1. PFDS 7.4
Bottom-Up Mergesort
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@rf0444

2. Bottom-Up Mergesort
2 7 1 3 4 8

3. Bottom-Up Mergesort
sort
2 7 1 3 4 8 1 2 3 4 7 8

4. Bottom-Up Mergesort
sort
2 7 1 3 4 8 1 2 3 4 7 8
O(n)

5. Bottom-Up Mergesort
sort
2 7 1 3 4 8 1 2 3 4 7 8
add
5 2 7 1 3 4 8

6. Bottom-Up Mergesort
sort
2 7 1 3 4 8 1 2 3 4 7 8
add
O(1)
5 2 7 1 3 4 8

7. Bottom-Up Mergesort
sort
2 7 1 3 4 8 1 2 3 4 7 8
add sort
5 2 7 1 3 4 8 1 2 3 4 5 7 8

8. Bottom-Up Mergesort
sort
2 7 1 3 4 8 1 2 3 4 7 8
add sort
5 2 7 1 3 4 8 1 2 3 4 5 7 8
O(n)

9. Bottom-Up Mergesort
5 2 7 1 3 4 8
add 6
O(n)
1 2 3 4 5 6 7 8

10. Bottom-Up Mergesort
add sort
最悪 O(n) O(n)
ならし O(log n) O(n)

11. Bottom-Up Mergesort
add すると、たまに大きな merge が走る
そのとき O(n)
merge を incremental にして、
少しずつ merge するようにしよう！

12. データ構造
segment 毎に schedule を用意
schedule にはまだ計算していない merge
部分を持っておく

13. データ構造
add の度に 各 segment の
先頭 schedule から 2 つ取り除く
先頭 schedule が nil なら 次の schedule へ

14. 動作
segment
schedule

15. add 1回目 exec前
segment 5
schedule

16. add 1回目 exec後
segment 5
schedule

17. add 2回目 exec前
segment
m 3
5
schedule

18. add 2回目 exec後
segment
3 5
schedule

19. add 2回目 exec後
segment 3 5
schedule

20. add 3回目 exec前
segment 7 3 5
schedule

21. add 3回目 exec後
segment 7 3 5
schedule

22. add 4回目 exec前
segment m 3 5
m 4 7
schedule

23. add 4回目 exec後
segment m 3 5
4 7
schedule

24. add 4回目 exec後
segment
m 4 7 3 5
schedule

25. add 5回目 exec前
segment 6
m 4 7 3 5
schedule

26. add 5回目 exec後
segment 6
3 4 m 7 5
schedule

27. add 6回目 exec前
segment
m 2
6 3 4 m 7 5
schedule

28. add 6回目 exec中
segment
2 6 3 4 m 7 5
schedule

29. add 6回目 exec中
segment
2 6 3 4 5 7
schedule

30. add 6回目 exec後
segment 2 6 3 4 5 7
schedule

31. add 7回目 exec前
segment 8 2 6 3 4 5 7
schedule

32. add 7回目 exec後
segment 8 2 6 3 4 5 7
schedule

33. add 8回目 exec前
segment
m 3 4 5 7
m 2 6
m 1 8
schedule

34. add 8回目 exec後
segment
m 3 4 5 7
m 2 6
1 8
schedule

35. add 8回目 exec後
segment
m 3 4 5 7
m 1 8 2 6
schedule

36. add 9回目 exec前
segment 9
m 3 4 5 7
m 1 8 2 6
schedule

37. add 9回目 exec後
segment 9
m 3 4 5 7
1 2 m 8 6
schedule

38. 計算量
1 回の add で merge 部分は、
最大で log n 個作られる
1個作るのにかかるのは O(1)
全部で O(log n)

39. 計算量
1 回の add での exec によって、merge は
セグメントそれぞれ最大2つずつ進む
サイズ n への add の merge 部分の計算は、
最大で 2 * log2 n → O(log n)
↑ セグメントの数 (最大)

40. 計算量
sort
schedule に残っている merge を消化
セグメントを merge ← O(n)

41. 計算量
n schedule 内の要素数
0 0
1 0
2 0
3 0
4 4
5 2
6 0
7 0
8 12
9 10

42. 計算量
Lemma 7.2
サイズ n の sortable が持っている、
サイズ m のセグメントの持つ要素数は、
多くとも
2 m - 2 (n mod m + 1)

43. 計算量
サイズ n の sortable が持っている、
セグメント内の要素数は、多くとも
i
2n - 2 i Σ0 b i (n mod 2 - 1)
=

44. potential
i
ψ(n) = 2n - 2 i Σ0 b i (n mod 2 - 1)
=
0 ≦ ψ(n) ≦ 2n

45. potential
b の項
n 2n 0 1 2 3 ψ(n)
0 0 + = 0
1 2 + -2 = 0
2 4 + -2 = 2
3 6 + -2 -4 = 0
4 8 + -2 = 6
5 10 + -2 -4 = 4
6 12 + -2 -6 = 4
7 14 + -2 -4 -8 = 0
8 16 + -2 = 14
9 18 + -2 -4 = 12
10 20 + -2 -6 = 12

46. 比較
n schedule 内の要素数 ψ(n) 2n
0 0 0 0
1 0 0 2
2 0 2 4
3 0 0 6
4 4 ≦ 6 ≦ 8
5 2 4 10
6 0 4 12
7 0 0 14
8 12 14 16
9 10 12 18

47. 計算量
sort
schedule に残っている merge を消化
↑ O(n)
セグメントを merge ← O(n)

48. 計算量
add sort
O(n)
最悪 O(n)
→ O(log n)
ならし O(log n) O(n)