CALCULO VECTORIAL

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CALCULO VECTORIAL

  1. 1. 1.1 CALCULO DE VECTORES R2, R3 Y SU GENERALIZACION EN Rn .1.2 OPERACIONES CON VECTORES Y SUS PROPIEDADES.1.3 PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL.1.4 PRODUCTOS TRIPLES.1.5 APLICACIONES FÍSICAS Y GEOMÉTRICAS DE PRODUCTOS ESCALARES Y VECTORILAES.1.6 ECUACIONES RECTAS Y PLANOS.
  2. 2. En diferentes ámbitos de estudio, relacionado a las matemáticas talcomo la física, la geometría y en aplicaciones de ingeniería, es comúnutilizar magnitudes de dos tipos las escalares y las vectoriales .La primera solo representa una cantidad, un ejemplo es la longitud yla temperatura; mientras que las magnitudes vectoriales estánrepresentadas por un modulo, una dirección y sentido, ejemplo deesto es la fuerza, la velocidad y la rapidez; así como también unpunto de aplicación. sentido θ dirección
  3. 3. 1.1 CALCULO DE VECTORES R2, R3 Y SU GENERALIZACION EN Rn .Hablamos de vectores R2 cuando el análisis que se realiza esta dada en un planode dos dimensiones, de tal manera que cuando analizamos vectores R3utilizamos un plano de tres dimensiones y por último la generalización en unespacio Rn cuando el análisis es de “n” dimensiones
  4. 4. TIPO DE VECTORESVECTORES UNITARIOS: se consideran zunitarios porque su modulo es deunidad uno. 1Vectores unitarios trirrectangulares.-son una serie de vectores quecorresponden a los ejes de un sistema 1 1de coordenadas cartesianas en el Sistema de coordenadas x cartesianas yespacio x, y, z. Es preferible utilizar estovectores con sentido positivo de losejes VECTORES COMPONENTES (A1i, A2j, A3k): son aquellos que se a3 representan en un espacio de tres dimensiones. También pueden ser Q llamados vectores componentes P rectangulares, tomando como a2 a1 referencia las coordenadas cartesianas x y z Componentes de un vector
  5. 5. TIPO DE VECTORESVectores equipolentes : estos vectores tienen el mismo modulo, dirección e idénticosentido . A B Fig. 2Vector opuesto: tienen el mismo modulo dirección pero con sentido contrario. A -A
  6. 6. 1.2 OPERACIONES CON VECTORES Y SUS PROPIEDADES. Suma o resultante: es un vector equivalente de magnitud igual a la suma de dos que se encuentran en una misma línea Se puede representar : Vector 1 VR=v1+v2 Vector 2Diferencia entre vectores: para hacer la diferencia de vectores, se suma al vectorminuendo al vector sustraendoProducto por un escala: dado una cantidad es calar podemos efectuar lamultiplicación por un vector y obtener otro
  7. 7. PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA VECTORIAL 1. A + B = B + A Propiedad conmutativa de la suma 2. A + (B + C) = (A + B) + C Propiedad asociativa de la suma3. mA = Am Propiedad conmutativa del producto por un escalar4. m(nA) = (mn)A Propiedad asociativa del producto por un escalar5. (m + n)A = mA + Na Propiedad distributiva del producto por un escalar respecto de la suma de escalares6. m(A + B) = mA + mB Propiedad distributiva del producto por un escalar respecto de la suma de vectores
  8. 8. 1.3 PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL.Producto escalar: el producto punto de los vectores a=[a1,a2,a3] y b=[b1,b2,b3], sedefine como: a=b=0 Donde Para calcularlo en forma de Para calcular el modulo en términos de componente: producto interno, donde a = b: Podemos calcular gama de la siguiente manera:
  9. 9. 1.3 PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL. Producto vectorial: este producto da como resultado otro vector El producto vectorial a x b de dos vectores a=[a1,a2,a3] y b=[b1,b2,b3], es un vector: v=axb Si a y b tienen direcciones iguales u opuestas o si uno de ellos es el vector cero, entonces v = a x b = 0 Su modulo se calcula de la siguiente manera:Para la forma en componentes: v=[v1, v2, v3] = a x b
  10. 10. Propiedades del producto escalarTambién conocido como producto puto tiene las siguientes propiedades: Propiedad conmutativa Propiedad distributiva del producto escalar respecto de la suma siendo m un escalar
  11. 11. Propiedades del producto vectorial
  12. 12. 1.4 PRODUCTOS TRIPLES(ESCALARES Y VECTORIALES) PRODUCTOS TRIPLES: Por medio de productos escalares y vectoriales de tres vectores, A, B y C, se pueden formar productos de la forma 1. Se verifican las propiedades siguientes: 2.El volumen de un paralelepípedo de aristas A, B y C, con signo positivo o negativo según que A, B yC formen un triedro a derechas o a izquierdas. Si Triple producto vectorial Triple producto escalar
  13. 13. 1.5 APLICACIONES FÍSICAS Y GEOMÉTRICAS DE PRODUCTOS ESCALARES Y VECTORILAES.En lo que se refiere a las aplicaciones físicas, esta va más orientada a lo que son los vectores .Por ejemplo podemos aplicar el cálculo para determinar la velocidad de cierta partícula, asícomo también podemos calcular la aceleración de la misma o la distancia que existe entre unpunto y otro.En la aplicación geométrica representamos al vector como una recta en al espacio, donde estapuede ser paralelo a otro, la cual en su representación va a sería una sola rectaEjemplo: Suponga que dos navegantes que no se pueden ver entre sí, pero que se pueden comunicar porradio, quieren determinar la posición relativa de sus barcos. Explique cómo pueden hacerlo si cada uno tienela capacidad de determinar su vector de desplazamiento al mismo faro.| P1 d1 Q d=d1 – d2 d2 Tenemos que d + d2 = d1, de modo que d = d1 – d2. Esto P2 es, el desplazamiento de un barco hasta el otro es la diferencia entre los desplazamientos desde los barcos hasta el faro.
  14. 14. 1.6 ECUACIONES RECTAS Y PLANOS.En el espacio la manera más fácil de representar una recta es mediante vectores,para ello dado un vector v trazamos un vector director o normal, paralelo al vector,esto es con la ayuda de los componentes . Cabe recalcar que una recta tiene unpunto inicial A y un punto final B.Basándonos en la ecuación general de la recta r=a + λ(b - a), donde a y b son losvectores posición de los puntos A y B, unidos por una recta.De aquí partimos hasta llagar a las ecuaciones paramétricas, donde está definidoque una recta paralela a un vector distinto de cero se denota por (a, b, c), el cualpasa por un punto (x1, y1, z1), multiplicando al vector por una variable “t”, siendoesta última un escalar considerado como “tiempo”, dando como resultado lasecuaciones paramétricas:De tal manera que al despejar el tiempo obtendremos las ecuaciones simétricas:
  15. 15. 1.6 ECUACIONES RECTAS Y PLANOS.En la resolución de estas no podemos encontrar dos casos diferentes: El primer caso es: cuando la recta l pasa por un punto P 1. Usar las coordenadas representadas por P(x1, y1, z1), que es un lugar donde pasa la recta, con los números de dirección v(a, b, c) entonces tenemos que el conjunto de las ecuaciones paramétricas son: 2. Y las ecuaciones simétricas son: Nota: cuando tengamos problemas en donde nos señalen solo un punto y el vector de dirección, siendo estos paralelos, bastará con sustituir en las ecuaciones antes planteadas
  16. 16. 1.6 ECUACIONES RECTAS Y PLANOS.Segundo caso: cuando la recta pasa por dos puntos P y QEn este caso solo tenemos como referencia dos puntos, por lo que es necesarioencontrar nuestro vector de dirección , el cálculo queda de la siguientemanera:1. Dado el punto P(x1, y1, z1) y Q(x2, y2, z2), aplicamos lo siguiente: Vector director2. Ahora tomamos como referencia cualquiera de los puntos como referencia, independientemente del problema, para llegar a las ecuaciones paramétricas:3. Las simétricas son:
  17. 17. 1.6 ECUACIONES RECTAS Y PLANOS. Planos en el espacioEn este apartado veremos es posible representar una ecuación para un plano en elespacio, deduciendo la a partir de un punto y el vector perpendicular(normal) a él.Para ello consideramos:1. El plano que contiene el punto P(x1, y1, z1)2. Un vector normal no nulo n=<a, b, c>, ver figura.3. El plano consta de todos los puntos Q (x, y, z) para los que el vector PQ es perpendicular. Usando el producto escalar podemos escribir: z n P. Q y x
  18. 18. 1.6 ECUACIONES RECTAS Y PLANOS. Ecuación canónica de una recta en el espacioEl plano que contiene el punto (x1, y1, z1) y tiene un vector normal n = <a, b, c> puederepresentarse en forma canónica por la ecuación: Ecuación general:
  19. 19. EJERCICIODados los vectores :

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