Interpolación alejandro

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Interpolación alejandro

  1. 1. Republica Bolivariana De VenezuelaMinisterio Del Poder Popular Para La Educación Superior Universidad Fermín Toro Núcleo Portuguesa Ing. en Computación Estudiante Alejandro riera Cl:24023666 Araure 9 de febrero del 2013
  2. 2. INTERPOLACIÓN Son los nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discretode puntos. Pero en la función interpólate de dichos puntos. A los puntos xk se lesllama nodos. Algunas formas de interpolación que se utilizan con frecuencia sonla interpolación lineal, la interpolación la interpolación por medio despline ola interpolación poli nómica de Hermite.INTERPOLACIÓN LINEAL se utilizan dos puntos, (xa,ya) y (xb,yb), para obtener un tercer puntointerpolado (x,y) a partir de la siguiente fórmula: La interpolación lineal es rápida y sencilla, pero no muy precisa.INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA Cuando el polinomio que conviene es de 2º grado la interpolación recibe elnombre de cuadrática. El polinomio interpolador es único, luego como seencuentre da igual., sin embargo, a veces los cálculos son muy laboriosos y espreferible utilizar un método que otro. A la vista de los datos se decidePOLINOMIO INTERPOLARTE DE GAUSS Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del Método deNewton-Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla dediferencias; Por ejemplo la fórmula del Polinomio Interpelante de Gauss (enavance y retroceso), donde la trayectoria es en forma de cruzada, es decir losvalores desde el punto de partida Xo serán seleccionados en forma de cruzada. En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en forma decruzada, iniciando primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y asísucesivamente. En fórmula de avance los valores son tomados en forma decruzada iniciando primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y asísucesivamente. A continuación se tiene las fórmulas de avance y retroceso delPolinomio Interpolarte de Gauss.INTERPOLACIÓN DE HERMITE En algunas aplicaciones que se precisan a una interpolación que trabajacon datos ya escritos de la función y su derivadas en una serie de puntos con el
  3. 3. objeto de aumentar la aproximación de los puntos . dentro de estas clases demétodo esta la interpolación de hermiteINTERPOLACIÓN DE SPLINESUna función spline está formada por varios polinomios, cada uno definido sobre unsub intervalo, que se unen entre sí obedeciendo a ciertas condiciones decontinuidad.  Supongamos que disponemos de n+1 puntos, a los que denominaremos nudos, tales que .  Supongamos además que se ha fijado un entero .  Decimos entonces que una función spline de grado k con nudos en es una función S que satisface las condiciones: o en cada intervalo , S es un polinomio de grado menor o igual a k. o S tiene una derivada de orden (k-1) continua en .Los splines de grado 0 son funciones constantes por zonas. Una forma explícitade presentar un spline de grado 0 es la siguiente:TIPO DE INTERPOLACIÓN DE SPLINES  Trazadores lineales La unión más simple entre dos puntos es una línea recta  Trazadores (splines) cuadráticos: Para asegurar que las derivadas m- ésimas sean continuas en los nodos, se debe emplear un trazador de un grado de, al menos, m + 1. En la práctica se usan con más frecuencia polinomios de tercer grado o trazadores cúbicos que aseguran primera y segunda derivadas continuas.
  4. 4.  Trazadores cúbicos : es el spline más empleado, debido a que proporciona un excelente ajuste a los puntos tabulados y su cálculo no es excesivamente complejo.POLINOMIO INTERPOLARTE DE LAGRANGEEste método de interpolación consiste en encontrar una función que pase a travésde n puntos dados. Un polinomio en series de potencias es g(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxnLa formula de interpolación de Lagrange de orden n esMÉTODO DE LAS DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTONLa forma general del polinomio interpólate de Newton para n+1 datos (x0, ƒ(x0)),(x1, ƒ(x1)), ..., (xn, ƒ(xn)) es: Los coeficientes ai se obtienen calculando un conjunto de cantidadesdenominadas diferencias divididas. La notación para las diferencias divididas deuna función ƒ(x) están dadas por:Las diferencias divididas de orden superior se forman de acuerdo con la siguienteregla recursiva:
  5. 5. Retomando el polinomio interpolante de Newton:Pn(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)(x – x1) + ... +an(x – x0)(x – x1)…(x – xn-1)Observamos que Pn(x0) = a0. Como Pn(x) interpola los valores de ƒen xi, i=0,1,2,...,nentonces P(xi) = ƒ(xi), en particular Pn(x0) = ƒ(x0) = a0. Si se usala notación de diferencia dividida a0= ƒ[x0]. Ahora, Pn(x1)= a0 + a1(x1 – x0),como Pn(x1)= ƒ(x1) y a0= ƒ(x0), entonces reemplazando se tiene ƒ(x1)=ƒ(x0) + a1(x11–x0), donde Si se usa la notación de diferencia dividida a1= ƒ[x0, x1].De manera similar cuando se evalúa Pn(x) en x = x2 se obtiene a2 = ƒ[x0, x1, x2]. Engeneral ai = ƒ[x0 ,x1 ,x2, ..., xi], y el polinomio interpólate de Newton se escribecomo: (2) En la formula se muestra la forma recursiva para calcular los coeficientesdel polinomio interpólate de Newton para 4 pares de valores (x, ƒ(x)) Loselementos de la diagonal en la formula son los coeficientes del polinomiointerpólate de Newton para el caso de un polinomio de grado 3.

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