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el concepto Estabilidad

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Estabilidad control

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el concepto Estabilidad

  1. 1. Capítulo 4: ESTABILIDAD El Concepto de Estabiliad Un sistema lineal e invariante en el tiempo, SLIT, es estable si ante una entrada limitada o acotada responde con una salida limitada o acotada. 𝑟 𝑡 ≤ 𝑁 < ∞; ∀ 𝑡 ≥ 𝑡0 ≥ 𝑦 𝑡 ≤ 𝑀 < ∞; ∀ 𝑡 ≥ 𝑡0 ≥
  2. 2. Concepto de Estabilidad Estable Neutral Inestable
  3. 3. Consideremos la siguiente función de transferencia de lazo cerrado: Donde las a y las b son constantes y m ≤ n. 𝑌(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝑏 𝑚 𝑠 𝑚 + 𝑏 𝑚−1 𝑠 𝑚−1 + 𝑏 𝑚−2 𝑠 𝑚−2 + ⋯ + 𝑏1 𝑠 + 𝑏0 𝑎 𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + 𝑎 𝑛−2 𝑠 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0 La Ecuación Característica (EC) del Sistema es: 𝑎 𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + 𝑎 𝑛−2 𝑠 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0 = 0
  4. 4. Una condición necesaria y suficiente para que un Sistema realimentado sea estable, es que todas las raíces de la EC esten ubicadas en el semiplano izquierdo de Laplace. Concepto de Estabilidad Nota.- Las raíces de la EC son los polos de lazo cerrado del sistema realimentado.
  5. 5. Estabilidad Absoluta Se refiere a la condición de un Sistema de ser estable o no. Estabilidad Relativa Se refiere al grado de estabilidad del Sistema. Si un Sistema es estable, entonces se puede determinar su grado de estabilidad o estabilidad relativa. Tipos de Estabilidad
  6. 6. Criterio de Estabilidad de Routh-Hurwitz Si no se cumplen, el sistema es inestable. Si se cumplen, pasaremos a analizar la estabilidad del Sistema. Si todos los coeficientes de la ecuación característica de un sistema de control realimentado tienen el mismo signo y son diferentes de cero, diremos que se esta cumpliendo los dos requisitos necesarios, pero no suficientes para que el sistema sea estable.
  7. 7. Arreglo de Routh-Hurwitz      31 31 1 1 51 4 1 3 31 2 11 321 1 1 0 531 3 531 2 531 1 42 01 2 2 1 1 1 1 1 0                                      nn nn n n nn nn n n nn nn nn nnnn n n nnn n nnn n nnn n nnn n n n n n n n bb aa b c aa aa a b aa aa aa aaaa b hs cccs bbbs aaas aaas asasasasa  Ecuación Característica, Arreglo de Routh
  8. 8. El criterio de Routh-Hurwitz establece que: El número de raíces de la Ecuación Característica con parte real positiva en el plano de Laplace es igual al número de cambios de signo de la primera columna del arreglo de Routh-Hurwitz.
  9. 9. Casos del Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz Caso 1: Ningun elemento de la primera columna es cero. 0 0 1 0 1 1 02 2 bs as aas Ejemplo.- Sea la EC: Un sistema de segundo orden es estable si la EC es un polinomio completo y todos sus coeficientes tienen el mismo signo. 𝑎2 𝑠2 + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0 = 0 El arreglo R-H es: 𝑏1 = 𝑎1 𝑎0 − (0)𝑎2 𝑎1 = 𝑎0
  10. 10. Caso 2: Ceros in la primera columna del arreglo R-H con algunos elementos de la fila que contiene al cero diferentes de cero. 0010 00 010 06 1042 1121 0 1 1 1 2 1 3 4 5 s ds cs bs s s Ejemplo.- Hay 2 cambios de signo en la primera columna del arreglo R-H, el sistema es inestable (2 polos de lazo cerrado con parte real positiva.) 𝑠5 + 2𝑠4 + 2𝑠3 + 4𝑠2 + 11𝑠 + 10 = 0 𝑏1 = 2 2 − 1(4) 2 = 0 = 𝜀 𝑐1 = 4𝜀 − 2(6) 𝜀 = −12 𝜀 𝑑1 = 6𝑐1 − 10𝜀 𝑐1
  11. 11. Caso 3: Ceros en la primera columna del arreglo R-H, y los otros elementos de la fila que contiene al cero también son ceros. 0 0 2 41 0 2 81 2 3 Ks s Ks s K El sistema es estable con 0 < K < 8. El sistema es oscilante con K = 8. En la fila de 𝑆1 del arreglo R-H todos los elementos de la fila son ceros. Ejemplo.- Sea la EC: 𝑠3 + 2𝑠2 + 4𝑠 + 𝐾 = 0
  12. 12. Usemos la ecuación auxiliar U(s) = 0; para determinar las raíces que generan la respuesta oscilante del sistema. La ecuación auxiliar la formaremos con los coeficiente de la fila 𝑆2 . 𝑈 𝑠 = 2𝑠2 + 𝐾𝑠0 = 2𝑠2 + 8 = 2 𝑠2 + 4 = 2(𝑠 + 𝑗2)(𝑠 − 𝑗2) La tercera raíz de la EC se halla dividiendo la EC entre U(s), y es (s + 2).
  13. 13. PROBLEMA Una línea de llenado de botellas usa un mecanismo alimentador tipo tornillo, Como se muestra en la figura. El tacómetro se usa para mantener un control de velocidad preciso. Determine y grafique el rango de K y p para tener una operación estable.
  14. 14. Problema: El diseño de control de giro de un vehículo de dos carriles contempla la selección de dos parámetros K y a (ver Fig.). Los carriles se operan a velocidad diferente para hacer girar al vehículo. Seleccione K y a, tal que el sistema sea estable y el error para una entrada rampa sea menor o igual al 24% de la magnitud de la rampa de entrada.

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