Conicas

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Conicas

  1. 1. Una SECCION CONICA es la curva que se traza sobre un cono, al ser intersectado por un plano. SECCIONES CÓNICAS
  2. 2. LUGAR GEOMÉTRICO Las secciones cónicas pueden definirse mediante el concepto de lugar geométrico, que es el conjunto de puntos que cumplen una condición común
  3. 3. Conozcamos un poco de historia …… Orígenes Menaechmus (siglo IV a.C.): mostró que las cónicas se obtienen al cortar un cono por planos no paralelos a la base. Apollonius de Perga (siglo III a.C.): el primero que las introdujo públicamente, escribiendo “Las Cónicas”, el más importante tratado antiguo sobre las secciones cónicas. Galileo (siglo XVI): demostró que las trayectorias de los proyectiles son parabólicas.
  4. 4. Conozcamos un poco de historia …… Orígenes Kepler (siglo XVII): rescató las cónicas al encontrar en la elipse la respuesta al enigma del movimiento planetario, descubriendo que el planeta Marte tiene órbitas elípticas y el sol está situado en uno de sus focos. Newton (siglo XVII): enunció la famosa ley de la gravitación universal, en base a este descubrimiento .
  5. 5. La Circunferencia Es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto fijo es constante. Centro =(h;k) Radio = r
  6. 6. Ecuación de la Circunferencia 2 2 2 x h y k r • La ecuación de la circunferencia de centro (3, -1) y radio 4 2 2 3 1 16x y
  7. 7. Algunas Aplicaciones • Los Cds, estas piezas de la electrónica requieren de mucha precisión para su correcto funcionamiento. • En el transporte también podemos apreciar la presencia de la Circunferencia, en la Bicicleta, lla rueda se afirma desde el centro y desde este salen un montón de alambres delgados llamados “rayos” y estos son radios que mantienen la forma circunferencial de la rueda perfectamente. • La circunferencia también está presente en la naturaleza, al cortar un árbol, se pueden apreciar muchos “anillos” que están en el tronco. Y con el “tamaño” de cada anillo, se puede determinar la edad que tiene cierto árbol.
  8. 8. La Parábola Una parábola es el conjunto de puntos en el plano para los cuales la distancia desde un punto de la parábola a un punto fijo llamado el foco es igual a la distancia desde el punto hasta una línea fija llamada la directriz.
  9. 9. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 Directriz Foco Vértice La Parábola
  10. 10. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y (0, p) (x, y) y = – p 1D 2D 1 2D D Vértice Directriz Foco Las ecuaciones de la Parábola
  11. 11. La ecuación de la parábola será: 1 2D D 2 2 2 2 0( ) ( ) ( ) ( ( ))x y p x x y p 2 2 2 ( ) ( )x y p y p 2 2 2 2 2 2 2x y yp p y yp p 2 2 2x yp yp 2 4x yp 2 4x py Las ecuaciones de la Parábola
  12. 12. Ecuación 1: La ecuación de una parábola con vértice en el origen, foco en (0, p) y directriz y = – p es, 2 4x py De igual manera podemos encontrar la ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco en (p,0). Ecuación 2: La ecuación de una parábola con vértice en el origen, foco en (p, 0) y directriz x = – p es, .2 4y px Las ecuaciones de la Parábola
  13. 13. 2 1. 2y x 21 2 y x 1 4 2 p 1 8 p 0p abre hacia arriba 1 0 8 ,F 0 0( , )V 1 8 y ; 0Eje de y x Vértice Foco Directriz Eje de simetría Encuentra el vértice, el foco, el eje de simetría y traza la gráfica de cada parábola.
  14. 14. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y 2 2y x x y 0 0 1 2 -1 2 (0,0) (1,2)(– 1,2) 1 0 8 ,F 1 0 8 ,F 0 0( , )V 1 8 y Vértice: Foco: Directriz:
  15. 15. MOVIMIENTO PARABÓLICO Aplicaciones de la Parábola
  16. 16. La Elipse  La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante
  17. 17. La Elipse
  18. 18. Ecuación  La ecuación de una elipse con centro en el origen de coordenadas y focos sobre el eje de las abscisas es: 2 2 2 2 1 x y a b  Si los focos están sobre el eje de ordenadas , la ecuación de la elipse es 2 2 2 2 1 x y b a 2 2 2 a b c En ambos casos se verifica:
  19. 19. Ejemplo  Para hallar la ecuación de una elipse de focos F1=(3;0) y F2=(-3;0) cuyo eje mayor es 10, procedemos así:  Hallamos a resolviendo la ecuación 2a=10; a =5  Hallamos b mediante la relación 2 2 2 4a b c b 2 2 1 25 16 x y
  20. 20. • El astrónomo Kepler (1571-1630) descubrió que las órbitas que describen los planetas al girar alrededor del sol son elipses que tienen al sol en uno de sus focos. Aplicación de la Elipse
  21. 21. • La Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que el módulo de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante
  22. 22. • Centro en el origen de coordenadas y foco sobre el eje de las abscisas es • Si los focos están sobre el eje de ordenadas, la ecuación es: 2 2 2 2 1 x y b a 2 2 2 2 1 x y b a En ambos casos se verifica que: 2 2 2 c a b
  23. 23. • Ejemplo : Hallar las coordenadas de los vértices y de los focos, las ecuaciones de las asíntotas y la excentricidad de la hipérbola 9x2 - 16y2 = 144. Primero se divide entre 144 para obtener De aquí que a=4, b=3 y c=5 puesto que c2 = a2 + b2 Luego los vértices son: y los focos: Asíntotas: Excentricidad:
  24. 24. – Trayectorias de cometas. Un cuerpo celeste que provenga del exterior del sistema solar y sea atraído por el sol, describirá una órbita hiperbólica, teniendo como un foco al sol y saldrá nuevamente del sistema solar. – El cono de luz que emana de una lámpara de mesa con pantalla troncocónica, es una hipérbola. Los focos de los estadios deportivos son hiperbólicos porque interesa dispersar la luz.

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