Sesión N°2 Lógica PPS Unimet

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Proposiciones y Conectivos de la Asignatura de Lógica FBMM02 para PPS Julio de 2007

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Sesión N°2 Lógica PPS Unimet

  1. 1. Lógica FBMM02 Profesionalización en Servicio Profesor: Ricardo Escalante
  2. 2. Agenda <ul><li>Proposiciones Simples </li></ul><ul><li>Conectivos y proposiciones compuestas. </li></ul><ul><li>Tablas de verdad </li></ul><ul><li>Construcción de tablas de verdad para proposiciones compuestas </li></ul><ul><li>Formas derivadas del condicional </li></ul><ul><li>Simbolización </li></ul>
  3. 3. Proposición <ul><li>Es un enunciado al cual se le puede asociar el concepto de verdadero o falso , pero no ambos . </li></ul><ul><li>Ejemplos: </li></ul><ul><li>La luna es cuadrada </li></ul><ul><li>7 es un número primo </li></ul><ul><li>Las arañas son mamíferos </li></ul><ul><li>¿Son proposiciones? </li></ul><ul><li>¿Qué hora es? </li></ul><ul><li>Por favor, cierre la puerta </li></ul><ul><li>El 6 de abril de 1876 fue sábado </li></ul><ul><li>D ice el Presidente : </li></ul><ul><li>“ Todos en este país son unos mentirosos y esto es verdad” </li></ul>
  4. 4. Proposiciones compuestas Conectivos <ul><li>Si conocemos el valor de verdad de ciertas proposiciones, la lógica establece el valor de verdad de otras relacionadas con éstas. </li></ul><ul><li>A éstas proposiciones obtenidas de la composición con las originales se les conoce como proposiciones compuestas </li></ul>
  5. 5. Negación <ul><li>Si p es una proposición, entonces “ no p ” es la negación de p y se denota por: </li></ul><ul><li>~ p </li></ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>p: Hoy es martes </li></ul><ul><li>~ p: Hoy no es martes </li></ul><ul><li>¿Qué sucede con la negación de p, siendo p verdadero? </li></ul><ul><li>Es falsa </li></ul><ul><li>¿Qué sucede con la negación de p, siendo p falso? </li></ul><ul><li>Es verdadera </li></ul>
  6. 6. Negación <ul><li>Esto lo podemos escribir de una manera “compacta”, utilizando una tabla </li></ul><ul><li>A esta tabla se le llama “tabla de certeza de la negación” </li></ul>p ~ p V F F V Posibilidades para la proposición p
  7. 7. Conjunción <ul><li>Si p y q son proposiciones, se llama conjunción de p y q a la proposición compuesta “p y q “ y se denota por: </li></ul><ul><li>p  q </li></ul><ul><li>Ejemplos: </li></ul><ul><li>p: Hoy es martes </li></ul><ul><li>q: La luna es cuadrada </li></ul><ul><li>r: mañana es miércoles </li></ul><ul><li>p  q :Hoy es martes y la luna es cuadrada </li></ul><ul><li>p  r :Hoy es martes y mañana es miércoles </li></ul>
  8. 8. Conjunción <ul><li>Para construir la tabla de p  q, debemos considerar las diferentes alternativas de valores de verdad para p y para q: </li></ul><ul><li>¿Cuáles son ? </li></ul><ul><ul><li>Ambas verdaderas </li></ul></ul><ul><ul><li>una V y la otra F </li></ul></ul><ul><ul><li>ambas falsas </li></ul></ul>p q p  q V V V V F F F V F F F F
  9. 9. Disyunción <ul><li>Si p y q son proposiciones, se llama disyunción de p y q a la proposición compuesta “p o q” y se denota por: </li></ul><ul><li>p  q </li></ul>p q p  q V V V V F V F V V F F F
  10. 10. Disyunción <ul><li>Ser é cantante o futbolista </li></ul><ul><li>p: Ser é cantante </li></ul><ul><li>q: Ser é futbolista </li></ul><ul><li>Simbolización: </li></ul><ul><li>p  q </li></ul>p q p  q V V V V F V F V V F F F
  11. 11. Condicional <ul><li>Si p y q son proposiciones, se llama condicional de p y q a la proposición compuesta “si p, entonces q” y se denota por: </li></ul><ul><li>p  q </li></ul><ul><li>Ejemplos: </li></ul><ul><li>Si no llueve (entonces) iremos a la playa </li></ul><ul><li>Si me gano la lotería (entonces) me voy de viaje </li></ul><ul><li>Si no estudio (entonces) no aprobaré Lógica </li></ul>
  12. 12. Condicional <ul><li>Veamos la tabla del condicional: </li></ul><ul><li>p  q </li></ul><ul><li>Conviene pensar en una “promesa” ..... Si no llueve (entonces) iremos a la playa </li></ul>p q p  q V V V V F F F V V F F V
  13. 13. Condicional <ul><li>El condicional es falso, sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso; es decir, cuando la “promesa” no se cumple. </li></ul>p q p  q V V V V F F F V V F F V
  14. 14. Condicional <ul><li>El condicional es muy importante en matemáticas, porque los Teoremas se expresan en forma condicional. </li></ul><ul><li>Un Teorema será un condicional verdadero con hipótesis verdadera </li></ul>p q p  q V V V
  15. 15. Condicional y Teoremas <ul><li>En los Teoremas, al antecedente del condicional (p) se le llama Hipótesis y al consecuente (q) se le llama Tesis o Conclusión </li></ul><ul><li>Los Teoremas requieren de una demostración; es decir, partiendo de una hipótesis verdadera, hay que demostrar que la Conclusión es verdadera. </li></ul>
  16. 16. Tablas de verdad <ul><li>Recordemos que el valor de certeza de una proposición compuesta depende de los valores de certeza de las proposiciones simples que la componen </li></ul><ul><li>Para analizar los valores de certeza de una proposición compuesta, representamos todas las posibilidades de valores de verdad de las proposiciones simples, en un arreglo de tabla </li></ul>
  17. 17. Ejemplo con 2 proposiciones simples <ul><li>Construyamos la tabla de verdad para la siguiente proposición : (p  q)  (p  ~q) </li></ul><ul><li>4 filas de posibilidades </li></ul>p q V V V F F V F F p  q p  ~q V F F V F V F V ~q F V F V (p  q)  (p  ~q) F F F F
  18. 18. Ejemplo con 3 proposiciones simples <ul><li>¿Cuántas posibilidades tendremos? </li></ul>8 p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F
  19. 19. Ejemplo con 3 proposiciones simples Hacer la tabla de certeza para: (r  p)  ~(q  p) p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F r  p q  p ~(q  p) V V F V V F V V F V V F V V F F V F V F V F F V (r  p)  ~(q  p) F F F F F F V F
  20. 20. En resumen <ul><li>Una tabla de verdad para proposiciones compuestas que contienen: </li></ul><ul><li>1 proposición simple… tendrá 2 filas </li></ul><ul><li>2 proposiciones simples </li></ul><ul><li>3 proposiciones simples </li></ul><ul><li>4 proposiciones simples </li></ul><ul><li>…… razonando inductivamente…….. </li></ul><ul><li>n proposiciones simples </li></ul>4 = 2 2 filas 8 = 2 3 filas 16= 2 4 filas 2 n filas
  21. 21. Formas de expresar un condicional……. <ul><li>Si es caraqueño , es venezolano ( p  q ) </li></ul><ul><li>Es venezolano , siempre que sea caraqueño </li></ul><ul><li>Es venezolano si es caraqueño </li></ul><ul><li>Es suficiente que sea caraqueño para que sea venezolano </li></ul><ul><li>Siempre y cuando sea caraqueño, será venezolano . </li></ul><ul><li>Es necesario que sea venezolano para ser caraqueño </li></ul><ul><li>TODAS ESTAS EXPRESIONES SE SIMBOLIZAN COMO: p  q </li></ul>
  22. 22. Partes de un condicional <ul><li>p  q </li></ul>antecedente Condición suficiente consecuente Condición necesaria
  23. 23. Formas derivadas del condicional <ul><li>Dado el condicional directo: p  q, el condicional ~ p  ~q se llama contrario y lo expresaríamos: “ si no p, entonces no q” </li></ul><ul><li>Directo: p  q </li></ul><ul><li>Si repruebo el examen, entonces me enojaré bastante </li></ul><ul><li>Contrario: ~ p  ~q </li></ul><ul><li>Si no repruebo el examen, entonces no me enojaré bastante </li></ul>
  24. 24. Formas derivadas del condicional <ul><li>Dado el condicional directo: p  q, el condicional q  p se llama recíproco y lo expresaríamos: </li></ul><ul><li>“ si q, entonces p” </li></ul><ul><li>Directo: p  q </li></ul><ul><li>Si repruebo el examen, entonces me enojaré bastante </li></ul><ul><li>Recíproco: q  p </li></ul><ul><li>Si me enojo bastante , entonces reprobaré el examen </li></ul>
  25. 25. Formas derivadas del condicional <ul><li>Dado el condicional directo: p  q, el condicional ~ q  ~p se llama contrarrecíproco y lo expresaríamos: “ si no q, entonces no p” </li></ul><ul><li>Directo: p  q </li></ul><ul><li>Si repruebo el examen, entonces me enojaré bastante </li></ul><ul><li>Contrarrecíproco: ~ q  ~p </li></ul><ul><li>Si no me enojo bastante, entonces no repruebo el examen </li></ul>
  26. 26. Formas derivadas p q q p ~ p ~ q ~ q ~ p Directo Recíproco Contrario Contrarrecíproco recíprocos contrarios contrarrecíprocos
  27. 27. Ejemplo <ul><li>Hallar las formas derivadas del siguiente condicional: </li></ul><ul><li>Si un número es par, entonces es múltiplo de 4. ……………………………………. ¿V o F? </li></ul><ul><li>Falso (contraejemplo: 2) </li></ul><ul><li>Recíproco : </li></ul><ul><li>Si un número es múltiplo de 4 entonces es par. …………………………………..¿V o F? </li></ul><ul><li>Verdadero! </li></ul>
  28. 28. Ejemplo <ul><li>Directo: p  q </li></ul><ul><li>Si un número es par, entonces es múltiplo de 4. </li></ul><ul><li>Contrario : ~ p  ~ q </li></ul><ul><li>Si un número no es par, entonces no es múltiplo de 4 </li></ul><ul><li>Verdadero! </li></ul>
  29. 29. Ejemplo <ul><li>Directo: p  q </li></ul><ul><li>Si un número es par, entonces es múltiplo de 4. </li></ul><ul><li>Contrarrecíproco : ~ q  ~ p </li></ul><ul><li>Si un número no es múltiplo de 4, entonces no es par </li></ul><ul><li>Falso….. 2 no es múltiplo de cuatro y es par ( antecedente verdadero, consecuente falso ) </li></ul>
  30. 30. Ejercicios <ul><li>Escribir las formas derivadas para: a) ( r  ~ q )  p. </li></ul><ul><ul><li>b)Si yo digo sí, ella dice no. </li></ul></ul><ul><li>Construye una proposición verdadera que incluya un condicional, una conjunción, una disyunción y una negación (no necesariamente en ese orden), que conste de las componentes p, q y r con todas ellas falsas. </li></ul>
  31. 31. Ejercicios <ul><li>Escribe el recíproco, el inverso y el contrarrecíproco de cada una de las proposiciones siguientes: </li></ul><ul><ul><li>Si q, entonces r </li></ul></ul><ul><ul><li>~ p  (~ q ) </li></ul></ul><ul><ul><li>~p  ~ (r  q ) </li></ul></ul><ul><ul><li>El sol brilla si estás feliz. </li></ul></ul><ul><ul><li>Si tu automóvil no tiene aire acondicionado, no tendrás amigos. </li></ul></ul>

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