fenomenu estudado passasse, a partir de um estado inicial, por uma seqiiéncia de estados, onde a transigao de um determinado estado para o seguime ocorreria segundo uma certa probabilidade. (Suporemos nesta secgio um conhedmento minimo sobre pmbabilidades. ) No caso em que esta probabilidade de transigio dcpende ape- nas do estado em que o fenomeno se encontra e do estado a seguir, o proces- so sera chamado procesm de Markov e uma seqiiéncia de estados seguindo este processo sera denominada uma azdeia de Markov. Evidentemente, ao ac supor tal restrigio estaremos simplificando, talvez dcmasradamente, uma vez Malrizes 15 que as probabilidadcs podem se modificar com o tempo. Mas, assim mesmo, a informaofio que obtivermos com este modelo ja nos servira de auxflio para uma previsio do comportamento de oertos fenomenos. Suponhamos, por exemplo, que, em uma determinada regiio, observa-se que se chover bastante durante um ano, a probabilidade de que chova bastante no ano seguinte é % , a que a probabilidade de que faga seca 6 dc % . Ainda, se houver seca em um ano, no ano xeguinte a probabilidade de haver seca ou chuva suficiente sera a mesma, e igual a§1—. Suponhamos também, para simplificar (o que nao ocorre na pratica, embora possamos usar como recurso para ter um indicador da situaoio), que estas probabilidades nao mudem com o decorrer do tempo. Os estados possfveis para este processo 550: chuva e seca. Podemos ter, entao, as seguintes sequéncias de acontecimentos (érvore de probabflidades): Assim, sabendo que no primeiro ano houve seca, a probabilidade de que 1 1 1 3 chova bastante no terceiro ano 6 % - T + 7 - 7 = V . Conforme 0 nfimero de anus aumenta, as contas se tomam mais cornplicadas e, se estivetmos interessa- dos em previsées a longo prazo sobre o clima da regia'o, temos que procurar um outro prooedimento. Isto pode ser feito se introduzirmos a noqio de matn'z das probabilidades de Imnsipia, e a de vetor de pratmbilidnder. A malriz T das probabilidades de transioio é obtida da tabela de probabilidades onde o elemen- to na 1'-ésima linha e i-ésima coluna indica a probabilidade de transigao do _/ '-ési- mo para o i-ésimo estado. I‘? ano 2‘? ano 39 ano. .. 1 _ __/ __, ..> 4 C T» C —— chuva 1. c, /r’' 4/ §~L. .5£ 5—secn (1) C 3 T 17 c—"’—” Dc 5% L» —o2~S'4__. ,_. . on l _, _,———> 24» c ‘~_. . 1 C 1 — __’4j, ’> vi” 2 U‘ 5 -+—. S 1 f_, __, .» T‘ T c T‘ 1 ’/7 E S ’‘'; /'’Z' 1_ 5 T aibnara *' Figun 1.5.1. 2 Glenda I UFPei
  14. 14. 16 ALGEBRA LINEAR Mu» : -|-- ~| .—- . ..| .— 0 vetor de probabilidades é a main: p£”’ pgn) cuja primeira linha da :1 probabilidade de que haja chuva no Ii-ésimo ano e a segunda linha da a probabilidade de que haja seca no nesimo ano. Analisando a arvore de probabilidades vemos que 1 1 P22) = Z P? ) + 341) 3 1 pp) = 7?? ) . 3 Pym 1 1 1 (U 1 (1) — — ‘P *“‘P Observamos que T - Pg” = 4 2 - P2” = 4 C 2 S E L 4 2 pg» PEI) 3,751) + Zpgr) e portanto p P21) _ pg! ) p: (z) pgi) « O mesmo ocorre do segundo para o teroeiro ano, deste para o quarto etc. Temos, entao, a sequéncia: 19 ano 29 ano 39 ano pgi) P22) pgi) péa) pgz) 2 péx) to (2) = ' in (3) = ’ <2) :1 m P: F’: pr 17: P: P: n-ésimo ano pgn) —> —-> — pg») pg! ) Macrizes l7 Portanto, 0 comportamento do clima desta regiio a longo prazo (isto é, quando n aumenta) podera ser previsto se soubermos que os elementos das matrizes 1“, n = 1, 2, . . . se aproximam dos elementos de uma matriz fora P pois, neste caso, P5") ‘v P1 6 PE") ~> 172 quandon -—>°° C0111 P: _ P 113” P2 19;“) (Tal previsio e’ importante, pois se chegarmos, por exemplo, a conclusio que p§") —> 1 quando n —> an, a longo prazo a regiio se tomara um deseno. ) Se T" min se aproxima de uma matriz P, entao nio poderemos fazer ne- nhuma previsao a longo prazo, pois o processo se modiflcara bastante a cada passo. Assim, um dos problemas que devemos resolver é quais sio as condiqoes sobre 2 matriz T das probabilidades de transiqao, para que suas poténcias se aproximem de uma determinada matriz. Antes de resolver isto, porém, vamos forrnalizar a situagao anterior. 1.5.1 Definieio: Um procesro aleatério de Markov e’ um processo que po- de assumir estados a1, a2, . .., a, , de tal modo que a probabilidade de transioio de um estado 41,- para um estado a, - seja pi, (um numero que so depende de :1, e 11,-). A murriz tins probabilidades de rransipzio {matriz eslaca'rtica/ é dada por: Pn P12 - - - Fir P2: P22 - ~ - P2; 1'‘ = Pr: Pn - - - Prr (Observe que p, -] > 0, e que a soma de cada coluna deve ser 1.) O vetor de probabilidndex é aquele cuja i-ésima linha as a prababilidade de ocorréncia do estado a, ~ apos It transaeéesz pl") pi")
  15. 15. 18 ALGEBRA LINEAR Seguindo o racioclnio do exemplo anterior vemos que, apos n passos, 121"’ pi" = 1" . '; pg») pg 1) 1.5.2 Previsiias a Longo Prue: Para podermos fazer previsoes a longo_ . prazo, a matrlz T deve cumprir certas oondieoes. Assim, introduzirnos a defimgao a seguir. 1.5.3 Dafinicio: Uma matriz das probabilidades de transieio 6 regular se alguma de suas poténcias tem todos os element nio nulos. A importancia da matriz regular para as previsoes a longo prazo 6 dada pelo teorema abaixo: 1.5.4 Teorama: So a rmtriz T, x, das probabilidades de transielo 6 regular, entiot 1‘) As poténcias T" aproximam-se de uma matriz P, no sentido de que cada elemento de T" aproxima-se do elemento oorrespondente em P. in) Todas as colunas de P sac iguais, sendo dadas por um vetor-ooluna Pi . v = : Pr com p1 > 0, P2 > 01*“! Pr > 0- iii) Para qualquer vetor de probabilidades inicial pl” v, = - n5” 0 vetor de probabilidades T"V. aproxirna-se de V (dado no item anterior). iv) 0 vetor V 6 o unico vetor que satisfaz V = TV. Martin: 19 O que este teorema nos diz é que se a matriz das probabilidades de tran- sigio é regular. entao é possivel fazer previsao a longo prazo e esta nio depen- de das probabilidades iniciais V, . Além disso, a item (iv) nos indicara oomo aehar as probabilidades depois de um longo prazo. 0 processo utilizado para se encontrar o vetor “final” de probahilidades, usando 0 item (iv), corresponde 5 procura de autovetor associado ao autovalor um da matriz T, segundo as deno- minaqoes que veremos no Capitulo 6. Nao faremos a prova deste teorema por- que isto nos desviara demais de nossos objetivos. 1.5.5 Examples Exemplo 1: No problema sobre previslo de clima que estdvamos estudan- do na introduqao, J. L 4 2 T ‘ 2 1 4 2 6 regular pois sua primeira poténcia, isto 6, ela mesma, ja tem todos os elemen- tos estritamente positivos; e assirn podemos concluir, usando 0 item (iv), que quaisquer que sejam as probabilidades iniciais, as probabilidades a longo prazo sic dadas por: ["1 Fr r? r SP 35’ .14 ll : .|u 5|. .. ~| .— 53]»- Pr = Pa 1' P: on 2P: - 3P: P _ _3_ P 2P. = 3pc ’ 2 ° Como devemos ter pc + p, = 1 (que é a probabilidade total), temos pg +%Pc = = 1 ou p, =% e, portanto, p, =% . Assim, a Iongo prazo a probabilidade de um ano de chuva 635 , enquanto que a probabilidade de um ano de seca é -3- (dentro das hipoteses simplificadoras), e portanto a regiao tendera a uma liseira aridez.
  16. 16. 20 ALGEBRA LINEAR Exemplo 2: Suponhamos que em uma deterrninada regifio, a cada ano trés par éento da populac, -50 rural rnigra para as cidades, enquanto que apenas um por cento da populagio urbana migra para o meio rural. Se lodas as de- mais condigées permanecerem estaveis, as condiqfies polfticas nfio mudarem, e estas porcentagens de migragao continuarem as mesmas, qua! deve ser a relagio entre as populaqoes urbana e rural desta regiao a longo prazo? Como trés por cento da populagzio rural migra para 0 meio urbano, a probabilidade de migraqao do meio rural para o meio urbano é 0,03, enquanto que a probabilidade de nan migragao 6 0,97. Como um por cento da populaqao urbana migra para o meio rural a probabilidade de migraqio do meio urbano para 0 rural é 0,01 e a de nio nugragio é 0,99, Denotando por U 0 meio ur- bano e por R o meio rural, temos a matriz das probabilidades de trnnsigioz R U R 0,97 0,01 U 0,03 0,99 Como a matriz 6 regular, a longo prazo as probabilidades pg, de viver no meio rural, e pg, de viver no meio urbano, devem satisfazer 0,97 0,01 pk pk 0,03 0,99 PU Pu donde pu = 3pR a, coma devemns tar pu + pR = 1, temos pR = 0_25 g pl, = 0,75. Ou seja, a longo prazo, e se nio houver modificagfies nas tendénci- as de migraqao, teremos 25% da populagio no meio rural e 75% da populagio no meio urbano. Exemplo 3: Observa-se experimentalmente que, em condigfies naturals e sem ser subrnetida 5 pesca industrial, a quantidade de uma certa espécie de peixes varia da seguinte forma: se em um determinado ano a populagao dirni- nuiu, a probabilidade de que diminua ainda mais no ano seguinte é de 0,6 e, se em um determinado ano a populagio aumenta, a probabilidade de que dimi- nua no ano seguinte é de apenas 0,3. Entretanto, observa-se que sendo subme- lida £1 pesca industrial, quando a populagio aumenta num determinado ano, a probabilidade de que diminua no ano seguinte se altera para 0,5, enquanto que se a populagao diminui num ano, a probabilidade de que diminua no ano se- Mauizu 21 guinte continua sendo de 0,6. Deseja-se saber como, a 1ong° W310: 3 P9503 in‘ dustrial estaré afetando os peixes dessa espécie, para ver se 6 neoessério diminuir a intensidade de pesca on se, ao contrario, é possivel aumenui-la. Os estados deste processo sac: diminuigio da p0pu13950 (D) 9 3“m°'"° da populaoio (A). Entio, sem haver pesca industrial, 3 matriz de probabilidades dc transigao é Como e’ uma matriz regular, as probabilidades pl, da populaqao diminuir e [:4 da populaqio aumentar a longo prazo 550 dadas por 0,6 0,3 , pa = no] 0,4 0,7 PA PA que, sendo resolvlda (lembrando que pD + p,4 = 1), f0fn€09 P0 = % 5 PA = %~ Portanto, como a probabilidade de a populagao aumentar é maior, em condi- gfies naturals, a espécie tern a sobrevrvencra razoavelmente garantrda. Com a pesca industrial, a matriz se altera para Como é uma matriz regular, a longo prazo pD e p/4 sa'o dadas por [045 0,5] I pp = P0 0,4 0,5 pA p A Assim, gemos pp = % e pA = % , Como a probabiljdade de a populagio dimi. nuir é rnaior se a espécie for submetida a pesca industrial, sua sobrevivéncia seré ameagada e, portanto, a pesca deve ser diminufda. Exemplo 4: Duas substancias distintas estao em contato e trocam ions de sodio entre si. Sabe-se (por dedugao ieérica. 0“ °XP°1'im°“‘3<}_5°) ‘I119 “m ‘°“ dc some do meio (1) ram probabilidada 0,7 de passar aotrnero (2). efl'~1“°“‘° que um [on de sédio que esteja no meio (2) tem pmbabrlrdade 0,] de passar ao meio (1). Colocando-se dois moles de sodio no meio (1), quais serfio as con-
  17. 17. 22 ALGEBRA LINEAR meio (1 l meio (2) Figuru 1.5.2 centraqoes de sodio em cada um dos meios, apos um longo periodo de tempo? Os estados deste processo sao: 0 ion em‘ no meio (l) e 0 ion esta no meio (2). A matriz de probabilidades de lransigao e’: meio (1) meio (2) meio (1) 0,3 0,1 meio (2) 0,7 0,9 Sejam p, e p, as probabilidades de estar no meio (l) e (2), respeetivamente. Entio, inicialmente, quando todo 0 sodio foi colocado no meio (1), p(, ') = 1 e pg‘) = 0. Como a matriz de probabilidades é regular, a longo prazo as proba- bilidades nfio dependem das probabilidades iniciais, e devem satisfazer [°’3 °"l ' [”'] = ["‘l 0,7 0,9 P2 P2 Resolvendo (lembrando sempre que p, + [71 = 1). temos p, =—1g- e p, .7. 8 . Logo, as concentraeoes finals em cada meio saTo% - 2 = 0,25 moles no meio (1) e % - 2 = 1,75 moles no meio (2). 1.5.6 Previsfies em Ganéricaz Com pequenas modificagoes das idéias usadas nos processes de Markov, podemos estudar varios problema: genéticos. Sabemos que o tipo mais simples de transmissio de heranea genética e‘ efetuado através de pares de genes, as quais podem ser ambos dominantes, recessivos, ou um dominante e outro recessivo. Chamemos G o gene dominante e g 0 gene reces- sivo. Um indivfduo sera chamado dominante se tiver genes GG, hfbrido se river genes Gg, e recessivo, caso os genes sejam gg. Um indivfduo herda os genes ao acaso, um deles de seu pai e o outro de sua mie. Assim, nos varios tipos de cruzamento, temos probabilidades distintas de transmissio de heranca genética. No caso de eruzamento de individuos dominames teremos somente filhos de genotipos dominantes. Mnrizes Z3 GG com probabilidade 1 CG cruzado com GG ——>Gg com probabilidade 0 g com probabilidade 0 No caso de cruzamento de individuos recessivos, teremos: GG com probabilidade 0 g cruzaclo com gg —->Gg com probabilidade 0 g oom probabilidade 1 No case do cruzamento dc um individuo dominante com um rccessivo, temos: GG com probabilidade 0 G0 cruzado com Q —>Gg com probabilidade 1 g com probabilidade 0 No also do cruzamento de um indivfduo dominant: com um hfbrido, temos: Z, GG com probabilidade 0,5 GG cruzado com Gg ——> G: com probabilidade 0.5 gg com probabilidade 0 No caso recessivo e hibrido, temos: GG com probabilidade 0 g cruzado com Gg : : Gg com probabilidade 0,5 g com probabilidade 0,5 E finalmente, no case de dois individuos hihridos, temos: GG com probabilidade 0,25 (.17 cruzado com Gg—> Gg com probabilidade 0,5 * gg com probabilidade 0,25 Denotando por a’, dominante, r, recessivo e h, hfbrido, e os respectivos crum- menros por d X :1, d X r etc. , colocando as probabilidades em colunas, pode- mos montar a seguinte matriz T: dXd rXr dXr dXh rXh hXh d 1 0 0 0,5 0 0.25 h 0 0 1 0,5 0,5 0,5 r 0 1 0 0 0,5 0.25 Bihljoleca dg § Clencta A Tacnal *9, Pel
  18. 18. 24 ADGEBRA LINEAR Além disso, numa populagao numerosa composta por uma porcentagem pg” de individuos de caracteristicas dominantes, pf, ” de individuos hfbridos e p, (." de individuos de caracteristicas recessivas, a probabilidade de cruzamento de genes de um individuo dominante com outro dominante e’ pf, ” - pg‘). Se quizermos calcular a probabilidade de um cruzamento onde um dos individuos é dominante e o outro e’ hibrido, temos que somar p§') - pl, " (considerando que o primeiro é dominante e o segundo é hibrido) a p ‘) - 112$". AS81111. 8 probabilidade é de Zpfi” - pg". Os outros casos seguem o mesmo raciocinio e temos entio: Cruzamento Probabilidade (Estamos supondo que a caraeteristica genética analisada seja ta] que nio inter- fira no cruzamento natural. ) (2) Entio, podemos tar as porcentagens de individuos dominantes, pd , de individuos hflaridos, pi“, e de individuos recessivos, pf’), da segunda geragao, multiplicando as matrizesz P31) , P51) pf, “ 1 0 0 0,5 0 0,25 ”;1:"’&: : 2 . pg» = 0 0 1 0,5 0,5 0,5 2”? !) pg! ” :2 -12 11;’) 0 1 o 0 0,5 0,25 2,51) . P21) P21) , pix) Supondo que nio haja. novo cruzamento de individuos da primeira gera- Q50 (o que, em geral, ocorre com populagfies de insetos etc. ), uma vez obtidas as porcentagens de individuos da segunda g&Ia950, p0d€m0S 01319! as porcenta- gens da terceira geragao, multiplicando novamente a matriz T pelos novos da- Matrizes 25 dos, e assim sucessivamente. Dessa forma, obtemos o perfil genético de qualquer geraqio. Evidentemente, os calculos tornam-se demorados, mas podem ser feitos facilmente, se usarmos calculadoras, Este tipo de anélise é muito simples (de- mais talvez), mas é importante em muitos campos, Como em Agricultura, para se ter uma idéia da propagagao da resisténcia genética a certos tipos de doenga, da resisténcia de insetos a tipo: de inseticidas etc. Exemplo: Aplica-se um certo tipo de inseticida em uma plantaqio, para se combater uma determinada espécie de insetos. Apos a aplicagao verifi- ca-se que, dos poucos insetos sobreviventes, 60% eram resistentes ao lnseticida e os outros 40% min 0 eram (e haviam sobrevivido por razfies casuais). Sabe-se que o ciclo de Vida desses insetos é de um ano e que eles se cruzam apenas uma vez em cada geraeio. Além disso, ficou comprovada que a resisténcia ao inseticida e’ uma caracteristica dominante e que o inseticida nao foi aplicado novamente. Tendo estes dados em mente, perguntamos qua] é a porcentagem de insetos resistentes ao inseticida apos dois anos'? Como a resisténcia é uma caracterfstica dominanle, os insetos resistentes podem ter genétipo GG ou Gg na relaqao 1 :2. e assim. 20% dos insetos resis- tentes sao dominantes e 40% 550 hlbridos. Temos, portanto, pi, ” = 0,2, pi, ” = = 0,4 e pl” = 0,4 e assim, a distribuleao da porcentagem dos insetos apos um ano é dada por (0.2) - (0.2) pg. “ 1 0 0 0,5 0 0,25 2(((3‘: ;) ((31)) pg, “ = o 0 1 0,5 0.5 0,5 - 2(0.2) - (0.4) 2(0.4) - (0.4) pi” o 1 0 0 0,5 0,25 (0,4, _ (0,4) an seja, pg) = 0,16, pg“ = 0,48 e pl” = 0,36. Apos mais um ano, a dis1ribui- gfio de insetos seré dada por (0,16) (0,16) (0,36) (0,36) (s) pd 1 0 0 0,5 0 0,25 2W6, (036) pf, ” = o 0 1 0,5 0.5 05 2(0.16) (0.48) (3, 2(0,36) (0,413) p, 0 1 0 o 05 0,25 (Q48) (Q43) ou seja, p3’) = 0,16, pi, ” = 0.48 e pi” = 0,36. Assim, apos dois anos. a por- centagern dos insetos resistentes ao inseticida sera pg’) + pk’) = 0.16 + 0.43 = = 0,64, ou seja, 64% da populagao é resistente. Dessa forma, se for necessana
  19. 19. 26 Au‘. I«: aRA LINEAR uma nova aplicaeao de inseticida, n50 sera conveniente aplicar o mesmo tipo, pois ele matara no maximo 36% do insetos. Observe que a distribuieio dos insetos quanto ao enotipo GG, Gg ou gg permaneceu a mesma na segunda e terceira geragoes. (p§) = p 3) = 0,15 pi, “ = pg” = 0.43 e pl’) = p? ) = 0.36.) Calcule as probabilidades para a quarta geraeéo de insetos (depois de ‘trés anos). O resultado que vocé obteve nio é uma casualidade. Existe uma “lei ge- nética” muito conhecida, que estabelece sob condieoes ideais que depois da se- gunda geraqao, a distribuiezio entre os genétipos permanece a mesma. Assim. 59 partirmos de uma populaqfio onde a formaqao inicial é dada por freqiiéncias 125‘) = 14, pi, ” = v e pf” = w, temos: Genéfipa Gemgéer reguinter v Vocé pode mostrar esta relaeao através do produto de matrizes. No “modelo genético" considerado neste paragrafo, é assurnida uma situa- Qao-padriot nio existe migragao, os encontros sac ao acaso, nao ocorrem muta- gées nem seleeao, os dois sexos aparecem sempre em quantidades iguais. Esta relaeao cle estabilidade genética aqui apresentada fol mostrada inde- pendentemente, pelo matematieo G. H. Hardy e o genético W. Weinberg em 1908. t 1.6 EXERCTCIOS 1. Suponha que um corretor da Bolsa de Valores faea um pedido para comprar aefies na segunda-feira, Como segue: 400 quotas de aqao A, 500 quotas da agao B e 600 quotas da aeao C. As aeoes A, B 9 C custam por quota Cr3 500,00, C13 400,00 e 03 250,00, I€5P¢C“V3m°m¢- a) Encuntre o custo total de aeoes. usando multiplicaeio de matrizes. Matriles 27 b) Qual sera o ganho ou a perda quando as aeoes forem vcndidas seis meses mais tarde se as agocs A, B e C custam Cr! » 600,00, Cr$ 35000 e CrS 300,00 por quota, respcctivamente’? . E observado que as probabilidades de um time de futebol ganhar, perder e empatar uma partida depois de conseguir uma vitoria saio-17- ,1 e i respec_ 5 10 tivamente; e depois de ser derrotado 550 13-0 , e % , respeclivamente; e depois de empatar 550% , -3- ea: , respectivaniente. Se 0 time nao melhorar nem piorar, conseguira mais vitorias que derrotas a longo prazo? . Numa pesquisa procura-se estabelecer uma correlaqio entre os niveis de esco- laridade de pals e filhos. Estabelecendo as letras P para os que concluiram o curso primario, S para o curso secundario e U para o curso universitarlo, a probabilidade de um Fllho pertencer a um destes grupos, dependendo do gru- po em que o pal esta' é dada pela matriz PSU 21 P730 lll 537? 1; U033 Qual é a probabilidade de um neto de um individuo que realizou o curso secundario ser um unlversitario? . Numa cidade industrial, os dados sobre a qualidade do ar sao classificados Como satisfatorio (S) e insatisfatorio (1). Assuma que, se num dia é registrado S, a probabilidade de se ter S no dia seguinte é de %e que, uma vez regis- trado l, tem~se% de probabllidade de ocorrer S no dia seguinte. a) Qual é a probabilidade do quarto dia ser S, se 0 primeiro dia e I? b) O que se pode dizer a longo prazo sobre a probabilidade de termos dias S ou 1'? . Numa ilha maravilhosa verificou-se que a cor azul ocorre em borboletas de genétipo 1111, e nao ocorre em Au e AA. Suponha que a proporqio de bor- boletas azuis seja-‘I; . Depois de algumas geragées, qual sera‘ a porcentagem das borboletas nao azuis, mas capazes de ter filhotes azuis?
  20. 20. 28 ALGEBRA LINEAR 1.7 RESPOSTAS 1.7.1 Respostas de 1.4 2. X = 1 4. Triangular inferior 6.a)v; b)V, c)F; d)V; 9)F; DF; 3) F; h)V 8. Triangllar superior 12. Porque em geral o produto de matrizes nio 6 comutativo. ls. 41) [145 526 260 158 388] 492 b) 528 465 c) C! ‘ 11.73s, oo 16. a) l 1 2 3 1 O 2 2 2 2 1 0 2 1 1 0 I 0 2 0 0 0 1 0 1 17. 0,59 0,28 0,13 0,44 0,39 0,17 0,48 0,36 0,16 1.7.2 Respoms do 1.6 2. As probabilidades de garlhar. perder ou empatar. a 10flg0 PIBZO, 550 8Pl°Xi‘ madamente iguais a 1/3, sendo a probabilidade de ganhar ligeiramente maior. 3. A probabilidade 9' 1/3. 4. a) 31/125 1,) A longo prazo, a pmbabilidade de termos dias satisfatbrios é 1/4 e de termos dias insatisfatérios é 3/4. Leituras Sugeridas e Referéncias ' Herstein, I. N. ; Tépico: de Algebra; Editon Polfgolw. 550 PIIIIO, 1970- 7‘ Lipschmz, 5.; Algebra Linear; McGraw-Hill do Bmsil Ltda. , Rio de laneiro, 1971. 3 sMsG- Matenlérica: Curw CoIegial_ vol. 3; Yale unlvexsity Press, New Haven. 1965. 4 Campbell, H. (3.; Linear Algebra wml Applications; Meredith Corporation. New York. 1971. SISTEMAS DE lsQuAc(")Es LINEARES 2.1 INTRODUCAO Na natureza. as coisas estio sempre mudando, se transformarldo, e 0 ser huma- no, para garantir sua sobrevivéncia e melhorar sua existérlcia, precisa conhecer e dominar estes processes de mudanga. Um dos métodos enocntrados para se descrevel estns transforrnapées fol 0 de procumr nestas o que permanece cons- tant: durante a mudanqa. Por exemplo, sabemos que 0 hidmgénio (H2) reage com o oxigénio (02) para produzir égua (H,0). Mas, quanto de hidrogénio e de oxigénio precisal-nos’! Esta é uma mudanga que podemos descrever do seguin» te modo: x moléculas dc H, reagem com y moléculas de 0, pmduzindo z mo- léculas de H10, cu esquematicamente: xH; + y02 —> zH, O. O que permanecc constants nessa nludanc, -a? Como os atomos nio sac modificados, o nlimero de étomos de cada elememo no infcio da reagao deve ser igual no mimero de étomos desse mesmo elemenro, no fim da reagan. Assim, para o hidrogénio devemos ter Zx = 22, a para o oxigénio, 2y = z. Portanio, 35 as nossas incégnitas x, y e z devem satisfazer as equagées: 2x—2z=0 2y- z=0
  21. 21. 30 ADGEBRA LINEAR Se conseguinnos descobrir quais sic os nlilmeros x, y, z que satisfazem simul- taneamente estas relagoes, teremos aprendido um pouoo mais sobre como se comporta a natureza. Este procedimento que consiste em identificarmos o que permanece cons- tante na mudanga, leva :1 um sistema de equagées que precisa ser resolvido e. em muitos cases, as equagfies envolvidas sio lineares (come no exemplo ante- rior da reagao de H, com 0,). Evidememente, vocé ja sabe um pouco como resolver este tipo de sistema, mas quando 0 nfimero de equagfies se torna muito grande, ou temos menos equaefies do que incégnitas (come no case anterior), podem surgir muitas dlividas, ate mesmo sobre a existéncia ou nao de solugio para o sistema. Por outro lado, em sistemas que apresentam mais do que uma solugfio é necessario ter-se uma fonna clara de se expressar todas elas. Por exemplo, no sistema anterior vocé pode encontrar duas solugfies distintas para (x, y, 2) (faga isto! ), mas so 0 tera resolvido se conseguir expressar o conjunto de todas as soluqfies. Por isso, nosso objetivo neste capftulo é estudar um método para a resoluqio de sistemas lineares em geral. A técnica que sera utilizada pode n50 ser a melhor no case de sistemas muito simples, mas tem a vamagem de poder ser aplicada sempre e ser facilmente mecanizada. E particularmente 1’.1til em sis- temas com grande nilmero de incognitas onde 0 uso de oalculadoras é inevita- vel. Em sfntese, este metodo consiste em substituir 0 sistema inlcial por siste- mas cada vez mais simples, sempre “equivalenres" ao original. Comecemus com o seguinte exemplo. (Para efeito de visualizagio, coloca- remos an lado de cada sistema uma matriz a ele associada. ) x, + 4x, + 3): , =1 (1) 1 4 3 l (I) 2x, + 5x, + 4x3 = 4 (2) 2 5 4 4 x, - 3x1 — 2.1:, = 5 (3) l -3 -2 5 1.0 Passo: Eliminamos x, das equaebes (2) e (3). Para isto, multiplicamos a equaqao (1) por -2 e somamos a equapao obtida com a equagéo (2), obtendo uma nova equagao (2’). Da mesma maneira pl-oduziremos a equapfio (3'). obti- da ao multiplicarmos a equagao (l) por -1, somanda esta nova equapao 21 equa- Qao (3). Isto resulta no seguinte sistema: x, + 4x, + 3x, =1 (1') 1 4 3 1 (11) ox, - 3x, - 2x, = 2 (2') 0 -3 -2 2 Ox. - 7x, - 5x, = 4 (3') 0 -7 -5 4 Sistemas 11: Equaoaes Lineans 31 2? Farm: Tornamos o coeficiente de x, da equagio (2') igual a l. Para isto, multiplicamos a equagio (2') por -1/3. O sistema resultante é; x, + 4x, + 3): , =1 (l”) 1 4 3 1 (111) ox, + x, + %x3 = (2”) 0 I % ox, — 7x, - 5x, = 4 (3") 0 -7 -5 4 3.” Passe: Eliminamos x, das equagoes (1") e (3"). Para isto, multiplicamos a equagao (2") por -4 e somamos a esta a equagao (1"), obtendo (l"'). De ma- neira analoga obtemos (3"'), multiplicando a equagio (2") por 7 e somando a esta nova equagao a equagao (3"). m 1 ll x, +0x1+%x, =l3—l (1) 10 -3- T 2 2 uvl ox. + x. +%x. =-% 12'“) 0 1 7 -7 2 111 1 2 0x, +Ox; -%x, =-T (3) 0 0 -T -7 49 Purso: Tornamos 0 coeficiente de x, na equaqio (3'”) igual a l. Para isto, multiplicamos a equagao (3"') por -3. lsto resuha no seguinte sistema: x, +0x2+%x3=l—3l (1’“) 1 0 § 13-‘ 2 ‘ 2 (V; Qxl+ x, +%x3=-T (z'") o 1 % -T ox, -.ox, + x, =2 (3"”) o 0 1 2 59 Passo: Eliminamos x, das duas primeiras equagfies do sistgma V. Multiplica- mos a equagao (3'-") por —l/3 e somamos a esta nova equaeao a equagao (1”). De modo analogo, multiplicamos a equaqio (3'”) por -2/3 e a esta nova equa- qao somamos a equaqao (2’"). Sistema resultante: x, + 0x, + 0x3 = 3 1 0 0 3 (IV) 0x, + x1 + 0x; = -2 O 1 0 -2 0x, + 0x, + x3 = 2 0 O 1 2 ou ainda: x, = 3 X2 = '2 . . x3 = 2 Ciesr: :|I. :‘&! qT-egr: nE; ia UFPe_|
  22. 22. 32 ALGEBRA LINEAR Assim, cada sistema foi obtido a partir do sistema anterior, por “opera- Qfies” que pieservararn as igualdades. Por isto, cada terna (x, . x, . X3) que é so- luqio do sistema I, também serei soluoio dos sistemas seguintes. Deste modo, uma vez eneontradas as solugfies do sistema VI, as solucoes do sistema 1, se existirem devem estar entre estas, isto é, Ioda solugfio do sistema I rambém é rolugio do sistema VI. 0 ponto fundamental deste procedimento é que as etapas sio todas re- vers1'veis. Por exemplo, partindo do sistema II podemos obter o sistema 1, da seguinte maneira: , (1) = (1 ) (2) = 2 - (1’) +(2’) (3) = (1’)+(3’) (Com esta notagio estamos querendo indicar que, por exemplo, a segunda Iinha (2) do sistema I é obtida multiplicando-se por dois a primeira linha (1') do sis- tema I] e somando-se a segunda linba (2') do sistema II, isto 6, (2) = 2 - ' (1') +(2')-) De modo analogo, vooé pode ohtero sistema V a partir de VI, IV a par- tir de V, III a partir de IV e 11 a partir de III. Usando o mesmo argumento anterior, podemos dizer que toda salupio de VI rambém e’ solupio de 1. A par- tir das duas afirrnaefies destacadas acima conclurmos que os sistemas I, II, III, IV, V e VI tém as mesmas solugfies e, ponanto, x, = 3, x, = -2 e x, = 2, que é a solugao de VI, é a 1’1nica solugao do sistema inicial I. (Vocé pode ve- rificar por substituigio direta, que esta é uma solueao, mas apenas eomo ga- rantia de que n50 erramos nos calculus. ) Podemos afirmar que no exemplo anterior os sisternas I, II, III, IV, V e VI sac equivrzlemes segundo a definicao dada a seguir. Observe que, no exemplo anterior, as (micas operacfies que efetuamos sao dos seguintes tipos: 1) Multiplicar uma equagao por um nfrmero diferente de zero. 1'1‘) Adicionar a equagao a outra. Existe ainda uma outra operagao que as vezes precisaremos efetuar neste procedimento, e ela também 6 reversivel. iii) Permutar duas equacoes. Por exemplo, no sistema: X; + 3x, = 5 (1) x, + 3x, + x, = 2 (2) 2x, + 4x, — x, = I (3) sistema: de Equaeoes Linearea 33 nosso primeiro passo seria permutar as equagoes (1) e (2), de modo a obter o ooeficiente de x. diferente de zero na primeira equaoio. Ems operap6e. r num sixterrla produzem sempre rirtemas com mesmo crmjunto-solugzio, cor-no vimos no exemplo anterior. Uma demonstraqao formal deste fato, usando matrizes elementares, sera vista em 3.8.5. Agora iremos usar matrizes para apresenlar uma rnaneira organizada dc resolver sistemas de equa- efies, seguindo a idéia do exemplo anterior. Antes, porém, vamos formalizar alguns conceitos. 2.2 SISTEMAS E MATRIZES 2.2.1 Conoeltos Um sistema de equaeoes lineares com m equagoes e n incognitas é um conjunto de equaqoes do tipo: aux, + aux, + + a, ,,x, , = b, 32131 ‘l’ "223‘2 + + Wznxn = b2 (rt) amx, + umx, + + u, ,,, ,x, , = b, ,, com a, -/, I < 1‘ < m, 1 <1‘ < n, nfrmeros reais (ou eomplexos). Uma saluprio do sistema (*1) é uma rt-upla de nirmeros (x1, x1, . .., x, ,) que satisfaga simultaneamente estas m equaeoes. Dois sistemas de equaeoes lineares sao equivalentes se, e somente se toda solueao de qualquer um dos sistemas também 6 solueao do outro. 2.2.2 sistema: e Matriza: Podemos escrever o sistema (1-) numa forma matricialz 1111 1112 “in *1 bl 11,, an 112,. X2 bi “ml Um: “mu XII bm
  23. 23. 34 ALGEBRA LINEAR Sislemns dc Equaqoes umaxes 35 6 a matriz dos ooeficientes, e chegamos a 1 0 0 3 X‘ o 1 o -2 X = ' 0 0 1 2 xn _ _ _ que é a matnz amplnada do snstema VI 2: matriz das incégnitas e x, = 3 b x, = .2 B A' X3 = 2 bm attavés ~de opsxfngées equiv-alenites as efetuadas nas equaqées dos sisternas. Esta: que serao defmndas a segulr sao as nperaqfies elementares sobre as linhns de uma matriz. a matriz dos termos independentes. Uma outta matriz que podemos associar an sistema 6 2.3 OPERACOES ELEMENTARES “u an dm b1 “:1 “:2 ‘12:: b1 S50 trés as opemqfies elemcntares sobre as linhas de uma matriz. am am am" b'm 1') Permuta das i-ésima e j-ésima linhas. (L; 4-» L, -) . » ‘ . Exempla: 1.1 —> L , que chamamos rmrriz ampliada do sistema. Cada linha desta matnz é s1mples- meme uma repxesentagzo abreviada da equaqio conespondente no sistema. 1 0 1 0 Observe que no example dado cm 2.1, no lado de cada sistema, escrevemos sun 4 -1 ——> -3 4 -3 4 4 «l matriz ampliada. Assim, no sistema dado: x, + 4x, + 3x, = 1 ii) Multiplicaqio da llésima linha por um escalar nio nulo k. (L, -—r M4) 2): + 5x + 4x = 4 X: _ 3x: _ 2)‘: = 5 Exemplo: L, —> -3L, I , ‘ 1 1 0 1 0 temos a orma matncw 4 _l __ _12 3 -3 4 -3 4 1 54-x, =4 . . . S m) Subsutungao da 1-ésnma lmha pela I-esuna linha mxus k vezes a / -ésum I1- nha. (L, - —> L, + H1) Em tem-nos dc matrizes ampliadas, na resolugio do sistema, partimos de Example; L3 __, L3 + M‘ 1 4 3 1 1 0 1 2 5 4 4 4 -1 —> 4 -1 1 -3 -2 5 -3 4 -1 4
  24. 24. 36 ALGEBRA LINEAR Se A e B sac matrizes m X n, dizemos que B é linha equivalenle a A, se B for obtida de A através de um nfimero finite de operaofies elementares sobre as linhas de A. Nolaqoesz A—>B on A ~ B. For exemplo, 1 0 1 0 4 —l élinha equivalente a 0 I , pois -3 4 0 0 1 0 1 0 3 ‘ll; 1,, ..1., —4L, 3 "5 L, —»L, +3L, 1 0 l 0 l 0 0 -1 ————> 0 l —————> 0 1 0 L2-0-IL; 0 4 L3->L3-41.1 0 0 J6 comentamos em 2.1 que as operagfies com linhas de um sistema pro- duzem outro sistema equivalente ao inicial. Em termos de matrizes. podemos enunciar este resultado como: 2.3.1 Toorema: Dois sislemas que possuem matrizes an-rpliadas equivalentes sio equivalentes. (A demonslraqio deste teorema, usando-se matrizes elementares, esta em 3.8.5 . ) Como vimos, o processo utilizado para so resolver sistema: por “elimina- gio de incégnilas" corresponds a passar a matriz ampliada do sistema inicial para matrizes-linha equivalentes a esta, ate que cheguemos a uma matriz conve- niente que indique a solugio do sistema original. Vocé pode observar em 2.2. que a matriz final (associada ao sistema VI) tem uma forma especial. Ela é um exemplo do que chamaremos matriz-/ inha reduzida 13 form ercada. 0 método que apresentamos aqui consiste em obrer por linha-reduqio estas matrizes, por meio das quais chegamos A soluqio do sistema de uma for-ma explfcita. Um outrométodo. conhecido come 0 Método de Gauss, reduz por linha- -equivaléncia a matriz ampliada do sistema a uma matriz “! riangular". (Vocé te- ré a oportunidade de resolver sislemas por esta método, que é muito usado por suas vantagens oomputacionais, no Exercfcio 17 de 2.6. N50 percal) Sislemas d. e Equagaes ljngafes 37 2.4 FORMA ESCADA 2-4-1 D°fi"i‘i503 Uma matriz m X n é Iinh: reduzida a‘ forma ermda se a) O primeiro elemento nio nulo de uma linha nao nula e 1. b) Cada coluna que contém o primeiro elemento nio nulo dc alguma ljnha tem todos os seus outros elementos iguais a zero. c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas nio nulas (isto é, daquelas que possuem pelo menos um elemenlo nio nulo). :1) Se as linhas 1, . .., I sit: as linhas nio nulas, e se 0 primeiro elemento nio nulo da linha i ocorre na coluna k, ~, emio k. < k, < < k, . Esta filtirna condigio impbe a forma escada a matriz: 7/ Figure 2.4.1 lsto é, o mimero de zeros preoedendo o primeiro elememo n50 nulo de uma lmha aumenta a cada linha, até que sobrem somente linhas nulas se hon , . ver. 2.4.2 Exemplos 1, 0 0 O Exempk, 1. 0 I _1 0 N50 é a form: escada pois a segunda 0 0 1 0 condiqfio nio é satisfeira. 0 2 1 Exempb 2. 1 O _3 N50 é a form: escada pois nio satisfaz a 0 O 0 primeira e a quarta condigoes. 0 1 -3 0 I , ‘ Exempla 3_. 0 0 0 0 0 N50 satlsfaz a prrmeira nem a 0 0 0 _1 2 tercerra condigio. 0 1 -3 0 2 . Exemplo 4_. 0 0 0 1 2 E a forma escada pois todas as 0 0 0 0 0 oondiqées sic satisfeitas.
  25. 25. 38 ALGEBRA LINEAR 2.4.3 Taorema: Toda matriz A, ,,x, , é linhaequivalente a uma fmica ma- triz-linha reduzida :31 forma escada. Para :1 demonstraqio, veja a secoio 2.7. Este teorema permite-nos definir os conceitos abaixo que serio relacionarlos a seguir com o nrlrnero real de equa- gfxes e o numero de solugoes de um sistema. 2.4.4 Definieéo: Dada uma matriz A, ,,x, ,, seja B, ,,, (,, a matriz-linha re- duzida é forma escada linha equivalente a A. O porro de A, denotado per 11, é o mimero de linhas niio nulas de B. A nulidade de A 6 o numero n — p. Observamos que dada uma matriz A qualquer, para achar seu pesto neces- sitamos encontrar primeiro sua matriz-linha reduzida a forma escada, e depois contar suas linhas nio nulas. Este n1'1mero é o posto de A. A nulidnde é a di- ferenqa entre colunas de A e o posto. 2.4.5 Examplos Exemplo 1: Desejamos encontrar 0 posts e a nulidade de A, onde 1 2 1 0 A= -l 0 3 5 1 -2 l 1 Assim. efetuamos as seguintes operagoes com matrizes: 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 ‘ ° -1 o 3 5 —. 0 2 4 5 _. o 1 2 .3. __r 1 -2 1 1 0 -4 0 1 0 _4 0 1 1 0 0 -l 1 o -3 -5 1 o -3 -5 s 0 1 2 % . —. o 1 2 § —» o 1 0 -% ° 0 8 “ 0 0 1 % ,0 0 1 181 OpostodeAé3eanulidadedeAé4-3=1. Observagfioz Se interprerarmos a matriz A dada acima Como sendo a matriz ampliada de um sistema linear, teremos: 5‘“°"'=5 5° Equaeoes uneam 39 —x, +(1x1+3x3=5 {x, +2x, + x, =0 x, —2x2+ x3=1 A matriz-linha reduzida 51 forma escada é linha equivalente é matriz A Assim o sistema que ela representa: ’ 2‘ ll 1 °°i'-' A| —- oo| I é equivalente ao sistema micial, possuindo a mesma solur, -50 que este. Exemplo 2: Desejamos encontrar o posto e a nulidade de B, onde 2 —l 3 l 4 2 B = l -5 l 4 I6 8 Assim, efetuamos as seguimes operagfies matriciais: 2-13 142 142 l42_>2-13__>o-9-1 1-51 1-51 o—9-1* 4168 4168 ooo 142 10191 1 °1?_. .o1% 323 000 O posto de 3 é 2, e a nulidade é 1. Repare que a matriz 2 -13 B“[1 4 2}
  26. 26. 40 ALGEBRA LINEAR tem 0 mesmo posto e nulidade que B. ‘ d_ Reinterpretando as matnzes acrma como srstemas de equaooes. 1f8m0> que 0 sistema de quatro equagées associado a matriz inicialz 2x— y:3 x+ 4,1/:2 l 8 x— 5,12: 4x+16,v= é equivalents ao sistema de duas equaofies: x+0y II “ cl: 0X+ , V=3 associadu A matriz—linha reduzida '51 form escada. Este é um caso de sistema com equagfies redundanles. A terceira e a quarta equagoes ique se tornam nu- las no final do processo) podem ser desprezadas. Isto sigmfrca que o sistema inicial é equivalenle ao sistema: 2Jc- ,1/=3 . x+4y II N associadu 5 matriz B1. Usamos dizer também que, neste caso, as duas primeiras equagoes sio “independentes” e que as demais sao “dependentes" destas. Vocé vai so fami- liarizar com estas denominaooes no Capftulo 4. Ainda segundo esta terminolo- gia, denominamos posto de uma matriz ao nfimero de linhas “r'ndepende_ntes” de§[a‘ Vocé pode observar que uma linha sera “dependents” de outras tisto e, serai igual a zero no final do processo de reduqio) se ela puder ser escrita co- mo soma de produtos destas outras linhas por constantes, Costumamos dizer também que esta linha é uma cambinagia linear das outras_ Por exemplo, na matriz B podemos dizer que a primeira e a segunda linhas 550 independentes, enquanto que a terceira e a quartz sac combinaqoes lineares das duas primeiras linhas. Vucé viu assim que um posto da matriz ampliada de um sistema nos dé 0 numero de equaofies independentes deste. Na préxima secoio veremos que o posto também esta relacionado com o numero de solugoes de um sistema. Sistemas de Equaqaes Lineage: 41 2.5 soLucoEs DE UM SISTEMA DE EouAcoEs LINEARES 0 objetivo desta secoio é estudar detalhadamente todas as situagoes que po- dem ocorrer na resolu<; a'o de um sistema linear. 2.5.1 Se tivermos um sistema de uma equagio e uma jncognita ax = b existirio trés possibilidades: 1') a #9 0. Neste caso a equagso tem uma Iiinica solugao b x = .4 a ii) a = 0 e b = 0. Entao temos (hr = 0 e qualquer numero real sera soluoao da equagao. iii) a = 0 e b % 0. Temos 0x = b. N50 existe soluoio para esta equagio. Para analisar sistemas de duas equagoes e duas incognitas, vejamos alguns exemplos. 2.5.2 Exemplos Exemplo 1 : Lembramos que o conjunto de pontos (x, , x, ) 6 R X R, que satisfaz cada equagéio deste sistema, represents uma rota no plano. Para resolver este sistema devemos enteio encontrar 0s pontos comuns a estas duas retas. X2 (3. -1) Fiuuru 2.5.1 Deste modo, (3, -1) e a {mica solugio. A matriz ampliada do sistema é [f _; Transformando-a em matriz-linha reduzida 5 for-ma esmda,
  27. 27. Sisternas de Eqllagées lineares 43 42 ALGEBRA LINEAR onde a segunda equagao pode ser simplesmente “ignorada", pois nio estabelece ‘ 0 3 t ‘ liada do sistema nenhuma condigao sobre x. ou x1. Ela é verdadejra para quaisquer nrimeros x, 0bWm°5 [0 1 -1 ' que 6 a m m amp e xz. O conjunto de solugzoes deste sistema sera dado, atribuindo-se valores X‘ = 3 arbltrarios para a incognita X; e tomando x, = -3- — —; -x1. Assim, para X1 = A X: = _1 temos: S l . . . . - - = 3 e X1 '-' — - —}x « ' ' al. 0 sistema tem uma umca s01U<;3° X1 _ 2 2 equivalents so sistema mlcl . t x; = -1, come foi analisado $"'f'°3“‘°“"°~ 0bSeW3m°5 4”‘ ° P°5‘° da mi‘ “Z X; = A dos coeficientes do sistema reduzido e 0 da matriz fimpliada Ambuindo diversos valores para ),50btemos varies solugfies para 0 sistema. Por exemplo, para A = 0, iemos x, = T e x, = 0. Para A = l. temos X, = 2 e 0 3 . . . . _ [(1) 1 _1 5 2- x, = 1 etc. Este sistema admite rnfimtas soluqoes. Observe que a matriz arnpliada e também a matriz dos coeficiemes do Example 2. sistema tém posto l, pois, uma vez transformadas em matrizes-linha reduzidas 13;, + x, = 5 na forma escada, elas possuem uma linha nio nula. A nulidade da matriz dos ax, + 3x, -_- 15 ooeficientes 6 2 — l = l que é também chamada o grau de liberdade do siste- _ _d t ma. Isto quer dizer que o nosso sistema apresenta uma variavel livre. ' tema s§o comer en es. As duas retas que formam este SIS Exempla 3: *1 2x. + x, = 5 6x, + 3x; = 10 Geometricamenre, temos duas retas no plano que nao possuem nenhum ponto em comum, pois sao paralelas, e ponanto este sistema na'o tem solugiio. Isto e’ mostrada na Figura 2.53. X1 X2 Figun 2.5.2 - to do uma das retas é N95“ °‘“°= "mos geometrlcajflente que qualqiwtr pone a matriz reduzida Por soluoio deste sistema. A matriz a. r11P1“'d3 d° “S "M *1 linhas A forma escada 550: Figurl 2.5.3 2 1 5] 1 % % 5 3 15 0 0 0 A matriz ampliada deste sistema g 13] é equivalente :1 matn'z-linha re- - - o sistema duzida a forma escada Portantu, o sistema acima é equivalents a 5 1 L 0 L = _ 2 X‘ + 2 X’ Z 0 0 1 (hi 4. (1)51 = 0
  28. 28. 44 ALGEBRA LINEAR Panama, 0 sistema inicial é equivalents a X‘ + 1?x2 = 0 0x. + 0x, = 1 N50 existe nenhum valor de x, ou X; capaz de satisfazer a segunda equa§5f_J. Assim, o sistema inicial nio tem soluqao. Dizemos que ele é incompanvel (rm- possivel). Vamos wmparar a matriz de coeficientes e a ampliada. reduzidas 5 forma escada do sistema 1 1 17elTo 00001 Observe que o posto da matriz dos coeficientes do sistema inicial é 1 e 0 pos- to de sua matriz ampliada e‘ 2. 2.5.3 can Goral: Considerernos um sistema de m equagoes lineares com n incégnilas x, , . .., x, ,. flnxx + 4123‘: * ‘* “1n-‘n = b: a, ,,, x, + a, ,,, x, + + a, ,,, ,x, , = b, ,, cujos coeficientes a, ~,- e termos constantes b, - sio numeros reais (ou complexos). Este sistema poderé ter 1‘) uma (mica solugio: ii) infinitas soluqoes iii) nenhuma solugio. No primeiro caso, dizemos que No segundo case, dizemos que o oeiro caso, dizemos que o sistema Consideremos a matriz ampliada do triz-linha reduzida :1 forma escada: sistema é passive! e indetermimzdo. E. no ter- é impossfvel (irxcompatfvel). sistema anterior e tomemos sua ma- o sistema é passive! (compatfvel) e determimdo. V — : .x. s«. :--wean’ -4 u.4., _ . .., ,_ _, ~‘ ‘ax-x--1-: -:~>»AgJ§&v»—_<V, ,‘_ Sistenus do Equagéeg Lineans 45 mX(no| ) Pro t . - CW3 911 finder e demonstrar (V813 a secgao 2.7) cada uma das afinm. 96es do teorema abaixo. Leia com aten ‘ 2.5.2, Se “char mnvenieme. qao e volte aos exemplos dados em 2.5.4 Teorama 0 Um sistema de ”‘ °q“"96°5 3 ” iflcégnitas admite solugio se e somente se 0 st :1 t ' ‘ - . ‘ . _ 9° ° 3 W‘ ‘'11 3mP113dfl é Igual ao posto da matnz dos coefrcremes, ii) Se as duas matrizes tém o mesmo posto p e p = n a solugio sem (mica iii) S as d ' ' 5 _""'s "‘_"mz°s tem ° m°5T“° P0510 P 9 P < r1, podemos esoolher I1 - p mcbgrulas, e as outras p incognitas serio dadas em funoio destas Para finalizarmos este ass t - - o gruu de libeniade do sistema“: :1) ’-czwém “uma-1°‘ Dumas no mm m que Em cada exem lo, 6 dad ' .1’ - ml ampfiada. Usamops a notaciza matnz mha reduznda a forma escada da ma- Pc = P0510 da matriz dos coeficientes e p. = posto da matriz ampliada. Se pc = pa denotamos simplesmeme PM P- 2.5.5 Exemplm Exemplo 1: 1 0 0 3 0 1 0 -2 p£= p,=3 0 0 I 2 m=3.n=3ep=3.Ent§o, asolu95o6finicaex. =3,x; =-2ex, =2, 107-10 015-6 Example 2: Ix to PC = Pa
  29. 29. 46 ALGEBRA LINEAR 3 e p = 2. Temos um grau de liberdade: an = -10 - 73‘: 9 X1 m = 2, n = = -6 - 5x3. Exempla 3: 1 0 7 -10 0 l 5 -6 0 0 0 2 m = 3) , , = 3, pt = 2 e p, = 3. 0 sistema é impossfvel 6. P°“‘"“°- "§° °xme solueio. Exemplo 4: 1 0 -l0 -2 -10 O 1 7 1 4 Pa = P1 = 2 0 0 0 0 0 m — 3 n = 4 e p = 2. Temos dois graus de liberdade: x, = -10 + 10-Y: * 2"4 ex, =4-7x3-x4. 253 Agora depois de termos mostrada come 6 possrvel resolver sistemas - dc 1 ‘ , demos voltar ao problema que ha- d'ear:1‘0:a: ?:: )t)1sl: .I: a:1:s i?1t1'r; :>ésdo can: :'tl1llzt)esrepl‘a)tivo I3 0.“"‘-midade d° hidmgénio B V, , oxigénio necesséria para se format a 58"“- Sabemos que XH; + yO, ——> zHg0 onde x, y, z devem satisfazer 7-X-22 2y- 2 ll | | 00 A matriz ampliada, associada no sistema 6 20-20 02-10 que, reduzida 51 forma escada, dé Simm“ 0° 5’-40395:: lineares 47 ou seja, z é uma variavel livre e, assim, se tomarmos z = 7k, teremos x- 7=0 y-%}=0 =7 on X l y =7% Z 1 Note 0 significado de termos um grau de liberdade na solugio deste sistema. Temos apenas eslabelecida a proporgio com que os elementos devem entrar na reagio, e, para diferentes valores de A, teremos quantidades diferentes de reagentes produzindo quantidades diferentes de agua. Por exemplo, se A = 2, teremos 2H, + O, -> 2}-[,0 se 71 = 4, teremos 4H1 + 201 —. 41-{,0 2.5.7 Exemplns Example I: Resolver o sistema x+2y+z+ z=0 x+3y-z+2I=0 A matriz associnda ao sistema 6 1 2 1 l 0 1 3 -1 2 O que reduzida 5 forma escada fomece l 0 5 -1 0 0 1 -2 1 0 Reinterpretando o sistema, vemos que 2 e t sio variiveis livres (gnu de liber- dade 2). Chamando z = )1, e t = )1, obternos: x= -5)‘, -I-7&1 J’: 2}1-M z= M t=7«,
  30. 30. 48 i1L<;1=. a1u1 LINEAR s‘“°'''‘‘ ‘‘ E‘| "'? °°‘ '-i“‘'‘" ‘9 on in {mm mama“! A matriz associada é , X '5 1 § _i Q que reduzida a forma escada toma-se y = X 2 + K -1 z ‘ 1 1 0 1 o 5 -1 3 . _ . 1. 0 1 0 L1 _2 1 2 . Remterprelando, vemos que 2 e t sao livres. Observe que[-5210]’ e[l- 101]’sIosoluq15esdosistemaob- Fazendo z = K1 3 I = M. Obtemos tidas da seguinte forma: a p1-‘imeira, fazendo )1, = l e )1, = 0, e a segundfl. x = _5)‘ + A + 3 ), = 0 e )1, = 1. Elas :50 chamadas solucfies ba'sicas do sistema porque geram = 2A‘ _ A’ + 2 todas as outras. Todo sistema homogéneo tem solugio que pode ser escrita 5 = 7‘ ‘ 3 desta forma. Basia reduzir o sistema, observar as variaveis livres e atrilwuir t = R‘ valores 1 para uma delas e zero para as outras, obtendo as solueoes basics: ’ (tamas quanto 0 gram de liberdade). A soluqao nerd uma sorna destas soluoaes X _5 1 3 multiplicadas por constanves. 0“ y = M 2 + M -1 + 2 Exemplo 2: Resolver o sistema Z 0 0 I 0 1 0 x + 3y + z = 0 2,‘ + 5}, + 21 = 0 Compare com o exemplo 1. O que vocé nota? -x - 3y - z = 0 1 A matriz associada e 1 3 1 o 2.6 ExERcI'cIos 2 6 2 0 -1 -3 -1 0 1. Resnlva o sistema de equaqfies, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas que reduzida torna-se [1 3 1 0:1 . ms "W05 sistema‘ 0 0 0 0 ‘ ‘ 2x . _ y + 32 = 11 ° ° ° ° 4x-3y+2z=0 Reinterpretando, vemos qu y e 2 s50 variéveis livres. x + y + z = 6 Fazendoy= ), ez= }1;, temos 3x+y+ z=4 " = '37‘! ' 7‘? _ 2. Descreva todas as poss1’veis matrizes 2 X 2, que esta! ) na forma escada redu- . V = M zida por linhas z = )1, As solugaes basicas sin entio: x = -3, y = I, z = 0 e x = -1, y = 0, Z = 1_ 3. Reduza as matrizes a form escada reduzida por linhas. Ass“ X _3 _, 11) 1 -2 3 -1 c) 0 2 2 = x 1 +)1 0 2 -1 2 1 1 3 M lll 3 12 3 3 -4 I 2 -3 1 Exemplo 3: Resolver osistema b) O 1 3 -2 2 I -4 3 2 3 2 -1
  31. 31. 50 ALGEBRA LINEAR 4. Calcule o posto e a nulidade das matrizes da questio 3. 5. Dado o sistema 3x + Sy = 1 2x + z = 3 5x+ y-z=0 escreva a matriz ampliada, associada ao sistema’ e reduza—a a forma escada reduzida por linhas, para resolver 0 sistema original. 6. Determine k, para que o sistema admita solugio. -4x+3y=2 5x—4y=0 2x- y= k 7. Encontre todas as soluefies do sistema x, +3x, +2x, +3x. -7x, =l4 2x, +6x; +x, -2x4+5x, =-2 x, +3x, -x, +2x5 8. Explique por que a nulidade de uma matriz nunca 6 negativa. 9. Foram estudados trés tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade (1 g) determinou-se que: 1) O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 4 unidades de vitamina C. it‘) 0 alimento II tem 2, 3 e S unidades respectivamente, das vitaminas A, B e C. iii) 0 alimemo III tern 3 unidades de vitaminas A, 3 unidades de vitamina C e nio contém vitamimi B. Se sio necessarias 11 unidades de vitamina A, 9 de vitamina B e 20 de vita- rnina C, a) Encontre todas as poss1'veis quantidades dos alimentos I, [I e 111, que for- necem a quantidade de vitaminas desejada. b) Se 0 alimento I custa 60 centavos por grama e os outros dois custam 10, existe uma solu9a‘o custando exatamente Crl 1,00’? Resolva os sistemas seguimes achando as matrizes ampliadas linha reduudas a forma escada e dando também seus postos, Os postos das matrizes dos coeficientes e, se 0 sistema for possivel. 0 grau de liberdade. 16. I7. Sistemas de Ilquacéea Lineups 51 3‘ + 3‘ I x . . + x : - u I 1» -x+ y+ z= O método de Gauss para resolugao de sistemas é um dos mais adotados quando se faz uso do computador, devido ao menor nfimero de operagfies que envolve. Ele consiste em se reduzir a matriz ampliada do sistema por linha-equivaléncia a uma matriz que so 15 diferente da linha reduzida 2‘: forma escada na condiqio b) de 2.4.1, que passa a ser: b’) Cada coluna que con- tém 0 primeiro elemento nio nulo de alguma linha, tem todos os elementus abaixo desta linha iguais a zero. As outras condigoes a, c e d sio idénticas. Uma vez reduzida :1 matriz ampliada a esta forma, a solugio final do siste- ma é obtida por substituieao. Exemplo: 2x, + x1=5 x, -3x226
  32. 32. 52 ALGEBRA LINEAR Iii [215]~ 22 1-36 77 °‘77 a ultima matriz corresponde ao sistema: l 5 x, +§x, =7 X2=—1. Por substituigio, x, - % = %, ou seja, x, = 2. Resolva pelo método de Gauss os Exercfcios 14, 15 e 16 e compare as res- postas. 18. 11) Mostre a proposigao 2.4.3 para rnatrizes 2 X 2 quaisquer. b) Sinta a dificuldade que vocé tera para formalizar o resultado para matri- zes n X m. mas convenea-se de que 6 so uma questao de considerar to- dos 05 cases poss1‘veis, e escreva a demonstragio. Consulte 2.7. 19. Chamamos de sistema homogéneo de n equaqoes e m incégnitas aquela siste- ma cujos termos independentes, b, -, sao todos nulos. 41) Um sistema homogeneo admite pelo menos uma solugao. Qual é ela’? b) Encontre cs valores de k E R, tais que o sistema homogéneo 2x-5,v+2z=0 x+ y+ z=0 2x +kz 0 tenha uma soluqao distinta da soluqao trivial (x = y = z = U). 20. Corisidere o sistema x + 6y - 82 = 1 2x + 6y - 42 = 0 Note que podemos escrevé-lo na forma matricial Sistemas de Equagfies Lineues 53 1 x 11 V 'f' ' _ _ _1_ - ) en 1que que a matriz X, _ y — 3 é uma soluoao pm, 0 §s, ema_ Z 0 b) Resolva 0 sistema e verifique que toda “matriz-solugao" 5 da forma x -4 X = y = A 2 + % Z 1 O onde ) E R. c) Verifique -4 -4A 71 2 = 2)‘ 1 A 6 a solugio do sistema homogéneo, associado ao sistema (aw), i: 2 :3] E = [2]- ‘0 C°“°1“3» 11“ "9115 0). 17) e 6), que o corgjunto-soluqao do sistema * é o conjunto-soluqao do sistema M, somado a uma soluqao particular do 515. tema *. 21. Dado o sistema w. _._. ._. Anon -ANNQ »'. ;.'_. '_'_ E-x: ‘<>r II 00-txruu a) Encontre uma solugao dele sem resolve-lo. (Atribua valores para x y z e w. ) b) Agora, resolva efetivunente o sistema, islo é, encontre sua matriz-sniugao, c) Resolva também o sistema homogéneq associado. d) Verifique que toda matriz-soluqao obrida em b) é a soma de uma maujz. ;solug)ao encontrada em c) com a solugfio particular que vooé encommu m a . 22. A'1taITIBI'IIC mlotivadotpelos Exercicios 20 e 21, moms que 10.13 man-11.501“. 9&0 de um sistema l1near AX = B e a soma de uma soluqao do sistema ho-
  33. 33. $4 ALGEBRA LINEAR mogéneo associado AX = 0 com um soluggo Pamcum dc Ax = 3, suges. tio: sign as etapas seguintes, usando sornente propriedldes dc matrizes. 1') Mostre que se X0 é uma solugio do mum. Ax = o e X. é uma soluqio dc AX = 3, H1150 X0 + X, e’ soluyio de AX = B. it) Se X, e X, 550 solugfies de AX = B, entio X, - X; é solugio de AX = 0. iii) Use 1') a it) para chegar I concluflo descjada. 23. F393 0 balanoeamento das reaqflesz '1) N205 ‘* N02 * 01 b) HF + Sio, - SiF. + H,0 c) (NH. ),C0, —> NH, + H30 + C0, (deoomposigfio ténnica do N, O5) (dissolugio do vidro em HF) 24. Dado o sistema linear 3x+5y+12z-w= -3 x+ y+ 4z-w= —6 2y+ 2z+w= 5 a) Discuta a solugio do sistema. I2) Acrescente a equnc, -lo 2.: + kw = 9 I esta sistemn, encontre um valor d: k que tome o sistema Incompatfvol. 25. Sabe-se que uma alixnentaqio difiria equihbrad: em vitamins: deve constar de 170 unidades de vilamina A, 180 unidades dc vitamina B. 140 unidades dc vitamin: C, 180 unidades dc vitamin D e 350 unidades de vitnmina E. Com 0 objetivo de descobrir como deveri ser uma refeiglo equillbrada, fomn estudados cinco alimentos. Fixada a mesma quantidade (l 5) de cada alimento, detenninou-se que: 1') 0 alimento I tem 1 unidade dc vitamina A, 10 unidades dc vitamins B, 1 unidade dc vitamina C, 2 unidades do vitamin: D e 2 unidades de vimmina E. ii) 0 alimento II tem 9 unidades de vitanaina A, 1 unidade de vitamin B, 0 unidades dc vitamins C, 1 unidade dc vitamins D e I unidade de vitamina E. iii) 0 alimemo III tem 2 unidades de A, 2 unidades de B, 5 unidades de C, 1 unidade de D e 2 unidades dc E. iv) 0 alimento IV tem 1 unidade de A, 1 unidade de B, 1 unidade dc C, 2 unidades dc D e 13 unidades de E. v) 0 alimento V tem I unidade de A, 1 unidade de B, 1 unidade de C, 9 unidades dc D e 2 unidades dc E. Quantos gxamas de cada um dos alimentos I, II, III. IV e V devemos ingerir diaxiameme para que nossa alixnentaqio seja equilibrada? Sislcmu do Equgfiu unnm 55 26. Necessita-se adubar um teneno acrescentando a cada 10 m‘ 140 g de nitrato, 190 g de fosfato e 205 g dc potéssio. Dispée-se de quatm qualidades dc adubo mm as seguinte: caracterfsticas: 1') Cada quilognma do adubo [cum 5 u. c.p. e contém I0 3 dc nitmo, 10 3 de fosfnto e 100 3 do potissio. 1'4) Cada qulloyama do adubo II cum 6 u. c.p. e contérn 10 5 de nitrate, 100 g do fosfato e 30 3 de potésxio. . ii’) Cada quilogmma do adubo II] cut: 5 u. c.p. e contém 50 3 de nxtmto, 20 5 de fosfnto e 20 3 de poténio. Iv) Cada quilognnn do adubo IV cut: 15 u. c.p. e oontém 20 3 do mn- to,40 gdc folfnto e 35 3 do potfissio. Quanto de cada udubo devemos mistum plra conseguir o efeito deaejado so estamos dlspontos a gun: 54 u. c.p. 1 cada 10 m’ com a sdubagidl 27. Deseja-se construir um circuito come 0 mosmdo na figura, I. . + onde V, = no v, V, = Ioov. V3 = 50V. Rx = 109» R2 = 3°9- R, = son, R. = 40:2. R: = I009» Dispée-se de uma tube-in do pre90S d0 “I105 “P05 d‘ ‘”i"e“°i“3 “Sim come as comntes méximas que elas suponam sem queimat. resisténcias %EEE@ @@ 15,00 15,00 25,00 De qua tipo devemos escolher cada fesisténdl pun que o cirouit; ) funcione com xeguranqa e a sua fabricagio seja a de menor wsto possIVel- Eihliotecn at: g‘ Clencla 5 Tecnol "5 IEl-I
  34. 34. S6 ALGEBRA LINEAR swam” 40 Equwées lineares 57 . . , , ue uanfidaddA f d detdfilté 28. Uma placa quadrada de matenal homogeneo e mantlda com os bordos AC get: ql ado imsmie’ ; ;‘8;fl: : mfiatnfggde 3:: potesenrtue n'$e‘1’; " e BD :3 temperatura de 20°C, 0 box-do AB a 40°C a CD a 10°C com o inflame M - . . , , , ’ pane nao vaponzada, enquanto que para B e C estas xela. uso de lsolantes tcrmlcos cm A, B, C e D (wde figure). Q6“ S50 Lsoe 1,07 mpecflvameme. Deseja-se sabex qual é 0 gram de concentragio de C110 produto final se a unidade opera em condigio estacionéria (isto 6, 0s fluxos deA, B e C nae mudam com o tempo em cada estégo), sabendo que a concentragao de C, na mistura que passa do Ieatot para o filtro :5 de 68%. 20°C 10°C 2.6.1 Respostas l. x=-l, y=2.z=5 X 3 a) 1 0 0 .4 c) 1 0 2 Apbs ser atingido o equilfbrio térmico, qua] é a temperatura aproximada 0 1 0 '3 0 1 1 em cada ponto da placa? 0 0 1 '1 0 0 0 0 0 0 29. Consideremos uma unidade de produgio (muito simplificada) de um proces- '7) 1 0 -1 % so de produgio industrial de um determinado composto C a pnrtir de certos 0 1 :2; 2 compostos A e B (segundo a reaqfio qufmica A + B <——’ C): 0 0 0 '0 40: 5o. Co 7 1 17 ahmantwio 5' X = E’ y = ‘K’ Z _ T A + 5 d c Isfriador 7_ X, = 1 - 3X2 - X5 rental X3 = 2 + X5 x4 = 3 + 2x5 C produto final 2 9. a) Sejam x, y e 2 as quantidades de alimentos I, 11 e III rcspectivamente. E11150 A, = 100 kg/ h, B0 = 100 kg/ h, C, = 10 kg/ h sso os fluxos de alimentagio, _ Y _ 1 §_ isto é, a quanfidade de material jogada dentro da unidade de produgéio por X _ -S + 32‘ J _ 8 _ 31 onde 3 < Z < 3 hora, enquanto que A, , B, e C, sio os fluxos em cada estégio da produgfio. b) Sim. x = 1, y = 2, z = 2 Sabe-se, ainda que: _ 4 1) No teator a magic pmcessa-se em condigoes tais que aquantidade deA II. x = g — —; z, y = —% + -3 z apés a magic é 0,487 da sua quantidade antes da reagso, enquanto a de B é 0,266 e :1 de C é 4,675 de suas respective: quanfidades antes dz reagio. ii) Baseado no fato do porno de ebuligio de C ser inferior ao de A e B, o filtro constitui-se de um destilador. Dessa forma 0 vapor denim do filtro tem maior concentragio de C do que A e B, e 6 continuamente relirado do filtxo, sendo levado para um resfriador do qua] obtemos o produto final, Enquanto isso a pane nio vaporizada no destilador é levada de Volta ao reator para ser reciclada. Temse a informagio de pa=2=pc. zJ. =1
  35. 35. 58 ADGEBRA LINEAR >4--—>v ll >«co>v O‘--O 23. a) 2N, o, —» «me, + 0, b) 4!-IF + sio, ——. sir. + 2 11,0 c) (NH. ),co, ——» 2NH, + H, o + co, 27. Sugestzfa: Calcule as vérias correntes que circulam no cirouito para depois fazer a escolha dos tipos do resisténcla. Para isto use as Leis de Kirchaff: i) A soma das correntes que entram em um no de um circuito é igual 5. soma das eorrentes que saem deste no. it’) A partir de um ponto qualquer de uma malhs, se a percorrermos em um sentldo qualquer, so voltar-mos no mesmo ponto, a some algébrica das quedas de poteneial 6 nula. Leve em coma as observagoesz 1') 5 - A 7 a Neste crso, no irmos do ponto A no ponto B hi uma queda de poten- cinl dada por Ri. Se fossemos do ponto B ao ponto A haveria uma queda de potencial de -Rt‘, ou seja, um aumento de potencial de Ri. o-—j-—III+——j0 A V 5 Neste caso, ao irmos do ponto A ao ponto 8 ha um aumento do po- tencial de V, ou seja, uma queda de potencial de -V. Se fossemos de B ate A terfamos uma queda de potencial de V. Aplique, antic, as leis de Kirchoff no circuito, obtendo urn sistema linear. Generalizagoes do problema podem ser obtidas nas situagfiesz i) Circuitos de Corrente Alter-nada (obtemas sistema: com coeficientes oomplexos). ii) Projetos de Circuito (cfilculo das caracterisficas dos componentes para que o circuito tenha certas especificagfies). Sisurnu do Equnpoor Linuxel 59 2s_ Sugegfio; sabe. se que a equagio que rege o flnxo de calor é dada por: onde T 6 a temperature nurn ponto (x, y) e no instarite de tempo r e c > 0 é uma constante cancterrstica do material de que é feita a placa. BT No equilfbrio térmico T ndo varis mais com o tempo e, portanto, —= 0; 3! e 0 problem se converte em achar TIX, y) sstisfazendo (II) c tal que T tem um valor pré-fixado no bordo da placa. “ . . ” Modelo Aproximada: Substituimos a placa por uma aproxrmaqao drscreta que consiste em uma malha (espera-se que quanto mais frna a malha melhor seja a aproidmngio — veja I figurn abaixo) a equaoio se toma e procuramos as temperaturas Ty n05 (L 1') "13 ‘"33" 9"‘ d°V¢m 5atl5f”°' a condiofio dada nos bordos e um: equagio que 9 “'03 | P|’°Xi| 'm|950 (19 (11)- pm, ohm 3 gpyoxjmagio de (11) temos, num ponto (i, 1') do interior da rnalha: air N Ti. i./ - Na + T: -:4 57 an ~ jhlj 521- ~T1,]+: -2Tv‘| -TL]-1 W 0', » "2
  36. 36. 60 ALGEBRA LINEAR substituindo em (II) c simplifioando obternos entia: T. ‘ . T. _ + 7‘. .. + T. ._ (III) 7'-, -= I 1.1 " x 1.14 1.1 I M 1 (Observe que a temperatura num ponto do interior da malha deve ser a média axitmética das temperatuxas dos seus vizinhos mais prbximos. ) Impondo a condicfio (III) nos pontos do interior da malha na figura acima, obtemos um sistema linear. Resolva-0! O que serla modiflcado se a “abenura" da malha na vertical fosse diferente da “abertura” ma horizontal? Seriam neoessérias mais informagées sobre a placa? B so 0 formato da placa fosse diferente? Sugestio: O modelo teérico é construfdo baseado no seguinte fato: a massa que entra em um determinado estégio deve ser igual 9 massa que sai. Usando este fato em cada estégio, assim come as infon-nacées dadas no pro blema, obtemos um sistema linear. Resolva-o e inlerprete os resultados. Vocé acredita neles? Os dados sic reais? 2.7 DEMONSTRACC-JES Nesta se<; §o, faremos com detalhes as provas dos teoremas 2.4.3 e 2.5.4, que omitimos antexiormente, para nio prejudicar a seqfiéncia de exposiqfio do assun- tn. Ems demonstragées sao apxesentadas como matéria adicional, podendo ser estudadas ou mic, dependendo de seu intetesse. 2.7.1 Demonstragio do Teoremn 2.4.3: Toda matriz c‘ linha equivalent: a uma {mica matriz-linha reduzida A forma escada. Demonstrat, -50 1? Pane: Seja A uma matriz m X I1 qualquer. Se todo elemento da pximeira linha de A 6 zero entfio a condigio (a) esta satisfeita, no que diz respeito a esta linha. Se :1 primcixa linha tern algurn elcmento nio nulo, seja k 0 menor inteiro i tal que a, -; #5 0. Multiplicamos a primeira linha por 1/av-e a oondigio (:1) flcaré satisfeita. Agata, para cada i > 2 somamos (-a, ~;, ) vezes a primeira linha 2 i-ésima linha. Como resultado, Leremos uma matriz cujo pximeiro ele- menlo da primeira linha 6 l e ocorre na coluna k. Além disto, todos os ouuos elementos da coluna k 550 nulos. Sistemas de Equaqfies Linaares 61 Consideremos agora a matriz B oblida acima. Se a segunda linha desta matriz for nula nada fazemos. Se houvex elementos nfio nulos nesta linha, seja a coluna k’ a primeira a center um destes. Multiplicamos a segunda linha pox 1/bzkl e a seguir, somando mliltiplos adequados desta nova segunda linha as de- mais linhas, obtemos uma matriz cujo primeiro elemento nio nulo da segunda linha é l e todos os oulros elememos da coluna em que esta elemento (I) se encontra sao nulos. 0 importante é que neste processo nao foram alterados os elementos bu, blk. e nem a k-ésnma coluna da matriz B. (Por qué). Repelindo 0 procedimento acima em relagzio as demais linhas (3‘. ‘, 4?, .. ., m-ésima) obteremos no final uma matriz M que é linha equivalente :31 inicial A, e que satisfaz as c0nd| §6es (a) e (b) da definigio 2.4.1. As condi;6es (c) e (d) serio satisfeilas através de um numero finito de permutaqées de linhas da matriz M. 2.“ Parte: Assim, mostramos nesta primeira parts que toda matriz A 6 linha equivalente a uma matriz-linha reduzida 9 forma escada. Para mostrarmos que s6 exists uma unica matn'z»linha reduzida a forma escada linha equivalents a A, observamos primeiramente que duax mam‘ze: -linha reduzidas zi forma esmda que sis linhas equivalemes :6 podem ser iguzzis. De fato, vocé pode observar que nenhuma das trés operagées com linhas (exceto a multiplicagio de uma linha pela constame 1) pode ser efetuada numa matriz-linha reduzida it forma escada, sem que ela pcrca esta condigio. (Pens: nisto! ) Agora, suponhamos que por operagfies com linhas, parumos de uma ma- triz M e podemos chegar a duas matrizes-linha reduzidas in forma escada, N e P. Teremos entao M ~ N e M ~ P. Como as operagées com linhas S50 Ieversiveis, isto significara que N serei linha-equivalents a P, e, portanto, da afirmagio desta- cada acirna, N = P. 2.7.2 Demonstragio do Teorema 2.5.4 If’ Parte: Se 0 posto da matriz ampliada for maior que 0 da matriz dos costi- cientes (menor nfio pode ser), enta‘o esta matriz reduzida in forma escada deve- ter pelo menos uma linha do tipo (00 Ockl. com Ck 9* 0. Isle signiflca que o sistema associado a esta matriz (que é equivalente an inicial) tem uma equa- gio do tipo: Ox, +. ..+0x, ,=ck¢0 e portanto mic admite s0lu<; §o. 2!’ Pane: Por outro lado, se 0 posto da matriz ampliada. 1’, for igual ao da ma- triz dos coeficientes, temos dois cases a considerar:
  37. 37. 62 AIGEBRA LINEAR a) se [2 2 n, teremos a matriz-linha reduzida a fonna escada: A soluqio do sistema sent x. = c, , . .., x, , = c, ,, portanto o sistema admi- te uma (mica solugio. b) so p = # n entao p < n (pois p nao pode ser maior que n, veja o Exer- cfcio 8 de 2.6) Neste caso, devemos considerar as yarias possibilidades para a matriz—linha reduzida A foma escada. Podemos analisar inicialmente quando esta matriz de posto p < n tem a forma: 1‘ I I am 0| I I 1 .1 “rm ‘:7 0 0 0 0 0 O 0 0 Teremos, neste caso: x, = c, —a, ,,, xp. , -a. ,.x, , 2:, = cp — a, ,,, ,,x, ,,, ~a, ,,, x,. e 0 stema tera portanto infinitas soluqoes, sendo xpn, .. ., x, , variaveis li- VIC S. Sistemas do Equaqfies lineares 63 Uma segunda forma a ser considerada para a matriz reduzida e I 2. 0 }0 0 0 : aw” a, ,, c, 0 0 r~ 0 u ' : . : - ‘L °___LI "mm “WI CF 0 0 0 O 0 0 O 0 0 0 0 entiio x, = 01- alpnxpn +. ..+—a, ,,x, , x-3 c, - a, p., xp, ,, +. .. +-a, ,,x, , xpfl = cp - npxp” +. ..+-a, ,,, x,, sendo x. , X‘, .2, x, , variaveis livres. E assim podemos prosseguir de uma maneira sistemética e ver que em to- das as possibilidades para a matriz-linha reduzida a forma escada de posto p < n, teremos um sistema com infinitas solugfies e n — p variaveis livres. Observe que na 1‘? parte mostramos, usando contra-recrproca, que a igualdade de poscos entre as matrizes ampliada e dos coeficientes é uma con- diqio neoesséria para a existéncia de solugio do sistema. Na 2? parte mostra- mas que esta oondigio também é suficiente, considerando as possibilidades 41) e b). Ficou assim demonstrada :1 afirmaeio (1') de 2.5.4. Note ainda que também as o0ndi(; ('>es (ii) e (iii) foram demonstradas em :1) e b) respectivamente. Laituras Sugeridas e Reteréncias I Lipschutz, S. ; Algebra Linear; Mtflraw-Hill do Brasil Ltda. . Rio de Ianeiro, I971. 2 SMSG; Mnlemdricai Curm Colegial, vol. 3; Yale University Press, New Haven. 1965.
  38. 38. DETERMINANTE E MATRIZ INVERSA 3.1 INTRODUC/ ‘KO Ja em 250 A. C. havia exemplos da resoiueio de sistemas de equaeoes através de matrizes, no livro chines Nave Capftulos sabre a Arte Matemritica, CU_| D autor é desconhecido. Também algumas nopfies ligadas a determinantes, o assunto que sera objeto de estudo neste Capftulo, ja eram conhecidas na China antiga. Mas, se por um lado ja se utilizava a noqio de determinantes no mundo Oriental ha tanto tempo, no Ocidente este assunto comegou a ser tratado espo- radicamente a partir do século XVII. Nesta época surgem trabalhos de G. W. Leibniz (1646-1716), de G. Cramer (1704-1752) que desenvolveu um método de resoluqao de sistemas através de determinantes, conhecido por “Regra de Cramer” e foi publicado em 1750 (pmvavelrnente jei conhecido por C. Maclaurin (1698-1746) em 1729, e alguns resultados simétricos de J. L. Lagrange (1736- -1813). So no século XIX é que os detemiinantes passaram a ser estudados mais sistematicamente, a comegar pelo longo tratado de A. L. Cauchy (1789-1857) em 1812, tendo sidu realizados, em seguida, trabalhos de C. G. Jacobi (1304- -1851). Determinnnte e Matrix lnversa 55 A partir de entio, o uso de delerminantes difundiu-se muito e este con- oeito de um nfimero associado a uma matriz quadrada mostrou-se extremamen- , . — - ~ — t ' e’ te util para caracterrzar murtas srtuaeoes, como a de saber se uma rna rlrzq inversivel. se um sistema admite on n50 solugio. 0 *1“ ""°m°5 “35 P"°X'm35 secqdes. 3.2 CONCEITOS PRELIMINARES Cons-ldemmos 0 smema , ,x = b com a at 0. A solueao deste sistema e x = Observe que o denominador esta associado a matriz dos coeficientes do sistema. ou seja, Ial. Num sistema 2 X 2 aux, + aux; = b, aux; * 32232 ‘- b2 < ‘ ‘ ’es , encontramos resolvendo (desdé E1115 5°13"! P°55‘‘’“5 35 °F’°"‘9° I bzarr ‘ bran bran ‘ b2”I2 . "H521 ‘ “I2’‘21 ; ; : J 13 X1 = ‘ anan - flnllzr - “ ' tic associados a matriz dos coe- Observe que os denominadores sao Iguars e 65 ficientes do sistema "I I 11 1 2 ‘I21 "22 Num sistema 3 X 3 aux. + 11:23‘: * aux; = bl flux: * 31212 + ”23’‘3 = 1’? a, .x, + aux; + ¢133X3 = '73 (dbsde que Sejam possfveis as operaqoes), ac procurarmos os valores de x, , X; e x, , vemos que eles tém o mesmo denominador 111111221133" ”1|‘f13a32 ‘ - , ;l3ana3,, que tambem esta associado a — auanagg + Ilnllzallai ‘' fliallaifln matriz dos coeficientes do sistema an (1,; "13 an an 023 an an 1133 » nos denominadores associados as Vamos IEVEI CSKCS IIUIIICIOS que aparecem h ado lares do que <5 C ‘rim - : mimeros sao casos particu matnzes (quadradas). Es es Bmoma dd determinants de uma matriz quadrada. ale]-‘Cia5facnn| I IED15

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